MATEMÁTICAALEXSANDRO KESLLER

EXTRA FUNÇÕES 24/03/2020PAZ NA ESCOLA

2

Função do 1º grau (Afim) Função do 1º grau (Afim)

Definição

Composição;

Gráfico;

Praticando Enem

Função do 2º grau Função do 2º grau

3

Função do 1º grau (Afim) Função do 1º grau (Afim)

0a e IRb IR, a com b, ax f(x) :sentença Toda

baxou y b ax f(x)

Coeficiente Angular

Coeficiente Linear

VARIÁVEL

FIXA

E na hora do Enem

4

Composição de uma função do 1º grau Composição de uma função do 1º grau

Analisando GráficoAnalisando Gráfico

CRESCENTE (a>0) DECRESCENTE (a<0)COMPOSI ÇÃO

2 PARES ORDENADOS

OU

1 PAR ORDENADO + “b”

ybaxbaxy

5

Uma barra de ferro com temperatura inicial de -10ºC foi aquecida até 30ºC. O gráfico abaixo representa a variação da temperatura da barra em função do tempo gasto nessa experiência.

Exemplo IExemplo I

Calcule em quanto tempo, após o início da experiência, a temperatura da barra atingiu 0ºC.

A) 1minB) 1min e 5sC) 1min e 10sD) 1min e 15sE) 1min e 20s

30) (5,

b

6

GABARITO: “D”

30)10(5a)30,5(

ybxa)y,x(

Sabemos que toda função do 1º grau é escrita na forma: f(x) = ax + b

No gráfico temos que:

b = - 10

Par or denado: ( x , y ) =( 5 , 30 )

8a 40a5

3010a5

10-8tT(t) ou 10x8)x(f

Temos então a função: f(x) = ax + b

0108t

Para T(t) = 0ºC

15s e min 1 ou min25,18

10t

108t

7

baxy

A.C

O.Ctga

40

58

5

40a

10b 10t8)t(T

ou

10x8y

0108t

Para T(t) = 0ºC

min25,18

10t

108t

15s e min 1ou

Outra forma de pensarOutra forma de pensar

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Uma barra de ferro com temperatura inicial de -10ºC foi aquecida até 30ºC. O gráfico abaixo representa a variação da temperatura da barra em função do tempo gasto nessa experiência.

Calcule em quanto tempo, após o início da experiência, a temperatura da barra atingiu 0ºC.

A) 1minB) 1min e 5sC) 1min e 10sD) 1min e 15sE) 1min e 20s

Exemplo IExemplo I

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(Enem) No comércio é comumente utilizado o salário mensal comissionado. Além de um valor fixo, o vendedor tem um incentivo, geralmente um percentual sobre as vendas. Considere um vendedor que tenha salário comissionado, sendo sua comissão dada pelo percentual do total de vendas que realizar no período. O gráfico expressa o valor total de seu salário, em reais, em função do total de vendas realizadas, também em reais.

Exemplo IIExemplo II

Qual o valor percentual da sua comissão?

A) 2,0%B) 5,0%C) 16,7%D) 27,7%E) 50,0%

10

SoluçãoSolução

baxy

tga

000.1

000.50

000.50

000.1a

02,0a

%2

Praticando EnemPraticando Enem

1. Uma indústria automobilística está testando um novo modelo de carro. Cinquenta litros de combustível são colocados no tanque desse carro, que é dirigido em uma pista de testes até que todo o combustível tenha sido consumido. O segmento de reta no gráfico mostra o resultado desse teste, no qual a quantidade de combustível no tanque é indicada no eixo y (vertical), e a distância percorrida pelo automóvel é indicada no eixo x (horizontal).

A expressão algébrica que relaciona a quantidade de combustível no tanque e a distância percorrida pelo automóvel é

11

Praticando EnemPraticando Enem

50010

xy)E

5010

xy)D

50010

xy)C

5010

xy)B

500x10y)A

A expressão algébrica que relaciona a quantidade de combustível no tanque e a distância percorrida pelo automóvel é

12

13

50

500

50b

10

1a

500

50tga

A.C

O.Ctga

Pela inclinação da reta percebe-se que a função é decrescente, logo a < 0

5010

xy

GABARI TO: “B”

SoluçãoSolução

GRÁFI COS

0a com c,bx ax f(x) : sentençaToda 2

CONCAVI DADE ( a>0)

CONCAVI DADE ( a<0)COMPOSI ÇÃO

3 PARES ORDENADOS

OU

2 PARES ORDENADO + “c ”

Função do 2º grau Função do 2º grau

14

A expressão que define a função quadrática f(x), cujo gráfico está esboçado a seguir, é:

2x2x2)x(f)E

4x2x2)x(f)D

2xx)x(f)C

4x2x)x(f)B

4x2x2)x(f)A

2

2

2

2

2

EXEMPLOEXEMPLO

15

c = - 4( 0, - 4 )

( - 2, 0 ) ( 1, 0 )

cbxax)x(f 2

COMPOSIÇÃO(SISTEMA DE EQUAÇÕES)

COMPOSIÇÃO(SISTEMA DE EQUAÇÕES)

ycbxaxy,x 2

042b2a0,2 2

041b1a0 ,1 2

4ba

4b2a4

2b

2a

4x2x2y 2 16

GABARITO: “D”

04)1(b)1(a)0,1(

04)2(b)2(a)0,2(

ycbxxa)y,x(

2

2

2

Sabemos que toda função do 2º grau é escrita na forma: f(x) = ax² + bx + c

No gráfico temos que:

c = - 4

Par ordenado: ( x , y ) ( - 2 , 0 ) e ( 1 , 0)

Temos então a função: y = ax² + bx + c4ba

4b2a4

2b

2a

4x2x2y 2

17

A expressão que define a função quadrática f(x), cujo gráfico está esboçado a seguir, é:

2x2x2)x(f)E

4x2x2)x(f)D

2xx)x(f)C

4x2x)x(f)B

4x2x2)x(f)A

2

2

2

2

2

18

EXEMPLOEXEMPLO

( 0, - 4 )

cbxax)x(f 2

OUTRA FORMA DE PENSAROUTRA FORMA DE PENSAR

a

c"x'xP

a

b"x'xS

x' x"

c

GIRARDGIRARD

a

c12

a

b12

a

42

a

b1

4a2 ba 19

cbxax)x(f 2

OUTRA FORMA DE PENSAROUTRA FORMA DE PENSAR

a

c"x'xP

a

b"x'xS

GIRARDGIRARD

a

c12

a

b12

a

42

a

b1

4a2

ba

2b

2a

4x2x2)x(f 2

GABARITO: “D”

20

4x2x2y 2

A expressão que define a função quadrática f(x), cujo gráfico está esboçado a seguir, é:

2x2x2)x(f)E

4x2x2)x(f)D

2xx)x(f)C

4x2x)x(f)B

4x2x2)x(f)A

2

2

2

2

2

21

EXEMPLOEXEMPLO

(Enem) Suponha que para um trem trafegar de uma cidade à outra seja necessária a construção de um túnel com altura e largura iguais a 10 m. Por questões relacionadas ao tipo de solo a ser escavado, o túnel deverá ser tal que qualquer seção transversal seja o arco de uma determinada parábola, como apresentado na Figura 1. Deseja-se saber qual a equação da parábola que contém esse arco. Considere um plano cartesiano com centro no ponto médio da base da abertura do túnel, conforme Figura 2.

PRATICANDO ENEMPRATICANDO ENEM

22

A equação que descreve a parábola é

25xy)E

25xy)D

10xy)C

10x5

2y)B

10x5

2y)A

2

2

2

2

2

23

c = - 4

( 0, - 4 )

( - 5, 0 )

( 5, 0 )

010)5(b)5(a)0,5(

010)5(b)5(a)0,5(

ycbxxa)y,x(

2

2

2

10b5a25

10b5a25

0b 5

2a

24

4x5

2y 2

GABARITO: “A”

SOLUÇÃOSOLUÇÃO

GABARITO: “A”

010)5(b)5(a)0,5(

010)5(b)5(a)0,5(

ycbxxa)y,x(

2

2

2

Sabemos que toda função do 2º grau é escrita na forma: f(x) = ax² + bx + c

No gráfico temos que:

c = 10

Par ordenado: ( x , y ) ( - 5 , 0 ) e ( 5 , 0)

Temos então a função: y = ax² + bx + c10b5a25

10b5a25

0b5

2a

10x5

2y

10x0x5

2y

2

2

25

SOLUÇÃOSOLUÇÃO

cbxax)x(f 2

OUTRA FORMA DE PENSAROUTRA FORMA DE PENSAR

a

c"x'xP

a

b"x'xS

x' x"

c

GIRARDGIRARD

a

c55

a

b55

a

1025

a

b0

5

2a 0b

DICA ENEM:Quando y for eixo de simetria b = 0

26

10x5

2)x(f 2

(Enem) Um projétil é lançado por um canhão e atinge o solo a uma distância de 150 metros do ponto de partida. Ele percorre uma trajetória parabólica, e a altura máxima que atinge em relação ao solo é de 25 metros.

Admita um sistema de coordenadas xy em que no eixo vertical y está representada a altura e no eixo horizontal x está representada a distância, ambas em metro. Considere que o canhão está no ponto (150; 0) e que o projétil atinge o solo no ponto (0; 0) do plano xy.

PRATICANDO ENEMPRATICANDO ENEM

27

A equação da parábola que representa a trajetória descrita pelo projétil é

2

2

2

2

2

xx150y225 )E

x3x450y125 )D

x2x300y75 )C

x25x3750y)B

xx150y)A

28

Sabemos que toda função do 2º grau é escrita na forma: f(x) = ax² + bx + c

0,0 0,150

25,75

29

SOLUÇÃOSOLUÇÃO

GABARITO: “E”

00)150(b)150(a)0,150(

250)75(b)75(a)25,75(

ycbxxa)y,x(

2

2

2

No gráfico temos que:

c = 0

Par ordenado: ( x , y ) ( 75 , 25 ) e ( 150 , 0)

Temos então a função: y = ax² + bx + c0b150a22500

25b75a5625

3

2b

225

1a

0x3

2x

225

1y 2

225

x150x

225

y225 2 2xx150y225

30

A equação da parábola que representa a trajetória descrita pelo projétil é

2

2

2

2

2

xx150y225 )E

x3x450y125 )D

x2x300y75 )C

x25x3750y)B

xx150y)A

31