Instituto Tecnológico de Aeronáutica – ITA/IEA 1

AE-249 - AEROELASTICIDADE

Aerodinâmica Não Estacionária

Movimentos arbitrários e resposta aerodinâmica

2

Modelo de WagnerWagner, Herbert: Über die Entstehung des Dynamischen Auftriebes vonTragFlügeln, fev. 1925

� Assume-se como um primeiro exemplo um aerofólio bidimensional movimentando-se em arfagem;

� Este aerofólio oscilante gera uma esteira de vórtices alternados cujo potencial a eles associado modifica o carregamento aerodinâmico sobre o perfil;

� As forças aerodinâmicas portanto não dependem somente da posição instantânea do aerofólio, mas também da posição e intensidade deste esteira de vórtices;

� Ou seja, isto significa que as forças não dependem exclusivamente do movimento instantâneo, mas também de uma história do movimento desde o seu início.

3

Modelo de Wagner I

� O efeito da esteira pode ser significativo ponto de reduzir a magnitude das forças atuantes no aerofólio;

� Vórtice de partida – é o modelo aerodinâmico não estacionário mais simples;

� Supõem-se que uma placa plana que idealiza um aerofólio ésubmetida a uma variação súbita (impulsiva) em ângulo de ataque, quando a mesma encontra-se sujeita a um escoamento previamente estabelecido;

� Esta variação súbita no carregamento aerodinâmico gera um vórtice de partida suficientemente forte, a ponto de reduzir em 50% o carregamento instantâneo no aerofólio.

� Após um curto espaço de tempo, o seu efeito deixa de ser significativo uma vez que ele é convectado ao longo da esteira e seu potencial torna-se desprezível para o aerofólio.

4

Vórtice de partidaO conceito de vórtice de partida vem da aerodinâmica estacionária. Ele surge no início do movimento do aerofólio no sentido da direçãode vôo. De forma análoga, quando o escoamento já está estabelecidoao variarmos o ângulo de ataque subitamente aparecerá um vórticede partida.

5

Modelo de Wagner II� O efeito do vórtice de partida na sustentação

de um aerofólio em escoamento estabelecido émodelado pela função de Wagner;

� Esta função indica que o carregamento aerodinâmico no início do movimento é metade do carregamento aerodinâmico e regime permanente;

� Este carregamento instantâneo cresce suavemente até alcançar o valor de regime permanente para o ângulo de ataque associado à entrada impulsiva.

6

Resposta indicial� Função de Wagner:� Resposta a uma

variação súbita em ângulo de ataque do aerofólio.

� A função de Wagneré igual a 0,5 quando t=0 e cresce assintoticamente para 1.0.

� Esta resposta étambém conhecida como resposta indicialdo sistema.

7

� (ref. BAH e I.E.Garrick)� A Função de Wagner fornece o histórico de variação no

tempo da sustentação, dada uma entrada degrau em ângulo de ataque do aerofólio;

� Ela é normalmente representada em função do tempo adimensionalizado definido como tempo reduzido e dado por:

� Este tempo reduzido pode ser entendido como uma distância em semi cordas.

� Sustentação:

que é função do ângulo de ataque efetivo obtido da razão do downwash a ¾ da corda pela velocidade V0.

0s V t b=

( ) ( ) ( )2

0 0

12 2

2C ef

dClL s V s sb bV Q

dφρ α πρ

αφ= ⋅ ⋅ =

( )sφ

Sustentação

8

Ângulo de Ataque Efetivo� No caso não estacionário, rerranjamos os termos circulatórios

colocando a velocidade do escoamento não perturbado em evidência, chegando-se claramente à expressão para um ângulo de ataque efetivo:

� Este ângulo de ataque representa bem como o carregamento de origem circulatória (responsável pela sustentação em escoamento não perturbado) é dependente de todos velocidades e deslocamentos associados aos graus de liberdade.

� E a ação da função de deficiência de sustentação age sobre o ângulo de ataque efetivo, causando a diminuição proporcional da sustentação.

0 0 0

1

2ef

h b Qa

V V Vα α α

= + + − =

��

9

Generalização do Movimento� A função de Wagner.e uma resposta a uma entrada degraus,

pode assim ser entendida como admitância indicial para o escoamento circulatório associado esta variação tipo degrau no downwash a ¾ da corda - Vamos entender esta definição por partes:

� Ao se aplicar uma entrada degrau a um sistema dinâmico, a resposta do sistema quando o mesmo é linear, éconhecida como a admitância indicial – A(t).

� Ou seja, a forma da função A(t) depende do sistema linear considerado; e a resposta do sistema uma força arbitrária f(t) pode ser obtida uma vez que se conheça esta função.

10

� A resposta no tempo a uma entrada degrau na força ∆f(t) aplicada em um instante de tempo t+∆t é:

� Somando para todo o intervalo temporal, chega-se a integral de Duhamel:

( ) ( ) ( ),x t f A tτ τ τ τ τ τ∆ + ∆ = ∆ + ∆ − + ∆

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )

0

0

0

0 ,

0

0 0

t

t

t

x t f A t x t

fx t f A t A t

dfx t f A t A t d

d

τ

τ

τ

τ

τ τ

τ ττ τ τ

τ

ττ τ τ

τ

−∆

=

−∆

=

≅ + ∆ + ∆

∆ + ∆= + − + ∆ ∆

∆

∆ → ⇒ = + −

∑

∑

∫

Admitância Indicial

11

� Que pode ser reescrita também na forma:

� Chegou-se na forma acima após um rearranjo resolvendo a integral por partes.

� Note que se A(t) é um degrau, a sua derivada no tempo será a função impulso [A’(t)], e f(t) é o termo forçante, que na realidade é a entrada do sistema dinâmico (no nosso caso será o downwash).

� Note que a equação acima é uma integral de convolução, também conhecida como chamamos anteriormente de integral de Duhamel.

� E do que se trata exatamente o conceito de convolução e por qual motivo se consegue obter a resposta de um sistema dinâmico dada uma entrada impulsiva?

( ) ( ) ( ) ( )( )

00

t dA tx t f A t f d

d

ττ τ

τ

−= + ∫

Integral de Duhamel

12

Conceito de Convolução

� É uma operação matemática formal, assim como a soma.

� Soma: toma dois números e gera um terceiro.

� Convolução: toma dois sinais (funções) para gerar um terceiro(a).

� O sinal de saída é o resultado da convolução do sinal de entrada com a resposta a impulso do sistema.

13

Conceito de Convolução

� Podemos estudar a convolução sob dois pontos de vista distintos: � do sinal de entrada: como cada ponto do sinal de entrada

contribui para vários pontos do sinal de saída.� do sinal de saída: como cada ponto do sinal de saída recebeu

contribuições de vários pontos do sinal de entrada.

� Estas duas perspectivas são formas diferentes de analisar a mesma operação matemática, e portanto são equivalentes:

� A primeira fornece uma idéia conceitual da convolução, enquanto que a segunda descreve a matemática da convolução.

14

Conceito de Convolução� Convolução:

( ) ( ) ( )t

'

0

= t- u dx t A τ τ τ∫t

u(t)

t

t

u(t0) • A’(t)

•••

u(t1) • A’(t)

x(t)

+

Sistema

A’(t)

y(t)

u(t) y(t)

' ( )( )

dA tA t

dt=

A’ = impulso; A = degrau

15

Convolução de dois sinais

16

� E como é a função de Wagner?

� Em 1925, Wagner derivou uma função que modela a resposta do carregamento de natureza circulatória a uma variação súbita em ângulo de ataque, supondo escoamento incompressível, e função do tempo reduzido dado por:

( )( ) ( )

2 20 2 2

0 1 0 1

1s

es d

K K I I

σ

φ σσ π

−∞

= − − + −

∫

0s V t b=

A Função de Wagner I

17

� O tempo reduzido é uma grandeza muito comum em aerodinâmica não estacionária e representa a distância percorrida pelo aerofólio penetrando no escoamento, em termos de semi-cordas.

� A aplicação da função de Wagner a uma simulação de um movimento arbitrário no domínio do tempo pode ser compreendida como uma sucessão de variações tipo degrau em ângulo de ataque e sua derivada no tempo.

Tempo reduzido

18

� É uma função que não possui uma transformada de Laplace;

� É função do tempo, ou ainda um tempo reduzido, grandeza muito comum em aerodinâmica não estacionária que representa a distância percorrida pelo aerofólio penetrando no escoamento, em termos de semi-cordas;

� Generalização para movimento arbitrários: A aplicação da função de Wagner a uma simulação de um movimento arbitrário no domínio do tempo pode ser compreendida como uma sucessão de variações tipo degrau em ângulo de ataque e sua derivada no tempo.

� A aplicação da integral de Duhamel permitirá o cálculo do carregamento aerodinâmico, para um dado movimento arbitrário conhecido.

A Função de Wagner II

19

Carregamento para movimentos arbitrários� A linearidade do escoamento não estacionário a pequenas

perturbações, permite calcular uma resposta transiente através da integral de convolução:

� Esta equação é a base da aerodinâmica não estacionária

� Inclui o efeito de toda a história do movimento no cálculo da força de sustentação de natureza circulatória.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )

00

00

2 0

2 0

s

C

s

C

dQL s bV Q s s d

d

d sL s bV Q s Q d

ds

πρ φ φ σ σσ

φ σπρ φ σ σ

= + −

−= +

∫

∫

20

Movimento Arbitrário� Portanto, vamos nos basear na generalização do movimento

fazendo uso da expressão que representa o downwash a ¾ da corda:

que será integrada no sentido de Duhamel fornecendo a sustentação da seção típica correspondente representada por:

para representar o movimento arbitrário.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

0

0 0

1

2

1

2

w t h V b a Q t

V dh dw s V s a V Q s

b ds ds

α α

αα

= + + − =

= + + − =

� �

( ) ( ) ( )2

0 00

2 0s dQ

l b h V ba V b Q s s dd

πρ α α πρ φ φ σ σσ

= + − + + − ∫�� � ��

( ) ( ) ( )02

CL s V sb Q tπρ φ=

função do temporeduzido

21

Superposição de degraus

αef(t)

tA altura de cada degrau é (dαef/dt)dt

22

� A integral de Duhamel sugere o uso de uma transformada de Laplace, note é uma integral de convolução;

� Porém para que a função de Wagner seja Laplace-transformável, R.T.Jones (NACA Rept 681) apresentou uma aproximação para esta função no domínio do tempo (reduzido):

lembrando que s é o tempo reduzido dado por:

� Esta função permite agora a aplicação da transformada de Laplace.

( ) 0.0455 0.31 0.165 0.355

s ss e eφ − −≅ − −

Aproximação de Jones

0s V t b=

23

� A transformada de Laplace de (versão mais adequada, resposta ao impulso – note que a função de Wagner está derivada no tempo)

é:

( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

0 0

10

2

12

2

12 0 2

2

C

Cs

d sL s bV L Q s

ds

L s bV s s Q s bV Qs s

φ

φπρ

πρ φ φ φπρ

=

= +

= + − =

� �

� � �� � � �

0

0

s V t b

s sb V

=

= ⇒�Variável de

Laplace

adimens.

( ) ( )( )

( )2

0 00

2 0s d s

l b h V ba bV Q s Q dds

φ σπρ α α πρ φ σ σ

− = + − + +

∫�� � ��

Transformada de Laplace

24

� Lembrando que a aproximação de Jones dada por:

� Tem-se a função de transferência relacionando a entrada Q (downwash) com a saída l (carregamento):

� Note que é semelhante ao que temos da teoria de sistemas dinâmicos, é a função de transferência só que de natureza aerodinâmica!

( )( )

2

0 2

0.5 0.2808 0.013652

0.3455 0.01365

CL s s s

bVQ s s s

πρ + +

= + +

�

�

( )1 0.165 0.355

0.0455 0.3s

s s sφ ≅ − −

+ +�� � �

Função de transferência aerodinâmica

( )( )apL sφ

25

� Resposta aerodinâmica no espaço de estados:

onde pode-se observar os estados aumentados!� Quando tratarmos de aproximações por funções racionais

revisitaremos este assunto bem como veremos como aparecem os estados aumentados.

( )

( ) ( )

1 2

2

0 0

2 2 1

2

0 0

0 2 1

0.3455 0.01365

2 0.5 0.10805 0.0.006825C

x x

V Vx Q t x x

b b

V VL t bV Q t x x

b bπρ

=

= − −

= + −

�

�

Domínio do tempo

26

Movimentos Arbitrários:Relação com Theodorsen� Método baseado na superposição de integrais de Fourier,

associados a resultados obtidos para movimentos harmônicos simples, tal como a solução apresentada por Theodorsen;

� Pode-se assumir que C(k) seria aplicável para oscilações divergentes, proporcionais a eλt onde λλλλ = µµµµ+iωωωω , µµµµ > 0 .Ou seja:

� No entanto esta generalização não é válida para movimentos convergentes, pois se µµµµ < 0, as integrais que definem C(k) divergem;

0 0

b bk i

V V

ω µ= −

27

Movimentos Arbitrários� A parte não circulatória permanece inalterada, pois independe

na natureza do movimento para ser definida, tal como se assumiu para a parte circulatória, um MHS para se associar a solução a funções analíticas especiais (Bessel).

� Pode-se estabelecer a partir do princípio da superposição, que um movimento qualquer, pode ser composto pela soma de infinitas componentes de movimentos harmônicos;

� Esta soma infinita é representada na realidade por uma integral, a integral de Fourier.

� A função de deficiência de sustentação de Theodorsen C(k) pondera a velocidade normal induzida a ¾ da corda (downwash). Esta velocidade normal, pode por sua vez, ser representada por integrais de Fourier:

( ) ( )3 4

1

2

i t

cw t f e dωω ω

π

∞

−∞= ∫

28

� Assim, podemos obter a resposta aerodinâmica para movimentos arbitrários através da transformada de Fourier da resposta a movimento harmônico simples, que depende da função de Theodorsen. (ref BAH). Vamos verificar!

� Lembrando que o downwash é :

� Pode-se representar o carregamento para movimentos quaisquer através da integral de Fourier dada por:

( ) 03 / 4

1

2cw t h V b aα α

= − + + −

� �

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ){ } ( )

( ) ( )( ) ( )

2

0

0 0

2

2

0

2

1 1

2 2

12

12

2

2

1

2

i t i t

h

i t

i t

l t l h e d l e d

b iV bC k

V bC k V b a

h e d

b V ba e di i

ω ω

α

ω

ω

ω ω ω ω α ω ωπ π

πρ ω ωπ

πρ α ω

ω ω

ω ω

π

ω

ρ

ρ ωπ

π

∞ ∞

−∞ −∞

∞

−∞

∞

−∞

+ −

= + =

= − +

+

+ + +

∫ ∫

∫

∫

De Theodorsen para Wagner

29

� Onde:

� Sabendo que:

� Temos:

( ) ( ) ( ) ( ),i t i th h t e d t e dω ωω ω α ω α ω

∞ ∞

−∞ −∞= =∫ ∫

( )( ) ( )

nn i t

n

di e d

dt

ωω ω∞

−∞= ∫i

i

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2

0 02 2

0

0

1

2

1

2

i t

i t

d h d dL t b V ba V b C k f e d

dt dt dt

f i h V b a i

h V b a e dt

ω

ω

α απρ ρ ω ω

ω ω ω α ω ωα ω

α α

∞

−∞

∞

−∞

= + − +

= + + − =

= + + −

∫

∫ � � Note que f é o downwash a ¾

da corda

De Theodorsen para Wagner

30

� Supondo que o downwash é uma função degrau unitário (lembre que Wagner definiu a sua função para este tipo de movimento):

� O carregamento circulatório é dada por:

note que:

( )

( )

0 0 03 / 4

0 0

0 00

1

2c

i t

w t h V b a V

Vf V e dt

i

ω

α α α

αω α

ω

∞

= − + + − =

= =∫

� �

( )( )2

0

i t

C o

C kL t V b e d

i

ωρ α ωω

∞

−∞= ∫

0s V t b=

De Theodorsen para Wagner

31

� Substituindo a tempo reduzido na integral:

� Ficando o carregamento circulatório como:

( )( )2

0

iks

C o

C kL t V b e dk

ikρ α

∞

−∞= ∫

( )( )2 2

2 2

0 02 2

12

2

iks

o

d h d dL t b V ba V b

dt dt d

C ke k

iktd

α απρ πρ α

π

∞

−∞

= + − −

⇓

∫���������

Função de Wagner( ) ( ) ( )2 2

0 0 0

12 2 2

2C

s V sL s V b bρ πα πρ αφ φ= ⋅ ⋅ = ⇐

De Theodorsen para Wagner

32

� Portanto, a função de Wagner é a transformada de Fourier da função de Theodorsen:

� Este resultado é importante e será útil para se fazer uma analogia com o problema do aerofólio movendo-se arbitrariamente.

( )( )1

2

iksC k

s e dkik

φπ

∞

−∞= ∫

De Theodorsen para Wagner

33

O problema da rajada� Küssner descreve o problema da entrada de um corpo

(aerofólio) em uma rajada de canto vivo de intensidade w0 , que representa a velocidade vertical da rajada;

� O encontro do aerofólio com a rajada pode ser representado através da condição de contorno a pequenas perturbações, onde no caso, ao invés de uma velocidade nula sobre o aerofólio, existirá a velocidade w0=wg que está relacionada a condição de contorno que descreve o aerofólio como:

( ) ( ), ,a aa g

z zV w x t w x t

t x

∂ ∂+ = =−

∂ ∂

34

� Küssner e Schwartz (NACA-TM-991) tratam o problema do aerofólio em movimento, separando a velocidade normal induzida (downwash) em duas partes, uma devido a uma rajada de forma senoidal e a outra associada a uma rajada de canto vivo. (Na realidade este problema é conhecido como a solução geral de Küssner-Schwartz).

� Desta separação surgem duas funções, uma denominada k2(s) que corresponde à resposta indicial devido a uma onda unitária dada por:

a qual representa a penetração em uma rajada de canto vivo.� A outra função corresponde a uma onda associada à velocidade

normal senoidal que se desloca do bordo de ataque ao bordo de fuga:

0 −

V tH x

b

( )0

i t kx

gw w eω −

=

Funções de Küssner e Sears

35

� A sustentação resultante desta velocidade normal senoidal à qual o aerofólio está submetido dada por: (solução de Schwartz)

� Esta função ficou conhecida como função de Sears, pois a mesma foi tabelada no trabalho de Sears "Some Aspects of Non-stationaryAirfoil Theory and its Pratical Applications", Journal of theAeronautical Sciences, Vol. 8,1941, pp. 104-108.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0 0 0 1 12 = − +

i t

S g g g gL V w e C k J k iJ k J k

ωπρ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 = − + g g g g gS k C k J k iJ k J k

O livro "The Theory of Aeroelasticity"

de Y. C. Fung, páginas 407-412 é uma

boa referência para conhecer as derivações

de Kussner-Schwartz e Sears

Funções de Küssner e Sears

36

Relação entre Küssner e Sears� O problema da rajada harmônica está relacionado ao problema

da rajada de canto vivo, assim como o problema de Theodorsen está relacionado ao problema de Wagner, isto é, através de uma transformada de Fourier.

� Vamos supor que excita uma rajada com velocidade vertical wg, que:

� Fazendo a transformação entre os sistema fixo na atmosfera e o sistema fixo no corpo temos:

0

0 , ' 0

, ' 0g

xw

w x

>=

<

0 0' '

' '

x x b V t x b x V t

t t t t

= + − + = +

= =

37

Relação entre Küssner e Sears� O encontro entre o

bordo de ataque da rajada ocorre em t=t’=0, ou seja, quando x’ = x+b. Assim, no sistema de coordenadas fixo no aerofólio temos:

� Portanto, se quisermos obter a transformada de Fourier da função que descreve a rajada temos:

0

0

0

0 ,

,

g

x bt

Vw

x bw t

V

+>

=

+ <

( ) ( )

( )( )

( )

0

0

0

0

0/

/

/0 0

,i t

g g

i t i t

x b Vx b V

i x b V ik ik x b

w w x t e dt

ww e dt e

i

w we e e

i i

ω

ω ω

ω

ω

ω

ω ω

∞−

−∞

∞∞

− −

++

− + − −

=

= = =−

= =

∫

∫

38

Relação entre Küssner e Sears� Mas lembre-se, o downwash responsável pelo carregamento

aerodinâmico a ¼ da corda é função da velocidade de rajada por:

� E neste caso:

� Todavia, existe uma solução para o carregamento devido a uma rajada harmônica, conhecida como função de Sears, jáapresentada anteriormente:

( ) ( ), ,a aa g

z zV w x t w x t

t x

∂ ∂+ = =−

∂ ∂

( )0

0,ik ik x b

a a

ww e e w i h i x ba V

iω ωα α

ω− −= − = − − − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0 0 0 1 12 = − +

i t

S g g g gL V w e C k J k iJ k J k

ωπρ

39

Função de Sears

40

Relação entre Küssner e Sears� O carregamento, reescrita no domínio da frequência é dada

por:

� Realizando agora transformada para o domínio do tempo teremos L(t) :

( ) ( ) ( ) ( ){ }0

0 0 1 12

ik ik x b

S g g g g

wL V e e C k J k iJ k J k

iπρ

ω− − = − − +

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( )

0 1 1

0 0

0 0 0 0 22

1

2

2

i t

g g g gik iks

SL e d

C k J k iJ k J kV bw e e dk

i

L t

V bw k s

k

V bw s

ωω ωπ

ρ

πρ ψ πρ

∞

−∞

∞− −

−∞

= =

− + =

= =

∫

∫

41

Relação entre Küssner e Sears� Onde

� É a função de Küssner, que pode ser escrita também como:

� Análoga à expressão ara a função de Wagner:

( )( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )0 1 1

11

2

g g g gik s

C k J k iJ k J ks e dk

ikψ

π

∞−

−∞

− + = ∫

( )( ) ( )11

2

g ik sS k

s e dkik

ψπ

∞−

−∞

= ∫

( )( )1

2

iksC k

s e dkik

φπ

∞

−∞= ∫

42

Função de Küssner

43

� Enquanto que a dedução para a parcela referente a rajada de canto vivo é apresentada por Küssner em 1936, e a sustentação resultante é dada por:

� Da mesma forma que a função de Wagner, a função de Küssner não pode ser escrita atrás de uma forma algébrica explícita. Portanto, ele também pode ser aproximada por:

� Novamente, as transformadas de Laplace das funções de Küssner e Sears, estão relacionas entre si da mesma forma que as funções de Wagner e de Theodorsen estão.

( )0 0 22SL V w k sπρ=

( ) 0.130

21 0.500 0.500

− −= − −s sk s e e

0= →V t

sb

Representa o quanto a rajadapenetra no aerofólio

Funções de Küssner e Sears

44

Funções de Küssner e Sears

� Também se pode obter uma resposta geral ao carregamento devido a uma rajada arbitrária, através de uma integral de Duhamel:

� De onde se pode obter a resposta a uma turbulência, por exemplo, construída através da superposição de rajadas do tipo canto vivo (degraus).

( ) ( ) ( )( )

( )00

0s g

g

dwL s bV w s s d

d

σπρ ψ ψ σ σ

σ

= + −

∫

45

Resumo (mudamos de s -> t’)� Movimentos arbitrários:

( ) ( )( )

( ) ( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

'2

0 00

0 0

0

0 0

' 10 02 ' ,

'

1

2

'

0

2 '2 '

12 2

2

t dl b h V ba bV Q t Q d

dt

dl s bV L Q s t V t b

dt

s sb V

l s b

t

t

s sV s Q s bV s Q s

φ σφ φ

φ

πρ α α πρ σ σ

πρ

πρ φ φ φπρ

= + − + +

= + =

=

= +

−=

− =

∫�� � ��

� �

� �

�

� � � � �

( )1 0.165 0.355

0.0455 0.3ss

s sφ ≅ − −

+ +�� � �

( )( )

2

20

0.5 0.2808 0.01365

0.3455 0.013652

l sbV

s

s

sQ

s

sπρ

+ +

+

=

+

�

�

46

Significado físico:

� De uma sucessão de degraus unitários pode-se construir a resposta a uma movimento arbitrário, usando a integral de Duhamel, que representa a soma de vários degraus de amplitude infinitesimal e são somados ao longo do tempo.

47

E quanto as rajadas:� Küssner e Sears:

� De onde se obtêm a resposta a uma rajada qualquer.

( ) ( ) ( )( )

( )00

' 0 ' 's g

g

dwL t bV w t t d

d

σπρ ψ ψ σ σ

σ

= + −

∫

( )0.5 0.5

1 0.13s

s sψ ≅ +

+ +�� �

( )( ) ( )11

2

g ik sS k

s e dkik

ψπ

∞−

−∞

= ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1g g g g g gS k C k J k iJ k J k = − +

48

Significado físico:

� Não é o aerofólio que se move, mas sim ocorre uma perturbação no escoamento médio de forma conhecida:� Sears - senóide� Küssner – degrau

� Podemos generalizar da mesma forma que fizemos com Wagner, usando uma integral de Duhamel