agradecimentos - universidade federal de minas gerais · 2019. 1. 24. · quero agradecer aos meus...

Agradecimentos

Antes de tudo, quero agradecer a Deus. Ele tem me abençoado todos os dias

da minha vida. ‘Pois dEle, por Ele e para Ele são todas as coisas. A Ele seja

a glória para sempre! Amém.’

Quero agradecer aos meus pais, Joaquim dos Reis e Maria Irene dos Reis.

Estudar fora é dif́ıcil, a saudade é grande mas o amor, o apoio e o carinho

superam distâncias e eu sempre tive a compreensão incondicional deles.

Aos colegas da pós-graduação que me fizeram sentir em casa, mesmo eu

sendo o único da turma que não era de Belo Horizonte. Valeu !

Aos amigos e amigas da Igreja Batista Getsêmani, minha famı́lia em Belo

Horizonte. À galera da célula A Tenda do Encontro, à Judy (minha primeira

amiga em BH), à Thátia (minha irmãzinha), à Débora (que eu conheci na

porta do cemitério e é para quem eu ligo quando estou doente), ao Lessander.

Obrigado também ao meu grande amigo Uilton Soares de Oliveira. Falar

que ele é o irmão que eu não tive é pouco. Ele é um ‘amigo mais apegado

que um irmão ’.

i

Sumário

1 Teoria Básica 2

1.1 Dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Curvas Racionais Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Espaço Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.1 Espaço Tangente Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.2 Espaço Tangente Projetivo . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Explosão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7 Projeção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Rolos Racionais Normais 18

2.1 Construção Sintética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Grau e dimensão do rolo racional normal . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Outras propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Rolos Racionais Normais e Variedades Determinantais 30

4 Rolos Racionais Normais e Divisores 37

4.1 Divisores em Variedades Irredut́ıveis . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2 Divisores, Aplicações e Rolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3 O rolo cúbico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

ii

5 Representação Plana do Rolo 53

5.1 Projeções e Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

iii

Introdução

O principal objetivo desta dissertação é fazer um estudo dos rolos racionais

normais de vários pontos de vista. Sejam k, l dois inteiros positivos com

k ≤ l e Λ, Λ′ subespaços lineares complementares de dimensões k e l respec-

tivamente em Pk+l+1 (isto é, Λ e Λ′ são disjuntos e geram Pk+l+1). Escolha

curvas racionais normais C ⊂ Λ e C ′ ⊂ Λ′ e um isomorfismo ϕ : C → C ′. O

rolo racional normal Sk,l é a união das retas p, ϕ(p) ligando pontos p de C

aos pontos correspondentes ϕ(p) de C ′. Este tipo de superf́ıcie foi estudada

por Corrado Segre (1863 - 1924), professor da Universidade de Turim, logo

após a defesa da sua tese de doutorado sobre quádricas.

No caṕıtulo 1, introduzimos a teoria básica necessária ao desenvolvimento

do assunto apresentando os conceitos de espaço projetivo, variedades, curvas

racionais normais e espaço tangente e listando também alguns resultados im-

portantes como, por exemplo, o teorema da dimensão das fibras.

No caṕıtulo 2, veremos os rolos racionais normais de maneira sintética como

na definição supracitada, com uma abordagem próxima de [2] e [4]. Também

estudaremos grau, dimensão e outras propriedades do rolo.

O caṕıtulo 3 é dedicado a maneira anaĺıtica de estudar o rolo. Veremos o

rolo racional normal como variedade determinantal.

No caṕıtulo 4, a abordagem é feita através de divisores, usando [3]. Veremos

a relação entre rolos racionais normais e aplicações definidas de P2 para o

Pk+l+1 associadas a subsistemas lineares de divisores no plano. Em particu-

lar, o S1,2 ⊂ P4 será estudado como a explosão de P2 em um ponto.

No caṕıtulo 5 faremos várias projeções do rolo para o plano, baseadas em

[4], e estabeleceremos a relação de uma projeção plana particular com as

aplicações do caṕıtulo 4.

Um enfoque especial é dado aos exemplos. Muitas das propriedades gerais

iv

dos rolos racionais normais antes de serem enunciadas na forma geral são

feitas para casos particulares.

1

Caṕıtulo 1

Teoria Básica

Este caṕıtulo introduz algumas das idéias básicas da dissertação, definindo os

elementos principais e listando propriedades e resultados que serão utilizados

no decorrer do texto.

Definição 1.1 Seja K um corpo algebricamente fechado. O espaço projetivo

de dimensão n sobre o corpo K é o conjunto de subespaços de dimensão 1 do

espaço vetorial Kn+1 que será denotado por Pn. Um elemento x ∈ Pn serádenotado por x = (x0, . . . , xn).

Sabemos que em Pn um polinômio F ∈ K[x0, . . . , xn] não define umafunção, mas se F é um polinômio homogêneo de grau d, isto é, todos os

monômios de F têm grau d, então faz sentido falar no conjunto dos zeros de

F .

Definição 1.2 Uma variedade projetiva X ⊂ Pn é o conjunto dos zeros deuma coleção de polinômios homogêneos Fα. Denotaremos uma variedade por

V (Fα).

2

Definição 1.3 Seja T : Kn+1 → Kn+1 uma transformação linear de coor-

denadas do espaço vetorial Kn+1. Então T leva subespaços de dimensão 1

(retas passando pela origem) em subespaços de dimensão 1. Logo T define

uma aplicação de Pn → Pn que será chamada de transformação projetiva .

Definição 1.4 Duas variedades V e V ′ são ditas projetivamente equivalentes

se existe uma transformação projetiva tal que T (V ) = V ′.

Definição 1.5 Um mapa regular de uma variedade arbitrária X para um

espaço afim An é um mapa dado por uma n-upla de funções regulares emX. Já um mapa ϕ : X → Pn é regular se é localmente regular, isto é, se é

cont́ınuo e para cada aberto afim Ui ∼= An ⊂ Pn a restrição de ϕ a ϕ−1(Ui) éregular.

Definição 1.6 Sejam X e Y variedades projetivas irredut́ıveis. Um mapa

racional ϕ : X → Y é definido como uma classe de equivalência de pares(U, γ) com U ⊂ X um subconjunto aberto denso de Zariski e γ : U → Y

um mapa regular, onde dois pares (U, γ) e (V, η) são ditos equivalentes se

γ |U∩V = η |U∩V .

Definição 1.7 Dizemos que um mapa racional ϕ : X → Y é birracional seexiste um mapa γ : Y → X tal que ϕ ◦ γ e γ ◦ϕ são ambas definidas e iguaisa identidade.

Definição 1.8 Dizemos que duas variedades irredut́ıveis X e Y são birra-

cionalmente equivalentes se existe um mapa birracional entre elas.

Definição 1.9 Dizemos que uma variedade irredut́ıvel X é racional se X é

birracionalmente equivalente a Pn para algum n.

3

1.1 Dimensão

Definição 1.10 A dimensão de uma variedade projetiva irredut́ıvel X ⊂Pn,denotada por dim(X), é o menor inteiro i tal que existe um subespaço de

Pn de dimensão n− i− 1 disjunto de X.

Observação 1.11 Se X, Y ⊂ Pn são variedades de dimensões i e j comi+ j ≥ n então X ∩ Y 6= ∅.

O próximo teorema é conhecido como teorema da dimensão das fibras e

será útil no cálculo da dimensão dos rolos.

Teorema 1.12 Sejam X uma variedade projetiva, π : X → Pn um mapa

regular e Y o fecho da imagem. Para cada p ∈ X, sejam Xp = π−1(π(p)) ⊂ X

a fibra de π que contém p e µ(p) = dimp(Xp) a dimensão local de Xp em

p. Então para cada m o lugar dos pontos p ∈ X tal que dimp(Xp) ≥ m é

um fechado em X. Mais ainda, se X0 ⊂ X é uma componente irredut́ıvel,Y0 ⊂ Y o fecho de sua imagem e µ o menor valor de µ(p) sobre X0 então

dim(X0) = dim(Y0) + µ.

Demonstração: A demonstração pode ser encontrada em [2], caṕıtulo

11.

Corolário 1.13 Seja π : X → Y um mapa regular de variedades projetivas

com Y irredut́ıvel. Suponha que todas as fibras π−1(q) de π são irredut́ıveis

de mesma dimensão. Então X é irredut́ıvel.


11.

4

1.2 Grau

Definição 1.14 Sejam X ⊂ Pn uma variedade irredut́ıvel de dimensão k eΩ um (n−k)-plano genérico. Então o grau de X, denotado por grau(X), é onúmero de pontos da intersecção de Ω com X, contados com multiplicidade.

Equivalentemente, sejam X ⊂ Pn uma variedade irredut́ıvel de dimensão ke Λ um (n− k − 1)-plano genérico. Então grau(X) é o grau do mapa finito

sobrejetor πΛ : X → Pk, onde grau do mapa πΛ : X → Pk é o número depontos na imagem inversa de um ponto genérico de πΛ(X).

O próximo resultado, conhecido com Teorema de Bézout, relaciona o grau

da interseção de duas variedades com os graus das variedades.

Teorema 1.15 Sejam X, Y ⊂ Pn variedades irredut́ıveis de dimensões i ej, respectivamente com i + j ≥ n e suponha que X e Y têm interseçãogenericamente transversal. Então grau(X ∩ Y ) = grau(X) grau(Y ). Em

particular, se i + j = n temos que X ∩ Y consistirá de grau(X)grau(Y )pontos.

Demonstração: A demonstração pode ser encontrada em [2], Caṕıtulo 18,

página 227.

1.3 Curvas Racionais Normais

Exemplo 1.16 Considere a imagem C do mapa v : P1 → P3 dada por

v : (x0, x1) 7→ (x03, x02x1, x0x12, x13) = (z0, z1, z2, z3).

Observemos que C é o lugar dos zeros comuns dos polinômios

5

F0 = z0z2 − z12

F1 = z0z3 − z1z2F2 = z1z3 − z22

e é chamada cúbica reversa.

De fato, é fácil ver que se p ∈ v(P1) então p satisfaz F0, F1 e F2. Vejamos

que se p = (z0, z1, z2, z3) ∈ V (F0, F1, F2) então p ∈ v(P1). Suponha z0 = 1,

logo por F0 temos z2 = z12 e por F1 temos z3 = z1z2 = z1

3. Logo p =

(1, z1, z12, z1

3) = v(1, z1).

Podemos generalizar o exemplo anterior.

Definição 1.17 Seja h0, h1, . . . , hd uma base para o espaço dos polinômios

homogêneos de grau d nas variáveis x0, x1. Uma curva racional normal C ⊂

Pd de grau d é a imagem da aplicação vd : P1 → Pd dada por

vd : (x0, x1) = (h0, h1, . . . , hd)

Afirmação 1.18 Dadas duas curvas racionais normais C,C ′ ⊂ Pd de graud elas são projetivamente equivalentes, isto é, existe uma transformação pro-

jetiva T : Pd → Pd que leva C em C ′

Demonstração: Basta mostrar que uma curva racional normal é projeti-

vamente equivalente a uma forma padrão de curva racional normal. Seja

C ⊂ Pd uma curva racional normal dada por C = ud(P1) com ud : (x0, x1) =

(h0, h1, . . . , hd). Sabemos que x0d, x0

d−1x1, . . . , x1d também é uma base para

o espaço dos polinômios homogêneos de grau d nas variáveis x0, x1 assim

podemos escrever

h0 = a0,0x0d + a0,1x0

d−1x1 + · · ·+ a0,dx1d

6

h1 = a1,0x0d + a1,1x0

d−1x1 + · · ·+ a1,dx1d

...

hd = ad,0x0d + ad,1x0

d−1x1 + · · ·+ ad,dx1d

e definir uma transformação TC : Pd → Pd cuja matriz é dada por

a0,0 a0,1 · · · a0,da1,0 a1,1 · · · a1,d· · · · · · · · · · · ·ad,0 ad,1 · · · ad,d

tal que TC

−1 leva C na curva dada como a imagem da função

vd : P1 → Pd

dada por

vd : (x0, x1) 7→ (x0d, x0d−1x1, . . . , x1d).

Assim, em todo o texto, uma curva racional normal C de grau d será

vista como a imagem da aplicação vd : P1 → Pd definida por vd((x0, x1)) =

(x0d, x0

d−1x1, . . ., x1d) = (z0, z1, . . ., zd).

Afirmação 1.19 A curva C é o lugar dos zeros comuns dos polinômios

Fi,j(z) = zizj − zi−1zj+1 para 1 ≤ i ≤ j ≤ d− 1.

Demonstração: Já sabemos que vd(P1) ⊂ V (Fi,j). Vejamos que V (Fi,j) ⊂

vd(P1). Seja p = (z0, z1, . . . , zd). Sem perda de generalidade, suponha z0 = 1.

Por F1,1 temos z2 = z12, por F1,2 temos z3 = z1z2 = z1

3 e de maneira geral

por F1,j temos que zj+1 = z1j+1. Assim p = (1, z1, z1

2, . . . , z1d).

7

Exemplo 1.20 Para d = 4 temos a quártica racional normal dada por

v4 : (x0, x1) 7→ (x04, x03x1, x02x12, x0x13, x14) = (z0, z1, z2, z3, z4).

e que também pode ser vista como os zeros comuns de

F0 = z0z2 − z12

F1 = z0z3 − z1z2F2 = z0z4 − z1z3F3 = z1z3 − z22

F4 = z1z4 − z2z3F5 = z2z4 − z32

Observação 1.21 Notemos que d+1 pontos de uma curva racional normal

são linearmente independentes. De fato, supondo, por exemplo, x0 6= 0 amatriz M(d+1)×(d+1) formada pelas coordenadas de d + 1 pontos sobre C é

uma matriz de Van Der Monde e sabemos que o determinannte da matriz de

Van Der Monde só se anula se duas linhas coincidirem.

Para d = 4, supondo x0 6= 0 temos que a matriz onde cada linha é compostapelas coordenadas C é da forma

1 a1 a1

2 a13 a1

4

1 b1 b12 b1

3 b14

1 c1 c12 c1

3 c14

1 d1 d12 d1

3 d14

1 e1 e12 e1

3 e14

Assim d + 1 pontos numa curva racional normal de grau d determinam o

espaço Pd.

8

1.4 Variedades

Variedade de Veronese A construção da curva racional normal também

pode ser generalizada. Para cada n e d podemos definir a aplicação de

Veronese de grau d

vd : Pn → PN

dada por

vd(x0, x1, . . . , xn) = (. . . , xI , . . .)

onde xI percorre todos os monômios de grau d em x0, x1, . . . , xn. A imagem

da aplicação de Veronese é chamada Variedade de Veronese.

É fácil ver que N =

(n+ dd

)− 1

Exemplo 1.22 Considere d = n = 2, temos que

v2 : P2 → P5

é dada por

vd(x0, x1, x2) = (x02, x0x1, x0x2, x1

2, x1x2, x22)

A imagem desta aplicação é chamada de superf́ıcie de Veronese.

Exemplo 1.23 O P5 das cônicas Sabemos que uma cônica C em P2 é dadapela equação

a0x02 + a1x0x1 + a2x2

2 + a3x0x2 + a4x12 + a5x1x2 = 0.

9

Sabemos também que se bi é tal que bi = λai para i = 0, 1, . . . , 5 então a

cônica C ′ definida por b0x02 + b1x0x1 + b2x2

2 + b3x0x2 + b4x12 + b5x1x2 = 0

é a mesma cônica C (como conjunto de pontos de P2). Assim podemos con-

siderar o conjunto das cônicas de P2 constituindo um espaço projetivo de

dimensão 5, dado pelos pontos (a0, a1, a2, a3, a4, a5) o qual será chamado de

P5 das cônicas.

De maneira completamente análoga, considere uma cúbica C em P2 dadapela equação

a0x03 + a1x0

2x1 + a2x02x2 + a3x0x1

2 + a4x0x1x2 + a5x0x22 + a6x1

3 +

a7x12x2 + a8x1x2

2 + a9x23 = 0

Podemos considerar o conjunto da cúbicas planas formando um espaço pro-

jetivo de dimensão 9, dado pelos pontos (a0, a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9) que

chamaremos de P9 das cúbicas.

De modo geral, o conjunto das curvas planas de grau n pode ser associado

a Pr, onde r = 12(n+ 1)(n+ 2)− 1.

Variedade de Segre Outra famı́lia muito importante de aplicações são

as chamadas aplicações de Segre

σ : Pn × Pm → P(n+1)(m+1)−1

definida associando a cada par ((x), (y)) ∈ Pn×Pm o ponto em P(n+1)(m+1)−1

cujas coordenadas são os produtos dois a dois das coordenadas de (x) e (y),

isto é,

σ : ((x0, x1, . . . , xn), (y0, y1, . . . , ym)) 7→ (. . . , xiyj, . . .)

10

A imagem desta aplicação é uma variedade chamada de Variedade de

Segre e será denotada por Σn,m.

Exemplo 1.24 Nosso primeiro exemplo de variedade de Segre é a variedade

Σ1,1 ⊂ P3, isto é, a imagem da aplicação σ : P1 × P1 → P3 onde

σ : ((x0, x1), (y0, y1)) = (x0y0, x0y1, x1y0, x1y1) = (z0, z1, z2, z3)

Notemos que Σ1,1 é o lugar dos zeros do polinômio z0z3−z1z2, ou seja, é uma

superf́ıcie quádrica.

Exemplo 1.25 Outro exemplo de variedade de Segre é a imagem da apli-

cação σ : P2 × P1 dada por

σ : ((x0, x1, x2), (y0, y1)) = (x0y0, x0y1, x1y0, x1y1, x2y0, x2y1) =

(z0, z1, z2, z3, z4, z5)

denotada por Σ2,1 = σ(P2 × P1) ⊂ P5 e conhecida como variedade de Segre

de dimensão três. Observemos que Σ2,1 é o lugar dos zeros dos polinômios

G1 = z0z3 − z1z2G2 = z0z5 − z1z4G3 = z3z4 − z2z5.

1.5 Espaço Tangente

1.5.1 Espaço Tangente Afim

Suponha que X ⊂ An é uma variedade afim de dimensão k com I(X) =

(f1, f2, . . . , fl). Seja M a matriz l×n com entradas mi,j = ∂fi∂xj , onde 1 ≤ i ≤ l

e 1 ≤ j ≤ n.

11

Definição 1.26 Um ponto p ∈ X é dito suave (ou não singular) em X seo posto da matriz M avaliada em p é exatamente n− k. Um ponto p ∈ X échamado singular se o posto da matriz M avaliada em p é menor que n− k.

Podemos ver a matriz M avaliada em p como uma transformação linear de

An para Al e com isto fazer a seguinte definição.

Definição 1.27 Seja X uma variedade afim. Se p ∈ X é suave definimos oespaço tangente a X em p, denotado por Tp(X), como o núcleo da matriz M

avaliada em p.

1.5.2 Espaço Tangente Projetivo

Definição 1.28 Seja X ⊂ Pn uma variedade projetiva . Para cada p ∈ Xo espaço tangente projetivo, que será denotado por Tp(X) é definido como o

fecho projetivo de Tp(X∩U) onde U ∼= An ⊂ Pn é um aberto afim contendo p.

Podemos descrever Tp(X) de uma maneira mais direta.

Suponha que X ⊂ Pn é uma hipersuperf́ıcie dada pelo polinômio homogêneoF (Z). Sejam U ∼= An o aberto afim Z0 6= 0 com coordenadas euclidianas

zi =ZiZ0

e f(z1, z2, . . . , zn) = F (1, z1, z2, . . . , zn) tal que X ∩ U é o lugar dos

zeros de f . Para p ∈ X com coordenadas (w1, w2, . . . , wn) o espaço tangente

afim é dado como o lugar {(z1, z2, . . . , zn) ∈ An :n∑i=1

∂f

∂zi(p)(zi − wi) = 0}.

Pela definição, o espaço tangente projetivo é dado como o lugar Tp(X) =

{(Z0, Z1, . . . , Zn) ∈ Pn :n∑i=1

∂F

∂Zi(1, w1, w2, . . . , wn)(Zi − wiZ0) = 0}.

Mas as derivadas parciais de um polinômio homogêneo de grau d satisfazem a

12

relação de Eulern∑i=0

∂F

∂ZiZi = dF e temos que F (1, w1, w2, . . . , wn) = 0 então

Tp(X) = {(Z0, Z1, . . . , Zn) ∈ Pn :n∑i=0

∂F

∂Zi(p)Zi = 0}.

Uma vez descrito o espaço tangente de uma hipersuperf́ıcie, podemos de-

screver o espaço tangente projetivo de uma variedade arbitráriaX ⊂ Pn comoa interseção dos espaços tangentes projetivos de todas as hipersuperf́ıcies con-

tendo X.

Em particular, se I(X) = (F1, F2, . . . , Fm) então o espaço tangente projetivo

de X,Tp(X), será o subespaço de Pn dado pelo núcleo da matriz M , avaliada

em p, com entradas mi,j =∂Fi∂Zj

, onde 1 ≤ i ≤ l e 1 ≤ j ≤ n, vista como uma

transformação de Kn+1 para Kn.

Definição 1.29 Sejam X e Y ⊂ Pn duas variedades projetivas e p ∈ X ∩Y .Dizemos que X e Y tem interseção transversal em p se p ∈ X é suave, p ∈ Yé suave e os espaços tangentes projetivos Tp(X) e Tp(Y ) geram Tp(Pn).

Definição 1.30 Suponha que X e Y ⊂ Pn são duas variedades projetivas.Dizemos que X e Y tem interseção genericamente transversal se a interseção

é transversal para um ponto genérico p ∈ X ∩ Y

1.6 Explosão

Considere dois espaços projetivos Pn com coordenadas x0, x1, . . . , xn e Pn−1

com coordenadas y0, y1, . . . , yn−1. Para pontos x = (x0, x1, . . . , xn) ∈ Pn e

y = (y0, y1, . . . , yn−1) ∈ Pn−1 denotamos o ponto (x, y) ∈ Pn × Pn−1 por

(x0, x1, . . . , xn; y0, y1, . . . , yn−1).

13

Considere a variedade Π em Pn × Pn−1 definida pelas equações

xiyj = xjyi para i, j = 0, . . . , n− 1

Definição 1.31 O mapa σ : Π → Pn definido pela restrição da projeçãona primeira coordenada a Π é chamada explosão de Pn com centro em ξ =

(0, 0, . . . , 1) ∈ Pn.

Vejamos algumas propriedades da explosão.

Proposição 1.32 A explosão de Pn com centro em ξ é um isomorfismo entre

Pn \ ξ e Π \ (ξ × Pn−1)

Demonstração: Se p = (x0, x1, . . . , xn) 6= ξ então as equações de definição

de Π implicam que (y0, y1, . . . , yn−1) = (x0, x1, . . . , xn−1). Então o mapa

σ−1 : Pn \ ξ → Π definido por

σ−1(x0, x1 . . . , xn) = (x0, x1 . . . , xn;x0, x1 . . . , xn−1)

é a inversa de σ.

Se p = (x0, x1, . . . , xn) = ξ então as equações de definição de Π são satisfeitas

para todo valor de yi. Logo σ−1(ξ) = ξ × Pn−1.

Dessa forma σ define um isomorfismo entre Pn \ ξ e Π \ (ξ × Pn−1).

Lema 1.33 A variedade Π é irredut́ıvel.


2, seção 4.

14

Exemplo 1.34 Vamos explodir P2 com centro em (0, 0, 1), ou seja, con-

sidere x = (x0, x1, x2) ∈ P2 e y = (y0, y1) ∈ P1. Em P2 × P1 com pon-

tos da forma (x0, x1, x2; y0, y1). Seja a variedade Π definida pela equação

x0y1 = x2y0. Considere as aplicações σ : Π ⊂ P2 × P1 → P2 definida pela

restrição da projeção à primeira coordenada de P2 × P1 → P2 a Π e também

σ−1 : P2 \ ξ → Π definida por σ−1(x0, x1, x2) = (x0, x1, x2;x0, x1). Dessa

forma temos um isomorfismo entre P2 \ (0, 0, 1) e Π \ ((0, 0, 1)× P1).

1.7 Projeção

Sejam o hiperplano Pn−1 ⊂ Pn e um ponto p ∈ Pn \ Pn−1. Podemos definir aaplicação

πp : Pn \ {p} → Pn−1

dada por

πp : q 7→ qp ∩ Pn−1

isto é, mandando um ponto q ∈ Pn com q 6= p no ponto de interseção da reta

pq com o hiperplano Pn−1. A reta pq é chamada reta projetante.

Definição 1.35 Mantendo as notações anteriores, temos que a aplicação πp

é chamada de projeção a partir de p para o hiperplano Pn−1.

Em coordenadas, suponha que p é um ponto de Pn da forma p = (0, 0, . . . , 1)

e que Pn−1 é o hiperplano xn = 0. Então a aplicação πp assume a forma:

πp(z0, z1, . . . , zn) = (z0, z1, . . . , zn−1)

15

Suponha que X é uma variedade em Pn não contendo o ponto p. Podemosrestringir a aplicação πp a variedade X e ter uma aplicação regular πp : X →

Pn−1. A imagem X = πp(X) desta aplicação é chamada de projeção de X a

partir de p para Pn−1.

Teorema 1.36 A projeção X de uma variedade projetiva X a partir de p

para Pn−1 é também uma variedade projetiva.


3.

A noção de projeção a partir de um ponto pode ser generalizada. Se

Λ ∼= Pk é um subespaço e Pn−k−1 é um subespaço complementar a Λ podemosdefinir a aplicação

πΛ : Pn \ Λ → Pn−k−1

mandando um ponto q ∈ Pn \ Λ na interseção de Pn−k−1 com o (k +

1)−plano q,Λ (chamado de projetante).Novamente, para uma variedade X ⊂ Pn disjunta de Λ podemos restringira aplicação πΛ a variedade X e obter uma aplicação regular cuja imagem é

chamada de projeção de X a partir de Λ para Pn−k−1.A projeção a partir de Λ pode ser vista como a composição de uma sequência

de projeções a partir de p0, . . . , pk gerando Λ. Logo o Teorema 1.36 nos

garante que a projeção da variedade X a partir de Λ para Pn−k−1 também éuma variedade projetiva.

Seja X ⊂ Pn uma variedade. Podemos, de maneira análoga, projetar Xa partir de um ponto p ∈ X. Observe que a projeção, neste caso, não ficadefinida para o ponto p ∈ X. Vejamos um exemplo.

16

Exemplo 1.37 Seja C ⊂ P3 a cúbica reversa. Sabemos que C é imagem da

aplicação v : P1 → P3 dada por v : (x0, x1)=(x03, x02x1, x0x12, x13). Vamos

projetar C a partir do ponto p = (0, 0, 0, 1) ∈ C. A projeção πp : P3 → P2

fica assim definida πp(z0, z1, z2, z3) = (z0, z1, z2). Se restringirmos πp a C\{p}

temos πp(C \ {p}) = (x03, x02x1, x0x12) = x0(x02, x0x1, x12) que é a cônica

em P2.

De maneira geral, suponhamos que X ⊂ Pn é uma variedade de grau d e

dimensão k e que p /∈ X. Seja X = πp(X) ⊂ Pn−1 a projeção de X a partir

de p. Como os hiperplanos no espaço tangente de Pn−1 correspondem aoshiperplanos em Pn passando por p então uma k-upla de hiperplanos genéricos

Hi ⊂ Pn−1 vem de uma k-upla de hiperplanos Hi em Pn passando por pque interceptam X em exatamente d pontos pi com i = 1, 2, . . . , d. Logo a

interseção de X com os hiperplanos Hi será a imagem pi = πp(pi) ∈ Pn−1 e

portanto o grau de X será menor ou igual a d.

Novamente suponhamos que X ⊂ Pn é uma variedade de grau d e dimensão

k . Seja X = πp(X) ⊂ Pn−1 a projeção de X a partir de p, com p ∈

X. A mesma argumentação anterior continua válida, ou seja, os pontos de

interseção deX com os hiperplanosHi correspondem aos pontos de interseção

de X com os hiperplanos Hi exceto pelo ponto p. Então o grau de X é menor

ou igual a d− 1.

17

Caṕıtulo 2

Rolos Racionais Normais

2.1 Construção Sintética

Sejam k e l dois inteiros positivos com k ≤ l. Sejam Λ e Λ′ subespaços

lineares complementares de dimensões k e l respectivamente em Pk+l+1 (isto

é, Λ e Λ′ são disjuntos e geram Pk+l+1). Escolha curvas racionais normais

C ⊂ Λ e C ′ ⊂ Λ′ e um isomorfismo ϕ : C → C ′. Seja Sk,l a união das retas

p, ϕ(p) ligando pontos p de C aos pontos correspondentes ϕ(p) de C ′.

Sk,l é chamado um rolo racional normal. As retas p, ϕ(p) são chamadas retas

da regra de Sk,l ⊂ Pk+l+1.

Exemplo 2.1 Consideremos Λ = P1 e Λ′ = P2 contidos em P4. Escolha

um isomorfismo ϕ entre uma reta C ⊂ Λ e uma cônica C ′ ⊂ Λ′. Para cada

p ∈ C, considere a reta p, ϕ(p). Dessa forma temos S1,2 = {⋃p∈C

p, ϕ(p)} ⊂ P4.

18

Λ = P1

C

C ′

Λ′ = P2

Exemplo 2.2 Também podemos considerar Λ = P1 e Λ′ = P3. Escolha um

isomorfismo entre uma reta C ⊂ Λ e uma cúbica reversa C ′ ⊂ Λ′. Para

cada p ∈ C, considere a reta p, ϕ(p). Temos assim S1,3 = {⋃p∈C

p, ϕ(p)} ⊂ P5.

Λ′ = P3

C ′

Λ = P1

C

Exemplo 2.3 Consideremos Λ = P2 e Λ′ = P2. Escolha um isomorfismo en-

19

tre as cônicas C ⊂ Λ e C ′ ⊂ Λ′. Dessa forma temos S2,2 ⊂ P5.

Λ = P2

C

C ′

Λ′ = P2

Exemplo 2.4 Também podemos considerar Λ = P2 e Λ′ = P3. Escolha um

isomorfismo entre uma cônica C ⊂ Λ e uma cúbica reversa C ′ ⊂ Λ′ .Assimtemos S2,3 ⊂ P6.

Λ′ = P3

C ′

Λ = P2

C

Vamos agora estudar as principais propriedades dos rolos racionais nor-

mais.

20

2.2 Grau e dimensão do rolo racional normal

Mostraremos nesta seção que dim(Sk,l) = 2 e que o grau de Sk,l é k + l.

Lema 2.5 Seja Sk,l ⊂ Pk+l+1 o rolo racional normal constrúıdo a partir

de subespaços lineares complementares Λ e Λ′ de dimensões k e l respectiva-

mente e da escolha de curvas racionais normais C ⊂ Λ e C ′ ⊂ Λ′ e de umisomorfismo ϕ : C → C ′. Então Sk,l é irredut́ıvel.

Demonstração: Considere a projeção Π : Sk,l → C definida da seguinte

forma: para todo p ∈ Sk,l temos que p ∈ q, ϕ(q) para algum q ∈ C. Defina

Π(p) = q. Assim a fibra Π−1(q) é a reta q, ϕ(q) para todo q ∈ C. Logo todasas fibras têm a mesma dimensão, neste caso dimensão 1. Pelo corolário do

teorema da dimensão das fibras (ver 1.13), Sk,l é irredut́ıvel.

Teorema 2.6 Mantendo a notação do lema anterior, considere Sk,l ⊂ Pk+l+1.

Temos que dim(Sk,l) = 2.

Demonstração: Seja Π a projeção do lema anterior. Já sabemos que Sk,l

é irredut́ıvel e que todas as fibras têm a mesma dimensão, neste caso dimensão

1. Então, pelo teorema da dimensão das fibras (ver 1.12), dim(Sk,l) = dim

C + 1 e como dim C = 1 logo dim(Sk,l) = 1 + 1 = 2.

Para calcular o grau do rolo S = Sk,l ⊂ Pk+l+1 faremos a interseção de S

com um hiperplano particular H gerado por Λ e por Λ0 onde Λ é o subespaço

de dimensão k que aparece na construção de S e Λ0 é um hiperplano genérico

em Λ′ (Λ′ é o subespaço de dimensão l que aparece na construção de S).

Temos que dim(S) = 2 e dim(H) = k+ l logo dim(S) + dim(H) = k+ l+ 2

> k + l + 1. Assim, pelo Teorema 1.15, temos que grau(S) = grau(S ∩H)

21

desde que essa interseção seja transversal. Para calcular grau(S∩H) vejamos

que Λ0 ∩S consiste de l pontos (já que C ′ ⊂ Λ′ é uma curva racional normal

de grau l) e Λ ∩ S = C. Assim H ∩ S = C ∪ r1 ∪ · · · ∪ rl onde r1, . . . , rlsão retas de S. Logo grau(S ∩ H) = grau(C ∪ r1 ∪ · · · ∪ rl) = k + l. Paraver que essa interseção é transversal, seja p ∈ H ∩ S. Sabemos que o espaçotangente projetivo do hiperplano H é o próprio H, isto é, Tp(H) = H.

Temos também que Tp(S) é um plano, não contido em H. Logo Tp(H) e

Tp(S) geram Tp(Pk+l+1) = Pk+l+1 e a interseção é transversal.

Exemplo 2.7 O rolo S1,2 ⊂ P4 tem grau 1 + 2 = 3. Já o rolo S1,3 ⊂ P5 temgrau 1 + 3 = 4.

2.3 Outras propriedades

Exemplo 2.8 Consideremos S1,2 ⊂ P4. Vamos utilizar a notação do Exem-

plo 2.1. Temos que duas retas da regra de S1,2 são independentes (geram

P3). Já três retas da regra são dependentes e geram P4. De fato, sejam r e

s duas retas da regra de S1,2 ⊂ P4, com r ∩ C = p1, s ∩ C = p2, r ∩ C ′ = p3e s ∩ C ′ = p4.

p1

p2

p3

p4

r

s

CC ′

Λ′

Suponha, por absurdo, que as duas retas r e s se interceptam. Seja α o

plano gerado por elas. Temos que p3p4 ⊂ Λ′ . Mas em α temos que p1p2 e

22

p3p4 se interceptam logo Λ e Λ′ se interceptam. Absurdo. Logo duas retas

da regra de S1,2 geram P3.

Vejamos agora que três retas da regra geram P4. Basta observar que umaterceira reta da regra de S1,2 intercepta a curva C em um ponto que pertence

ao P3 gerado pelas duas retas da regra, mas intercepta C ′ num ponto que

não pertence ao supracitado P3.

Exemplo 2.9 Observemos S = S1,3 ⊂ P5, onde vamos manter a notação

do Exemplo 2.2. Três retas da regra são dependentes, ou seja, geram exata-

mente P4 e não P5. De fato, já vimos anteriormente que duas retas da regra

de S geram P3. Seja t uma terceira reta da regra de S, diferente de r e s.

Observemos que t intercepta o P3 gerado por r e s, pois Λ está contido neste

P3 e t intercepta Λ. Logo três retas da regra de S geram P4 e não P5.

De maneira geral, temos o seguinte resultado:


de subespaços lineares complementares Λ e Λ′ de dimensões k e l respecti-

vamente e da escolha de curvas racionais normais C ⊂ Λ e C ′ ⊂ Λ′ e deum isomorfismo ϕ : C → C ′. Para k < l temos que k + 1 retas da regra

de S são independentes, isto é geram P2k+1 e k + 2 retas da regra de S são

dependentes, isto é geram exatamente P2k+2. Em outras palavras, k + 1 é omaior número de retas da regra de S independentes.

Demonstração: Seja S = Sk,l. Primeiro vejamos que duas retas da regra

de S são disjuntas. Suponhamos, por absurdo, que as retas r e s da regra de

S se interceptam. Considere o P2 gerado por r e s e os pontos p1 = r ∩ C,p2 = s∩C, p3 = r∩C ′ e p4 = s∩C ′. Assim as retas p1p2 ⊂ Λ e p3p4 ⊂ Λ′. As

23

retas p1p2 e p3p4 ⊂ P2 e portanto se interceptam. Logo Λ e Λ′ se interceptam.Absurdo.

Suponha, por indução, que n retas da regra de S geram P2n−1, com n ≤ k.

Queremos mostrar que n+ 1 retas da regra de S geram P2n+1.

Para isso, suponha, por absurdo, que n + 1 retas da regra de S geram P2n.

Um subespaço de Λ de dimensão n está contido neste P2n e um subespaço

V ⊂ Λ′ também de dimensão n está contido neste P2n. Pela Observação1.11, V e Λ se interceptam e logo Λ e Λ′ se interceptam. Absurdo, pois isto

contraria a construção de S. Portanto n+1 retas da regra de S geram P2n+1.

Notemos que Λ ⊂ P2k+1 logo a k + 2-ésima reta da regra de S intercepta

P2k+1 então k + 2 retas da regra de S geram exatamente P2k+2.

Exemplo 2.11 Consideremos S = S2,2 ⊂ P5. Então três retas da regra de

S2,2 são independentes (geram P5).

Exemplo 2.12 Seja S = S2,4 ⊂ P7. Segue do lema anterior que três retas

da regra de S geram P5 e que quatro retas da regra de S geram P6 e não P7.

Proposição 2.13 Os rolos Sk,l ⊂ Pk+l+1 e Sk′,l′ ⊂ Pk′+l′+1 com k + l + 1 =

k′ + l′ + 1 são projetivamente equivalentes se, e somente se, k = k′

Demonstração: Suponha que S = Sk,l e S′ = Sk′,l′ são projetivamente

equivalentes e k > k′. Consideremos k + 1 retas da regra de S . Sabemos,

pelo Lema 2.10, que estas retas são independentes e como transformação

projetiva leva reta em reta e preserva independência temos que a imagem

dessas retas são independentes em S ′. Também temos, pelo Lema 2.10,

que o maior número de retas independentes em S ′ é k′ + 1. Mas estamos

24

conseguindo em S ′, k + 1 > k′ + 1 retas da regra independentes. Absurdo.

Logo k não pode ser maior que k′.

De maneira inteiramente análoga não podemos ter k′ maior que k. Portanto

k = k′.

Suponha que k = k′. Logo l = l′ pois k + l + 1 = k′ + l′ + 1. Relembremos

a construção do rolo : sejam Λ e Γ subespaços lineares complementares de

dimensões k e l respectivamente em Pk+l+1 e sejam C ⊂ Λ e E ⊂ Γ ascurvas racionais normais que aparecem na construção de S. Sejam, também

C ′ ⊂ Λ′ e E ′ ⊂ Γ′ as curvas racionais normais da construção de S ′. Sabemosque existe uma transformação projetiva TC : Λ → Λ′ que leva C em C ′ etambém uma transformação projetiva TE : Γ → Γ′ que leva E em E ′. MasPn é gerado por Λ e Γ (ou Λ′ e Γ′). Logo as transformações TC e TE se

estendem a uma transformação T : Pk+l+1 → Pk+l+1. Assim T leva C em C ′,E em E ′ e retas da regra de S em retas da regra de S ′. Portanto S e S ′ são

projetivamente equivalentes.

Exemplo 2.14 Consideremos os rolos S1,3 ⊂ P5 e S2,2 ⊂ P5. De acordo com

a proposição anterior eles não são projetivamente equivalentes.

A proposição anterior nos diz que num dado espaço Pn os diferentes tiposde rolos racionais normais contidos neste espaço ficam completamente deter-

minados pelo número k que é o grau da curva C que figura na construção

do rolo. Desta forma, excluindo a possibilidade de k ser zero, temos num

dado Pk+l+1, quantos tipos de rolos racionais normais diferentes, ou seja, nãoprojetivamente equivalentes entre si ? A resposta depende da soma k+ l. Se

k + l for par temos, em Pk+l+1, k+l2

tipos de rolos. Se k + l for ı́mpar temos

k+l−12

tipos de rolos diferentes em Pk+l+1.

25

Exemplo 2.15 Em P4 temos apenas um tipo de rolo racional normal, o S1,2

pois 1+2−12

= 1. Já em P5 existem dois tipos de rolos racionais normais, o

S1,3 e o S2,2 visto que42

= 2. Agora em P6 também temos apenas dois tipos

de rolos racionais normais, a saber o S1,4 e o S2,3 pois5−12

= 2.


de subespaços lineares complementares Λ e Λ′ de dimensões k e l respectiva-

mente e da escolha de curvas racionais normais C ⊂ Λ e C ′ ⊂ Λ′ e de umisomorfismo ϕ : C → C ′. No caso k < l temos que l retas r1, r2, . . ., rl da

regra do rolo S = Sk,l geram um hiperplano H ⊂ Pk+l+1 e que H ∩ S =l⋃

i=1

ri ∪ C.

Demonstração: Seja p = l − k. Sabemos pelo Lema 2.10 que k + 2 retas

da regra de S geram P2k+2. Assim k + 3 retas geram P2k+3 e pelo mesmo

racioćınio conclúımos que l = k + p retas geram P2k+p=k+l. Logo l retas daregra de S geram um hiperplano H.

Como p ≥ 1 temos que C ⊂ H pois C ⊂ Λ ⊂ H já que Λ fica determinado pork+ 1 pontos em posição geral (neste caso sobre uma curva racional normal).

Como ri ⊂ H por construção, temos (C ∪ r1 ∪ · · · ∪ rl) ⊂ (H ∩ S). Como

grau(H ∩ S) = k + l e grau(C ∪ r1 ∪ · · · ∪ rl) = grau(C) + l = k + l temosH ∩ S = C ∪ r1 ∪ · · · ∪ rl

Proposição 2.17 Seja Sk,l ⊂ Pk+l+1 o rolo racional normal constrúıdo a

partir de subespaços lineares complementares Λ e Λ′ de dimensões k e l res-

pectivamente e da escolha de curvas racionais normais C ⊂ Λ e C ′ ⊂ Λ′ ede um isomorfismo ϕ : C → C ′. Suponha k < l. No rolo S = Sk,l a curva

26

racional normal C ⊂ S é a única curva racional normal de grau menor quel em S, além, é claro, das retas da regra de S que têm grau 1.

Demonstração: Seja D uma curva racional normal em S tal que D não

é uma reta da regra de S. Consideremos {p1, . . . , pl} pontos distintos sobreD e tomemos ri com i = 1, . . . , l retas da regra de S que passam por pi

(isso é posśıvel já que todo ponto de S está em alguma reta da regra e essas

retas são distintas, pois caso contrário D seria uma reta). Consideremos o

subespaço Λ′′ gerado por {p1, . . . , pl} e o hiperplano H gerado por r1, . . . , rl.Temos, pelo Lema 2.16 e por construção que H ∩ S = D ∪C ∪ r1 ∪ · · · ∪ rl etomando os graus temos k + l = grau(D ∪ C) + l. Portanto D = C.

Definição 2.18 A curva C da proposição anterior, isto é, a curva C de grau

k que aparece na construção do rolo, é chamada de diretriz do rolo S.

Exemplo 2.19 Temos então que em S1,2 ⊂ P4 e em S1,3 ⊂ P5 a diretriz é

uma reta. Já em S2,3 ⊂ P6 a diretriz é uma cônica.

Definição 2.20 Uma curva racional normal de grau l sobre o rolo S = Sk,l

que está num subespaço linear Pl complementar ao espaço da diretriz e queintercepta cada reta da regra de S uma única vez é chamada uma secção

complementar de S.

Lema 2.21 Sejam S = Sk,l ⊂ Pk+l+1 o rolo racional normal constrúıdo

a partir de subespaços lineares complementares Λ e Λ′ de dimensões k e l

respectivamente e da escolha de curvas racionais normais C ⊂ Λ e C ′ ⊂ Λ′

e de um isomorfismo ϕ : C → C ′ e D uma secção complementar de S.Considere o rolo racional normal S ′ constrúıdo utilizando as curvas C e D.

Então S = S ′. Em outras palavras, qualquer secção complementar pode fazer

o papel de C ′ na construção do rolo.

27

Demonstração: Notemos que dado S ′ precisamos apenas mostrar que

C ′ ⊂ S ′. Agora pela construção temos que a cada ponto q de D existe umponto p de C ′ associado. Temos que p ∈ S ′ pois p está justamente na retada regra de S ′ que passa por q. Logo C ⊂ S ′ e portanto S = S ′

Observação 2.22 No caso k = l qualquer curva racional C de grau l encon-

trando cada reta da regra uma única vez pode ser chamada de secção com-

plementar de S. E usando o lema anterior podemos concluir que qualquer

duas secções complementares que estejam em subespaços complementares de

Pk+l+1 podem fazer o papel de C e C ′ na construção do rolo S.

Já vimos que um hiperplano H ⊂ Pk+l+1 contendo k + 1 ou mais retasda regra de S intercepta S na união das retas da regra com a diretriz C.

Já a intersecção de S com um hiperplano contendo k retas da regra de S

intercepta S na união das dadas k retas com uma secção complementar de

S. De fato, sabemos a intersecção de um hiperplano com S é uma curva de

grau k + l. Se o hiperplano já contém k retas da regra, falta uma curva de

grau l e pela Proposição 2.17 esta só pode ser uma secção complementar.

Lema 2.23 Seja S = Sk,l ⊂ Pk+l+1 o rolo racional normal constrúıdo a

partir de subespaços lineares complementares Λ e Λ′ de dimensões k e l res-

pectivamente e da escolha de curvas racionais normais C ⊂ Λ e C ′ ⊂ Λ′ ede um isomorfismo ϕ : C → C ′. Seja C a diretriz de S. Então todo pontode S que não está na diretriz está em alguma secção complementar de S

Demonstração: Seja p ∈ S e p /∈ C. Temos que p ∈ r onde r é uma retada regra de S. Escolha k retas da regra de S diferentes de r, de modo que

um hiperplano H que contém as k retas contenha p. Como H ∩ S é uniãodas dadas k retas com uma secção complementar de S e p não pertence as

retas então p está numa secção complementar de S.

28

Proposição 2.24 Seja S = Sk,l ⊂ Pk+l+1 o rolo racional normal constrúıdo


respectivamente e da escolha de curvas racionais normais C ⊂ Λ e C ′ ⊂ Λ′ e

de um isomorfismo ϕ : C → C ′. Seja S = πp(S) a imagem da projeção Sk,la partir de p. Temos que:

i) se p está na diretriz de S então S é projetivamente equivalente a Sk−1,l ⊂

Pk+l

ii)se p não pertence a diretriz de S então S é projetivamente equivalente a

Sk,l−1 ⊂ Pk+l.

Demonstração: Já sabemos que a projeção de uma curva racional normal

C de Pn é uma curva racional normal em Pn−1 quando projetada a partir de

um ponto p ∈ C (ver Exemplo 1.37). Assim

i) se p está na diretriz C, a curva racional normal de grau k contida no subes-

paço de dimensão k, a projeção a partir de p leva C numa curva de grau k−1

e obtemos Sk−1,l ⊂ Pk+l, pois C ′ é projetada numa curva de mesmo grau.

ii)se p não pertence a diretriz de S então p pertence a alguma secção comple-

mentar de S, uma curva racional normal de grau l que está num subespaço

Pl complementar ao espaço da diretriz e que pode fazer o papel de C ′ na

construção do rolo. Logo a projeção a partir de p leva C ′ numa curva de

grau l−1 e obtemos Sk,l−1 ⊂ Pk+l, pois C é projetada numa curva de mesmograu.

29

Caṕıtulo 3

Rolos Racionais Normais eVariedades Determinantais

Veremos agora outra importante classe de variedades cujas equações são os

de menores de uma matriz. Estas variedades, chamadas variedades deter-

minantais, fornecem uma maneira alternativa, mais algébrica, de estudar os

rolos racionais normais.

Definição 3.1 Seja M o espaço projetivo Pmn−1 associado ao espaço veto-rial das matrizes m×n. Para cada d, seja Md ⊂M o subespaço das matrizesde posto menor ou igual a d.

Como Md é exatamente o lugar dos zeros comuns dos determinantes de

menores (d+1)×(d+1) (que são polinômios homogêneos de grau (d+1)sobre

M) temos que Md é uma variedade projetiva e é chamada variedade deter-

minantal genérica.

Vejamos alguns exemplos.

Consideremos d = 1. A variedade determinantal M1 ⊂ M = Pmn−1 é avariedade de Segre, imagem da aplicação

σ : Pn × Pm → P(n+1)(m+1)−1

30

Exemplo 3.2 Podemos representar Σ1,1 = σ(P1 × P1) ⊂ P3 como

Σ1,1 =

{[z] =

∣∣∣∣ z0 z1z2 z3∣∣∣∣ = 0}

F = z0z3 − z1z2

Exemplo 3.3 Analogamente, a variedade de Segre de dimensão três que é

Σ2,1 = σ(P2 × P1) ⊂ P5 pode ser realizada como

Σ2,1 =

{[z] : posto

(z0 z1 z2z3 z4 z5

)≤ 1

}

As curvas racionais normais também são variedades determinantais. Lem-

bremos que uma curva racional normal C ⊂ Pn é dada como a imagem da

aplicação de Veronese vn : P1 → Pn que manda (x, y) ∈ P1 para (xn, xn−1y,

. . .,yn) ∈ Pn. C pode ser realizada como a variedade determinantal de posto1 associada a matriz

(z0 z1 . . . zn−1z1 z2 . . . zn

)

Exemplo 3.4 Para n = 3 temos a cúbica reversa e suas equações de definição

são dadas pelas determinantes 2× 2 da matriz(z0 z1 z2z1 z2 z3

)F0,1 = z0z2 − z12

F0,2 = z0z3 − z1z2F0,3 = z1z3 − z22

Observemos que as equações são as mesmas que figuram no Exemplo 1.16

31

Vejamos o rolo racional normal como variedade determinantal

Teorema 3.5 Sejam k e l inteiros positivos com k ≤ l. Então a variedadedeterminantal linear

Ψ =

{[z] : posto

(z0 . . . zk−1 zk+1 . . . zk+lz1 . . . zk zk+2 . . . zk+l+1

)≤ 1

}é o rolo racional

normal Sk,l ⊂ Pk+l+1

Antes da demonstração, vejamos um exemplo.

Exemplo 3.6 Consideremos l = 2 e k = 1. Temos que S1,2 ⊂ P4 é dado por

Ψ =

{[z] : posto

(z0 z2 z3z1 z3 z4

)≤ 1

}cujas equações são

F0,2 = z0z3 − z1z2F0,3 = z0z4 − z1z3F2,3 = z2z4 − z32

Observemos que C ⊂ Λ = P1 definido por V (z2, z3, z4) satisfaz F0,2, F0,3 e

F2,3 e C′ ⊂ Λ′ = P2 dado por V (z0, z1, F2,3) também satisfaz F0,2, F0,3 e F2,3.

Para p ∈ C com p = (z0, z1, 0, 0, 0) temos que a imagem de p pelo isomor-

fismo ϕ entre C e C ′ é ϕ(p) = (0, 0, z02, z0z1, z1

2) ∈ C ′. A reta p, ϕ(p) é

dada por t(z0, z1, 0, 0, 0) + u(0, 0 ,z02, z0z1, z1

2) = (tz0,tz1, uz02, uz0z1,

uz12) e satisfaz F0,2, F0,3 e F2,3 para todo (t, u) ∈ P1. Mostramos assim que

S1,2 ⊂ Ψ. Resta ver que Ψ ⊂ S1,2.

32

Seja p = (a0, a1, a2, a3, a4) ∈ P4 tal que p satisfaz F0,2, F0,3, F2,3.

Se p for da forma p = (0, 0, a2, a3, a4) por satisfazer F2,3 temos que p pertence

a cônica e portanto p ∈ S1,2. Se p for da forma p = (a0, a1, 0, 0, 0) então ppertence a reta.

Agora se p não for de nenhuma dessas formas precisamos mostrar que p per-

tence a alguma reta da regra de S1,2. Já vimos que uma reta da regra de S1,2 é

dada por (tz0, tz1, uz02, uz0z1, uz1

2). Podemos supor, sem perda de generali-

dade, a0 = 1 temos (1, a1, a2, a1a2, a12a2) = (1, a1, a2, a3, a4), pois como p sat-

isfaz F0,2 temos a3 = a1a2 e como satisfaz F0,3 temos que a4 = a1a3 = a12a2.

Segue que p está na reta acima fazendo z0 = 1, z1 = a1, t = 1 e u = a2.

Demonstração do Teorema 3.5: Basta ver que uma variedade do

tipo Ψ satisfaz a construção sintética do rolo. Seja Λ = Pk dado por

Λ = V (zk+1, zk+2, . . . , zk+l+1). Desta forma a variedade determinantal em

questão se resume a

C =

{[z] : posto

(z0 . . . zk−1z1 . . . zk

)≤ 1

}que é uma curva racional normal

de grau k (ver comentário anterior ao Exemplo 3.4).

Analogamente seja Λ′ = Pl dado por Λ′ = V (z0, z1, . . . , zk). Assim a var-

iedade é

C ′ =

{[z] : posto

(zk+1 . . . zk+lzk+2 . . . zk+l+1

)≤ 1

}que é uma curva racional nor-

mal de grau l.

Já temos C e C ′. Considere ϕ : C → C ′ dada por ϕ(ak, ak−1b, ak−2b2, . . .,

bk) = (al, al−1b, al−2b2, . . ., bl) e vejamos as retas da regra de S. Lembremos

que os polinômios são da forma Fi,j = zizj+1 − zi+1zj para 0 ≤ i < j ≤ k + l

e i, j 6= k. Para p ∈ C com p = (z0, z1, . . ., zk, 0, . . ., 0) = (ak, ak−1b,

33

ak−2b2, . . ., bk, 0,0, . . .,0) para (a, b) ∈ P1 temos que a imagem de p pelo

isomorfismo ϕ entre as curvas C e C ′ é ϕ(p) = (0,. . ., 0, zk+1, zk+2, . . .,

zk+l+1) = (0,. . ., 0,al, al−1b, al−2b2, . . .,bl) ∈ C ′. A reta p, ϕ(p) é dada por

tp + uϕ(p)= t(z0,z1,. . ., zk,0,. . ., 0) + u(0,. . ., 0, zk+1, zk+2, . . ., zk+l+1) =

t(ak, ak−1b, ak−2b2, . . ., bk, 0, 0, . . ., 0) + u(0,. . ., 0, al, al−1b, al−2b2, . . ., bl)

= (tak, tak−1b, tak−2b2, . . ., tbk, ual, ual−1b, ual−2b2, . . ., ubl) = (tz0, tz1, . . .,

tzk, uzk+1, uzk+2, . . ., uzk+l+1).

De maneira geral um ponto de uma reta da regra tem a i-ésima coordenada

zi dada por

zi = tak−ibi se 0 ≤ i ≤ k

zi = uak+l+1−ibi−k−1 se k + 1 ≤ i ≤ k + l + 1

e basta verificar que um ponto desta forma satisfaz a Fi,j = zizj+1 − zi+1zjcom 0 ≤ i < j ≤ k + l + 1− 1 e i, j 6= k.Temos três casos posśıveis:

Primeiro caso: i < j < k. Assim zizj+1 − zi+1zj = (tak−ibi)(tak−(j+1)bj+1)−

(tak−(i+1)bi+1)(tak−jbj) = t2a2k−i−j−1bi+j+1 − t2a2k−i−j−1bi+j+1

Segundo caso: k < i < j. Logo zizj+1−zi+1zj = (uak+l+1−ibi−k−1) (uak+l+1−(j+1)b(j+1)−k−1)

- (uak+l+1−(i+1)b(i+1)−k−1) (uak+l+1−jbj−k−1) = u2a2k+l+1−i−j−1b−2k+i+j−1 -

u2a2k+l+1−i−j−1b−2k+i+j−1.

Terceiro caso: i < k < j. Então zizj+1−zi+1zj = (tak−ibi) (uak+l+1−(j+1)b(j+1)−k−1)

- (tak−(i+1)bi+1) (uak+l+1−jbj−k−1) = tuak+l+1+k−i−j−1b−k+i+j - tuak+l+1+k−i−j−1b−k+i+j.

Mostramos assim que Sk,l ⊂ Ψ. Resta ver que Ψ ⊂ Sk,l.

Seja p = (a0, a1, . . . , ak, ak+1, . . . , ak+l+1) ∈ Pk+l+1 tal que p satisfaz Fi,jpara 0 ≤ i < j ≤ k + l + 1 − 1 e i, j 6= k. Se p for da forma p =(0, 0, . . . , ak+1, . . . , ak+l+1) por satisfazer Fi,j para k < i < j temos que p per-

tence a C ′ e portanto p ∈ Sk,l. Se p for da forma p = (a0, a1, . . . , ak, 0, 0, 0, 0)

34

por satisfazer a Fi,j para i < j < k então p pertence a C, logo a Sk,l. Agora

se p não for de nenhuma dessas formas precisamos mostrar que p pertence

a alguma reta da regra de Sk,l. Já vimos que uma reta da regra de Sk,l é

dada por (tak, tak−1b, tak−2b2, . . ., tbk, ual, ual−1b, ual−2b2, . . ., ubl). Pode-

mos supor, sem perda de generalidade, a0 = 1 temos (1, a1, a12, . . ., a1

k,

ak+1, ak+1a1, ak+1a12, . . ., ak+1a1

l) = (1, a1 , a2, . . . , ak, ak+1, . . ., ak+l+1),

pois como p satisfaz F0,j temos a0aj+1 = a1aj, ou seja, aj+1 = a1aj,para

1 < j < k. Segue que p está na reta acima fazendo t = 1, a = 1, a1 = b e

ak+1 = u. Mostrando assim que Ψ ⊂ Sk,l.

Vejamos de uma outra maneira as equações do rolo racional normal. Se-

jam z0, z1, . . . , zk+l+1 as coordenadas de Pk+l+1. A curva C pode ser repre-sentada pelas equações:

z0 = 1, z1 = λ, z2 = λ2, . . ., zk = λ

k,

zk+1 = 0, zk+2 = 0, . . ., zk+l+1 = 0

Já uma seção complementar pode ser representada por:

z0 = 0, z1 = 0, z2 = 0, . . ., zk = 0,

zk+1 = 1, zk+2 = λ, . . ., zk+l+1 = λl

e fica claro que a correspondência projetiva entre as duas curvas se expressa

através do parâmetro λ. Já um ponto do rolo se expressa pelas equações:

z0 = 1, z1 = λ, z2 = λ2, . . ., zk = λ

k,

zk+1 = µ, zk+2 = λµ, zk+3 = λ2µ, . . ., zk+l+1 = λ

lµ.

Fixando o parâmetro λ e variando µ obtemos todos os pontos de uma reta

da regra e variando também λ obtemos todos os pontos do rolo. Podemos

obter n− 1 equações do rolo, eliminando λ e µ, que se escrevem assim:

35

z0z1

= z1z2

= z2z3

= · · · = zk−1zk

= zk+1zk+2

= zk+2zk+3

= · · · = zk+lzk+l+1

que se podem escrever na forma do Teorema 3.5.

Exemplo 3.7 Para S1,2 ⊂ P4 temos z0 = 1, z1 = λ, z2 = µ, z3 = λµ,

z4 = λ2µ. Vamos para o caso S1,3 ⊂ P5 temos z0 = 1, z1 = λ, z2 = µ,

z3 = λµ, z4 = λ2µ e z5 = λ

3µ. O caso S2,2 ⊂ P5 tem z0 = 1, z1 = λ, z2 = λ2,

z3 = µ, z4 = λµ e z5 = λ2µ.

Vamos agora fazer a seguinte substituição λ = x1x0

e µ = x2x0

. Logo temos,

para S1,2 ⊂ P4, z0 = 1, z1 = x1x0 , z2 =x2x0

, z3 =x1x0

x2x0

, z4 = (x1x0

)2 x2x0

que pode

ser escrito da forma z0 = x03, z1 = x0

2x1, z2 =x02x2,z3 = x0x1x2, z4 =x1

2x2

que é um subconjunto do conjunto que geram todas as cúbicas planas. Com

substituições análogas obtemos: para S2,2,(z0 = x03, z1 = x0

2x1, z2 = x0x12,

z3 = x02x2, z4 = x0x1x2, z5 = x1

2x2 (que é outro subconjunto dos geradores

das cúbicas planas); já para S1,3 temos (z0 = x04, z1 = x0

3x1, z2 = x03x2,

z3 = x02x1x2, z4 = xox1

2x2, z5 = x13x2 (que é um subconjunto do conjunto

de geradores das quárticas do plano).

Obtemos assim aplicações ϕk,l de P2 com coordenadas x0, x1, x2 para Pk+l+1.

Veremos no próximo caṕıtulo as propriedades dessas aplicações.

36

Caṕıtulo 4

Rolos Racionais Normais eDivisores

4.1 Divisores em Variedades Irredut́ıveis

Definição 4.1 Seja X uma variedade irredut́ıvel. Um divisor D em X é

uma coleção de subvariedades fechadas irredut́ıveis C1, . . . , Cr de codimensão

1 em X cada qual associada a um inteiro ki que chamamos de multiplicidade

de Ci.

Tal divisor é escrito como uma soma formal

D = k1C1 + · · ·+ krCr

Escrevemos D = 0 para indicar que ki = 0 para todo i, neste caso chamado

divisor nulo. Já D > 0 indica que nenhum ki é negativo e algum deles é es-

tritamente positivo, nesse caso, chamamos D de divisor efetivo. Se D = Ci

chamamos D de divisor primo.

Definição 4.2 O suporte de D é o conjunto das subvariedades Ci tal que o

correspondente ki 6= 0

37

Dados dois divisores D = k1C1 + · · · + krCr e D′ = k1′C1 + · · · + kr ′Crpodemos definir D+D′ = (k1 +k1

′)C1 + · · ·+(kr +kr ′)Cr. Assim o conjuntodos divisores em X tem uma estrutura de grupo. O elemento neutro é o

divisor nulo e o simétrico de D é −D = (−k1)C1 + · · ·+(−kr)Cr. Este gruposerá denotado por DivX.

Queremos associar um divisor a uma função f ∈ k(X) (o corpo de funções

racionais) quando X é não singular . Dada uma subvariedade irredut́ıvel

C ⊂ X de codimensão 1, considere um aberto U ⊂ X, onde C é dada poruma equação local g, isto é se IC é o ideal das funções regulares que se an-

ulam identicamente em C então IC = (g) em k[U ]. Assim se 0 6= f ∈ k(U)

então existe um inteiro k > 0 tal que f ∈ (gk) e f 6∈ (gk+1). Denotaremos

tal inteiro por vC(f).

Lema 4.3 O número vC(f) definido anteriormente tem as seguintes pro-

priedades:

a) vC(f1f2) = vC(f1) + vC(f2)

b) vC(f1 + f2) ≥ min{vC(f1), vC(f2)} se f1 + f2 6= 0

Demonstração: Sejam f1 = gl1u com u invert́ıvel em OC tal que f1 ∈

(gl1) e f1 6∈ (gl1+1) e f2 = gl2v com v invert́ıvel em OC tal que f2 ∈ (gl2)

e f2 6∈ (gl2+1). Assim f1f2 = gl1ugl2v = gl1+l2uv com uv invert́ıvel em

OC. Então vC(f1f2) = l1 + l2 = vC(f1) + vC(f2). Suponha l1 ≥ l2. Assim

vC(f1 + f2) = vC(gl1u+ gl2v) = vC(g

l2(gl1−l2u+ v)) = vC(gl2) + vC(g

l1−l2u+

v) ≥ vC(gl2) = l2 = min{vC(f1), vC(f2)}.

Como X é irredut́ıvel, toda função f ∈ k(X) pode ser escrita na forma gh

com g, h ∈ k[U ]. Logo para 0 6= f definimos vC(f) = vC(g)− vC(h).

38

Lema 4.4 O número vC(f) não depende da representação de f na formagh

Demonstração: Seja f = gh

= g′

h′. Assim g′h = h′g e logo vC(g

′h) =

vC(h′g) ⇒ vC(g′) + vC(h) = vC(h′) + vC(g) ⇒ vC(g′) − vC(h′) = vC(g) −

vC(h) = vC(f).

Também é fácil ver que a definição de vC(f) independente da escolha do

aberto U .

Definição 4.5 Dizemos que C é um pólo de f se vC(f) < 0. Analogamente,

dizemos que C é um zero de f se vC(f) > 0.

Ainda resta mostrar que dada uma função f ∈ k(X) existe somenteum número finito de subvariedades irredut́ıveis C de codimensão 1 tal que

vC(f) 6= 0. Considere que X é afim e f = gh . Então vC(f) deixa de se

anular apenas nas componentes de V(g) e de V(h) (onde estão os zeros e os

polos de f). Como o anel de polinômios é noetheriano a decomposição destas

variedades em componentes é finita. No caso que X é projetiva basta cobrir

X com uma quantidade finita de abertos afins e reduzimos para o caso afim

supracitado.

Definição 4.6 Definiremos o divisor de uma função (f) como sendo (f) =∑vC(f)C.

O divisor de uma função f ∈ k(X) é chamado divisor principal.

Se (f) =∑kiCi então chamamos (f)0 =

∑ki>0

kiCi de divisor de zeros de f e

(f)∞ =∑ki

Observação 4.7 Os divisores principais formam um subgrupo do grupo dos

divisores. De fato: (f1) + (f2) = (f1f2) e 0 = (f) quando f ∈ k. Além disso,

temos que (f) ≥ 0 se f ∈ k[X].

Definição 4.8 Dizemos que dois divisores D e D′ são ditos equivalentes se

D−D′ = (f) para algum f ∈ k(X). Esta relação será denotada por D ∼ D′.

É fácil ver que esta relação é uma relação de equivalência.

(Reflexiva) Para que D ∼ D basta tomar f ∈ k∗, pois 0 = (f) = D −D

(Simétrica) Se D ∼ D′ então D−D′ = (f) para algum 0 6= f ∈ k(X). Tome

g = f−1. Assim D′ −D = −(f) = (f−1) = (g). Logo D′ ∼ D.

(Transitiva) Se D ∼ D′ então D − D′ = (f1) para algum 0 6= f1 ∈ k(X).

Analogamente, se D′ ∼ D′′ então D′−D′′ = (f2) para algum 0 6= f2 ∈ k(X).

Assim D −D′′ = (f1) + (f2) = (f1f2). Logo D ∼ D′′.

Exemplo 4.9 Considere X = P2. Toda subvariedade irredut́ıvel C de codi-mensão 1 é definida por um polinômio homogêneo F e se F tem grau k

então no aberto Ui temos IC = (F/Tik). Assim para construir o divisor de

uma função f ∈ k(P2), represente f = FG

com F e G de mesmo grau, com

F = ΠHiki e G = ΠLj

mj , com Hi e Lj irredut́ıveis. Sejam Ci a subvarie-

dade irredut́ıvel de codimensão 1 definida por Hi = 0 e Dj a subvariedade

irredut́ıvel de codimensão 1 dada por Lj = 0. Então (f) =∑kiCi−

∑mjDj

Definição 4.10 Seja D um divisor em X. O sistema linear completo asso-

ciado a D, denotado por |D|, é o conjunto de todos os divisores não negativosque são linearmente equivalentes a D.

|D| = {E ∈ DivX : E ∼ D e E ≥ 0}.

40

Definição 4.11 Seja D um divisor em X. O espaço associado a D, deno-

tado por L(D), é o conjunto das funções racionais f tal que (f) ≥ −D ou f= 0 .

L(D) = {f ∈ k(X): (f) ≥ −D} ∪ {0} .

Lema 4.12 Seja D um divisor em X. O espaço L(D) associado a D é um

espaço vetorial de k(X) sobre k.

Demonstração: Basta mostrar que se f e g ∈ L(D) então f+ag ∈ L(D)

para a ∈ k. Sabemos que (f) ≥ −D e (g) ≥ −D, ou seja, vCi(f) ≥ −ki e

vCi(g) ≥ −ki. Assim vCi(f+ag) ≥ min{vCi(f), vCi(ag)}=min{vCi(f), vCi(g)}

≥ −ki. Logo f + ag ∈ L(D).

Proposição 4.13 Se D é um divisor linearmente equivalente a D′ então

L(D) é isomorfo a L(D′) como espaço vetorial sobre k.

Demonstração: Por hipótese, D − D′ = (f) com 0 6= z ∈ k(X). Con-

sidere a transformação linear ϕ : L(D) → k(X) tal que ϕ(g) = gf , pois temos

que ϕ(g1 + g2) = (g1 + g2)f = g1f + g2f = ϕ(g1) + ϕ(g2) para g1, g2 ∈ k(X)

e ϕ(ag) = (ag)f = a(gf) = aϕ(g) para a ∈ K. A imagem de ϕ está contida

em L(D′) pois vCi(gf) = vCi(g) + vCi(f) ≥ −vCi(D) + vCi(D) - vCi(D′) =

−vCi(D′).

Considere outra transformação linear ϕ′ : L(D′) → k(X) tal que ϕ(g) =

gf−1. Vejamos que ϕ′(g1 +g2) = (g1 +g2)f−1 = g1f

−1g2f−1 = ϕ′(g1)+ϕ

′(g2)

para g1, g2 ∈ k(X) e ϕ′(ag) = (ag)f−1 = a(gf−1) = aϕ′(g) para a ∈ K.

A imagem de ϕ′ está contida em L(D) pois vCi(gf−1) = vCi(g) − vCi(f) ≥

−vCi(D′)−vCi(D)+vCi(D′) = −vCi(D). Portanto ϕ é um isomorfismo entre

L(D) e L(D′).

41

Seja D um divisor em X. Existe uma correspondência entre a proje-

tivização P(L(D)) do espaço L(D) associado a D e o sistema linear associ-

ado |D|. Esta correspondência é dada por Φ : P(L(D)) → |D|, definida da

seguinte maneira: para [f] sendo a classe de f em P(L(D)) seja Φ([f ]) = E

com D − E = (f). Observemos que (af) = (f) para todo a ∈ K.

Proposição 4.14 A correspondência Φ definida anteriormente é uma cor-

respondência biuńıvoca.

Demonstração: Seja E ∈ |D|. Como E é equivalente a D existe uma

função f ∈ k(X) tal que E = (f) +D. Mais ainda, como E ≥ 0 temos que

f ∈ L(D). Logo Φ(f) = E, mostrando que Φ é sobrejetora.

Suponha que Φ(f) = Φ(g), o que significa que eles são o mesmo divisor.

Temos então (f) + D = (g) + D, logo temos (f) = (g), ou seja, (f/g) =

0. Logo f/g = c onde c é uma constante. Então [f ] = [g] em P(L(D)),mostrando que Φ é injetora.

Definição 4.15 Seja V um subespaço vetorial de L(D). Podemos associar

a V um subconjunto S em |D| via a correspondência Φ. O subconjunto S é

dito um subsistema —S— do sistema linear |D| associado a D.

Também podemos, utilizando a correspondência Φ, definir o conjunto de

geradores de um subsistema S da seguinte forma: um subespaço vetorial V de

L(D) tem uma base, digamos, {f1, f2, . . . , fs} e cada fi tem a sua respectiva

imagem em |D| via Φ; chamamos então {Φ(f1),Φ(f2), . . . ,Φ(fs)} de conjuntode geradores de S.

Exemplo 4.16 Consideremos X = P2 com coordenadas (x0, x1, x2). Sejam

C = V (x0) e o divisor D = 2C.

42

Vejamos que P(L(D)) é isomorfo ao espaços das cônicas planas. Se F é

uma cônica então a função racional f = Fx02

pertence a L(D). Recipro-

camente, para toda função racional f ∈ P(L(D)) com f = FG

onde F e

G são homogêneos do mesmo grau (sem fatores irredut́ıveis em comum),

podemos associar uma cônica . De fato, temos que (f) = (F )− (G). Então

(f) ∈ P(L(2C)) se, e somente se, (f) ≥ −2C, ou seja, vC(G) ≤ 2 e vC′(G) = 0

para toda curva irredut́ıvel C ′ 6= C. Logo G, a prinćıpio, pode ser da forma

G = x02, G = x0 ou G constante. Mas observemos que caso G seja x0 ou

constante podemos considerar f = Fx0x0x0

= F′

x02ou f = Fx0

2

cx02= F

′′

x02. Então

G = x02. Como F e G são homogêneos do mesmo grau, podemos assumir

que F é uma cônica.

Assim temos um isomorfismo entre a projetivização P(L(D)) de L(D) e o

espaço das cônicas planas, que como sabemos pode ser parametrizado por P5

(ver Exemplo 1.23).

Exemplo 4.17 Consideremos X = P2 com coordenadas (x0, x1, x2). Sejam

C = V (x0) e o divisor D = 3C.

Vejamos que P(L(D)) é isomorfo ao espaços das cúbicas planas. Se F é uma

cúbica então a função racional f = Fx03

pertence a L(D).Reciprocamente, para

toda função racional f ∈ P(L(D)) com f = FG

onde F e G são homogêneos do

mesmo grau (sem fatores irredut́ıveis comuns), podemos associar uma cúbica

. De fato, temos que (f) = (F )− (G). Então (f) ∈ P(L(3C)) se, e somente

se, (f) ≥ −3C , ou seja, vC(G) ≤ 3 e vC′(G) = 0 para toda curva irredut́ıvel

C ′ 6= C. Logo G, a prinćıpio, pode ser da forma G = x03, G = x02, G = x0 ou

G constante. Mas observemos que caso G seja x02, x0 ou constante podemos

considerar f = Fx0x02x0

= F′

x03, f = Fx0

2

x0x02= F

′′

x03ou f = Fx0

3

cx03= F

′′′

x03. Então

43

G = x03. Como F e G são homogêneos do mesmo grau, podemos assumir

que F é uma cúbica.

Assim temos um isomorfismo entre a projetivização P(L(D)) de L(D) e oespaço das cúbicas planas, que como sabemos pode ser parametrizado por

P9, conforme Exemplo 1.23.

Definição 4.18 Sejam X uma variedade irredut́ıvel, x ∈ X e D um divisorem X. Se x é tal que x ∈ E para todo E ∈ |D| dizemos que x é um ponto

base de |D|.

Definição 4.19 Um ponto de multiplicidade d, com d > 1, de um sistema

linear associado a um divisor (de grau n) do plano é um ponto base do sistema

linear tal que uma reta genérica passando por P encontra o divisor somente

em outros n− d pontos.

Observação 4.20 A imposição de P ser um ponto múltiplo de ordem d do

sistema linear associado a um divisor do plano de grau n implica que todas

as derivadas das curvas do sistema até a ordem d − 1 avaliadas em P seanulam e alguma derivada de ordem d não se anula em P , ou seja, temos

12d(d+ 1) condições lineares sobre o sistema.

Exemplo 4.21 Consideremos X = P2 e V (x0) = C. Para o divisor D = 2C

temos que P(L(D)) é o espaço das cônicas que tem o seguinte conjunto como

conjunto gerador {x02, x0x1, x0x2, x12, x1x2, x22}. Podemos então dizer que

o sistema linear |D| associado ao divisor D é o sistema linear de cônicas.

Considere o subsistema S dado pelo seguinte conjunto gerador :{x02, x0x1,

x0x2, x12, x1x2}. O ponto (0, 0, 1) é ponto base deste subsistema, pois

(0, 0, 1) ∈ E para todo divisor E ∈ S.

44

Consideremos agora o subsistema S ′ dado por {x02, x0x1, x12}. O ponto

(0, 0, 1) é ponto base deste subsistema, mas tem multiplicidade 2.

Definição 4.22 Sejam X = P2 um plano, x ∈ X e D um divisor em X.Se x é um ponto base de |D| e é tal que para todo E ∈ |D| temos que umareta L é a reta tangente a E em x dizemos que o sistema linear tem uma

tangente fixa em x.

Exemplo 4.23 Mantendo as notações do exemplo anterior, seja S ′′ o sub-

sistema dado pelo seguinte conjunto gerador :{x02, x0x2, x1x2, x22}. O ponto

(0, 1, 0) é ponto base deste subsistema, pois (0, 1, 0) ∈ E para toda curva

E ∈ S. Sabemos que uma curva deste subsistema é da forma E = a0x02 +

a1x0x2 + a2x1x2 + a3x22. Tomando esta curva no aberto afim x1 6= 0 temos

E ′ = a0x02 + a1x0x2 + a2x2 + a3x2

2. Observemos que a reta x2 = 0 é a reta

tangente a toda E ∈ S ′′. Então o (0, 1, 0) é ponto base deste subsistema etem uma tangente fixa.

Lembremos que uma reta tangente também pode ter multiplicidade e esta

multiplicidade pode ser calculada da seguinte maneira : seja F uma curva

afim e P = (0, 0). Escreva F = Fm + Fm+1 + Fm+2 + · · · + Fn onde Fi éuma forma de grau i e Fm 6= 0. Podemos escrever Fm = ΠLiri onde Li sãoretas distintas chamadas retas tangentes a F em P e ri é a multiplicidade da

tangente Li em P . Para maiores detalhes ver [1] caṕıtulo 3, página 66.

4.2 Divisores, Aplicações e Rolos

Sejam D um divisor em X e |D| o sistema linear associado a D. Sabemos

que existe uma correspondência entre o sistema linear |D| associado a D e a

45

projetivização P(L(D))do espaço L(D) associado a D. Seja {f0, f1, . . . , fr}

uma base para P(L(D)). Assim podemos associar ao divisor D uma aplicação

ϕ : X → Pr dada por ϕ(p) = (f0(p), f1(p), . . . , fr(p)).

Exemplo 4.24 Consideremos X = P2 e V (x0) = C. Para o divisor D = 2C

temos que P(L(D)) é o espaço das cônicas que tem o seguinte conjunto como

conjunto gerador {x02, x0x1, x0x2, x12, x1x2, x22} e pode ser parametrizado

por P5.

Assim podemos associar ao divisor D = 2C a aplicação ϕ : P2 → P5 dada por

ϕ(x0, x1, x2)=(x02, x0x1, x0x2, x1

2, x1x2, x22), que neste caso é a aplicação

de Veronese de grau 2.

Exemplo 4.25 Mantendo as considerações do exemplo anterior, considere-

mos um subsistema S do sistema |2C| dado pelo seguinte conjunto gerador

{x02, x0x1, x12, x0x2, x1x2}. Observemos que todo divisor deste subsistema

passa pelo ponto p = (0, 0, 1), logo p é um ponto base deste subsistema.

A este subsistema podemos associar a aplicação ϕ1,2 : P2 → P4 dada por

ϕ1,2(x0, x1, x2) = (x02, x0x1, x1

2, x0x2, x1x2), que não está definida em p. A

imagem ϕ1,2(P2 \ p) satisfaz as equações de definição do rolo racional normal

S1,2 que são:

F0,1 = z0z2 − z12 = x02x12 − (x0x1)2,

F0,3 = z0z4 − z1z3 = x02x1x2 − x0x1x0x2 e

F1,3 = z1z4 − z2z3 = x0x1x1x2 − x12x0x2.

o que mostra que ϕ1,2(P2 \p) ⊂ S1,2. Observemos porém que a aplicação ϕ1,2não é sobrejetora. De fato, considere em P4 um ponto q da forma (0, 0, 0, a, b).

46

Sabemos que pontos desta forma são pontos da diretriz C do rolo, mas não

existe p ∈ P2 tal que ϕ1,2(p) = q. Observe também que todo ponto p ∈ S1,2\C

possui imagem. Logo ϕ1,2(P2 \ p) ∼= S1,2 \ C.

Exemplo 4.26 Sejam X = P2, V (x0) = C e D = 3C. Sabemos que

P(L(D)) corresponde ao espaço das cúbicas que tem como base o conjunto

{x03, x02x1, x02x2,x0x12, x0x1x2,x0x22, x13,x12x2, x1x22, x23} o qual pode ser

parametrizado por P9.

Logo podemos associar ao divisor 3C a aplicação ϕ : P2 → P9 dada por

ϕ(x0, x1, x2)= (x03, x0

2x1, x02x2, x0x1

2, x0x1x2, x0x22,x1

3, x12x2, x1x2

2, x23),

ou seja, a aplicação de Veronese de grau 3.

Exemplo 4.27 Mantendo a notação do exemplo anterior, consideremos agora

o subsistema S de |3C| dado pelo conjunto gerador {x0x12, x0x1x2, x0x22,

x12x2, x1x2

2}. Podemos associar a S a aplicação ψ1,2 : P2 → P4 dada

por ψ1,2(x0, x1, x2) = (x0x12,x0x1x2,x0x2

2, x12x2, x1x2

2). Observemos que

esta aplicação não está definida nos pontos p1 = (1, 0, 0), p2 = (0, 1, 0) e

p3 = (0, 0, 1). Temos também neste caso que ψ1,2(P2 \ {p1, p2, p3}) satisfaz as

equações de definição do rolo racional normal S1,2, que são

F0,1 = z0z2 − z12 = x0x12x0x22 − (x0x1x2)2

F0,3 = z0z4 − z1z3 = x0x12x1x22 − x0x1x2x12x2F1,3 = z1z4 − z2z3 = x0x1x2x1x22 − x0x22x12x2

mostrando que a imagem de ψ1,2 está contida em S1,2, sem contudo ser so-

brejetora.

De modo geral, podemos associar a um divisor D = nC sobre X = P2

uma aplicação ϕ : P2 → Pr, onde r = 12(n + 1)(n + 2) − 1 dada por ϕ(p) =

47

(f0(p), f1(p), . . . , fr(p)) onde f0, f1, . . . , fr é o conjunto gerador do sistema

linear |D| associado a D.

Podemos também considerar subsistemas S de |D| e as respectivas aplicaçõesassociadas e obter superf́ıcies racionais S ⊂ Pr. Vamos aqui nos restringir aocaso em que S é um rolo racional normal.

Exemplo 4.28 Consideremos o sistema linear associado ao divisor D = 4C

sobre P2 onde C = V (x0). O seu conjunto gerador é {x04 , x03x1, x03x2,

x02x1x2, x0

2x12, x0

2x22, x0x1

3, x0x12x2, x0x1x2

2, x0x23, x1

4,x13x2, x1

2x22,

x1x23, x2

4}.

Tomando o subsistema S dado por {x04, x03x1, x03x2, x02x1x2, x0x12x2,

x13x2} temos as seguintes propriedades: o ponto p3 = (0, 0, 1) é ponto base

com multiplicidade 3 e o ponto p2 = (0, 1, 0) é um ponto base simples e toda

curva do sistema tem a reta x2 = 0 como reta tangente fixa de multiplicidade

3.

Considerando a aplicação ϕ1,3 associada temos ϕ1,3 : P2 → P5 dada por

ϕ1,3(x0, x1, x2) = (x04, x0

3x1, x03x2, x0

2x1x2, x0x12x2, x1

3x2) que não está definida

nos pontos p2 = (0, 1, 0) e p3 = (0, 0, 1). Além disso satisfaz os polinômios

F0,2 = z0z3 − z1z2 = x04x02x1x2 − x03x1x03x2,

F0,3 = z0z4 − z1z3 = x04x0x12x2 − x03x1x02x1x2,

F0,4 = z0z5 − z1z4 = x04x13x2 − x03x1x0x12x2 e

F2,3 = z2z4 − (z3)2 = x03x2x0x12x2 − (x02x1x2)2.

F2,4 = z2z5 − z3z4 = x03x2x13x2 − x02x1x2x0x12x2,

F3,4 = z3z5 − z42 = x02x1x2x13x2 − (x0x12x2)2,

que são os polinômios de definição de S1,3. Logo ϕ1,3(P2 \ {p2, p3}) ⊂ S1,3.

Vejamos que a aplicação ϕ1,3 não é sobrejetora e nem injetora. De fato,

48

observemos que a imagem da reta x0 = 0 pela aplicação ϕ1,3 é o ponto

(0, 0, 0, 0, 0, 1). A reta da regra de S1,3 que passa por este ponto é dada

por r= (0, t, 0, 0, 0, u) (de acordo com a notação do caṕıtulo 3) já que uma

reta da regra de S1,3 tem a forma t(a,b,0,0,0,0) + u(0,0,a3,a2b,ab2,b3)=(ta,

tb,ua3,ua2b,uab2,ub3) com (t, u) ∈ P1 e (a, b) ∈ P1 dado. Observemos quepara obtermos a reta r temos que fazer a = 0, b = 1. Segue que os pontos de r

diferentes de (0, 0, 0, 0, 0, 1) não são imagem de nenhum ponto de P2 por ϕ1,3.

Qualquer outra reta da regra de S1,3 diferente da reta r pertence a imagem

de ϕ1,3, pois para a = 1, a reta da regra assume a forma (t, tb, u, ub, ub2, ub3)

que, para t = 1, é imagem de ϕ1,3(1, b, u). Para t = 0 temos a cúbica C′ =

(0, 0, ua3, ua2b, uab2, ub3) cujos pontos não são imagem de nenhum ponto de

P2 (exceto o ponto (0, 0, 0, 0, 0, 1)). Portanto os pontos de r e de C ′ não são

imagem de nenhum ponto de P2 por ϕ1,3.

Exemplo 4.29 Consideremos o sistema linear associado ao divisor D = 3C

sobre P2 onde C = V (x0). O seu conjunto gerador é {x03 , x02x1, x0x12,

x02x2, x0x2

2, x0x1x2, x13, x1

2x2, x1x22, x2

3}.

Tomemos o subsistema S ′ dado por {x03 ,x02x1 , x0x12, x02x2, x0x1x2,

x12x2} que tem o ponto p3 = (0, 0, 1) como ponto base de multiplicidade 2 e

o ponto p2 = (0, 1, 0) como ponto base simples . Consideremos a aplicação

ϕ2,2 associada ϕ2,2 : P2 → P5 dada por ϕ2,2(x0, x1, x2)=(x03, x02x1, x0x12,

x02x2, x0x1x2, x1

2x2).

Temos que ϕ2,2(P2 \ {p2, p3}) satisfaz

F0,1 = z0z2 − z12 = x03x0x12 − (x02x1)2,

F0,3 = z0z4 − z1z3 = x03x0x1x2 − x02x1x02x2,

49

F0,4 = z0z5 − z1z4 = x03x12x2 − x02x1x0x1x2,

F1,3 = z1z4 − z2z3 = x02x1x0x1x2 − x0x12x02x2,

F1,4 = z1z5 − z2z4 = x02x1x12x2 − x0x12x0x1x2 ,

F3,4 = z3z5 − z42 = x02x2x12x2 − (x0x1x2)2

que são as equações de definição de S2,2. Portanto ϕ2,2(P2 \ {p2, p3}) ⊂ S2,2.

Observemos que a aplicação ϕ2,2 não é sobrejetora e também não é injetora.

De fato, a imagem da reta x0 = 0 é o ponto (0, 0, 0, 0, 0, 1) que pertence a

reta da regra de S2,2 dada por r= (0, 0, t, 0, 0, u) (notação do caṕıtulo 3) visto

que uma reta da regra de S2,2 tem a forma (ta2, tab, tb2, ua2, uab, ub2) com

(t, u) ∈ P1 e (a, b) ∈ P1 fixo. Logo a reta r é dada por a = 0, b = 1. Qualqueroutra reta da regra de S2,2 diferente da reta r pertence a imagem de ϕ2,2,

tomemos a = 1, logo a reta da regra assume a forma (t, tb, tb2, u, ub, ub2)

que, para t = 1, é imagem de ϕ2,2(1, b, u). Para t = 0 temos a cônica

C ′ = (0, 0, 0, ua2, uab, ub2) que não é imagem de nenhum ponto de P2 (exceto

o ponto (0, 0, 0, 0, 0, 1)). Portanto os pontos de r e de C ′ não são imagem de

nenhum ponto de P2 por ϕ2,2.

Os exemplos anteriores levantam a seguinte questão : quais são os subsis-

temas que nos fornecem aplicações cujas imagens são rolos racionais normais?

Tentaremos responder esta pergunta no próximo caṕıtulo. Antes, porém exa-

minaremos melhor um caso particular: S1,2, o rolo racional normal de P4.

4.3 O rolo cúbico

Observemos que o rolo racional normal S1,2 foi dado como imagem de aplicações

associadas a dois sistemas lineares de curvas: a aplicação do Exemplo 4.25

dada por ϕ : P2 → P4 assim definida ϕ1,2(x0, x1, x2) = (x02, x0x1, x12, x0x2,

50

x1x2) que utiliza o sistema linear de cônicas com um ponto base, neste caso

o ponto (0 : 0 : 1) e a representação do Exemplo 4.27 dada por ψ : P2 → P4

definida por ψ1,2(x0, x1, x2) = (x0x12,x0x1x2,x0x2

2, x12x2, x1x2

2)que utiliza

o sistema linear de cúbicas com três pontos base, a saber (1, 0, 0), (0, 1, 0) e

(0, 0, 1).

Consideremos a transformação quadrática θ : P2 → P2 dada por θ(x0, x1, x2) =

(x0x1, x0x2, x1x2). Consideremos também a composição ψ1,2(θ) : P2 → P4.

Assim ψ1,2(θ(x0, x1, x2)) = ψ1,2 (x0x1, x0x2, x1x2) = (x0x1(x0x2)2, x0x1x0x2,

x1x2, x0x1(x1x2)2, (x0x2)

2x1x2, x0x2(x1x2)2) = (x0

3x1x22, x0

2x12x2

2, x0x13x2

2,

x02x1x2

3, x0x12x2

3) = x0x1x22(x0

2, x0x1, x12, x0x2, x1x2) = ϕ1,2.

Obtemos com a transformação quadrática o seguinte diagrama comutativo

S1,2 ⊂ P4ϕ1,2

↗ψ1,2

↖P2 θ−→ P2

que transforma a aplicação ψ1,2 na aplicação ϕ1,2.

Já sabemos que o rolo racional normal S1,2 pode ser visto como a imagem

da aplicação ϕ : P2 → P4 dada por ϕ1,2(x0, x1, x2) =(x02, x0x1, x12, x0x2,

x1x2), que não está definida em p = (0, 0, 1). Além disso, esta aplicação não

é sobrejetora.

Vejamos que o rolo racional normal S1,2 é isomorfo a explosão de P2 em p.

Relembremos a imersão de Segre. Considere σ : P2×P1 → P5 assim definida

σ : ((x0, x1, x2), (y0, y1)) = (x0y0, x0y1, x1y0, x1y1, x2y0, x2y1)

Sejam (z0, z1, z2, z3, z4, z5) as coordenadas de P5. Relembrando a explosão de

P2 com centro em p = (0, 0, 1).

51

Seja x = (x0, x1, x2) ∈ P2 e y = (y0, y1) ∈ P1. Considere em P2 × P1,

com pontos da forma (x0, x1, x2; y0, y1), a variedade Π definida pela equação

x0y1 = x1y0. A explosão σ : Π ⊂ P2 × P1 → P2 é definida pela restrição

da projeção na primeira coordenada de P2 × P1 → P2 a Π. Utilizando a

imersão de Segre restrita a Π ⊂ P2 × P1 temos σ : ((x0, x1, x2), (y0, y1)) =

(x0y0, x0y1, x1y0 ,x1y1, x2y0,x2y1) = (z0, z1, z2, z3, z4, z5). Como z1 = z2

podemos fazer naturalmente a projeção π : Σ2,1 ⊂ P5 → P4 dada por

π(z0, z1, z2, z3, z4, z5) = (z0, z1, z3, z4, z5). Sabemos que a explosão tem a

seguinte propriedade: σ−1(p) = p×P1 ou seja, pontos da forma (0, 0, 1, y0, y1).

Esses pontos são levados via a imersão de Segre para pontos da forma (0,

0, 0, 0, y0, y1) cuja projeção natural leva em (0, 0, 0, y0, y1) que é a dire-

triz C de S1,2. Já as retas de P2 que passam por p = (0, 0, 1), retas da

forma (x0, αx0, x2), são levadas em retas da regra de S1,2 que cortam a di-

retriz em pontos da forma (0, 0, 0, x0, αx0). Como ϕ1,2 é um isomorfismo de

P2 \ (0, 0, 1) → S1,2 \ C (conforme Exemplo 4.25) segue a afirmação.

As retas que não passam por p = (0, 0, 1), retas da forma (x0, x1, 0), são

levadas em cônicas.

Observemos o seguinte diagrama:

Π ⊂ P2 × P1σ2,1↪→ Σ2,1 ⊂ P5

σ−1 ↑ ↓P2 ϕ1,2−→ S1,2 ⊂ P4

A generalização de resultados do tipo acima para sistemas lineares de

grau maior e com pontos múltiplos de ordem superior a 2 nos levaria a várias

explosões e fugiria do escopo desta dissertação. Optamos por fazer um estudo

mais simples no próximo caṕıtulo fornecendo uma generalização parcial do

resultado anterior.

52

Caṕıtulo 5

Representação Plana do Rolo

Vamos projetar o rolo racional normal Sk,l ⊂ Pk+l+1 para um plano P2.

Já sabemos que a projeção de um rolo racional normal S = Sk,l ⊂ Pk+l+1 a

partir de um ponto p de S é projetivamente equivalente a Sk−1,l ⊂ Pk+l se p

pertence a diretriz C do rolo e é projetivamente equivalente a Sk,l−1 ⊂ Pk+l

se p não pertence a diretriz C do rolo (ver Proposição 2.24).

Para projetar o rolo racional normal S = Sk,l ⊂ Pk+l+1 para um plano

P2 precisamos projetar a partir de um Pk+l−2. A projeção de um ponto p

de S fica assim definida: considere o Pk+l−1 projetante gerado pelo Pk+l−2

de projeção e pelo ponto p. Este Pk+l−1 projetante intercepta o plano P2 emum ponto q que será a projeção de p. Em geral, uma projeção deste tipo não

é uńıvoca. Mas se o Pk+l−2 de projeção passar por um número convenientede pontos e de retas da regra do rolo S obtemos uma projeção uńıvoca com

várias propriedades, as quais passaremos a estudar.

Exemplo 5.1 Considere S = S1,2 ⊂ P4 e fixemos uma reta r da regra de S.

Observe que um 2-plano α contendo r intercepta S em um ponto fora da reta

53

da regra fixada, pois um hiperplano H = P3 contendo a reta r intercepta Sem uma cônica residual C . Portanto α intercepta C em dois pontos, mas

um deles está sobre r e o outro fora de r.

Em geral, temos o seguinte resultado

Lema 5.2 Considere o rolo racional normal S = Sk,l ⊂ Pk+l+1 constrúıdo


respectivamente e da escolha de curvas racionais normais C ⊂ Λ e C ′ ⊂ Λ′

e de um isomorfismo ϕ : C → C ′. Seja m um inteiro positivo tal que m ≤ k.

Fixemos m retas da regra de S. Um espaço de dimensão Pk+l−1 contendo mretas da regra de S intercepta S em k + l − 2m pontos fora das m retas daregra de S consideradas.

Demonstração: Seja H um hiperplano de Pk+l+1 contendo m retas da

regra de S. Sabemos que H ∩ S é uma curva de grau k + l (ver Teorema

1.15) composta pelas m retas da regra e uma curva C de grau k + l − m.

Considere um espaço de dimensão Pk+l−1 ⊂ H contendo m retas da regrade S. Sabemos que C intercepta este espaço em k + l −m pontos. Destesk + l −m pontos temos que m pontos estão sobre as m retas da regra de S,logo k + l −m−m = k + l − 2m estão fora das m retas consideradas.

O lema anterior nos ajuda a escolher uma maneira de construir o Pk+l−2

de projeção a partir do qual devemos projetar o rolo racional normal S =

Sk,l ⊂ Pk+l+1 para o plano α. Considere um Pk+l−2 de projeção contendo m

retas da regra do rolo S e k + l − 2m− 1 pontos de S.

Exemplo 5.3 Vamos projetar S = S1,2 ⊂ P4 a partir de um P1 que é

uma reta r da regra de S para um plano α. Observemos que neste caso

54

k + l − 2m− 1 = 0, logo não fixamos nenhum ponto fora de r.

Seja p ∈ S. Considere o P2 projetante gerado por p e por r. Em P4 este

P2 projetante intercepta o plano α em um ponto q, que é a projeção de p.

Sabemos que a projeção não está definida para o espaço de projeção (no caso

a reta r fixada).

Observemos também o que acontece com os pontos da diretriz de S. Con-

sidere p′ e p′′ pontos da diretriz. O P2 projetante gerado por p′ é o mesmo

P2 projetante gerado por p′′, logo todos os pontos da diretriz são projetadosnum único ponto P do plano α.

Definição 5.4 Seja π uma projeção do rolo racional normal Sk,l ⊂ Pk+l+1 a

partir de um Pk+l−2 de projeção para um plano α. Se todos os pontos de umareta de Sk,l são projetados através de π em um único ponto P ∈ α dizemos

que P é um ponto simples para a projeção π. Se todos os pontos de uma

curva de grau n de Sk,l são projetados em um único ponto P ∈ α dizemos

então que P é um ponto n-uplo para a projeção π.

Exemplo 5.5 Consideremos a projeção do exemplo anterior. O ponto P ∈ αé um ponto simples.

Exemplo 5.6 Seja S = S1,2 ⊂ P4. Consideremos 2 pontos P1 e P2 de S de

modo que P1 e P2 não estejam sobre a mesma reta da regra. Projetemos S

a partir de P1P2 para um plano α. A projeção procede de maneira análoga:

para p ∈ S considere o P2 projetante gerado por p e por P1P2. Em P4, este

P2 projetante intercepta o plano α em um ponto q, que é a projeção de p.Novamente, a projeção não está definida para os dois pontos P1 e P2 fixados,

mas vejamos o que acontece com as retas da regra r1 e r2 de S que passam

por P1 e P2. Considere dois pontos p′ e p′′ da reta r1 que passa por P1. O

55

P2 projetante gerado por p′ é o mesmo P2 projetante gerado por p′′, logo

todos os pontos de r1 são projetados num único ponto (simples) do plano.

Um racioćınio inteiramente análogo, mostra que a reta r2 que passa por P2

também é toda projetada num mesmo ponto do plano, diferente do ponto

anterior (pois os P2’s projetantes de r1 e r2 são diferentes).

Observemos agora o que acontece, em especial, com uma cônica (uma curva

de grau k+l−m−1 = 1+2−0−1 = 2) que passa por P1 e P2. Considere um

ponto p da cônica, o P2 projetante gerado por p,P1 e P2 será o mesmo paraqualquer ponto da cônica. Assim todos os pontos da cônica são projetados

num único ponto (duplo) do plano.

Enfim, dizemos neste caso que a projeção plana de S1,2 ⊂ P4 tem dois pontos

simples e um ponto duplo.

O nosso objetivo é ver as projeções dos Exemplos 5.3 e 5.6 como inversas

das aplicações que obtivemos no caṕı

agradecimentos - universidade federal de minas gerais · 2019. 1. 24. · quero agradecer aos meus...

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