Instituto Tecnológico de Aeronáutica – ITA/IEA

AE-249 - AEROELASTICIDADE

Aeroelasticidade Estática -Torção de asas

Divergência de uma asaCaso de estudo – divergência de uma asa sem enflechamento, com rigidez igualmente distribuída ao longo da envergadura.Hipóteses: Alongamento grande, pequenas deformações, de forma a permitir que a asa seja modelada por uma equação diferencial linear;Pode-se assumir a teoria de St. Venant, e a asa pode ser idealizada como um conjunto de pequenas seções de asa justapostos ao longo da envergadura.

Modelo estrutural da asa contínua

( ) dT y GJdyθ

=

θ

0ydT dTM T tdy T dy t dydy dy

⎛ ⎞ ⎛ ⎞Σ = = − − + = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

t(y)

V

Eixo elástico x

ce

d

LT

dy

tdy

V

y

Aproximação da asa por uma viga

Condição de contorno

¼ c

cg

Modelo estrutural da asa contínua

Assume-se que a estrutura está sujeita a uma distribuição de torque t(y) contínua, ao longo da envergadura, com sinal positivo, o que representa um momento de cabrar de cada seção.Da teoria de St. Venant, pode-se relacionar as equações de equilíbrio com as forças atuantes:

( )dT d dGJ t ydy dy dy

θ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠( ) dT y GJ

dyθ

= ⇒

Esforços aerodinâmicosOs esforços aerodinâmicos atuantes são função das deformações estruturais, e neste caso assume-se um primeira aproximação onde a interferência aerodinâmica;A equação anterior pode ser empregada para calcular a divergência de uma asa como a indicada na figura anterior.

Modelo aerodinâmicoTeoria das faixas: Assume que não existe interferência aerodinâmica entre faixas que discretizam a asa ao longo da envergadura.

Desta forma o carregamento aerodinâmico pode ser facilmente assumido como a soma dos carregamentos aerodinâmicos de infinitas seção típicas distribuídas ao longo da envergadura.

( ) ( )l l ol y qc C qcCα αα α θ= = +

( ) ( ) 2l o mact y qc C qc C nmgdeα

α θ= + + +

Equações de equilíbrio - Momentos

( )dT t ydy

= −

( )dT d dGJ t ydy dy dy

θ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) ( ) 2l o mact y qceC qc C nmgdα α θ= + + + ⇒

( )2l l o mac

d dGJ qceC qceC qc c nmgddy dy α α

θ θ α⎛ ⎞

+ = − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

T T+dT/dydy

t dyraiz ponta

V

y

Solução da Equação diferencial

simplificamos para

2

2lqceCd K

dy GJαθ θ⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )2 /l o macK qceC qc c nmgd GJαα= + +

2 lqceCGJ

αλ =

2 Kθ λ θ′′ + = −

( ) 2sin cos /y A y B y Kθ λ λ λ= + −

Fazendo

e

Que possui solução na forma

Condições de contorno

( ) 2sin cos /y A y B y Kθ λ λ λ= + −

( ) 2 20 0 K KB Bθλ λ

= = − ⇒ =

( ) ( ) 20 cos sinKT L GJ L GJ A L Lθ λ λ λ λλ

⎡ ⎤′= = = −⎢ ⎥⎣ ⎦

Para resolvermos o problema precisamos definir condições de contorno.Para particularizar a nossa solução:

A forma de particularizar é aplicar as condições de contorno quecaracterizam o nosso problema, isto é uma asa reta, sem afilamentoengastada na raiz e com distribuição constantes das propriedadesde rigidez (G e J)

Momento na ponta da asa (em y = L) é nulo:

Engastamento na raiz:

Condições de contorno

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 1 cos tan sin

1 cos tan sinmaco

l l

Ky y L y

cc nmgdy y L ye C qceCα α

θ λ λ λλ

θ α λ λ λ

−⎡ ⎤= − −⎣ ⎦

⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + + − −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠

Resolvendo as equações resultantes da aplicação da condição deContorno, temos A e B definidos pela relações anteriores chegando a:

Esta equação representa a distribuição de torção de uma asa reta eAlongada, sujeita a um carregamento aerodinâmico que a deforma emTorção.

Amplificação da torçãoNote que temos um termo que pode se tornar infinito dependendo do seu argumento;Pode portanto associar este comportamento a um critério de divergência.

( ) ( )( )2 1 cos tan sinKy y L yθ λ λ λλ−

⎡ ⎤= − −⎣ ⎦

0

2

4

6

8

10

λL

tan(

λL)

π/2π/10 2π/10 3π/10 4π/100

λL =π2

Critério de divergência:Do resultado apresentado graficamente, pode-se estabelecer o seguinte critério:

Pode-se fazer uma analogia deste resultado com o obtido para a seção típica, a pressão dinâmica é diretamente proporcional a rigidez e inversamente proporcional a área da asa.

2

2 2

21

2 2

l

Dl l

qceCL GJ

GJ GJqL ceC L c LeC

α

α α

πλ

π π

= = ⇒

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Solução formal para a divergência

Um resultado importante que foi observado na seção típica, é que a divergência é uma fenômeno associado a estabilidade da estrutura e, consequentemente independe de forças externas atuantes.Desta forma podemos estudar a equação que representa a distribuição de torção para asa na sua forma homogênea:

2

2 0lqceCddy GJ

αθ θ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Solução elementarAssume-se as mesmas condições do caso anterior, e consequentemente A e B serão diferentes.

Conhecida a solução elementar, e considerando conhecido A e B, pode-se partir para o estudo da estabilidade do sistema aeroelástico.

2

2 0lqceCddy GJ

αθ θ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) sin cosy A y B yθ λ λ= +

Critério de estabilidade de EulerDo equilíbrio estático, chega-se a relação geral entre força e deslocamento em regime linear:

Assumindo que existe uma pequena perturbação up , que se soma a condição de equilíbrio estático discriminada daqui por diante como us , tem-se os seguinte conjunto de equações:

{ } [ ]{ }F K u=

(Leonard Euler, matemático suíço, 1707-1783)

Critério de estabilidade de Euler

[ ]{ } [ ]{ } { }[ ]{ } [ ]{ } { }

p s

S p

K u K u u F

K u K u F

= + =

+ =Porém, do equilíbrio estático temos:

[

(acrescentamos a perturbação)

]{ } { } [ ]{ } { }{ } { }[ ] [ ]

0

0

0

s p

p

K u F K u

u

K

= ⇒ =

=

=

Solução trivial

Caracteriza um estado de estabilidade neutra

Critério de estabilidade de Euler

Seentão:

A equação derivada do determinante de [K] deve ser nula (Δ=0);Δ=0 é a equação característica, e as suas raízes são os auto-valores do sistema;É um polinômio de ordem N, onde N é a dimensão da matriz [K]

Se Δ>0 – o sistema é estávelSe Δ<0 – o sistema é instável

[ ]{ } { } { } { }0 0p pK u e u= ≠

Determinante de uma matriz: A condição para que se tenha solução não nula para up , só existe se det[K] = 0 !

Nosso caso de estabilidade...

( ) ( ) 0T L GJ Lθ ′= = ⇒( ) cos sin 0( cos ) ( sin ) 0

L A L B LA L B Lθ λ λ λ λ

λ λ λ λ

′⎧ = − =⎪⎨

+ − =⎪⎩

( )0 0θ = ⇒ ( )0 sin 0 cos 0 0(0) (1) 0

A BA Bθ λ λ⎧ = + =⎪

⎨+ =⎪⎩

( ) ( )0 1 0

cos sin 0A

L L Bλ λ λ λ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫

=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦

Determinante de estabilidade

( ) ( )0 1 0

; cos 0cos sin 0

AL

L L Bλ λ

λ λ λ λ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫

= Δ = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦

λL =π2

,3π2

, .. .2n +1( )π

2

λ2 L2 =π 2

4=

qDceclα L2

GJ

Soluções para a equação onde odeterminante se anula. O menorvalor deste conjunto é a pressão dinâmica de divergência. Como:

22 2 2

22

2

4

4 2

l

lD

l

qceC LGJqceC GJq

L GJ L ceC

α

α

α

πλ λ

π π

= ⇒ =

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⇒ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

λ é o autovalor!

Efeito no ângulo de torção

1.00.80.60.40.20.00.00

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

1.50

1.75

nondimensional distance from wing root

twis

t ang

le

75% divergence q

50% divergence q

10% divergence q

Exemplos de AplicaçãoDivergência de uma asa com engaste flexível

b

V line of aerodynamic centers

elastic axisc

flexible attachment

fuselage

y ′ ′ θ + λ2θ = 0

λ2 =qceclα

GJ

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ Ms ≡ KT θ 0( )T 0( ) = GJ ′ θ 0( )

V

b

yMs

T(0)

y(0) y(b)KTθ 0( ) = GJ ′ θ 0( )

Condições de contorno

V

b

yMs

T(0)

y(0) y(b)

KT

GJθ 0( ) = ′ θ 0( )

T b( ) = GJ ′ θ b( ) = 0

′ θ b( ) = 0

Determinante de Estabilidade

θ(y) = Asin λy + Bcosλy

′ θ (y) = Aλ cos λy − Bλ sinλy

BKTb

GJ= Aλb

KT

GJθ 0( ) = ′ θ 0( )

Aβλb − B = 0

bKGJ

T

=β

O sistema de equações podeser representado da mesma forma do caso onde o engaste da asa é rígido.Define-se o parâmetro β comosendo a forma de representaro quanto o engaste é rígidocom relação a rigidez em torçãoda asa.

Determinante de Estabilidade

′ θ (b) = Aλ cos λb − Bλ sin λb = 0

βλb −1

λ cosλb −λ sinλb

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

A

B

⎧ ⎨ ⎩ ⎪

⎫ ⎬ ⎭ ⎪ =

0

0

⎧ ⎨ ⎩ ⎪

⎫ ⎬ ⎭ ⎪

Δ = λ −βλbsin λb + cosλb( )= 0

A torção na ponta da asa por sua vez é nula, o que implica em umacondição a mais que permite montar o sistema de equações para definir A e B.

O sistema de equações, escrito na forma matricial fica portanto:

E o determinante de divergência aeroelástica é dado por:

Equação de estabilidade

0

2

4

6

8

10

dynamic pressure parameter (2λb/π)

func

tion

valu

e

tan λb

1/λb

divergence β=0.25

divergence β=0.125

divergence β=0.75 clamped

root divergence

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

.

bKGJ

T

=β

( )sin cos 0sin cos 0

cos sin1tan

b b bb b b

b b b

bb

λ βλ λ λ

βλ λ λλ βλ λ

λβλ

Δ = − + = ⇒

⇒ − + == ⇒

⇒ =

2 lqceCGJ

αλ =

Equação transcendental ->

Resposta final…

5432100.00

0.25

0.50

0.75

1.00

β=0.25

more flexible attachment

clamped support β=0

Parâmetro de rigidez relativa βVel

oci

dad

e re

lativa

de

div

ergên

cia

O efeito do enflechamento

Considerações iniciaisAsas podem ter o seu enflechamento positivo (“para trás”), ou negativo (“para frente”)Para que enflechar para frente ?

Tentar diminuir a distância entre o centro aerodinâmico e o centro de gravidade da aeronave;Melhorar características de controlabilidadelongitudinal para o caso de aeronaves com pouco volume de cauda, uma vez que a eficiência de sustentação aumentada;Diminuir efeito de arrasto de onda no regime transônico.

Efeitos de“Wash in” e “Wash Out”

São resultantes do acoplamento de um movimento de flexãoque induz uma torção

Aeroelasticidade estática de asas enflechadas.

ObjetivoDeterminar como a flexão, não somente a orçào como se viu antes, muda o carregamento em asas enflechadas;Apresentação de modelos aerodinâmicos e estruturais simples.

Efeito do Enflechamento

Enflechamento:Método das componentes de velocidade

Usualmente, a asa é discretizada em faixas, cuja corda de cada seção típica é perpendicular ao seu eixo elástico;Entretanto, se a asa é enflechada, o eixo elástico também será;

Efeito do Enflechamento

Quando a asa é enflechada, deve-se observar que as seções típicas, definidas perpendiculares ao eixo elástico, não estão alinhadas com o escoamento;Emprega-se a solução aerodinâmica bidimensional para resolver o problemas por faixas (aproximação);Entretanto, alguns “termos novos”surgirão nas relações de sustentação e momento, pois existirá um acoplamento do movimento de flexão que induzirá uma torção nas faixas alinhadas com o escoamento não perturbado;O primeiro passo será escrever a velocidade de deformação da asa na direção vertical como função de coordenadas de um novo sistema de eixos, onde um deles é coincidente com o eixo elástico da asa.

Efeito do Enflechamento

Ref. NACA-REPT-1014

Efeito do Enflechamento

Sendo “s”o eixo alinhado com a direção da envergadura e coincidente com o eixo elástico; e “r” perpendicular a “s”, um deslocamento Z escrito neste novo sistema de coordenadas é uma função: Z = Z(r,s,t) . (na figura, y’ = s)E a condição de contorno, ou seja o normalwash induzido pela superfície da asa é:

onde a coordenada ξ é paralela com o escoamento não perturbado. Define-se o normalwash (ou downwash) como sendo a velocidade normal induzida pelo deslocamento da asa sujeita ao escoamento V0.

0( , ) ( , )ZW r s V r sξ

∂= −

∂

0//Vξ ⇒ cos sinZ Z r Z s Z Zr s r sξ ξ ξ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = Λ + Λ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Efeito do Enflechamento

Condição de contorno:

Porém o deslocamento na direção do eixo Z pode ser escrito como uma função de h(s) e α(s), graus de liberdade da seção típica :

onde se considerou que e Substituindo esta última relação na condição de contorno:

( ) 0 0, cos sinZ ZW r s V Vr s

∂ ∂⎛ ⎞= − Λ + Λ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

( ) ( ) ( ),Z r s h s r sα= − ⋅cos 1.0α ≅ sinα α≅

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 0

0 0

, cos sin

, cos sin

W r s V h s r s V h s r sr s

hW r s V s V s r ss s

α α

αα

∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤= Λ − ⋅ + Λ − ⋅ ⇒⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂ ∂

∂ ∂⎡ ⎤⎡ ⎤⇒ = − Λ + Λ − ⋅⎣ ⎦ ⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

Efeito do Enflechamento

Portanto, sobre o eixo elástico (r = 0) temos a expressão final para o ângulo de ataque no sistema rotacionado, a partir da expressão para o downwash:

Como Vn = V0cos(Λ), o ângulo de ataque observado pela seção típica com corda normal ao eixo elástico é dado por:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0

0 0

, cos sin

, cos sin

hW r s V s V s r ss s

h sW r s V s V

s

αα

α

∂ ∂⎡ ⎤⎡ ⎤= − Λ + Λ − ⋅⎣ ⎦ ⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦⎡ ⎤∂

⎡ ⎤⇒ = − Λ + Λ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∂⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )0

,, tan

cos s

W r s h sr s s

V sα α

⎛ ⎞∂− = = − Λ ⎜ ⎟Λ ∂⎝ ⎠

Efeito do Enflechamento

Mudando a notação, temos:

( ) ( )

( )0

,, tan

cos s

W r sr s

V

h ss

α θ φ

φ

− = = − ΛΛ

⎛ ⎞∂= →⎜ ⎟∂⎝ ⎠

Inclinação local do eixo elástico deformado em flexão

Ou seja, fica claro agora que o ângulo de ataque efetivo naseção típica é composto por uma componente devido a torção(θ) e uma componente devido a flexão (φ.tanΛ), que depende do enflechamento. Note que se o ângulo de enflechamento forpositivo (para trás), temos o fenômeno de “wash out”. Por outroLado, se Λ for negativo, (para frente) temos o “wash in”.

Exemplo simplificado:Asa rígida com engastes flexíveis

Vamos estudar um primeiro modelo simplificado, cujo propósito é entender o efeito do enflechamento. Supõem-se que a asa é rígida e engastada através de molas que restringem movimento de corpo rígido que em flexão e torção.

Sistemas de eixos

K 2

K 1

d f

V V cos Λ

b

A A

B

B

α o

C

C

c

Λ

A

B D

C

V

Λ

1

1

1

Vs e c ti o n

1 -1 φ s i n Λ

φ

2

Molas que resistem a deslocamentos verticais

A letra “N” Flexão gera sustentação?

sr

Cuidado! “b” aqui é envergadura....

Acoplamento tipo flexo-torção

Os segmentos CD e AB acompanham o movimento vertical devido a flexãosem torcer. Por outro lado o segmentoCB desloca-se verticalmente, porém ele torce, pois o ponto B desloca-se mais no sentido vertical que o ponto C. O segmento CB representa a seção da asa alinhada com o escoamento.

Pela figura abaixo, pode-se entender com funciona o acoplamento entre o modo de flexão e a torção induzida a uma seção deasa enflechada, alinhada com o escoamento aerodinâmico.

A

B D

C

V

Λ

1

1

1

Vsection

1-1 φ sin Λ

φ

2

φ sinλ

Sustentação na asa flexível

2cosnq q= Λ

tancos

on oL q cba α θ φ⎛ ⎞= + − Λ⎜ ⎟Λ⎝ ⎠

Para calcular o carregamentoaerodinâmico na seção típica, que por razões estruturais é perpendicular ao eixo elástico, leva-se em conta a componente de escoamento não perturbado normal a este eixo.

K 2

K 1

d f

V V cos Λ

b

A A

B

B

α o

C

C

c

Λ

sr

Λ−Λ+== sincos φθαα ofreestream Vv

cos sincos cos cos cos

oc corda

vV

α θ φα α Λ Λ= = = + −

Λ Λ Λ Λ

tanestruturalα θ φ= − Λ

Ângulo de ataque efetivo

(a expressão acima obtivemos da condição de contorno a pequenasPerturbações – expressão para o downwash)

Entretanto, queremos o ângulo de ataque “percebido” pela seção típica.

Estrutural ouna direção dacorda...

2cosnq q= Λ

tancos

on LL q cbC α

α θ φ⎛ ⎞= + − Λ⎜ ⎟Λ⎝ ⎠

Componente de velocidade normal ao eixo elástico da asa.

Sustentação da asa flexível

Note que esta sustentação é calculada com relação a seçãotípica, ou seja empregando o ângulo de ataque “estrutural”, maisA contribuição de um ângulo de ataque inicial α0

Portanto, para o cálculo da sustentação na asa assumindo a teoriaDas faixas, devemos calcular a sustentação em cada faixa empregando a pressão dinâmica equivalente.

Modelo estrutural simplificadoAssumiu-se que as molas que restringem os movimentos de corpo rígido da nossa asa enflechada são representadas pelas molas K1 e K2, dispostas com uma excentricidade “f” e “d”, respectivamente;Estas molas podem ser representadas por molas que restringem os graus de liberdade em flexão na forma da derivada da deformação ao longo da envergadura e no sentido vertical, e o grau de liberdade em torção da asa.

21K K fθ = 2

2K K dφ =

Carregamento aerodinâmicoO carregamento aerodinâmico para o nosso problema pode ser aproximado por:

( )2

0tan

2 cosb o

n lbl s ds q cC

α

α θ φ⎛ ⎞⋅ = + − Λ⎜ ⎟Λ⎝ ⎠∫

( )0

tancos

b on ll e ds q cC eb

α

α θ φ⎛ ⎞⋅ = + − Λ⎜ ⎟Λ⎝ ⎠∫Onde:

2 2 2 21 1 cos cos2 2n nq V V qρ ρ= = Λ = Λ

Note que na realidade são momentos resultantes da distribuiçãodo carregamento aerodinâmico ao longo da envergadura b, nosentido deste e no sentido da corda.

Equilíbrio em flexão (φ)

( )2

tan2 cos

b

o

on l

K l s ds

bK q cC

φ

φ α

φ

αφ θ φ

= ⋅ ⇒

⎛ ⎞= + − Λ⎜ ⎟Λ⎝ ⎠

∫

Equilíbrio estático : momentos associados à flexão e torção

( )

tancos

on l

K le dy

K q cC eb

θ

θ α

θ

αθ θ φ

= ⇒

⎛ ⎞= + − Λ⎜ ⎟Λ⎝ ⎠

∫Equilíbrio em flexão (θ)

Chegamos a umsistema de duas equações e duas incógnitas.

n lq cQ bCα

=tant = ΛEquações para o equilíbrio estático supondo ângulo de ataque inicial

02 2 2

0 coso

b b bK tQ

K eteQ

e

φ

θ

φ φαθ θ

−⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎢ ⎥= + ⇒⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥Λ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎪ ⎪ −⎩ ⎭ ⎣ ⎦

02 2 2

0 coso

b b bKK e e

tQQ

t e

φ

θ

φ αθ

⎡ − ⎤⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎢ ⎥⇒ − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ Λ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎪ ⎪−⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎣ ⎦

Note que a matriz de rigidez estrutural é desacoplada, porém amatriz aeroelástica representará um acoplamento de naturezaaerodinâmica.

“Parametrizando” o problema

( ) ( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

Λ=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

e

bQ

QeKQte

QbQtbK o2cos

22 αθφ

θ

φ

[ ]⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

Λ=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

e

bQK o

ij 2cos

αθφ

ou

Sistema aeroelástico

Resultando em :

Resposta aeroelásticaResolve-se o sistema de equações para obter φe θ :

( ) ( )( ) ( )

1

2 2 2cos

obQtb QbKQ

Qte K Qe e

φ

θ

φ αθ

−⎡ ⎤ ⎧ ⎫+ −⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥Λ⎩ ⎭ ⎪ ⎪−⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎣ ⎦

0 12cos tan

2

QbKbK Q eK

φφ

θ

αφ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟Λ ⎛ ⎞Λ

+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

0 1cos tan

2

QbK bK Q eK

θθ

φ

αθ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟Λ ⎛ ⎞Λ⎜ ⎟+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

( )22

2 betQQeKQbtKK +−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +==Δ θφ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=Δ eKbtKQKK φθφθ 2

Estabilidade do sistema

Utilizamos o critério de estabilidade de Euler para estudar a estabilidade do sistema, chegando a uma equação parao parâmetro “Q” (não confundir “Q” com “q” de pressãodinâmica!)

2btKeK

KKQD

θφ

φθ

−=0=Δ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ Λ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−Λ

=

2tan1cos2

φ

θ

θ

KK

eb

SeaK

q oD

n oQ q cba=

Condição de divergência

Ou agora, isolando a pressão dinâmica associada à velocidadede escoamento não perturbado temos:

O que acontecese Λ for igual a zero?

Fazendo o denominador igual a zero:

02

tan1 =

Λ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− critical

KK

eb

φ

θ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≥Λ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Λ

−

θ

φ

θ

φ

KK

bc

ce

KK

bc

ce

crit

2tan

2tan

1

Sem divergência:

Análise do enflechamento

Implica em umapressão dinâmicade divergênciainfinita.

Exemplo

6,5,4=cb

1.0=ce

4.03.53.02.52.01.51.00.50.00

2

4

6

8

10

Critical sweep anglevs.

stiffness ratio

Kφ/Kθ

swee

pan

gle

for d

iver

genc

esu

ppre

ssio

n(d

egre

es)

aspect ratiob/c=4

aspect ratiob/c=5

aspect ratiob/c=6

Se a razão entre asrigidezes em flexãoe torção for 3, temosΛcr = 5.71º. Ou sejase asa for enflechadamais de 5.71o, nuncateremos divergência.

Eficiência de sustentaçãoEficiência de sustentação é definida como a razão entre a sustentação produzida por uma asa flexível e a sustentação produzida pela mesma asa, porém considerando-a rígida.

cosrigidaL oL qSC αα= Λ

tancos

flexível on LL q SC α

α θ φ⎛ ⎞= + − Λ⎜ ⎟Λ⎝ ⎠Λ= 2cosqqnOnde, emprega-se a pressão dinâmica

normal ao eixo elástico.

Eficiência de sustentaçãoSubstituindo os ângulos da inclinação devido a flexão e devido a torção, obtidos da solução do sistema de equações, na relação:

Temos:

tancos

flexível on LL q SC α

α θ φ⎛ ⎞= + − Λ⎜ ⎟Λ⎝ ⎠

tan1cos 2

n L o QK eq SC QbKL φα θα ⎛ ⎞Λ= + −⎜ ⎟Λ Δ Δ⎝ ⎠

Sustentação da asa flexível

1costan12

L oL qSCQ bK K e

K K

α

θ φθ φ

α

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= Λ⎜ ⎟Λ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

2tan Λ

−=

bKeK

KKQD

θφ

θφ

n lQ q Scα

=Fazendo:

Eficiência da sustentação

D

oo

QQ

qSaL

−

Λ=

1

cosα

1cos 1

flexível

rígidoo o

D

L LqqSa L

qα

= =Λ −

2tan Λ

−=

bKeK

KKQD

θφ

θφ

n LQ q SC α=

Onde:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ Λ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−Λ

=

2tan1cos2

φ

θ

θ

KK

eb

SeaK

q oD

Exemplo Numérico

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ Λ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−Λ

=

2tan1cos2

0

φ

θ

KK

ec

cb

qqD

2/250 ftlbqo =

o30=Λ

Sendo as condições:

6=cb

1.0=ce

3=θ

φ

KK

Eficiência de sustentação - final

3503002502001501005000.0

0.5

1.0

1.5

2.0

lift effectiveness vs.dynamic pressure

dynamic pressure (psf)

lift e

ffect

iven

ess unswept wing

divergence

30 degrees sweep

15 degrees sweep

unswept wing