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Álgebra SeM MiSTéRio

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ÁlgebraSeM MiSTéRio

Série SeM MiSTéRio

Alemão Sem Mistério

Álgebra Sem Mistério

Cálculo Sem Mistério

Conversação em Alemão Sem Mistério

Conversação em Espanhol Sem Mistério

Conversação em Francês Sem Mistério

Conversação em Italiano Sem Mistério

Espanhol Sem Mistério

Francês Sem Mistério

Geometria Sem Mistério

Gramática Inglesa Sem Mistério

Italiano Sem Mistério

Pré-Álgebra Sem Mistério

Pré-Cálculo Sem Mistério

Química Orgânica Sem Mistério

Química Sem Mistério

ÁlgebraSeM MiSTéRio

Rhonda Huettenmueller

Tradução da 2ª edição

Rio de Janeiro, 2013

Sobre o Autor

Rhonda Huettenmueller é PhD e leciona matemática em nível universitário há mais de 20 anos. Popular entre os alunos por sua habilidade de fazer com que a matemática avan-çada seja compreensível, e até mesmo agradável, a autora inclui muitas de suas técnicas de ensino neste livro. A professora doutora Huettenmueller é autora de vários livros bem sucedidos da série.

vii

Sumário

Como Usar Este Livro xi

CAPÍTULO 1 Frações 1Multiplicação de Fração 2Multiplicando Frações e Números Inteiros 3Divisão de Fração 5Simpli& cando Frações 7Máximo Divisor Comum (MDC) 9Somando e Subtraindo Frações com

Denominadores Comuns 12Somando e Subtraindo Frações com

Denominadores Diferentes 13Mínimo Múltiplo Comum (MMC) 15Determinando o MMC 16Somando Mais de Duas Frações 19Números Inteiros – Operações

Aritméticas com Frações 22 Frações Compostas 25 Números Mistos e Frações Impróprias 26Frações e Divisão de Números Inteiros 28Operações Matemáticas com Números Mistos 30Multiplicando Números Mistos 31Dividindo Números Mistos 32Reconhecendo Elementos, Símbolos e

Relações Matemáticas Conforme os Enunciados 34Resumo 37Teste Rápido 39

CAPÍTULO 2 Introdução a Variáveis 45Simpli& cando Frações com Variáveis 46Operações com Frações com Variáveis 49Divisão de Fração e Frações Compostas 52Somando e Subtraindo Frações com Variáveis 54

viii ÁLGEBRA SeM MiSTéRio

Variáveis na Conversão do Enunciadoem Símbolos Matemáticos 56

Resumo 60Teste Rápido 61

CAPÍTULO 3 Decimais 65Somando e Subtraindo Números Decimais 67Multiplicando Números Decimais 69Frações com Decimais 70Divisão com Decimais 72Resumo 73Teste Rápido 75

CAPÍTULO 4 Números Negativos 77A Soma de um Número Positivo e

um Número Negativo 78Subtraindo um Número Maior de

um Número Menor 79Subtraindo um Número Positivo de um Negativo 81Dupla Negatividade 82Reescrevendo um Problema de

Subtração como um Problema de Adição 82Multiplicação e Divisão com

Números Negativos 84Variáveis Negativas 86Frações e Sinais Negativos 87Resumo 89Teste Rápido 91

CAPÍTULO 5 Expoentes e Raízes 95Propriedades da Função Exponencial e

Expressões Algébricas 98Somando/Subtraindo Frações 99Multiplicando e Dividindo com Expoentes 109Raízes 113Simpli&cando Raízes 115Raízes Expressas Como Expoentes 123Simpli&cando Raízes Múltiplas 125Resumo 127Teste Rápido 128

CAPÍTULO 6 Fatoração e a Propriedade Distributiva 133Propriedade Distributiva com Números Negativos 135Combinando Termos Semelhantes 137Somando/Subtraindo Frações 139Fatoração 141Fatoração com Números Negativos 143

Sumário ix

Outros Tipos de Fatoração 145Fatoração por Agrupamento 147Fatoração para Simpli&car Frações 148A Propriedade Distributiva da

Multiplicação de Polinômios 151Fatoração de Polinômios de Segundo Grau 154Fatoração da Diferença de Dois Quadrados 159Outros Tipos de Fatoração de

Polinômios de Segundo Grau 162Expressões do Tipo Quadráticas 164Fatorando para Simpli&car um

Maior Grupo de Frações 166Somando/Subtraindo Frações 169Resumo 175Teste Rápido 177

CAPÍTULO 7 Equações Lineares 183Resolvendo Equações Lineares 186Uma Estratégia para Resolver Equações Lineares 189Decimais 200Fórmulas 204Equações que Geram Equações Lineares 210Resumo 220Teste Rápido 221

CAPÍTULO 8 Aplicações Lineares 223Porcentagem 224Acréscimo e Decréscimo por um Percentual 225Trabalhando com Fórmulas 233O Sentido dos Números 241Problemas com Três Incógnitas 248Problemas Relacionados a Computação de Notas 251Problemas Relacionados a Moedas 256Problemas Relacionados a Investimentos 260Problemas Relacionados a Concentração de Substâncias 262Problemas Relacionados a Desempenho no Trabalho 271Problemas Relacionados a Distância 286Figuras Geométricas 301Resumo 306Teste Rápido 309

CAPÍTULO 9 Desigualdades Lineares 313Desigualdades e a Reta Numérica 314 Resolvendo Desigualdades Lineares 316 Notação de Intervalo 320Problemas de Aplicação 322Intervalo Limitado 331

x ÁLGEBRA SeM MiSTéRio

Resolvendo Desigualdades Duplas 332Aplicações de Desigualdades Duplas 338Resumo 344Teste Rápido 347

CAPÍTULO 10 Equações de Segundo Grau 351Resolvendo Equações de Segundo

Grau por Fatoração 352Extraindo Raízes 363Resolvendo Equações de Segundo

Grau com a Fórmula de Báskara 365Equações Racionais que Levam a

Equações de Segundo Grau 375Resumo 384Teste Rápido 385

CAPÍTULO 11 Aplicações de Segundo Grau 389Problemas Algébricos 390Problemas de Receita 393Outros Problemas de Desempenho de Trabalho 402A Altura de um Objeto em Queda 409Problemas em Geometria 418Problemas Relacionados a Distância 431Problemas Relacionados a Viagens 444Resumo 449Teste Rápido 451

Teste Final 453Respostas dos Testes e do Teste Final 467Apêndice 471Índice 477

xi

C omo Usar Este Livro

Ao longo deste livro, você desenvolverá as habilidades algébricas necessárias para fazer qualquer curso médio ou superior de Matemática. Este livro tem duas vanta-gens em relação aos outros. A primeira é que ele apresenta um conceito por vez, algo que permite que você domine, de forma gradual, todo o conteúdo. A segunda, é que as soluções para os problemas, nos exemplos e na parte prática, são completas. Normalmente, um passo é executado a cada vez, para que possa aprender de forma simples como solucionar o problema.

Como frações e problemas de conversão do enunciado em símbolos matemáti-cos (também chamados de aplicabilidade) frustram os alunos, este livro abrange esses tópicos com um cuidado especial. Começamos com operações com frações bem simples e, lentamente, passamos para operações com frações mais complexas. Sempre que uma nova técnica algébrica é abordada, uma seção inteira é dedicada à forma como esta técnica afeta as frações.

Embora dois capítulos inteiros sejam dedicados a problemas de conversão do enunciado em símbolos matemáticos, desenvolvemos imediatamente, uma das habi-lidades mais importantes para a solução desse tipo de problema. Nos Capítulos 1 e

2, aprendemos a traduzir sentenças em símbolos matemáticos. No Capítulo 8, o pri-meiro a abordar problemas desse tipo começamos pelos problemas mais fáceis para, depois, aprendermos a resolver muitos dos problemas padrão comuns em Álgebra.!"#$%&'(")*+,&(-%*.,*%/+)("%0*%1"(2&%2&+.%*3%#&45%.*%67"%,*6,&(%'&..&(%'&(&%82&%

seção sem ter entendido como resolver todos os problemas práticos da seção anterior. Em geral, cada nova seção aprofunda o tópico da seção anterior. Uma vez terminada a última seção de um capítulo, revise o conteúdo antes de fazer o teste de múltipla es-colha. Esse procedimento irá ajudá-lo a avaliar o quanto absorveu do conteúdo. E, ao terminar o último capítulo, revise todos os capítulos anteriores antes de fazer o teste 3%6&/9%:%'(")-)*/%;8*%"%,*.,*%3%6&/%.*<&%28+,"%/"6="%'&(&%.*(%1*+,"%0*%82&%>6+#&%)*49%Em vez disso, você pode fazê-lo como se fosse vários testes menores. Tente melhorar seus pontos com cada um desses “mini-testes”.

Se for paciente e tiver calma para estudar todo o conteúdo, se sentirá confortável em relação à Álgebra e poderá achá-la até divertida !

Rhonda Huettenmueller

1

Capítulo 1Frações

Ser capaz de efetuar operações aritméticas com frações é uma habilidade básica

para o aprendizado da álgebra. Embora possamos pensar que o assunto deste ca-

pítulo não é necessário (a maioria das calculadoras faz esses cálculos para nós), os

métodos desenvolvidos aqui nos ajudarão quando formos trabalhar com os tipos de

frações frequentes em álgebra.

Neste capítulo, você vai:

multiplicar e dividir frações;

simpli$ car frações;

somar e subtrair frações com denominadores iguais;

somar e subtrair frações com denominadores diferentes;

transformar números mistos em frações impróprias;

simpli$ car frações compostas;

converter o enunciado em símbolos matemáticos.

2 ÁLGEBRA SeM MiSTéRio

Multiplicação de Fração

!"#"$%&'()#"#$*+,*-%)+($-.$+/-#"01-($"#%).2)%*"($*+.$3#"01-(4$'("#-.+($5#67$*+($

8-$(-)+#-($+'$5#67$*+($pizza. Por exemplo, representamos a fração pela região

hachurada na Figura 1-1. Ou seja, é uma parte de três partes iguais.

Vamos agora estabelecer a regra para a multiplicação de frações, .

Usando esta regra, podemos calcular pela multiplicação dos numeradores 2 e

1 e dos denominadores 3 e 4. Fazendo isto, obtemos (mais tarde,

9-#-.+($*+.+$(%./&%7$*"#$3#"01-(:;$<-="$*+.+$#-/#-(-,)".+($+$/#+8')+$ no

5#67$*+$/%>>";$!+8-.+($/-,("#$,-()"$3#"0?+$*+.+$dois terços de um quarto. Come-

çamos com um quarto representado pelo !"#$%&'%()**+ da Figura 1-2.

Veremos agora o que acontece com a representação de um quarto se dividirmos

+$5#67$*+$-.$@A$/"#)-($%5'"%(4$*+.+$,"$Figura 1-3.

Figura 1-1 Figura 1-2 Figura 1-3

Figura 1-4

! terço de um

quarto

Agora, percebemos que a fração é o

mesmo que . Podemos observar também

que quando um quarto é dividido em três

partes iguais, cada parte representa um doze

avos, portanto, dois terços de , é igual a

dois doze avos (veja a Figura 1-4). Por isso,

é igual a .

EXEMPLO

Efetue a multiplicação com a regra .

Segundo a regra, multiplicamos os numeradores 2 e 4 e os denomi-

nadores 3 e 5 para obtermos .

Capítulo 1 FRAÇÕES 3

PRÁTICA

Efetue as multiplicações com a regra .

SOLUÇÕES

Multiplicando Frações e Números Inteiros

Agora estabeleceremos uma regra para a multiplicação de um número inteiro e de

uma fração. Para sabermos como multiplicar uma fração por um número inteiro,

usamos !"#$%&',%()**+ para determinar o produto .

A região hachurada na Figura 1-5 representa .

Queremos um total de quatro destas regiões hachuradas. Veja a Figura 1-6.

Como podemos observar, quatro de regiões nos dá um total de oito um nonos.

Por isso, .

Em geral, ao multiplicarmos (onde W é um número inteiro), temos W. a

de frações. Dessa forma, temos então, a regra da multiplicação .

4 ÁLGEBRA SeM MiSTéRio

Figura 1-5 Figura 1-6

Ou seja, o numerador de um produto é o número inteiro vezes o numerador da

fração, e o denominador é o denominador da fração.

Um método alternativo para determinar o produto de um número inteiro e uma

fração é tratar o número inteiro como uma fração – o número inteiro sobre 1 – e,

então, multiplicar como faríamos com quaisquer duas frações. Este método nos dá

a mesma regra:

EXEMPLO

Determine o produto com cada um dos métodos descritos acima.

PRÁTICA

Determine os produtos com um dos dois métodos descritos acima.

Capítulo 1 FRAÇÕES 5

SOLUÇÕES

Divisão de Fração

Divisão de fração é tão fácil quanto multiplicação de fração. A regra para a divisão

de fração é , ou seja, invertemos (trocamos o numerador e o

denominador) a segunda fração, e um problema de divisão de fração passa a ser

um problema de multiplicação de fração. Para entender o porquê disto, considere

o cálculo Podemos resolver esse problema de divisão fazendo a seguinte

pergunta: “Quantas metades cabem em 3?” Obviamente, a resposta é 6, resultado

que está de acordo com a fórmula .

EXEMPLO

Efetue as divisões

6 ÁLGEBRA SeM MiSTéRio

PRÁTICA

Efetue as divisões

SOLUÇÕES

Capítulo 1 FRAÇÕES 7

Simplifi cando Frações

Ao trabalharmos com frações, normalmente nos pedem para “reduzirmos a fra-

ção ao seu menor termo” ou “escrevermos a fração nos seus menores termos” ou,

"%,8"4$/"#"$B(%./&%7$*"#.+($"$3#"0?+C;$D((+$(%5,%7$*"$E'-$+$,'.-#"8+#$-$+$8-,+.%F

nador não têm fatores comuns ( à exceção do 1). Por exemplo, está escrito nos

seus menores termos, mas não está, pois 2 é um fator tanto de 4 quanto de 6. A

(%./&%7$*"0?+$8-$3#"01-($2$+$+/+()+$8"$.'&)%/&%*"0?+$8-$3#"01-(;$G"$/#HI%."$(-0?+4$

aprenderemos um método mais rápido.

Primeiro, escreva o numerador e o denominador como um produto de números

primos (consulte o Apêndice se precisar rever como decompor um número em fa-

tores primos). Depois, reúna os números primos comuns a ambos - numerador e

denominador (se houver) - no início de cada fração. Divida cada fração em duas fra-

ções, a primeira com os números primos comuns. Assim, teremos a primeira fração

representando “1” vez a outra fração. Esse recurso pode parecer desnecessário (e é,

na verdade), mas trará melhor compreensão do fato de que os fatores comuns ao nu-

.-#"8+#$-$8-,+.%,"8+#$3+#."#?+$+$,J.-#+$B@C;$K$'(+$8-()-$.2)+8+$/"#"$(%./&%7$*"#$

frações pode ajudá-lo a evitar, futuramente, erros comuns em álgebra.

EXEMPLO

Simpli' que as frações com o método descrito acima.

SOLUÇÃO

Começamos pela fatoração de 6 e 18.

Agora escreva os fatores comuns como frações separadas.

Como é 1, notamos que pode ser simpli' cado a .

8 ÁLGEBRA SeM MiSTéRio

PRÁTICA

Simpli' que as frações

SOLUÇÕES

Capítulo 1 FRAÇÕES 9

Máximo Divisor Comum (MDC)

Felizmente, há uma forma menos enfadonha de escrever uma fração em seus me-

nores termos. Determinamos o maior número que seja divisível pelo numerador e

pelo denominador. Este número é chamado de Máximo Divisor Comum (MDC).

Fatoramos o MDC do numerador e do denominador e reescrevemos a fração da

seguinte forma:

G+($/#+L&-."($/#6)%*+($",)-#%+#-(4$+$/#+8')+$8+($/#%.+($*+.',($-#"$+$MNO;

EXEMPLOS

Identi' que o MDC do numerador e do denominador e escreva as frações

em seus menores termos.

10 ÁLGEBRA SeM MiSTéRio

PRÁTICA

Identi' que o MDC do numerador e do denominador e escreva as frações

em seus menores termos.

SOLUÇÕES