algoritmo do fluxo máximo - edeziops.xpg.com.br · 5a iteração no estágio 3, tenho o nó 4 para...
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Algoritmo do Fluxo Máximo
Pesquisa Operacional - Prof. Edezio 1
Formulação como um modelo clássico de P.Linear
• Este tipo de problema pode ser equacionado como um modelo de Programação Linear.
• Como variáveis de decisão teríamos:
• f fluxo que vai passar do nó 1 ao nó 6.
• fij fluxo que vai passar no arco (i – j).
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Max z=f Sujeito a: • f12 + f13 = f (nó 1) • f46 + f56 = f (nó 6) • f12 = f23 + f24 + f25 (nó 2) • f13 + f23 = f34 + f35 (nó 3) • f46 = f24 + f34 + f54 (nó 4) • f35 + f25 = f54 + f56 (nó 5) • f12 ≤6 f13≤8 • f23 ≤2 f24≤4 • f25 ≤1 f34≤5 • f35 ≤3 f46≤8 • f54 ≤4 f56≤9 • f, fij ≥ 0
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Técnica da Rotulação
1 2 3 4 5 6 Rótulos Estágio
1 - 6 8 0 0 0 δ ϒ -
2 0 - 2 4 1 0
3 0 0 - 5 3 0
4 0 0 0 - 0 8
5 0 0 0 4 - 9
6 0 0 0 0 0 -
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1a iteração
1 2 3 4 5 6 Rótulos Estágio
1 - 6 8 0 0 0 δ ϒ -
2 0 - 2 4 1 0 6 1 1
3 0 0 - 5 3 0 8 1 1
4 0 0 0 - 0 8
5 0 0 0 4 - 9
6 0 0 0 0 0 -
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1a iteração
1 2 3 4 5 6 Rótulos Estágio
1 - 6 8 0 0 0 δ ϒ -
2 0 - 2 4 1 0 6 1 1
3 0 0 - 5 3 0 8 1 1
4 0 0 0 - 0 8 4 2 2
5 0 0 0 4 - 9 1 2 2
6 0 0 0 0 0 -
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1a iteração
1 2 3 4 5 6 Rótulos Estágio
1 - 6 8 0 0 0 δ ϒ -
2 0 - 2 4 1 0 6 1 1
3 0 0 - 5 3 0 8 1 1
4 0 0 0 - 0 8 4 2 2
5 0 0 0 4 - 9 1 2 2
6 0 0 0 0 0 - 4 4 3
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2a iteração
1 2 3 4 5 6 Rótulos Estágio
1 - 2 8 0 0 0 δ ϒ -
2 4 - 2 0 1 0
3 0 0 - 5 3 0
4 0 4 0 - 0 4
5 0 0 0 4 - 9
6 0 0 0 4 0 -
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2a iteração
1 2 3 4 5 6 Rótulos Estágio
1 - 2 8 0 0 0 δ ϒ -
2 4 - 2 0 1 0 2 1 1
3 0 0 - 5 3 0 8 1 1
4 0 4 0 - 0 4
5 0 0 0 4 - 9
6 0 0 0 4 0 -
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2a iteração
1 2 3 4 5 6 Rótulos Estágio
1 - 2 8 0 0 0 δ ϒ -
2 4 - 2 0 1 0 2 1 1
3 0 0 - 5 3 0 8 1 1
4 0 4 0 - 0 4 5 3 2
5 0 0 0 4 - 9 1 2 2
6 0 0 0 4 0 - 4 4 3
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3a iteração
1 2 3 4 5 6 Rótulos Estágio
1 - 2 4 0 0 0 δ ϒ -
2 4 - 2 0 1 0
3 4 0 - 1 3 0
4 0 4 4 - 0 0
5 0 0 0 4 - 9
6 0 0 0 8 0 -
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3a iteração
1 2 3 4 5 6 Rótulos Estágio
1 - 2 4 0 0 0 δ ϒ -
2 4 - 2 0 1 0 2 1 1
3 4 0 - 1 3 0 4 1 1
4 0 4 4 - 0 0 1 3 2
5 0 0 0 4 - 9 1 2 2
6 0 0 0 8 0 - 1 5 3
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4a iteração
1 2 3 4 5 6 Rótulos Estágio
1 - 1 4 0 0 0 δ ϒ -
2 5 - 2 0 0 0
3 4 0 - 1 3 0
4 0 4 4 - 0 0
5 0 1 0 4 - 8
6 0 0 0 8 1 -
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4a iteração
1 2 3 4 5 6 Rótulos Estágio
1 - 1 4 0 0 0 δ ϒ -
2 5 - 2 0 1 0 1 1 1
3 4 0 - 1 3 0 4 1 1
4 0 4 4 - 0 0 1 3 2
5 0 1 0 4 - 8 3 3 2
6 0 0 0 8 1 - 3 5 3
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5a iteração
1 2 3 4 5 6 Rótulos Estágio
1 - 1 1 0 0 0 δ ϒ -
2 5 - 2 0 0 0 1 1 1
3 7 0 - 1 0 0 1 1 1
4 0 4 4 - 0 0 1 3 2
5 0 1 3 4 - 5
6 0 0 0 8 4 -
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5a iteração
No estágio 3, tenho o nó 4 para varrer mas do nó 4 não consigo rotular mais ninguém. O algoritmo chegou ao final pois não conseguimos em uma iteração (5a no exemplo) rotular o nó destino (nó 6). Qual o fluxo máximo que pode ser levado do nó 1 ao nó 6 ? É a soma dos valores que aparecem no último quadro na linha do nó 6, ou seja 8 + 4 = 12.
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Distribuição do Fluxo
• A resposta acima leva, imediatamente, a outra pergunta: Como este fluxo máximo se distribui pelos arcos da rede ?
• O fluxo que passa em cada arco é igual a diferença entre o valor da capacidade do arco (valor que aparece no quadro inicial) e o valor que aparece para o arco no último quadro do algoritmo. Temos então:
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Distribuição do Fluxo
Arco Fluxo que passa
1 – 2 6 – 1 = 5
1 – 3 8 – 1 = 7
2 – 4 4 – 0 = 4
2 – 5 1 – 0 = 1
3 – 4 5 – 1 = 4
3 – 5 3 – 0 = 3
4 – 6 8 – 0 = 8
5 – 6 9 – 5 = 4
2 – 3 2 – 2 = 0
5 - 4 4 – 4 = 0
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Distribuição do Fluxo
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