(A,B,C)完全数

中編 2項完全数

飯高 茂

平成 31 年 11 月 11 日

1 (A,B,C) 完全数

新しく始めた 3項完全数の理論は意外に発展し,さらに一般化するとその本質が露わになることがわかりついに (A,B,C) 完全数という概念の導入に至った.

与えられた定数項Dと整数 (A,B,C)(最大公約数は 1とする)に対してAσ(a)+Bφ(a)−Ca = D の解 a を (A,B,C) 完全数という.

2 固有完全数

定数 k とそれの因子にならない素数 p について a = kp が (A,B,C) 完全数になる場合の素数 p が無数にある (a = kp :B 型解)とする.

Aσ(a) +Bφ(a)− Ca = Aσ(k)(p+ 1) +Bφ(k)(p− 1)− Ckp= (Aσ(k) +Bφ(k)− Ck)p+Aσ(k)−Bφ(k)= D

となるが,解となる素数 p が無数にあると仮定したので,

Aσ(k) +Bφ(k)− Ck = 0, Aσ(k)−Bφ(k) = D.

Aσ(k)+Bφ(k)−Ck = 0 を満たす k を (A,B,C) 完全数の固有完全数といい, これを k0とおく.D0 = Aσ(k0)−Bφ(k0) と書いて, D0 を宇宙定数項という.(宇宙項 と似ているのがかわいい)Aσ(k0) +Bφ(k0)− Ck0 = 0 により, D0 = Ck0 − 2Bφ(k0).Aσ(a) +Bφ(a)− Ca = D0 の解 a を固有完全数 k0の (A,B,C) 宇宙完全数とよぶ.a = kpと書けるとき 通常型 (A,B,C) 宇宙完全数とよびそれ以外をエイリアン解, 天与の解などと呼ぶ. これらを全てを探し出すこと,これこそ基本的課題である.

1

一般に与えられた定数項 D に対して (A,B,C) 完全数を求めることはごく特別な場合以外は難しい.正方行列 M に対してその固有値と固有ベクトルを求めることは基本的課題である.ここでは, 固有完全数が固有値にあたりと 宇宙完全数が固有ベクトルに対応する.

3 (1, 0, 2) 完全数

a = 2e なら σ(a) = 2e+1 − 1 = 2a− 1 を満たす.定数部分を 一般の定数項に入れて σ(a)− 2a = D をABC 完全数の式とみる.P = 2 なら固有完全数の定義式は σ(k) = 2k になり固有完全数は (元祖)完全数になる.固有完全数 k0 に対して 宇宙定数項は D0 = 2k0 であって σ(a) = 2a+ 2k0 が宇宙完全数の定義式となりすべてはうまく行く.k0 = 6 のときを考えるとD0 = 2k0 = 12.σ(a) = 2a + 12 が宇宙完全数の方程式だがこれは,古から 12だけ過剰な過剰数と呼ばれそれなりの注目を集める存在であった.次の数表は古代から知られていたと思われるが 6p 以外の値が注目された.

2

表 1: σ(a) = 2a+ 12 の解

a 素因数分解

30 2 ∗ 3 ∗ 542 2 ∗ 3 ∗ 766 2 ∗ 3 ∗ 1178 2 ∗ 3 ∗ 13102 2 ∗ 3 ∗ 17114 2 ∗ 3 ∗ 19138 2 ∗ 3 ∗ 23174 2 ∗ 3 ∗ 29186 2 ∗ 3 ∗ 31222 2 ∗ 3 ∗ 37246 2 ∗ 3 ∗ 41258 2 ∗ 3 ∗ 43282 2 ∗ 3 ∗ 47318 2 ∗ 3 ∗ 53354 2 ∗ 3 ∗ 59366 2 ∗ 3 ∗ 61402 2 ∗ 3 ∗ 67426 2 ∗ 3 ∗ 7124 23 ∗ 354 2 ∗ 33

304 24 ∗ 19

3

4 (P − 1, 0, P ) 完全数a = P e, (P : 素数) なら P = P − 1 とおくとき Pσ(a) = P e+1 − 1 = Pa − 1 が成り立つ.そこで P − Pa = D を (P − 1, 0, P ) 完全数の定義式と見なすことができる.P > 2 の場合は一般化された完全数になるはずである.

4

5 (2, 0, 3) 完全数

P = 3 に限って書いて見よう.固有完全数の定義式は 2σ(k) = 3k なので k は 2の倍数になり k = 2eM, (M : 2の倍数ではない) と書ける.

0 = 2σ(k)− 3k = 2(2e+1 − 1)σ(M)− 3 ∗ 2eM.

R = 2e とおくとき0 = 2(2e+1 − 1)σ(M)− 3 ∗ 2eM = 2(2R− 1)σ(M)− 3RM なので

2(2R− 1)σ(M) = 3RM.

4R− 23R

=M

σ(M)≤ 1.

4R− 2 ≤ 3R により 2 ≤ 2e = R ≤ 2.ゆえに, R = 2, e = 1. よって, Mσ(M) =

4R−23R = 1. これより M = 1, k = 2.

固有完全数はただ１つ k0 = 2.a = k0p = 2p が (2,0,3) 宇宙完全数の解なので D0 = 2σ(a)− 3a = 6p+ 6− 6p = 6.(2,0,3) 宇宙完全数の方程式は 2σ(a)− 3a = 6. この解は a = 2p, (p : 奇素数) に限る.

定理 1 2σ(a)− 3a = D = 6 のとき a = 8, a = 2p. p は奇素数.

5

6 数値例

表 2: 2σ(a)− 3a = D = −m = 6, P = 3

a 素因数分解

m = −66 2 ∗ 38 23

10 2 ∗ 514 2 ∗ 722 2 ∗ 1126 2 ∗ 1334 2 ∗ 1738 2 ∗ 1946 2 ∗ 2358 2 ∗ 2962 2 ∗ 3174 2 ∗ 3782 2 ∗ 4186 2 ∗ 4394 2 ∗ 47106 2 ∗ 53118 2 ∗ 59122 2 ∗ 61134 2 ∗ 67142 2 ∗ 71146 2 ∗ 73158 2 ∗ 79166 2 ∗ 83178 2 ∗ 89194 2 ∗ 97

ここでは通常解しかないことが証明されている.

6

表 3: 2σ(a)− 3a = D = −m, P = 3

a 素因数分解

m = −9153 32 ∗ 171917 33 ∗ 7118873 34 ∗ 233957 3 ∗ 11 ∗ 2924957 32 ∗ 47 ∗ 5929637 32 ∗ 37 ∗ 8967077 32 ∗ 29 ∗ 257m = −7171 32 ∗ 191971 33 ∗ 73

7

表 4: 2σ(a)− 3a = D = −m,P = 3

a 素因数分解

m = −315 3 ∗ 5207 32 ∗ 231023 3 ∗ 11 ∗ 312975 52 ∗ 7 ∗ 1719359 34 ∗ 239m = −2

4 22

m = −121 3 ∗ 72133 33 ∗ 7919521 34 ∗ 241

8

表 5: 2σ(a)− 3a = D = −m, P = 3

a 素因数分解

m = 0

2 2

m = 1

1 1

3 3

9 32

27 33

81 34

243 35

729 36

2187 37

a = 3e とおくとき 2σ(a) = 3a− 1 となる.この逆が大難問. a = 3e についての概完全数予想.

9

7 (1,0,3) 宇宙完全数

この場合 D = σ(a)− 3a になる.固有完全数の定義式は σ(k) = 3k になりその解は例えば k0 = 120.宇宙定数項 D0 = 3k0 = 360.σ(a)− 3a = D0 = 360 が宇宙完全数の定義式.

表 6: 3倍完全数,宇宙定数項 　D0 = 360

a 素因数分解

D = 360

840 23 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 71320 23 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 111560 23 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 132040 23 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 172280 23 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 192760 23 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 233480 23 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 293720 23 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 314440 23 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 374920 23 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 415160 23 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 435640 23 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 476360 23 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 537080 23 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 591080 23 ∗ 33 ∗ 53000 23 ∗ 3 ∗ 53

1920 27 ∗ 3 ∗ 5

k0 = 120 = 23 ∗ 3 ∗ 5 の素数倍が通常解, それ以外は天与の解である.

ここでの天与の解はすべて擬素数として説明できる.

10

k0 = 672, D0 = 3 ∗ 672 = 2016固有完全数 k0 = 672 のときの宇宙完全数は次の通り

表 7: 3倍完全数,定数項 　D = 2016

a 素因数分解

D = 2016

3360 25 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 57392 25 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 118736 25 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 1311424 25 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 1712768 25 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 1915456 25 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 2319488 25 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 2920832 25 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 3124864 25 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 3727552 25 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 4128896 25 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 4331584 25 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 4735616 25 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 5339648 25 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 59

11

表 8: 3倍完全数,定数項 　D = 2016

a 素因数分解

D = 2016

40992 25 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 6145024 25 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 6747712 25 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 7149056 25 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 7353088 25 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 7955776 25 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 8359808 25 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 8965184 25 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 9767872 25 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 10169216 25 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 10371904 25 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 10773248 25 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 10975936 25 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 11385344 25 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 12788032 25 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 13192064 25 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 13793408 25 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 13932928 25 ∗ 3 ∗ 73

6048 25 ∗ 33 ∗ 743008 211 ∗ 3 ∗ 715288 23 ∗ 3 ∗ 72 ∗ 1312720 24 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 5396048 24 ∗ 32 ∗ 23 ∗ 2935904 26 ∗ 3 ∗ 11 ∗ 17

a = 25 ∗ 3 ∗ 7 ∗ p, (p ̸= 2, 3, 7) は通常解

第二ブロックには天与の解, 上半分は擬素数解;下半分はエイリアンエイリアンは正体が掴めない.

12

表 9: 3倍完全数,宇宙定数項 　

a 素因数分解

D = −3719 19

D = −3626 2 ∗ 1390 2 ∗ 32 ∗ 596 25 ∗ 3792 23 ∗ 32 ∗ 111020 22 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 175472 25 ∗ 32 ∗ 19

D = −3317 17

32 25

D = −32300 22 ∗ 3 ∗ 52

D = −3121 3 ∗ 7

13

表 10: 3倍完全数,宇宙定数項

a 素因数分解

D = −3022 2 ∗ 1140 23 ∗ 542 2 ∗ 3 ∗ 7

D = −29144 24 ∗ 32

D = −2828 22 ∗ 784 22 ∗ 3 ∗ 7252 22 ∗ 32 ∗ 7756 22 ∗ 33 ∗ 72268 22 ∗ 34 ∗ 76804 22 ∗ 35 ∗ 7

(22 ∗ 7 ∗ 3e)D = −25

13 13

D = −24168 23 ∗ 3 ∗ 72808 23 ∗ 33 ∗ 13

14

表 11: 3倍完全数,宇宙定数項 　

a 素因数分解

D = −2111 11

15 3 ∗ 572 23 ∗ 32

D = −2048 24 ∗ 3

D = −1814 2 ∗ 720 22 ∗ 530 2 ∗ 3 ∗ 5630 2 ∗ 32 ∗ 5 ∗ 72310 2 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 7 ∗ 11

D = −1716 24

36 22 ∗ 32

D = −16336 24 ∗ 3 ∗ 7

D = −1518 2 ∗ 32

D = −149 32

D = −137 7

15

表 12: 3倍完全数,宇宙定数項 　

a 素因数分解

D = −1210 2 ∗ 524 23 ∗ 360 22 ∗ 3 ∗ 5

D = −95 5

8 23

D = −812 22 ∗ 3

D = −66 2 ∗ 3

D = −53 3

4 22

D = −32 2

D = 0

120 23 ∗ 3 ∗ 5672 25 ∗ 3 ∗ 7

16

8 乗数 h, P = 2 の完全数

h > 2 を素数として a = h2e を考える.σ(a) = σ(h2e) = (h+ 1)(2e+1 − 1) なのでこれを h 倍する.

hσ(a) = (h+ 1)(2h2e − h) = (h+ 1)(2a− h) = 2(h+ 1)a− h(h+ 1).

書き直して

hσ(a)− 2(h+ 1)a = −h(h+ 1).

ここで, (h, 0, 2h+ 2) 完全数を考える.D を定数項として (hσ(a)− 2(h+ 1)a = D が (A,B,C) 完全数の方程式.a = pk(p, k と互いに素な素数), とおくとき(hσ(kp)− 2(h+ 1)kp = (hσ(k)− 2(h+ 1)k)p+ hσ(k) = D となる.これより固有完全数 k の方程式は hσ(k)− 2(h+ 1)k = 0.その解を k0 として 宇宙定数項 D0 = hσ(k0) = 2(k0 + 1) となる.

9 (乗数 3 の完全数

h = 3 なら (3, 0, 8) 完全数 の方程式は定数項 D に対して

3σ(a)− 8a = 0 = D.

固有完全数の方程式は

3σ(k)− 8k = 0.

表 13: (3,0,8) 固有完全数　

k 素因数分解

84 22 ∗ 3 ∗ 71488 24 ∗ 3 ∗ 3124384 26 ∗ 3 ∗ 127270 2 ∗ 33 ∗ 51638 2 ∗ 32 ∗ 7 ∗ 13

k0 = 84 = 22 ∗ 3 ∗ 7, 1488; a = 24 ∗ 3 ∗ 31; a = 24384 = 26 ∗ 3 ∗ 127 は完全数の 3倍であ

り予期通りの解.

0 = 270 = 2 ∗ 33 ∗ 5; a = 1638 = 2 ∗ 32 ∗ 7 ∗ 13 は予期せぬ解である.

命題 1 (3,0,8)完全数の固有完全数kが k = 3∗2eq(q ≥ 5 :)素数, とすると, q = 2e+1−1:素数, 2eq は元祖完全数.

17

Proof.

0 = 3σ(k)− 8k = 3σ(3 ∗ 2eq)− 8 ∗ 3 ∗ 2eq = 0= 3 ∗ 4 ∗ (2e+1 − 1)(q + 1)− 8 ∗ 3 ∗ 2eq= 3(4 ∗ (2e+1 − 1)(q + 1)− 8 ∗ 2eq)

4 ∗ (2e+1 − 1)(q + 1)− 8 ∗ 2eq = (8 ∗ 2e − 4)(q + 1)− 8 ∗ 2eq= (8 ∗ 2e − 4)q + 8 ∗ 2e − 4− 8 ∗ 2eq= 4(−q + 2e+1 − 1)

よって, −q + 2e+1 − 1; q = 2e+1 − 1. q はメルセンヌ素数で, β = 2eq は元祖完全数.a = 3β = 3 ∗ 2eqEnd

注意 1 (3,0,8)完全数 の 固有完全数 kが k = 32 ∗ α, (3 ̸ |α) 素数, とする,いくつかの仮定のもとで k = 2 ∗ 32 ∗ 7 ∗ 13.

0 = 3σ(k)− 8k = 3σ(32 ∗ α)− 8 ∗ 32 ∗ α = 3 ∗ 13 ∗ σ(α)− 8 ∗ 32 ∗ α

13 ∗ σ(α) = 8 ∗ 3 ∗ α により, α は 13の倍数. α = 13β と書ける.13 ̸ |β を仮定する.13 ∗ σ(α) = 13 ∗ 14 ∗ σ(β), 8 ∗ 3 ∗ α = 8 ∗ 3 ∗ 13 ∗ β により14 ∗ σ(β) = 8 ∗ 3 ∗ β. これから 7 ∗ σ(β) = 8 ∗ β.次の補題によって, β = 7. したがって, k = 32 ∗ α = 32 ∗ 13 ∗ 7.

補題 1 p は素数で, pσ(α) = (p+ 1)α を満たすとすとき α = p

Proof.

α は p の倍数なので, α = peA(p ̸ |A) と書ける.

p(p− 1)σ(α) = p(pe+1 − 1)σ(A) = (p2 − 1)peA.

これより

(pe+1 − 1)σ(A) = (p2 − 1)pe−1A.

A = 1 とする.(pe+1 − 1) = (p2 − 1)pe−1 により pe−1 = 1; e = 1, p = a.A > 1 とする. σ(A) > A によって,

18

(pe+1 − 1)A < (pe+1 − 1)σ(A) = (p2 − 1)pe−1A.

pe+1A を両辺から引いて,−A < −pe−1A

. これは矛盾.End

p(pe+1 − 1)linepσ(a) = (p+ 1)α.

10 宇宙完全数

固有完全数 h0 とおくとき, 宇宙定数項 D0 は kσ(h0) = 2(k + 1)h0.h0 = 84 = 3 ∗ 28 , D0 = 8× 84 = 672 = 25 ∗ 3 ∗ 7.

19

表 14: 乗数 3 の (3,0,8) 完全数 D0 = 8× 84 = 672, 宇宙完全数 　

a 素因数分解

420 22 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 7756 22 ∗ 33 ∗ 7924 22 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 111092 22 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 131428 22 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 171596 22 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 191932 22 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 232436 22 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 292604 22 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 313108 22 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 373444 22 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 413612 22 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 433948 22 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 474452 22 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 534956 22 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 595124 22 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 615628 22 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 675964 22 ∗ 3 ∗ 7 ∗ 71672 25 ∗ 3 ∗ 74116 22 ∗ 3 ∗ 73

13632 26 ∗ 3 ∗ 7127816 23 ∗ 3 ∗ 19 ∗ 6143656 23 ∗ 3 ∗ 17 ∗ 10776416 27 ∗ 3 ∗ 199224976 24 ∗ 3 ∗ 43 ∗ 109

D = −12 の場合は解に特色がある.a = 2e ∗ 3 は 3σ(a)− 8a の解.a = 2e ∗ 3 を代入すると 3σ(a)− 8a = 3 ∗ 4 ∗ (2e+1 − 1)− 8 ∗ 2e ∗ 3 =1 2.この他に a = 3, 6, 684 が解である. さらに解があるだろうか.

20

表 15: 乗数 3 の (3,0,8)完全数,固有完全数 k0 = 2 ∗ 33 ∗ 5 に関しての宇宙完全数　

a 素因数分解

k0 = 2 ∗ 27 ∗ 51890 2 ∗ 33 ∗ 5 ∗ 72970 2 ∗ 33 ∗ 5 ∗ 113510 2 ∗ 33 ∗ 5 ∗ 134590 2 ∗ 33 ∗ 5 ∗ 175130 2 ∗ 33 ∗ 5 ∗ 196210 2 ∗ 33 ∗ 5 ∗ 237830 2 ∗ 33 ∗ 5 ∗ 298370 2 ∗ 33 ∗ 5 ∗ 319990 2 ∗ 33 ∗ 5 ∗ 3711070 2 ∗ 33 ∗ 5 ∗ 4111610 2 ∗ 33 ∗ 5 ∗ 4312690 2 ∗ 33 ∗ 5 ∗ 4714310 2 ∗ 33 ∗ 5 ∗ 5315930 2 ∗ 33 ∗ 5 ∗ 5916470 2 ∗ 33 ∗ 5 ∗ 611080 23 ∗ 33 ∗ 56750 2 ∗ 33 ∗ 53

50508 22 ∗ 32 ∗ 23 ∗ 61

11 (P2,−P 2, 0) 完全数

a = P e とおく. Pσ(a) = aP − 1 と φ(a) = PP e−1 が成り立つ.ここから a を抜いて, σ(a), φ(a) を使う (A,B,C) 完全数を作ろう.P 2φ(a) = PP e+1 = PaP が成り立つので,Pσ(a) = aP − 1 に P を掛けてできた

P2σ(a) = aPP − P

P 2φ(a) = PaP を代入して

P2σ(a) = P 2φ(a)− P .

定数項 D を用いて

P2σ(a)− P 2φ(a) = D.

P = 2 とすると, σ(a)− 4φ(a) = D. これは半完全数の式とほぼ同じ.

21

表 16: 乗数 3 (3,0,8) 完全数, 定数項 D 　

a 素因数分解

D = −1890 2 ∗ 32 ∗ 5

D = −16560 24 ∗ 5 ∗ 7

D = −1536 22 ∗ 32

D = −123 3

6 2 ∗ 312 22 ∗ 324 23 ∗ 348 24 ∗ 396 25 ∗ 3192 26 ∗ 3384 27 ∗ 3684 22 ∗ 32 ∗ 19768 28 ∗ 31536 29 ∗ 33072 210 ∗ 36144 211 ∗ 312288 212 ∗ 324576 213 ∗ 349152 214 ∗ 398304 215 ∗ 3D = 9

72 23 ∗ 32

D = 18

612 22 ∗ 32 ∗ 17

σ(a)− 4φ(a) = −1 の解として 2e があるのは明らかだがこれに限るかどうかわからない. ここでまた, 概完全数の類似が出てきた.D = 0 の第１ブロックには完全数の半分が出ている.D = 0 の第 3 ブロックには a = 22 ∗ p ∗ q の形をしｔいる.a = 22∗p∗qをσ(a)−4φ(a) = 0に代入すると, σ(a) = 7(B+∆+1), 4φ(a) = 8(B−∆+1)なので

σ(a)− 4φ(a) = 15∆− 1 = 0.

22

表 17: (1,−4, 0) 完全数 　

a 素因数分解

D = −12 2

4 22

8 23

16 24

32 25

64 26

128 27

256 28

512 29

表 18: (1,-4,0) 完全数 　

a 素因数分解

D = 0

14 2 ∗ 7248 23 ∗ 314064 25 ∗ 127418 2 ∗ 11 ∗ 193596 22 ∗ 29 ∗ 313956 22 ∗ 23 ∗ 435396 22 ∗ 19 ∗ 718636 22 ∗ 17 ∗ 127105 3 ∗ 5 ∗ 71485 33 ∗ 5 ∗ 113135 3 ∗ 5 ∗ 11 ∗ 19

a = 3 ∗ 2e とおき, σ(a) = σ(3 ∗ 2e) = 4 ∗ (2e+1 − 1) = 8 ∗ 2e − 4.そこでオイラー関数を使う. φ(a) = φ(3 ∗ 2e) = 2e.σ(a) = 8 ∗ 2e − 4 = φ(a) = −4.定数項 D に対して, 次の (A,B,C) 完全数を考える.

σ(a)− 8 ∗ φ(a) = D

23

12 (1, 0, 2) 完全数

13 (1, 0, 2) 完全数

14 (1,1,2) 宇宙完全数

(1,1,2) 宇宙完全数について計算結果を見る.固有完全数は素数 q.i. k0 = q のとき D0 = σ(q)− φ(q) = 2.(1,1,2) 宇宙完全数の解は次の方程式の解.

σ(a) + φ(a)− 2a = 2

解は q と異なる素数 p について解は qp.土屋によると,σ(a) + 1φ(a)− 2a = 2 の解は a = q1q2 : (q1, q2) は相異なる素数のみ.したがって, この場合も天与の解がなことがわかり完全解決した.

15 (1,2,3) 宇宙完全数

表 19: e

e a0 = 2E − 21 E = 2e a = E ∗ a04 11 32 352

5 43 64 2752

6 107 128 13696

8 491 512 251392

10 2027 2048 4151296

12 8171 8192 66936832

13 16363 16384 268091392

これは今まで研究がなされた.

16 (2,3,5) 宇宙完全数

(2,3,5) 宇宙完全数について計算結果を見る.この結果は固有完全数が 1,4,6 であることを意味する (しかし証明は無い)i. k0 = 1 のとき D0 = 2σ(k0)− 3φ(k0) = 5k0 − 4φ(k0) = 1.　　　　　　この解は,素数 p または 3e なのであろう.k0 = 1 なので p = k0p が解なのは当然である.しかし 3e は思いがけない解なのでこれを天与の解 (gifted solution) という.

24

表 20: 2σ(a) + 3φ(a)− 5a = 0,m = 0

a 素因数分解 D01 1 −14 22 8

6 2 ∗ 3 18

表 21: 2σ(a) + 3φ(a)− 5a = 1,m = −1

a 素因数分解

m = −D0 = −12 2

3 3

5 5

7 7

9 32

11 11

13 13

17 17

19 19

23 23

27 33

29 29

31 31

37 37

41 41

43 43

47 47

53 53

59 59

61 61

ii. k0 = 4 のとき D0 = 5k0 − φ(k0) = 8.iii. k0 = 6 のとき D0 = 5k0 − φ(k0) = 18.

17 素数の積み上げ解

m = 2 のときの解は面白い.

25

表 22: 2σ(a) + 3φ(a)− 5a = 8,m = −8

a 素因数分解

m = −D0 = −812 22 ∗ 320 22 ∗ 528 22 ∗ 744 22 ∗ 1152 22 ∗ 1368 22 ∗ 1776 22 ∗ 1992 22 ∗ 23116 22 ∗ 29124 22 ∗ 31148 22 ∗ 37164 22 ∗ 41172 22 ∗ 43188 22 ∗ 47212 22 ∗ 53236 22 ∗ 59

表 23: 2σ(a) + 3φ(a)− 5a = 18,m = −18

a 素因数分解

m = −D0 = −1830 2 ∗ 3 ∗ 542 2 ∗ 3 ∗ 766 2 ∗ 3 ∗ 1178 2 ∗ 3 ∗ 13102 2 ∗ 3 ∗ 17114 2 ∗ 3 ∗ 19138 2 ∗ 3 ∗ 23174 2 ∗ 3 ∗ 29186 2 ∗ 3 ∗ 31222 2 ∗ 3 ∗ 37246 2 ∗ 3 ∗ 41258 2 ∗ 3 ∗ 43

26

表 24: 2σ(a) + 3φ(a)− 5a = −2,m = 2

a 素因数分解

10 2 ∗ 5130 2 ∗ 5 ∗ 1323530 2 ∗ 5 ∗ 13 ∗ 181

このように素数の積が順次の解の場合には 素数の積み上げ解という. あたかも石垣に自然石を用いて作ったような面影があるから,この名前を選んだ.F (a) = 2σ(a) + 3φ(a)− 5a, F (a) = −2 について a′ = ap とおくときF (a′) = (2σ(a) + 3φ(a)− 5a)p+ 2σ(a)− 3φ(a) = −2p+ 2σ(a)− 3φ(a) となる.F (a′) = 2 を仮定すると−2 = F (a′) = −2p+ 2σ(a)− 3φ(a) となる.

2p = 2 + 2σ(a)− 3φ(a) = 5a+ 2− 6φ(a)

18 固有完全数1の定理

(A,B,C) 完全数の固有完全数 k0が 1のときを考える.Aσ(k0) +Bφ(k0)− Ck0 = A+B − C = 0k0 = 1 なので無数の素数 p について解となりD0 = Aσ(k0)−Bφ(k0) = A−B .ここで素数 q がありそのべき qη, (η > 1) が解であると仮定する.a = qη, R1 = q

η−1 とおき これらの σ(a), φ(a) を計算する.a = qη のときqσ(a) = q2R1 − 1, φ(a) = qR1, a = qR1 なので,X = q2R1 − 1, Y = qR1 とおくと,

Aq2R1 −A+BqY − CqY = (A−B)q (1)

BqY −CqY = Y (Bq−Cq) = qR1(Bq−Cq), C = A+B に注意しR1 の 1次式に直しその係数を Γ とおくと

Γ = Aq2 + q(Bq − (A+B)q)= Aq2 +Bq2 − (A+B)qq)= Aq2 +B(q2 − 2q + 1)− (A+B)(q2 − q)= B(−2q + 1) + (A+B)q= Aq − qB

ゆえにΓ = Aq − qB.

27

これより式 (2) を変形して

R1Γ = A+Aq　−Bq (2)

ゆえにR1(Aq − qB) = A+Aq　−Bq = Aq　−Bq (3)

A でまとめて

A(R1 − 1)q = qB(R1 − 1).

R1 = qη−1 − 1 > 0 によってこれを除して

Aq = BP がでてB

A=

q

P.

この左の項と右の項は既約分数なので A = P ,B = q. よって, A = B − 1.End

(A+B − C)p+A−B = A−B により A+B − C = 0. さらにA = B − 1　なので,C = 2B − 1.

命題 2 A = B − 1, C = 2B − 1 のとき, Aσ(a) + Bφ(a)− Ca = −1 ならば素数 p を解に持つ.

　

定理 2 A = B − 1, C = 2B − 1 のとき, Aσ(a) +Bφ(a)−Ca = −1 素数べき qε, (ε > 1)を解に持つのはB が素数の時で B = q になる.

B = 5 なら (4,5,9) 完全数でそのとき 固有完全数 k0 = 1 のときの宇宙完全数は 素数 pと 5ε が解であり, 後者を天与の解 (gifted solution)という.

28