algoritmos em grafos baseado em: the algorithm design manual steven s. skiena

Algoritmos em Grafos

Baseado em:The Algorithm Design Manual

Steven S. Skiena

Introdução (1) Um grafo G=(V,E) consiste em cum

conjunto V de vértices e um conjunto E de pares de vértices ou arestas.

Os grafos são uma forma de modelar os problemas.

Muitos problemas algorítmicos são simplificados ao pensarmos neles em termos de grafos.

Introdução (2)

A teoria dos Grafos fornece uma linguagem para tratarmos com as propriedades dos grafos.

Conhecer diferentes problemas algorítmicos em grafos é melhor do que entender os detalhes de algoritmos particulares em grafos.

Conteúdo

Estruturas de dados básicas e operações de atravessamento.

Algoritmos mais sofisticados para: caminhos mais curtos e árvore geradora.

Observações

Grafos podem ser utilizados para modelar uma variedade de estruturas e relações.

Muitas aplicações de grafos podem ser reduzidas a propriedades padrão de grafos e usando algoritmos bem conhecidos.

Busca em profundidade e busca em largura fornecem mecanismos para visitar cada aresta e cada vértice do grafo.

O grafo de relacionamento


Se sou seu amigo, você é meu amigo?

Sou amigo de mim mesmo? Quão íntimo é um amigo? Estou relacionado através de uma

cadeia a alguém famoso? Quão próximo estou de alguém

famoso?

Grafos orientados e não-orientadosLaços, multi-arestas, grafos simples.

Grafos com pesos

Caminho em um grafo

Caminho mínimo


Existe um caminho de relacionamento entre quaisquer duas pessoas no mundo?

Quem tem mais amigos? E menos? Qual o maior clique? Quanto tempo uma fofoca minha

leva para retornar a mim?

Componentes conexas

Grau de um vértice, grafos regularesClique

Circuitos

Estruturas de Dados Matriz de

adjacências Lista de adjacências

1

5 4

2

3

1 2 3 4 5

1 0 1 0 0 1

2 1 0 1 1 1

3 0 1 0 1 0

4 0 1 1 0 1

5 1 1 0 1 1

1 2 5

2 1 5 3 43 2 4

4 2 5 3

5 4 1 2

Matriz de adjacências

Espaço: O(n²) Espaço pode ser reduzido

agrupando-se as informações em bits ou armaze-nando apenas a matriz triangular.

Tempo constante para testar a pertinência de uma aresta ao grafo.

Listas de adjacências

Tempo O(di) para verificar a pertinência de uma aresta ao grafo, onde di é o grau do vértice i.

Pior caso quando din). Na prática os grafos geralmente

são esparsos.

Lista de adjacências

Para muitas aplicações é a melhor alternativa.

A utilização de lista ligada facilita a “ampliação” da estrutura.

Matriz de Adjacências X Listas de Adjacências

Testar se aresta está no grafo. Determinar o grau de um vértice. Menos memória em grafos pequenos. Menos memória em grafos grandes. Inserção ou remoção de aresta. Atravessar o grafo. Melhor na maioria dos problemas.

Matriz de Adjacência

Listas de Adjacências






Atravessando Grafos Impressão ou validação de cada

vértice e/ou aresta. Cópia de um grafo ou conversão entre

representações diferentes. Contagem de números de vértices

e/ou arestas. Determinação de componentes

conexas. Determinação de caminho entre dois

vértices ou ciclos, caso existam.

Atravessando Grafos

Eficiência um mesmo local não deve ser visitado repetidamente.

Corretude o percurso deve ser feito de modo que não se perca nada.

Atravessando Grafos

Os vértices devem ser marcados quando visitados pela primeira vez.

Cada vértice deve ter um dos estados: Não-visitado Visitado Completamente explorado

Atravessando Grafos

Mantém-se uma estrutura de dados com todos os vértices já visitados mas ainda não completamente explorados.

As arestas não-orientadas são consideradas duas vezes. As orientadas apenas uma.

Atravessando Grafos

Estruturas dados para armazenar os vértices descobertos mas ainda não completamente explorados: Fila busca em largura Pilha busca em profundidade

Busca em Largura

A árvore define um caminho mais curto da raiz até cada um dos vértices.

3

3 3 3

3 3

3

4

5

2

1

6

Busca em Profundidade

3

4

5

2

1

6

1

2

5

6

3

4

Geralmente é mais útil do que a busca em largura.


Em um grafo não-orientado temos: arestas da árvore arestas para um ancestral (aresta de

retorno)


Em um grafo orientado temos: arestas da árvore arestas para a frente ligam um

vértice visitado a um completamente explorado.

arestas para trás ligam um vértice visitado a outro visitado.

arestas cruzadas as demais.

Aplicações da Travessia

Componentes Conexas Detecção de Árvores e Ciclos 2-coloração de Grafos Ordenação Topológica Vértices de Articulação

Componentes Conexas

Pode-se usar Busca em Largura ou Busca em Profundidade.

Em grafos orientados temos os conceitos de fracamente conexo e fortemente conexo.

Tempo: O(m+n)

Detecção de Árvores e Ciclos Detecção de árvores é feita

usando busca em profundidade o grafo é uma árvore se, e somente se, não existirem arestas de retorno.

A detecção de ciclo é feita quando a primeira aresta de retorno é identificada.

Tempo: O(n)

2-coloração de Grafos Pode-se usar busca em largura ou

em profundidade. Um vértice visitado recebe sempre

cor diferente da de seu pai. Para cada aresta não visitada

verifica-se se ela não une dois vértices de mesma cor. Neste caso, foi possível uma 2-coloração.

Ordenação Topológica

Consideremos grafos dirigidos acíclicos.


É uma ordenação nos vértices de forma que todas as arestas vão da esquerda para a direita.

Busca em profundidade é utilizada para determinar se o grafo orientado é acíclico e então determinar uma ordenação topológica.


Um grafo orientado é acíclico se, e somente se, não são encontradas arestas de retorno durante uma busca em profundidade.

Cada vértice é rotulado em ordem inversa à ordem em que eles são marcados completamente explorados.

Vértices de Articulação (1) É um vértice de um grafo conexo cuja

remoção torna o grafo desconexo. Qualquer grafo que contenha um

vértice de articulação é frágil. A conectividade de um grafo é a

quantidade de vértices necessários para desconectar o grafo.

Conectividade é uma importante medida de robustez no projeto de rede.

Vértice de Articulação (2)

Modelagem de Problemas (1)

Procura-se um algoritmo para o projeto de rotas naturais para personagens de jogos de vídeo game através de uma sala cheia de objetos. Como fazer?

Como proceder?

Uma grade onde cada vértice é um lugar válido e uma aresta ligando vértices vizinhos, com pesos dependendo da distância entre os vértices.

Determinar o caminho mais curto.


No seqüenciamento de DNA, os dados experimentais consistem de pequenos fragmentos. Para cada fragmento f, existem fragmentos que são forçados a estar à esquerda de f, outros à direita e outros que podem ir para qualquer um dos lados. Como podemos determinar uma ordenação consistente dos fragmentos da esquerda para a direita que satisfaça todas as restrições?

Como proceder? Criar um grafo dirigido no qual a

cada vértice é atribuído um fragmento.

Uma aresta (l,f) liga um fragmento l que é obrigado a estar à esquerda.

Uma aresta (f,r) liga um fragmento r que é obrigado a estar à direita.

Determinar uma ordenação topológica neste grafo.


Dado um conjunto qualquer de retângulos no plano, como distribuí-los em um número mínimo de cestos tal que o subconjunto de retângulos em um mesmo cesto não intersectam-se entre si?

Como proceder? Cada vértice representa um retângulo. Uma aresta liga vértices cujos

retângulos se intersectam. Cada cesto corresponde a um conjunto

independente. A coloração de vértices particiona um

grafo em conjuntos independentes, logo nosso problema é determinar uma coloração mínima de vértices.


Ao portar códigos de UNIX para DOS, tem-se que reduzir o tamanho dos nomes de várias centenas de arquivos para no máximo 8 caracteres cada. Como diminuir o nome dos arquivos e garantir que não haja conflito?

Como proceder? Construir um grafo com vértices

correspondendo ao nome original ligados a vértices que possam corresponder a reduções do nome.

Determinar um conjunto de n arestas que não tenham vértices em comum.

Determinar um conjunto independente de arestas em um grafo bipartido.

Árvore Geradora Mínima

Uma árvore é uma grafo sem ciclos.

Um árvore geradora é um subgrafo de G com os mesmo vértices que é uma árvore.

Um árvore geradora mínima de um grafo com pesos é a árvore geradora de peso mínimo.

Observações Úteis em determinar a menor

quantidade de fios necessárias para interligar um grupo de casas ou cidades.

Pode existir mais de uma tal árvore. Para o caso em que todas as arestas

têm o mesmo peso, todas as árvores geradoras são mínimas.

Para o caso geral, o problema não é tão simples.

Algoritmo de Prim

Escolha um vértice arbitrário senquanto existe algum vértice fora

da árvore façatome a aresta de menor peso entre a árvore e um vértice não pertencen- te à árvoreadicione a aresta selecionada e o

vértice à árvore T

Exemplo

Tempo

O(nm) Pode ser reduzido a O(n²).

Algoritmo de Kruskal

Mantenha as arestas em uma fila de prioridade ordenada pelo peso

Conta <- 0enquanto (Conta < n-1) faça

tome o próxima aresta (v,w)se componente(v) != componente(w)

insira (v,w) em Tjunte as componentes

Exemplo

1

1

31

2

1

33 1

2

1

1

3

3

3

2

Tempo

O(nm) Pode ser melhorado para O(m log

m).

Caminho mais curto

Quando o grafo é sem pesos, a determinação de um caminho mais curto pode ser feita através de uma busca em largura.

Quando o grafo tem pesos associados às arestas, o caminho mais curto pode não ser o que usa menos arestas.

Caminho mais curto (2)

S

t

Algoritmo de Dijkstra

O grafo de entrada tem pesos não-negativos associados às suas arestas.

Dado o caminho mais curto entre s e cada vértice v1,v2,...vk de um conjunto de vértices, deve existir algum outro vértice x tal que o caminho mais curto de s a vi a x, para algum 1 i k.

Algoritmo de Dijkstra

Todos os caminhos mais curtos

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