ptica 02/2007

ptica Geomtrica:ptica Geomtrica:ptica de raios com matrizesptica de raios com matrizes

UFRJ - IF

Aula 14

Adriano Henrique de Oliveira Arago

Prof. Paulo H. S. RibeiroProf. Paulo H. S. Ribeiro

Sumrio

tica Geomtrica: postulados

A equao do raio Princpio de Fermat

Equaes de Hamilton

Caracterizao geomtrico-ptica de componentes ticos

Matrizes de raios

ptica Quntica: explica a maioriados fenmenos pticos

ptica Eletromagntica:tratamento clssico mais completo sobre a luz

ptica Ondulatria:aproximao escalar para a ptica Eletromagntica

ptica de Raios: Quando as ondas de luz passam porobjetos de dimenses muito maiores que o seu comprimento de onda.

O Comportamento da luz pode ser descrito por raios obedecendo certas leis geomtricas

Postulados da ptica de Raios (segundo Saleh & Teich)

1. Luz viaja na forma de raios. Os raios so emitidos por uma fonte de luz e podem ser observados quando alcanam um detector ptico.

2. Um meio ptico caracterizado pelo seu ndice de refrao n=c/v, onde v (c) a velocidade da luz no meio (vcuo). O tempo que a luz leva para percorrer uma distncia d t=d/v=nd/c. A distncia nd conhecida como caminho ptico.

3. Em um meio no homogneo, n(r) funo da posio r=(x,y,z). O comprimento do caminho ptico ao longo de um dado traado entre dois pontos A e B :

,)(BA dsrn G

+ Princpio de Fermat

onde ds o elemento diferencial de comprimento ao longo do caminho.

Princpio de Fermat

Raios pticos viajando entre dois pontos A e B seguem um caminho tal que o tempo do trajeto entre eles um extremo relativo aos caminhos vizinhos. Matematicamente,

=BA dsrn ,0)(GUsualmente, o caminho ptico um mnimo, caso no qual,

De todos os caminhos possveis para ir de um ponto a outro, a luz segue aquele que percorrido no tempo mnimo.

Meio homogneo (n=cte): caminho tico mnimo corresponde distncia mnima -> Propagao retilnea da luz entre 2 pontos.

P.F. leva a lei da reflexo e da refrao

0)( 21 =+dx

PBnAPnd

2211 sinsin

Onde est o ponto P que minimiza o caminho tico [AP]+[PB]?

nn =

Ainda o Princpio de Fermat:

== dssrncvdsT )]([1 G)()()( srsrsr GGG +

+= dsnndscT 1Considere uma variao no caminho:

Calcule

usando rnn G =

dsrd

dsrddsrdrdrdds

GGGGG += 22 )()(,

e integrando por partes, obtm-se 0=

dsrdn

dsdn

G

A equao do raio

0=

dsrdn

dsdn

G

Soluo dessa equao + condies de contorno = trajetrias representando um grupo (feixe) de raios.

ds um comprimento diferencial ao longo da trajetria do raio

Trajetria descrita por x(s), y(s) e z(s), sendo que r(s) o vetor formado com essas componentes.

( ) ( ) ( )222 dzdydxds ++=

Equao paraxial do raio: ds dzxn

dzdxn

dzd

Formulaes equivalentes:

Equao Eikonal: O eikonal S(r) uma funo da posio tal que

suas superfcies equinveis so ortogonais em todo lugar aos raios ticos, os comprimentos do caminho tico ao longo de todos os raios de uma superfcie equinvel para outra so iguais. os raios esto ao longo do gradiente de S(r).

)()( 22 rnrS GG =

)()()()( ASBSdsrSdsrnB

A

B

A== GG

Equao eikonal equivalente ao princpio de Fermat!

Formulao Hamiltoniana: Defina uma hamiltoniana

( ) 2222 /),,();,,,( yxyx cfzyxnzyxH =Onde: Usualmente representamos a distribuio de luz sobre um plano z=cte especificando o ponto (x,y) e os ngulos (x,y) nos quais os raios interceptam o plano.

(x,y) o ngulo que o raio faz com o plano (y,x)-z.

yxyx ,, sin e o comprimento de onda da luz no meio.

e usex

Hdzdx

=

xH

dzd x

=

Componentes pticos:

Espelho Plano: Reflete raios originados de um ponto tal que os raios refletidos parecem se originar de um outro ponto atrs do espelho, chamado imagem.

Espelho Parabolide: Foca todos raios incidentes paralelos ao seu eixo em um mesmo ponto, o chamado foco.

Espelho Esfrico:

s= distncia do objetos= distncia da imagemr= raio de curvatura

( )( )rs

sr= '

sinsin

2

1

Aberrao esfrica! Diferentes raios no vo para o mesmo foco

Aproximao paraxial:frss12

'11 ==+

Interface dieltrica curvada:

s= distncia do objetos= distncia da imagemr= raio de curvatura

( )( ) 1

2

2

1 'sinsin

nn

rsrs

+=

Aberrao esfrica tambm!

Aproximao paraxial:rnn

sn

sn 1221

'=+

Lentes delgadas: Para uma lente com ndice n e raios de curvaturas r1 e r2, as distncias das imagens e do objeto esto relacionadas por

( )frr

nss

1111'

11

21

=

=+

Combinao de lentes delgadas: a distncia focal f de qualquer nmero de lentes delgadas (todas em contato mtuo)

+++=321

1111ffff

Caracterizao geomtrico-ptica de componentes ticos

1) Seces do espao livre (raios paraxiais!!)

xn

dzdxn

dzd

yn

dzdyn

dzd

Para n constante, 0),( 22

=dz

yxd-> raios so linhas retas

Se um raio intercepta o plano z=z1 em (x1,y1) fazendo ngulos (x1,y1) com os planos y-z e x-z, ento o raio ir interceptar o plano z=z2=z1+d em (x2,y2) fazendo ngulos (x2,y2), onde

dxx x112 += dyy y112 +=

12 xx = 12 yy =

dyy y112 +=12 yy =

2) Lentes delgadas: Para uma lente delgada de foco em f,

fx

xx1

12 = 12 xx =Matriz de transferncia de raios

Na aproximao paraxial, a relao entre o ponto de entrada e o de sada de um sistema tico linear, sendo que de forma geral,podemos escrever

112 BAyy += 112 DCy +=O que nos permite escrever

=

1

1

2

2

y

DCBAy

Essa matriz caracteriza a transformao que o sistema tico faz nos raios incidentes

Exemplos:

1) Reflexo em um espelho plano:

=1001

M

2) Propagao no espao livre:

=10

1 dM

3) Reflexo em um espelho esfrico:

= 12

01

rM

4) Refrao em uma superfcie esfrica

( )

=2

1

2

12

01

nn

rnnnM

5) Refrao em uma superfcie plana:

=

2

1001

nnM

6) Transmisso atravs de uma lente delgada

= 1101

fM

Uma das vantagens dessa tcnica que podemos decompor um sistema tico complicado em uma multiplicao de matrizes mais simples:

= M

...M1 M2 Mn

onde

12MMMM N "=

Matrizes de raios para feixes Gaussianos

O formalismo de matrizes tambm til para descrever feixes Gaussianos. Se ns temos um feixe Gaussiano de comprimento de onda , raio de curvatura R e cintura do feixe w, possvel definir um parmetro complexo para o feixe q atravs de:

2

11wi

Rq =

Esse feixe pode ser propagado atravs de um sistema tico com uma matriz dada usando a equao

=

11

12 qDCBA

kq

Fim!

Pausa para caf e depois, Gabriela entra em ao.