SMEE - DECivil Dinmica Estrutural e Engenharia Ssmica MEC 2007/2008

Jorge Miguel Proena

Mtodos de integrao numrica Estes mtodos pretendem a integrao numrica das equaes diferenciais de movimento. Para tal, assumem que a excitao (e, indirectamente, a resposta) se encontram discretizadas no domnio do tempo, procurando satisfazer as equaes de movimento nos instantes de integrao, ou seja (i=1, 2, .., N)

Os mtodos de integrao numrica distinguem-se relativamente s hipteses que assumem relativamente ao andamento da excitao e/ou resposta no passo de integrao. Nestas circunstncias vo ser apresentados os seguintes dois mtodos: Mtodo de integrao linear por troos (piecewise linear,

no original); Mtodo de integrao da acelerao mdia constante. O primeiro mtodo pressupe que a excitao, discretizada no tempo, varia linearmente entre os instantes de discretizao, ou seja:

com

a resposta em cada instante ento determinada atravs da soluo exacta do mtodo correspondente excitao linear por troos. A qualidade do mtodo depende - nica e exclusivamente - da validade da hiptese de assumir que a excitao varia linearmente no passo de integrao.

iiii QKqqCqM =++

( ) tQQQtQ i1ii += +

1ii ttt +

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Jorge Miguel Proena

O mtodo da acelerao mdia constante assume que a acelerao (resposta) se mantem constante no passo de integrao, ou seja:

Neste caso, a velocidade e deslocamento no fim do passo de integrao so determinados atravs das equaes do movimento uniformemente acelerado, ou seja:

Explicitando a equao anterior relativamente a i 1q + e substituindo na equao de i 1q + consegue-se exprimir a velocidade e acelerao no fim do passo de integrao em funo do deslocamento no mesmo instante. Substituindo na equao de movimento referente ao fim do passo de integrao, chega-se a uma equao do tipo

Que utilizada para determinar o deslocamento no fim do passo de integrao. Os termos K e i 1Q + so designados por rigidez e fora efectiva, sendo determinados atravs de:

Assim, o deslocamento no instante i+1 determinado atravs da equao efectiva anterior. A velocidade determinada atravs

2qqq 1ii ++=

( )1iii1i qq2qq ++ ++=

( )2i 1 i i i 1 iq q q q q4+ += + + +

1i1i Q~qK~ ++ =

2M4C2KK~ ++=

+++

++= ++ iii2ii1i1i qq4q4Mqq2CQQ~

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das equaes do movimento uniformemente acelerado enquanto a acelerao calculada de forma a satisfazer a equao de equilbrio dinmico no passo i+1, ou seja:

A anlise da adequabilidade dos mtodos de integrao numrica habitualmente (Bathe&Wilson) conduzida em termos da estabilidade e fiabilidade. A estabilidade traduz a possibilidade de a soluo numrica divergir com o tempo, devido acumulao tendenciosa de erros numricos. Mesmo nos casos em que o algoritmo estvel, questiona-se a possibilidade da soluo numrica se afastar da soluo analtica, o que traduz a fiabilidade. No que se refere estabilidade o mtodo da acelerao mdia constante incondicionalmente estvel, ou seja estvel independentemente de . Quanto fiabilidade, os erros numricos manifestam-se no alongamento do perodo e no decamento da amplitude, relativamente soluo analtica (caso exista). Estes erros so tanto mais pronunciados quanto maior a relao T/, em que T designa o menor perodo (associado maior frequncia) de interesse. Observe-se, para o efeito, a figura seguinte:

i1ii1i q2q2qq += ++

( )1i1i1i1i KqqCQM1q ++++ =

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Jorge Miguel Proena

Os estudos realizados apontam para erros crescentes com o aumento de /T. Recomendam-se valores de /T inferiores a 1/100-1/50.

Bathe&Wilson Numerical Methods in Finite Element Analysis, McGraw-Hill, 1976