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PAVILHO DO CONHECIMENTO CINCIA VIVA

ACTIVIDADE: M.C. Escher Arte e Matemtica

Actividade desenvolvida pela Escola Secundria com 3 ciclo Padre Antnio Vieira.

ENQUADRAMENTO CURRICULAR: Alunos do Secundrio (11 ano) Contedos Especficos:

O conceito de infinito Soma dos termos de uma progresso geomtrica A capacidade de visualizao A perspectiva

DESCRIO: A actividade comea com a visita Exposio M.C. Escher Arte e

Matemtica, que integra o Centro de Recursos da Associao de Professores de Matemtica e prossegue em sala de aula com duas fichas:

Escher e o Infinito A partir da gravura Limite quadrado de Escher e da reproduo do diagrama por este usado na sua construo, possvel fazer uma primeira abordagem do conceito de infinito, bem como a determinao intuitiva da soma dos termos de uma progresso geomtrica.

Os mundos impossveis de Escher A partir da observao atenta e guiada de dois mundos impossveis de Escher: a gravura Belveder e o Cubo impossvel possvel chegar identificao das impossibilidades subjacentes.

MATERIAIS: Fichas de Trabalho;

Uma fotocpia por grupo da gravura Limite quadrado e outra da gravura Belveder;

Uma folha de acetato, uma caneta de acetato e uma rgua, por grupo.

SUGESTES: Quanto visita Exposio M.C. Escher Arte e Matemtica:

Pode ser dado um tempo inicial para saborear a multiplicidade de imagens, a maior parte das quais pouco convencionais, assim como para manipular vontade os Mundos impossveis tais como: o Tribar , o Cubo impossvel,

Em seguida pode ser feito um acompanhamento da descoberta do modo como Escher joga com a perspectiva;

Por ltimo pode ser dado um tempo para explorar o software que integra a Exposio.

PAVILHO DO CONHECIMENTO CINCIA VIVA

Quanto ao trabalho desenvolvido em sala de aula: Poder ser feito em grupos de 4 e ocupar um tempo de 45 minutos; Poder anteceder o estudo do tema Sucesses j que embora

tenha por objectivo uma primeira abordagem do conceito de infinito, bem como a determinao da soma dos termos de uma progresso geomtrica, tudo poder ser feito de um modo muito intuitivo e retomado mais tarde a quando da formalizao.

PAVILHO DO CONHECIMENTO CINCIA VIVA

FICHA DE TRABALHO 1

Nome: __________________________________________________ Data: __________

EEsscchheerr ee oo IInnffiinniittoo

No podemos imaginar que algures por detrs da estrela mais longnqua do cu nocturno, o espao possa ter um fim, um limite para alm do qual nada mais existe. O conceito de vcuo diz-nos ainda alguma coisa, pois um espao pode estar vazio, de qualquer maneira na nossa fantasia, mas a nossa fora de imaginao incapaz de apreender o conceito de nada no sentido de ausncia de espao.

Escher, 1959

So vrias as gravuras em que Escher tenta a aproximao ao infinito, Limite quadrado uma delas. Foi o prprio Escher quem deu a conhecer o diagrama em que se baseia a referida gravura.

1. Pega na gravura Limite quadrado e identifica nela o referido esquema. Para isso: Coloca sobre a gravura uma folha de acetato. Identifica nela o centro da gravura e desenha o quadrado central

(quadrado de 1 gerao). Em seguida identifica os quadrados de 2 gerao e 3 gerao. Por ltimo divide os quadrados traados em tringulos rectngulos de

acordo com o diagrama acima.

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2. Olha agora atentamente o diagrama colocado sobre a gravura. O que h de comum no preenchimento de todos os tringulos

rectngulos traados? E o que h de diferente? De que maneira te parece a gravura representa o infinito?

Lembras-te de mais alguma gravura que ilustre tal representao? Porque razo Escher ter usado trs cores, e no apenas duas, nesta

gravura? Repara que tens trs tipos de vrtices. Identifica os elementos que convergem em cada um deles e pensa no menor nmero de cores que os permite distinguir.

3. Como podes confirmar a gravura um quadrado de lado aproximadamente igual ao triplo do quadrado central. Queres ver o que a partir da poders deduzir? Considera o lado do quadrado central (quadrado de 1 gerao) igual

a 1. Qual o lado dos quadrados de 2 gerao? E 3? E 4? E 5?..... E de ordem n?

Como a partir daqueles obtns o lado da gravura? Ento o que podes concluir? Surpreendido?

Irs ainda este ano verificar que assim .

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Limite quadrado, xilogravura, 1964

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FICHA DE TRABALHO 2

Nome: __________________________________________________ Data: __________

OOss mmuunnddooss iimmppoossssvveeiiss ddee EEsscchheerr

Talvez a parte mais conhecida da obra de Escher, seja a construo de figuras impossveis. Trata-se de estruturas que se sugerem tridimensionais, mas que no podem efectivamente ser construdas nessa dimenso. Estas provocam no observador uma tenso perceptiva intensa, uma vez que o recurso a temas realistas e a mestria tcnica, esconde a no plausibilidade das concepes sugeridas e apela a um pensamento multidimensional. Esse realmente o mrito de Escher, ao misturar o impossvel com a realidade: enquadra as figuras impossveis num cenrio harmonioso que se afirma real vista do observador. So vrias as gravuras que ilustram esta faceta da sua obra, Belveder uma delas. Inicialmente denominada por Escher com Casa-fantasma, apresenta uma estrutura arquitectnica incoerente que resulta da ligao impossvel entre o piso superior e o piso inferior. 1. Olha atentamente a gravura e procura descobrir onde reside a impossibilidade de tal ligao. 2. Com a tua mo tapa a metade inferior da gravura e olha cuidadosamente a metade superior. Que te parece, alguma anormalidade? Tapa agora a metade superior e observa a inferior. Tudo normal? 3. Olha novamente os pilares que ligam os dois pisos e toma mais uma vez conscincia onde reside a impossibilidade. Algum pilar normal? E nos restantes onde existe a anormalidade? Lembras-te de mais alguma construo impossvel de Escher? O rapaz que est sentado no banco, tambm descobriu uma construo impossvel que liga duas metades perfeitamente normais, num modelo bastante simplificado que segura nas mos.

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igual estrutura de um cubo, mas o lado superior ligado ao inferior, de uma forma impossvel. Talvez seja mesmo impossvel segurar na mo um cubo assim simplesmente porque no pode existir no espao uma tal construo. Curiosamente, a soluo surgiu descrita numa folha de papel pousada sua frente. Queres procurar a soluo para o enigma? 4. Olha atentamente um cubo e v se s capaz de nele encontrar duas realidades diferentes: uma delas consegue-la aceitando que os pontos 1 e 4 esto perto de ns e os pontos 2 e 3 mais longe, na outra 2 e 3 esto mais perto e 1 e 4 mais longe.

5. No entanto tambm possvel ver 2 e 4 frente e 1 e 3 atrs. Todavia, isto vai contra a nossa imaginao de um cubo e por esta razo no chegamos por ns a esta interpretao. Se dermos volume s arestas do cubo, podemos obrigar o observador a esta interpretao deixando correr a aresta A-2 antes da aresta 1-4 e C-4 antes de 3-2.

Olha novamente o cubide que o rapaz segura nas mos e v que coincide com este. esta a interpretao o fundamento para Belveder.

PAVILHO DO CONHECIMENTO CINCIA VIVA

Belveder, litografia, 1958