a resolução de problemas no ensino-aprendizagem do...
TRANSCRIPT
setembro de 2014
Juliana Maria Prado Braga
UM
inho
|201
4Ju
liana
Mar
ia P
rado
Bra
ga
Universidade do MinhoInstituto de Educação
A resolução de problemas no ensino-aprendizagem do tópico circunferência: uma experiência com alunos do 9.º ano de escolaridade
A r
eso
luçã
o d
e p
rob
lem
as
no
en
sin
o-a
pre
nd
iza
ge
m d
o t
óp
ico
cir
cun
ferê
nci
a:
um
a e
xpe
riê
nci
a c
om
alu
no
s d
o 9
.º a
no
de
esc
ola
rid
ad
e
Relatório de Estágio Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário
Trabalho realizado sob a orientação da
Doutora Maria Helena Martinho
Universidade do MinhoInstituto de Educação
outubro de 2014
Juliana Maria Prado Braga
A resolução de problemas no ensino-aprendizagem do tópico circunferência: uma experiência com alunos do 9.º ano de escolaridade
iii
AGRADECIMENTOS
Ao terminar um trabalho desta natureza e olhando o caminho percorrido, é inevitável o
agradecimento sincero a quem caminhou a meu lado pela minha estrada: Às minhas duas estrelinhas que marcaram este último ano com a sua ausência
presencial e que lá do alto me iluminaram e acompanharam nesta caminhada. À minha supervisora, Professora Doutora Maria Helena Martinho, que com a sua
amizade, a sua prontidão, os comentários oportunos, as ideias partilhadas, o seu incentivo constante e a confiança depositada me guiou para o caminho do sucesso.
Ao meu orientador, Professor Mário Ferreira, pela amizade, a cumplicidade, a troca de
experiências, a disponibilidade, as sugestões e comentários oportunos, o estímulo positivo e por acreditar em mim, mostrando verdadeiramente que a “essência da Matemática é a liberdade”.
Aos maravilhosos alunos que participaram com gosto e dedicação no estudo
desenvolvido, sempre preocupados com o sucesso deste, mostrando-se desde logo motivados e recetivos à presença de mais uma professora na sua sala de aula.
À Escola que tornou possível a implementação deste estudo, disponibilizando todos os
recursos necessários à sua concretização e aos Professores e Funcionários pelo acolhimento e as palavras de afeto.
Ao Paulo e à Paula, meus colegas de mestrado e amigos, pela amizade, incentivo, apoio
e companheirismo. À Sofia, minha amiga, por todas as palavras de apoio e incentivo, sempre presente com
a sua fiel amizade. À minha mana académica Sara, pelas horas de conversa, o apoio, o incentivo e o ombro
amigo em todos os momentos e à sua irmã Joana pela ajuda na tradução do resumo. Aos meus afilhados académicos Joana e João pelas palavras sempre encorajadoras, os
momentos de risos, as conversas relaxadoras, pela amizade presente. À minha irmã e ao meu cunhado por todo o incondicional apoio, confiança, que me
ouvem, aconselham e estão sempre presentes e ao seu novo rebento, minha querida afilhada Benedita, que me alegrou com o seu nascimento neste ano muito intenso, mostrando-me sempre o seu brilhozinho nos olhos, transmitindo-me assim o seu apoio.
Aos meus pais e à minha avó, pelos valores que me transmitem, pela educação que me
proporcionam, pelo apoio incondicional que sempre me dão na concretização dos meus ideais, pela energia e confiança que me transmitiram ao longo desta caminhada, por todos os momentos de partilha, de escuta e de compreensão.
Ao Nuno, meu namorado, pelo seu amor, amizade, carinho e ternura, tranquilizador nos
momentos emocionais mais fortes, sempre acreditando e confiando no sucesso do meu trabalho e aos seus pais pelo apoio e amizade demonstrados.
iv
A realização deste mestrado foi apoiada financeiramente por fundos nacionais através da
FCT – Fundação para a Ciência e Tecnologia no âmbito do Projeto LiDEs – a literacia das
disciplinas escolares: Características e desafios para mais engagement e aprendizagem (FCOMP-
01-0124-FEDER-041405 (Refª. FCT, EXPL/MHC-CED/0645/2013)).
v
A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO-APRENDIZAGEM DO TÓPICO CIRCUNFERÊNCIA:
UMA EXPERIÊNCIA COM ALUNOS DO 9.º ANO DE ESCOLARIDADE
Juliana Maria Prado Braga
Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário
Universidade do Minho, 2014
RESUMO
O presente estudo resulta de uma intervenção pedagógica implementada junto de alunos de
uma turma do 9.º ano de escolaridade no ano letivo 2013/2014, centrando-se na resolução de
problemas no processo ensino-aprendizagem do tópico circunferência. Tendo como principal intuito
compreender o papel da resolução de problemas na atividade matemática dos alunos, formularam-se três
objetivos orientadores no delineamento da estrutura desta investigação, a saber: i) averiguar as
perceções dos alunos acerca do contributo da resolução de problemas; ii) identificar os erros dos
alunos na resolução de problemas; iii) compreender o desempenho dos alunos na aprendizagem
do tópico “a circunferência” através da resolução de problemas.
O estudo seguiu uma abordagem metodológica de natureza qualitativa, correspondendo
a sua problemática a um estudo de caso, com recolha de dados através de observação com
recurso a gravações áudio, questionário e produções dos alunos. De referir que ao longo do
estudo optou-se pelo trabalho em grupo, sendo os grupos selecionados aleatoriamente no início
de cada aula.
Em termos de resultados, evidencia-se o reconhecimento por parte dos alunos da
relevância da resolução de problemas para a aprendizagem da Geometria e, ainda, a opinião
favorável da utilização da resolução de problemas em grupo. Como aspectos mais críticos das
dificuldades dos alunos na resolução de problemas salientam-se a interpretação/compreensão
do problema, o delineamento de uma estratégia de resolução e a avaliação, ou seja, dificuldades
que se prendem com as fases do modelo de Polya. Numa ótica geométrica destacam-se
dificuldades nas construções geométricas, na aplicação de conhecimentos/conceitos
geométricos e, ainda, dificuldades que se prendem com a visualização, nomeadamente,
interpretação de imagens. Sobressai ainda deste estudo, que as atividades implementadas
mostraram influenciar positivamente o desempenho dos alunos relativamente à resolução de
problemas geométricos.
vi
vii
SOLVING TEACHING-LEARNING ISSUES OF THE SUBJECT-MATTER CIRCUMFERENCE: AN
EXPERIMENT WITH 9TH YEAR GRADE STUDENTS
Juliana Maria Prado Braga
Master’s in Mathematics Teaching in the 3rd Cycle of Basic Education and Secondary Education
University of Minho, 2014
ABSTRACT
This report is the result of a learning intervention implemented in a 9th year grade class
students, during the year 2013/2014; it focuses in solving issues during the teaching/learning process of
the subject-matter circumference.
Being the main goal of this study to understand the role of problem solving whilst the students’
mathematics activities, three principal guiding goals were created when structuring this investigation: i) to
understand the students perceptions on the importance of problem solving; ii) to identify the mistakes
of the students when resolving problems; iii) to evaluate the students’ performance when learning
the subject-matter circumference.
A qualitative methodology research was followed in this investigation, correspondent to a
case study, with data collection through observation, and with the use of audio recording, a
survey and student’s work.
It is important to mention also that during this investigation, priority was given to group
work; the groups were randomly formed in the starting of each class.
When it comes to results, it became clear that students recognize the importance of
problem solving whilst learning Geometry, and also, the positive feedback from problem solving
inside a group. On the other hand, the most critical aspects where seen in students at the
moment of interpretation/comprehension of the problem, as well as the defining of a strategy to
resolve a problem and its evaluation. So, students struggle throughout the phases of the Polva
model.
In regards to geometry, there were detected several difficulties in constructing, in the use
of geometry knowledge and in visualization (e.g. image interpretation).
It is crucial to conclude that, as a result of this investigation, the previously implemented
activities proved to have a positive effect in the students’ performance when solving geometry
problems.
viii
ix
ÍNDICE
DECLARAÇÃO ............................................................................................................................ ii
AGRADECIMENTOS .................................................................................................................. iii
RESUMO ................................................................................................................................... v
ABSTRACT .............................................................................................................................. vii
ÍNDICE ..................................................................................................................................... ix
ÍNDICE DE TABELAS ................................................................................................................ xi
ÍNDICE DE FIGURAS .................................................................................................................xii
ÍNDICE DE QUADROS .............................................................................................................. xiv
CAPÍTULO I ...............................................................................................................................1
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................1
1.1. Tema, finalidades e objetivos ............................................................................................... 1
1.2. Pertinência ........................................................................................................................ 2
1.3. Estrutura do relatório .......................................................................................................... 2
CAPÍTULO II ..............................................................................................................................5
ENQUADRAMENTO TEÓRICO ....................................................................................................5
2.1. Resolução de Problemas .................................................................................................... 5
2.1.1. Conceito de Problema e de Resolução de Problemas ....................................................... 5
2.1.2. Modelos de Resolução de Problemas ............................................................................. 9
2.1.3. Tipos de Problemas .................................................................................................. 12
2.1.4. Resolução de Problemas no processo ensino-aprendizagem ........................................... 16
2.1.5. Dificuldades dos alunos na Resolução de Problemas ..................................................... 19
2.2. Ensino-aprendizagem de Geometria ................................................................................... 20
2.2.1. Geometria nos documentos curriculares....................................................................... 21
2.2.2. Dificuldades na aprendizagem da Geometria................................................................. 23
CAPÍTULO III ...........................................................................................................................25
INTERVENÇÃO: CONTEXTO E ESTRATÉGIAS DE AVALIAÇÃO ....................................................25
3.1. Contexto de intervenção ................................................................................................... 25
3.1.1. A escola .................................................................................................................. 25
3.1.2. A turma ................................................................................................................... 26
3.2. Intervenção..................................................................................................................... 28
3.3. Metodologia .................................................................................................................... 33
x
3.3.1. Opções metodológicas ............................................................................................... 33
3.3.3. Análise dos dados ..................................................................................................... 36
CAPÍTULO IV ...........................................................................................................................39
APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS ........................................................................................39
4.1. Tarefas propostas ao longo da intervenção .......................................................................... 39
4.1.1. Tarefa 1 – O tesouro perdido ...................................................................................... 39
4.1.2. Tarefa 2 – O centro da mó do moinho ......................................................................... 46
4.1.3. Tarefa 3 – O lago de água quente ............................................................................... 51
4.1.4. Tarefa 4 – Vamos desvendar as propriedades ............................................................... 55
4.1.5. Síntese .................................................................................................................... 60
4.2. Perceções dos alunos acerca do contributo da resolução de problemas para a aprendizagem da
Geometria ............................................................................................................................. 60
CAPÍTULO V ............................................................................................................................75
CONCLUSÕES .........................................................................................................................75
5.1. Conclusões do estudo ...................................................................................................... 75
5.1.1. Objetivo 1 – Averiguar as perceções dos alunos acerca do contributo da resolução de
problemas para a aprendizagem da Geometria ....................................................................... 75
5.1.2. Objetivo 2 – Identificar os erros e dificuldades dos alunos na resolução de problemas de
Geometria ......................................................................................................................... 76
5.1.3. Objetivo 3 – Compreender o desempenho dos alunos na aprendizagem do tópico “a
circunferência” através da resolução de problemas ................................................................. 77
5.2. Implicações para o ensino e aprendizagem ......................................................................... 78
5.3. Limitações do estudo e recomendações para futuras investigações ........................................ 79
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..............................................................................................81
ANEXOS ..................................................................................................................................85
ANEXO 1 .................................................................................................................................87
ANEXO 2 .................................................................................................................................89
ANEXO 3 .................................................................................................................................91
ANEXO 4 .................................................................................................................................99
xi
ÍNDICE DE TABELAS
Tabela 1 – Distribuição dos alunos por género e idade .................................................................... 26
Tabela 2 – Interesse dos alunos a nível de disciplinas ..................................................................... 27
Tabela 3 – Preferência dos alunos em trabalhar na escola............................................................... 27
Tabela 4 – Hábitos de utilização do computador ............................................................................ 28
Tabela 5 – Distribuição das aulas lecionadas ao longo da intervenção ............................................... 29
xii
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1 – Ilustração dos três critérios que um problema deve satisfazer, segundo Krulik e Rudnick (1993,
p.6)............................................................................................................................................ 7
Figura 2 – Ciclo de resolução de problemas, segundo Sternberg (2008, p. 430). .................................. 9
Figura 3 – Competência matemática que os alunos devem desenvolver no domínio da geometria,
segundo Ministério da Educação (2001, p. 62). ............................................................................. 22
Figura 4 – Enunciado da tarefa O tesouro perdido. ......................................................................... 40
Figura 5 – Resolução apresentada pelo grupo GIV à primeira pista do código. ...................................... 41
Figura 6 – Resolução apresentada pelo grupo GV às três primeiras pistas do código. ........................... 42
Figura 7 – Construção incorreta do grupo GII ao resolver a quarta pista do código. .............................. 44
Figura 8 – Construção correta do grupo GI ao resolver a quarta pista do código. ................................. 44
Figura 9 – Resolução do grupo GIII à tarefa. .................................................................................... 45
Figura 10 – Enunciado da tarefa O centro da mó do moinho. ........................................................... 46
Figura 11 – Resolução do problema apresentada pelo grupo GI. ....................................................... 47
Figura 12 – Resolução do problema apresentada pelo grupo GII ........................................................ 49
Figura 13 – Resolução apresentada pelo grupo GIII ao problema. ...................................................... 50
Figura 14 – Resposta apresentada pelo grupo GIII. .......................................................................... 51
Figura 15 – Enunciado da tarefa O lago de água quente. ................................................................. 52
Figura 16 – Resolução apresentada pelo grupo GII ao problema. ....................................................... 53
Figura 17 – Resolução do problema apresentada pelo grupo GIII. ...................................................... 54
Figura 18 – Pistas deixadas pelos grupos na resolução do problema. ................................................ 55
Figura 19 – Enunciado da tarefa Vamos desvendar as propriedades. ................................................ 56
Figura 20 – Resolução apresentada pelo grupo GII ao problema. ....................................................... 57
Figura 21 – Resolução do problema apresentada pelo grupo GIII. ...................................................... 58
Figura 22 – Pistas deixadas pelos grupos na resolução do problema. ................................................ 59
Figura 23 – Percentagem de alunos segundo as opções de resposta no que concerne às aulas se
tornarem mais motivadoras com o recurso à resolução de problema................................................. 62
Figura 24 – Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente a existirem diferenças
entre um exercício e um problema. .............................................................................................. 63
Figura 25 – Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente ao tempo dispensado
para a realização dos problemas. ................................................................................................. 65
Figura 26 – Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente à importância de
resolver problemas em grupo. ..................................................................................................... 67
xiii
Figura 27 – Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente à importância da
apresentação dos resultados à turma. .......................................................................................... 68
Figura 28 – Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente à utilização do
Geogebra ter estimulado a aprendizagem. ..................................................................................... 70
Figura 29 – Número de alunos segundo as opções de resposta relativamente ao local onde utilizam a
plataforma moodle. .................................................................................................................... 71
Figura 30 – Número de alunos segundo as opções de resposta relativamente à não utilização da
plataforma na maioria das vezes. ................................................................................................. 72
Figura 31 – Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente à importância do
recurso à plataforma moodle como complemento à aprendizagem presencial. ................................... 72
xiv
ÍNDICE DE QUADROS
Quadro 1 – Fases de construção do conhecimentos matemático, segundo Brousseau (1998, in
Corts&Callejo de la Vega, 2006, p. 139) ....................................................................................... 19
Quadro 2 – Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente à utilização da
resolução de problema na lecionação do tópico “circunferência” ...................................................... 61
Quadro 3 – Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente às principais
dificuldades sentidas na resolução de problemas ........................................................................... 62
Quadro 4 – Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente à realização dos
problemas em grupo .................................................................................................................. 65
Quadro 5 – Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente à fase de
apresentação/discussão após a realização dos problemas em grupo ................................................ 68
Quadro 6 – Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente do recurso ao
Geogebra .................................................................................................................................. 69
Quadro 7 – Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente ao recurso à
plataforma moodle ..................................................................................................................... 71
1
CAPÍTULO I
INTRODUÇÃO
Neste capítulo, dividido em três secções, apresenta-se de modo sucinto o tema, as
finalidades e os objetivos a que este estudo se propôs. Além disso, é referida a pertinência do
estudo e faz-se uma breve descrição da estrutura do relatório.
1.1. Tema, finalidades e objetivos
O tema a que este estudo diz respeito é a resolução de problemas no ensino-
aprendizagem do tópico circunferência: uma experiência com alunos do 9.º ano de escolaridade.
Desde aluna que a resolução de problemas me desperta a atenção, uma vez que através
desta estratégia de ensino e aprendizagem era convidada a encontrar estratégias, a raciocinar de
maneira diferente, a tomar o gosto pelo trabalho mental, bem como a desenvolver a entreajuda
com os meus colegas ao trabalharmos em grupo, existindo assim uma partilha de
conhecimentos. Ou seja, a resolução de problemas fomenta o gosto pela matemática,
desenvolvendo um espírito crítico e uma aprendizagem significativa nos alunos (Polya, 1985;
Carrillo, 2000; Vieira, Cebolo & Araújo, 2006), sendo “fundamental para a construção,
consolidação e mobilização de conhecimentos matemáticos dos diversos temas, em conexão
com o raciocínio e a comunicação” (Ministério da Educação, 2007, p. 62).
É através da resolução de problemas que pretendo partir para o ensino-aprendizagem do
tópico “a circunferência”. Este tópico pertence ao tema Geometria, e aparece contemplado no
Programa do Ensino Básico (2007) com o intuito dos alunos relacionarem e estudarem as
propriedades da circunferência com os diversificados elementos geométricos.
Neste contexto, acho pertinente o ensino do tópico referido através da resolução de
problemas por forma a os problemas serem um veículo para a aprendizagem e para o
aprofundar de conhecimentos, tal como sustenta o Programa de Matemática do Ensino Básico
(2007), “a resolução de problemas não só é um importante objetivo de aprendizagem em si
mesmo, como constitui uma atividade fundamental para a aprendizagem dos diversos conceitos,
representações e procedimentos matemáticos” (p. 8).
Desta forma, ambiciono com este plano de intervenção que os alunos contactem com o
tópico a circunferência através da resolução de problemas, averiguando que influência esta
estratégia exerce no ensino e aprendizagem deste tópico da Geometria.
2
Assim sendo, estabeleço os seguintes objetivos de investigação:
- Averiguar as perceções dos alunos acerca do contributo da resolução de problemas;
- Identificar os erros dos alunos na resolução de problemas;
- Compreender o desempenho dos alunos na aprendizagem do tópico “a circunferência”
através da resolução de problemas.
1.2. Pertinência
A Matemática é mais do que cálculos. É resolver os mais variados problemas, quer
matemáticos quer exteriores à matemática. E um dos grandes temas matemáticos onde a
resolução de problemas ganha ênfase é na Geometria. Esta perspetiva encontra-se no Programa
de Matemática do Ensino Básico (Ministério da Educação, 2007) acerca do processo de ensino-
aprendizagem da Geometria e da resolução de problemas, ou seja, separadas ou coligadas, a
Geometria e a resolução de problemas destacam-se consideravelmente.
Contudo, para que exista um processo correto quer na resolução de problemas quer na
aprendizagem da Geometria, é fundamental perceber as dificuldades dos alunos e agir perante
estas para que o seu desempenho ao longo dos tempos se torne positivo e possam ver a
Matemática como uma área maravilhosa e enriquecedora.
Assim, pretendo na minha intervenção proporcionar aos alunos experiências
diversificadas que lhes permitam tomar consciência da veracidade da importância da resolução
de problemas e da Geometria. Estando o contexto de intervenção em consonância com as
minhas pretensões, pois os alunos da turma são trabalhadores, empenhados e participativos,
salientando-se ainda a discussão de ideias entre eles, facto este que pode favorecer o trabalho
dos alunos aquando a resolução de problemas, é pertinente a realização deste estudo.
1.3. Estrutura do relatório
O presente Relatório de Estágio está organizado em cinco capítulos, apresentando-se
nesta secção uma breve descrição de cada um. No Capítulo I – Introdução –, para além de se
descrever o que consta em cada capítulo, apresentam-se o tema, as finalidades, os objetivos e a
pertinência do estudo.
No Capítulo II – Enquadramento Teórico – justifica-se a relevância do estudo à luz da
literatura, fundamentando-se desta forma as temáticas consideradas fundamentais e que
recaem sobre a resolução de problemas e a Geometria.
3
No terceiro capítulo – Intervenção: Contexto e Estratégias de Avaliação – dá-se a
conhecer o contexto de intervenção caracterizando-se a escola e a turma onde decorreu este
estudo. Apresenta-se, ainda, a forma como recorreu a intervenção e fundamenta-se à luz da
literatura a metodologia utilizada, referenciando-se as estratégias de avaliação da ação.
O Capítulo IV – Apresentação dos Resultados – descrevem-se, analisam-se e avaliam-se
as resoluções a cinco problemas realizados durante as aulas, com vista a dar resposta aos
objetivos que suportaram a investigação. Para tal, recorreu-se às produções dos alunos e aos
diálogos transcritos que ocorreram durante as atividades realizadas. Ainda neste capítulo
apresenta-se a apreciação geral da turma em relação ao estudo desenvolvido, analisando-se para
tal as respostas ao questionário.
Por último, no Capítulo V – Conclusões –, apresentam-se e discutem-se as principais
conclusões do estudo, dando-se resposta aos objetivos que nortearam este estudo. São feitas
ainda referências às limitações do estudo e apresentadas algumas recomendações para
trabalhos futuros.
4
5
CAPÍTULO II
ENQUADRAMENTO TEÓRICO
Neste capítulo, que se encontra dividido em três secções, pretende-se fazer uma análise
da literatura, num domínio de resolução de problemas e de Geometria, abordando-se temáticas
consideradas fundamentais como alicerces neste estudo.
2.1. Resolução de Problemas
Esta secção, dividida em cinco subsecções, aborda o conceito de problema e de
resolução de problemas como também as heurísticas de resolução de problemas. Referem-se
ainda os tipos de problemas considerados por alguns autores e a importância que a resolução
de problemas tem no processo ensino-aprendizagem. São ainda mencionadas dificuldades que
os alunos sentem na atividade de resolver problemas.
2.1.1. Conceito de Problema e de Resolução de Problemas
O ensino da Matemática viu a essência do seu desenvolvimento na década de 90 com o
importante papel que a resolução de problemas assumiu a todos os níveis. Esta importância da
resolução de problemas no currículo da matemática é referida num artigo publicado nos finais
da década de 80 na Revista Educação e Matemática, o qual refere que “um programa de
Matemática para os anos 90 deve ser claro a respeito do lugar que ocupam e do papel que
desempenham aspetos decisivos como a resolução de problemas” (APM, 1989, p. 13). É,
assim, que ao longo dos anos a resolução de problemas tem marcado a sua notória presença,
quer como parte integral da atividade matemática quer como objetivo de aprendizagem da
matemática. Prova disso é o que refere o Programa de Matemática do Ensino Básico de 2007
(Ministério da Educação, 2007) ao pronunciar que “a resolução de problemas não só é um
importante objetivo de aprendizagem em si mesmo, como constitui uma atividade fundamental
para a aprendizagem dos diversos conceitos, representações e procedimentos matemáticos” (p.
8), tendo já sido mencionado também por NCTM (1994) que “quando a resolução de problemas
faz parte integral do currículo, as crianças desenvolvem uma perspetiva sobre o que significa
aprender Matemática e resolver problemas em matemática” (p. 32).
É com esta saliência que os conceitos de problemas e de resolução de problemas
mereceram atenção por parte de vários autores. Contudo, antes de abordar os conceitos de
6
problema e de resolução de problemas convém apresentar as diferenças existentes entre o
conceito de exercício e de problema, visto serem dois conceitos que geram ainda algumas
controvérsias.
Vale e Pimentel (2004) referem que esta distinção é importante no processo de ensino-
aprendizagem, aludindo a que “uma determinada situação pode ser um problema para um dado
indivíduo, num dado momento, e para o mesmo indivíduo, num outro momento, ser apenas um
exercício” (p. 12). Corts e Callejo de la Vega (2004) apontam possíveis diferenças entre exercício
e problema, sendo estas as seguintes.
1. Ao ler-se um exercício, vê-se imediatamente em que consiste a questão e qual o meio de a resolver.
1. Face a um problema, não sabemos, à primeira vista, como enfrentá-lo e resolvê-lo; às vezes, nem se consegue ver claramente em que consiste o problema.
2. O objetivo pretendido pelo professor, ao propor um exercício, é que o aluno aplique de forma mecânica conhecimentos e algoritmos já adquiridos e fáceis de identificar.
2. O objetivo pretendido pelo professor, ao propor um problema, é que o aluno pesquise, investigue, recorra à intuição, aprofunde o seu conjunto de conhecimentos e experiências anteriores e elabore uma estratégia de resolução.
3. Em geral, a resolução de um exercício exige pouco tempo, podendo este ser previsto antecipadamente.
3. Em geral, a resolução de um problema exige um determinado tempo impossível de prever antecipadamente.
4. A resolução de um exercício não costuma implicar a afetividade. 4. A resolução de um problema implica um forte investimento de energias e de
afetividade. No decorrer da resolução é costume experimentar sentimentos de ansiedade, de confiança, de frustração, de entusiasmo, de alegria, etc.
5. Em geral, os exercícios são questões fechadas. 5. Os problemas estão sempre abertos a possíveis variações e generalizações e a novos
problemas. 6. Os manuais estão cheios de exercícios. 6. Costuma haver poucos problemas nos manuais. (Corts & Callejo de la Vega, 2004, p.
55)
Após esta breve explicitação acerca das diferenças entre exercício e problema dá-se
seguimento às definições de problema e de resolução de problemas à luz da literatura.
Para Díaz e Poblete (2001) um problema implica uma situação que supõe uma solução
a ser alcançada, contudo com obstáculos para a sua conquista, sendo necessária uma
estratégia visto não existir um algoritmo pronto para resolvê-lo.
Krulik e Rudnick (1993) referem que um problema é uma situação, quantitativa ou de
outro tipo, enfrentada por um individuo ou grupo de indivíduos em que nenhum caminho para a
resposta é conhecido, salientando que a chave da definição de problema está no caminho
7
desconhecido para encontrar a resposta. Estes autores referem ainda que um problema deve
satisfazer três critérios: aceitação, bloqueio e exploração, pois a existência de um problema
implica que o indivíduo é confrontado com algo que não reconhece e que não pode
simplesmente aplicar um modelo. A figura seguinte (Figura 1) retrata explicitamente a ideia que
os autores referem relativamente a estes três critérios.
Figura 1 – Ilustração dos três critérios que um problema deve satisfazer, segundo Krulik e Rudnick (1993, p.6).
Kantowski (1977) refere que um indivíduo está perante um problema quando não pode
responder a uma dada questão ou situação usando imediatamente o conhecimento que lhe é
inato, ou seja, é necessário descobrir o caminho que lhe permita chegar à resposta, pelo que
Lopes et al. (1992) mencionam que “um problema deve despertar a curiosidade do indivíduo,
provocar-lhe uma certa tensão durante a procura de um plano de resolução e, finalmente, fazê-lo
sentir a alegria inerente à descoberta da solução” (p. 8).
Segundo Polya (1985) estar perante um problema significa encontrar um processo por
forma a alcançar um objetivo que não era imediatamente alcançável, ultrapassar uma
dificuldade, pois onde não há dificuldade, não há problema.
Palhares (1997), ao construir a definição de problema, concluiu que este
é constituído por um conjunto de informações sobre uma situação inicial e sobre a situação final que é requerida, ou sobre a transformação que é requerida; existe um obstáculo que impede uma classe de indivíduos de obter a transformação requerida sem recorrer a algum tipo de raciocínio para que obtenha a solução pelos seus próprios meios (…); finalmente não pode existir indicação precisa de qual o procedimento a utilizar (p. 167).
No mesmo sentido, Mayer (2003) refere que o aluno está perante um problema quando
tem um objetivo mas não tem um procedimento imediato para alcançá-lo. Menciona ainda que
um problema é composto por três elementos: uma determinada situação, um objetivo a atingir e
um obstáculo que impede o aluno de passar diretamente da situação para o objetivo. Também
8
nesta linha de pensamento, Ponte (1992) salienta que “um problema consiste numa tarefa para
a qual o aluno não dispõe de um método imediato de resolução, mas em cuja solução se
empenha ativamente” (p. 95).
É esta tarefa que abre o caminho à resolução de problemas, uma vez que a “resolução
de problemas implica o envolvimento numa tarefa, cujo método de resolução não é conhecido
antecipadamente” (NCTM, 2007, p. 57), tendo o aluno de encontrar uma estratégia de
resolução que irá “gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar, por toda a vida, a sua marca na
mente e no caráter” (Polya, 1985, p.v). Nesta linha de pensamento, Kantowski (1977) refere
que a resolução de problemas deve ter em conta dois aspetos, sendo eles o processo ou o
conjunto de comportamentos que direcionam para a descoberta de uma solução e o produto, ou
seja, a própria solução. Estes dois aspetos são, para o autor, componentes essenciais para a
experiência de resolução de problemas.
Palhares (1997) menciona que a resolução de problemas ocorre quando se está perante
um problema e ao resolvê-lo aplicam-se “procedimentos que não estão a priori estabelecidos ou
não são a priori conhecidos” (p. 167). Para Díaz e Poblete (2001) a resolução de problemas, ou
o encontrar de uma solução, é avançar até que se tenha encontrado uma resposta correta à
pergunta feita.
Mayer (2003)refere que a resolução de problemas ocorre quando o resolvedor
determina como resolver o problema, como atingir a meta. Assim, alude o autor, a definição de
resolução de problemas inclui três elementos: cognitivo – ocorre internamente no sistema
cognitivo, processo – envolve cálculo mental, sendo necessária a aplicação de uma
representação mental e orientado – com base num objetivo e nos resultados da atividade.
Krulik e Rudnick (1993) apontam a resolução de problemas como um processo,
afirmando que é o meio pelo qual um indivíduo usa conhecimentos adquiridos, habilidades e
compreensão, sendo que o processo começa com o confronto inicial e conclui-se quando uma
resposta for obtida e analisada em relação às condições iniciais. O aluno deve sintetizar o que
aprendeu e aplicar essa aprendizagem à nova situação.
Charles, Lester e O’Daffer (1994) defendem que a resolução de problemas é uma
atividade extremamente complexa, uma vez que envolve a recolha de dados, o uso de uma
grande variedade de procedimentos, a capacidade de avaliar o próprio modo de pensar bem
como outros recursos, o que vai ao encontro da ideia de Abrantes (1989), pois para este autor
“a resolução de problemas consiste numa larga variedade de processos, atividades e
9
experiências” (p. 9). Também nesta linha de pensamento se encontram Vale e Pimentel (2004)
ao defenderem que a resolução de problemas constitui uma atividade em que o aluno identifica
e descobre formas para resolver um problema com o qual é confrontado, ou seja, “é uma
atividade complexa, de um aprendiz motivado, que põe em jogo várias capacidades cognitivas de
ordem superior” (p. 11).
É com estas diversas linhas de pensamento que se pode concluir que um problema é
uma situação à qual não se possui um conhecimento inato para lhe dar resposta, pelo que a sua
resolução constitui uma atividade que fará com que através do delinear de uma estratégia de
resolução se encontre a solução.
2.1.2. Modelos de Resolução de Problemas
A importância de aprender a resolver problemas é unânime entre diversos autores, pelo
que são propostos modelos que suportam métodos/processos para encontrar a solução de um
determinado problema.
Numa perspetiva mais abrangente, Sternberg (2008) dá-nos a conhecer um modelo de
resolução de problemas denominado ciclo de resolução de problemas e que compreende sete
etapas, a saber: identificação do problema, definição do problema, formulação de uma estratégia
de resolução do problema, organização da informação do problema, alocação de recursos,
monitorização e avaliação (Figura 2).
Figura 2 – Ciclo de resolução de problemas, segundo Sternberg (2008, p. 430).
10
A identificação do problema é a etapa considerada como a mais difícil, não podendo
deixar de se reconhecer que existe um objetivo a cumprir. Após a identificação da existência de
um problema tem de se definir e representar bem o problema para perceber como resolvê-lo,
surgindo desta forma a etapa definição do problema. A etapa formulação de uma estratégia de
resolução do problema ocorre após a definição de forma eficaz do problema. Na etapa
formulação de uma estratégia, o autor refere que a estratégia a formular pode envolver análise –
quebrar a vertente complexa do problema em elementos gerenciáveis – como pode envolver um
processo complementar de síntese – reunir vários elementos para organizá-los em algo útil. A
etapa organização da informação do problema é considerada pelo autor como fundamental para
uma boa resolução do problema, pois por vezes não se sabe como resolver um problema, não
porque este seja de impossível resolução mas porque não se compreende a informação
disponível ou se desconhece como a utilizar. Na etapa alocação de recursos faz-se a seleção dos
recursos necessários à resolução do problema, tendo como exemplos destes recursos o tempo,
os equipamentos, o espaço, etc. A monitorização é a etapa definida pelo autor como o
acompanhamento do processo de resolução do problema e que permite analisar se a resolução
se está a aproximar da resposta correta. Por último, na etapa da avaliação, avalia-se a solução
encontrada, ajudando esta avaliação a analisar se a solução está incompleta ou errada. O autor
refere que esta avaliação pode ser imediata ou pode ocorrer mais tarde.
Ao sugerir este ciclo de resolução de problemas, o autor relembra a importância da
existência de flexibilidade na sequência das várias etapas, pois poderá ser necessária a
ambiguidade de se proceder da melhor forma, alterando a ordem das etapas ou até mesmo
ignorar ou adicionar da forma que melhor parecer.
Já numa perspetiva matemática, Krulik e Rudnick (1993) enunciam cinco fases do
processo de resolução de problemas, a saber: ler e pensar, explorar e planear, selecionar uma
estratégia, encontrar uma resposta e refletir e ampliar. Na primeira fase, ler e pensar, à medida
que o aluno lê o problema deve fazer conexões bem como recordar situações semelhantes. Os
autores referem que nesta fase o pensamento crítico é realçado. Na fase explorar e planear, o
aluno analisa e sintetiza as informações contidas no problema que foram reveladas durante a
fase anterior, ocorrendo ideias e planos. Os autores aludem a que conscientemente as possíveis
soluções estão previstas e mentalmente examinadas, daí o nome explorar e planear. Como
resultado das anteriores fases, na fase selecionar uma estratégia, o aluno deve optar pelo
caminho que parecer ser o mais adequado. Após estar o problema compreendido e escolhida
11
uma estratégia, o aluno deve estimar, entrando na fase encontrar uma resposta, realizando a
matemática necessária para obter uma resposta mais precisa. A última fase, refletir e ampliar,
serve para o aluno verificar se a pergunta já foi respondida e se a matemática está correta. É
nesta fase que o aluno tem a oportunidade de refletir sobre o processo que foi utilizado e discutir
as várias soluções com a turma e de ampliar o problema resolvido a uma generalização ou a um
conceito matemático. Os autores referem que esta fase exige que o aluno pense criativamente.
As fases anteriormente descritas apontam para um modelo de cunho forte e que
continua a ser uma referência para a área de investigação de resolução de problemas, o modelo
de Polya. Este modelo contempla quatro fases fundamentais: compreensão do problema,
estabelecimento de um plano, execução do plano e retrospecto, tendo cada uma delas a sua
importância, pois
acontecerá o pior se o estudante atirar-se a fazer cálculos e a traçar figuras sem ter compreendido o problema. É geralmente inútil executar detalhes sem perceber a conexão principal ou sem ter feito uma espécie de plano. Muitos enganos podem ser evitados se, na execução do seu plano, o estudante verificar cada passo. Muitos dos melhores efeitos podem ficar perdidos se ele deixar de reexaminar e de reconsiderar a solução completa (Polya, 1985, p. 4).
Na fase compreensão do problema o aluno deve certificar-se que compreendeu o
problema e identificou os elementos principais deste: a incógnita, os dados e as condições que
lhe são impostas. Estabelecimento de um plano é a fase em que o aluno deve formular um
plano que lhe permita encontrar uma solução, referindo o autor que “o caminho que vai desde a
compreensão do problema até o estabelecimento de um plano, pode ser longo e tortuoso” (p.
5). Na fase seguinte, execução do plano, o aluno implementa o plano formulado, aludindo o
autor que “paciência é o de que mais se precisa” (p. 8), pois deve o aluno ser paciente
examinando todos os passos que percorre por forma a tudo ficar claro e nenhum erro ficar
oculto. Na última fase, retrospecto, o aluno deve examinar o resultado final e o processo que o
levou até este, podendo assim consolidar conhecimentos e aprimorar a capacidade de resolver
problemas. O autor refere que se os alunos não passarem por esta fase “perdem uma fase
importante e instrutiva do trabalho da resolução” (p. 10).
Como já foi referido, este modelo é uma referência e inspiração para muitos autores.
Fernandes, Vale, Fonseca e Pimentel (1995, in Vale & Pimentel, 2004) fazem uma adaptação ao
modelo de Polya, pois a segunda e terceira fase aparecem juntas, uma vez que para alunos do
ensino básico estas duas fases são difíceis de distinguir. Assim, os estádios propostos por estes
12
autores passam por ler e compreender o problema, fazer e executar o plano e verificar a
resposta.
2.1.3. Tipos de Problemas
Ao longo dos anos, são vários os autores que dão o seu contributo acerca dos tipos de
problemas, os quais se procura de seguida apresentar.
Burkhardt (1983), tendo em conta que os problemas se devem abordar consoante o
interesse dos alunos, menciona quatro tipo de problemas, a saber: problemas de ação – action
problems –, problemas credíveis – believable problems –, problemas curiosos –
curiousproblems –, problemas duvidosos – dubious problems – e problemas educacionais –
educational problems. Relativamente aos problemas de ação, estes estão relacionados com a
vida do dia-a-dia e os problemas credíveis são problemas que podem ser considerados de
problemas de ação mas para o futuro. Já os problemas curiosos são problemas que fascinam o
aluno intelectualmente, esteticamente ou de outra forma. Os problemas duvidosos são o tipo de
problemas em que o aluno apenas pratica matemática, ou seja, que requerem somente o uso de
técnicas. Por fim, os problemas educacionais são problemas que se enquadram nos duvidosos,
contudo abrilhantam perceções matemáticas, possuindo assim uma relevância educativa.
Frederiksen (1984), baseando-se nas sugestões de outros autores, distingue os
problemas em três tipos categorizando-os pela sua estrutura como problemas bem-estruturados
– well-structured problems–, problemas estruturados mas que requerem um pensamento mais
produtivo – structured problems requiring productive thinking – e problemas mal-estruturados –
ill-structured problems. Os problemas bem-estruturados são problemas com enunciado bem
formulado e no qual o resolvedor dispõe de um algoritmo adequado que lhe garante a
veracidade da solução. Os problemas estruturados são problemas semelhantes ao do primeiro
tipo, uma vez que são problemas de enunciado bem estruturado, contudo para que seja
descoberta a solução correta, o resolvedor tem de gerar por ele próprio o processo de resolução
não tendo em sua posse um algoritmo. Os problemas mal-estruturados são os problemas em
que o enunciado carece de formulação e para o qual não existe um processo que percorra todas
as possibilidades em descobrir a solução correta.
Polya (1985) considera importante que se conheçam vários tipos de problemas, pelo
que enuncia cinco tipos baseando-se na sua resolução. O primeiro tipo de problemas, os
problemas auxiliares, são problemas que resolvemos como meio de resolver o problema original,
13
ou seja, perante a resolução de um problema, o aluno sente a necessidade de resolver outro
problema para que consiga resolver o problema inicialmente proposto. Os problemas rotineiros,
outro tipo de problemas que o autor refere, são problemas em que o aluno segue passo a passo
um exemplo já muito “desgastado”, ou seja, neste tipo de problemas o aluno apenas precisa de
algum cuidado e paciência para seguir uma fórmula já estabelecida, sem que tenha a
oportunidade de fazer as suas conjeturas. O terceiro tipo de problemas, os problemas de
determinação, têm como objetivo encontrar a incógnita do problema, referindo o autor que os
problemas deste tipo “podem ser teóricos ou práticos, abstratos ou corretos, problemas sérios
ou simples enigmas” (p. 124). Um quarto tipo de problemas, os problemas de demonstração,
engloba os problemas onde o objetivo é mostrar conclusivamente que uma certa afirmação é
verdadeira ou então é falsa, sendo que para resolver um problema deste tipo é “preciso
conhecer, com grande exatidão, as suas partes principais, a hipótese e a conclusão” (p. 126). O
autor, após abordar estes dois últimos tipos de problemas refere que “os “problemas de
determinação” são mais importantes na Matemática elementar; os “problemas de
demonstração” o são na Matemática superior” (p. 126). Por fim, o quinto tipo de problemas, os
problemas práticos, são aqueles que requerem procedimentos mais complexos e menos nítidos
e, ainda, conhecimentos previamente adquiridos.
Abrantes (1989) enuncia sete tipos de problemas segundo critérios concretos, sendo
eles problemas de palavras, problemas para equacionar, problemas para demonstrar, problemas
para descobrir, problemas da vida real, situações problemáticas e situações. O primeiro tipo de
problemas, problemas de palavras, enunciado pelo autor diz respeito aos problemas em que os
alunos são convidados a trabalhar com operações matemáticas, atribuindo-lhes um significado.
Contudo, o autor refere que este tipo de problemas pode facilmente tornar-se em exercícios
disfarçados devido à excessiva repetição de um mesmo procedimento, acabando o contexto do
enunciado por não ser relevante. Os problemas para equacionar assemelham-se em certa
medida aos problemas do primeiro tipo, visto terem, geralmente, como objetivo determinar o
valor de uma incógnita traduzindo-se o enunciado numa equação, podendo assim tornar-se em
meras repetições onde o contexto do enunciado acaba por perder relevância. Os problemas para
demonstrar são problemas em que é necessário não só descobrir o caminho para demonstrar
um pressuposto mas também produzir uma apresentação formal dessa demonstração, o que
constitui uma atividade matemática rica para a aprendizagem. Os problemas para descobrir,
quarto tipo de problemas que o autor enuncia, têm como objetivo estimular a curiosidade e o
14
interesse pela matemática, sendo a sua resolução conseguida através da descoberta do caminho
correto, através de um pensamento brilhante. Os problemas da vida real são problemas que
requerem que o aluno recorra a diversos conhecimentos. Apesar da denominação atribuída, não
significa que este tipo de problemas aborde obrigatoriamente situações do dia-a-dia, mas antes
situações que visam o desenvolvimento de aptidões no aluno. O autor refere ainda que neste
tipo de problemas não existe uma única solução mas sim várias soluções que se aproximam. O
sexto tipo de problemas é designado pelo autor de situações problemáticas. Este tipo de
problemas requer que o aluno faça conjeturas, coloque questões a si próprio e recorra à
formulação de outros problemas. Também neste tipo de problemas não existe uma única
solução e o enunciado é considerado vago. Como último tipo de problemas o autor enuncia as
situações, encontrando-se os alunos perante uma atividade em que não existe a formulação de
um problema, ou seja, o aluno tem de explorar o contexto, recolhendo dados e informação.
Díaz e Poblete (2001) também deram o seu contributo categorizando os problemas
segundo a sua natureza em rotineiros e não rotineiros e segundo o seu contexto classificam os
problemas rotineiros de problemas de contexto real, problemas de contexto realista, problemas
de contexto fantasista e problemas de contexto puramente matemático. Devido à sua natureza
os problemas rotineiros assemelham-se aos desenvolvidos durante as aulas em que o aluno
efetua uma série de procedimentos que envolvem a compreensão de conceitos e algoritmos por
forma a encontrar soluções válidas. São problemas não rotineiros, no sentido em que o aluno
não domina um procedimento anteriormente estabelecido para encontrar a solução.
Relativamente aos problemas rotineiros e tendo agora em conta o seu contexto, os problemas de
contexto real são aqueles que ocorrem na realidade e que o aluno se compromete a agir. Os
problemas de contexto realista dizem respeito aos problemas que são suscetíveis de ocorrer,
podendo ainda tratar-se de simulações da realidade ou parte de uma realidade. Os problemas de
contexto fantasista são aqueles que partem da imaginação sem estarem ligados com a
realidade. E, por último, os problemas de contexto puramente matemático são aqueles que
fazem unicamente referência a objetos matemáticos (por exemplo, relações e operações
aritméticas, figuras geométricas, etc.).
Charles, Lester e O’Daffer (1994) acreditam que existem problemas que devem ser
utilizados na sala de aula, distinguindo-os em quatro tipos: problemas de uma etapa; problemas
de múltiplas etapas; problemas de processo e problemas de aplicação. Os problemas de uma
etapa e os problemas de múltiplas etapas são problemas em que os alunos são estimulados a
15
interpretar o enunciado passando o que lhes é fornecido em linguagem natural para linguagem
matemática. É nesta passagem que se encontra a diferença entre os problemas de uma etapa e
os problemas de múltiplas etapas, pois para encontrar a solução de um problema de uma etapa
os alunos terão como estratégia de resolução a utilização de apenas uma operação matemática,
ou seja, adição, subtração, multiplicação ou divisão, enquanto nos problemas de múltiplas
etapas a estratégia consiste em utilizar mais do que uma operação elementar. Os problemas de
processo são problemas em que não está evidenciada no enunciado a solução, ou seja, não se
resolve este tipo de problemas utilizando operações matemáticas ou fazendo a aplicação direta
de um algoritmo mas sim recorrendo a esquemas, a um problema mais simples, à descoberta
de um padrão, etc. Por último, os problemas de aplicação requerem que o aluno utilize dados
que não se encontram no enunciado do problema, ou seja, o aluno precisa de tomar uma
decisão exigindo este tipo de problemas mais tempo visto não ser dada toda a informação
necessária para construir uma estratégia por forma a encontrar uma solução.
Palhares (1997), ao classificar os problemas segundo o procedimento, considera que
esta classificação “está dependente, tal como a noção de problema, da classe de indivíduos que
são destinatários” (p. 168), anunciando sete tipos de problemas, a saber: problemas de
processo, problemas de conteúdo, problemas de capacidades, problemas tipo puzzle, problemas
de aplicação, problemas abertos e problemas de aparato experimental. Os problemas de
processo são aqueles que requerem a utilização de estratégias de resolução, enquanto os
problemas de conteúdo carecem do uso de conhecimentos matemáticos adquiridos
recentemente como também do uso de conhecimentos que de certa forma ainda estão em fase
de interiorização. Ou seja, dependendo dos alunos a que o problema se destina este pode ser ou
de processo ou de conteúdo, uma vez que se for um problema em que os alunos não têm o
conhecimento matemático presente terão de identificar uma estratégia e testá-la estando perante
um problema de processo, se pelo contrário, os alunos tiverem presente o conhecimento
matemático necessário para a sua resolução, bastar-lhes-á aplicá-lo pelo que se encontram
perante um problema de conteúdo. Os problemas de capacidades, e como o próprio nome
sugere, são problemas que intimam ao uso de capacidades matemáticas como o cálculo mental
e a estimativa. Os problemas tipo puzzle são problemas que visam o alargamento do espaço de
resolução, tendo de se ir mais além. Os problemas de aplicação estão ligados à recolha e
tratamento de dados, pelo que para a sua resolução é necessária mais informação para além
daquela presente no enunciado, o que vai ao encontro do que foi enunciado por Charles, Lester
16
e O’Daffer. No que diz respeito aos problemas abertos, estes requerem que os alunos façam
uma escolha entre possíveis procedimentos, pelo que o autor considera mais sensato caraterizar
este tipo de problemas como uma subcategoria de outros. E, por último, os problemas de
aparato experimental em que é necessário o uso de esquemas investigativos, ou seja, processos
que implicam a exploração de possibilidades que se visam ser imensas.
Mayer (2003) considera útil distinguir alguns tipos de problemas, ou seja, problemas
rotineiros versus problemas não rotineiros, problemas bem definidos versus problemas mal
definidos e problemas que requerem computação versus problemas que requerem
compreensão. Os problemas rotineiros são aqueles em que o aluno conhece um procedimento
imediato para encontrar a solução, sendo que o autor ainda refere que este tipo de problema
não é problema em tudo visto não existir nenhum obstáculo. Em contraste a estes problemas o
autor refere os problemas não rotineiros em que o aluno não conhece um procedimento que
possa aplicar imediatamente. Os problemas bem definidos são problemas onde está claramente
especificado o objetivo e o conjunto de operações a utilizar, enquanto nos problemas mal
definidos nada está especificado. Por último, os problemas que requerem computação e como o
próprio nome diz são problemas em que é necessário o recurso à computação, enquanto os
problemas que requerem compreensão são aqueles em que é necessária compreensão para
além da computação. O autor refere ainda que no caso dos problemas que requerem
computação os alunos devem realizar procedimentos básicos, mas nos problemas que
requerem compreensão já devem construir uma representação mental da situação do problema.
2.1.4. Resolução de Problemas no processo ensino-aprendizagem
A nossa sociedade é caraterizada por rápidas alterações, onde surgem determinadas
situações complexas que precisam ser interpretadas e resolvidas. Assim, é necessária a
presença de indivíduos com capacidades de adaptação, capazes de resolverem habilmente
problemas resultantes de situações, ou seja, indivíduos com pensamento crítico, criativo e eficaz.
A aula de Matemática pode ser o local privilegiado para preparar os alunos (indivíduos) que a
nossa sociedade exige, dando-se ênfase a um ensino que desenvolva nos alunos a capacidade
de resolver problemas.
Desde sempre que a resolução de problemas ocupa um lugar central no ensino da
Matemática, tornando notória e cada vez maior a sua importância ao longo do tempo. Já na
história antiga grega, chinesa e egípcia se encontram registos de problemas matemáticos,
17
embora com uma visão limitada da resolução de problemas (Estrada, Sá, Queiró, Silva & Costa,
2000). Nos tempos presentes, a visão da resolução de problemas começa a ser mais
abrangente, não sendo entendida como um tópico distinto, mas sim como “parte integrante de
toda a aprendizagem matemática” em que os alunos adquirem “modos de pensar, hábitos de
persistência e curiosidade, e confiança perante situações desconhecias” (NCTM, 2007, p. 57).
A APM valoriza o envolvimento dos alunos em atividades matemáticas ricas e
significativas, pelo que realizou um estudo entre os anos de 1996 e 1998, intitulado Matemática
2001 – Diagnóstico e Recomendações para o Ensino e Aprendizagem da Matemática (APM,
1998), que visava conhecer a realidade vivida nas escolas e partindo desse diagnóstico elaborar
um conjunto de recomendações. Nesse diagnóstico, surgem recomendações ligadas à prática
pedagógica que se prendem com a necessidade de: i) implementar tarefas que valorizem o
desenvolvimento do pensamento matemático dos alunos, incluindo situações de trabalho que
incentivem diversificadas formas de interação na sala de aula; ii) expor contextos diversificados,
ligados não só a situações da realidade mas também à história matemática, recorrendo a
materiais didáticos que envolvam fortemente os alunos no processo de aprendizagem; iii) não
encarar o manual escolar como uso exclusivo, mas sim encará-lo como um elemento que pode
“promover a capacidade de autoaprendizagem e o espírito crítico dos alunos” (p. 41); e iv)
diversificar as formas de avaliação dos trabalhos dos alunos. É, ainda, de destacar o estudo do
GAVE (2006) que ao fazer uma reflexão acerca dos resultados do exame do 9.º ano de 2005,
indica que “os melhoramentos a introduzir nas práticas de sala de aula incidiram, com maior
frequência, na resolução de problemas” (p. 62).
A nível internacional têm sido realizados estudos semelhantes ao estudo realizado pela
APM e pelo GAVE. Estes estudos debruçam-se sobre a forma como as escolas preparam os seus
alunos para enfrentarem os desafios do dia-a-dia. É de destacar o estudo PISA 2003 do GAVE
(2004) que teve como pretensão não só avaliar o desempenho dos alunos a nível da literacia em
vários domínios como também recolher dados relacionados com a capacidade de resolução de
problemas. Salienta-se aqui os fracos resultados obtidos pelos alunos portugueses no que se
refere não a cálculos rotineiros mas à sua capacidade de interpretar e resolver situações
problemáticas. Um estudo mais recente é o PISA 2012 do ProjAVI (2013) que lança o seu
relatório sobre a capacidade de resolver problemas não rotineiros. Neste relatório é visível o
melhoramento relativamente a esta capacidade, sendo que Portugal se encontra dentro da
média da OCDE, ou seja, é notório o desenvolvimento referente à capacidade de resolver
18
problemas e que muito era valorizada no Programa de Matemática do Ensino Básico de 2007.
Contudo, este desenvolvimento pode novamente voltar a cair água abaixo, pois o atual Programa
de Matemática do Ensino Básico (Ministério da Educação, 2013) inferioriza o papel da resolução
de problemas no processo de ensino-aprendizagem da matemática, uma vez que preconiza a
simples aplicação de procedimentos já previamente estudados, empobrecendo assim a
capacidade de resolução de problemas.
Deve a resolução de problemas continuar a ocupar um lugar de destaque nas atividades
matemáticas desenvolvidas na sala de aula, pois “aquilo que se faz na sala de aula influenciará
extremamente as convicções dos alunos” (Frank, 1992, p. 23). Por isso, é preciso ter em
atenção o modo como a importância da resolução de problemas pode afectar o processo de
ensino-aprendizagem. Vale e Pimentel (2004) referem que a resolução de problemas pode ser
encarada segundo três perspetivas
por um lado, como um processo, quando pretendemos dotar os alunos com
estratégias de resolução tornando-os solucionadores cada vez mais aptos de problemas; é também uma finalidade, quando tentamos atender aos aspectos matemáticos como explorar, questionar, investigar, descobrir e usar raciocínios plausíveis; e, por fim, é um método de ensino, que surge para introduzir
conceitos envolvendo exploração e descoberta, de acordo com as finalidades do ensino da matemática e de factos, conceitos e procedimentos matemáticos (p. 11).
Siemon e Booker (1990) destacam a relevância de ensinar para, sobre e através da
resolução de problemas no processo de ensino-aprendizagem da matemática. O ensino para a
resolução de problemas faz com que o aluno tenha acesso à aquisição de conhecimentos,
competências e estratégias. No ensino sobre a resolução de problemas o aluno deve reconhecer
e aceitar o processo de resolução de problemas. Já o ensino através da resolução de problemas
faz com que o aluno tenha a confiança necessária para refletir criticamente, monitorizar e dirigir
acerca do processo de resolução de problemas, aprendendo assim de forma mais significativa.
É, portanto, evidente a importância do contributo do papel do professor para que os
alunos ganhem consciência das suas ações num processo de resolução de problemas. Contudo,
não existe uma habilidade de atuação que ajude o professor a desenvolver nos alunos a
capacidade de resolver problemas, pelo que quantos mais professores houver a levarem em
prática a resolução de problemas, maior é a oportunidade do intercâmbio de ideias.
Subjacente à ideia de os alunos ganharem consciência das suas ações, está a
concepção construtivista da aprendizagem, em que o aluno não é um mero espectador que
19
recebe o conhecimento de forma passiva, mas antes ele próprio o construtor dos novos
conhecimentos “em interação com situações problemáticas e com outros sujeitos que obrigam o
aluno a ir modificando a sua estrutura cognitiva mediante uma série de ações” (Corts&Callejo de
la Vega, 2006, p. 138). Neste seguimento, Brousseau (1998, in Corts&Callejo de la Vega, 2006)
sugere como implementar esta forma de construção do conhecimento, presente no Quadro 1.
Quadro 1 – Fases de construção do conhecimentos matemático, segundo Brousseau (1998, in Corts&Callejo de la Vega, 2006, p. 139)
Fases Intervenção do Professor Trabalho dos alunos Fase de ação O professor propõe o problema Os alunos trabalham
individualmente ou em grupo
Fase de formulação
O professor anima, estimula, desbloqueia…, mas deve evitar intervir acerca do conteúdo
Os alunos explicitam oralmente ou por escrito como resolveram o problema e a solução encontrada
Fase de validação O professor modera as intervenções dos alunos mas deve evitar intervir acerca do conteúdo
Os alunos devem apresentar argumentos em apoio da validade da sua solução, procurando convencer os seus colegas
Fase de institucionalização
O professor deve identificar o novo saber e saber-fazer e especificar as convenções. Trata-se de tornar homogéneos os conhecimentos da turma e de especificar quais dos saberes construídos se devem reter e de que forma
Os alunos reestruturam os seus conhecimentos
Fase de exercitação seguida de uma avaliação
O professor ajuda os alunos a familiarizarem-se com os novos conhecimentos, a pô-los a funcionar em diferentes situações, a fim de tomarem consciência do seu campo de aplicação
Os alunos resolvem novos problemas e aplicam os novos conhecimentos
2.1.5. Dificuldades dos alunos na Resolução de Problemas
Aquando a resolução de problemas poderão aparecer obstáculos à sua realização, que
se tornarão em dificuldades para os alunos e que implicará a perda de entusiasmo da
descoberta impedindo o avanço na resolução de um dado problema podendo ainda ser cruciais
no aparecimento de erros.
Do estudo do GAVE (2006) ressaltam dificuldades que se prendem com a compreensão
do enunciado, a resolução de problemas que envolvam mais do que uma solução, o delinear de
20
estratégias de resolução de problemas mais complexos e a explicação dos raciocínios aplicados,
dificuldades estas referenciadas também nos estudos efetuados por Fonseca (1997), Vale
(1997), Esteves (2010), Teixeira (2011), Gonçalves e Viseu (2013).
Vale e Pimentel (2004) referem que certas dificuldades dos alunos ressaltam das suas
concepções como, por exemplo, a de que um problema tem sempre uma solução e que esta é
única. Mencionam, ainda, que uma das dificuldades principais na resolução de problemas é a
compreensão, “fase de extrema importância no ensino da resolução de problemas” (p. 16).
Sternberg (2008) anuncia três dificuldades que podem surgir na resolução de um dado
problema. São estas: configuração mental (mental sets), rigidez mental (entrenchment) e fixação
(fixation), existindo uma grande ligação entre elas, pois a primeira (configuração mental) pode-se
desdobrar nas duas últimas (rigidez mental e fixação) como se pode ver a seguir. A configuração
mental prende-se como envolvimento num modelo existente para a representação de um
contexto do problema ou num procedimento de resolução de problemas. A rigidez mental, que o
autor refere poder ser um termo para configuração mental, tem a ver com o solucionador se
fixar numa estratégia que normalmente funciona bem na resolução de outros problemas e que
não resulta para o problema que tem perante ele. Por fim, a fixação, que o autor também refere
como um termo que pode ser dado à configuração mental, envolve por parte do solucionador a
fixação num determinado objecto. O autor refere que neste caso o que acontece especificamente
é a fixação funcional, ou seja, a incapacidade por parte do solucionador de se aperceber de que
algo conhecido para uma utilização particular pode também ser utilizado na realização de outras
funções.
Pode-se verificar que as principais dificuldades apontadas nos diferentes estudos estão
bastante ligadas às fases do modelo de resolução de problemas apresentado por Polya referido
em 2.1.2..
2.2. Ensino-aprendizagem de Geometria
Nesta secção, que se encontra dividida em duas subsecções, começa-se por fazer uma
breve análise da presença da Geometria nos documentos curriculares, pois como refere
Abrantes (2005) “a riqueza e variedade da Geometria constituem, de facto, argumentos muito
fortes para a sua valorização no currículo e nas aulas de Matemática” (pp. 121-122) terminando
por mencionar as dificuldades que podem surgir na aprendizagem deste tema.
21
2.2.1. Geometria nos documentos curriculares
A Geometria tem ganho ao longo dos tempos um papel relevante nos documentos
curriculares. Esse papel foi assumido após o movimento da Matemática Moderna (Veloso,
2000), momento em que a Geometria começou a ser uma prioridade nos currículos de
matemática. É de salientar que anteriormente a este movimento o ensino da Geometria estava
restringido à Geometria Euclidiana que “consistia numa tentativa de levar os alunos (dos 12 aos
14 anos) a adquirir hábitos de raciocínio rigoroso e sistemático” (Veloso, 2000, p. 19),
ignorando-se a geometria não euclidiana, outro tema da geometria escolar.
O movimento da Matemática Moderna ergue-se na década de 60 conduzindo a
alterações significativas no que se refere ao ensino e aprendizagem da geometria. Esta reforma
chega a Portugal pelas mãos de José Sebastião e Silva, contudo com a generalização desta
reforma aos ciclos de ensino e com a sua morte prematura, o ensino da Matemática entra em
declínio, nomeadamente a Geometria, que se afasta lentamente dos currículos.
Entretanto, por forma a travar este afastamento da Geometria e a preconizá-la como
tema fundamental dos currículos da matemática escolar, o seu papel começa a ser repensado
no final dos anos 80, tendo a APM (2009) produzido a Renovação do Currículo de Matemática
com princípios e orientações curriculares onde a geometria é merecedora de uma revalorização
no que se refere ao ensino e aprendizagem deste tema.
É assim que ao longo dos anos esta revalorização da geometria tem sido fortalecida,
surgindo documentos essenciais como o Currículo Nacional do Ensino Básico – Competências
Essenciais (Ministério da Educação, 2001), o Princípios e Normas para a Matemática Escolar
(NCTM, 2007) e o Programa de Matemática do Ensino Básico (Ministério da Educação, 2007).
O documento Currículo Nacional do Ensino Básico – Competências Essenciais publicado
em 2001 pelo Ministério da Educação define as várias competências matemáticas a serem
desenvolvidas ao longo de todos os ciclos do ensino básico. No que concerne ao domínio da
geometria, este documento defende que os estudantes devem desenvolver os seguintes aspetos
(Figura 3):
22
Figura 3 – Competência matemática que os alunos devem desenvolver no domínio da geometria,
segundo Ministério da Educação (2001, p. 62).
Recentemente este documento foi revogado, sendo que se pode ler no Despacho n.º
17169/2011 que “não reúne condições de ser orientador da política educativa preconizada para
o Ensino Básico, pelo que se dá por finda a sua aplicação”, lendo-se ainda que “o
desenvolvimento do ensino em cada disciplina curricular será referenciado pelos objetivos
curriculares e conteúdos de cada programa oficial e pelas metas de aprendizagem de cada
disciplina”. Após ler esta observação é caso para expressar o descontentamento pessoal em
anunciarem que as metas de aprendizagem reúnem condições para serem um documento
orientador da política educativa.
Os Princípios e Normas para a Matemática Escolar traduzido pela APM é um documento
de referência a nível internacional e que serve de orientação e recurso desde o pré-escolar ao
12.º ano. Referentemente ao domínio da geometria, este documento preconiza que os alunos
devem ser capazes de
Analisar as características e propriedades de formas geométricas bi e tridimensionais e desenvolver argumentos matemáticos acerca de relações geométricas;
Especificar posições e descrever relações espaciais recorrendo à geometria de coordenadas e a outros sistemas de representação;
23
Aplicar transformações geométricas e usar a simetria para analisar situações matemáticas;
Usar a visualização, o raciocínio espacial e a modelação geométrica para resolver problemas. (NCTM, 2007, p. 44)
Relativamente ao Programa de Matemática do Ensino Básico, opta-se por fazer
referência ao programa homologado em 2007, visto que este relatório refere-se ao 9.º ano de
escolaridade e para este está ainda em vigor o anunciado programa. Neste documento curricular
que está dividido por ciclos de escolaridade, na aprendizagem relativamente ao tema geometria
os alunos devem
Desenvolver a visualização e o raciocínio geométrico e ser capazes de os usar; Compreender e ser capazes de utilizar propriedades e relações relativas a
figuras geométricas no plano e no espaço; Compreender e ser capazes de usar as relações de congruência e semelhança
de triângulos; Desenvolver a compreensão das isometrias e semelhanças; Compreender a noção de demonstração e ser capazes de fazer raciocínios
dedutivos; Ser capazes de resolver problemas, comunicar e raciocinar matematicamente
em contextos geométricos e trigonométricos. (Ministério da Educação, 2007, p. 51)
Contudo, não se pode deixar de referir que o Programa de Matemática homologado em
2013 poderá ter um efeito negativo na aprendizagem da matemática e, em particular, da
geometria, pois trata-se de “um programa alicerçado na preocupação do axiomatizar”
(Albuquerque, Barroso, Gouveia, Nápoles, Sequeira e Torres, 2013), de um programa que dá
ênfase à memorização. Esperamos não voltar a um declínio do ensino-aprendizagem da
geometria.
2.2.2. Dificuldades na aprendizagem da Geometria
Sendo indubitável a importância da Geometria, é necessário ter em conta as dificuldades
que surgem na aprendizagem da mesma, por forma a colmatar possíveis desinteresses por este
tema da matemática e a ter em conta diferentes estratégias de ensino-aprendizagem.
Do estudo do GAVE (2006) ressaltam dificuldades na aprendizagem da geometria, como
por exemplo: aplicação de conhecimentos de Geometria a situações concretas, visualização
espacial, construções geométricas e sentido de abstração. Estas dificuldades estão patentes nos
vários relatórios dos exames nacionais (GAVE, 2010, GAVE, 2011, GAVE, 2012, GAVE, 2013,
24
GAVE, 2013a) uma vez que estes apontam como itens com piores resultados, os referentes à
Geometria.
No que concerne à visualização, Dreyfus (1991) tendo em conta que esta se foca na
manipulação e interpretação de imagens, refere as dificuldades que podem surgir,
nomeadamente, a incapacidade de ver uma certa figura geométrica de diferentes perspetivas,
dificuldades em reconhecer transformações, em imaginar objetos espaciais e em fazer a ponte
entre a visualização e o pensamento analítico. Veloso (2000) refere que “as dificuldades maiores
neste campo, comummente expressas na frase “não sou capaz de ver no espaço”, talvez
residam sobretudo na fase de representação a duas dimensões das imagens tridimensionais que
formamos na nossa mente” (p. 120).
2.3. Resolução de Problemas e a aprendizagem da Geometria
A Resolução de Problemas é enfatizada pelo Programa do Ensino Básico (Ministério da
Educação, 2007) no que se refere à aprendizagem da Geometria. Dando ainda mais força à
ideia da importância da resolução de problemas no ensino-aprendizagem da Geometria, aludem-
se as palavras de Abrantes (2005)
fazendo apelo à intuição e à visualização e recorrendo, com naturalidade, à manipulação de materiais, a Geometria torna-se, talvez mais do que qualquer outro domínio da Matemática, especialmente propícia a um ensino fortemente baseado na realização de descobertas e na resolução de problemas (p.121). É através de explorações geométricas que se podem desenvolver habilidades de
resolução de problemas, sendo o raciocínio espacial uma grande fonte nesta metodologia de
principal razão para se estudar matemática (Van de Walle, Karp & Bay-Williams, 2013).
Exigindo os problemas intuição e criatividade por parte do aluno, não se tratando de
uma mera reprodução de fórmulas matemáticas, é na sua resolução que os alunos podem rever,
consolidar, mobilizar e, ainda, construir conhecimentos, descobrindo novos conceitos de
Geometria, pois “a Geometria é uma fonte de problemas de vários tipos: de visualização e
representação; de construção e lugares geométricos; envolvendo transformações geométricas;
em torno das ideias de forma e de dimensão; implicando conexões com outros domínios da
Matemática” (Abrantes, 2005, p.122).
Assim, através da resolução de problemas, pode surgir a introdução natural e intuitiva de
novos conceitos geométricos, sendo desta forma a aprendizagem da Geometria numa ótica do
aprender a aprender.
25
CAPÍTULO III
INTERVENÇÃO: CONTEXTO E ESTRATÉGIAS DE AVALIAÇÃO
Neste capítulo, que está dividido em três secções, descreve-se o contexto – a escola e a
turma – onde decorreu a intervenção, dá-se a conhecer a forma como decorreu a intervenção e,
ainda, fundamenta-se à luz da literatura a metodologia utilizada na concretização deste estudo.
3.1. Contexto de intervenção
Esta secção, dividida em duas subsecções, destina-se à caraterização da escola e da
turma onde se desenvolveu a intervenção.
3.1.1. A escola
A intervenção decorreu no ano letivo 2013/2014, numa Escola Básica pertencente a um
Agrupamento de Escolas do distrito de Viana do Castelo. A escola, inserida num meio
predominantemente rural, é frequentada por alunos oriundos das várias freguesias do concelho
a que pertence.
A estes alunos é disponibilizada uma oferta educativa bastante diversificada, sendo que
o agrupamento, visando garantir a escolaridade obrigatória e o combate à exclusão, oferece aos
seus alunos um percurso escolar que passa pela educação pré-escolar, pelos 1.º, 2.º e 3.º ciclos
do ensino básico, pelo ensino secundário ou pelo ensino profissional.
Através do Projeto Educativo, a escola destaca a preocupação em oferecer diversificadas
atividades curriculares, no sentido de desenvolver aptidões e promover o sucesso educativo dos
seus alunos.
Relativamente aos níveis de classificação por domínios presentes no Relatório de
Avaliação Externa das Escolas, esta escola obteve Muito Bom nos domínios Organização e
gestão escolar, Liderança e Capacidade de autorregulação e melhoria do Agrupamento e Bom
nos domínios Resultados e Prestação do serviço educativo.
No que concerne às instalações, a escola para além das habituais salas de aula, tem
uma biblioteca e laboratórios dos diferentes ramos das ciências, como também espaços físicos
comuns a muitas escolas. Relativamente às salas de aulas, todas estão munidas de computador
ligado à internet e de vídeo projetor, sendo que algumas delas possuem ainda um quadro
26
interativo, ou seja, a escola é detentora de espaços adequados à ação educativa e à oferta
formativa.
Por outro lado, patenteia-se nesta escola um clima de serenidade no que diz respeito ao
relacionamento entre professores, funcionários e alunos, criando-se entre estes um bom
relacionamento quer afetivo quer profissional. Uma escola bastante acolhedora, proporcionadora
de um agradável clima de trabalho e convívio.
3.1.2. A turma
A turma em que foi implementada a intervenção era do 9.º ano de escolaridade sendo
constituída por dezanove alunos, em que a sua média de idades era de 14 anos. A Tabela 1
traduz a distribuição por género e idade dos alunos da turma.
Tabela 1 – Distribuição dos alunos por género e idade
Número de alunos Percentagem de alunos
Género Masculino 8 42% Feminino
11
58%
Idade 13 anos 6 32% 14 anos 12 63% 15 anos 1 5%
No início do ano letivo, através de um pequeno questionário, recolheram-se dados
relativos aos alunos acerca dos seus interesses a nível de disciplinas, apresentando-se na tabela
em baixo (Tabela 2) a informação recolhida e, ainda, os alunos foram inquiridos acerca de como
preferem trabalhar na escola, sendo os dados recolhidos os que constam na Tabela 3.
A análise da Tabela 2 mostra que referente à disciplina de Matemática, 21% dos alunos
da turma a elegem como disciplina preferida, 37% consideram-na a disciplina mais difícil e 84%
a disciplina que mais obriga a pensar e a trabalhar, ou seja, embora os alunos achem a
disciplina de matemática difícil consideram-na uma das suas preferidas.
27
Tabela 2 – Interesse dos alunos a nível de disciplinas
Questão Resposta Percentagem de alunos Qual é a tua disciplina preferida na escola?
Línguas Estrangeiras 26% Matemática 21% Educação Física 21% Ciência Naturais 16% Geografia 5% Físico Química 5% Educação Visual 5% Português 0% História 0% Educação Moral Religiosa e Católica
0%
Quais são as disciplinas mais difíceis para ti?
Matemática 37% Físico Química 21% Línguas Estrangeiras 16% Português 11% História 5% Geografia 0% Ciência Naturais 0% Educação Visual 0% Educação Física 0% Educação Moral Religiosa e Católica
0%
Que disciplina te obriga a pensar mais e a trabalhar mais?
Matemática 84% Português 5% Línguas Estrangeiras 5% História 5% Geografia 0% Ciência Naturais 0% Físico Química 0% Educação Visual 0% Educação Física 0% Educação Moral Religiosa e Católica 0%
Tabela 3 – Preferência dos alunos em trabalhar na escola
Questão Resposta Percentagem de alunos Na escola, eu prefiro trabalhar:
Em pequeno grupo 74% Com outro colega 16% Sozinho 11%
Em grande grupo 0%
Pela análise da Tabela 3 conclui-se que 11% dos alunos da turma preferem trabalhar
sozinhos, 16% tem a sua preferência em trabalhar com outro colega, destacando-se que mais de
metade da turma (74%) prefere o trabalho em pequeno grupo. Curioso é o facto de nenhum
28
aluno referir o trabalho em grande grupo como preferência, parecendo assim as suas
preferências fugirem ao processo de ensino-aprendizagem tradicional.
Por último, procurou-se conhecer os hábitos dos alunos relativamente à utilização do
computador, encontrando-se na Tabela 4 as respostas obtidas.
Tabela 4 – Hábitos de utilização do computador
Questão Resposta Percentagem de alunos Quando estás a usar o computador, normalmente estás:
Nas redes sociais 63%
A jogar 53% A pesquisar informação 42% A fazer os trabalhos de casa 37% A assistir a filmes/séries 21% A ouvir música 5%
Da informação recolhida constata-se que os alunos dão grande utilidade ao computador
para navegar nas redes sociais (63%) e para jogar (53%). A resposta assistir filmes/séries conta
com 21% dos alunos a referirem-na também como utilização do computador e 5% para ouvir
música. No que concerne a pesquisar informação, 42% dos alunos da turma indicam esta como
utilização do computador e 37% indicam estar a fazer trabalhos de casa, ou seja, utilizam o
computador como material didático.
Assim, verifica-se que os alunos utilizam o computador com maior regularidade para
entretenimento.
A observação das aulas permitiu também recolher informação adicional sobre a turma,
sendo os alunos desta empenhados, trabalhadores e participativos. Salienta-se o facto de estar
manifesta a discussão, sendo esta produtiva na aprendizagem de novos conteúdos e que, do
meu ponto de vista, favorece o trabalho dos alunos no que se refere à resolução de problemas.
É, portanto, uma turma ativa, participativa, receptiva e gregária.
3.2. Intervenção
Nesta secção listam-se as aulas lecionadas bem como as tarefas propostas durante a
intervenção pedagógica supervisionada a que este relatório faz menção. Descreve-se ainda a
forma de trabalho ao longo das diversas aulas, forma esta que se funde com o trabalho de
grupo, a discussão coletiva e o recurso à tecnologia, justificando-se a sua relevância à luz da
literatura e do contexto.
29
Síntese da intervenção
A tabela seguinte (Tabela 5) é ilustrativa da distribuição das aulas lecionadas ao longo da
intervenção supervisionada, dando a conhecer as tarefas propostas e os objetivos com que se
prendiam. De referir que as tarefas apresentadas aos alunos são problemas ligados ao
quotidiano, ou seja, problemas que ligam a matemática a contextos de situações reais, o que é
importante, pois desta forma os alunos conferem aplicabilidade aos conceitos que aprendem.
Tabela 5 – Distribuição das aulas lecionadas ao longo da intervenção
Aula Tarefas Objetivos
1 (90 minutos)
1.1. O tesouro perdido. 1.2. A planta da piscina do
José. 1.3. O parque eólico.
Definir lugar geométrico; Construir e identificar os lugares geométricos
– circunferência, círculo, mediatriz de um segmento de reta e bissetriz de um ângulo – pelas suas propriedades;
Resolver geometricamente problemas.
2 (90 minutos)
2.1. Bússola
2.2. Pulverizar o jardim
2.3. A Quinta dos Sobreiros
Identificar lugares geométricos; Construir e identificar os lugares geométricos
– circunferência, círculo, mediatriz de um segmento de reta e bissetriz de um ângulo – pelas suas propriedades;
Resolver geometricamente problemas.
3 (45 minutos)
3.1. Climatização da
esplanada 3.2. Localizar o moinho
Consolidar conhecimentos sobre lugares geométricos.
4 (90minutos)
4.1. Instalação de uma
antena.
4.2. A ilha triangular.
4.3. Os Vencedores.
Definir circuncentro e incentro de um triângulo;
Determinar o circuncentro e o incentro de um triângulo dado;
Construir a circunferência circunscrita e inscrita num triângulo dado;
Resolver geometricamente problemas.
5 (90 minutos)
5.1. Plantar a árvore
5.2. Triângulo equilátero
inscrito na circunferência
Consolidar conhecimentos sobre circuncentro, incentro, circunferência circunscrita e inscrita num triângulo
6 (45 minutos)
6.1. Distância entre cidades Identificar plano mediador; Resolver geometricamente problemas.
7 (90 minutos)
7.1. O centro da mó do moinho
7.2. O prato grego clássico 7.3. O lago de água quente 7.4. Vamos desvendar as
propriedades
Reconhecer a propriedade da reta tangente a uma circunferência;
Construir e identificar o centro de uma circunferência conhecidas duas cordas;
Reconhecer as propriedades de cordas e arcos numa circunferência;
Resolver geometricamente problemas.
30
8 (90 minutos)
8.1. Vamos dividir a mó Relacionar a amplitude de um ângulo ao
centro com a do arco correspondente; Resolver geometricamente problemas .
9 (45 minutos)
9.1. Ângulos e circunferência
Consolidar conhecimentos sobre retas e circunferências, ângulo ao centro de uma circunferência, arcos e cordas correspondentes.
10 (90 minutos)
10.1. Observando uma
circunferência 10.2. O triângulo equilátero
Identificar um ângulo inscrito numa circunferência;
Relacionar a amplitude de um ângulo inscrito com a amplitude do arco compreendido entre os seus lados;
Resolver geometricamente problemas.
11 (90 minutos)
11.1. Triângulo inscrito 11.2. Ângulos num triângulo
Reconhecer ângulos excêntricos com vértice no interior e no exterior de uma circunferência;
Relacionar a amplitude de um ângulo com vértice no interior ou no exterior de uma circunferência com a amplitude do arco que lhe corresponde;
Resolver geometricamente problemas.
12 (45 minutos)
12.1. Ângulo externo Consolidar conhecimentos sobre ângulos
excêntricos.
13 (90 minutos)
13.1. A soma das amplitudes 13.2. O número de lados
Reconhecer que a soma das amplitudes dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é 360º;
Reconhecer que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono regular está relacionada com o número de lados;
Resolver geometricamente problemas.
14 (90 minutos)
14.1. Polígonos regulares 14.2. Polígonos inscritos
Inscrever um polígino regular numa circunferência;
Resolver geometricamente problemas.
Trabalho de grupo
No processo de ensino-aprendizagem, não desprezando a importância que a relação
aluno-professor assume, deve-se dar ênfase a relações que se estabelecem entre aluno-aluno
(Salvador, 1997), ostentando-se o trabalho de grupo. Os alunos ao trabalharem em grupos
podem discutir entre si, trocar ideias e, ainda, apoiar-se mutuamente perante as dificuldades
sentidas, desenvolvendo o seu raciocínio, as suas capacidades de argumentação e de
construção do conhecimento (NCTM, 1991; Martinho, 2007). Uma vez que perante um
problema os alunos necessitam de o compreender, de planear a maneira de como o solucionar
e, ainda, avaliar a solução obtida, é com o trabalho em grupo que os alunos podem desenvolver
31
estas capacidades, pois tendo em conta que os alunos ao explicarem as coisas entre si utilizam
uma linguagem menos formal podendo ser mais fácil para se compreenderem uns aos outros,
este formato de ensino ajuda na compreensão e resolução de problemas (Slavin, 1995;
Bidegáin, 1999).
Johnson, Johnson e Holubec (1994) referem que no trabalho de grupo os alunos
trabalham juntos por forma a alcançarem objetivos comuns, procurando obter resultados
benéficos para todos os elementos do grupo, existindo uma maximização da própria
aprendizagem. Expõem, ainda, componentes que são essenciais à aprendizagem através do
trabalho de grupo: i) interdependência positiva, ii) responsabilidade individual e de grupo, iii)
interação estimuladora, preferencialmente cara a cara, iv) práticas interpessoais e de grupo, e v)
avaliação do grupo.
É, ainda, de referir o papel do professor na presença deste tipo de metodologia. Bidegáin
(1999) menciona que perante aulas em que o trabalho de grupo está patente, o professor
assume o papel de mediador, observador e facilitador da autonomia da aprendizagem. Mediador
uma vez que intervém na aprendizagem dos alunos, favorecendo o seu desenvolvimento,
organizando as tarefas a serem realizadas. E, ainda, estimula e incentiva a colaboração dentro
do grupo. Observador pois ao longo do trabalho dos grupos, o professor pode observar os alunos
a interagir entre si verificando o desenrolar do processo de resolução e se é necessário intervir
perante dificuldades sentidas. É, ainda, facilitador da autonomia da aprendizagem na medida em
que gradualmente “abandona” o controlo da atividade dos alunos, favorece a tomada de
decisões e exige que os alunos avaliem o resultado e o processo seguido.
Tendo em conta a importância aludida a esta metodologia de ensino-aprendizagem e o
contexto de intervenção, e uma vez que os alunos já tinham alguma familiarização com o
trabalho de grupo, considerou-se pertinente adotar esta ao longo da intervenção pedagógica.
Assim, em cada aula, os alunos da turma foram agrupados aleatoriamente, através de um
programa em Excel feito com este propósito, em grupos de quatro elementos existindo sempre
um grupo de três elementos devido ao número de alunos na turma, à exceção de uma aula (aula
carrossel) em que os alunos se encontravam agrupados em três grupos. A opção de constituir
grupos distintos em todas as aulas prendeu-se com o facto de se conseguir uma maior interação
entre todos os alunos da turma.
32
Discussão coletiva
A aprendizagem da Matemática requer que os alunos se sintam integrados e com uma
participação empenhada, sendo a discussão coletiva uma fonte importante neste processo, uma
vez que incentiva à partilha e à discussão entre os alunos desenvolvendo neles a capacidade de
argumentação e de construção do conhecimento (Martinho, 2007).
O momento de discussão coletiva é uma forma de os alunos apresentarem, discutirem e
refletirem sobre os resultados das tarefas trabalhadas em pequeno grupo, tendo a oportunidade
de clarificar/negociar significados matemáticos e, ainda, os seus pensamentos e ideias que os
auxiliam na construção de novos conhecimentos (Martinho, 2007; Ponte, 2005).
O Programa de Matemática do Ensino Básico (2007) ressalta a importância que a
discussão coletiva tem num ensino que foca a resolução de problemas, uma vez que essa
discussão “é uma via importante para estimular a reflexão dos alunos, conduzir à sistematização
de ideias e processos matemáticos e estabelecer relações com outros problemas ou com
extensões do mesmo problema” (p. 62).
Assim, e tendo em conta os resultados apresentados anteriormente, considerou-se
pertinente envolver os alunos em discussões coletivas. Portanto, após a realização das tarefas
em pequenos grupos, os alunos participavam na discussão coletiva, apresentando os resultados
da atividade concretizada e explicando o raciocínio/estratégia utilizada, incitando-se que
participassem ativamente por forma a desenvolverem cooperativamente o pensamento
matemático.
Estas discussões proporcionaram aos alunos oportunidades de conhecer novas
estratégias de resolução bem como uma maior formalização do raciocínio, contribuindo ainda
para desenvolverem a capacidade de comunicação e argumentação, a autonomia e o seu
espírito crítico, bem como para estimular neles uma postura madura na interação com colegas e
professora.
Com o trabalho de grupo e a discussão coletiva pretende-se promover junto da turma
em questão uma pedagogia centrada na atividade do aluno em que o papel da professora é o de
moderadora do trabalho dos alunos, ou seja, orientá-los, questioná-los e apoiá-los em todas as
atividades a desenvolver ao longo da intervenção pedagógica.
33
Recurso ao Geogebra
Ao longo dos anos a tecnologia tem ganho grande importância no processo ensino-
aprendizagem da Matemática, com especial destaque para a Geometria. É no ensino e na
aprendizagem deste tema que o recurso a softwares de geometria dinâmica é cada vez mais
enfatizado, dando relevo ao uso da tecnologia na sala de aula.
Pereira (2012) refere no seu estudo que os softwares de geometria dinâmica oferecem
um novo contributo no processo ensino-aprendizagem de conceitos geométricos, pois permitem
que os alunos explorem, descubram e desenvolvam os conceitos de uma forma mais atrativa e
eficaz.
Portanto, o recurso a softwares de geometria dinâmica pode enriquecer o ambiente
educacional, proporcionando a construção de novos conhecimentos de uma forma ativa e crítica,
tal como menciona NCTM (2007) ao referir que através de “programas de geometria dinâmica,
os alunos poderão envolver-se ativamente com conceitos geométricos (…) formular e explorar
conjeturas e poderão aprender a raciocinar cuidadosamente sobre as noções geométricas” (p.
48). Assim, é importante o recurso a softwares de geometria dinâmica uma vez que
“proporcionam imagens visuais de ideias matemáticas” (NCTM, 2007, p. 26) e trazem consigo a
tecnologia para dentro da sala de aula.
Nesta linha de ideias, considerou-se pertinente recorrer à utilização do software de
geometria dinâmica Geogebra, podendo os alunos tirar partido da manipulação e visualização,
experimentando e conjeturando acerca dos objetos geométricos.
3.3. Metodologia
Nesta secção, que se encontra dividida em três subsecções, descreve-se as principais
opções metodológicas tomadas para conduzir este estudo, focando-se ainda as estratégias de
avaliação da ação e os procedimentos de análise dos dados.
3.3.1. Opções metodológicas
Este estudo procurou fazer uma análise do papel da resolução de problemas no
processo ensino-aprendizagem da geometria, com particular enfoque no tema circunferência,
com vista à formulação, validação e justificação de conjeturas.
34
Assim, pretendeu-se observar, descrever e interpretar os processos desenvolvidos pelos
alunos e intervir nesse desenvolvimento. Portanto, a problemática em estudo corresponde a um
estudo de caso, levando a optar por uma metodologia de natureza qualitativa.
Relativamente a este tipo de metodologia, Bogdan e Biklen (1994) referem-na como
“uma metodologia de investigação que enfatiza a descrição, a indução, a teoria fundamentada e
o estudo das percepções pessoais” (p.11).
Savenye e Robinson (2001) mencionam que a investigação de cariz qualitativo é
realizada num ambiente natural, em que o investigador despende bastante do seu tempo no
terreno, tornando-se o principal instrumento de recolha de dados, pois contacta de perto com o
objeto em estudo. Portanto, o contexto torna-se determinante pela influência que pode exercer
sobre o comportamento humano (Bogdan & Biklen, 1994).
Num estudo desta natureza os dados a serem recolhidos podem não estar delimitados,
podendo mudar no decorrer do estudo, na medida em que novas questões e novos aspetos
podem surgir (Savenye & Robinson, 2001), sendo a sua análise mais dedutiva do que indutiva
(Bogdan & Biklen, 1994).
No que concerne ao estudo de caso, e que é um exemplo de metodologia qualitativa,
tem contribuído para um conhecimento dos problemas da prática e de organizações particulares
como é o caso das escolas (Bogdan & Biklen, 1994; Yin, 2003). É considerado por Yin (2003)
como um estudo empírico em que se investiga um fenómeno contemporâneo dentro do seu
contexto de vida real, especialmente quando os limites entre o fenómeno e o contexto não são
claramente evidentes, referindo que se devem ponderar três aspetos ao escolher este tipo de
metodologia, sendo eles: i) o tipo de questões a que o estudo se prende, ii) o nível de controlo do
investigador sobre os acontecimentos, e iii) se decorre ou não na atualidade.
Portanto, à luz da literatura e do contexto de intervenção, justifica-se plenamente a
opção pela realização de estudo de caso de índole qualitativo.
3.3.2. Estratégias de avaliação da ação
Por forma a poder avaliar o impacto da intervenção recorreu-se a diversas
estratégias/instrumentos de recolha de informação. Desta forma, os dados foram recolhidos
tendo por base a observação, um questionário, a plataforma moodle e as produções dos alunos.
35
Observação
A observação revelou a sua importância desde o início, tornando-se primordial na
medida em que permitiu ter uma perceção e uma captação dos acontecimentos ao longo da
intervenção. Contudo, como os alunos se encontravam a trabalhar em grupo foi necessário
recorrer a gravações áudio como complemento. Assim, as gravações áudio devidamente
autorizadas pela Diretora da Escola (Anexo 1) e pelos Encarregados de Educação (Anexo 2),
tiveram como intuito recolher dados de uma forma espontânea ao longo da intervenção,
permitindo registar comentários feitos pelos alunos aquando a realização das tarefas em grupo.
Estes registos foram parcialmente transcritos para posterior análise de conteúdo por forma a
apoiar outras estratégias de avaliação da ação, nomeadamente sendo essenciais na identificação
de algumas dificuldades e erros.
Questionário
O questionário (Anexo 3), devidamente autorizado e aplicado no final da intervenção
através da plataforma moodle, teve como propósito averiguar as perceções dos alunos acerca do
contributo da resolução de problemas para a aprendizagem da Geometria, bem como
compreender o desempenho destes no tópico “a circunferência” através da resolução de
problemas. Ou seja, o questionário permite avaliar a consecução dos objetivos 1 e 3 a que este
estudo se propôs.
No que se refere à construção, formulação e elaboração das questões do questionário
atenderam-se a alguns aspetos patenteados por Hill e Hill (2008): i) as questões referentes ao
mesmo assunto foram agrupadas; ii) questões fechadas por forma a obter respostas objetivas;
iii) questões de controlo por forma a averiguar a veracidade de outras e, iv) as questões utilizam
uma escala Likert de 5 pontos com as categorias “Discordo Totalmente” até “Concordo
Totalmente”.
O primeiro grupo de questões do questionário diz respeito a dados pessoais do aluno.
No segundo grupo pretende-se avaliar as opiniões dos alunos acerca da metodologia de ensino e
a sua eficácia enquanto o terceiro grupo dá ênfase à apreciação das tarefas e ao formato de
ensino. No grupo quatro identificam-se as opiniões dos alunos acerca do recurso à tecnologia
(Geogebra e Plataforma Moodle). Por último, no quinto grupo, são colocadas três questões
abertas pretendendo-se que os alunos façam uma apreciação global do decorrer da intervenção
deixando algum comentário ou opinião.
36
Plataforma Moodle
A plataforma moodle teve como intento complementar o processo de ensino-
aprendizagem presencial ao longo da intervenção pedagógica. Tal como defende Penerroud
(1999) o moodle enquadra-se em modelos pedagógicos no qual se potencia o desenvolvimento
da autonomia e da reflexão do indivíduo (aluno), bem como as suas competências e
capacidades de organização.
Através da plataforma moodle foram colocadas tarefas para os alunos resolverem,
algumas delas serviram de preparação para a intervenção pedagógica, nomeadamente, como
pré-utilização e preparação em trabalhar com software Geogebra, existia um espaço para
dúvidas/discussão através do fórum geral ou através da sala de chat e, ainda, eram colocadas
as resoluções às tarefas propostas pelo manual escolar e diversificada informação.
Assim, mesmo fora da sala de aula, existia partilha, interação, colaboração e cooperação
quer entre aluno-aluno quer entre professora-aluno.
Produções dos alunos
Ao longo da intervenção foram propostas aos alunos tarefas de resolução de problemas.
Estas tarefas foram realizadas quer através da plataforma moodle quer na sala de aula. Na
plataforma moodle os alunos resolviam as tarefas individualmente e na sala de aula eram
trabalhadas em grupo.
Após os alunos resolverem as tarefas em grupo, as suas resoluções eram alvo de
discussão coletiva, sendo que no final de cada aula eram recolhidas para digitalização e
posteriormente entregues aos alunos.
Assim, as produções dos alunos permitiram analisar os processos de resolução,
tornando-se possível a identificação de erros e dificuldades bem como o desempenho por parte
destes na aprendizagem subordinada à temática em estudo.
3.3.3. Análise dos dados
Com vista a dar resposta aos objetivos formulados para este estudo de índole qualitativo,
é necessária uma análise de dados, incidindo esta sobre os dados recolhidos, pois como
afirmam Bogdan e Biklen (1994) “os estudos qualitativos implicam combinação da recolha de
dados com a sua análise” (p. 101).
37
Assim, a análise de dados recai sobre as produções dos alunos, as transcrições das
aulas resultantes da observação e sobre o questionário. Esta análise começou a ser realizada ao
longo da intervenção tendo o seu maior aprofundamento após o término da intervenção, o que
vai ao encontro de Bogan e Biklen (1994) quando citam que “a análise de dados verifica-se ao
longo de toda a investigação, se bem que seja normalmente nas fases finais que os dados são
analisados de forma mais sistemática” (p. 84).
Por forma a uma melhor organização na análise dos dados, optou-se por reunir estes
consoante as tarefas propostas, sendo possível assim relacionar os diferentes instrumentos de
recolha e encontrar dados em comum que validassem a interpretação das resoluções dos
alunos. Existiu desta forma uma triangulação dos dados, pois como refere Denzin (2009) a
triangulação assume-se quando são conjugados vários métodos para o estudo de um caso.
É importante referir que para a análise dos dados são atribuídos nomes fictícios aos
alunos, garantindo-se assim o anonimato dos mesmos.
38
39
CAPÍTULO IV
APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS
Neste capítulo, dividido em duas secções, descrevem-se, analisam-se e avaliam-se as
resoluções dos alunos de quatro problemas propostos ao longo da intervenção e as percepções
dos alunos acerca do contributo da resolução de problemas para a aprendizagem da Geometria
através das respostas ao questionário.
Por questões de ordem ética e como já foi referido os nomes apresentados ao longo da
apresentação dos resultados são fictícios.
4.1. Tarefas propostas ao longo da intervenção
Nesta secção, que se encontra dividida em cinco subsecções, analisam-se as resoluções
dos alunos a quatro tarefas propostas ao longo da intervenção, avaliando-se a consecução dos
objetivos com que este estudo se prende, fazendo-se no final uma síntese da análise efetuada.
4.1.1. Tarefa 1 – O tesouro perdido
A tarefa O tesouro perdido foi usada para introduzir a noção de lugar geométrico, sendo
os alunos desafiados a resolver um problema recorrendo ao software geogebra e a elementos
geométricos já por eles estudados em anos anteriores.
Na resolução deste problema os alunos encontravam-se divididos em cinco grupos, os
quais são designados de GI, GII, GIII, GIV e GV, sendo que os quatro primeiros grupos eram
constituídos por quatro alunos e o último grupo por três alunos.
Nesta tarefa era apresentado aos alunos um código que os ajudaria a encontrar a
localização do tesouro, sendo fundamental para a sua resolução uma correta compreensão do
enunciado. Na resolução a este problema previa-se que os alunos poderiam sentir dificuldades
nas construções geométricas, na interpretação da escala e no estabelecimento de uma
estratégia. Veja-se o enunciado da tarefa (Figura 4).
40
Figura 4 – Enunciado da tarefa O tesouro perdido.
Na realização desta tarefa verificou-se que todos os grupos resolveram identicamente o
problema. Através da observação, à qual se procedeu como já referido a gravações áudio em
cada grupo, verifica-se que no arrancar da resolução à tarefa os alunos começaram a ler o
enunciado interpretando o que o código lhes dizia. Contudo, e sem planear uma estratégia de
resolução, partem logo para o pressupor de onde estará o tesouro. Exemplo disso é o diálogo
produzido no grupo GIV.
Rodrigo: O tesouro tem de ser aqui. Beatriz: Não! Ele vai estar mais ou menos aqui. Santiago: Não é aqui? Diana: Não, calma.
No entanto, após alguma discussão os diferentes grupos chegam à conclusão que assim
não tinham nada para resolver e debruçam-se novamente sobre o enunciado, optando por
construir passo a passo o que o código diz. O diálogo ocorrido no grupo GI é exemplo desta
situação.
Vasco: Marca a primeira pista. Marta: Ui. Como alteramos a medida aqui para ver quantos quilómetros vai daqui aqui. Bruna: Olha a escala. Como é que nós líamos isto?
41
Camila: Um centímetro está para cem mil metros. Bruna: Não, estava sempre para a mesma unidade. Camila: Então é um quilómetro está para cem mil quilómetros. Bruna: Achas? Não pode. Marta: Tinha a ver com o que víamos no desenho e a realidade. (…) Bruna: Ah… Um centímetro no desenho está para cem mil centímetros na realidade. Marta: Então vamos ter de passar os dados todos do enunciado para centímetro. Bruna: Pois. (Silêncio) Vasco: Mas aqui diz um quilómetro das palmeiras. Vais marcar cem mil centímetros no geogebra? Jasus! (risos) Marta: Esperai aí. Quanto é cem mil centímetros… Pronto, cem mil é um quilómetro. Bruna: Então um centímetro aqui no mapa é um quilómetro lá.
A leitura do diálogo mostra-nos que os alunos deste grupo depararam-se com a
dificuldade de interpretação da escala dada. Contudo, após discutirem como se fazia a sua
leitura, ultrapassaram esta dificuldade, dando seguimento à resolução do problema.
Nas produções dos alunos, relativas a esta tarefa, está patente o seguimento pista a
pista por parte de todos os grupos, pelo que de seguida apresenta-se as suas resoluções.
Relativamente à primeira pista todos os grupos traçam a figura geométrica que lhes dá onde se
poderá situar o tesouro. Contudo, não têm em atenção que a fronteira deveria estar
representada a tracejado (Figura 5), visto a distância a que o tesouro se encontra da palmeira
não ser igual mas sim inferior a um quilómetro.
Figura 5 – Resolução apresentada pelo grupo GIV à primeira pista do código.
42
O mesmo acontece para as duas pistas seguintes, não tendo novamente os grupos em
atenção o tracejar da fronteira, visto não poder estar definida. Vejamos um exemplo desta
situação (Figura 6).
Figura 6 – Resolução apresentada pelo grupo GV às três primeiras pistas do código.
A quarta pista do código sugeria que os alunos recorressem à mediatriz de um
segmento de reta, contudo a sua resolução foi motivo de discussão no grupo GIII. Vejamos o
excerto do diálogo produzido.
Francisca: Eu acho que tu não entendeste bem ao ler isto. (Lê novamente o enunciado) A mais de três quilómetros da árvore. Vai à árvore, a mais de três quilómetros. Igualmente distanciado do monte de areia fantasma e do local para onde se dirige a tartaruga. Agora entre… Matilde: Faço uma reta? Francisca: Pois não sei. Entre a distância do tesouro, esta e esta é igual. Tás a entender? Matilde: Pois. Francisca: Não é aqui. Agora temos é de saber… É aqui. Porque a distância do tesouro é igual tanto da tartaruga como da… Matilde: Temos de fazer outro coiso, outro círculo. Francisca: Não, nós não sabemos é a medida. (Recorrem novamente ao enunciado) Francisca: Estão a três quilómetros da árvore e igualmente distanciado do monte de areia fantasma e do local para onde se dirige a tartaruga. Pronto isto vai dar aqui, só que nós queremos é saber a medida.
43
(Discussão em torno de interpretar o enunciado) Leonor: Não será tipo, como aqui diz a mais de três quilómetros da árvore e igualmente distanciado do monte de areia. Francisca: Não podes ler assim. O local para onde se dirige a tartaruga e o monte de areia é que estão a igual distância do tesouro. Só que nós não sabemos é o ponto. (…) Francisca: Olha que isto tem que se lhe diga.
Neste diálogo está manifesto um erro de leitura, como também a dificuldade em saber a
que figura geométrica têm de recorrer. Os alunos do grupo, ao não conseguirem ultrapassar esta
dificuldade solicitam a ajuda da professora.
Matilde: Sora, nós temos a ideia que isto deve ser menos, deve ser “paqui”. Francisca: Mas nós não podemos meter medidas à sorte. (…) Professora: Atenção, o problema diz que está igualmente distanciado do monte de areia fantasma… Francisca: Ou seja, a distância daqui ao tesouro é a mesma que daqui ao tesouro. Professora: Sim. E o que é que precisais traçar para obter isso? Francisca: Mas nós não sabemos, um triângulo? Clara: Uma circunferência. Professora: Existe algo que vocês podem traçar que vos dá os pontos que se encontram a igual distância de dois objetos. Francisca: Ah. Não é aquilo da bissetriz, ou da mediatriz ou… Professora: A bissetriz é para? Francisca: Mas é a mediatriz. A resposta é a mediatriz. (…) Clara: Eu já não me lembro como se faz isso. Matilde: Isto tem a ver com as tarefas da plataforma.
Após o diálogo com a professora e, ainda, recordando uma das tarefas de preparação
aplicada na plataforma moodle, os alunos do grupo GIII ultrapassaram a dificuldade respeitante à
figura geométrica que lhes dava a resposta à quarta pista. É de salientar que nas produções dos
alunos verifica-se, à exceção de dois grupos (Figura7), a construção correta de mediatriz, tendo
presente que esta figura geométrica é traçada sobre um segmento de reta (Figura8).
44
Figura 7 – Construção incorreta do grupo GII ao resolver a quarta pista do código.
Figura 8 – Construção correta do grupo GI ao resolver a quarta pista do código.
Após darem resposta a todas as pistas é momento de responder onde se encontra o
tesouro, encontrando assim a solução do problema. Contudo, existem alguns contratempos
aquando este momento, pois está subjacente nas mentes dos alunos a ideia de que o tesouro
tem de estar num local fixo, sendo a presença da professora fulcral para concluírem a atividade.
45
Francisca: Pronto o tesouro anda por aqui. Mas e o sítio preciso? Professora: Haverá um sítio preciso? Matilde: Não, teríamos de cavar o que vai daqui aqui e nesse espaço deveria estar o tesouro. Francisca: Aaaahhhh. Matilde: Só tenho de pôr a azul agora. Francisca: Fogo, já acabámos há tanto tempo. Jesus. Queremos ser tão precisos que depois… (…) Matilde: Para descobrir o tesouro teríamos de escavar do ponto H ao I.
No entanto, após concluírem que o local onde se encontra o tesouro está representado
por um segmento de reta, não têm em atenção que os extremos não podem estar definidos
(Figura 9), ou seja, a Matilde refere que teriam de escavar do ponto H ao I e o correto seria dizer
que teriam de escavar um pouco depois do ponto H até um pouco antes do ponto I, não
considerando os extremos como local possível onde encontrar o tesouro, visto serem pontos de
interseção do segmento de reta com o círculo traçado com centro em P e cuja fronteira não
poderia estar definida.
Figura 9 – Resolução do grupo GIII à tarefa.
46
É de referir que nenhum grupo verifica se a solução encontrada se adequa ao contexto
do problema. Se após concluírem a resolução do problema verificassem a resposta a que
chegaram, poderiam validar se os pontos resultantes da interseção entre os objetos se
adequavam ao contexto do problema.
Assim, na resolução desta tarefa estão patentes dificuldades que se prendem
inicialmente com o delinear de uma estratégia para resolver o problema, passando por
dificuldades de interpretação de escalas, de aplicação de conhecimentos geométricos e,
também, de construção geométrica. Identifica-se ainda num diálogo produzido um erro de
leitura.
4.1.2. Tarefa 2 – O centro da mó do moinho
Nesta tarefa, intitulada O centro da mó do moinho, as variáveis didáticas estão
relacionadas com a propriedade de mediatriz de uma corda. Espera-se com esta tarefa que os
alunos consigam estabelecer relações com conceitos estudados em aulas anteriores, fazendo
uso destes. Na figura está a representação de uma mó em que é necessário descobrir se o furo
desta se encontra no seu centro. Na concretização desta tarefa previa-se que os alunos
poderiam ter dificuldades na decisão de uma estratégia, na aplicação de conceitos e na
conclusão da resolução. Apresenta-se, abaixo, o enunciado da tarefa (Figura 10).
Figura 10 – Enunciado da tarefa O centro da mó do moinho.
47
Logo após a apresentação da atividade a desenvolver, os alunos começam a resolver a
tarefa. De referir que nesta aula os alunos estavam divididos em três grupos (GI, GII e GIII).
Para darem início à atividade, todos os grupos começam a ler o enunciado procurando
depois uma solução para este. Contudo, não estabelecem uma estratégia, começando de forma
intuitiva a encontrar o centro. Exemplo disso é a transcrição do diálogo do grupo GII.
Pedro: Não importa que seja no centro, o que importa é traçar uma mediatriz. Ou…não não, não traceis esta linha…depois vai ficar uma confusão. Deixai-me pensar um bocado. Santiago: Assim não dá? Por exemplo. Calcar aqui e medir daqui aqui. Pedro: Não Santiago não é para fazeres assim. Luís: Porquê? Pedro: Porque assim não mostra nada. Tem de fazer isto com desenhos. Triângulos e circunferências. Não é assim. Santiago: Daqui aqui e medes. Daqui aqui e medes. Pedro: Santiago! Santiago, não é assim que se faz. Podes fazer assim mas isso não tem maneira de ser, não tem qualquer matéria. Isto é para fazeres com matéria. E tens de utilizar material de desenho. Santiago: Acho que o furo não está no centro. Pedro: Não está…Mas… Após este tipo de discussão, idêntica nos diferentes grupos, seguiram-se caminhos
diferentes na resolução da tarefa, pelo que de seguida serão apresentadas e discutidas as
resoluções apresentadas por cada grupo.
O grupo GI apresenta como solução do problema a seguinte resolução (Figura 11).
Figura 11 – Resolução do problema apresentada pelo grupo G I.
48
Este grupo começa por traçar cordas na circunferência por forma a estas perfazerem um
polígono convexo. Ao observar o trabalho desenvolvido pelos alunos e por forma a perceber o
raciocínio destes a professora pergunta-lhes o porquê da decisão de traçarem um polígono com
quatro lados, recebendo como resposta estamos a experimentar por parte da aluna Marta. Sem
querer se interpor na atividade a ser realizada, por forma a não influenciar possíveis decisões no
grupo, a Professora continua a circular pelos outros grupos. Contudo mantém-se um diálogo
entre os alunos.
Nuno: Isto não deve tar bem. Marta: Pois. Mas não temos mais nenhuma ideia. Bruna: Isto deve ir dar a algum lado. Tentamos. Se não der certo, apagamos. Nuno: Depois de fazeres o quadrado o que fizeste? Marta: Fiz as bissetrizes das retas. (…) Clara: Cruzaram-se aqui neste ponto. Carolina: O meu ponto dá mais abaixo. Clara: Não pode, fizeste isso mal. Nuno: Pode, pode. O quadrado da Carolina é diferente do teu. As bissetrizes vão ser diferentes. Carolina: Tá bem. (…) Bruna: Marta, agora fazemos um círculo com o compasso daqui onde elas se cruzam até aqui, olha. Dá desviado. Marta: Não é assim tanto. Bruna: Mas não bate certinho, certinho. A nossa tentativa deu bem.
Com a resolução apresentada e o diálogo ocorrido verifica-se que os alunos recorrem
por fim a uma estratégia do tipo tentativa e erro. Nota-se ainda que os alunos traçam mediatrizes
chamando-lhes bissetrizes, sendo este um erro que cometem várias vezes, assim como
referirem retas em vez de segmentos de reta.
Apesar da resposta final apresentada pelo grupo estar correta, o furo da mó não está no
centro porque está desviado, a sua resolução está parcialmente correta, pois deveriam os alunos
determinar também através do traçar de mediatrizes o centro da circunferência que representa o
furo da mó. Ou seja, a circunferência traçada com centro no ponto resultante da interseção das
mediatrizes, poderia apresentar apenas um ligeiro desvio levando os alunos a concluir que
estava no centro e a hesitarem, o que em certa parte acontece com a Marta (final do diálogo).
Outra vertente a assinalar é o facto de os alunos não fazerem uma análise final à resolução que
apresentam, ou seja, assumem que todo o processo seguido foi bem realizado.
A figura seguinte (Figura 12) apresenta a resolução do grupo GII ao problema.
49
Figura 12 – Resolução do problema apresentada pelo grupo G II
Os alunos deste grupo, após alguma discussão em que idealizam que o furo não está no
centro, começam a resolver a tarefa.
Pedro: Já sei como isto se faz. Primeiro vamos achar o centro do círculo pequeno, ou seja, do buraco. Com uma mediatriz. (…) Pedro: Já sabemos o centro total da circunferência. É este. Agora para isto estar 100% no centro, supostamente terá de ao fazermos a mediatriz, os pontos terão de passar aonde? Terão de passar naquilo. É tipo usar o centro do triângulo. Rui: Santiago é qualquer medida não é? Rui: Pedro, é qualquer medida não é? A medida do lado? Pedro: Superior à metade. Sim é assim. Rui: Não, não é isso. Aqui, pôr aonde? Pôr em qualquer sítio? Pedro: Oh Rui, não sabes sacar a mediatriz de uma reta? (…) Pedro: Agora chego aqui, faço outras mediatrizes, e se bater certo com aquela já está. Se passar ali no centro, a interação das duas é porque está certo. Se não bater é porque não está.
50
Tendo em conta a resolução apresentada pelo grupo GII e o diálogo ocorrido, verifica-se
que os alunos recorrem a tentativas optando por traçar as mediatrizes recorrendo a cordas da
circunferência. Contudo, como se pode observar, os alunos não traçam essas cordas, o que se
torna errado visto não apresentarem desta forma uma construção rigorosa. Após traçarem as
mediatrizes concluem que estas se intersetam num ponto que designam cg. Para descobrirem o
centro do furo, os alunos traçam as mediatrizes utilizando como cordas os segmentos de reta
resultantes das mediatrizes anteriores (mediatrizes para determinarem o centro cg), descobrindo
assim o centro do furo que designam cp.
É de referir que os alunos não analisam a solução encontrada nem o processo seguido,
limitando-se a aceitar que a tentativa pela qual optaram está correta, bem como não apresentam
uma resposta ao problema. Salienta-se no diálogo o facto de os alunos não utilizarem uma
linguagem matemática correta (pronunciam sacar em vez de traçar) e, ainda, de intuitivamente
recorrerem a conceitos estudados em aulas anteriores (É tipo usar o centro do triângulo).
Conclui-se assim que os alunos apresentam uma resolução parcialmente correta ao
problema, pois existe falta de rigor na sua construção, não ressaltando dificuldades de maior.
A próxima resolução (Figura 13), exposta pelo grupo GIII, apresenta a resposta correta ao
problema.
Figura 13 – Resolução apresentada pelo grupo GIII ao problema.
51
Este grupo, após ultrapassar um momento inicial de controvérsia em torno de como
resolver o problema, recorda os conteúdos matemáticos estudados em aulas anteriores
(teríamos de desenhar um triângulo em que os vértices fizessem parte da circunferência),
fazendo a ligação desses conceitos com esta tarefa. Vejamos a resposta que complementa a
construção acima apresentada (Figura 14).
Figura 14 – Resposta apresentada pelo grupo GIII.
Verifica-se, portanto, que o grupo GIII delineou uma estratégia adequada e concretizou-a
de forma correta, dominando os conceitos e a linguagem matemática, não apresentando
dificuldades na resolução do problema.
4.1.3. Tarefa 3 – O lago de água quente
A tarefa apresentada de seguida foi trabalhada pelos alunos na aula carrossel. Este tipo
de aula segue uma metodologia muito recente e, ainda, sem adoção em Portugal. É uma aula
em que a sala se organiza em mesas agrupadas, sendo que cada agrupamento é uma etapa do
carrossel. Neste tipo de aula o formato de ensino é o trabalho de grupo, sendo que todos os
grupos passam pelas diferentes etapas. Em cada etapa é deixada uma pista por cada grupo,
pista esta que pode auxiliar os colegas do próximo grupo a resolver a tarefa. Numa das etapas,
encontra-se o Professor a observar, questionar e mediar, numa troca de ideias, a discussão e o
trabalho dos grupos, sendo os alunos quem assumem o papel central e o Professor o papel de
moderador do trabalho destes.
52
Assim, nesta aula, existiam três etapas que estavam assinaladas por cores (azul, verde e
amarela), a percorrer por esta ordem, pelo que os alunos encontravam-se divididos em três
grupos (GI, GII e GIII). A etapa azul correspondia à etapa onde se encontrava a Professora e as
etapas verde e amarela correspondiam a etapas onde os alunos tinham de ser bastante
autónomos, pois não contavam com a presença da Professora. No arrancar do carrossel, o
grupo GI encontrava-se na etapa azul, o grupo GIII na etapa verde e o grupo GII na etapa amarela.
A tarefa O lago de água quente foi exposta aos alunos na etapa verde, etapa em que a
Professora não estava presente e pretendia-se com a sua apresentação introduzir a propriedade
da reta tangente a uma circunferência. Veja-se o enunciado da tarefa (Figura 15).
Figura 15 – Enunciado da tarefa O lago de água quente.
Apresenta-se de seguida as resoluções dos alunos ao problema. Uma vez que as
resoluções do grupo GI e do grupo GII são idênticas optou-se pela sua análise em conjunto, sendo
a resolução do grupo GIII analisada em separado.
A figura seguinte (Figura 16) representa a resolução apresentada pelo grupo G II ao
problema e que é análoga à resolução do grupo GI.
53
Figura 16 – Resolução apresentada pelo grupo GII ao problema.
Na resolução apresentada estão marcadas as amplitudes dos ângulos descobertas pelo
grupo, contudo ao longo da resolução a amplitude desses ângulos é posta de lado, levando o
grupo de forma errónea à solução. Veja-se o diálogo seguinte que mostra o percurso do grupo
para a solução.
Matilde: Calma, tenho de fazer a conta. Francisca: Mas eles parecem iguais. Não sei se é isso. Como é que tu podes… Matilde: Calma. 64+64 é 128. 360 – 128 dá 232. Anita: Mas tens de dividir por 2 depois. Matilde: A dividir por 2 que dá 116. Francisca: Quanto é que deu? Matilde: 116 de cada lado. Francisca: Então já chegamos às pistas deles. Temos os dois gémeos e o 232. (…) Anita: Qual é a ponte? Francisca: É isto que está aqui. Anita: Mas... Francisca: Oh Anita não ponhas mais problemas do que isto já tem. (Leem novamente o enunciado) Francisca: Isósceles é o quê? Se calhar o lado comum é o que é diferente. (discutem acerca do enunciado apresentando dificuldades na sua interpretação) Francisca: A ponte é aqui. Aposto convosco que a ponte é nesta cena. Porque passa dum lado ao outro e é tangente à ilha. A ponte só pode ser aqui. (…) Francisca: Primeiro podemos confirmar que realmente é paralela. Perpendicular a um dos lados do triângulo. É perpendicular. Confirma. Anita: Já percebi porque é que isto esta certo. Lembrai-vos da aula de EV. Tangente. Agora os 90 graus. Diana: é 90 graus. Francisca: Tens a certeza?
54
Anita: Sim. Se vai daqui para aqui é 90 graus. É perpendicular e é tangente. Já está. Francisca: Então ditai uma resposta. Matilde: Mas não tou a ver porque eles escreveram aquela pista ali. Francisca: Escreve aí alguma coisa. Matilde: Calma, isto ainda não acabou. Francisca: Já.
Assim, analisando a resolução apresentada e o diálogo reproduzido verifica-se que
existem dificuldades por parte do grupo na interpretação do enunciado e também no delinear de
uma estratégia, começando logo a efetuar cálculos, acontecimento que é idêntico no grupo GI.
Observa-se, portanto, que os grupos GI e GII determinam a amplitude de alguns ângulos, contudo
não conseguem avançar mais, pois não calculam os restantes ângulos internos que era a forma
correta de obterem os 90 graus e assim poderem concluir que de facto a ponte era
perpendicular ao lado comum dos dois triângulos.
Desta forma, sobressai da análise da resolução dos dois grupos dificuldades que se
prendem com a interpretação do enunciado e com o delinear de uma estratégia. Ressalta ainda
o facto de não existir uma avaliação final acerca da conclusão a que chegaram.
A resolução do grupo GIII apresentada de seguida (Figura 17), embora não mostre os
cálculos auxiliares, constitui uma solução correta ao problema.
Figura 17 – Resolução do problema apresentada pelo grupo G III.
55
Nesta resolução está patente uma boa interpretação do enunciado, conseguindo os
alunos identificar de forma correta a ilha, a ponte e os dois lagos. Verifica-se também que o
grupo delineou uma estratégia correta de resolução, não mostrando dificuldades na sua
concretização. É, ainda, de salientar que este grupo tem presente os conceitos matemáticos
implícitos para a realização desta tarefa.
Para finalizar, apresentam-se as pistas (Figura 18) deixadas pelos três grupos na
realização desta etapa.
Figura 18 – Pistas deixadas pelos grupos na resolução do problema.
4.1.4. Tarefa 4 – Vamos desvendar as propriedades
A tarefa Vamos desvendar as propriedades, proposta aos alunos na etapa amarela da
aula carrossel, veiculava a informação do problema em forma de figura acompanhada de um
texto, tendo a pretensão de introduzir as propriedades de arcos e cordas de uma circunferência.
Esta tarefa foi, na opinião dos alunos (ver análise do questionário na secção 4.2.), aquela em
que sentiram mais dificuldades para a sua resolução, sendo que um dos grupos (grupo GI) não a
consegue resolver e os grupos GII e GIII apresentam resoluções parcialmente corretas. O
enunciado da tarefa é o apresentado na Figura 19.
56
Figura 19 – Enunciado da tarefa Vamos desvendar as propriedades.
Na resolução desta tarefa o grupo GII começa por ler o enunciado, surgindo depois uma
discussão em torno deste.
Francisca: Temos de identificar os ângulos. Anita: Olha aqui tem 80 também. Matilde: Então agora 360 menos… Francisca: Olha 120-80. Diana: 40. Francisca: 40 deste e do outro lado 40. Matilde: Não. (…) Francisca: Quantos é que valem os ângulos internos de um triângulo? Não é 180? Matilde: Mas este aqui é obtuso não pode dar 40. Francisca: Mas, Oh Matilde… Matilde: Isto é obtuso como é que te dá 40? (…)
57
Matilde: Aqui é 100. Tens de por 100 em cada lado Francisca: Então porquê? Matilde: Então 80+80 dá 160. 360-160 dá 200. 200 a dividir por 2 dá 100. Francisca: Mas como é que tu sabes que estes ângulos são iguais? Matilde: Porque aqui diz que o lilás tem de ser igual. E a amplitude tem de ser exatamente igual. (voltam ao enunciado) Francisca: Tás a ver. Era isso, lá está. Isto é para ver se isto estava certo. E nós fizemos como se isso tivesse. Isto foi o que ele, mas tu tens de provar que ele ta certo. Tu é que tens de saber se sim ou não. Matilde: Pois… (leem novamente o enunciado) Francisca: Eu não estou a entender o que é que é para fazer. Anita: Pois eu também não. Matilde: Tipo… Francisca: O que nós temos de provar é que isto e isto é igual e isto e isto é igual. Matilde: Olha, daqui aqui vai 1 e daqui aqui vai 1,5. São exatamente iguais. Por isso esta também já está. Francisca: Se tivéssemos um transferidor víamos dos ângulos de fora. Miguel: Eu tenho. Anita: Olha aqui dá 80. Aqui dá 100. Pronto está bem. Francisca: Agora temos de desvendar a propriedade. Fogo! Se pudéssemos chamar a sora. Assim ela dava-nos uma pista. Isto é difícil.
A resolução a seguir apresentada (Figura 20) complementa esta discussão, podendo-se
retirar algumas ilações.
Figura 20 – Resolução apresentada pelo grupo GII ao problema.
58
Como se verifica os alunos começam por descobrir as amplitudes dos ângulos AOB,
AOD e BOC, medindo ainda a distância entre as cordas e os arcos que lhes correspondem. De
seguida, com a ajuda de um transferidor os alunos averiguam a amplitude de cada arco,
concluindo que são iguais dois a dois. De notar que os alunos não aplicam o termo matemático
correto designando por ângulos de fora os arcos, existindo assim um erro de linguagem.
É neste seguimento que os alunos concluem, embora utilizando uma linguagem errada,
que como os triângulos (A, B, C e D) são geometricamente iguais as cordas correspondentes são
geometricamente iguais, pelo que os arcos também são geometricamente iguais. Epiloga-se a
partir desta resposta que os alunos têm um raciocínio correto, contudo não conseguem
concretizar a sua passagem para o papel, notando-se assim a dificuldade em elaborarem a
conclusão a que chegam.
Verifica-se ainda que os alunos não conseguem concluir na totalidade a tarefa, uma vez
que não descobrem a propriedade a que o problema faz referência.
Outra resolução apresentada à tarefa é a do grupo GIII (Figura 21).
Figura 21 – Resolução do problema apresentada pelo grupo G III.
59
Na sua resolução, apenas o aluno Pedro se pronuncia existindo apenas uma pequena
interrupção do aluno Luís, veja-se.
Pedro: Isto é assim. O ângulo DOA mede 100 graus, da mesma forma que o ângulo COB. Luís: Porquê? Pedro: Porque AC é o diâmetro, isto é, uma reta que tem um ângulo de 180. Luís: Hum. Pedro: Se fôssemos medir o comprimento deste arco víamos que dava 80 graus, por isso os arcos vermelhos tem 80 graus e os a lilás medem 100. Concluímos a olho nu que a afirmação está certa. Agora a propriedade tem de ter a ver com ângulos. (…) Pedro: Deixai-vos de brincadeiras. Andai lá. Escrevei a resposta. Através do diálogo, mais precisamente monólogo, verifica-se que o grupo aceita o
processo seguido pelo Pedro, não existindo um confrontar de ideias nem autonomia, podendo
desta forma estar comprometida a atividade realizada.
Observa-se que o Pedro utiliza uma linguagem matemática errónea, dizendo por
exemplo que “o ângulo mede 100 graus” em vez de “a amplitude do ângulo é de 100 graus”.
Relativamente às amplitudes dos ângulos internos de cada triângulo apresentadas,
verifica-se que existe quer um correto conhecimento acerca das classificações dos triângulos
quer um conhecimento acerca do valor da soma dos ângulos internos de um triângulo, que por
sua vez leva ao correto valor das amplitudes. Contudo, a amplitude do ângulo formado pelo arco
de CD e a corda CD marcada pelos alunos deixa um pouco a desejar, uma vez que não é
perceptível o raciocínio acerca deste valor, não se podendo compreender a que tipo de
conhecimentos tinham recorrido. O grupo refere através de uma linguagem incorreta que a
propriedade tem a ver com a soma da amplitude do ângulo interno com a amplitude do seu
externo ser 360º, o que está errado pois a soma será 180º.
Terminando a análise a esta tarefa é de referir que as pistas (Figura 22) deixadas por
cada grupo retratam as dificuldades na concretização desta, uma vez que os alunos se limitam a
referir que a resposta está no enunciado.
Figura 22 – Pistas deixadas pelos grupos na resolução do problema.
60
4.1.5. Síntese
Na análise de dados estão evidenciadas dificuldades que emergem da resolução das
tarefas propostas aos alunos. Portanto, procurou-se nesta análise entender quais as dificuldades
cruciais dos alunos que pudessem hipotecar as suas capacidades de resolução de problemas.
Perante os problemas propostos e tendo em conta as dificuldades que se prendem com
a resolução destes, talvez a primeira dificuldade verificada se prenda com a interpretação do
enunciado, ou seja, a interpretação do texto em si e de informações concretas, não interpretando
os alunos corretamente o que o problema transmite.
Outro tipo de dificuldade que surge na resolução dos problemas propostos é a de
delinear uma estratégia, ou seja, parece que os alunos subentendem que após lerem o
enunciado têm de fazer alguma coisa, lançando-se a percorrer a primeira coisa que lhes ocorre
sem antes planear um caminho a seguir. Quando nada lhes ocorre voltam a debruçar-se sobre o
enunciado ficando de certa forma paralisados na resolução do problema.
Ainda numa ótima de resolução de problemas, os alunos apresentam dificuldades em
elaborar uma conclusão que lhes permita dar uma resposta. Sobressai ainda o facto de os
alunos não terem a espontaneidade de reverem os resultados obtidos, por forma a avaliar se o
processo seguido e a solução a que chegam se adequam ao contexto do problema.
Pode-se ainda constatar através deste estudo dificuldades ligadas à geometria, pois os
alunos evidenciam dificuldades na interpretação de escalas, na aplicação de conhecimentos
geométricos como também apresentam dificuldades em certas construções geométricas.
Verifica-se ainda falta de rigor nas construções bem como erros de linguagem matemática,
existindo desta forma dificuldades na utilização da linguagem relativa a termos matemáticos e
que estão neste estudo ligados à geometria.
Para concluir é de referir a entreajuda e a interação positiva que existiu, sendo evidente
a preocupação dos alunos em discutir as ideias e, ainda, a receptividade às atividades, o que
tornou as aulas num clima favorável à resolução de problemas.
4.2. Perceções dos alunos acerca do contributo da resolução de problemas para a
aprendizagem da Geometria
Nesta secção apresentam-se e analisam-se as perceções dos alunos acerca do
contributo da resolução de problemas, avaliando-se a consecução referente aos objetivos 1 e 3
deste estudo. Para tal, empregou-se como estratégia de avaliação da ação, o questionário. O
61
primeiro grupo de questões não carece de análise visto ser referente aos dados pessoais dos
alunos, pelo que serão apresentados os resultados relativos ao grupo de questões II, III, IV e V e
a sua análise vai ser feita respeitando os diferentes grupos, atribuindo-se ao Discordo Totalmente
(DT), Discordo (D), Indiferente (I), Concordo (C) e Concordo Totalmente (CT) uma escala de 1 a
5 por esta ordem.
O grupo dois diz respeito à metodologia de ensino e à sua eficácia e apresenta quatro
questões. Na primeira questão pretende-se averiguar a opinião dos alunos referente à utilização
da resolução de problemas na lecionação do tópico a que este estudo diz respeito. Veja-se no
Quadro 2 as respostas dadas pelos alunos segundo as opções da escala de Likert
Quadro 2 – Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente à utilização da resolução de problema na lecionação do tópico “circunferência”
Ao longo destas aulas o ensino centrou-se numa metodologia com base na resolução de problemas. Em relação à lecionação do tópico “Circunferência”, o uso desta metodologia
DT/D I C/CT
Aumentou o meu interesse pelo seu estudo. - 16% 84% 4,11 Contribuiu para o meu sucesso na disciplina de Matemática.
- 11% 89% 4,11
Facilitou a minha aprendizagem. - 11% 89% 4,11 Facilitou a descoberta e a compreensão dos conteúdos. - 11% 89% 4,16 Ajudou-me a melhorar a capacidade de análise e seleção de informação.
- 11% 89% 4,05
Ajudou-me a melhorar a capacidade de raciocínio. - 11% 89% 4,21 Ajudou-me a melhorar a capacidade de organização de ideias.
- 5% 95% 4,32
Ajudou-me a melhorar a capacidade de exposição de ideias/comunicação.
- 11% 89% 4,11
Ajudou-me a melhorar a capacidade de defesa de ideias. - 16% 84% 4,11 Fez-me perceber a sua importância para o meu dia-a-dia. 5% 11% 84% 4,05 Fez com que a minha maneira de ver a matemática melhorasse.
- 26% 74% 3,84
Da análise do Quadro 2 destaca-se a grande percentagem de alunos (95% - 18 alunos)
que considera que a resolução de problemas ajudou a melhorar a capacidade de organização de
ideias. Verifica-se, ainda, que a maioria dos alunos (17 alunos) considera que o recurso à
resolução de problemas ajudou a melhorar quer a capacidade de análise e de seleção de
informação quer a capacidade de raciocínio, aumentando ainda o interesse pelo estudo do
tópico “circunferência” (16 alunos), facilitando a descoberta e a compreensão dos conteúdos e
contribuindo para o sucesso na disciplina de matemática (17 alunos).
Por forma a percecionar as dificuldades sentidas na resolução de problemas
questionaram-se os alunos acerca destas, obtendo-se como respostas as ilustradas no Quadro 3.
62
Quadro 3 – Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente às principais dificuldades sentidas na resolução de problemas
As minhas dificuldades principais sentidas na resolução de problemas surgiram
DT/D I C/CT
Na interpretação do enunciado. 53% 5% 42% 2,63
No estabelecimento de uma estratégia de resolução.
16% 16% 68% 3,47
Na execução da estratégia de resolução. 53% 11% 36% 2,74
Na explicação do processo de resolução. 48% 26% 26% 2,63
Na interpretação/justificação dos resultados. 26% 26% 48% 3,05
Na elaboração das conclusões. 48% 16% 36% 2,68
Verifica-se, no Quadro 3, que a maioria dos alunos (13 alunos) sente dificuldades no
estabelecimento de uma estratégia de resolução. Os alunos aludem, ainda, como principais
dificuldades sentidas a interpretação/justificação dos resultados (9 alunos) e a interpretação do
enunciado (8 alunos). É importante referir que estas dificuldades estão evidenciadas ao longo da
análise às resoluções das tarefas.
Querendo perceber a opinião dos alunos acerca das aulas se tornarem ou não mais
motivadores recorrendo à resolução de problemas, questionaram-se os alunos. A Figura 23 dá
conta das respostas obtidas, verificando-se que a maioria dos alunos da turma (13 alunos)
concorda, 5 alunos concordam totalmente e 1 aluno fica indiferente.
Figura 23 – Percentagem de alunos segundo as opções de resposta no que concerne às aulas se tornarem mais motivadoras com o recurso à resolução de problema.
0% 0%
5%
69%
26% Discordo Totalmente
Discordo
Indiferente
Concordo
Concordo Totalmente
63
Por forma a entender melhor de que forma esta metodologia torna as aulas mais
motivadoras foi pedido aos alunos que fundamentassem a sua opinião. Os alunos aludem-na
como uma dinâmica facilitadora e desenvolvedora da aprendizagem em que existe interação dos
alunos. As respostas da Bruna, do Pedro e da Beatriz são exemplo disso: “esta dinâmica torna,
sem dúvida, as aulas muito mais motivadoras e facilita a aprendizagem, pois há interação entre
os alunos” (Bruna), “fazendo problemas e errando ou acertando aumentam a aprendizagem”
(Pedro) e “ao resolver problemas desenvolvemos mais a nossa aprendizagem e se conseguirmos
resolvê-los ficamos mais motivados” (Beatriz). Os alunos referem também que o auxílio do
professor na resolução de problemas contribui não só para a aprendizagem mas ainda para o
desenvolvimento da capacidade dos alunos em resolver problemas. Exemplo desta opinião é a
fundamentação proferida pela Marta: “resolver problemas com a ajuda de um professor ajuda
imenso na aprendizagem da matéria, dá-nos oportunidade de desenvolver mais a nossa
capacidade de resolução de problemas”.
Por fim, na última questão deste grupo, pretende-se saber a opinião acerca de existir
diferenças entre um exercício e um problema. O gráfico da Figura 24 traduz a opinião dos alunos
acerca dessa diferença.
Figura 24 – Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente a existirem diferenças entre um exercício e um problema.
Pela leitura do gráfico verifica-se que a maioria dos alunos da turma (13 alunos)
consente existirem diferenças, 4 alunos não concordam e para 2 alunos é indiferente.
Pediu-se aos alunos que expressassem a sua opinião. Relativamente aos 13 alunos que
concordam existirem diferenças entre um exercício e um problema, verifica-se perante as suas
fundamentações que consideram um exercício como algo mais concreto em que a informação
está explícita, enquanto um problema exige mais concentração, interpretação, conhecimentos,
5% 16%
10%
58%
11%
Discordo Totalmente
Discordo
Indiferente
Concordo
Concordo Totalmente
64
sendo necessária a extração adequada da informação que o problema lhes fornece para
poderem chegar a uma resposta tal como se pode contemplar nas fundamentações da Matilde
“ambos precisam do nosso raciocínio mas há diferenças. Enquanto que num exercício as coisas
estão explicitas, num problema nós é que pensamos para chegar aos tópicos, retiramos dados
para tirar conclusões e resolver o problema (…)”, da Diana “sim porque exercícios podem ser
algo básico e problemas requer muita mais aprendizagem e concentração” e da Marta “acho
que são coisas diferentes. Um exercício é resolver uma mera conta matemática ou coisa do
género. Um problema matemático já é para aplicar todos os conceitos aplicados na realidade e
apresentar uma solução se possível”.
As fundamentações apresentadas pelos alunos que discordam ou ficam indiferentes em
existirem diferenças recaem sobre o facto de que um exercício é um problema e para resolver
quer um problema quer um exercício é necessária atenção e que ambos requerem uma
resposta como é o caso da opinião da Leonor “um exercício e um problema matemático, para
mim, são iguais, pois ambos requerem atenção e capacidade de organizar a informação para os
resolver”, do Santiago “porque um exercício é um problema matemático” e do Nuno “nós às
vezes escrevemos exercício e é basicamente um problema”.
Sendo o trabalho de grupo eleito como formato de ensino assim como a discussão
coletiva tornou-se pertinente abordar as perceções dos alunos acerca destes, como também a
apreciação acerca das tarefas realizadas. Deste modo, o terceiro grupo do questionário dá a
conhecer a opinião dos alunos relativamente às tarefas e ao formato de ensino.
No Quadro 4 constam as opiniões dos alunos da turma no que concerne à resolução de
problemas em grupo e da sua análise destaca-se que a maioria dos alunos da turma (18 alunos)
considera que o trabalho em grupo na realização dos problemas permite organizar as ideias e
exprimi-las com clareza e aprender os conteúdos relacionados ao tópico “circunferência”. Para
além disso, facilita a aprendizagem e a descoberta e a compreensão dos conceitos,
contribuindo, ainda, para a discussão de ideias, tornando as aulas mais motivadoras. Verifica-se,
também, que 17 alunos consideram que a realização dos problemas em grupo lhes permite ter
uma atitude mais positiva perante a aprendizagem, tomar iniciativas e decisões e desenvolver o
raciocínio.
65
Quadro 4 – Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente à realização dos problemas em grupo
A realização dos diferentes problemas em grupo DT/D I C/CT
Permitiu-me organizar as ideias e exprimi-las com clareza. - 5% 95% 4,11 Permitiu-me ter uma atitude mais positiva perante a aprendizagem.
- 11% 89% 4,11
Permitiu-me tomar iniciativas ou decisões. - 11% 89% 4,05 Permitiu-me aprender os conteúdos relacionados ao tópico “Circunferência”.
5% - 95% 4,16
Permitiu-me ser mais autónomo e não depender tanto do professor.
5% 11% 84% 3,89
Permitiu-me corrigir os próprios erros. - 11% 89% 4,26
Permitiu-me ter uma impressão positiva da geometria. - 26% 74% 3,89
Permitiu-me usar a imaginação e ser criativo. - 11% 89% 4,11
Permitiu-me ter um papel mais ativo na aprendizagem. - 16% 84% 4,16
Permitiu-me desenvolver o raciocínio. - 11% 89% 4,05
Facilitou a minha aprendizagem. 5% - 95% 4,21
Facilitou a descoberta e a compreensão dos conceitos. 5% 5% 89% 4,00 Ajudou-me a melhorar a capacidade de exposição de ideias/comunicação.
- 26% 74% 3,89
Contribuiu para a discussão de ideias. - 5% 95% 4,26
Tornou as aulas mais motivadoras. - 5% 95% 4,47
Permitiu-me desenvolver o trabalho de equipa e ver a importância de respeitar as ideias dos meus colegas.
- 16% 84% 4,21
Relativamente ao tempo dispensado para a realização dos problemas, a maioria dos
alunos da turma (17 alunos) refere ter sido suficiente, sendo que 1 aluno considera insuficiente
e outro aluno fica indiferente. A tradução destes valores são os apresentados na Figura 25.
Figura 25 – Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente ao tempo dispensado para a realização dos problemas.
As quatros questões seguintes pediam que os alunos mencionassem os problemas que
lhes despertaram maior e menor interesse e também aqueles em que sentiram mais e menos
dificuldades, solicitando ainda que indicassem algumas razões. Relativamente aos problemas
0%
5%
5%
74%
16% Discordo Totalmente
Discordo
Indiferente
Concordo
Concordo Totalmente
66
que despertaram maior interesse existe por parte dos alunos consenso acerca destes, sendo o
problema do tesouro perdido e os problemas apresentados na aula carrossel os mais elegidos
entre os alunos. Exemplos dessas alusões são as respostas, respetivamente, da Matilde, da
Diana, Luís, Pedro e Camila: “o do comboio, foi engraçado porque tinhamos o tempo
contabilizado, as pessoas estavam todas a discutir ideias, etc... Todos a raciocinar, a escrever, a
resolver os problemas e sempre sem a ajuda dos professores”; “o que me interessou mais foi
quando fizemos 3 grupos e cada grupo deixa uma pista para o outro grupo para conseguir
resolver”; “aqueles que tínhamos de deixar pistas para os outros grupos”, “o do mapa do
tesouro pois foi aquele que me deu mais pica a resolver”; e “o do tesouro. Porque parecia um
jogo”. Relativamente aos problemas que despertaram menos interesse, os alunos não referem
nenhum.
No que concerne aos problemas que sentiram mais dificuldades os alunos referem
maioritariamente os problemas da aula carrossel, nomeadamente, o problema apresentado na
etapa amarela, embora estes tenham sido, como visto anteriormente, os que mais interesse
despertaram nos alunos. De entre as várias respostas com menção a esses problemas, veja-se a
resposta da Marta “quando fizemos o ''carrossel'' na sala de aula, haviam 3 problemas senti
bastante dificuldade em dois deles (verde e amarelo) não sabia nem sequer como começar”, do
Rui “o papel amarelo da aula carrocel”, da Ana “um papel amarelo que a sora Juliana nos deu,
que o pai de um rapaz lhe deixou um problema e ele tinha que ver umas medidas”, da Matilde
“o do comboio pois como não tinhamos os professores para dar uma pequena ajuda e tinhamos
o tempo contabilizado tornou-se stressante e ficando assim difícil concentrar-se, mas continua a
ser das preferidas” e do Miguel “o problema do convite”.
Das respostas dos alunos relativamente aos problemas que despertaram menos
dificuldades, verifica-se que estes recaem sobretudo sobre o problema do tesouro perdido, como
refere o Rodrigo “mapa do tesouro. Porque foi interessante” e o Vasco “o do mapa do tesouro”,
e os problemas em que os alunos tinham de descobrir o local ideal para a construção, por
exemplo, de uma antena ou de uma casa, como alude a Marta “os problemas em que tínhamos
que encontrar o lugar certo para pôr ou colocar qualquer que fosse o objeto do problema”, “das
antenas”.
A pergunta a seguir prendia-se com o facto da importância de resolver problemas em
grupo, sendo que 18 dos alunos da turma estão de acordo com a afirmação apresentada,
existindo 1 aluno que fica indiferente, tal como sugere a Figura 26.
67
Figura 26 – Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente à importância de resolver problemas em grupo.
Por forma a complementar a opinião dos alunos foi pedido que fundamentassem a
opção escolhida. A Ana fica indiferente e aponta como fundamentação o facto de não gostar
muito de trabalhar em grupo “eu não gosto muito de trabalhar em grupo porque às vezes
existem pessoas que não fazem nada e outras que fazem tudo”.
No que concerne aos alunos que concordaram com a afirmação, verifica-se a
consonância entre as suas fundamentações uma vez que referem que o trabalho de grupo na
resolução de problemas contribui para a discussão de ideias, troca de opiniões, a entreajuda e
desperta mais a atenção e a compreensão da matéria, como é o exemplo das respostas da
Beatriz “eu acho que é importante resolver problemas em grupo porque aprendemos bastante
quando não sabemos algo, em grupo, começamos a perceber porque os membros que sabem
explicam aos que não sabem e assim aprendemos todos”, do Nuno “ajuda e completamo-nos
uns aos outros”, da Matilde “concordo pois em grupo podemos discutir as diferentes
opiniões/ideias”, da Carolina “são discutidas diferentes ideias, descobrir quais são as erradas e
quais são as certas. Desperta muito a atenção dos alunos e ajuda-nos a perceber melhor a
matemática” e do Santiago “porque assim estamos mais unidos e ajudamo-nos uns aos outros”.
Questionou-se, ainda, os alunos acerca da apresentação/discussão coletiva,
apresentando-se as respostas dos alunos no quadro abaixo (Quadro 5) e, da sua leitura,
averigua-se que a maioria dos alunos da turma (18 alunos) considera que a fase de
apresentação/discussão permite respeitar as opiniões dos colegas e tomar conhecimentos de
outras estratégias de resolução utilizadas, possibilitando ainda a que os alunos tomem
consciência da importância da sua postura durante a apresentação dos trabalhos. Verifica-se
0% 0%
5% 21%
74%
Discordo Totalmente
Discordo
Indiferente
Concordo
Concordo Totalmente
68
ainda a vantagem que este momento tem numa aula relativamente aos alunos se sentirem
integrados no ambiente de aprendizagem (17 alunos).
Quadro 5 – Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente à fase de apresentação/discussão após a realização dos problemas em grupo
A fase de apresentação/discussão após a realização dos problemas em grupo permitiu-me
DT/D I C/CT
Expressar as minhas opiniões. - 16% 84% 4,05 Aperceber a importância de considerar diversos pontos de vista.
- 16% 84% 4,11
Respeitar as opiniões dos meus colegas. - 5% 95% 4,37
Sentir integrado(a) no ambiente de aprendizagem. - 11% 89% 4,37
Tomar consciência da importância da minha postura durante a apresentação dos trabalhos.
- 5% 95% 4,42
Sentir a importância da utilização de uma linguagem correta.
- 11% 89% 4,26
Verificar a necessidade de organizar logicamente as ideias principais.
- 11% 89% 4,05
Tomar conhecimento de outras estratégias de resolução utilizadas pelos meus colegas.
- 5% 95% 4,32
Aprender os conteúdos relacionados com o tópico lecionado.
- 5% 95% 4,21
A última questão relativa a este grupo pretendia averiguar a opinião dos alunos referente
à importância de apresentar os resultados obtidos após o trabalho em grupo. A Figura 27 é bem
explícita, verificando-se que os alunos realmente consideram importante a fase de apresentação
dos resultados à turma.
Figura 27 – Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente à importância da apresentação dos resultados à turma.
Por forma a compreender melhor a opinião dos alunos pediu-se que fundamentassem a
sua opção. Das respostas obtidas verifica-se o facto de os alunos considerarem que na
apresentação dos resultados à turma existe a oportunidade de tomarem conhecimento de outras
0% 0% 0%
58%
42% Discordo Totalmente
Discordo
Indiferente
Concordo
Concordo Totalmente
69
estratégias de resolução, de verem o raciocínio aplicado pelos outros grupos, de corrigirem os
erros cometidos, de exporem e discutirem os diversos pontos de vista, referindo ainda que essa
discussão torna a aula mais interessante, chegando todos juntos por fim a uma conclusão. Veja-
se, por exemplo, a fundamentação da Marta “fazendo, cada grupo, no fim, a apresentação à
turma do seu trabalho dá-nos a oportunidade de ouvir outras ideias e desenvolver, assim, a
nossa capacidade de resolução de problemas”, da Clara “porque assim se o nosso raciocínio
estiver errado podemos ter uma discussão com os nossos colegas”, da Matilde “com as
diferentes opiniões há discussão o que torna a aula muito mais interessante e empolgante pois
com a ajuda dos professores tiram-se as duvidas uns aos outros e explicam-se as opiniões”, da
Diana “é importante porque assim podemos ouvir outras estratégias de resolver problemas”, da
Bruna “concordo, pois há discussão e troca de ideias, algo que acho bom para a aprendizagem”
e do Rodrigo “porque na apresentação via-se quem fez certo ou errado e depois chegávamos
todos a uma conclusão”.
O penúltimo grupo de questões do questionário prendia-se em perceber a opinião dos
alunos relativamente ao recurso à tecnologia ao longo da intervenção, nomeadamente, o recurso
ao Geogebra e à plataforma moodle.
Assim, a primeira questão deste grupo refere-se à utilização do Geogebra como se pode
verificar no Quadro 6.
Quadro 6 – Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente do recurso ao Geogebra
O recurso ao Geogebra permitiu-me DT/D I C/CT
Organizar as ideias e exprimi-las com clareza. - 16% 84% 4,00
Usar a imaginação e ser criativo. - 21% 79% 4,00
Estabelecer várias estratégias. - 16% 84% 4,26
Corrigir os próprios erros. - 11% 89% 4,16
Ter uma impressão favorável da geometria. - 26% 74% 4,00
Aprender mais facilmente. - 16% 84% 4,32
Ser mais autónomo. - 21% 79% 4,05
Através dos dados do Quadro 6 verifica-se que 17 alunos da turma considera que o
recurso ao Geogebra permitiu-lhes corrigir os próprios erros. Destaca-se ainda o facto de 16
70
alunos terem como opinião que o Geogebra permite organizar as ideias e exprimi-las com
clareza, estabelecer estratégias e aprender mais facilmente.
A questão subsequente pedia aos alunos que após darem a sua opinião (Figura 28)
acerca de o Geogebra lhes ter estimulado a aprendizagem, a fundamentassem.
Figura 28 – Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente à utilização do Geogebra ter estimulado a aprendizagem.
Da leitura do gráfico pode-se concluir que 14 alunos da turma consideram o Geogebra
como estimulador da aprendizagem, 4 alunos ficam indiferentes e 1 aluno discorda com a
afirmação.
Relativamente ao aluno que discorda não apresenta qualquer fundamentação e dos
alunos que consideram ser indiferente, as suas fundamentações recaem à volta de “a utilização
do geogebra ajudo-me muito mas não sei se me estimulou muito”. Dos alunos que opinam
concordar, as suas fundamentações incidem no facto de o Geogebra facilitar as construções
geométricas e de não ser necessário despender muito tempo, aludindo-se as argumentações da
Camila “é mais fácil construir os objetos” do Rodrigo “é mais rápido e mais fácil de construir as
coisas. É divertido” e da Marta “fazendo problemas no Geogebra ficámos com mais tempo ou
seja podemos fazer mais problemas sem requerer muito ''esforço'' uma vez que as ferramentas
do Geogebra o fazem”.
As quatro últimas perguntas referem-se à plataforma moodle. Desta forma, questionou-
se os alunos acerca do recurso à plataforma como complemento à aprendizagem, sendo que no
Quadro 7 estão referenciadas as perceções dos alunos.
0%
5% 21%
48%
26% Discordo Totalmente
Discordo
Indiferente
Concordo
Concordo Totalmente
71
Quadro 7 – Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente ao recurso à plataforma moodle
Como complemento à minha aprendizagem, o recurso à plataforma moodle
DT/D I C/CT
Contribui para desenvolver e construir os meus conhecimentos relativos à unidade didática abordada.
5% 26% 68% 3,74
Foi importante para a partilha de informação e construção do conhecimento.
5% 26% 68% 3,68
Promoveu, através das ferramentas de comunicação, uma maior interação aluno/aluno e professor/aluno.
5% 21% 74% 3,79
Estimulou e favoreceu o processo de aprendizagem. 5% 16% 79% 3,74
Contribui para uma aprendizagem mais autónoma e responsável.
5% 21% 74% 3,68
Analisando o quadro conclui-se que 15 alunos da turma referem que o recurso à
plataforma moodle estimulou e favoreceu o processo de aprendizagem, 14 alunos consideram
que promoveu uma maior interação aluno/aluno e professor/aluno e contribuiu para uma
aprendizagem mais autónoma e responsável. De referir que o aluno que discorda com todas as
opções não recorreu à plataforma moodle a não ser aquando do pedido aos alunos para
responderem ao questionário.
Solicitou-se aos alunos na questão seguinte que referissem o local onde utilizavam mais
vezes a plataforma moodle, verificando-se através da leitura do gráfico (Figura 29) que a maioria
dos alunos da turma (17 alunos) utiliza a plataforma em casa.
Figura 29 – Número de alunos segundo as opções de resposta relativamente ao local onde utilizam a plataforma moodle.
Por forma a compreender o porquê de por vezes não utilizarem a plataforma, sentiu-se a
necessidade de questionar os alunos relativamente a este aspeto, sendo que pela leitura do
gráfico (Figura 30) se pode obter essa informação.
17
2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Nú
mer
o d
e al
un
os
Em casa
Na escola
72
Figura 30 – Número de alunos segundo as opções de resposta relativamente à não utilização da plataforma na maioria das vezes.
Verifica-se, portanto, que nove alunos referem como motivo a falta de acesso à internet,
dois alunos aludem a dificuldade em navegar pela plataforma e um aluno refere a falta de
motivação. Lê-se ainda que sete alunos referem ter outro motivo dando como exemplo a falta de
tempo, de interesse e de necessidade.
Com a última pergunta pretendia-se perceber em que medida o recurso à plataforma
moodle foi importante como complemento à aprendizagem presencial, pedindo aos alunos que
fundamentassem as suas opiniões com base na opção tomada (Figura 31).
Figura 31 – Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente à importância do recurso à plataforma moodle como complemento à aprendizagem presencial.
Pela leitura do gráfico pode-se concluir que 13 alunos da turma anuem que a plataforma
moodle é um complemento importante, 1 aluno discorda com tal facto e 5 alunos ficam
indiferentes. O aluno que discorda fundamenta a sua opção dizendo “não precisei”, os 5 alunos
que ficam indiferentes aludem, como é o caso da Carolina “não utilizei muito a plataforma por
isso para mim foi realmente indiferente. Eu prefiro tirar as minhas dúvidas pessoalmente com os
1
9
2
7
0
2
4
6
8
10
Nú
me
ro d
e a
lun
os
Falta de motivação.
Falta de acesso à internet.
Dificuldades em navegar pela plataforma.
Outro
0%
5% 26%
58%
11% Discordo Totalmente
Discordo
Indiferente
Concordo
Concordo Totalmente
73
professores ou até mesmo com os colegas e pouco utilizei”. Relativamente às fundamentações
dos alunos que concordam que o recurso à plataforma é importante como complemento à
aprendizagem presencial, estas refletem-se no facto de poderem falar com os professores e
assim tirar dúvidas, como exemplo temos a resposta da Beatriz “é importante porque se
tivermos dúvidas quando estamos em casa é só pôr na plataforma e os professores ajudam
logo”, do Rui “podia falar com os professores e tirar as dúvidas” e, ainda, o facto de a
plataforma auxiliar na aprendizagem, tendo como exemplo de respostas a do Santiago “na
plataforma moodle aprendemos e praticamos também em casa” e da Matilde “com a ajuda dos
professores percebíamos facilmente a matéria”.
Para terminar o questionário solicitou-se aos alunos que fizessem uma apreciação global
à intervenção pedagógica. Assim os alunos puderam comentar e opinar acerca do modo como o
tópico “circunferência” foi ensinado e do ambiente criado nas aulas. Relativamente ao modo de
ensino os alunos aludem a que foi uma nova forma de ensino e bem aplicada, que gostaram
muito e que tornou as aulas mais interessantes, estando estes comentários/opiniões presentes,
por exemplo, nas respostas da Francisca “o ensino foi bem conseguido, os trabalhos de grupo
ajudaram muito”, da Carolina “foi bem explicado. Fizemos vários problemas e experiências
sobre essa matéria”, do Rodrigo “muito bem. Foi tudo muito bem explicado”, da Leonor “fiquei a
perceber melhor a matéria devido às explicações dadas nas aulas” e do Rui “gostei muito. A Prof
Ju tirava sempre as dúvidas e ajudava a entender as coisas”.
No que concerne ao ambiente criado nas aulas os alunos referem que foi um ambiente
de entreajuda, colaborativo, descontraído, divertido, estimulador da aprendizagem e da
comunicação entre os alunos, tal como referem, por exemplo, a Diana “foi um ambiente bom,
cheios de diferentes ideias”, a Francisca “um ambiente de colaboração”, a Bruna “foi bom,
estimulou não só a aprendizagem como a comunicação entre os alunos, que nem sempre é a
melhor”, o Miguel “um ambiente de ajuda e sociável”, a Carolina “foi divertido e despertou o
interesse dos alunos pela disciplina e pelas diferentes matérias” e o Vasco “muito muito bom. A
Prof Ju é muito divertida e motiva-nos”.
Como ponto conclusivo, os alunos tinham a oportunidade de deixar, se assim o
entendessem, mais algum comentário, sugestão ou opinião. Dos que optaram por fazer regista-
se o facto de os alunos mostrarem interesse em continuar com aulas deste género, pois são
mais motivadoras, deixando ainda um acalento no coração de quem os acompanhou ao longo
deste ano letivo, pois referem que a Professora é uma pessoa divertida, amiga, especial, que os
74
ajuda, que não se cansa de repetir as coisas até todos perceberem, que lhes dá uma boa
preparação, que é exigente e que tem um bom método de ensino. Estas observações são
mencionadas pela Diana “adorei muito aquelas aulas de trabalho de grupo”, pelo Pedro “que as
aulas passem a ser todas assim”, pela Matilde “penso que poderiam continuar com aulas deste
tipo porque os alunos motivavam-se muito mais apesar de se interessarem mais, aplicavam-se e
raciocinavam melhor”, pelo Miguel “que a Prof Ju deve continuar assim. É muito fixe”, pela
Clara “explica muito bem, é rígida mas ao mesmo tempo brincalhona e esclarece dúvidas”, pelo
Rui “que a Prof Ju continue simpática, divertida e amiga. Gostei muito das aulas dela” e pela
Francisca “a Prof Ju ajuda os alunos em tudo o que pode, tudo mesmo, é uma excelente
professora, tem um método muito bom para ensinar, dá-nos uma grande preparação, e é uma
boa amiga”.
75
CAPÍTULO V
CONCLUSÕES
Este capítulo encontra-se dividido em três secções que apresentam as conclusões deste
estudo tendo em conta os objetivos de investigação propostos, o suporte teórico, as implicações
para o ensino e aprendizagem da Geometria através da resolução de problemas e, por último, as
limitações inerentes ao longo do estudo e as recomendações que se consideram oportunas para
futuras investigações.
5.1. Conclusões do estudo
Nesta secção, pretende-se dar resposta aos objetivos deste estudo apresentados no capítulo
introdutório, tendo em conta o suporte teórico e a análise efetuada sobre os dados recolhidos.
5.1.1. Objetivo 1 – Averiguar as perceções dos alunos acerca do contributo da
resolução de problemas para a aprendizagem da Geometria
Com o questionário aplicado no final da intervenção pretendeu-se averiguar as perceções
dos alunos relativamente ao contributo da resolução de problemas para a aprendizagem da
Geometria, retirando-se da análise efetuada às respostas obtidas ilações.
As apreciações dos alunos acerca da utilização da resolução de problemas ao longo das
aulas mostram a importância que esta tem na aprendizagem da Geometria, pois os alunos
mencionam que a sua utilização facilita a descoberta e a compreensão dos conteúdos
aumentando ainda o interesse pelo seu estudo. Os alunos referem ainda que a resolução de
problemas confere um grau de importância à Geometria, uma vez que estimula não só a sua
aprendizagem como torna as aulas mais motivadoras.
Relativamente a resolver os problemas em grupo, é percetível entre os resultados do
estudo a sua importância para a aprendizagem da Geometria, isto é, os alunos consideram que
o trabalho em grupo na resolução de problemas permite aprender os conteúdos relacionados ao
tópico em estudo e descobrir e compreender os conceitos a aprender. Repare-se, portanto, que
a integração da resolução de problemas e do trabalho de grupo em união contribui para uma
melhor aprendizagem da Geometria.
Os resultados acerca das perceções dos alunos evidenciam a relevância da resolução de
problemas para a aprendizagem da Geometria, apontando estes na mesma direção das palavras
76
proferidas por Abrantes (2005), Van de Walle, Karp e Bay-Williams (2013) e, ainda, da
importância salientada pelo Programa de Matemática do Ensino Básico (2007).
5.1.2. Objetivo 2 – Identificar os erros e dificuldades dos alunos na resolução de
problemas de Geometria
Dos problemas propostos ao longo do estudo ressaltam várias dificuldades manifestadas
pelos alunos e que se prendem com as fases do modelo de Polya (ver 2.1.2.), pois como se
pode verificar através da análise das resoluções dos alunos às tarefas, grande parte das
dificuldades dizem respeito à interpretação do enunciado, pelo que fica comprometida a
compreensão do problema, e ao delinear de estratégias. Ou seja, dificuldades que condicionam
o processo de resolução dos problemas. Está patente ainda o facto de os alunos sentirem
dificuldades em expor as suas fundamentações, processo este que poderia ser facilitado se
existisse a verificação dos resultados obtidos.
Na tarefa O tesouro perdido, as dificuldades manifestadas e anteriormente previstas
prendem-se maioritariamente com a interpretação do enunciado e o delineamento de uma
estratégia de resolução. Verifica-se, ainda, num dos grupos um erro de leitura aquando da
compreensão do problema e que poderia condicionar a interpretação do enunciado. Outra
dificuldade manifestada pelos alunos nesta tarefa prende-se com a fundamentação da solução
encontrada, ou seja, os alunos encaram a solução por eles descoberta correta sem que
considerem necessária a verificação desta, o que se torna fulcral para a não correta resposta
final ao problema (consideram os extremos do segmento de reta como possível local do tesouro).
Assim, no que concerne à resolução de problemas, estão evidenciadas na resolução desta tarefa
dificuldades que se prendem com as fases do modelo de Polya, ou seja, a compreensão do
problema, o estabelecimento de um plano e o retrospeto e que vão ao encontro das dificuldades
apontadas por Vale e Pimentel (2004), Gave (2006), Fonseca (1997), Vale (1997), Esteves
(2010), Teixeira (2011) e por Gonçalves e Viseu (2013).
Relativamente às dificuldades ligadas à Geometria, verifica-se que os alunos as revelam
na interpretação da escala existindo um impasse na resolução do problema, na aplicação de
conhecimentos/conceitos geométricos e nas construções geométricas. Dificuldades que vão ao
encontro das com que o GAVE se deparou nos seus diversos estudos. Identificam-se ainda erros
de linguagem relativos a termos matemáticos concluindo-se assim que os alunos expressam
dificuldades em utilizar uma linguagem matemática correta.
77
A resolução dos problemas subsequentes acarretaram consigo dificuldades idênticas às
referidas anteriormente. Ou seja, numa ótima de resolução, dificuldades que passaram pela
interpretação/compreensão do enunciado, decisão de estratégias, elaboração de conclusões e
avaliação das mesmas e que são anunciadas, como já referido, por diversos autores.
Relativamente à dificuldade de delinear uma estratégia, verificou-se que muitas das vezes os
alunos tinham consigo a ambição de começar imediatamente a resolver o problema, optando
por seguir o caminho de ir fazendo e ver no que resulta. Contudo, ao longo da intervenção este
pensamento foi-se modificando, sendo que era comum ouvir entre as palavras dos alunos temos
de montar uma estratégia, facto este que deixa um sorriso na cara da Professora, pois os alunos
acabam por compreender que ao definirem uma estratégia já têm meio caminho percorrido.
Já numa ótima ligada à Geometria as dificuldades manifestadas vão ao encontro das
anunciadas pelos diversos estudos do GAVE e por Dreyfus (1991), ou seja, dificuldades nas
construções geométricas, na interpretação de escalas, na aplicação de conhecimentos/conceitos
geométricos e dificuldades que se prendem com a visualização, nomeadamente, interpretação
de imagens. De referir também a falta de rigor nas construções geométricas e os erros relativos
a termos matemáticos, ou seja, erros que comprometem a correta utilização da linguagem
matemática. De referir que as dificuldades mencionadas são apontadas pelos alunos na resposta
ao questionário.
Conclui-se, portanto, que a maioria das dificuldades dos alunos na resolução de
problemas com características idênticas aos apresentados ocorre pelo não seguimento das fases
atribuídas por Polya.
5.1.3. Objetivo 3 – Compreender o desempenho dos alunos na aprendizagem do
tópico “a circunferência” através da resolução de problemas
O recurso à resolução de problemas no processo ensino-aprendizagem do tópico
“circunferência” proporcionou ao longo das aulas o desenvolvimento de diversas competências,
nomeadamente, geométricas.
Embora o nível de desenvolvimento não fosse igual em todos os alunos, pôde-se verificar
que existiu um melhoramento de desempenho por parte de todos. Ao longo das várias tarefas
propostas, os alunos melhoraram o seu desempenho relativamente à aprendizagem da figura
geométrica circunferência, pois foi visível aula após aula a aptidão para as construções
geométricas como também para reconhecer e anunciar propriedades inerentes a esta figura,
78
nutrindo-se que a resolução de problemas parece ter ajuda os alunos a concretizarem a
aprendizagem de novos conhecimentos matemáticos.
Verificou-se, ainda, a existência de uma evolução no que concerne à resolução dos
problemas propriamente dita, ou seja, observa-se nos alunos o desempenho positivo
relativamente à dificuldade inicial que tinham em delinearem estratégias para resolver os
problemas, existindo portanto uma melhoria neste aspeto.
Contudo, apesar da grande insistência por parte da professora de que a verificação dos
resultados obtidos é de extrema importância na resolução dos problemas, não existe uma
melhoria nesta vertente.
Por último, de referir que existe uma evolução na adoção de uma linguagem matemática
mais cuidada, tendo sido notória a preocupação dos alunos em saberem se se estavam a
exprimir adequadamente.
5.2. Implicações para o ensino e aprendizagem
Das conclusões deste estudo ressaltam implicações para o ensino e aprendizagem da
Geometria, constatando-se aspetos fortes no recurso à resolução de problemas, fulcrais para a
aprendizagem da Geometria, nomeadamente, do tópico a que este estudo se propôs. É notório o
contributo desta estratégia ao longo das aulas, pois incutiu nos alunos “modos de pensar,
hábitos de persistência e curiosidade, e confiança perante situações desconhecias” (NCTM,
2007, p. 57).
Contudo, certas persistências dos alunos na resolução de problemas podem-se dissipar
se existir um ensino menos centrado no professor e mais centrado na atividade dos alunos, ou
seja, os alunos devem ao longo dos anos de escolaridade envolver-se gradualmente na
construção dos conhecimentos, não ficando à espera que seja o professor o construtor destes,
mas vê-lo antes como mediador do trabalho que têm a desenvolver.
Como tal, considero que devam ser implementadas estratégias semelhantes à
desenvolvida neste estudo, numa ótica em que a resolução de problemas está centrada na
atividade do aluno, existindo por parte destes uma aprendizagem mais significativa em qualquer
tema da Matemática.
79
5.3. Limitações do estudo e recomendações para futuras investigações
Neste estudo, como em qualquer estudo desta natureza, surgem limitações que estão
direta ou indiretamente ligadas à investigação.
Uma limitação inicial foi a seleção de tarefas que proporcionassem aos alunos
experiências estimulantes e interessantes e que tornassem possível o desenvolvimento do
raciocínio matemático e, numa última fase, das tarefas a apresentar neste relatório, ou seja,
perante várias tarefas relacionadas com os mais variados conceitos, senti dificuldades em fazer
uma escolha restrita, pois todas têm o seu grau de significância.
O 9º ano, ano de escolaridade a que este estudo faz referência, é o ano em que os
alunos têm o Exame Nacional de Matemática, pelo que os professores sentem a obrigação de
cumprir à risca o programa e deixar aulas para os alunos poderem resolver exames anteriores
ficando desta forma o tempo bastante condicionado, o que se torna outra limitação para este
tipo de estudo.
Como recomendações para futuras investigações, seria pertinente realizar um estudo
semelhante a este num período de tempo mais alargado, ou seja, em outros anos de
escolaridade onde não existisse o pressionar de ter um exame “à porta” e, ainda, estudos em
que se introduzisse outros recursos que apoiassem a resolução dos problemas e indagar acerca
da sua relação (e.g. materiais manipuláveis). Ressalta-se ainda a importância de, em estudos
futuros, incutir nos alunos o hábito de verificação da solução encontrada se adequar ou não ao
contexto do problema.
Concluindo, considera-se importante continuar com este tipo de estudo, em que a
resolução de problemas ganhe destaque, pois permite ao professor ter um conhecimento mais
legível das dificuldades dos alunos e dos raciocínios envolvidos.
80
81
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Abrantes, P. (1989). Um (bom) problema (não) é (só)… Educação e Matemática, 8, 7-10 e 35. Abrantes, P. (2005). Intervenções em Educação Matemática. Lisboa: APM. Albuquerque, C., Barroso, A. C., Gouveia, M. J., Nápoles, S., Sequeira, L., & Torres, M.
M.(2013). Sobre o novo Programa de Matemática do Ensino Básico. Acedido em 12 de março, 2014, de http://www.fc.ul.pt/pt/noticia/30-09-2013/sobre-o-novo-programa-de-matem%C3%A1tica-do-ensino-b%C3%A1sico.
APM (1989). Parecer sobre os projetos de novos programas de Matemática para o Ensino
Básico. Educação e Matemática, 9, 13-14 e 32. APM (1998). Matemática 2001 – Diagnóstico e Recomendações para o Ensino e Aprendizagem
da Matemática. Acedido em 12 de março, 2014, de http://www.apm.pt/apm/2001/2001_d.htm.
APM (2009). Renovação do Currículo de Matemática. Lisboa: Autor. Bidegáin, N. U. (1999). El aprendizaje cooperativo. Navarra: Departamento de Educación y
Cultura. Bogdan, R. C., & Biklen, S. K. (1994).Investigação qualitativa em educação: uma introdução à
teoria e aos métodos. Porto: Porto Editora. Burkhardt, H. (1983). An International Review of Applications in School Mathematics. Ohio: ERIC. Carrillo, J. (2000). Aportaciones desde la resolución de problemas a la construcción de
conocimientoprofesional. Quadrante, 9 (2), 27-54. Charles, R., Lester, F., & O’Daffer, P. (1994). How to evaluate progress in problem solving.
Reston: NCTM. Corts, A. V., & Callejo de la Vega, M. L. (2004). Matemática para aprender a pensar. Porto: ASA
Editores. Denzin, N. K. (2009). The Research Act: a Theorical Introduction to Sociological Methods. New
Jersey: Transaction Publishers. Díaz, M. V., & Poblete, A. (2001). Contextualizando tipos de problemas matemáticos en el aula.
Revista de didáctica de las matemáticas,45, 33-41. Dreyfus, T. (1991).Advanced Mathematical Thinking Processes. In D. Tall (Ed.), Advanced
Mathematical Thinking (pp. 25-41). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
82
Esteves, A. (2010). Resolução de problemas no tema Lugares Geométricos: O papel dos recursos na atividade matemática dos alunos, Relatório de Prática de Ensino Supervisionada, Universidade de Lisboa.
Estrada, M. F., Sá, C. C., Queiró, J. F., Silva, M. C., & Costa, M. J. (2000). História da
Matemática. Lisboa: Universidade Aberta. Fonseca, L. (1997). Processos utilizados na resolução de problemas por futuros professores de
Matemática. In D. Fernandes, F. Lester, A. Borralho & I. Vale (Orgs.), Resolução de problemas na formação inicial de professores de matemática: Múltiplos contextos e perspetivas (pp. 39-70). Aveiro: Grupo de Investigação em Resolução de Problemas.
Frank, M. L. (1992). Resolução de problemas e concepções acerca da Matemática. Educação e
Matemática, 21, 21-23. Frederiksen, N. (1984). Implications of Cognitive Theory for Instruction in Problem Solving.
Review of Educational Research, 54(3), 363-407. GAVE (2004). Resultados do Estudo Internacional PISA 2003. Lisboa: Gabinete de Avaliação
Educacional do Ministério da Educação. GAVE (2006). Reflexão dos Docentes do 3º ciclo sobre os Resultados do Exame de Matemática
de 2005, Relatório Técnico, Gabinete de Avaliação Educacional do Ministério da Educação.
GAVE (2010). Relatório – Um olhar sobre os resultados dos exames nacionais. Lisboa: Gabinete
de Avaliação Educacional do Ministério da Educação. GAVE (2011). Exames Nacionais – Relatório 2010. Lisboa: Gabinete de Avaliação Educacional do
Ministério da Educação. GAVE (2012). Exames Nacionais – Relatório 2011. Lisboa: Gabinete de Avaliação Educacional do
Ministério da Educação. GAVE (2013). Relatório – Provas Finais de Ciclo e Exames Finais Nacionais 2012. Lisboa:
Gabinete de Avaliação Educacional do Ministério da Educação. GAVE (2013a). Análise preliminar dos resultados –ProvasFinais de Ciclo e Exames Finais
Nacionais 2013. Lisboa: Gabinete de Avaliação Educacional do Ministério da Educação. Gonçalves, M. I., & Viseu, F. (2013). Aprendizagem dos modelos de grafos, por alunos de MACS
do 11.º ano, através da resolução de problemas. In B. D. Silva, L. S. Almeida, A. Barca, M. Peralbo, A. Franco, & R. Monginho (Orgs.), Atas do XII Congresso Internacional Galego-Português de Psicopedagogia (pp. 4537-4552). Braga: Centro de Investigação em Educação, Instituto de Educação, Universidade do Minho.
Hill, M. M., & Hill, A. (2008).Investigação por Questionário. Lisboa: Edições Sílabo.
83
Johnson, D. W., Johnson, R. T., & Holubec, E. J. (1994). Cooperative Learning in the Classroom. Virginia: ASCD.
Kantowski, M. G. (1977). Processes Involved in Mathematical Problem Solving. Journal for
Research in Mathematics Education, 8(3), 163-180. Krulik, S., & Rudnick, J. A. (1993).Reasoning and Problem Solving: A Handbook for Elementary
School Teachers. Boston: Allyn and Bacon. Lopes, A. V., Bernardes, A., Loureiro, C., Varandas, J. M., Oliveira, M. J.C., Delgado, M. J.,
Bastos, R., & Graça, T. (1992). Atividades matemáticas na sala de aula. Lisboa: Texto Editora.
Martinho, M. H. (2007). A comunicação na sala de aula de matemática: um projeto colaborativo
com três professoras do ensino básico, Tese de Doutoramento, Universidade de Lisboa. Mayer, R. E. (2003). Mathematical Problem Solving. In Royer, J. M., Mathematical Cognition (pp.
69-92). Greenwich: Information Age Publishing. Ministério da Educação (2001). Currículo Nacional do Ensino Básico – Competências Essenciais.
Lisboa: Ministério da Educação – Departamento de Educação Básica. Ministério da Educação (2007). Programa de Matemática do Ensino Básico. Lisboa: Autor. Ministério da Educação (2013). Programa de Matemática do Ensino Básico. Lisboa: Autor. NCTM (1991). Normas para o Currículo e a Avaliação em Matemática Escolar. Lisboa: APM. NCTM (1994). Normas Profissionais para o Ensino da Matemática. Lisboa: APM. NCTM (2007). Princípios e Normas para a Matemática Escolar. Lisboa: APM. Palhares, P. (1997). Histórias com problemas construídas por futuros professores de
Matemática. In D. Fernandes, F. Lester, A. Borralho & I. Vale (Orgs.), Resolução de problemas na formação inicial de professores de matemática: Múltiplos contextos e perspetivas (pp. 159-187). Aveiro: Grupo de Investigação em Resolução de Problemas.
Penerroud, P. (1999). Dix nouvelles compétences pour enseigner: Invitation au voyage. Paris:
ESF. Pereira, M. (2012). Contributos de um ambiente de geometria dinâmica (Geogebra) e do
geoplano na compreensão das propriedades e relações entre quadriláteros: Um estudo com alunos do 4º ano, Dissertação de Mestrado, Instituto Politécnico de Lisboa.
Polya, G. (1985). A Arte de Resolver Problemas: Um novo aspeto do método matemático. Rio de
Janeiro: Interciência.
84
Ponte, J. P. (1992). Problemas de matemática e situações da vida real. Revista de Educação, 2(2), 95-108.
Ponte, J. P. (2005). Gestão curricular em Matemática. In GTI (Ed.), O professor e o desenvolvimento
curricular (pp.11-34). Lisboa: APM.
ProjAVI (2013). PISA 2012, Portugal – Primeiros Resultados. Lisboa: Grupo de Projeto para a Avaliação Internacional de Alunos do Ministério da Educação.
Salvador, C. C. (1997). Aprendizaje escolar y construcción del conocimiento. Barcelona: Paidós
Educador. Savenye, W. C., & Robinsom, R. S. (2001). Qualitative research issues and methods: an
introduction for educational technologists. In D. Jonassen (Ed.), Handbook of research for educational communications and technology (pp. 1171-1195). New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates.
Siemon, D., & Booker, G. (1990).Teaching and Learning FOR, ABOUT and THROUGH problem
solving. Vinculum, 27(2), 4-12. Slavin, R. E. (1995).Cooperative learning: theory research, and practice. Boston: Allyn and
Bacon. Sternberg, R. J. (2008). Cognitive Psychology. Belmont, CA: Wadsworth. Teixeira, C. (2011). Resolução de Problemas em Contexto Geométrico: O Estudo de Triângulos
no 7.º ano, Relatório de Prática de Ensino Supervisionada, Universidade de Lisboa. Vale, I. (1997). Desempenhos e concepções de futuros professores de Matemática na resolução
de problemas. In D. Fernandes, F. Lester, A. Borralho & I. Vale (Orgs.), Resolução de problemas na formação inicial de professores de matemática: Múltiplos contextos e perspetivas (pp. 1-37). Aveiro: Grupo de Investigação em Resolução de Problemas.
Vale, I., & Pimentel, T. (2004). Resolução de Problemas. In P. Palhares, Elementos de
Matemática para professores do Ensino Básico (pp. 7-51). Lisboa: Lidel. Van de Walle, J. A., Karp, K. S., & Bay-Williams, J. M. (2013). Elementary and Middle School
Mathematics: Teaching Developmentally, 8th ed. Boston: Pearson. Veloso, E. (2000). Geometria – Temas atuais. Lisboa: IIE. Vieira, L., Cebolo, V., & Araújo, F. (2006). Resolução de Problemas. In P. Palhares & A. Gomes
(Orgs.), MAT1C – desafios para um novo rumo (pp. 39-47). Braga: IEC-UM. Yin, R. K. (2003).Case study research: design and methods. Thousand Oaks: SAGE Publications.
85
ANEXOS
86
87
ANEXO 1
Pedido de autorização à Diretora da Escola
88
Exma. Senhora Presidente da CAP
Agrupamento de Escolas de ____
No âmbito do Mestrado em Ensino de Matemática no 3º Ciclo do Ensino Básico e no
Ensino Secundário da Universidade do Minho, eu, Juliana Braga, tendo em conta o Projeto de
Intervenção Pedagógica Supervisionada (Estágio) sob o tema A resolução de problemas no
ensino-aprendizagem do tópico circunferência: uma experiência com alunos do 9.º ano de
escolaridade pretendo recolher produções dos alunos às diversas tarefas e efetuar gravações
áudio nas aulas de Matemática para recolha de dados de forma a possibilitar tal estudo.
Estes instrumentos que decorrem da observação e análise das práticas de ensino e
aprendizagem contribuirão para a compreensão e melhoria dessas práticas, sendo necessário
efetuar tais recolha de dados.
Quer no processo de recolha de dados quer numa análise futura destes, comprometo-
me a garantir o anonimato em relação à identidade dos alunos e, ainda, a enviar um pedido de
autorização devidamente endereçado a todos os encarregados de educação da referida turma.
Assim, solicito a autorização de V. Exa., de forma a viabilizar este projeto de intervenção
pedagógica supervisionada.
Agradeço a sua atenção.
Com os mais respeitosos cumprimentos.
______, 09 de novembro de 2013
A Professora Estagiária
___________________________ (Juliana Maria Prado Braga)
Autorização
____ de ______________ de 2013
A Presidente da CAP
___________________________
( )
89
ANEXO 2
Pedido de autorização aos Encarregados de Educação
90
Exmo.(a) Senhor (a)
Encarregado(a) de Educação do(a) aluno(a)
_________________________________
n.º___ da turma __ do 9.º ano
No âmbito do Mestrado em Ensino de Matemática no 3º Ciclo do Ensino Básico e no
Ensino Secundário da Universidade do Minho, eu, Juliana Braga, tendo em conta o Projeto de
Intervenção Pedagógica Supervisionada (Estágio) sob o tema A resolução de problemas no
ensino-aprendizagem do tópico circunferência: uma experiência com alunos do 9.º ano de
escolaridade pretendo recolher produções dos alunos às diversas tarefas e efetuar gravações
áudio nas aulas de Matemática para recolha de dados por forma a possibilitar tal estudo.
Estes instrumentos que decorrem da observação e análise das práticas de ensino e
aprendizagem contribuirão para a compreensão e melhoria dessas práticas, sendo necessário
efetuar tais recolha de dados.
Quer no processo de recolha de dados quer numa análise futura destes, comprometo-
me a garantir o anonimato em relação à identidade do seu educando, bem como dos restantes
alunos da turma.
Após a autorização concedida pela Presidente da CAP, solicito de igual modo autorização
a V. Exa., de forma a viabilizar este projeto de intervenção pedagógica supervisionada.
Agradeço a sua colaboração.
Com os mais respeitosos cumprimentos.
_________, 18 de novembro de 2013
A Professora Estagiária
___________________________ (Juliana Maria Prado Braga)
(nome) ________________________________________________, Encarregado(a) de Educação, do(a)
aluno(a) __________________________________, n.º _____, declaro que autorizo a recolha das
produções às diversas tarefas e a gravação áudio das referidas aulas.
______________________________________
(Assinatura do Encarregado(a) de Educação)
91
ANEXO 3
Questionário
92
93
94
95
96
97
98
99
ANEXO 4
Enunciados das tarefas analisadas
100
Escola Básica ___________________
Lugares Geométricos
9.º ano Turma:
1. O tesouro perdido
Imagina que o teu grupo encontra uma mala antiga que contém um mapa de uma ilha
(Figura 1) onde estão assinalados cinco pontos importantes que permitem descobrir um tesouro
e um código que diz o seguinte:
“O tesouro está a menos de 1km das palmeiras, a mais de 2km
do barco, a mais de 3km da árvore e igualmente distanciado
do monte de areia fantasma e do local para onde se dirige a
tartaruga”.
Conseguirá o teu grupo encontrar o tesouro?
Figura 1
Nota: Deves assinalar a cor azul o local onde se encontra o tesouro.
A: Árvore B: Barco
M: Monte de areia fantasma P: Palmeiras
T: Local para onde se dirige a tartaruga
Escala 1:100000
101
Escola Básica ____________________
Retas e circunferências
9.º ano Turma:
O centro da mó do moinho
O Xavier e os amigos foram visitar um moinho em ruínas. Do moinho de pedra só resta
a mó que ajudou a moer o milho de muitos fazendeiros. Ao olhar para o a mó o Xavier
disse aos amigos:
“Parece que o furo da mó não está no seu centro”
O Senhor António, dono do moinho, propôs-lhes o desafio:
“Digam lá então se o furo está ou não no centro da mó?”
Será que podes ajudar o Xavier e os amigos a descobrir se o furo se encontra ou não no
centro da mó?
102
Escola Básica __________________
Retas e circunferências
9.º ano Turma:
Vamos desvendar as propriedades
O pai do Gonçalo é Professor de Matemática e como os seus alunos se portam
exemplarmente nas aulas, decidiu presentear cada aluno com uma frase que o
caracterizava. Decidiu entregar cada uma das frases num envelope, pedindo ajuda ao
Gonçalo, pois seria uma forma de ver como ia a sua matemática.
Apresentou-lhe a sua ideia dizendo que queria que o envelope fosse colado numa base
circular de maneira que os lados desse envelope formassem arcos geometricamente
iguais dois a dois.
O Gonçalo no dia seguinte deixou o seguinte esquema na secretária do pai com um
comentário:
As afirmações do Gonçalo estarão corretas? Após verificares se sim ou não conseguirás
desvendar as propriedades que ele descobriu?
Pai, aqui está a construção
que me pediste. Os arcos a
vermelho são
geometricamente iguais
assim como os arcos a lilás.
Como és professor de
matemática deixo-te só
marcada a amplitude de um
ângulo.
Ah, depois digo-te uma
propriedade muito
interessante que descobri
com esta construção
103
Escola Básica __________________
Retas e circunferências
9.º ano Turma:
O lago de água quente
Num parque de uma cidade existe um lago retangular com uma ilha circular. Um
engenheiro decidiu construir um lago com a forma de dois triângulos isósceles
geometricamente iguais com um lado em comum nessa ilha de maneira a tornar o local
mais atrativo para as pessoas. Mas esqueceu-se de construir uma ponte. O Presidente
da Câmara decidiu abrir um concurso para o projeto de construção de uma ponte para
que as pessoas pudessem elas próprias verificar que a água era quente. O projeto tinha
de obedecer a um único critério: a ponte tinha de ser tangente à ilha e ser perpendicular
ao lado comum dos dois triângulos.
O João achou que poderia participar no projeto, pois adorava trabalhar Geometria nas
aulas de Matemática. Após alguns dias de trabalho o João foi apresentar o seu projeto.
Mas como é muito brincalhão e gosta também de desafiar os conhecimentos dos outros
só deixou marcada a amplitude de um ângulo.
Como pode o Presidente da Câmara ter a certeza que a proposta de construção da
ponte apresentada obedece ao critério pedido?