CARLOS A. CALLIOLIProf. Titular - Faculdade de Engenharia Industrial (So Paulo)

HYGINO H. DOMINGUESProf. Adjunto - Instituto de Biocincias, Letras e Cincias Exatas -

UNESP ( Rio Preto)

ROBERTO C. f. COSTAPraf. Livre-Docente - Instituto de Matemtica e Estatstica - USP

LGEBRA LINEAR".,.

E APLICACOES"' .

6~ edio reformulada

12'! reimpress~"!IF

ATUAJ.EDITORA

CARLOS A. CALLIOLIProf. Titular - Faculdade de Engenharia Industrial (So Paulo)

HYGINO H. DOMINGUESProf. Adjunto - Instituto de Biocincias, Letras e Cincias Exatas -

UNESP ( Rio Preto)

ROBERTO C. f. COSTAPraf. Livre-Docente - Instituto de Matemtica e Estatstica - USP

LGEBRA LINEAR".,.

E APLICACOES"' .

6~ edio reformulada

12'! reimpress~"!IF

ATUAJ.EDITORA

124133137149151

158161172176192195

197199203208212214217218

221222225228232235243

Captulo 7 - Determinantes1. Permutaes .2. Determinantes .3. Propriedades dos Determinantes .4. Cofatores .5. Adjunta Clssica e Inversa .6. Regra de Cramer .7. Determinante de um Operador Linear ..

Apndice IV - Determinante de um Produto de Matrizes .

Captulo 6 - Espaos com Produto Interno1. Produtos Internos .2. Norma e Distncia ~ .3. Ortogonalidade .4. Isometrias .5. Operadores Auto-adjuntos .6. Espaos Hermitianos .

Captulo 8 - Formas Bilineares e Quadrticas Reais1. Formas Bilineares ..2. Matriz de uma Forma Bilinear ..3. Matrizes Congruentes - Mudana de Base para uma Forma Bilinear4. Formas Bilineares Simtricas e Anti-simtricas .5. 'Formas Quadrticas .6. Reduo de Formas Quadrticas: Algoritmos ..7. Lei de Inrcia .

, Captulo 4 - Transformaes LinearesL Noes sobre Aplicaes 1022. Transformaes Lineares 1043. Ncleo e Imagem 1114. Isomorfismos e Automorfismos 114

(C;~~~::::-;) Matriz de uma Transformao Linear--1-: -Op~aes com Transformaes Lineares .

2. Matriz de uma Transformao Linear : .3. Matriz da Transformao Composta .4. Espao Dual .5. Matrizes Semelhantes .

2468

1618273139

4244505456575966

67747678

8081899199

Captulo 1 - Sistemas Lineares - Matrizes

1. Sistemas Lineares .2. Sistemas Equivalentes .3. Sistemas Escalonados ..4. Discusso e Resoluo de um Sistema Linear ..5. Matrizes .6. ,Operaes com Matrizes .7. ~,Matrizes Inversveis .8. Sistemas de Cramer .

~Apndice I - Matrizes Elementares ..

NDICE

1 ~ PARTE: LGEBRA LINEAR

Captulo 2 - Espaos Vetoriais

1. Introduo .2. Espaos Vetoriais ' .3. Primeiras Propriedades de um Espao Vetorial .4. Sub-espaos Vetoriais ..5. Somas de Sub-espaos .6. Combinaes Lineares ..7. Espaos Vetoriais Finitamente Gerados ..

Apndice 11 - Exemplo de Espao que no Finitamente Gerado

Captulo 3 - Base e Dimenso

1. Dependncia Linear ..2. Propriedades da Dependncia Linear ..3. Base de um Espao Vetorial Finitamente Gerado .4. Dimenso ..5. Processo Prtico para Determinar uma Base de um Sub-espao de [Rn

(ou Cn) : 6. Dimenso da Soma de Dois Sub-espaos ..7. Coordenadas ..8. Mudana de Base ..

Apndice 111 - Teorema da Invarincia ..

2 ~ PARTE: APLlCACES

( ~;;';'~ magO~aliza.O d, O do"" Lio"",,,, Fonna d, Jo ."T'"'-"Vc>res e Vetores Prprios 2462. Diagonalizao de Operadores 2533. Diagonalizao de Operadores Auto-adjuntos (ou de Matrizes Simtri-

cas Reais) o o o o o o o o o o 2624. Aplicao da Diagonalizao: Potncias de uma Matriz .. o o o o o 2665. Aplicao da Diagonalizao: Sries de Matrizes (Noes) 2686. Lema de Gergoshin . o o o o o o o o o 2707. Forma de Jordan . o o o o o o.... 272

Captulo 2 - Curvas e Superfcies de Segundo Grau1. As Curvas de Segundo Grau o o o o o o o 2842. As Superfcies de Segundo Grau o o o o o o o o 292

Captulo 3 - Polinmios de Lagrange1. Valores Numricos o o o o 2982. Polinmios de Lagrange o o o o 299

Captulo 4 - Seqncias Recorrentes Lineares1. Seqncias Recorrentes o o o o o o o o o o 3052. Aplicao o o o o o o o o o 311

Captulo 5 - Equaes e Sistemas de Equaes Diferenciais Lineares comCoeficientes Constantes

1. Operadores Diferenciais o o o o o 3152. lgebra dos Operadores o o o o 3173. Equaes Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes o o o 3194. Equaes Homogneas de Segunda Ordem o o 3215. Equaes Homogneas de Ordem Qualquer o o o o 3246. Sistemas de Equaes Diferenciais Lineares com Coeficientes

Constantes .... o o o o o o o o o o o 327

Captulo 6 - Mtodo dos Mnimos Quadrados1. O Espao Euclidiano [Rn: Reviso o o o o o o 3342. Aproximao por Projees . o o o o o o o o o o o o o 3353. Ajuste de Curvas o o o o o o o o o o 338

Respostas ... o o o o o o o o o o o o o o o o o 342Bibliografia o' o o o o o o o 350ndice Remissivo % o o o o o o o o o o o o o o o 351

CAPTULO 1Sistemas Lineares - Matrizes

1. SISTEMAS LINEARES

Neste captulo procederemos inicialmente a um estudo dos sistemas linearessobre IR. No nos mover aqui nenhuma preocupao de formalismo ou rigor exces-sivos. Alm disso limitar-nos-emos a ver sobre o assunto apenas o que necessriopara desenvolver os captulos posteriores. De uma maneira geral este captulo 1constitui apenas um pr-requisito para o restante deste livro.

Definio 1 - Dados os nmeros reais ai, ... , a n , {3 (n ~ 1), equaoaI Xl + ... + a n xn = (3

onde os Xi so variveis em IR, damos o nome de equao linear sobre JR nasincgnitas x b ... , xn.

Uma soluo' dessa equao uma seqncia de n nmeros reais(*) (noneessariamente distintos entre si), indicada por (b l , ... , bn), tal que

aI b l + ... + a n bn = {3 uma frase verdadeira.

Exemplo - Dada a equao: 2XI - X2 + X3 = 1, a terna ordenada (1,1, O) uma soluo dessa equao pois 2 1 - 1 + = 1 verdadeira.

Definio 2 - Um sistema de m equaes lineares com n incgnitas(m, n ~ 1)(**) um conjunto de m equaes lineares, cada uma delas com n incg-nitas, consideradas simultaneamente. Um sistema linear se apresenta do seguintemodo:

{

allxl + + alnxn = (31

S: ~~1.~1. ~ ~.~~~~.~ .~.frml XI + .. , + amnxn = 13m

(*) Tambm chamada n-upla de nmeros reais.

Uma soluo do sistema acima uma n.upla (b l , ... , bn ) de nmeros reaisque soluo de cada uma das equaes do sistema.

Exemplo - Dado o sistema

{2X - y + z = 1

S:'x + 2y = 6

uma soluo de S (O, 3, 4). Notemos que essa soluo no nica: a terna(~ , 151 ,~ tambm soluo de S.

Se, no sistema S, tivermos {31 = {32 = .. = 13m = 0, o sistema S ser homo-gneo. A n-upla (O, 0, ... , O) soluo de S neste caso e por isso todo sistemahomogneo compatvel, de acordo com a definio 3 a seguir. A soluo(O, 0, ... , O) chama-se soluo trivial do sistema homogneo.

Definio 3 -' Dizemos que um sistema linear S incompatvel se, S noadmite nenhuma soluo. Um sistema linear que admite uma nica soluo chamado compatvel determinado. Se um sistema linear S admitir mais do queuma soluo ento ele recebe o nome de compatvel indeterminado.

Exemplos1) Um sistema do tipo

all x l + '" + alnx n = {31

OXl + ... + OXn = {3i ({3i =1= O)

frml Xl +... + amnxn = 13m

necessariamente incompatvel: como nenhuma n-upla soluo da equaoi-sima, ento nenhuma n-upla soluo do sistema.

2) Um sistema do tipo

{X' ~'...... :. ~

xn = {3n

(**)

2

Se m = n simplesmente sistema linear de ordem n. compatvel determinado e ({31 , ... , (3n) a sua soluo nica.

3

3) O sistema

{2X - y + z == 1

x + 2y = 6

(111) Somar a uma das equaes do sistema uma outra equao desse sistemamultiplicada por um nmero real. Deixamos como exerccio a verificao de queo sistema:

"dt . d . c: (8 11 )e m e ermma o pOlS, conlorme VImos atrs, as temas (O, 3,4) e 5' 5' O sosolues deste sistema. Conforme veremos, existem infinitas solues deste sistema.Tente achar uma.

CXm1Xl + ... + CXmnXn = ~m

2. SISTEMAS EQUIVALENTES

Seja S um sistema linear de m equaes com n incgnitas. Interessa-nosconsiderar os sistemas que podem ser obtidos de S de uma das seguintes maneiras:

.(I) Permutar duas das equaes de S. evidente que se 81 indicar o sistemaassim obtido, ento toda soluo de SI soluo de S e vice-versa.

(11) Multiplicar uma das equaes de S por um nmero real =1= O. Indicandopor SI o sistema assim obtido mostremos que toda soluo de SI soluo de 8 evice-versa.

assim obtido e o sistema S ou so ambos incompatveis ou admitem ambos asmesmas sblues. Sugerimos ao leitor que faa alguns casos particulares antes detentar o caso geral.

Deflilio 4 - Dado um sistema linear S, uma qualquer das modificaesexplicadas acima em (I), (11) e (I1I) que se faa com esse sistema recebe o nome de ope-rao elementar com S. Se um sistema linear 81 foi obtido de um sistema linear Satravs de um nmero finito de operaes elementares, dizemos que SI equivalen-te a S. Notao: SI ~ S. fcil ver que para a relao ~ assim definida valem asseguintes propriedades:

Devido a (I) podemos supor que a equao multiplicada seja a primeira.Como as demais equaes de S e SI coincidem basta verificar nossa afirmaoquanto primeira equao.

(a) S ~ S (reflexiva);(b) SI ~ S~ S ~ SI (simtrica);(c) SI ~ S e S ~ S2 ====> SI ~ S2 (transitiva).

Se (b 1 , , bn) uma soluo de S (conforme definio 2), ento:

Multiplicando por esta igualdade obteremos:

Convm frisar, por ltimo, que em virtude do que j vimos neste pargrafo,se SI ~ S, ento toda soluo de S soluo de SI e vice-versa. Em particular,se SI incompatvel, o mesmo acontece com S.

Desta forma criamos um mecanismo extremamente til para a procura de solu-es de um sistema linear S. Procuramos sempre' encontrar um sistema linearequivalente a S e que seja "mais simples". Veremos um exemplo. Considere-mos o sistema:

{

X +z=l

S: 2x =~ + z = 4x - 2y + 2z = O

(1)

(2)

o que mostra que (b 1 , . , bn ) tambm soluo da primeira equao de SI'

Por outro lado, se (b 1 , . , bn) soluo de SI, ento a igualdade (2) verdadeira. Dividindo (2) por obtemos (1). Portanto (b 1 , .. , bn) pertenceao conjunto das solues de S.

4 5

Demonstrao - Sem perder a generalidade podemos supor:

Proposio 1 - Todo sistema linear S equivalente a um sistema escalo-nado.

Para estudar este sistema deve-se aplicar a ele uma srie de operaes ele-mentares visando fazer com que o nmero de coeficientes iniciais nulos seja maiorem cada equao (a partir da segunda) do que na precedente. Vejamos como sepode fazer isso.

{

X - Y + z = 1 * {X - y + z = 1 **{X - Y + z = 12x - y + z = 4 ~ y - z = 2 ~ y - z = 2

x - 2y -I- 2z = O - y + z = - 1. O= 1 S:

Xl + Cl12X2 + ... -I- CllnXn = {31Cl21Xl + Cl22X2 -1- . + Cl2nxn = {32....................................... 00 .........

S:

* Multiplicamos por - 2 a primeira equao e somamos o resultad~ com a segunda equao;multiplicamos a primeira equao por -1 e somamos com a tercerra.

** Somamos a segunda equao com a terceira.

Como este ltimo sistema incompatvel, o mesmo acontece com o sistema Sdado inicialmente.

3. SISTEMAS ESCALONADOS

Consideremos um sistema linear de m equaes com n incgnitas que temo seguinte aspecto:

CllIl xr1 + . . . . . . . . . . . . . . . .. + CllnXn = {31Qzr2xr2 + + QznXn = {32

Clkrkxrk + ... + ClknXn = {3kOXn = {3k+ 1

onde Cl1rl =1= O, Cl2f2 =1= O, ... , Clkrk =1= O e cada ri:> 1.

Se tivermos 1 < ri < r2 < ... < rk < n diremos que S um sistema li-near escalonado. claro que se {3k + 1 =: O, a ltima equao de S pode ser elimina-da do sistema. Logo, num sistema escalonado o nmero de coeficientes iniciaisnulos em cada equao, a partir da segunda, maior .do que na precedente.

Exemplo de sistema escalonado:

{

2X - y - z - 3t = Oz - t = 1

2t = 2

6

Para cada Cl :::f= O(i = 2, 3, ... ,m) multipliquemos por (-Cl ) a primeira equaoe somemos o resultado equao i-sima. Com algumas permutaes convenientesde equaes (se for o caso) obteremos um sistema SI do seguinte tipo:

Xl + ... + Cllrlxrl + ... + CllnXn = {3172fl xr1 + '" + 72nXn = {3;................................................

onde 72fl =1= O e ri:> 2, que equivalente aS.

Dividindo a segunda equao de SI por 72fl btemos um sistema S2' aindaequivalente a S1> com o qual comeamos a repetir o raciocnio feito at aqui,porm a partir da sua segunda equao. Evidentemente, depois de aplicar umcerto nmero finito de vezes esse raciocnio chegaremos a um sistema escalonadoequivalente a S.

A importncia dos sistemas escalonados reside na Proposio 1. Sendo todosistema equivalente a um sistema escalonado, bastar que saibamos lidar com ossistemas escalonados e saibamos reduzir um sistema qualquer a um escalonado.

Nota: Convm observar que as equaes do tipo O = O que por venturaaparecerem no processo de escalonamento devem ser suprimidas, como bvio.

Exemplo - Escalonemos o seguinte sistema:

12X - y + z - t = 4

.

3x + 2y - z + 2t = 1S:2x- y-z- t=O

5x + 2t = 1

7

4. DISCUSSO E RESOLUO DE UM SISTEMA LINEAR

Observe o leitor que (1, 2, 2, - 2) a nica soluo de S, pois a nica soluodo sistema escalonado.

O

2--3

Iz = 3

y

= 'Y1

= 'Y2

X

Xn = 'Yn

23

2 **--3

1z = 3

y

I

x-y

*

r- y+ z = 1-r- y+z=S ~ 3y = -2 y-z=-l

2y - 2z = -2 3y = -2

{x-y+ z= r-y+'~ I~ y- z = -1 ~ y-z=-l3z = 1

z= -3

{

x-y+ z=lS: 2x + y + 2z = O

3x - y + z = I

Neste caso S' poder ser transformado, por equivalncia, no seguinte sistema

(11) Obtm-se um sistema escalonado do seguinte tipo:

(

Xl + G'12X2 + + G'lnXn : ~1X2 + + G'2nXn - ~s:

e

Xn = ~n

Exemplo - Discutir e resolver o seguinte sistema:

Logo S compatvel determinado e ('Y1' 'Y2, ... , 'Yn) a sua soluo.

Z + 2x - y - t = 41 1

X+sY+st= 1

14 14-sy -st = O

Y + t = -4

(

z + 2x - y - t = 4

~ 5x + y + t = 54x - 2y - 2t = 4

5x + 2t = 1

5x + 2t = 1

Z + 2x - y - t = 41 1

x+-y+-t=5 5

4x - 2y 2t = 4

(

Z + 2x - y - t = 4

S ~ - Z + 3x + 2y + 2t = 1- Z + 2x - y - t = O

5x + 2t = 1

(

z + 2x - y - t = 4 (Z + 2x - y - t = 45x + y + t = 5 ~ 5x + y + t = 5

y+t=O y+ t=OY - t = 4 - 2t = 4

Discutir um sistema linear S significa efetuar um estudo de S visando aclassific-lo segundo a definio 3. Resolver um sistema linear significa determinartodas as suas solues. O conjunto dessas solues recebe o nome de conjuntosoluo do sistema.

Seja S um sistema linear de m equaes com n incgnitas. Procedendo aoescalonamento de S chegaremos a uma das trs seguintes situaes:

(I) No processo de escalonamento, numa certa etapa, obtm-se um sistema:

Como S' incompatvel, ento o mesmo se pode dizer de S. (Ver exemplono pargrafo 2).

* Somamos a terceira equao segunda.** Somamos a segunda equao primeira.

8 9

Exemplo - Discutir e resolver o sistema:

{

x-2y- z=1S: 2x + y - 3z = O

x - 7y = 3

{X- 2y - z = 1 {X - 2y- z = I

S ~ 5y - z = -2 ~ 5y - z = -2- 5y + z = 2 O = O

2=-3'

Iz por 3'

Logo o sistema compatvel determinado e (o, - ~ , ~) a sua soluo.Observao: Depois de conseguir o escalonamento poderamos ter achado a

soluo do sistema por substituio do seguinte modo:

Como z = 1- e y - z = - I ento y - 1- = - I Da y = ...!.. - I3 ' 3' 3Agora, se na primeira equao do sistema substituirmos y por - ~ eacharemos x = o,

Logo, {(~ + ~ z, - ~ + i z, z): Z E IR} o conjunto de todas as solues( 1 7 2 1 )de S (conjunto soluo de S). Dizemos tambm que 5 + 5" z, -"5 + "5 z, z ,com

z E IR, a soluo geral do sistema lirlear S.

z=7 1

- Sz= S-I 2

y-Sz=-S

{

X= 1-+2z. 5 5

2 1Y = --+-z. 5 5

{X- 2y-

y-~z=-~Da tiramos:

(I1I) Obtm-se um sistema escalonado do tipo abaixo:Xl + .. ,+ aU2xr2 + ... + alr3Xr3 + ,.. + a1rpXrp + , , . + alnXn = 131

Xr2 + .. , + azr3Xr3 +... + aztpXrp + .. , + a2nXn = l3zS': Xr3 + ,.. + a3rpXrp + ... + a3nXn = 133

onde p < n. fcil ento ir eliminando, por meio de operaes elementares, o termo

em xr2 na primeira equao, os termos em xr3 da primeira e segunda equaes,, .. , os termos em xrp da primeira (p - l).sima equao, Por exemplo, multi-plicando a segunda equao por (-aU2) e somando o resultado com a primeiraeliminando o termo a1r2xr2'

Feito. isto, passamos para o segundo membro de cada equao todas asparcelas, exceo feita primeira. Teremos ento algo como:

Xl = f 1xr2 = f2

Xrp = fp

onde cada fi uma expresso linear nas variveis Xj com j =1= I, j =1= f2, ',' . ,j =1= rp'A cada seqncia de valores que dermos ento a estas n - p variveis (variveislivres) obteremos valores para Xl, Xr", ... , Xr . e conseqentemente uma soluoP .do sistema. Como p < n, teremos mais do que uma soluo (infinitas na verdade)e o sistema indeterminado neste caso.

RESUMO DA DISCUSSOA discusso feita acima pode ser resumida do seguirlte modo:Suponhamos que um sistema tenha sido escalonado e, retiradas as equaes

do tipo O = O, restam p equaes com n irlcgnitas.(I) Se a ltima das equaes restantes

OX1 + .. , + OXn = I3p (l3p =1= O)ento o sistema incompatvel;

Caso contrrio, sobram duas alternativas:(11) Se p = n o sistema compatvel determinado;(I1I) Se p < n, ento o sistema compatvel indeterminado.

10 11

EXERCCIOS RESOLVIDOS 4. Resolver por escalonamento:1. Resolver por escalonamento:

{

5X - 2y + 2z = 2s: 3x + y + 4z = -1

4x - 3y + z = 3{"

y + z ;:: 2x - y z= -3

s:2x + y + 2z = I3x + 2y + 3z = 3

Soluo

De z = O, tiramos x = O e da teremos y = - 1.

{ Y+3x +4z = -1-cS - - 2y + 5x + 2z = 2- 3y + 4x + z = 3

-{'+ 3x + 4z = -1 {+llx + 10z = Ox + z = O

3x + 4z = -1

llx + 10z = O

13x + 13z = O

3x + 4z = -1

x + z = O

z = O

Soluo

s-{ x + y + z = 22y 2z ~ 5y -3y -3

Da:y=3,z= I I-I e x = -2"'

Resposta: O sistema compatvel determinado, sendo ( - ~, 3, - ~) sua nica soluo.

Resposta: (O, - 1, O) a nica soluo; o sistema compatvel determinado. 5. Resolver por escalonamento:

2. Resolver por escalonamento:

{X + Y + z + 3t = 1

s:x + y - z + 2t = O

{

3X + 3y 2z - t = 2s: Sx + 2y + z - 2t = I

2x - y + 3z - t = - I

Soluo Soluo

3. Resolver por escalonamento:

Resposta: O sistema incompatvel, por causa da igualdade O = 1.

Resposta: {(-2 + 5z - y,y,z,1 - 2z) IY,z E IR} o conjunto soluo do sistema. Osistema compatvel indeterminado, pois tem infinitas solues.

{

X - 2y ~ 3z = Os: x + 4y - z = O

2x - y + Z = O

r' + 3x + 3y ~ 2z = 2S - - 2t + Sx + 2y + z = I- t + 2x - y + 3z = ~1-{ - 3x ~ 3y + 2z = -2 _ {t ~ 3x ~ 3y + 2z = ~2x - 4y + Sz = -3 x + 4y - Sz = 3

x - 4y + Sz = -3

Da: x= -4y + Sz + 3 e t = ~9y + 13z + 7

Resposta: {(-4y + Sz + 3, y, z, ~ 9y + 13z + 7) I y, z E IR} o conjunto das solues eportanto o sistema compatvel indeterminado.

6. Resolver o sistema homogneo por escalonamento:

= -2 + 5z - y

t = 1 - 2z

{

X + Y + z = 1 {X + Y + z = 1y+ z=-1 - y+z=-1

2y + 2z = - 1 O = 1

{

X+Y+Z=1s: x - y - z = 2

2x + y + z = 3

{X + Y + z + 3t = 1 {x

s- -2z + t = 1

Soluo

{

X + Y + z = 1S - - 2y - 2z = 1

- y- z=1

12 13

Soluo

- 2y - 3z == O

6y + 2z == O3y + 7z == O

{

X 2y - 3z == O

- y+~z==O3y + 7z == O

- 2y - 3z == O1

y +Tz == O

6z == O

li. Resolver o sistema:

{x2 + y2 = 34

S. _ x 2 + y2 = 16

Soluo: Este sistema no linear, pois x e y aparecem em segundo grau. Mas podemos intro-I' .,. 2 2 d -' { u + v = 34(UZII as varlavels u = x e v = y toman o-se ento o sIstema S em _ u + v = 16 cuja

soluo (nica) u = 9, v = 25. Da obtemos x 2 = 9 e y2 = 25, ou seja, x = 3 e y = 5.H portanto 4 solues para o sistema S: (3,5), (3, - 5), (- 3,5) e (- 3, - 5).

Da: x == O, y == O e z == O.

O sistema admite somente a soluo trivial (O, 0, O), sendo portanto determinado. EXERCCIOS PROPOSTOS7. Resolver o sistema homogneo por escalonamento: I. Resolver os sistemas abaixo:

s: {::2x +

y+ z+t==O

y 2z + t == Oy + 2z -- t == O

y + Z = 1

y + 2z = 2

6y + 3z = 3[

X +

b) x-y + Z =

Y + Z2y

-2-3

O conjunto {(2t, - 3t, O, t) I t E IR} o conjunto soluo; o sistema linear compatvel inde-terminado. Observe que o valor da incgnita z determinado, isto , no depende de 1.

8. Determinar o valor de a para que o sistema linear S admita uma nica soluo e determin-la:

Da, necessariamente a = e o sistema S equivalente a {x

Resposta: a = O e {(l, O)} a soluo nica de S.

{

X + y + z + t == O- y + 3t = O

z = O

2y = 6

y -2

y O[:: :x +ea[H2Y2,- t =

2x - 2y - 2z - 3t -1

2x 2y z 5t 9

3x y + z - mt = O

-a

o

2

[3: : 7~ : :5x + 3y 5a + 2b

x + 2y a + b - 1

compatvel e determinado. Em seguida resolver o sistema.

2. Determinar os valores de a e b que tornam o sistema

3. Discutir os seguintes sistemas lineares (em funo de a):

5. Resolver os sistemas homogneos abaixo:

[3;y + 2z - t = O

b) [:+ y+z+w-t=O

a) + y + 3z + t = Oz - 5t = O

Y - z + 2w - t = OY -

4. Determinar os valores de m para os quais o sistema determinado:

1O

+ YY

==0

-- 2t == O

+ 3t == Oz

y

. {X+ Y ==1- y == O

O == a

y == 1y == 2

3y == a

r

y == 1y==O

3y == a

{

X +

S: 2x +

{

x+

S - -

{

x+ y

Y

+

z

t==O

+ 3t == O==0

{

X + Y + z + t == OS ~ - 3z == O

- y - 3t == O

Soluo

Soluo

14 15

6. Mostrar que um sistema linear homogneo de m equaes en incgnitas compatvel indeter-minado se n > m.

{4X + 3y - z + t = o

c)x - y + 2z - t = o {

3X + 2y - l2z = od) x - y + z = o

2x - 3y + 5z = o

Exemplo - A matriz

uma matriz real 3 X 2. Logo A E M3x 2 (R).

LINHAS E COLUNASDada uma matriz:

5. MATRIZES

Definio 5 - Sejam m ;;;, I e n ;;;, I dois nmeros inteiros. Uma matrizm X n real uma dupla seqncia de nmeros reais, distribudos em m linhas en colunas, formando uma tabela que se indica do seguinte modo:

A =(:::...~ .. ~ ~ ... ~: )am1 am2 '.' amn

as linhas so (1, O, 1) e (O, 6, - 5) ao passo que as colunas so

as m seqncias horizontais

(1) ). A(m) = (a a . .. amn)A = a11, a12' ... , a1n , ... , m1, m2, ,so chamadas linhas da matriz A, enquanto que as n seqncias verticais

a11 am

~1 a2nA(l) , ... , A(n)

am1 amn

so as colunas de A. de se notar que cada A(i)E M1xn(R) e cada A(j)E Mmx1(R).Exemplo - Na matriz 2 X 3

A~G ~-:)

Abreviadamente esta matriz pode ser expressa por (aij)1E;; i O;; m ou apenaslO;; j O;; n

(aij), se no houver possibilidade de confuso quanto variao dos ndices.Cada nmero que compe uma matriz chama-se termo dessa matriz. Dada a

matriz (aij)l';;; i.;;; m, ao smbolo aij que representa indistintamente todos os seus1';;; j.;;; n

termos daremos o nome de termo geral dessa matriz.

Notaes - Indicaremos por Mmx n (IR) o conjunto das matrizes reais m x n.Se m = n, ao invs de Mn xn (IR), usa-se a notao Mn (IR). Cada matriz de Mn (IR)chama-se matriz quadrada de ordem n. Em contraposio, quando m =1= n, uma ma-triz m x n se diz uma matriz retangular. Uma matriz I x I (a11) se identifica com onmero real a11 .

Cada matriz costuma ser denotada por uma letra maiscula do nosso alfa-beto.

16 17

IGUALDADE DE MATRIZESConsideremos duas matrizes reais m X n: A = (aij) e B = (bij). Dizemos

que A = Bse, e somente se,aij = bij (i = 1, 2, ... ,m; j = 1, 2, ... , n).

Exemplos1)

z) F:-:(~ 2 ~) ~ (~ 2 x -1 O t = Oz = 1

2)

GO :)*G D13) (: :) *G 2 D2 33 O6. OPERAES COM MATRIZES(a) ADIO

Sejam A = (aij) e B = (bij) matrizes m X n. Indicamos por A + B e cha-mamos soma de A com B a matriz m X n cujo termo geral aij + bij, ou seja

A+ B= (~:'.+b:, .a.'~.+ b~ ~:~ ~ b~ )am1 + bm1 am2 + bm2- . .. amn + bmn

A operao que transforma cada par (A, B) de matrizes do mesmo tipo na ma-triz A + B chama-se adio de matrizes. uma operao no conjunto Mm xn (IR).

Exemplo _ Se A = (1 21) e B = (O 1-2), entoO 1 2 2 4 7

(1 3-1)A+B= 25918

Para a adio de matrizes acima definida valem as seguintes propriedades:

(1) A + (B + C) = (A + B) + C, V A, B, C E Mmxn(R) (associativa);

(lI) A + B = B + A, VA, B E Mmxn(R) (comutativa);

(III) Existe uma matriz O E Mmxn (R) tal que A + O = A, VA E Mmx n (R)(existe elemento neutro);

N) Dada uma matriz A E Mmxn (R), existe uma matriz (-A), tambmm X n, tal que A + (-A) = O (existe a oposta de qualquer matriz).

A verificao da propriedade associativa se faz assim:Se A = (aij), B = (bij) e C = (ciD, ento

*(A + B) + C = (aij + bij) + (Cij) = ((aij + bij) +Cij) == (aij + (bij + Cjj = (aij) + (bij + Cij) = A + (B + C).

Quanto (I1I) fcil ver que:

O = (~.. ~.. ::: ..~)O O .. O

Esta matriz chama-se matriz nula m X n.

Por ltimo, se A = (aij), evidente que (- A) = (- aij). Por exemplo, se(

la - 2) (- 1 - aA = ento -A =-2 1 O' 2 -1

(b) MULTIPLICAO DE UMA MATRIZ POR UM NMERODada uma matriz real A = (aij), m x n, e dado um nmero real a, o produto

de a por A a matriz real m x n dada por:

Usamos nesta passagem a propriedade associativa da adio de nmeros reais.

19

Nas condies acima, a operao que transfonna cada par de matrizes (A, B)na matriz AB chama-se multiplicao de matrizes.Para essa operao que transfonna cada par (a, A) de m. X Mmxn (m.) na

matriz real exA E Mmxn (R.), valem as seguintes propriedades:(I) (ex{j)A = ex ({jA);

(11) (ex + {j)A = exA + (jA;(I1I) ex(A + B) = exA + exB;(N) IA = A;

,~I (\;12'- J2 l' OExemplo --'- Sejam A = (.

O 1 2

Ento:

Proposio 2 - Sejam A = (aij), B = (bjk) e C = (Ckr) matrizes reais m X n,n X p e p X q, respectivamente. Ento A(BC) = (AB)C.

Demonstrao - O tenno geral de A(BC) dado por:

quaisquer que sejam as matrizes A e B e quaisquer que sejam os nmeros reaisex e {j.

Provemos (11).Suponhamos A = (aij). Ento:

(ex + (j) A = ((ex + (j) aij) = (ex aij + (j aij) == (ex aij) + ({j aij) = exA + (jA.

Ex=p~ - S, ~ 20 A ~C~ ~). ,nto .A ~G~ D

(2 3 + 1 O+ O 1

AB =03+10+21

=(6810).2 O 2

24+10+0004+10+20

2.5+1.0+0.1)=O 5+1 0+21

(c) MULTIPLICAO DE MATRIZES (1)

Usando a notao de matriz linha e a de matriz coluna a definio acima significaque

Consideremos a matriz A = (aij) de tipo ~. x n e a matriz B = (bjk) de tipon x p. Oproduto A B(tambm indicado por AB) a matriz m x p cujo termo geral dado por:

n

Cik = L aij . bjk = ail blk + ... + ain bnkj=l )

*

ao passo que o tenno geral de (AB)C dado por:

(2)

As propriedades da adio e da multiplicao de nmeros reais nos ensinam,contudo, que (1) = (2). Ento a proposio est demonstrada. -

(* ) O smbolo ~ uma letra do alfabeto grego, correspondente ao nosso S.

AB=

A (1) B(l)

A (2) B(l)

A (1) B(p)A(2) B(p)

Proposio 3 - Sejam A, B e C matrizes reais m X n, n X p e n X p, respec-tivamente. Ento A(B + C) = AB + AC.

Demonstrao - Usa-se o mesmo tipo de raciocnio da demonstrao an-terior. Fica como exerccio. -

Nota: Analogamente, se A e B so matrizes m X n e C n X p, ento(A + B)C = AC + BC.

20 21

EXERCCIOS RESOLVIOOS

1matrizes de MZx 3(IR). Calcular 3(A - TB) + C.

Soluo

{

X + Z - 2Y = B {X + Z - 2Y = B- - Z + 3Y = A - 2B - - Z + 3Y = A - 2B

- 4Z + 7Y = C - 3B - 5Y = -- 4A + 5B + C.

O O) - (O 5 O) - (O Oe Z = (+ -3 - ~ )

Da: Y = i(4A - 5B - C) = +4

Analogamente, X = (+ O 1)(: : :) B~ (~ : :) , C~(: 2~)A=1. Sejam:

Soluo

1 33(A - TB) + C = 3A - 2"B + C =

3. Dadas as matrizes reais, I X 3, A = (1 O O), B = (O 1 O) e C = (O .O 1), deter,minar as matrizes X, Y e Z de Mlx3 (IR) tais que:

cO :)

nL dkjbji = Skij =1

~' I'I,O2-1+1-1)11+0-1

0-1+1-1

B=

BA ~ (: :)

20+1-1

10"+01

00+1-1(

2-1+1,0

AB= 11+00

01+10

Soluo

Analogamente:

desde que as operaes a indicadas estejam definidas. Provemos (IV) j que as trs pri-meiras so imediatas.

n n

rik = L aijCjk = L bjidkj =j=1 j=1

o que mostra que de fato (AB)t = BtAt.

Soluo

Sejam A = (aij) , At = (bji), B = (Cjk) e Bt = (dkj).Ento bji = aij e dkj = Cjk. Supondo AB = (rik) e BtAt = (ski), temos:

4. Dadas as matrizes A e B abaixo, determinar os produtos AB e BA:

A~0 ~)

O/Dada uma matriz A = (aij) E Mmxn(IR) denomina-se transposta de A e indica-se porAt a seguinte matriz n X m: At = (bji), onde bji = aij (i = I, ... , m;j = 1, ... , n).Valem as seguintes relaes:a) (A+B)t=At+Bt ;b) (a=> X + A = 6X + 6B - 6A - 2C => 5X = 7A - 6B + 2C > X = ; (7A-

- 6B

2. Determinar a matriz X E Mz x 3 (IR) tal que ~ (X + A) = 3 (X + (B - A - C, sendoA, B e C as matrizes do exerccio 1.

22 23

6. Para cada nmero real O< consideremos a matriz:

ou seja, todas as matrizes X de tipo 2 X 2 tais que AX = XA.

(: :)(::) (: :)-(: :)

A=(: :)Soluo'

F~,odo X = (: :) ento (: :) (: : ) =(: :) r

+ z = 1(,.,' 'y+t){:)

2y + t = O

x+z y+ t O x +z =0

Y +t = 1Resolvamos o sistema obtido por escalonamento:{: + z =0 -{" + z =0 -{" + Z =0Y + t == 1 y + t = 1 y + t = 1+ Z = 1 -z = 1 2y + t = O

2y +t=O 2y + t = O -z = 1

-{'+ Z O

-{' + Z O -{' y ,y +t= Y +t= 1 = -1- t = ~2 z = -1 = -1- z t= 2 t= 2

Logo: C: -:)X=

determinar uma matriz X E M2 (IR) de maneira que AX = 12

Logo X = (x Y) onde x e y so nmeros quaisquer.O x-y

EXERCiClOS PROPOSTOS

'I. Dada a matriz

;"'-...

'?mmm .",guiut" :.:(~dr;} B=(: :nMostre queAB = BA. Pode-se concluir da que vlida a propriedade comutativa damultiplicao em M3 (IR)?Explique bem sua resposta.

) {

x+z=x

~ y + t =xO=z

Soluo

Su!"M.mo, X = (: :). Eu"o

AX~XA (: :)(: )(: :)(:

Soluo

_ ( cos a - sen a )Ta -

sen a cos O II

-;.au

/au(O

Logo os conjuntos Ve Mm x n (IR) apresentam uma coincidncia estrutural noque se refere a um par importante de operaes definidas sobre eles. Nada entomais lgico do que estudar simultaneamente V, Mm xn (IR) e todos os conjuntosque apresentem essa mesma "estrutura" anteriormente apontada. isso o que co-mearemos a fazer no pargrafo seguinte.

2. ESPAOS VETORIAIS

Vamos introduzir agora o conceito de espao vetorial. Os espaos vetoriaisconstituem os objetos de estudo da lgebra Linear.

Definio 1 - Dizemos que um conjunto V "* .e um espao vetorial sobreIR quando, e somente quando:

I - Existe uma adio (u, v)~ u + v em V, com as seguintes proprie-dades:

a) u + v = v + u, \,lu, v E V (comutativa);b) u + (v + w) = (u + v) + w, Vu, v, w E V (associativa);c) Existe em V um elemento neutro para essa adio o qual ser simboli-

zado genericamente por o. Ou seja:3 o E V I u + o = u, \lu E V;(*)

d) Para todo elemento u de V existe o oposto; indicaremos por (- u) esseoposto. Assim:

\lu E V, 3 (-u) E V I u + (-u) = 0.(**)

11 - Est definida uma multiplicao de IR X Vem V, o que significa quea cada par (a, u) de IR X V est associado um nico elemento de V que seindica por au, e para essa multiplicao tem-se o seguinte:

a) a({ju) = (amub) (a + {j)u = au + (juc) a(u + v) = au + avd) 1u = u

Prova-se que nico esse elemento neutro (ver exerccio resolvido n'? 1 do 3).Prova-se que nico o oposto de um elemento (ver exerccio resolvido n'? 2 do 3)"

44

para quaisquer u, v de V e a, (j de IR.Nota: De maneira anloga se define espao vetorial sobre ~, conjunto dos

nmeros complexos. Deste captulo at o captulo V, inclusive, toda a teoria dosespaos vetoriais a ser aqui desenvolvida a mesma quer sobre IR quer sobre

. Apenas ressaltaremos que o = (O, O, ... , O), se u = (al' ... , an), ento- u = (- al, ... , - an) e, a ttulo de exemplo, que a prova da propriedade lI-ase faz do seguinte modo: --

. Seja u = (al> ... , an) um elemento de R.n. Dados ento a e {3 em R.,(a + {3)u = ((a + {3)al' , (a + {3)an) = (aal + {3al, ... , aan + {3an) == (aal' ... , aan) + ({3al' , {3an) = au + l3u.

Recomendamos ao leitor que procure justificar cuidadosamente cada pas-sagem desta ltima deduo.

Os matemticos esto de acordo com a seguinte frase: o R.n o espaovetorial mais importante.

6) O espao ~nO conjunto f(t) + g(t) E Pn (lR)(b) a E lR, f(t) E Pn (lR) > af(t) E Pn (lR).Da, lembrando as propriedades das operaes com polinmios, concluir

que Pn (lR) um espao vetorial sobre lR.8) O espao Pn (

I-b: (Xl, YI. Zl) + (XZ, Yz, ZZ) = (Xl + XZ, YI + YZ,zl + ZZ) == (XZ + Xl, yz +Yl. Zz + Z = (XZ, Yz, ZZ) + (Xl. YI. Zl).

I-c: O vetor nulo (O, 0, O).I-d: Para cada u = (x, Y, z) E IR3 , -u = (-X, -Y, -z) o que evidente.

lI-a: ((ab)f)(O = (ab)f(t) = a(bf(t = a((bf)(t = (a(bf))(t), Vt E I.lI-c: (a(f + g(t) = a(f + g)(t) = a(f(t) + g(t = af(t) + ag(t) = (af)(t) +

+ (ag)(t) = (af + ag)(t),Vt E I.

4. Sejam U e V espaos vetoriais sobre IR (ou lC). Mostrar que U X V = {(u, v) I u E U ev E V} um espao vetorial em relao ao seguinte par de operaes:(I) (UI, VI) + (uz, vz) = (UI + uz, vI + vz)

(11) a(u, v) = (au, av).Provemos algumas das condies.

l-b: (UI, VI) + (uz, vz) = (UI + Uz, VI + vz) = (uz + UI, Vz + vI) = (uz, vz) ++ (UI, VI)'

l-c: O vetor nulo neste caso (o, o), onde o primeiro o o vetor nulo de U e o segundo o vetor nulo de V.

O espao vetorial U X V acima def"mido chama-se espao vetorial produto de U e V.

l1-d: I (u, v) = (lu, Iv) = (u, v).

EXERCCIOS PROPOSTOS

Y

(a,b,c)=af + br + ck

(a + c, b + d)1

./ V././ /

./ /././ /

//

/

(C,d)

-->--> ii

-->k

Z

113

x

Nota: Podemos associar a cada vetor (x, y) Ydo IRz o vetor xi + yJdo clculo vetorial,j do conhecimento do leitor. O vetor nulo o par (O, O). As definies dadas de adioe multiplicao por escalares concordamcom as regras usuais para a adio de vetores rplanos e multiplicao de um vetor plano -fl!::-;+;..",,--- _por um nmero. I uf xFato anlogo acontece com o IR3 : podemosassociar a cada (x, Y, z) E IR3 o vetorxi + yJ + zk do clculo vetorial. As defi-nies dadas de adio e multiplicao porescalares esto de acordo com as regraspara a adio de vetores e de multiplicaode um vetor por um nmero real no espaogeomtrico estudado no Clculo Vetorial.

Por ltimo observemos que os elementos do IRz e os do IR3 so de natureza distinta eassim sendo no deve o leitor cometer o engano de dizer que o IRz subconjunto do IR3 Mais adiante ser explicado que o IRz pode, de uma certa maneira, ser consideradoidntico ao subconjunto {(x, Y, O) I x, Y E IR} do IR3 . (Veja Captulo 4, 5, exerccioresolvido n9 11).

3. Seja I um intervalo de IR e indiquemos por C(I) o conjunto das funes contnuas defi-nidas no intervalo I e tomando valores reais. Dados f, g E C(I) e a E IR, definem-sef + g e af do seguinte modo:

f + g*: I~ IR e (f + g)(t) = f(t) + g(t),Vt E Iaf: I~ IR e (aO(t) = af(t), Vt E I.

1. Completar as verificaes nos exerccios I, 2, 3 e 4 anteriores.

2. No conjunto V = {(x, y) Ix, Y E IR} definamos "adio" assim:(Xl, YI) + (xz, yz) = (Xl + XZ, O)

e multiplicao por escalares como no IRz, ou seja, para cada a E IR,

a(x, y) = (ax, ay).Nessas condies V um espao vetorial sobre IR? Por qu?

O Clculo nos ensina que f + g e af so funes contnuas, isto , f + g, af E CCI).Temos ento sobre CO) uma adio e uma multiplicao por escalares. E pode-se verificarqtte C(I) um espao vetorial com relao a esse par de operaes. Verifiquemos algunsdos axiomas.

3. N~ conjunto V do exerccio anterior definamos a "adio" como o fazemos habitual-mente no IRz e a multiplicao por escalares assim:

a(x, y) = (ax, O). ento V um espao vetorial sobre IR? Por qu?

I-a: ((f + g) + h)(t) = (f + g)(t) + h (t) = ([(O + g(t + h (t) = f(t) + (g(t) + h(t == f(t) + (g + h)(t) = (f + (g + h) )(t), V f, g, h E C(I) eVt E I.

I-c: A funo e dada por e(t) = 0, Vt E I, contnua, e, alm disso, (e + O(t) == e(t) + fIO = O+ f(t) = f(t), Vt E I.

Funo de I em IR.

4. Seja V o conjunto dos pares ordenados de nmeros reais. V no um espao vetorialem relao a nenhum dos dois seguintes pares de operaes sobre V:

a) (xI' YI) + (xz, yz) = (xl + xz, YI + Yz) e a(x, y) = (X, ay), eb) (Xl> YI) + (xz, yz) = (Xl' YI) e a(x, y) = (ax, ay).Diga em cada caso quais dos 8 axiomas no se verificam.

48 49

5. Seja V como no exerccio anterior. Definamos:(Xl, Yl) + (X2, Y2) = (2Xl - 2Yb -Xl + Yl),

a(x, y) = (3ay, - ax),Com essas operaes definidas sobre V, perguntamos se este conjunto um espao vetorialsobre R.

6. Seja V = {(x, y) I x, Y E

EXERCCIOS RESOLVIDOS SoluoAlm das propriedades de Pl a P7 , enunciadas e demonstradas acima, podemos ainda

citar:

1. O vetor nulo de um espao vetorial V unico.ProvaH um umco vetor o que satisfaz I-c, pois se 01 goza da mesma propriedade, entoo = o + 01 = 01 + o = 01.

a) 2u + v - 3w = (2,4,2) + (3,1, - 2) - (12,3, O) = (- 7,2, O).1b) Aplicando-se as propriedades j conhecidas vem x = T(v + w - 3u). Fazendo os

clculos obtemos x = (2, - 2, - ;);

c) Do sistema dado obtm-se:

2. Para cada vetor u de um espao vetorial V existe um nico vetor (- u), oposto de u.Prova

Seja UI tal que u + uI = o. Da ento,-u = -u + 0= -u + (u + UI) = (-u + u) + uI = o + uI = uI.

{y- z=v-u

-y + 2z = -v.Adicionando membro a membro estas ltimas equaes obtemos z = - u = (- I, - 2, -1)e, ento, y = z + v - u = (1, - 3, - 4).

3. Para cada u E V, tem-se - (-u) = u.ProvaO axioma I-a diz que (-u) + u = u + (-u) == o. Logo u o oposto de -u.

4. Se u, v e w E V' eu + v = u + w, ento v = w (lei do cuncchuncnto da adio).Prova

Somemos - u igualdade que consta da hiptese:

EXERCCIOS PROPOSTOS1. No espao vetorial M3x2 (R), consideremos os vetores:

A =(~~) B =(~ ~) e C =(/~ ~).O O 1 1 O -1

a) Calcular 2A + B - 3C;

Calcular X E M3x2 (R) tal que A + X _ X - B = C'2 3 'Existem tl, t2 E R de maneira que A = tlB + t2 C?

b)

c)

(l-u)(l-d)(l-c)

(- u) + (u + v) = (- u) + (u + w)- u) + u) + v = - u) + u) + w

o+v=o+w

v=w

5. Se u, w E V, ento existe um nico vetor v tal que u + v = w.Prova

Inicialmente verifica-se que w + (- u) satisfaz a equao dada. De fato: u + (w + (- u == u + -u) + w) = (u + (-u)) + w = o + w = w. Por outro ludo, somando (-u)ambos os membros da equao, vem: (- u) + (u + v) = (- u) + w. Da{ -- u) + u) + v ==w + (-u). Logo v = w + (-u).

6. Consideremos no espao vetorial IR? os vetores u = (I, 2,1), v = (3,1, - 2) c w = (4,1, O).a) Calcular 2u + v - 3w;b) Resolver a equao 3u + 2x = v + w;c) Resolver o sistema de equaes

u+y=v+zv+2z=y

nas incgnitas y, z E IR3.

2. Seja u = (l + i, i), v = (1 - i, 2i) e w = (2, 3 + i) vetores no espao vetorial ([;2.a) Calcular (3 + i)u - 'iv - (2 - i)w;b) Existe z E

b) Resolver o seguinte sistema de equaes:

{

X+ Y + z=u2x -y + z = v

x+y-2z=w

nas incgnitas x, y, Z E lR2 .

4. SUB-ESPAOS VETORIAISDefinio 2 - Seja V um espao vetorial sobre R. Um sub-espao vetorial

de V um subconjunto W C V, tal que:(a) o E W;(b) V u, v E W, u + v E W; e(c) V(X E R e Vu E W, (xu E W.Notemos que (b) significa que a adio de V, restrita a W, uma adio

em W. O significado de (c) que est defrnida uma multiplicao de R X Wem W. Mas ser W, nessas condies, um espao vetorial sobre R?

Proposio 1 - Se W um sub-espao vetorial de V, ento W tambm um espao vetorial sobre R.

Demonstrao - A rigor temos oito itens a provar (ver definio de espaovetorial). Contudo mostraremos apenas que:

uEW=> -uEWuma vez que os demais itens decorrem sem artifcios das hipteses.

Mas isso fcil: s fazer em (c) (X = - 1. Exemplos1) Para todo espao vetorial V imediato que {o} e V so sub-espaos de V.

So os chamados sub-espaos imprprios ou triviais.

2) W = {(x, Y, z) E lR3 I x + Y = O} sub-espa de R 3 (a) o = (O, 0, O) E W (por qu?);(b) se u = (Xl, YI, Zl) e v = (X2' Y2, Z2) esto em W, ento Xl + YI =

= X2 + Y2 = O. Como u + v = (Xl + X2, YI + Y2' Zl + Z2) e (Xl + X2) ++ (YI + Y2) = (Xl + YI) + (X2 + Y2) = + O = 0, ento u + v E W.

(c) Exerccio.

54

I3) A interseco de dois sub-espaos vetoriais do mesmo espao V tam-

bm um sub-espao vetorial de V.Sejam W e U esses sub-espaos.

(a) o E U e o E W. Logo o E U () W.(b) Exerccio.(c) Tomemos (X E lR e u E U () W. Como u E U e u E W (que so

sub-espaos), ento (xu E U e (xu E W. Logo (xu E U () W.

4) Consideremos um sistema linear homogneo sobre R de tipo m X n:

!aUxI + al2x2 + ... + alnXn =

~~1.~1..~ .~~~~ .~.'.'.'.~. ~~~~~.~.~amlXl + am2 X2 + ... + amnxn =

J vimos, o que bvio, que (O, 0, ... , O) soluo desse sistema. Por outrolado fcil verificar que a soma' de duas solues de S soluo de S e que oproduto de uma soluo de S por um nmero real tambm soluo desse sistema.Verifiquemos a ltima afirmao. Se ({31' (32' ... , (3n) soluo, verdadeira afrase ajl{31 + aj2{32 + ... + ajn{3n = 0, V j, 1 .,;;; j .,;;; m. Logo, para todo kElR,tambm verdadeira a frase

k(ajl{31 + aj2{32 + ... + ajn{3n) = que equivalente a

3jl (k{31) + aj2 (k{32) + ... + ajn (k{3n) = Esta ltima nos mostra que (k{31' k{32' ... , k{3n) tambm soluo do sistemaconsiderado.

O conjunto soluo de um sistema homogneo chamado espao soluodesse sistema. Trata-se de um sub-espao vetorial do IRn.

5) Ps(lR) sub-espao de Pn(lR) desde que .,;;; s .,;;; n (exerccio);6) O conjunto das matrizes simtricas um sub-espao vetorial de Mn(lR).

7) Se V um espao vetorial e v E V, o conjunto dos vetores da forma . v,com . E IR, um sub-espao de V.

55

Seja V um espao vetorial sobre IR. Tomemos um subconjunto S = {U1, ... ,un} C V. Indiquemos por [S] o seguinte subconjunto de V construdo a partirde S:

u + v = (u + w) + (v - w).Devido unicidade que a hiptese menciona podemos afIrmar que:

u = u + w e v = v - w.

[S] = {a1 U1 + ... + anun I a1, ... , an E IR} fcil ver que [S] um sub-espao vetorial de V. De fato:(a) Como o = OU1 + + Oun, ento o E S.(b) Se v = a1U1 + + anun e w = 131U1 + ... + I3nUn pertencem a

S, entov + w = (a1 + 131)U1 + ... + (an + I3n)un

tambm um elemento de S.(c) Exerccio.Defmio 5 - O sub-espao [S] que acabamos de construir recebe o nome

de sub-espao gerado por S. Cada elemento de [S] uma combinao linear de Sou combinao linear de U1 , ... , un. Ao invs de [S] tambm costuma-se escrever:

[U1, U2, ... , un].Diz-se tambm que U1, ... , un geram [S], ou ento que so um sistema de gera-dores de [S].

y

v=

l'

z

x

u

Logo w = o. Provamos pois que U fi V = {o}. -Exemplo - O espao IR3 soma

direta dos sub-espaos:U = {(x, O, O) I x E IR} eV = {(O, Y, z) I Y, z E IR}. imediato que:

U fi V = {(O, O, O)};por outro lado, V- (x, y, z) E IR3 ,(x, y, z) = (x, O, O) + (O,y, z) E U +V.

6. COMBINAES LINEARES

5. SOMAS DE SUB-ESPAOS

Proposio 2 - Se U e V so sub-espaos vetoriais de W, ento U + Vtambm um sub-espao vetorial de W.Demonstrao

(a) Como o = o + o, o E U e o E V, ento o E U + V.(b) Sejam W1 = U1 + V1 e W2 = 2 + V2 elementos de U + V, onde estamos

supondo U1, U2 EU e vi> V2 E V. Ento:W1 + W2 = (U1 + V1) + (U2 + V2) = (U1 + U2) + (V1 + V2).

Como U1 + U2 e V1 + V2 pertencem a U e V" respectivamente, ento W1 + W2 EEU+V.

(c) Exerccio.-DefInio 4 - Sejam U e V sub-espaos vetoriais de W tais que U fi V =

{o}. Neste caso diz-se que U + V soma direta dos sub-espaos U e V.Notao: U $ V.

Se U e V so sub-espaos de W tais que U $ V = W dizemos que U e Vso suplementares ou que U suplementar de V (ou V suplementar de U).

Proposio 3 - Sejam U e V sub-espaos vetoriais de um espao vetorial W.Ento W = U $ V se, e somente se, cada vetor w E W admite uma nica decom-posio w = u + v, com u E U e v E V.Demonstrao

(= Por hiptese a decomposio existe. Suponhamos w = u + v == U1 + V1 (u, U1 E U e v, V1 E V). Da u - U1 = V1 - v. Como V1 - v E V(pois ambos os termos esto em V), ento u - U1 E U fi V = {o}. Logo u - U1 =0e ento u = U1' Levando em conta isto conclui-se que V1 - v = o e portantoque V1 = V.

=) Suponhamos que w E U fi V. Tomando ento u E U e v E V,teremos:

Sejam U e V sub-espaos vetoriais de um espao vetorial W.Definio 3 - Indicaremos por U + V e chamaremos de soma de U com V

o seguinte subconjunto de W:U + V = {u + v I u E U e v E V}.

Nota: claro que U + V = V + U e que U + {o} = U, para todos ossub-espaos U ,e V de W. Tambm verdade que

U C U + V e V C U + V.

56 57

Notas:

1) Estenderemos a definio acima para o caso S = JJ mediante a seguinteconveno: [e] = {O}.

2) No caso de S C V ser um conjunto inftnito, definimos [S] atravs daseguinte frase:

u E [S] =3 vI> ... , Vt E S e=3 aI> ... , at E lR I u = aIvI + ... + atvt.

Da definio 5 e. de suas ampliaes, dadas acima, decorrem as seguintespropriedades que deixamos ao leitor como exerccios:

a) se [S]b) SI C S2 C V==.;> [SI] C [S2]c) [S] = [[S]]d) Se SI e S2 so subconjuntos de V, ento:

[SI U S2] = [sd + [S2]'

7. ESPAOS VETORIAIS FINITAMENTE GERADOS

Observemos no n~.3 o conjuntoS = {(1, O, O), (O, 1, O), (O, O, 1)}.

Como, para todo (a, b, c) E lR3 , vale a igualdade:(a, b, c) = a(l, O, O) + b(O, 1, O) + c(O, 0, 1)

podemos dizer que os vetores de S geram o lR3 Muitos outros subconjuntosfinitos do lR3 tm essa mesma propriedade, o que no difcil de notar.

Definio 6 - Dizemos que um espao vetorial V finitamente gerado seexiste S C V, S finito, de maneira que V = [S].

Neste texto praticamente s focalizaremos espaos vetoriais que, como olR3 , possam ser gerados por um nmero finito dos seus vetores.

Salvo meno contrria somente consideraremos este tipo de espao vetorial.

Ressalte-se que f = (1, 0, O), J = (O, 1, O) e k = (0,0, 1) desde que setenham identificado V e lR3

Exemplo - Se V = lR3 , U = (1, O, O) e v = (1,1, O) o que lu, v]?lu, v] = {au + {3v I a, {3 E lR} = {(a + {3, (3, O) I a, {3 E lR} =

= {(x, y, O) I x, Y E lR} uma vez que o sistema

{a+{3=x

(3=y compatvel determinado, V-x, y E lR.

Graficamente:

Exemplos1) O espao V dos vetores da geo-

metria definidos por segmentos orientados finitamente gerado pois considerandoa terna fundamental {t, j, [} paratodo ti E V, existem a, b, c E lR, de ma-

o -+""""+ b""""+ '+kneira que u = ai ~ c.

......

k

-7I

.,.,.

J

z

58

2) Se o indica o vetor nulo de um espao vetorial qualquer, ento V = {o} finitamente gerado pois, fazendo S = {o}, vale V = [S].

59

4) R n fmitamente gerado. Com efeito, generalizando o raciocnio feitoao incio do pargrafo verifica-se que o conjunto

8 = {(I, O, ... , O), (O, 1, O, . " , O), ... , (O, ... , O, I)}verifica a igualdade IRn = [8], ou seja, que 8 gera o IRn. Convm notar que oconjunto 8 formado de n elementos.

2. Mostrar que o conjunto W = (ex, y) E IR2 IY = O} um sub-espao vetorial do IR2.

(a) (O, O) E W.(b) Sejam u = (Xl, O) e v = (x2, O) em W; da u + v = (Xl + X2, O), donde u + v E W.(c) Sejam u = (x, O) em W e a em R; ento au = (ax, O), donde au E W.

Outra maneira de resolver: observar que W gerado por (1, O).

Y2) elementos de W. Ento:t2(

X2e v =

Z2

3. Mostrar que sub-espao de M2(1R) o seguinte sub-conjunto:

W ={C :) E M2 (R) I Y =-x}-(a)(: :) E W;(b) Sejam u = (Xl Yl)

Zl tl

8 =1(~.. ~....~) (~.. ~ ~), , (~.. ~ ~))00 ... 0 00 0 00 1

5) Mmxn (IR) finitamente gerado. Verifique que as m n matrizes doconjunto

geram o Mmxn (IR), generalizando a decomposio feita no exemplo 3 acima.

Yl + Y2)tl + t2

(ax ay)az atu~ (: :) =W,.E"D.{.u~

Como ay = a(- X) = - (ax), ento au E W.

Como Yl + Y2 = (-Xl) + (-X2) = -(Xl + X2), ento u + v E W.(c) Sejam:

6) Pn (IR) finitamente gerado. Os polinmios fo , f l , ... , fn dados porfo(t) = 1, fl(t) = t, ... , fn(t) = t n , Vt E IR, so geradores de Pn(lR) uma vezque se f(t) = ao + al t + ... + antn um elemento de Pn (IR), ento

f = aofo + alfl + ... + anfn.Observe que {fo, f1> ... , fn} possui n + 1 polinlnios.

Nota: No apndice 11, logo a seguir, daremos um exemplo de espao vetorialque no finitamente gerado.

......

u

EXERCCIOS RESOLVIDOS1. Seja V o conjunto dos vetores geomtricos do espao. Sendo li um vetor fixo

espao, mostrar que W = {ali I a E R} um sub-espao vetorial de V.Soluo W(a) E W: basta considerar a = O.(b) Sendo v = ali e iN = {31i em W, ento1 + iN = ali + {3u = (a + {3)Ii, logo1 + iN E W.

...,. ...,. ...,.(c) Sejam v = au e E R; ento V= (au) = (a)Ii, logo VE W.

desse

4. Seja I um intervalo real e consideremos o espao vetorial C(I) das funes reais contnuasdefinidas em L Mostrar que o subconjunto W de C(I) constitudo das funes que soderivveis em todos os pontos de I um sub-espao vetorial de C(I).SoluoO clculo nos ensina que a funo nula derivvel, que a soma de duas funes derivveis derivvel e que o produto de uma funo derivvel por um nmero uma funo deri-vvel.

5. Mostrar que so sub-espaos vetoriais de Mn (IR) os seguintes subconjuntos:

a) U = {A E Mn (IR) I At = A}b) V = {A E Mn (R) I AT = TA} onde T uma matriz dada de Mn (R).

60 61

Soluoa) (a) A transposta da matriz nula a prpria matriz nula.

(b) Sejam A, B E U. Como (A + B)t = At + Bt = A + B, ento A + B E U.(c) Sejam AEU e a E IR. Do fato de (aA)t = aAt = aA segue que aA EU.

Soluou = (x, y, z) E U n V < > u E U e u E V x + y = Oe x = O x = y = O. Logo U n V = {(O, O, z) I z E IR}, que gerado pelovetor (O, O, 1).

10. So sub-espaos vetoriais de C(l) os seguintes subconjuntos:U = {f E C(l) I f(t) = f(- t), Vt E IR} eV = {f E C(l) I f(t) = -f(-t), Vt E IR}

Mostrar que C(n = U Ea V.Soluo(a) Toda funo real f definida em I pode ser assim decomposta: f(t) = g(t) + h(t),

Vt E I, onde

b) (a) A matriz nula comuta com todas as matrizes.(b) Sejam A, B E V. Ento AT = TA e BT = TB. Da (AB)T = A(BT) = A(TB) =

= (AT)B = (TA)B = T(AB).(c) Sejam A E V e a E IR. Ento (aA)T = a(AT) = a(TA) = T(aA).

6. Provar que se S e T so sub-espaos vetoriais de um espao V, ento S + T = [S U Tl.SoluoComo S + T :) S e S + T :) T, ento S + T :) S U T. Da S + T :) [S U TI. Por outrola.do, se u E S + T, ento u = s + t (com sE S e tE T). Como, ento, s c t pertencem aS U T, podemos afirmar que u = s + tE [S U Tl. Logo S + T c [S u Tl. g(t) = f(t) + f( - t)

2e h(t) = f(t) - f(- t)

27. Achar um conjunto de geradores (sistema de geradores) dos seguintes sub-espaos de IR4 :

a) U = {(x, y, z, t) E IR4 I x - y - z + t = O};b) V = (ex, y, z, t) E IR4 I x - y = z + t = O}.Soluoa) (x, y, z, t) E U se, e somente se, x - y - z + t = O, isto , se, e somente se, x =

= y + z - t. Logo (x, y,.z, t) E U equivale a (x, y, z, t) = (y + Z - t, y, z, t)= y(l, 1, O, O) + z(l, O, 1, O) + t(-l, O, 0,1). Assim:

{(l, 1, O, O), (1, O, 1, O), (- 1, O, O, I)} um conjunto de geradores de U.

b) De maneira anloga chega-se a que (1, 1, O, O), (O, O, 1, - 1) um sistema degeradores de V.

8. Consideremos no IR3 os seguintes sub-espaos vetoriais:U = [(1, O, O), (1, 1, 1) e V = (O, 1, O), (O, O, 1).

Determinar um sistema de geradores de U n V.SoluoW E U n V w E U, W E V 3 a, fi, 1', ti E IR tais que:

a(l, O, O) + (3(1, 1, 1) = 1'(0, 1, O) + ti (O, O, 1)ou ainda que:

a + fi = O, (3 - l' = O, fi - ti = O. Da a = - fi, l' = fi e ti = fi.Donde w = - fi(l, O, O) + fi(l, 1, 1) = fiCO, 1, 1). Ento U n V = (O, 1, 1)1.

9. Dados os sub-espaos U = {(x, y, z) E IR3 I x + Y = O} e V = {(x, y, z) E IR3 I x = O}do IR3 , determinar o sub-espao U n V.

62

Como

g(-t) = f(-t) + f(t) = g(t) e h(-t) = f(-t) - f(t) = -h(t),2 2ento g E U e h E V. Portanto C(n = U + V.

(b) Se f E U n V, ento f(t) = f(- t)e f(t) = - f(- t), Vt E L Logo 2f(t) = O, Vt E LDonde f a funo nula. Assim ento U n V s contm a funo nula f(t) = O, Vt E L

EXERCCIOS PROPOSTOS1. Quais dos seguintes conjuntos W abaixo so sub-espaos do IR3 ?

(a) W = {(x, y, z) E IR3 I x = O}(b) W = {(x, y, z) E IR3 I x E Z}(c) W = {(x, y, i) E IR3 I y irracional}(d) W = {(x, y, z) E IR3 I x - 3z = O}(e) W = {(x, y, z) E IR3 I ax + by + cz = O, com a, b, c E IR}

2. Quais dos conjuntos abaixo so sub-espaos do espao P(IR) de todos os polinmiosreais? (Leia o apndice lI).(a) W = {f(t) E P (R) I f(t) tem grau maior que 2}(b) W = {f(t) I f(O) = 2f(1)}(c) W = {f(t) I f(t) > O, Vt E IR}.(d) W = {f(t) I f(t) + f'(t) = O}

63

L*3. Verificar que no so. sub-espaos vetoriais do IR?:(a) {(x, y, z) E IR3 I X = l}(b) {(X,y,Z)EIR3 Ix2 +y+z=0}(C) {(x, y, z) E IR3 I X E;; Y E;; z}(d) {(x, y, z) E IR3 I x + Y E Q}Em cada caso quais axiomas no se verificam? (Q o conjunto dos nmeros racionais.)

*4. Seja I = [O, 11. Verificar se so sub-espaos vetoriais de C (I) (veja exerccio resolvidon94):(a) {f E C(I) I f(O) = O}

(b) {f E C(I) I .1: f(t)dt = O}(c) {f E C(I) I f(O) = fel)}(d) {f E C(I) I f(t) = O em todos os pontos de I menos um nmero finito deles}.

*5. Seja V um espao vetorial. Se (Vj)j E J uma famlia de sub-espaos vetoriais de V,mostrar que~ Vj tambm um sub-espao vetorial de V.

*6. Seja V um espao vetorial. Dado um subconjunto S * \\ de V, provar que a intersecode todos os sub-espaos vetoriais de V que contm S tambm um sub-espao vetorialde V, sendo o menor sub-espao de V que contm S.

7. Sejam V, V e W os seguintes sub-espaos do IR3:V = {(x, y, z) I x = z},V = {(x, y, z) I x = y = O} eW = {(x, y, z) I x + y + z = O}.

Verifique que V + V = IR3, V + W = IR3 e V + W = IR3. Em algum dos casos a soma direta?

8. Mostrar que os polinmios 1 - t, (1 - t)2, (1 - t)3 e 1 geram P3(IR).

9. Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes sub-espaos do IR3:a) V = {(x, y, z) I x - 2y = O}b) V = {(x, y, z) I x + z = O e x - 2y = O}c) W = {(x, y, z) I x + 2y - 3z = O}d) V n Ve) V + W.

10. Sejam V e V sub-espaos vetoriais do espao W. Provar que:a) V C V-> V + V = V;b) V c V . > V n V = V;

64

*11.

12.

*13.

14.

15.

16.

*17.

18.

19.

*20.

*21.

22.

23.

c) V + V = V > V ::J V;d) V n V = V-> V c V.

Sejam u e v dois vetores no nulos do IR2. Se no existe nenhum t E IR tal que u = tv,mostrar que IR2 soma direta dos sub-espaos [uI e [vI.

Verificar se as seguintes matrizes geram o espao vetorial M2 (IR):(: ~), (~ ~), (~ ~), (~ :)Se V, V e W so sub-espaos vetoriais do mesmo espao, mostrar que (V n V) ++ (V n W) c V n (V + W). Descubra um exemplo para o qual o primeiro membro des-sa relao diferente do segundo e um exemplo onde ocorre igualdade.

Mostrar que os nmeros complexos 2 + 3i e 1 - 2i geram o espao vetorial CC sobre IR.

Mostrar que sub-espao de Mn(IR) o subconjunto formado pelas matrizes anti-sim-tricas. Mostrar tambm que Mn(IR) soma direta dos subespaos das matrizes sim-tricas e das anti-simtricas.

Mostrar que os dois conjuntos {(I, -1, 2), (3, O, I)} e {(-I, - 2,3), (3,3, -4)}geram o mesmo sub-espao vetorial do IR3.

Mostrar com um exemplo que se V, V e W so sub-espaos vetoriais do mesmo espao,e se valem as relaes V n V = V n We V + V = V + W, no se tem necessaria-mente V = W.

Mostrar com um exemplo que a unio de dois sub-espaos vetoriais de um mesmo espa-o vetorial no precisa ser um sub-espao vetorial desse espao.

Mostrar que a unio de sub-espaos vetoriais do mesmo espao tambm um sub--espao se, e somente se, um dos sub-espaos dados est contido no outro.

Considere os seguintes vetores do IR3:(_I, O, 1) e (3, 4, -.2). Determinar um sistemade equaes homogneas para o qual o espao soluo seja exatamente o sub-espaogerado por eSses vetores.

Repita o exerccio 20 com os vetores (1, O, 1, 2), (O, O, 1, O) do IR4.

(a) Determinar um suplementar do seguinte sub-espao do IR3: {(x, y, z) I x - y = O}(b) Mesmo exerccio com o sub-espao:

{(x, y, z, t) E IR4 I x - y = z - t = O} do IR4.

Mostrar que os dois conjuntos abaixo formados de funes contnuas reais definidasem IR geram o mesmo sub-espao vetorial de C (IR):

{sen2 t, cos2 t, sen t cos t} e {I, sen 2t, cos 2t}

65

*24. Sejam U, V e W sub-espaos vetoriais do mesmo espao para os quais valem o,seguinte:U n (V + W) = V n W = {o}. Provar que se u + v + w = o (vetor nulo), comu E U, v E V e w E W, ento u = v = w = o.

*25. Mostrar que o espao vetorial R oo (exerccio proposto 7 - 2) no finitamente gerado.Sugesto: raciocinar como ser feito no apndice lI.

CAPTULO 3Base e Dimenso

Lembremos o seguinte fato relacionado com o espao dos vetores da geo-metria, defInidos por meio de segmentos orientados: se considerarmos um sistemade coordenadas ortogonais, de origem 0, e se chamarmos de 1", 1 e lt os trsvetores unitrios com os sentidos dos eixos x, y e z, respectivamente, ento cadavetor P admite uma nica representao 6P = a1"+ b1+ clt, onde a, b e c soas coordenadas de P, em relao ao sistema considerado.

z p

APNDICE 11Exemplo de Espao que no Finitamente Gerado

Indiquemos por P(lR) o conjunto de todos os polinmios reais. O leitor,lembrando a operao adio de polinmios e a operao multiplicao de umpolinmio por um nmero, concluir que P(lR), com esse par de operaes, umespao vetorial sobre lR.

Mas P(IR) no fInitamente gerado.Com efeito, dado S = {fl , ... , fn} e P(IR), supondo que cada fi seja no

nulo e que fn seja o polinmio de maior grau de S, ento o grau de qualquercombinao linear

alfl + ... + anfn

no ultrapassa o grau de fn. Assim [S] s contm polinmios de grau menor queou igual ao de fn. Como porm P(IR) compreende todos os polinmios reais,existem neste espao polinmios de grau maior que o de fn. Logo [S] *' P(IR),para todo conjunto fInito se P(IR).

66

x

Nosso objetivo principal, neste captulo, mostrar que em todo espaovetorial finitamente gerdo V eXiste um subconjunto finito B tal que todo ele-mento de V combinao 'linear, de uma nica maneira, desse subconjunto. E quetodos os outros subconjuntos de V que tm tambm essa propriedade (sempre os h)possuem o mesmo nmero de elementos que B.

Da sair ento o conceito de "dimenso".

1. DEPENDNCIA LINEARSeja V um espao vetorial sobre IR.Definio 1 - Dizemos que um conjunto L = {Ul' ~, ... , un} e V

linearmente independente (L.I.) se, e somente se, uma igualdade do tipoal Ul + . . . + anun = o

com os ai em IR, s6 for possvel para al = ... = an = O.

67

Definio 2 - Dizemos que L = {Ul, ... , un } C V lineannente depen-dente (L.D.) se, e somente se, L no L.I., ou seja, possvel uma igualdadedo tipo

alul + ... + anun = Osem que os escalares ai sejam todos iguais ao nmero zero.

Portanto:

{

X + Y + 3z = Ox + 4y + 6z = O

5y + 5z = OEscalonando o sistema, vem:

Da, a nica soluo a trivial, e o conjunto linearmente independente.

Esse sistema admite outras solues alm da trivial; da o conjunto linearmente depen-dente. Como x=:- 2, y =: - 1 e z =: 1 uma soluo no trivial temos - 2(1, 1, O) -- (1, 4, 5) + (3, 6, 5) =: (O, O, O). Esta uma relao de dependncia entre os 3 ve-tores dados.

c) x(1, 2, 1) + y(2, 4, 2) + z(5, 10, 5) = (O, O, O) >

{

X + 2y + 5z = O-> 2x + 4y + 10z = O

X + 2y + 5z = O

b) x(l, 2, 3) + y(l, 4, 9) + z(1, 8, 27) = (O, O, O)->

_>{2: :4;: 8:: ~3x + 9y + 27z = O

_{X + Y + 3z = Oy + z = O

{X+ Y + z = O {X + Y + z = O

- y + 3z = O - y + 3z = Oy + 4z = O z = O

{

X + Y + 3z = O3y + 3z = O5y + 5z = O

{

X + Y + z = O2y + 6z = O6y + 24z = O

Escalonando o sistema, vem:

Exemplos1) O conjunto L = {(I, 1,0, O); (0,2, 1, O); (O, 0, 0, 3)} C R 4 L.I. pois:x(l, 1, 0, O) + y(O, 2, 1,0 z(O, 0, 0, 3) = (O, 0, 0, O) _>

>1:+ 2y : ~ x=y=z=Oy = 3z = 2) O conjunto L = {(l, 1,0, O), (O, 1,0, O), (2, 1,0, O)} C]R4 L.D. pois:x(1, 1, 0, O) + y(O, 1, 0, O) + z(2, 1, 0, O) =(0, 0, 0, O) >

{X + 2z = {x + 2z = :::::=> :::::=>x+y+ z=O y- z=o

Sendo indeterminado o sistema obtido, ento h outras solues, alm datrivial, para a igualdade condicional de que partimos.

Nota: Convencionaremos que o conjunto vazio (~C V) L.I. Como para um sub-conjunto L C V deve valer uma, e uma s, das duas definies anteriores e a segun-da destas pressupe elementos em L, fica justificada esta conveno.

EXERCCIOS RESOLvmos1. Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores do espao vetoril IR3 , so linearmente

independentes.a) {(I, 1, O), (1,4,5), (3, 6, 5)}b) {(I, 2, 3), (1,4, 9), (1, 8, 27)}c) {(I, 2, 1), (2,4,2), (5, 1O,5)}Soluoa) Faamos: x(l, 1, O) + y(l, 4, 5) + z(3, 6, 5) = (O, O, O).

Escalonando o sistema, vem: X + 2y + 5z = O e o sistema indeterminado, isto , almda soluo trivial admite outras solues; portanto o conjunto linearmente dependente.Achar uma relao de dependncia entre os 3 vetores.

2. Se u, v e w so vetores de um espao vetorial V tais que u E Iwl e v E Iwl, mostrar que{u, v} linearmente dependente.SoluoOs vetores u e v so da forma u = W e v = OIW, com , 0/ E IR. O caso 0/ = = O trivial pois ento u = v = o e basta ver que lu + Iv = o. Supondo por exemplo '* O,ento V - O/U = {OIW) - O/(w) = (O/ - O/)w = Ow = o; logo {u, v} L.D.

68 69

L

3. Consideremos, no espao vetorial IR2, osvetores:u = (1 - 01,1 + a)ev = (l + 01,1 - a)onde a * O. Mostrar que {u, v} LJ.

Soluo I'

SoluoPara que o conjunto seja L.I. necessrio e suficiente que:

x(1, O, a) + y(1, 1, a) + z(l, 1, 012) = (O, O, O) (1)

Seja X(l - 01,1 + a) + y(l + a, 1 - a) = (O, O) s se verifique para x = y = z = O. Ora de (l), vem:

ou, o que equivalente,

{(1 - a)x + (1 + a)y = O(1 + a)x + (1 - a)y = O

Esse sistema linear e homogneo no deve ter solues diferentes da trivial, para o que necessrio e suficiente que a matriz: {

x+y+z=Oy+z=O

(012 - a)z = O

(l-a

1+011 +01)l-a Como a * Oe a * 1 ento 01 2 - a * O, o que acarreta z Oe da vem y = Oe x = O.

(1)

seja inversvel, isto , que o sistema seja de Cramer. Como a foi tomado no nulo estamatriz inversvel e da {u, v} L.I.

4. Mostrar que o conjunto de vetores {I, x, x2, 2 + x + 2x2} de P3 (IR) L.D. e que qual-quer subconjunto de trs elementos dele L.I.SoluoSe fIzermos aI + (3x + 'Yx2 + 0(2 + x + 2x2) = O

6. Mostrar que se o conjunto {u, v, w} de vetores de um espao vetorial V for L.I., o mesmoacontecer com o conjunto {u + v, u + w, v + w}SoluoCom efeito, faamos:

x(u + v) + y(u + w) + z(v + w) = oDa, segue:

(o zero do segundo membro de (1) o polinmio identicamente nulo), vir:a + 20 + (3 + o)x + ('1 + 20)x2 = O.

(x + y)u + (x + z)v + (y + z)w = oMas o conjunto {u, v, w} L.I. Ento:

= O

_{X + ~ _ z: ~2z = O

{

Xx + Y+z=O

y+z=O

{

X+ Y =0

-y+. z=oy+z=O

e o sistema s admite a soluo trivial x = y = z = O.Logo, o conjunto {u + v, u + w, v + w} L.I.

Escalonando o sistema, vem:

o sistema admite outras solues, alm da trivial, o que nos leva a concluir que o con-junto L.D.Um subconjunto qualquer do conjunto dado, por exemplo {I, x, x2} L.I.; de fato,aI + (3x + 'Yx2 = O, implica a = (3 = '1 = O pelo princpio de identidade de polinmios.Nos 3 demais casos procede-se do mesmo modo.

{

a + 20 = O(3 + o = O'1 + 20 = O

Pelo princpio de identidade de polinmios, teremos:

5. Mostrar que o conjunto {(1, O, a), (1,1,01),(1,1, a2)} de vetores do IR3 L.I., desde quea*Oea*1.

7. Mostrar que o conjunto de vetores {(l - i, O, (2, - 1 + O} de~2 L.D. sobre ~ mas L.I.sobre IR.

70 71

L

Soluo

No primeiro caso, devemos mostrar que existem zl' Z2 E lI!+{3+'Y=O

*5. Demonstrar que L.I. o conjunto{I, (x - a), (x - a)2, ... , (x _ a)n-l}

de vetores de Pn- l (IR), onde a um nmero arbitrrio.

Escalonando, vem:

x=1T"2 > -'1=0 * 6. Mostrar que o subconjunto {Xl' X2' ... ,xn} de vetores de um espao vetorial V L.D. se,e somente se, existe um inteir k (1 .;; k .;; n) tal que Xk combinao linear dos de-

mais vetores do conjunto.

{

lI!- {3+ '1=02{3 = O

13 + 2'1 = O

Da li! = 13 = '1 = O e o conjunto L.I.

9. Mostrar que o conjunto {I, sen2 x, cos 2 x} de vetores de C( [- 1T, 1Tl) L.D.SoluoBasta lembrar que sen2 x + cos2 x-I = O.

72

7. Determinar m e n para que os conjuntos de vetores do IR3 dados abaixo sejam L.I.a) {(3, 5m, 1), (2, 0,4), (l, m, 3)}b) {(1, 3, 5), (2, m + 1, lO)}c) {(6, 2, n), (3, m + n, m - I)}

8. Seja {u, v, w} um conjunto L.I. de vetores de um espao vetorial V. Provar que oconjunto {u + v - 3w, u + 3v - w, v + w} L.D.

9. Quais dos seguintes subconjuntos do C3 so L.I. sobre C?(a) {(i, 1, O), (l + i, 2, O), (3, 1, O)}(b) {(i, 1, O), (O, 1, O, (O, i, O}(c) {(i, 1, O), (2 + i, 3i, 5 - O, (2,4 + 4i, 4 - 60}

10. Suponha que {Vl' ... ,Nn} um subconjunto L.I. de um espao vetorial. Mostrar que{alv1 , .. ,anvn} tambm L.I., desde que os escalares ai sejam todos no nulos.

73

*11. Suponha que {Uh' .. , Ur, Vl, ... , vs} um subconjunto L.I. de um espao V. Mostrarque

Suponhamos (Xl *" O. Ento existe o inversc:fde&l e multiplicando a igual-dade acima por este inversojeremos:

Ul + ((XI-ICXz)~ + ... + ((Xl- l (Xn)Un = o.Da

*12. Se {UI' ... , ui, ... , Uj, ... , un} L.I., mostrar que

{Ui> ... , ui> ... , Uj + o

Sendo a '* podemos multiplicar a igualdade (1) por a- l e teremos:(a-lal)Ul + ... + (a-lan)Un + U = o

ou aindau = (-a-lal)Ul + ... + (-a-lan)un

igualdade que nos mostra que U E [S].

P7 Se S = {Ul' ... , Uj, ... , un} e Uj E [S - {Uj}] (isto , Uj combinaolinear dos demais vetores de S), ento

[S] = [S - {Uj}].Prova - Faremos a prova supondo j = loque nada tira em generalidde. bvio que [S - {ud] C [S], pois S - {ud C S.Por outro lado, dado um vetor u E [S], ento:

u = alul + ... + anun (ai E IR). (1)Como porm o vetor Ul est em [S - {ud], por hiptese, ento:

Ul = 13211:2 + ... + 13nun' (2)Substituindo (2) em (1) iremos obter

u = al (13211:2 + ... + 13nun) + a211:2 + ... + a nunDa

u = (al132 + ~)11:2 + ... + (al13n + an)uno que prova que UE [S - {Ul} ] e conseqentemente que [S] C [S - {Ul}]' Exemplo - Observe no IR4 o seguinte sub-espao

S = [(1, 1, 0, O), (O, 1,0, 2}, (O, 0, 1, O), (O, 2, -1,4)]." fcil perceber a seguinte relao

2(0, 1, 0, 2) - (O, 0, 1, O) = (O, 2, -1, 4).

A propriedade acima nos garante, ento, queS = [(1, 1, 0, O), (O, 1, 0, 2), (O, 0, 1, O)].

3. BASE DE UM ESPAO VETORIAL FINITAMENTEGERADO

Defmio 3 - Seja V um espao vetorial finitamente gerado. Uma base de V um subconjunto finito B C V para o qual as seguintes condies se verificam:

76

(a) [B] = V.(b) B linearmente independente.Exemplos1) {(1, O), (O, I)} uma base do IR2

2) {(I, 0, ... , O), (O, 1, 0, ... , O), ... , (O, ... , 0, I)} uma base do

3) {(1, 0, ... , O), (O, 1, 0, ... , O), ... , (O, ... , 0, I)} uma base doespao vetorial (Cn, considerado como espao vetorial sobre (C.

4) O conjunto das m n matrizes reais

(1 0) (0 1 0) (0 0)00 0 OQO O .

~ ~.:::. ~ , ~"'~"~" ~ '''''. ~ ~ ~ uma base do espao Mmxn (IR).

5) Os n + 1 polinmios 1, t, ... , tn formam uma base de Pn (IR) pois(a) Dado f E Pn (IR), existem (e so nicos) ao, al, ... , an E IR de modo

que

f(t) = ao + alt + ... + antn, Vt E IR,o que conseqncia da prpria definio de polinmio.

(b) Se ao + alt + '" + antn = 0, Vt E IR, ento ao = '" = an = 0,devido ao princpio dos polinmios identicamente nulos.

6) Se indicamos por o o vetor nulo de um espao vetorial qualquer, entouma base do espao {o} , conforme nossas convenes a respeito, o conjunto fi).Nota: As bases exibidas nos exemplos 1, 2, 3, 4 e 5 so chamadas bases cannicasdos espaos IR2, IRn, (Cn, Mmxn(IR) e Pn(IR), respectivamente, devido a sua na-turalidade. Obviamente, esses espaos tm outras bases, conforme veremos a seguir. Deixamos como exerccio a verificao nos exemplos de 1 e 4.

Proposio 1 - Todo espao vetorial finitamente gerado admite uma base.

Demonstrao - Indiquemos por V o espao. Se V = {o}, ento ~ uma ba-se de V devido s convenes a respeito para este caso.

77

Caso contrrio existe um subconjunto finito e no vazio S C V, de maneiraque V = [S]. Como S "* {o}, ento existem subconjuntos no vazios de S queso L.I. Tomemos um deles com o maior nmero possvel de elementos. Indicandopor B esse subconjunto, afirmamos que B uma base de V.

Devido maneira como tomamos B, para todo u E S - B teremos queB U {u} L.D. Logo u combinao linear de B (ver P6 no pargrafo anterior).Usando agora a propriedade P7 , conclui-se que: [B] = [S] = V.

Como, por outro lado, B L.I., pela prpria maneira como foi cons-trudo, ento B uma base de V. -

4. DIMENSOIremos enunciar logo a seguir um resultado bastante importante que diz res-

peito ao nmero de vetores das bases de um espao vetorial finitamente gerado. Suademonstrao, contudo, somente ser feita no apndice, ao fim deste captulo, pelofato de ser um tanto quanto trabalhosa. Esse apndice especialmente recomenda-do aos alunos dos Cursos de Matemtica.

Teorema da invarincia - Seja V um espao vetorial finitamente gerado.Ento duas bases quaisquer de V tm o mesmo nmero de vetores.

Apoiados no teorema da invarincia, damos a seguinte definio.

Defmio 4 - Seja V um espao vetorial finitamente gerado. Denomina-sedimenso de V (notao: dim V) o nmero de vetores de uma qualquer de suasbases. Diz-se tambm, neste caso, que V um espao de dimenso finita.

Decorre da defmio dada e de consideraes j feitas nos exemplos aps a de-fmio 3 que:

onde all "* O, a2r 2 "* O, ... ,aprp "* O n - p. Para isso, ler novamente o Captu-lo 1.

Proposio 2 (Teorema do Completarnento) - Seja V um espao vetorial de di-menso n ~ I. Se {UI, ... , ur} C V um subconjunto L.I. com r vetores e r < n,ento existem n - r vetores UH I, ... , un E V, de maneira que B = {UI> ... , ur,ur +I, ... , un} uma base de V.

Demonstrao - Tomemos uma base C = {VI, ... , Vn} de V e formemosa unio:

S = {Uh,'" Ur, VI,"" vn}'Dentre os subconjuntos de S que so L.I. e que contm UI, ... , ur tomemos umcom o maior nmero possvel de elementos. Seja

B = {UI, ... , ur, VI, ... , vs}

esse conjunto. (Obviamente prticularizamos em B a seqncia dos ndices dos ele-mentos Vi> o que no traz nenhum prejuzo demonstrao.) Mostremos que B uma base de V. Decorre da prpria escolha desse conjunto que ele L.I.

Por outro lado VI, ... , Vs so obviamente combinaes lineares de B. Omesmo se pode dizer de VS+1, , Vn devido propriedade P6 vista neste captulo.Sendo todos os vetores de C combinaes lineares de B, conclui-se, pelo fato de Cser uma base de V, que todos os vetores de,\' tambm so combinaes linearesde B. Portanto B uma base de,V. -

, .

Proposio 3 - Todo sub-espao~etorial de um espao vetorial fmitamentegerado tambm finitamente gerado.

Deixamos ao leitor a tarefa de concluir que a dimenso do espao soluo deum sistema homogneo escalonado

+ atnxn = O+ a2nxn = O

auxI + al2 x2 + .

a2r2x2 + .

1) dim IR? = 2;2) dim IRn = n;

3) dim Cn = n;4) dim Mmxn(IR) = m n;

5) dim Pn (IR) = n + I;6) dim {o} = O.

Demonstrao - Seja V finitamente gerado e W um sub-espao vetorial de V.Se W = {O}, nada h a provar. Seno, tomemos WI E W, WI "* O. Se W == {IWI: I E IR}, est provado. Seno,existew2 EW,quenodaformalwl,isto , {WI> W2} L.I. Se W gerado por{W1> W2}, est terminado. Seno, existeW3 em W, que no combinao linear de { WI, W2}' E assim por diante. Este pro-cesso deve parar seno haveria em V um conjunto L.I. e infinito. -

78

Proposio 4 - Seja Wum sub-espao vetorial de V. Se dim W = dim V, entoW = V.

79

Demonstrao - Pela proposio 3, W fmitamente gerado. Logo W temuma base. Toda base de W tambm base de V devido hiptese de quedim W = dim V. Logo todo vetor de V pertence a W. Assim V C W e, comoW est contido em V, segue que V = W.

5. PROCESSO PRTICO PARA DETERMINAR UMABASE DE UM SUB-ESPAO DElR" (ou

Proposio 5 - Seja W um espao vetorial sobre IR de dimenso finita.Se U e V so sub-espaos de W, ento:

dim (U l V) + dim (U + V) = dim U + dim V.Demonstrao - Seja B1 = {UI, ... , ur} uma base de U l V. Como B1

L.I. em U e em V, o teorema do comp1etamento nos garante a existncia' deVI, ... , Vs E U e Wl, ... , Wt E V de tal modo que B2 = {UI, ... , Ur, VI,' .. ,vs} base de U e que B3 = {UI, ... , Ur, Wl, " . , Wt} base de V. Mostremosque

uma base de U + V.

(a) Seja W E U + V. Ento W = U + V (u E U, V E V). Sendo B2 e B3bases de U e V, respectivamente, podemos representar

U = alul + ... + arur + f31Vl + ... + f3svse

v = al'ul + ... + a;ur + f31'Wl + ... + f3Wtonde as letras gregas indicam, obviamente, nmeros reais.

Da

W = U + v = (aI + al')ul + ... + (ar + a;)ur + f31 Vl + ... + f3svs ++ f31'Wl + ... + f3tWt.

Logo [B] = V.(b) Suponhamos

aluI + ... + arur + f31 Vl + ... + f3svs + rlWl + ... + rtWt = o (1)Ento:

aluI + ... + arur + f31 Vl + ... + f3svs = -rlWl - ... -rtWt.

Como o primeiro membro desta ltima igualdade est em U e o segundo membroest em V e se trata do mesmo vetor, ento:

-rlwl - ... - rtWt E U l V.Logo existem o1, . . . , or E IR tais que:

-rlW l - ... - rtWt = 0l Ul + ... + orur'Daqui tiramos que

0l Ul + ... + 0rur + rl Wl + ... + rtWt = o.

Do fato de B3 ser L.I. , conclui-se ento que

82

01 = ... = or = rI = ... = rt = O.

Se rI = ... = rt = o a igualdade (1) fica:aluI + ... + arur + f31Vl + ... + f3svs = o.

Lembrando que o conjunto B2 tambm L.I. tiramos da queaI = ... = 01: = f31 = ... = f3s = O.

Com isso provamos que B de fato um conjunto L.I.Finalmente observando que dim (U l V) = r, dim U = r + s, dim V = r + t e

dim (U + V) = r + s + t, chegamos frmuladim (U + V) + dim (U l V) = dim U + dim V.

Exemplo - Consideremos os seguintes sub-espaos de IR4 :U = [(1, O, 1, O), (O, 1, O, O)] e V = {(x, y, z, t) I x + Y = O}.

Determinemos dim (U l V) e dim (U + V). fcil notar que B = {(l, O, 1, O), (O, 1, O, O)} uma base de U. Logo

dim U = 2.Quanto a V temos:

u E V u = (x, - x, z, t), onde x, z, t E IR u = x(l, -1, O, O) + z(O, O, 1, O) + t(O, O, O, 1).

Logo V = [(l, -1, O, O), (O, O, 1, O), (O, O, O, 1)].Pela forma escalonada como se apresentam os geradores de V que a figuram

podemos dizer que:

C = {(1, -1, O, O), (O, O, 1, O), (O, O, O, 1)} uma base de V e que dim V = 3.

Por outro lado, decorre da prpria definio de soma de sub-espaos queU + V = [B U C]. A partir disto podemos achar uma base de U + V do seguintemodo:

1 O 1 O 1 O 1 O 1 O 1 OO 1 O O O 1 O O O 1 O O1 -1 O O -+ O O 1 O -+ O O 1 OO O 1 O O O O 1 O O O 1O O O 1 1 -1 O O O O O O

Logo dim (U + V) = 4 e conseqentemente U + V = IR4 Disto segue quedim (U l V) = 1.

83

EXERCCIOS RESOLVIDOS1. MostraI que o subconjunto {l, i} uma base de Q:; sobre IR.

SoluoOs vetores I e i constituem um sistema de geradores de

8. Consideremos o sub-espao vetorial de M3(IR) constitudo das matrizes simtricas. Deter-minar uma base desse sub-espao.SoluoPodemos decompor uma matriz simtrica X de M3 (IR) da seguinte maneira:

6. Determinar uma base e a dimenso do espao soluo do seguinte sistema:

{

X-Y-z-t=O

S: 2x + Y + t = Oz-t=O

SoluoInicialmente escalonemos S:

{

X- Y- z- t=OS - 3y + 2z + 3t = O

z - t = O

X= (

O O+ f O O

O O

5 1Da tiramos: z = t, y = - 3" t e x = 3" t.Logo o conjunto soluo de S

V ={( ~ t, -/ t, t, t ) I t E IR} = {t(+, -~ ,1, 1 ) I t E IR}Isto mostra que o conjunto

uma bas~do espao SOIUr-O de S e que, portanto, a dimenso desse espao 1. Uma outrabase de V e{(l, - 5,3,3) .

7. Seja {Ul, u2, ... , un} uma base de um espao vetorial V de dimenso n sobre

EXERCCIOS PROPOSTOS1. Dar uma base e a dimenso do sub-espao W de IR4 onde W = {(x, y, z, t) E IR4 I x - y

= y e x - 3y + t = O}.

11. Para que valores de a E IR o seguinte conjunto uma base de IR3:B = {(a, 1, O), (1, a, 1), (O, 1, a)}.

2. Sendo W e U sub-espaos do IR4 de dimenso 3, que dimenses pode ter W + U se(1, 2, 1, O), (-1, 1, O, 1), (1, 5, 2, 1) um sistema de geradores de W n U?

3. Sendo W o sub-espao do exerccio 1 .e U o sub-espao do IR4 gerado por (1, 2, 1, 3) e(3, 1, 1, 4), determinar uma base e a dimenso de U + W e de U n W.

4. Achar uma base e a dimenso do seguinte sub-espao de IR4 : U = {(x, y, z, t) I x - y = Oe x + 2y + t = O}.

5. No espao vetorial IR3 consideremos os seguintes sub-espaos:U = {(x, y, z) I x = O}, V = {(x, y, z) I y - 2z = O} eW = [(1, 1, O), (O, O, 2)1.

12. Sejam uI' ... , Un vetores de um espao vetorial V. Provar que se cada vetor u de S == [UI' ... ,unI admite uma nica representao como combinao linear de uI> ... , Un,ento os vetores UI> ... , un formam uma base de S.

13. Suponha que {u I> ... , un} uma base de um espao vetorial. Mostrar que {UI' UI ++ U2, ... 'UI + U2 + ... + un} tambm uma base desse espao.

14. Considere o seguinte sub-espao vetorial de ce3 :W = [(1, O, i), (1, 1 + i, 1 - i), (1, -1 - i, - 1 + 3i)1

Determinar uma base desse sub-espao.

7. Mostrar que os polinmios 1,1 + t, 1 - t2 e 1 - t - t2 - t3 formam uma base de P3 (IR).

6. Detemnar uma base e a dimenso do sub-espao de M3 (IR) constitudo das matrizesanti-simtricas.

8. Determinar uma base e a dimenso do espao soluo de cada um dos seguintes sistemas linea-res homogneos:

Determinar uma base e a dimenso de cada um dos seguintes sub-espaos: U, V, W, U n V,V + W eU + V + W.

{(Ulo o), ... , (um, o), (o, VI), ... , (o, vn)} uma base de U X V.

16. Determinar a dimenso dos seguintes sub-espaos de Mn (IR):a) Sub-espao das matrizes simtricas;b) Sub-espao das matrizes anti-simtricas;c) Sub-espao das matrizes A tais que A = 2At.

n

d) Sub-espao das matrizes A = (aij) tais que L aii = o.i= 1

15. Sejam U e V espaos vetoriais sobre IR de dimenses m e n, respectivamente. Considere oespao vetorial U X V cuja adio dada por

(UI, VI) + (u2, V2) = (UI + U2' vI + V2)e a multiplicao por escalares por IX (u, v) = (IXU, IXV).Admitindo que {UI> ... , um} e {Vlo ... , vn} so bases de U e de V, respectivamente,prove que:

b){ x + y + z. = O2x - y - 2z = O

x + 4y + 5z = O

d){ x - y - z - t = O3x - y + 2z - 4t = O

2y + 5z + t = O

a){2: =:~::3x + 2 Y = O

C){2X - 2y + z = O3x - y + 3z = O

3y + 4z = O

9. Mostrar que as matrizes:

(~ ~) .(: ~). (: ~), G:) 7. COORDENADASformam uma base de M2 (IR).

10. Determinar uma base de IR4 que contenha os seguintes vetores (1, 1, 1, O), (1, 1, 2, 1).

Vamos trabalhar agora com bases ordenadas de wn espao vetorial V. Umabase ordenada uma base na qual fixamos quem o primeiro vetor, quem o segundovetor, etc.

88 89

8. MUDANA DE BASE

Po"...to a matriz das coonl,mui.. de f(t) (-~ ) "m "laYl = O Y2 = 1

apenas se no houver possibilidades de confuso, como a matriz das coordenadas deu em relao base ordenada B.

Nota: evidente a necessidade de trabalhar com bases ordenadas de V (no apenasbases de V) para podermos considerar a matriz de coordenadas como foi definida aci-ma. Sem ordenar a base, no saberamos qual seria o al, o a2, etc.

Exemplo - fcil verificar que B = {1, 1 + t, 1 + e} uma base ordena-da de P2(IR). Achemos as coordenadas de f(t) = 2 + 4t + e em relao a essa baseordenada:

2 + 4t + t2 = xl + y(1 + t) + z(1 + t2) ->2 + 4t + t2 = (x + Y + z) + yt + zt2 >z = 1, y = 4, x + y + z = 2 => x = -3, y = 4 e z = 1.

(

a11 a11 a1n)

P = ~~~ ..~~2 ~~.anl an2 '" G:nn

chama-se matriz de mudana da base B para a base C.

Exemplos1) Qual a matriz de mudana da base B = {I, 1 + t} para a base {l, t} no

espa.o P1 (IR)?

{I = XlI + Yl(l + t) _> {Xlt = X2I+ Y2(1 + t)

90 91

Trs problemas importantes se apresentam no que se refere a mudanas deba~. .

a matriz pedida.2) Se B = C, obviamente a matriz de mudana de C para B ou vice-versa

a matriz idntica.

Dos diagramas ao lado decorre quePQ = QP = In. Logo P inversvele p- 1 simplesmente a matriz de m-dana de C para B.

1, Yl = 0, X2> Xl

Problema 1 - Se a matriz de mudana da base B para a base C P = (aij)e a matriz de mudana da base C para uma outra base D (do mesmo espao) Q = Uhj), qual a matriz de mudana de B para D?

Suponhamos B = {UI, ... , un}, C = {VI,"" vn} e D = {Wl"'" wn}.A definio de matriz de mudana nos garante ento que:

n

Vj L aijUi (j = 1, ... ,n) ei=l

n

Wk = L ~jkVj (k = 1, ... , n).j=l

Problema 2- Se a matriz das coordenadas de u E V em relao base B :

x~ (Je a matriz de mudana de base de B para C P = (aij), qual a matriz das coorde-nadas de u em relao base C?

SejaDa

t (t aij~jk) Ui (k = 1, ... , n).1=1 J=l

essa matriz.

n

Como cada Vj = L aijUi (j = 1, 2, ... ,n), entoi=l

i=l j =1

n n nu= L XiUi = L Yj L aijUi =

i=l j=l i=l

Ento o termo geral da matriz de mudana da base B para a base D dadon

por L aij ~jk que o termo geral de P.Q. Logo a matriz de mudana de B para Dj=l

a matriz PQ.

Nota: Uma conseqncia do que acabamos de ver que uma matriz de mudanade bases sempre inversvel. Seno vejamos.

Sejam P a matriz de mudana de B para C e Q a matriz de mudana de Cpara B.

n

Temos ento u = L nxiui = L

t (t a ijYj) Ui1=1 J=l

92 93

Devido unicidade das coordenadas segue que:

n

Xi = L QijYj (i = 1, 2, ... , n). j =1

ou

Soluoa) Quanto base cannica as coordenadas so as prprias componentes do vetor, ou

seja, 2, 1 e 4.b) u = x(l, 1, 1) + y(l, 0,1) + z(l, O, -1) >

{

X+ Y +Z=2> x = 1

x+y-z=4

base de V?

Xn = Qn1Y1 + Qn2Y2 + ... + QnnYnUsando a notao matricial obtemos a relao desejada

X = py

Resolvendo o sistema obtido, encontramos x = 1, y = 2 e z = - 1. Logo as coorde-nadas de u neste caso so I, 2 e-L A matriz das coordenadas de u

(: -~)doM,(m) = {(: ':Y(~ :). (: ~). (: :)}Soluo

( 1 -1) (1 0) (0 1) (0 0) (0 0)=x +y +z +t =>20 01 00 20 12

2. Determinar as coordenadas da matriz

ui = o.n

Lj=l

n

Suponhamos L XjVj = O. Entoj=l

que equivale ainda a Y = p- l X.

Problema 3 - Se {UI> . , un } uma base de Ve P = (Qij) uma matrizn

inversvel, ento os n vetores Vj = L QijUi (j = 1, ... , n) tambm formam umai=1

n

Da L QijXj = O (i = 1, 2, ... , n). Como este sistema homogneo e a matrizj=l

dos seus coeficientes P (inversvel), ento Xl = ... = Xn = O. Logo {V1, . , vn } L.I. e portanto tambm base de V.

->

x

x

y

1

= -1

2z + t = 2 >

+ 2t =

x=

y = -15

z = -4t=_-.L

2

Logo as coordenadas pedidas so 1, - 1, ~ e - ; .

EXERCCIOS RESOLvmos1. Determinar as coordenadas do vetor u = (2, I, 4) do IR? em relao s bases:

a) Cannica.b) {(l, 1, 1), (1, O, 1), (1, O, -I)}.

3. Determinar as coordenadas do polinmio 1 + 2t - t3 E P3 (IR) em relao

a) base cannica desse espao;b) base {I, 1 - t, 1 - t2 , 1 _ t 3 }.

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- b 2

Soluo

a) As coordenadas neste caso so obviamente 1, 2, O e -1.b) 1 + 2t - t3 = a1 + b(l - t) + cO - t2) + dO _ t3) =>

a + b + c + d = 1

=>- c o

SoluoPor definio:

a matriz de mudana de B para C. Para achar a matriz de mudana de C para B sdeterminar a inversa dessa matriz:

6. Considerando os dados do exerccio anterior, se as coordenadas de um vetor u em relao base B so 1, 1 e 2, quais as coordenadas desse vetor em relao base C?SoluoSejam a, b e c essas coordenadas. Ento:

- d = -1

Logo as coordenadas so: 2, - 2, O e 1.

4. Achar a matriz de mudana da base

B = {(l, 1, O), (O, 1, O), (O, O, 3)}para a base cannica do IR?Soluo

(1, O, O) = a(l, 1, O) + b(O, 1, O) + c(O, O, 3)(O, 1, O) = dO, 1, O) + eCO, 1, O) + f(O, O, 3) >(O, O, 1) = g(l, 1, O) + h(O, 1, O) + i(O, O, 3)

rb = 1 {: +e =0 ,{: + h =0= O, = 1 =03c = O 3f = O 3i = 1ri CO f=Ob = -1 e = 1 e h = Oc = O f = O . 11 =-3

Logo: (-: O D a matriz pedida.O5. No espao IR3 consideremos as bases B == {e}> e2' e3} e C == {gl' g2, g3} relacionadas da

seguinte maneira:

(: 2 1 O D-(:1 2 O 11 O O(: 2 1 ' 1 .() D- (:,I2' O 1,,O 21-1 1(: 2 O: ~L~) (:' 2 2 2,1 O: 1 O -1 ~O 1: _l 1- ~

: 2 2 2

Portanto a matriz de mudana de C para B :

2

-1

2

O

O

O

l',I

2 I OII 11,--, 2

gl = el + e3g2 = 2eI + e2 + e3g3 = e1 + 2e2 + e3

Determinar a matriz de mudana de B para C e de C para B.

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EXERCCIOS PROPOSTOS0Determinar as coordenadas do vetor u = (4, -5, 3) E IR3, em relao s seguintes bases:\-') , .a canolllca;

b) {(l, I, I), (I, 2, O), (3, I, O)};c) {(l, 2, 1), (O, 3, 2), (I, I, 4)}.

2. Determinar as coordenadas de I - 2i E (C em relao seguinte base de Ir sobre IR:{I - i, I + i}.

(;;~eterminar as coordenadas do vetor (l, I, i) E (C3, em relao base (l, O, O), (O, i, O),~-" (I, i, I + i).

Determinar as coordenadas do polinmio t3 em relao seguinte base de P3 (IR):{I, 2 - t, t2 + I, I + t + t3}.

A matriz de mudana de uma base B do IR2 para a base {(I, I), (O, 2)} desse mesmoespao : (: ~)Determinar a base B.

6. A matriz de mudana da base {I + t, I - t2 } para uma base C ambas do mesmo sub-espaode P2 (IR)

Determinar a base C.

gl = el - ~ - e3g2 = 2e2 + 3e3g3 = 3el + e3

a) Determinar as matrizes de mudana de B para C e de C para B.b) Se um vetor u de IR3 apresenta coo'rdenadas I 2 3 I - B ., e , em re aao a ,quais as

coordenadas de u relativamente a C?

8. Considere o seguinte sub-espao vetoria! de M2 (IR):

U={(: :) IX-'_'=O}

a) Mostrar que os seguintes subconjuntos de M2(IR) so bases de U:

B=W :) (: :) (: :)}.c={(: :) (:-~) (: :)}

b) Achar a matriz de mudana de B par,a C ea de C para B.c) Achar uma base D de U, de tal manej.ra que a matriz de mudana de D para B seja:

(5)seja B = {UI' ... , un} uma base do espao vetorial V e seja C = {vI" .. ,vn} onde- Vi = un _ i + I (i = 1, ... , n). Provar que C uma base de Ve calcular a matriz de

mudana de B para C.

Seja B = {UI" .. , un} uma base do espao vetorial Ve seja C = {UI' UI - u2" .. ,uI -"", 0 _ un}. Mostrar que C tambm uma base de V. Achar as matrizes de mudana de base

de B para C e de C para B.

APNDICE 111Teorema da Invarincia

Lembremos que o Teorema da Invarincia, j enunciado ria pg. 80, afirmaque todas as bases de um espao vetorial dado tm o mesmo nmero de vetores.

Precisaremos de trs lemas para poder provar o Teorema da Invarincia.

Lema 1 - Seja B = {u}, 2, . , un} urpabase de um espao vetorial V.Se u E V e ainda se

(1)

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com ai =1= 0, ento o conjunto C = {Ul, ... , ui_I> U, ui+I> ... , u n} tambm uma base de V.

Teorema da invarincia - Duas bases quaisquer do mesmo espao vetorialfinitamente gerado tm o mesmo nmero de vetores.

Demonstrao - Sejam B = {UI> ... , un } e C = {vI, ... , vrn } duas basesquaisquer de V. Como B base de V e C L.I., ento m < n. Analogamente,como C base de V e B L.I. , ento n < m. Logo m = n. -

tambm uma base de V.

A repetio desse raciocnio nos levar concluso de que {UI, U2, ... , un} uma base de V. -

Lema 3 - Su