A tangente no ciclo trigonométrico

Matemática 2

Aulas 10 e 11

Prof. Figo

Inicialmente definimos a função tangente como sendo o quociente entre os

catetos oposto e adjacente em relação ao ângulo interno (agudo) de um

triângulo retângulo. No âmbito do ciclo trigonométrico usaremos o mesmo

conceito, todavia sua estrutura permite extender o conceito da tangente

para ângulos maiores do que 90°.

tg𝜃 =sen𝜃

cos𝜃

A função tangente

Considere o ciclo trigonométrico abaixo, o qual apresenta uma

reta tangente no ponto que consideramos (desde o início) a

origem das medidas dos arcos, isto é, o ponto 𝐴(1; 0)

Algebricamente a tangente de um ângulo 𝛼 é definida como

sendo o comprimento do segmento 𝐴𝐵, o qual poderá ser zero,

positivo ou negativo. Evidentemente, o sinal da tangente

depende da orientação que tomamos para o seu cálculo. Como a

mesma é medida na vertical, teremos que os valores medidos

acima do zero serão considerados positivos. Os valores medidos

abaixo do zero serão tomados como negativos.

Tangente dos ângulos notáveis e seus múltiplos

Variação do sinal da função tangente

A função cotangente

A cotangente de um ângulo é definida como sendo o

inverso de sua tangente, ou seja, se 𝜃 é um arco do ciclo

trigonométrico, temos que

cotg𝜃 =1

tg𝜃

Como tg𝜃 =se n 𝜃

cos 𝜃, segue que cotg𝜃 =

1se n 𝜃

cos 𝜃

, ou seja:

cotg𝜃 =cos𝜃

sen𝜃

Para quais ângulos 𝜃 a cotangente não está definida?

Observando a relação cotg𝜃 =cos 𝜃

sen 𝜃 , concluímos que, se sen𝜃 = 0, sua

cotangente não existe. Ilustremos com alguns exemplos:

𝜃 = 0 , 𝜃 = 𝜋 , 𝜃 = 2𝜋 𝜃 = 3𝜋, etc.

De modo geral, se 𝜃 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ, temos que ∄ cotg𝜃

Interpretação geométrica da cotangente

Outras relações trigonométricas

Definimos como a secante de um ângulo 𝜃 o inverso de

seu cosseno, isto é:

sec 𝜃 =1

cos 𝜃 , onde cos𝜃 ≠ 0.

Para o seno não ficar “sozinho” nesse conceito, definimos a

cossecante de um ângulo 𝜃 como sendo o inverso de seu

seno, isto é:

cossec 𝜃 =1

se n 𝜃 , onde sen𝜃 ≠ 0.