Administração de Florestas

Dupla: Dupla: Flávio Almeida (faas)Flávio Almeida (faas)

Leonardo Vilaça (lhvs)Leonardo Vilaça (lhvs)

Monitor: Chico (fpms)

Introdução

• A idéia base desse trabalho é apresentar o conceito matemático da utilização de matrizes na administração eficiente e sustentável de florestas;

• Tendo em vista que o rendimento sustentável ótimo é alcançado com o corte ideal de cada classe de árvores.

Considerações

Árvores são classificadas por altura;Árvores são classificadas por altura; Sua altura determina seu valor econômico;Sua altura determina seu valor econômico; Não será considerada a morte anual das árvores;Não será considerada a morte anual das árvores; Mudas não possuem valor econômico.Mudas não possuem valor econômico.

O Modelo

Seja xSeja xi i (i = 1,2,...,n) o número de árvores da (i = 1,2,...,n) o número de árvores da

i-ésima classe sobrevivem aos cortes:i-ésima classe sobrevivem aos cortes:x1

x2

.

.

.xn

X =

Sabe-se o total de árvores, que é fixo:Sabe-se o total de árvores, que é fixo:

xx1 + x + x22 +...+ x +...+ xnn = s = s

O Modelo

Considerando o crescimento da floresta teremos:Considerando o crescimento da floresta teremos:

ggi i = a fração de árvores que crescem de uma classe = a fração de árvores que crescem de uma classe

para outra imediatamente superior;para outra imediatamente superior;

1- g1- gi i = fração de árvores que permanecem na = fração de árvores que permanecem na

mesma classe depois do período de crescimento.mesma classe depois do período de crescimento.

O Modelo

Ilustrativo do Modelo

G = G =

1 – g1 0 0 ... 0 g1 1 – g2 0 ... 0 0 g2 1 – g3 ... 0 : : : : : 0 0 0 ... 1 – gn – 1 0 0 0 0 ... gn – 1 0

O Modelo

Matriz do crescimento

(1 – g1)x1

g1x1 + (1 - g2) x2

g2x2 + (1 – gn-1)n-1

:gn-2xn-2 + (1 – gn-1)xn-1

Gn-1xn-1 + xn

Gx =

Matriz de multiplicação de G por X

Y = Y =

O Modelo

y1

y2

.

.

.yn

R =1 1 ... 10 0 ... 0: : : 0 0 ... 0

Ry =

y1 + y2 ... yn

00:0

Matriz das árvores arrancadas: Matriz de reposição:

Multiplicação da matriz de reposição pela matriz de árvores de corte, resultando a matriz coluna das árvores

que serão repostas:

O Modelo - Conclusão

Configuraçãono final

do periodo de crescimento

corteReposição

de mudas

- + =Configuração

no início do período de crescimento

0 -1 -1 ... -1 -1 0 1 0 ... 0 0 0 0 1 ... 0 0: : : ... : :0 0 0 ... 1 10 0 0 ... 0 1

y1

y2

.

.

.yn

– g1 0 0 ... 0 g1 – g2 0 ... 0 0 g2 – g3 ... 0 : : : : : 0 0 0 ... – gn 0 0 0 0 ... gn 0

=

x1

x2

.

.

.xn

Condição de corte sustentável: Gx - y + Ry = x

Rendimento Sustentável Ótimo

• y1 = 0• Quaisquer x e y com entradas não negativas satisfazem a equação: x1 + x2 ... + xn = s.

Com esses dois tópicos satisfeitos a condição de corte sustentável se reduz as equações abaixo:

y2 + y3 + ... + yn = g1x1

y2 = g1x1 - g2x2

y3 = g2x2 - g3x3

: yn-1 = gn-2xn-2 - gn-1xn-1

yn = gn-1xn-1

Como nós devemos ter yComo nós devemos ter y i i > = 0 para > = 0 para i = 2,3,...,n, as equações exigem que:i = 2,3,...,n, as equações exigem que:

gg11xx11 gg22xx2 ... 2 ... GGn - 1n - 1xxn-1 n-1 0 0

Para que o corte seja sustentável, a Para que o corte seja sustentável, a inequação a cima tem que ser satisfeitainequação a cima tem que ser satisfeita

Rendimento Sustentável Ótimo

Sabendo que cada árvore possui um valor Sabendo que cada árvore possui um valor econômico p, e que removemos yeconômico p, e que removemos yii árvores da árvores da

i-ésima classe, obtém-se a equação do rendimento:i-ésima classe, obtém-se a equação do rendimento:

RT = pRT = p22yy22 + p + p33yy33 + ... + p + ... + pnnyynn

Substituindo a equação anterior na equção acima:Substituindo a equação anterior na equção acima:

RT = pRT = p22gg11xx11 + (p + (p33-p-p22)g)g22xx22 + ... + (p + ... + (pnn - p - p n-1n-1)g )g n-1n-1x x n-1n-1

Rendimento Sustentável Ótimo

Rendimento Sustentável Ótimo

O rendimento sustentável ótimo é obtido cortando todas as árvores de

uma classe de altura específica e nenhuma árvore de qualquer outra

classe

Resolvendo a equação : RT = p2g1x1 + (p3-p2)g2x2 + ... + (pn - p n-1)g n-1x n-1

e satisfazendo as as condições abaixo: x1 + x2 ... + xn = s e

g1x1 g2x2 ... Gn - 1xn-1 0Chega-se o teorema do rendimento sustentável ótimo:

Seja RTSeja RTk k o rendimento obtido cortando-se o rendimento obtido cortando-se

todas as árvores da classe k;todas as árvores da classe k; Como não serão cortadas nenhuma árvore Como não serão cortadas nenhuma árvore

de outras classes,de outras classes,

yyiikk = 0; = 0;

E ainda, como todas as árvores da classe k E ainda, como todas as árvores da classe k serão cortadas serão cortadas

xxiikk = 0; = 0;

Rendimento Sustentável Ótimo

Então:Então:yykk = g = g11xx11

0 = g0 = g11xx11 - g - g22xx22

0 = g0 = g22xx22 - g - g33xx33

::0 = g0 = gk-2k-2xxk-2k-2 - g - gk-1k-1xxk-1k-1

yykk = g = gk-1k-1xxk-1k-1

Ou seja,Ou seja,

xx22 = g = g11xx11/g/g22

xx33 = g = g11xx11/g/g33

xxk-1k-1 = g = g11xx11/g/gk-1 k-1

Rendimento Sustentável Ótimo

Substituindo na equação:Substituindo na equação:

xx11 + x + x22 ... + x ... + xnn = s = s

xx11 = = ____________s_______________________s___________

1 + g1 + g11/g/g22 + g + g11/g/g33 + ... + g + ... + g11/g/gk-1k-1

Combinando as equações anteriores:Combinando as equações anteriores:

RT = pRT = p22yy22 + p + p33yy33 + ... + p + ... + pnnyynn

= p= pkkyykk

= p= pkkgg11xx1 1

= = __________________ppkks________s________

1/g1/g11 + 1/g + 1/g22 + ... + 1/g + ... + 1/gk-1k-1

Rendimento Sustentável Ótimo

O rendimento sustentável ótimo é o maior O rendimento sustentável ótimo é o maior valor de:valor de: __________________ppkks________s________

1/g1/g11 + 1/g + 1/g22 + ... + 1/g + ... + 1/gk-1k-1

para k = 2,3,...,n. O correspondente valor de para k = 2,3,...,n. O correspondente valor de k é o número da classe que é k é o número da classe que é

complertamente cortada.complertamente cortada.

Rendimento Sustentável Ótimo

Fim da apresentação

Preservem nossas florestas !!!