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AA-220 AERODINÂMICA NÃO

ESTACIONÁRIA

Aerofólio fino em regime incompressível não estacionário

(baseado nas Notas de Aula do Prof Donizeti de Andrade)

Prof. Roberto GILEmail: [email protected]: 6482

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1. Gás perfeito (forças intermoleculares desprezadas)

2. Conservação da massa (continuidade)

3. Conservação da quantidade de movimento

4. Conservação da energia (escoamento adiabático)

5. Forças de campo nulas (gravitacionais, em particular)

6. Forças viscosas não significativas

Relembrando Euler

3

A existência do potencial

� Vorticidade e circulação

Velocidade angular de um elemento de fluido retangular

4

Teorema de Stokes

� Relação entre integral de linha e de superfície

5

Circulação

� Circulação é definida como:

6

Circulação

� Casos com e sem circulação:

7

Movimento rotacional e irrotacional

� Diferenças:

8

Teorema de kelvin

� Vórtice ligado e vórtice de esteira

9

Lei de Biot Savart

� Escoamento irrotacional e incompressível

10

Vorticidade induzida

� Supondo um seguimento de vórtices

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Hipóteses

7. Escoamento incompressível ou barotrópico

(isentrópico)

8. Declividades (inclinações) do corpo pequenas

9. Pequenas perturbações aplicadas a todos os

parâmetros do escoamento

10. Mudanças com o tempo não muito bruscas

Escoamento Incompressível,

Não-Estacionário em Perfis

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Formulação do Problema� Bases (hipóteses) físicas

� Perfil imerso em meio fluido infinito

� Perfil acelerado instantaneamente a partir de uma

situação inicial de repouso para uma velocidade U

� Todo campo do escoamento inicialmente em repouso

(devendo assim permanecer, pelo Teorema de Kelvin)

� Circulação Total Nula (

...

= 0 ) para todo t

( RHS se anula quando o fluido é

incompressível ou quando o escoamento é

barotrópico---processo no qual existe uma

relação única pressão-densidade---)



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� Fenômeno de Crescimento da Sustentação

Definição: Linha de Corrente de Estagnação é a linha de corrente que

separa o escoamento local em duas direções na superfície do corpo, i.e.,

partículas que se movem através dela são levadas ao repouso onde a linha

de corrente entre em contato com o perfil.



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Fenômeno de Crescimento da Sustentação (cont.)

Ludwig Prandtl observeu que o escoamento exterior à camada-limite é

essencialmente irrotacional para valores elevados de número de Reynolds

(~10^6) V(x,y) é a velocidade potencial no exterior da camada-limite

� Presença de uma pequena quantidade de viscosidade no fluido:

suas partículas aderem no contato com as do corpo (“non-slip”

condition)



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� Circulação Local

;



16


� Sentido da vorticidade e da circulação total em torno do perfil

em um escoamento incompressível no momento exato em que

parte da vorticidade no extradorso é emanado para a esteira

(“STARTING VORTEX”)



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� Pouco tempo depois de o escoamento no sentido anti-horário no extradorso

emanar-se para a esteira, o ponto de estagnação traseiro move-se de volta

para o bordo de fuga, e uma condição “estável” é alcançada

� Circulação Total igual a zero (Teorema de Kelvin)

� “Bound Circulation”: magnitude total das esteiras de vórtices no extradorso

e intradorso do perfil

� Crescimento positivo da “bound circulation” é acompanhada do movimento para trás do ponto de estagnação traseiro



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� Resumo: (1) emanação de vórtice a partir do bordo de fuga; (2) aumento da

“bound circulation”; (3) movimento para trás do ponto de estagnação

traseiro

(1) ... Até que o ponto de estagnação traseiro atinge o bordo de fuga (fluido

não mais tem necessidade de mudar de direção no bordo de fuga)---

velocidades no extradorso e no intradorso iguais no bordo de fuga!---

CONDIÇÃO DE KUTTA

(2) ... Se esse não for o caso, a emanação de vórtices continua, o ponto de

estagnação continua a mover-se em torno do bordo de fuga e todo o

processo se inicia de novo, de modo a forçar o ponto de estagnação traseiro

de volta ao bordo de fuga (quando cessa a emananação de vórtices)---.

Nessa situação a circulação em torno do perfil torna-se constante e,

finalmente, a esteira de vórtice na esteira é transportada para o infinito.

Continuidade do Processo...



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Nomenclatura: γγγγa, vorticidade ligada; γγγγw, vorticidade na esteira

Problema a ser resolvido: determinar a intensidade da vorticidade

ligada tal que a condição de contorno na superfície do perfil e a

condição de Kutta sejam satisfeitos

� Vórtice de Partida no “infinito”, escoamento estabelecido

� Perfil fino (t/c menor ou igual a 12%)

� Folha de vorticidade no extradorso e no intradorso muito

próximas

Caso do Escoamento Estacionário

Modelo: vórtice incompressível que satisfaz a equação do

escoamento potencial



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� Vorticidade ligada distribuída ao longo do eixo x, abrangendo

um comprimento 2b (corda do perfil)

Cálculo da velocidade induzida em um ponto qualquer do campo

de escoamento pelo elemento diferencial de vórtice γγγγ(ξξξξ) dξξξξ :



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� Componentes da velocidade induzida

Modelo Matemático

onde ;

� Cálculo da circulação



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� Componentes da velocidade induzida (cont.)

� Valor Principal de Cauchy (processo limite)

presença de uma singularidade integrável em x = ξξξξ

� Condições: exceto na singularidade, o restante do integrando é

contínuo

� Comum a problemas relativos ao cálculo em superfícies de

sustentação na teoria de perfis finos, onde uma

variável desconhecida, γγγγa, encontra-se no integrando,

enquanto o termo conhecido, w, pode ser calculado

através da condição de contorno na superfície.



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� Inversão de Carleman-Schwarz

Condições para a inversão

1. f (-1) é singular; E

2. f (1) é ZERO ou FINITA, E

3. a função f é contínua entre esses limites.



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� Coeficiente de pressão

� Sustentação

�

onde



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� Perfil fino, simétrico, ângulo de ataque estacionário

Exemplo de

Aplicação

;

;



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� Desenvolvimento muito similar ao feito no caso estacionário

� Diferenças:

1.1.1.1. γγγγa, vorticidade ligada, varia em intensidade como

função do tempo (emissão contínua de vorticidade na

esteira a partir do bordo de fuga, “convected

downstream”).

2. efeito da vorticidade na esteira, γγγγw, a uma distância

finita do perfil deve ser considerada.

Escoamento Não-Estacionário� Considerações iniciais



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Escoamento Não-Estacionário (cont.)

� Ambas as vorticidades, γγγγa e γγγγw, estão distribuídas no plano z = 0



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� Condição de KuttaDescontinuidade de velocidade e pressão = 0

Escoamento Estacionário

Escoamento Não- Estacionário

Vorticidade na esteira = 0+

Vorticidade na esteira + descontinuidade de velocidade podem existir

Descontinuidade de pressão = 0

+



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� Coeficiente de pressão

onde

�



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� Coeficiente de pressão (cont.)

� Enfoque geral para solução: transformada de Laplace

onde ;

� ,



31

� Perturbações impostas do tipo harmônico simples

; ;

�

i.e., obtém-se a transformada da vorticidade na esteira

como função da transformada da vorticidade ligada.



32

� Equação de transformação para o “normalwash” não-

estacionário

que pode ser re-arranjada como

e a forma final para a vorticidade ligada fica



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� Equação de transformação para o “normalwash” não-

estacionário (cont.)

Trabalhando a parcela relativa à vorticidade na esteira,

que pode ser escrita como



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onde a função de Hankel pode ser definida em termos das funções de

Bessel de primeiro e segundo tipo,

e a transformada da circulação ligada pode ser expressa como

Parcela relativa à vorticidade na esteira (cont.)

.

Calculando , recupera-se o valor

estacionário



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“Normalwash” a partir da condição de contorno na superfície do corpo

Relação entre a transformada da vorticidade total ligada e a transformada

do “normalwash” na superfície do perfil

,

e

pode ser colocada na seguinte forma:

,

.



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Determinação da Distribuição de Pressão Não-Estacionária Sobre Perfis

Em termos da transformada de Laplace,

Coeficiente de pressão diferencial, formulado em termos das derivadas

dos potenciais de perturbação para o extradorso e intradorso,

chega-se a

e tendo em conta que

.

.

,

,

,

onde

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que pode ser graficamente representada por

Função de Theodorsen

ou

,

Sustentação circulatória apenas:

onde

é a frequência reduzida

38


Interpretação, transformada do coeficiente de pressão diferencial

,

,

onde

1. Recuperando os resultados do estado estacionário:

Tomando o limite quando p 0 na equação da vorticidade ligada,

, tem-se

, e chega-se a

recuperando-se o valor estacionário.

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Interpretação, transformada do coeficiente de pressão diferencial (cont.)

,

,

onde

2. Tomando o limite quando p 0 na função de Theodorsen,

Assim, chega-se a

.

que é a componente quase-estacionária do coeficiente de pressão.

Obs. A dependência em p é mantida no “normalwash”; é a contribuição

da vorticidade ligada ao diferencial de pressão.

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,

,

onde

3. Tomando o limite quando U 0

Sendo a transformada do “normalwash” dado por,

,, tomando-se o

mostra-se que

,

, i.e., trata-se do termo de massa

aparente (não-circulatório).

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,

onde

4. A terceira parcela contém a contribuição da vorticidade na esteira,

sendo, portanto, uma contribuição circulatória.

42

Classificação da Aerodinâmica, baseada nos movimentos não-estacionários

1. Aerodinâmica Não-Estacionária

Caso em que todos os três termos são incluídos e devem ser utilizados para

frequências características acima de 10 Hz para aeronaves

convencionais operando no regime subsônico.

2. Aerodinâmica Quase-Não Estacionária

Nesse caso, despreza-se o termo de massa aparente e oferece resultados

satisfatórios para frequências entre 2 e 10 Hz.

3. Aerodinâmica Quase-Estacionária

Para frequências abaixo de 2 Hz, apenas a componente quase-estacionária

precisa ser retida; i.e, apenas se considera a taxa de variação temporal

devida à contribuição da vorticidade ligada. É normalmente utilizada em

análises de estabilidade dinâmica.



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4. Aerodinâmica Estacionária

Essa análise é utilizada para o mesmo domínio de frequências que no caso

quase-estacionário. A diferença se encontra no fato de que, no caso

estacionário, apenas a declividade instantânia da superfície do perfil é

levada em consideração no cálculo do ângulo de ataque.Pontos/questões interessantes...

I. Sustentação circulatória deve ser desenvolvida através da emissão

de vorticidade na esteira (e isso acontece toda vez que houver

oscilação da superfície de sustentação na presença de um valor

finito de velocidade).

II. Por que a oscilação constante do perfil não o esgota de vorticidade?

III. Se um perfil não está mudando de atitude e, aparentemente, não

emana vorticidade, por que não existe um acúmulo contínuo de

vorticidade em sua superfície?



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� A Aerodinâmica Não-Estacionária lida com a formalização das

equações associadas com o escoamento perturbado

devido à presença de um corpo sólido em movimento

dentro do mesmo, para o qual a dependência da variável

tempo é o ponto focal.

� A Aerodinâmica Clássica lida com o movimento do corpo

composto predominantemente pelo movimento

estacionário, sobre o qual apenas perturbações

estacionárias são analisadas.

� Para o tratamento de problemas aeroelásticos (como “flutter” e

estabilidade devida à distribuição de cargas aeroelasticas

reais), a análise envolvendo uma ferramenta mais ampla e

abrangente é necessária.



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