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ACA226 – Climatologia II, Depto Ciências Atmosféricas, IAG/USPProf. Humberto Rocha

Análise Estatística Multivariada•Técnica das Componentes Principais (CP)(ou Funções Ortogonais Empíricas)

Motivação

variáveis hidroclimatológicas do sistema climático : grande quantidademuitas vezes correlacionadas entre si

uma tecnica estatistica que, sem perder as informação relevantes, viabiliza:

•Interpretação do sistema de variáveis como um todo, seus padrões dominantes de variabilidade

•Reduzir a interpretação a um número de variáveis menor, ou seja:

• prover variaveis não correlacionadas entre si (limitação da técnica de regressão)• diminuir a redundância de informação

Climatologia II - ACA226 (Iag/USP)

Se i = j então torna-se a variância de Xi:


Revisão.1 A função covariância de duas variáveis aleatórias xi e xj, como séries temporais no tempo k=1,n

n

ttjjtiiijji xxxx

nsxx

1

)()()1(

1),cov(

n

ttiiiiii xx

nsxx

1

22 )()1(

1),cov(

Revisão 2. A matriz de covariância Σ

Representação matricial de todas as combinações possíveis de covariâncias no vetor X de séries temporais de v.a. X = (x1,x2,...xp), no tempo t=1,n

é a matriz quadrática (p x p) definida como

Como s12 = s21, ..., sij = sji, a matriz é simétrica, e a diagonal é a variância de cada xi


2

11

2221122

1122112

11

1

)(......)()(..................)()()(

)()(...)()()(

)1(1)cov(

tppttpp

ttt

tpptttt

n

t

xxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxx

nX

pppp

p

p

sss

ssssss

...............

...

...

21

22221

11211

Revisão 3. Matriz de Correlação ρ

O coeficiente de correlação entre duas variáveis Xi e Xj se definido como

de forma que se i = j, então2

2 21i

ii

i i

srs s

define-se a matriz de correlação como

r11 = r22 = ... rpp = 1 define a diagonal da matriz


ρ

yx

ji

yx

ijij ss

xxss

sr

),cov(

Revisão 4. Variáveis independentes

O coeficiente de correlação linear também pode ser expresso como

Se xi e xj são variáveis independentes (não relacionadas) então cov(xi,xy) = 0

Contudo, o oposto nem sempre é verdadeiro.


Se Xi e Xj não tem relação (ou proporção) linear entre si, β = 0, ou seja, se

0),cov(0 jiij xxr

y

xij s

sr

Revisão 5. Problema de autovetores e Autovalores

a) Seja um vetor (de 2 dimensões por exemplo ) X = (x1,x2)

Uma transformação linear em X, obtida por uma matriz A (conhecida) que obtem o vetor Y, Y= A X (1)

e seja equivalente a um vetor paralelo a X (ou seja, multiplicado por uma constante λ, desconhecida)

Y= λ X (2)

tem como solução possíveis os valores de λ, chamados autovalores,

e de X como o autovetor associado (calculado) a λ,

onde A é chamada de matriz de transformação.


Determinação dos autovalores e autovetoresDe (1) e (2) A X = λ X ↔ (A – λ I) X = 0 (3)

Definindo-se a matriz A e a matriz identidade I, temos

11 21 1

12 22 2

1 0, ,

0 1a a x

A X Ia a x

Então em (3)

a11x1 + a12x2 – λx1 = 0 (a11 - λ) x1 + a12x2 = 0

a21x1 + a22x2 – λx2 = 0 a21x1 + (a22 - λ)x2 = 0↔

A solução do sistema tem solução para λ ≠ 0 que exige det (A – λ I) = 0, ou seja

e que é chamada de equação característica da matriz A ,com soluções (chamadas características) que são os autovalores λ1 e λ2.


Em (3), para cada λi obtem-se um autovetor associado Xi, ou seja,(no exemplo i=1,2) formam-se os pares (λ1, X1) e (λ2,X2), com as seguintes propriedades:

os autovetores Xi são lineares independentes, portanto formam uma base vetorial,

são ortogonais entre si;

nenhum Xk pode ser expresso em função de outro Xj;

cov(Xk,Xj)k≠j = 0

Revisão 6. Variância de um Sistema Def: a Variância total de um sistema Y = f(x1,x2) sob uma relação linear

y = (a1x1 + a2x2), dependente das v.a. x1 e x2 , é definida como

Var(y) = Var(a1x1+a2x2) = a12Var(x1) + a2

2Var(x2)+2a1a2cov(x1,x2)


1

2( ) '( ), onde ,

p

aa

Var y a a a

a

= matriz de covariância de Xa’ = matriz transposta de a

Demonstração:

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

...

...'( ) 1 2

...

p

p

p p pp p

s s s as s s a

a a a a ap

s s s a

1 11 2 12 1

1 21 2 22 2

1 1 2 2

( .. )( .. )

'( ) 1 2

( .. )

p p

p p

p p p pp

a s a s a sa s a s a s

a a a a ap

a s a s a s

Ou na forma genérica (i=1, ..,p)

mostra-se que


Na diagonal principal vem

Nas diagonais em geral

1 2 12 1 2 1 2

1( )

2 2 cov( , )

2 cov( , )p

i j i jii p

a a s a a x x

a a x x

Portanto cqd

2

1 1

'( ) var( ) 2 cov( , )

'( ) ( )

p p

i i j i ji i

a a a xi a a x x

a a Var y


Na 1ª diagonal por ex

Componentes Principais (CPs) : definição

Seja um conjunto X=(X1, X2,..., Xp) de p variáveis Xi, com n eventos cada (no tempo por ex.),as CPs de X serão determinadas obtendo-se outras p variáveis (Y1, Y2,...,Yp), por meio de um sistema definido como Y = f(X1,X2,..,Xp ), ou conjunto de vetores Y = (Y1,Y2,...,Yp ) formados por p combinações lineares de X , tal que

de forma que(i)se garanta a ortogonalidade de Yi com Yj ;(ii)se obtenha a máxima informação destas variáveis (X1, X2,..., Xp), retendo somente as k variáveis mais importantes Y1,...,Yk ; (k<p)(iii)se possa interpretar a importância de cada Xi (i=1,p) nas CPs

)...,,( 21 piiii llll XlXlXlXlY

XlXlXlXlY

XlXlXlXlY

ppppppp

pp

pp

´......

´...

´...

2211

222221122

112211111

Com o vetor


Estimativa das Componentes principais

Objetivo: maximizar Var(Yi) (condição ii pré-definida), onde

Para a 1ª CP Var(Y1) = l1 (Σ l1’) onde Σ = matriz covariância de X, e l1 = (l11,l21,...,lp1)

Renomeando Q1 = var(Y1), introduzimos um multiplicador lagrangiano λ1 tal que Q1 = l1 (Σ l1’) + λ1 - λ1l1l1’com a condição de contorno l1 l1’=1

max(Q1) = max ( l1 (Σ l1’) + λ1 - λ1l1l1’ ), ou sejaequação característica da matriz Σ com p-pares solução (λ1, l1´), mas para obter uma solução única de

l1 vem:

p

i jip

i i YYYVarYVar11

),cov(2)()(

= 0 , conforme condição i pré- definida

vetores unitários garantem maximização não ocorra simplesmente por multiplicação de uma constante

111 1.)( YVar

A variancia de Y1 é o próprio autovalor λ1 estimado


multiplicando por l1 vem l1 (Σ l1’) = λ1 l1 l1’

´´0´´ 111111

1

1 lllll

Q


Procedimento de cálculo e propriedades

1) dada matriz de covariância Σ do sistema X = (X1, .., Xp) calculam-se os p pares (autovalor, autovetor) = (λ1, l1) ,..., (λp, lp)

Identifica-se a 1ª CP no par de maior autovalor, ou seja se λ1 > λ2 > ... > λp ,é denominado assim λ1, e sucessivamente para a 2ª CP até a k-esima CP

2) Construção de cada CP : chamada também de fatores (factors)

ppppppp

pp

pp

XlXlXlXlY

XlXlXlXlYXlXlXlXlY

...´...

...´...´

2211

222211222

122111111

O coeficiente lk1, chamado de peso (weight) ou carga (loading), da variável Xk na 1ª CP Y1 relativamente aos demais; pode ser positivo ou negativo (proporção direta ou indireta), e assim sucessivamente para os coeficientes lk2 na 2ª CP, ....

infere a importância de cada Xk (serve como critério para selecionar variáveis em um modelo de regressão linear múltipla, por ex.)

Propriedades e práticas

3) A variância total do sistema é dada por

e a percentagem da variância total explicada pela i-ésima CP é

4) Para fins de análise do padrão, escolhem-se somente

as k primeiras CPs (Y1,Y2,...,Yk), (k<p)

que respondam pela maior parte da variância total.

pi

ipi

iYVar,1,1

)(

%100.

,1 pi

i

i


Exemplo 1: dados de precipitação, Tmin, Tmax, em Ithaca (NY) e Canandaigua (NY) durante 31 dias (fonte: Wilks 2005)

Matriz de covariancia de Pearson

Gráfico de dispersão (scatterplot)

X1 = Min temperatura em Ithaca X2 = Min temperatura em Canandaigua

s1 = 13.5 oF (mais acentuado) s2 = 8.8 oF

r = 0.92 (alta correlação)

848.0530.0530.0848.0

E

Calculo das CPs

(λ 1; λ 2 ) = (254,7 ; 8.3)

λ 1+λ 2 = 263,05λ 1/ 263,05 = 0,968 ou 96,8% da variância é devido à 1ª CP

λ2 / 263,05 = 3,2% devido à 2ª CP

saída: matriz de autovetores E

1ª CP 2ª CP

X1

X2

cos(e1,x1)=0.848

cos(e2,x1)= - 0.53

Interpretação geométrica das CPs : rotação de eixoseixo e1 = direção principal de variação entre X1 e X2 (ou da 1a CP)eixo e2 = 2a direção principal (ou da 2a CP)

Dispersão entre X2 e X1 (desvio da média)

x1

848.0530.0530.0848.0

E

1ª CP 2ª CP X1

X2

Reconstrução da série de CPs e projeção nos eixos Por ex. o evento (X1,X2) = 16,0 ; 17,8 (quadrado)

Significa a projeção no eixo e1 (ou 1a CP)e1 = 0,848 . 16 + 0,530 . 17,8 = 23

Projeção no eixo e2 (ou 2a CP)e2 = -0,530 . 16 + 0,848 . 17,8 = 6,6

Construção da 1ª CP e visualização

Y1(t) = 0,848 . X1(t) + 0,530 . X2(t) (linha cinza)

Serie temporal de X1, X2 (como desvio da média) (preto)

848.0530.0530.0848.0

E

Calculo da CP: com matriz de covariância ou matriz de correlação

Calculando as variaveis normalizadas de Xi como Zi, ou seja, (Z1, Z2, ... Zp)promove-se média=0 e desvio-padrão=1 para cada Zi

portanto a matriz de covariância de Zi é a própria matriz de correlação de X i

Ex: calculando CPs com todas as variaveis em Ithaca e Canandaigua

as variaveis de temperatura tem maior variancia amostral (pela unidade oF) e dominam a variancia, basicamente na 1ª CP

as variaveis de temperatura e precipitação tem influência mais bem distribuída na variancia do sistema, basicamente na 1ª e 2ª CPs

Exemplo 2: CPs com 3 variáveis

Exemplo 3 - Aplicação espacial, escala regionalCada ponto no espaço com informação é uma variável (Xi, i=1,p pontos), todos como série temporal n eventos.

Exemplo: 27 estações no estado do Piauí, médias mensais de precipitação 1963 a 2000 (38 anos) Fonte: Guedes et al., 2010 (Rev. de Geografia Recife, v. 27). (p=27 estações de chuva mensal) em série temporal n=38 anos*12meses= 456 eventos

VerificarEstimativa média anualNormalização das variáveis Médias mensais de longo prazo separadas por grupos


Construção da 1ª e 2ª CPs

1ª CP explica a chuva de Jan a Ago(estação chuvoso)

2ª CP explica a chuva de Set a Dez(estação seca e início est.chuvosa)

Autovetores nas 27 estações, interpolados espacialmente, da 1ª e 2ª CPs.

1ª CP explica mais chuva no norte (ZCIT, brisa, ZCAS) e escassez no sul (que ocorre de Jan a Ago)

2ª CP explica mais a chuva no Sudoeste (ZCAS) e a região seca em todo o Leste (de Set a Dez quando é seco no NE do Brasil)

Exemplo 4 - Aplicação espacial, escala continental

Variáveis: série histórica de precipitação (pentadas ou acumulado em 5 dias) entre 1979 a 2010 (=2336 pêntadas) Fonte: GPCP (Adler et al., 2003)

Disposição: grade regular na America do Sul (60S a 10N ; 90W a 30W ) com 24 pontos em x, 28 pontos em y, 2336 pontos em t

Cada ponto é uma variável (no total p=24x28 = 672 variáveis), e cada um é uma série temporal com n=2336 eventos


1º CP 18.6% da variância explicada

2º CP 7.8% da variância explicada

3º CP 4.36% da variância explicada4º CP 3.92% da variância explicada

Autovetores nos pontos de grade, interpolados espacialmente

1º CP 2º CP

3º CP 4º CP

Reconstrução temporal das CPs em um ponto de máximos


Dados originais de Precipitação

Reconstrução da Sérieevento pentada centrada em 25-maio-1984


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