A05 - Caracteristicas Geometricas Da Secao Transversal

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<p>ESTTICA DEC 3674</p> <p>42</p> <p>5 Caractersticas geomtricas da seo transversal15.1 Centro de Gravidade de um Corpo Bidimensional.Consideremos uma placa horizontal. Podemos dividir essa placa em n elementos pequenos. As coordenadas do primeiro elemento so denominadas x1 e y1, as do segundo elemento x2 e y2 etc. As foras exercidas sobre os elementos da placa sero denominadas P1, P2, Pn, respectivamente. Essas foras ou pesos podem ser consideradas paralelas. Sua resultante , por conseguinte, uma nica fora na mesma direo. A intensidade P desta fora obtida pela adio das intensidades dos pesos elementares. Fz = P = P + P2 + ... + Pn 1</p> <p>Para obtermos as coordenadas X e Y do ponto G onde a resultante P deve ser aplicada devemos satisfazer a condio de que os momentos das parcelas Pi em relao aos eixos x e y sejam iguais ao momento da resultante P em relao aos mesmos eixos. Mx = PX = P1 x1 + P2 x2 + ... + Pn xn My = PY = P1 y1 + P2 y2 + ... + Pn yn (5.2)</p> <p>Se aumentarmos o nmero de elementos em que a placa dividida e diminuirmos simultaneamente o tamanho de cada elemento, teremos as seguintes expresses P = dP PX = x dP PY = y dP (5.3)</p> <p>Essas expresses definem o peso P e as coordenadas x e y do centro de gravidade G da placa.</p> <p>5.2 Centrides de reas.No caso de uma placa homognea de espessura uniforme, a intensidade P do peso de um elemento da placa pode ser expressa como:</p> <p>1</p> <p>Mecnica vetorial para engenheiros - Ferdinand P. Beer e E. Russell Johnston, Jr.; McGraw-Hill, 1976</p> <p>ESTTICA DEC 3674</p> <p>43</p> <p>P = .t.A Sendo: = peso especfico .(peso por unidade de volume) do material t = espessura da placa, e A = rea do elemento</p> <p>Substituindo P e Pi na equao de momentos (5.2) e dividindo por t, escrevemos Mx = AX = A1 x1 + A2 x2 + ... + An xn My = AY = A1 y1 + A2 y2 + ... + An yn (5.4)</p> <p>Aumentando o nmero de elementos em que a rea A dividida, obtemos XA = x.dA AY = y.dA (5.5)</p> <p>Essas equaes definem as coordenadas x e y do centro de gravidade de uma placa uniforme. O ponto de coordenadas X e Y tambm conhecido como o centride C da rea A da placa</p> <p>A integral x.dA conhecida como o momento esttico da rea A em relao ao eixo y. Analogamente, a integral y.dA define o momento esttico de A em relao ao eixo x.</p> <p>V-se das Eqs. (5.5) que, se o centride de uma rea est situado sobre um eixo coordenado, o momento esttico da rea em relao a este eixo nulo.</p> <p>reas simtricas em relao aos eixos Quando uma rea A possui um eixo de simetria BB', o centride da rea deve estar situado neste eixo. Se possuir dois eixos de simetria, o centride da rea est situado na interseco dos dois eixos de simetria. Esta propriedade nos possibilita determinar imediatamente o centride de reas tais como crculos, elipses, quadrados, retngulos, tringulos eqilteros ou quaisquer outras figuras simtricas. A seguir so fornecidos alguns centrides de formas usuais de reas:</p> <p>ESTTICA DEC 3674</p> <p>44</p> <p>y y b/2 C b/2</p> <p>Tringulo</p> <p>xCG =</p> <p>yCG = h/3</p> <p>rea = . b.h</p> <p>Quarto de crculoC O y x O C r</p> <p>xCG = 4.r/3.</p> <p>yCG = 4.r/3.</p> <p>rea = .r2/4 rea = ..r2.</p> <p>Semi crculo xCG =0</p> <p>yCG = 4.r/3.</p> <p>Quarto de elipseC O y x O b C</p> <p>xCG = 4.a/3.r a</p> <p>yCG = 4.b/3. xCG =0</p> <p>rea = .a.b/4</p> <p>Semi elipse</p> <p>yCG = 4.b/3. rea = ..a.b</p> <p>a C O y x O h C</p> <p>Semi parbola xCG = 3.a/8 Parablica yCG = 4.h/5 xCG =0 rea = 2.a.b/3 rea = 4/3.a.h</p> <p>yCG = 3.h/5</p> <p>Superfcie arqueada de uma abbada forma gerala y = k.x O xcgn</p> <p>h ycg</p> <p>xcg =</p> <p>n +1 .a n+2</p> <p>ycg =</p> <p>n +1 .h 4.n + 2</p> <p>rea =</p> <p>a.h n +1</p> <p>5.3 Placas Compostas.Uma placa pode ser dividida em retngulos, tringulos ou outras das formas usuais. A abscissa X de seu centro de gravidade G pode ser determinada das abscissas dos centros de gravidade das vrias partes, expressando que o momento do peso de toda a placa em relao ao eixo y igual soma dos momentos dos pesos das vrias partes em relao ao mesmo eixo (Fig. 5.9). A coordenada Y do centro de gravidade da placa encontrada de maneira anloga, equacionando os momentos em relao ao eixo x.</p> <p>ESTTICA DEC 3674</p> <p>45</p> <p>z</p> <p>z y P = Pi X G1 P3 P1 O x P2 G2 x G3</p> <p>O</p> <p>Y</p> <p>FIGURA 5.9. Centro de gravidade de uma placa composta</p> <p>Se a placa homognea e de espessura uniforme, o centro de gravidade coincide com o centride G de sua rea. A abscissa X do centride da rea pode ser ento determinada, considerando que o momento esttico da rea composta com respeito ao eixo y igual soma dos momentos estticos das diversas reas em relao ao mesmo eixo (Fig. 5.10). A ordenada Y do centride encontrada de maneira anloga, isto , equacionando momentos estticos das reas em relao ao eixo x.y Ai C X Y O x O C1 A1 y A3 C3 C2 A2 x</p> <p>FIG. 5.10. Centride de uma rea composta</p> <p>M</p> <p>x</p> <p>=Y ( A1 + A2 + ... + An ) = y1. A1 + y2 . A2 + ... + yn . An</p> <p>M</p> <p>y</p> <p>=X ( A1 + A2 + ... + An ) = x1. A1 + x2 . A2 + ... + xn . An</p> <p>(5.8)</p> <p>Cuidado: Momentos estticos de reas podem ser positivos ou negativos. Uma reacom centride esquerda do eixo y ter momento esttico negativo em relao ao eixo y.10 cm</p> <p>Exemplo 15 cm</p> <p>r = 10 cm</p> <p>Determinar o centro de gravidade da placa homognea ao lado.15 cm 22,5 cm 17,5 cm</p> <p>ESTTICA DEC 3674</p> <p>46</p> <p>y</p> <p>26,74 cm</p> <p>4r = 4,24 cm 3</p> <p>y</p> <p>24,24 cm</p> <p>11,25 cm 28,33 cm</p> <p>x X = 15,16 cm</p> <p>Y = 14,34 cm</p> <p>C</p> <p>15 cm</p> <p>5 cm</p> <p>x</p> <p>Da equao 5.8:</p> <p>X ( A1 + A2 + ... + An ) = x1. A1 + x2 . A2 + ... + xn . An Y ( A1 + A2 + ... + An ) = y1. A1 + y2 . A2 + ... + yn . An</p> <p>Componente Retngulo Quarto de crculo tringulo</p> <p>A 675 78,54 131,25 884,79</p> <p>x 11,25 26,74 28,33</p> <p>y 15 24,24 5</p> <p>x.A 7593,75 2100,16 3718,71 13412,62</p> <p>y.A 10125 1903,81 656,25 12685,06</p> <p> X.(884,79) = 13412,62 X = 15,16 cm Y.(884,79) = 12685,06 Y = 14,34 cmy</p> <p>Exemplo 2</p> <p>Determinar o centride da rea mostrada ao lado. Observe que a rea desconhecida, mas, ela o complemento da rea do quarto de circulo, que tem seu centride e rea conhecidos. Observe tambm que pela simetria X =Y, assim:y y</p> <p>15 cm</p> <p>r = 15 cm</p> <p>15 cm</p> <p>x</p> <p>4r = 6,365 cm 3</p> <p>y</p> <p>15 cm</p> <p>Y</p> <p>C X x</p> <p>7,5 cm</p> <p>x</p> <p>x 8,635 cm</p> <p>ESTTICA DEC 3674</p> <p>47</p> <p>Componente Quadrado Quarto de Crculo</p> <p>A 225,0 - 176,6 A = 48,4</p> <p>x 7,5 8,64</p> <p>x.A 1687 - 1525 x.A = 162</p> <p>Da equao 5.8:X ( A1 + A2 + ... + An ) = x1. A1 + x2 . A2 + ... + xn . An</p> <p>X ( Ai ) = xi . Ai</p> <p> X.(48,4) = 162 X = 3,35 cm</p> <p>Na Tabela anterior que fornece os centrides das figuras planas no consta o trapzio. Determine o centride do trapzio abaixob-a a b a a b</p> <p>5.4 Determinao do Centride por Integrao.X.A = x dA -Y.A = y dA (5.5)</p> <p>Exemplo 1</p> <p>y x h</p> <p>dx</p> <p>Para a rea ao lado determinar o momento esttico e as coordenadas do centro de gravidade. Momento esttico:Mx = y dAA</p> <p>dy y</p> <p>dA = b.dyh</p> <p>b</p> <p>x</p> <p>Mx = y ( bdy ) =h 0</p> <p>b ydy =0</p> <p>h</p> <p>b. y 2 2</p> <p>=0</p> <p>b.h 2 2</p> <p>ESTTICA DEC 3674</p> <p>48</p> <p>My = x dAAb</p> <p>dA = h.dxb</p> <p>My = x ( hdx ) =0</p> <p>h xdx =0</p> <p>h</p> <p>h.x 2 = 2 0</p> <p>h.b 2 2 bh 2 Mx 2 =h = Y= 2 A b.hy u</p> <p>hb 2 My 2 =b Centro de gravidade X = = 2 A b.h</p> <p>e</p> <p>Exemplo 2h</p> <p>Para a rea ao lado determinar a coordenada Y do CG.</p> <p>dy y</p> <p>Y = Mx / A</p> <p>x b</p> <p>Mx = y dA0h</p> <p>h</p> <p>dA = u.dyh</p> <p>e</p> <p>u h yu = b hh</p> <p> u=</p> <p>b( h y ) h</p> <p> dA =</p> <p>b(h y ) dy h</p> <p>b( h y ) ybh by 2 b Mx = y. dy = dy = ( yh y 2 ) dy h h h0 0 0 b hy 2 y 3 b h3 h3 b b.h 2 Mx = . = . = .h 2 = h 2 3 0 h 2 3 6 6h</p> <p>Y=</p> <p>Mx b.h 2 6 h = = A b.h 2 3</p> <p>Exemplo 3</p> <p>y y = k.x2 h a y dA = y dx y/2 x a y x x</p> <p>Determinar por integrao direta o centride da figura ao lado Condies de contorno: x = a y = h y= h = k.a2</p> <p>h 2 .x a2</p> <p>e</p> <p>x=</p> <p>a 1/ 2 .y h1/ 2</p> <p>Mx e My com o elemento vertical rea: dA = y.dx</p> <p>h A = dA = y.dx = 2 .x 2 .dx a h.a 3 3.a 2 1 A = a.h 3</p> <p>h x3 A= 2. = a 3 0</p> <p>a</p> <p>h . a3 0 ) = 2 ( 3.a</p> <p>ESTTICA DEC 3674</p> <p>49</p> <p>Mx = ycg ,vert .dA0</p> <p>a</p> <p>dA = y.dx</p> <p> y Mx = . y.dx 2 0a a</p> <p>Mx =</p> <p>1 h 2 .x .dx 2 a2 0a</p> <p>2</p> <p>1 h2 4 Mx = . 4 .x .dx 2 0aa</p> <p>1 h2 5 Mx = . 4 x 2 5.a 0 dA = y.dx</p> <p>1 h 2 5 a.h 2 Mx = . 4 a = 10 a 10h</p> <p>My = xcg ,vert .dA0</p> <p>h</p> <p>My = x. y.dx0a</p> <p> h My = x. 2 .x 2 .dx a 0a</p> <p>h My = 2 .x 3 .dx a 0</p> <p>a</p> <p> h My = 2 x 4 4.a 0</p> <p>1 h h.a 2 My = . 2 a 4 = 4 a 4 </p> <p>Mx e My com o elemento horizontal</p> <p>y</p> <p>Mx = ycg ,vert .dA0h</p> <p>h</p> <p>dA = ( a x ) .dyh</p> <p>Mx = ( y ) . ( a x ) .dy0</p> <p>h</p> <p>dA = (a-x) dy y x (a + x)/2 a x</p> <p>a Mx = y a 1/ 2 y1/ 2 .dy h 0 y2 y5 / 2 Mx = a 5 1/ 2 2 .h 0 2 My = xcg ,horiz .dA0 h h h</p> <p>a Mx = ya 1/ 2 y 3/ 2 .dy h 0</p> <p> h 2 2.h5/ 2 Mx = a. 1/ 2 2 5.h </p> <p> h 2 2.h 2 ah 2 Mx = a. = 5 10 2 </p> <p>dA = ( a x ) .dyh</p> <p>a+x My = . ( a x ) .dy 2 0 a2 y My = 1 .dy 2 0 hh</p> <p>My = a2 My = 2</p> <p>1 2 ( a x2 ) .dy 2 0h</p> <p> y2 y 2h 0 </p> <p>My =</p> <p>a2 h 2 a 2 .h . h = 2 2.h 4 </p> <p>Posio dos centridesa 2 .h My X= = 4 a.h A 3 3 a 4 ah 2 Mx 10 Y= = a.h A 3 3 h 10</p> <p>X=</p> <p>Y=</p> <p>ESTTICA DEC 3674</p> <p>50</p> <p>Exemplo 3</p> <p>y</p> <p>Para a figura ao lado, calcular a rea, os momentos estticos Mx e My e a posio do centro de gravidade C.h X C Y x dx b y/2 x y</p> <p>Considerar uma curva parablica</p> <p>y = h[1- (x2/b2)].</p> <p>dA = y.dx</p> <p>A = dA = y.dx = h 1 x</p> <p>(</p> <p>2</p> <p>b2</p> <p>) .dx</p> <p>h h x2 h A = h. 1 2 .dx = 2 . ( b 2 x 2 ) .dx b b 0 0</p> <p>h 2 x3 = A= 2 .b x b 3 0</p> <p>b</p> <p> h 2 b 3 . b b ( 0 0 ) = b 2 3 </p> <p>h 3.b3 b3 b2 3 </p> <p>A=</p> <p>2.b.h 3</p> <p>y Mx = .dA 2 0</p> <p>b</p> <p>dA = y.dx2</p> <p>Mx = 0 b</p> <p>b</p> <p>y y.dx 2</p> <p>b 1 x2 Mx = h 1 2 .dx 2 0 b b</p> <p>Mx =</p> <p>1 h2 4 2 2 4 b4 ( b 2b x + x ) .dx 20</p> <p>h2 Mx = 2.b 4</p> <p> 4 2 x5 b x b 2 x3 + = 3 5 0 </p> <p>h 2 4 2 2 3 b5 h2 b b b b + = (15.b5 10.b5 + 3.b5 ) 2.b 4 3 5 30.b 4 4.b.h 152</p> <p>Mx =</p> <p>h 8.b5 ) 4 ( 30.b</p> <p>2</p> <p>Mx =</p> <p>4.b.h 2 Mx Y= = 15 2.b.h A 3</p> <p>Y=</p> <p>2 h 5</p> <p>My = x.dA =0</p> <p>b</p> <p>b x2 x3 x.h 1 2 dx = h x 2 dx b b 0 0 b</p> <p> x2 x4 My = h. 2 2 4.b 0h.b 2 . My X= = 4 2.b.h A 3 3 X= b 8</p> <p>b</p> <p> b2 b4 b2 My = h. 2 = h. 2 4.b 4</p> <p>My =</p> <p>h.b 2 4</p> <p>ESTTICA DEC 3674</p> <p>51</p> <p>Exemplos 2</p> <p>01 - Determinar o ycg do tringulo com os eixos passando pelo vrtice.y dA = x.dy dA b x y x</p> <p>ycg =</p> <p> y.dA dAb</p> <p>e</p> <p>dA = x.dy</p> <p>dy</p> <p>a b = x yb</p> <p>x=</p> <p>a y b</p> <p>b</p> <p>dA =</p> <p>a y.dy b</p> <p>a</p> <p>a a y2 A = dA = y.dy = . b0 b 2 0a 2 y .dy b 2 y3 = 0 = 2. a.b b 3 2b</p> <p>0</p> <p>a b 2 a.b = . = b 2 2</p> <p>ycg =</p> <p> y.dA0</p> <p>b</p> <p>A</p> <p>=</p> <p>a b y. y.dy 0 A</p> <p>b</p> <p>b</p> <p>0</p> <p>2 ycg = .b 3</p> <p>Determinar o ycg do trapzio abaixo.y b 1 x1 2 x2 x</p> <p>y b a x</p> <p>A1 = b . x1 A2 = 1/2 b . x2 xcg =</p> <p>xcg,1 = 0,5 x1 xcg,2 = 1/3 x2</p> <p>ycg,1 = 0,5 b ycg,1 = 1/3 b</p> <p>2 Ai.xi b.x1. ( 0,5.x1 ) + 0,5.b.x2 . (1 3.x2 + x1 ) 1 2.x12 + 1 2.x1.x2 + 1 6.x2 = = b. ( x1 + 0,5.x2 ) x1 + 1 2.x2 Ai</p> <p> Ai. yi b.x1. ( 0,5.b ) + 0,5.b.x2 . (1 3.b ) 1 2.b 2 .x1 + 1 6.b 2 .x2 1 6.b. ( 3.x1 + x2 ) ycg = = = = b. ( x1 + 0,5.x2 ) b. ( x1 + 0,5.x2 ) x1 + 1 2.x2 Ai Por exemplo: b = 4,0 m, x1 = 7,0 m e x2 = 3,0 m xcg = 4,294 m ycg = 1,882 m</p> <p>ESTTICA DEC 3674</p> <p>52</p> <p>02 - Determinar o ycg da seo T abaixo.y h1 h 1 2 a b x 2 ou 1 3 2</p> <p>A seo simtrica em relao ao eixo vertical.</p> <p>xcg = 0,5 b.</p> <p>A = b.h ( h h1 ) . ( b a )2 ( b.h ) . ( 0,5.h ) ( b a ) . ( h h1 ) .0,5. ( h h1 ) = ( 0,5.b.h ) 0,5. ( b a ) . ( h h1 ) ycg = b.h ( h h1 ) . ( b a ) b.h ( h h1 ) . ( b a ) 2</p> <p>Por exemplo: para b = 150, a = 30, h = 75 e h1 = 15 cm.</p> <p>ycg = 50,83 cm</p> <p>03 - Determinar o c.g. da seo T abaixo.y h1 h3 h2 1 2 y1 a b d c x y2 x y3 y x1 x2 3 x3</p> <p>a 60</p> <p>b 30</p> <p>c 60</p> <p>h1 15</p> <p>h2 75</p> <p>h3 45</p> <p>ESTTICA DEC 3674</p> <p>53</p> <p>rea 1 2 3 Total 900 2250 2700 5850</p> <p>xcg 30 75 120</p> <p>ycg 67,5 37,5 52,5</p> <p>A.xcg</p> <p>A.ycg</p> <p>27000 60750 168750 84375 324000 141750 519750 286875 xcg = 88,846 cm ycg = 49,038 cm</p> <p>04 - Determinar o c.g. da seo abaixo.20 20 60 40 60 40 30</p> <p>05- Determine para a superfcie plana da figura: os momentos estticos em relao aos eixos x e y e a posio do centride.y 120 mm y 80 mm 120 mm y O 60 mm O 120 mm x</p> <p>40 mm 60 mm y</p> <p>O</p> <p>x</p> <p>80 mm</p> <p>y 60 mm 80 mm 80 mm O x</p> <p>40 mm</p> <p>60 mm</p> <p>120 mm O x</p> <p>O</p> <p>60 mm</p> <p>x</p> <p>xcg = 55 mm ycg = 37 mm</p> <p>ESTTICA DEC 3674</p> <p>54</p> <p>5.5 Momentos de Inrcia 5.5.1 Momentos de 2 ordem ou Momentos de inrcia de reasUma viga bi-apoiada solicitada por dois momentos iguais e opostos aplicados em suas extremidades, est em um estado de solicitao chamado flexo pura. O efeito dessa ao pode ser facilmente visualizado flexionado as duas extremidades de uma rgua, ou seja, a rgua ser flexionada e, sua face inferior ser tracionada e a superior comprimida. Na figura abaixo, a regio superior (hachurada) comprimida, a inferior tracionada e, a linha que separa as duas regies chamada de Linha Neutra ou eixo neutro da seo.Compresso A C B Trao</p> <p>Em funo da ao externa aplicada tm-se solicitaes internas nas sees da viga e, consequentemente, os esforos internos resistentes. Assim, as foras em um lado do eixo neutro so foras de compresso e do outro lado, foras de trao, enquanto que no eixo as foras so nulas. Esses esforos internos resistentes so distribudos e seus mdulos variam linearmente com a distncia y a partir da linha neutra. A Figura abaixo mostra o trecho AC da viga AB, e a seo da viga na posio C.y Compresso y L.N. Trao F = k.y.A y</p> <p>MS,ext A C</p> <p>MS,int</p> <p>Uma fora elementar atuando em uma rea elementar dada por: F = k . y.A E o mdulo da resultante R das foras elementares F sobre a seo inteira dada por:R = k . y.dA = k y.dA A ltima integral na expresso da resultante conhecida como momento de primeira ordem da seo, em relao ao eixo x; e nula, pois o baricentro da seo est localizado sobre o eixo x, e, portanto Y.A = 0, pois Y= 0.</p> <p>ESTTICA DEC 3674</p> <p>55</p> <p>O sistema de foras F reduz-se, portanto, a um conjugado e, o mdulo M deste conjugado (momento fletor) deve ser igual soma dos momentos elementares. Integrando sobre a seco inteira, obtemos: M = k . y 2 .dA = k y 2 .dA Mx = y.F = k.y2.A das foras</p> <p>A ltima integral na equao acima conhecida como o momento de segunda ordem ou momento de inrcia da seo da viga em relao ao eixo x e designada por Ix. O momento de segunda ordem obtido pela multiplicao de cada elemento de rea dA pelo quadrado de sua distncia ao eixo x, e integrando sobre a seco da viga. Observe que y poder ser positivo ou negativo, mas essa integral ser sempre positiva e diferente de zero. No exemplo da figura acima, para a seo retangular de largura b e altura h, teramos:</p> <p>y dA = b.dy h dy x</p> <p>Ix = y 2 .dA = y 2 .b.dy b. y 3 b.h3 Ix = y .b.dy = = 3 0 3 0h h</p> <p>2</p> <p>e, analogamente:</p> <p>b</p> <p>h.x3 h.b3 Iy = x .h.dx = = 3 0 3 0b</p> <p>b</p> <p>2</p> <p>Mudando-se os eixo de forma que passem pelo centridey dA = b.dy h/2 h/2 b+b / 2</p> <p>Ix = y 2 .dA = y 2 .b.dydy x+h / 2h/2</p> <p>y</p> <p>b. y 3 Ix = y .b.dy = 3 h / 22</p> <p>h / 2</p> <p>h b. b.h3 b.h3 2 = 2. = 2. = 3 3x8 12 b h. 3 3 2 = 2. h.b = h.b = 2. 3 3 x8 123</p> <p>3</p> <p>Iy =</p> <p>b / 2</p> <p>x 2 .h.dx =</p> <p>h.x 3</p> <p>3 b/2</p> <p>b / 2</p> <p>ESTTICA DEC 3674</p> <p>56</p> <p>Determine o Momento de inrcia da seo triangular.y h dy u b h-y y x</p>...