algebra de boole - circuitos digitais

11/12/13

1

Aula 2 – Álgebra Booleana

Disciplina: Circuitos Digitais Prof. Kelson R. T. Aires

Fonte: Transparências do Prof. Ivan S. Silva

•  Uma álgebra definida por: – Um conjunto de operações válidas – Um conjunto de valores admissíveis para cada variável

Álgebra Booleana

Operações Válidas

•  Complemento (NOT) ou Negação ou Inversão – É uma operação unária que tem como resultado o valor oposto ao valor da variável a qual é aplicada

SÍMBOLO

A S

EXPRESSÃO

S = A

A S

0 1

1 0

COMPORTAMENTO EM VHDL

S <= NOT A;

Operações Válidas •  Operação (AND) ou “E” ou “mulbplicação lógica” – Resulta em ‘1’ se e somente se todas as variáveis de entrada são ‘1’

SÍMBOLO A

B S

EXPRESSÃO

S = A . B

A B S

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

COMPORTAMENTO

EM VHDL

S <= A AND B;


•  Operação (OR) ou “OU” ou “adição lógica” – Resulta em ‘1’ se pelo menos uma das variáveis de entrada é ‘1’

SÍMBOLO A

B S

EXPRESSÃO

S = A + B

A B S

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

COMPORTAMENTO

EM VHDL

S <= A OR B;


•  Operações NAND – O complemento de um AND

SÍMBOLO A

B S

EXPRESSÃO

S= A . B

A B S

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

COMPORTAMENTO

EM VHDL

S <= A NAND B;

11/12/13

2


•  Operações NOR – O complemento de um OR

SÍMBOLO EXPRESSÃO

COMPORTAMENTO

A

B S = A + B

A B S

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

EM VHDL

S <= A NOR B;


•  Operações NAND e NOR – Por razões tecnológicas é mais fácil fazer o complemento de um AND ou o complemento de um OR que estas operações

A S

B

A B S=1

A

B

A B

NAND AND


•  Operações XOR, ou “OU Exclusivo” ou “Disjunção Exclusiva” – Resulta em ‘1’ se e somente se exatamente uma das variáveis de entrada tem o valor ‘1’

– EXPRESSÃO GERAL: (A.B) + (A.B) = A ⊕ B •  Veja: hmp://pt.wikipedia.org/wiki/XOR


•  Operações XOR, “OU Exclusivo” ou “Disjunção Exclusiva”

SÍMBOLO A

B S

EXPRESSÃO

S = A ⊕ B

A B S

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

COMPORTAMENTO

EM VHDL

S <= A XOR B;


•  Operações XNOR, ou “Coincidência” – Resulta em ‘1’ se e somente se os valores de todas as variáveis de entrada são idênbcos

– EXPRESSÃO GERAL: (A.B) + (A.B) = A ¤ B •  Veja: hmp://pt.wikipedia.org/wiki/Porta_XNOR


•  Operações XNOR, ou “Coincidência”

SÍMBOLO A

B S

EXPRESSÃO

S S = A ¤ B

A B S

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

COMPORTAMENTO

EM VHDL

S <= A XNOR B;

11/12/13

3

Circuitos Digitais -‐ UFPI 13

Porta Símbolo Expressão de saída

NOT ou Não S=A

AND ou E

S=A.B

NAND ou Não E

S=A.B

OR ou OU

S=A+B

NOR ou NOU

S = A + B

XOR ou OU Exclusivo

S = A ⊕ B

Coincidência

S = A ¤ B

A

B S

A S

A

B S

A

B S

A

B S

A

B S

A

B S A ¤ B = A ⊕ B

Fonte: Transparências do prof. Ricardo Brimo (DIE/UFPI)

Postulados e Idenbdades

•  Complementação A = A A = 0 à A = 1 A= 1 à A = 0

•  Adição A + 0 = A A + 1 = 1 A + A = A A + A = 1

•  Mulbplicação A.0 = 0 A.1 = A A.A = A A.A = 0

Elemento Neutro

Elemento Neutro

Aritmébca Booleana

•  Adição 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 1

•  Mulbplicação 0.0 = 0 0.1 = 0 1.0 = 0 1.1 = 1

Propriedades da Álgebra de Boole

•  Comutabva

•  Distribubva

A . B = B . A

A + B = B + A

A ⊕ B = B ⊕ A

A . (B + C ) = A . B + A . C

A + B . C = (A + B) . (A + C)

Propriedades da Álgebra de Boole

•  Associabva ( A . B ) . C = A . ( B . C ) = A . B . C

( A + B ) + C = A + ( B + C ) = A + B + C

( A ⊕ B ) ⊕ C = A ⊕ ( B ⊕ C ) = A ⊕ B ⊕ C

Teoremas de De Morgan

•  1º Teorema : A . B = A + B

A B A . B A + B

0 0 1 1

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 0

11/12/13

4

Teoremas de De Morgan

•  2º Teorema : A . B = A + B A.B= A + B A.B= A + B

Façamos = A = X e B = Y

X . Y = (X + Y)

Reescrevendo em termos de A e B

A . B = (A + B)

Do 1º Teorema

2º Teorema

Leis da Absorção •  A + A.B = A

Demonstração A + A.B = A A (1 + B) = A A (1) = A A = A

•  A +A.B = A + B Demonstração A +A.B = A + B A +A.B = A + B A .(A.B) = A + B A .(A+B) = A + B A.B = A + B A + B = A + B

Leis da Absorção

•  (A + B).B = A.B Demonstração (A + B).B = A.B A.B + B.B = A.B A.B + 0 = A.B A.B = A.B

Idenbdades Auxiliares

A.B + A.B = A

A.(A + B) = A

(A + B) . (A + B) = A

(A + B) . (A + C) = A + B.C

Idenbdades Auxiliares A.B + A.B = A

A(B + B) = A

A = A

AA + AB + BA + BB = A

A + AB + BA + 0 = A

A (B+1+B)= A

A = A

(A + B) . (A + B) = A

A.(A + B) = A A.A + AB = A

A + AB = A A( 1 + B) = A

A = A

(A + B) . (A + C) = A + B.C

(A. A + A. C + B.A + B.C) = A ...

(A + A. C + B.A + B.C) = A +B.C

A(1 + B + C) + B.C= A +B.C

A + B.C= A +B.C

Avaliação de Expressões Booleanas

•  Criar uma tabela verdade para a expressão •  Uma tabela verdade é uma tabela que para cada combinação possível de valores das variáveis de entrada mostra o resultado da expressão

–  Idenbficar as variáveis de entrada – Para cada variável de entrada, desbnar uma coluna mais à esquerda, na tabela-‐verdade

– Criar colunas à direita, conforme a ordem de precedência das operações conbdas na equação que se está avaliando

11/12/13

5


•  Ordem de Avaliação de Expressões Booleanas (Ordem Precedência dos Operadores)

–  Do nível de parêntesis mais interno para o nível mais externo 1. Complemento de variável individual 2. Operação “E” 3. Operação “OU”

•  OBS: complemento de expressão deve ser analisado assim

que a expressão a ser complementada for avaliada.

Exemplo: A + B . C


•  Construção de uma Tabela-‐Verdade – Com n entradas uma função tem 2n combinações de valores possíveis.

•  Avaliação da função –  Atribuir valores as variáveis na tabela –  Avaliar AND, OR, complemento na ordem estabelecida

– Exemplo -‐ DeMorgan: X + Y = X . Y X Y X Y X . Y 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0

Funções Booleanas e Circuitos Lógicos

•  Dada uma função Booleana, é possível representá-‐la graficamente, por meio de uma associação de portas lógicas

•  Esta associação chama-‐se circuito lógico ou digital

•  Com o circuito lógico é possível implementar fisicamente funções booleanas


•  Pode-‐se obter um circuito da seguinte maneira: – cada termo é uma porta – cada literal é uma entrada para uma porta – portas adicionais : inversores na entrada – composição dos termos (AND ou 1 OR)

X . Y . Z + X . Y . Z + X . Z

Cada ocorrência de variável (complementada ou não)

literais termo


F Z

X

Y

X . Y . Z + X . Y . Z + X . Z

Cada ocorrência de variável (complementada ou não)

literais termo

O número de termos e literais dá uma medida aproximada da complexidade do circuito.


•  Exercício – Faça a tabela verdade correspondente da função booleana a seguir e desenhe o circuito lógico que a representa

S = A • C + (B • C + A • B)

11/12/13

6

Manipulações Algébricas

•  Tem por objebvo simplificar a função booleana e seu circuito lógico: – Exemplo:

F = X Y Z + X Y Z + X Z

lei distribubva F = X Y ( Z +Z) + X Z

complemento F = X Y . 1 + X Z

elemento neutro F = X Y + X Z 2 termos 4 literais

Manipulações Algébricas

•  Não existe nenhuma técnica para indicar a manipulação algébrica a ser usada – Método de tentabvas – Familiaridade com axiomas e teoremas da álgebra booleana

Complemento de uma função

•  Usando De Morgan exemplo: F = X(YZ + YZ)

F = X(YZ + YZ) F = X + (YZ .YZ) F = X + (Y + Z) . (Y + Z) F = X + YY + YZ + ZY + ZZ F = X + YZ + ZY

Complemento de uma função

•  Usando a tabela verdade X Y Z 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

YZ YZ 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1

YZ + YZ 1 0 0 1 1 0 0 1

F 0 0 0 0 1 0 0 1

F 1 1 1 1 0 1 1 0

Resta saber como obter a função e o circuito a parNr da tabela

Equivalência entre portas lógicas

•  Inversor a parbr das portas NOR e NAND

E S

0 1

1 0

E S

E S

0 1

1 0

E S


•  Porta OR a parbr da porta NAND e inversores

A B S

A B

A B

0 0 0 0

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 1 1

BA+ BA*

11/12/13

7


•  Porta AND a parbr da porta NOR e inversores

A B S

A B

S

A B

0 0 0 0

0 1 0 0

1 0 0 0

1 1 1 1

BA. BA+


Porta Lógica Porta Equivalente

Fonte: Transparências do prof. Ricardo Brimo (DIE/UFPI)

algebra de boole - circuitos digitais

Technology