a razão Áurea e os padróes harmônicos na natureza, artes e arquitetura

35Exacta, So Paulo, v. 3, p. 35-48, 2005

Artigos

A razo urea e os padres harmnicos na natureza, artes e arquitetura

Maira Mendias LauroMestranda em Educao

[Ensino de Cincias e Matemtica] USP;Professora na graduao Uninove.

[email protected], So Paulo [Brasil]

Os antigos gregos consideravam mais harmoniosos e belos os retngulos que estivessem numa proporo conhecida como urea. O templo grego Partenon, construdo no sculo V a.C., talvez seja o exemplo mais emblemtico do emprego dessa pro-poro que revela a preocupao em realizar obras de extrema harmonia. Esse critrio esttico atravessou os sculos e ado-tado, ainda hoje, por alguns artistas. Neste trabalho, apresen-tamos e discutimos alguns exemplos do emprego dessa propor-o nas artes, nas obras arquitetnicas e tambm na natureza e nas propores do corpo humano, demonstrando a presena da Geometria no mundo nossa volta.

Palavras-chave: Padres harmnicos. Pentagrama. Razo urea. Retngulo ureo.

Exacta, So Paulo, v. 3, p. 35-48, 200536

1 Introduo

A Geometria possui dois grandes tesou-

ros: um o Teorema de Pitgoras; o outro

a Proporo urea. Podemos comparar

o primeiro a uma poro de ouro e o

segundo a uma jia preciosa. (KEPLER,

apud VILA, 1985, p. 14).

O que h de comum entre a estrutura espiral

das conchas de alguns seres vivos marinhos, no

crescimento das plantas, nas propores do corpo

humano e dos animais, nas pinturas do perodo re-

nascentista, nas obras arquitetnicas da Antiguidade

Clssica, da Idade Mdia e at da Era Moderna?

H cerca de 2,5 mil anos esta questo j intri-

gava os gregos. Euclides (323-285 a. C.), o mate-

mtico grego autor de Os elementos, obra funda-

mental da geometria, descreveu em sua Proposio

VI, uma maneira de se buscar o modo mais har-

monioso de [...] dividir um segmento de reta em

mdia e extrema razo [...] (EUCLIDES, apud

EVES, 1992, p. 42), ou seja, dividir um segmento

de reta em duas partes, de tal modo que a razo

entre a menor e a maior parte fosse igual razo

entre a maior parte e o segmento total. O resulta-

do dessa diviso simbolizado pela letra grega (l-se ) e sempre igual a 0,618...1. Tal razo

conhecida como razo urea ou divina pro-

poro.

A razo urea pode ter sido conhecida

mesmo antes da poca dos gregos. O his-

toriador grego Herdoto relata que os sa-

cerdotes egpcios disseram que na pirmi-

de de Giseh, a razo entre suas dimenses

(EVES, 1992, p. 44).

As propriedades estticas e artsticas dessa

razo so mostradas no retngulo ureo um

retngulo cujos lados esto na razo de 1 para

ou de para 1, como veremos mais adiante. Esse retngulo considerado como o mais agradvel

aos olhos. Muitos trabalhos famosos de arquitetu-

ra e arte, tais como o Partenon grego, a catedral de

Chartres e alguns quadros de Leonardo da Vinci,

foram baseados no retngulo ureo.

A razo urea tambm foi estudada pelo

monge Luca Pacioli, de Veneza, que escreveu um

tratado De divina proportione (Sobre a propor-

o divina), em 1509. Tal obra foi ilustrada por

Leonardo da Vinci (EVES, 1992, p. 44).

O matemtico italiano Leonardo de Pisa, o

Fibonacci (1180-1250), em seu livro Liber Abaci,

de 1202 (CARVALHO, 1990, p. 6), props o se-

guinte problema:

Um casal de coelhos torna-se produ-

tivo aps dois meses de vida e, a partir

de ento, produz um novo casal a cada

ms. Comeando com um nico casal de

coelhos recm-nascidos, quantos casais

existiro ao nal de um ano?

Tal problema deu origem a uma seqncia: 1,

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144... Essa seq-

ncia, em que todo termo, aps o segundo, igual

soma dos dois que o precedem, recebeu o nome

de seqncia de Fibonacci. Em 1753, o escocs

Robert Simson descobriu que a razo entre dois

termos sucessivos quaisquer dessa seqncia tende

a como limite, medida que se avana mais e mais ao longo da seqncia, como est mostrado

na Tabela 1 (compare os nmeros da tabela com o

exemplicado na nota 1).

Hoje sabemos que aparece tambm na na-tureza por exemplo, na margarida, no girassol e

na concha do molusco nutilo em particular nas

propores do corpo humano.

A razo urea representa, segundo os estu-

diosos, a mais agradvel proporo entre dois seg-

mentos ou duas medidas.


Artigos

Esperamos que, com este trabalho, por meio

do apanhado histrico e das aplicaes da razo

urea, no mundo nossa volta, possamos contri-

buir para a difuso do tema nas diversas reas do

conhecimento.

2 O retngulo ureo

Chama-se retngulo ureo (ou retngulo de

ouro) um retngulo ABCD com a seguinte proprie-

dade: se o dividirmos em um quadrado e um outro

retngulo, o novo retngulo ser semelhante ao ori-

ginal. Ver Ilustrao 1.

Sendo a e b as dimenses do retngulo origi-

nal, a denio acima se traduz na relao:

ba

= a - bb

De onde segue que b2 = a2 - ab b2 + ab - a2 = 0

Resolvendo a equao do 2 grau na incgnita b

> 0, temos:

b = - a + a52

b = ( 5 - 12 )a ba

= 5 - 12

Se invertermos a razo entre os segmentos, teremos:

ab

= 25 - 1

ab

= 2(5 + 1)(5 - 1)(5 + 1)

ab

= 2(5 + 1)4

ab

= 5 + 12

A razo obtida entre os lados do retn-

gulo ABCD conhecida como razo urea e,

para identic-la, usamos a letra grega (). Denotaremos por , o inverso dessa razo:

= 5 - 12

0,618 e = 5 + 12

1,618

3 A construo geomtrica de retngulo ureo

Se desenharmos um retngulo, no qual a

razo entre os comprimentos dos lados, menor e

Tabela 1: Razo entre termos sucessivos da seqncia de Fibonacci

1 1 = 1,00000000000000000000000000000

1 2 = 0,50000000000000000000000000000

2 3 = 0,66666666666666666666666666667

3 5 = 0,60000000000000000000000000000

5 8 = 0,62500000000000000000000000000

8 13 = 0,61538461538461538461538461538

13 21 = 0,61904761904761904761904761905

21 34 = 0,61764705882352941176470588235

34 55 = 0,61818181818181818181818181818

55 89 = 0,61797752808988764044943820225

89 144 = 0,61805555555555555555555555556

144 233 = 0,61802575107296137339055793991

233 377 = 0,61803713527851458885941644562

377 610 = 0,61803278688524590163934426229

610 987 = 0,61803444782168186423505572442

987 1.597 = 0,61803381340012523481527864746

1.597 2.584 = 0,61803405572755417956656346749

2.584 4.181 = 0,61803396316670652953838794547

4.181 6.765 = 0,61803399852180339985218033998

6.765 10.946 = 0,61803398501735793897314087338

Fonte: A autora.

A E B

D F Cb a - b

b

aIlustrao 1: Retngulo ureoFonte: A autora.


maior, igual razo urea, obteremos um retn-

gulo ureo (ou retngulo de ouro):

Construir um quadrado ABCD qualquer.

Encontrar o ponto mdio M do lado AB.

Com centro em M e raio MC, traar um arco

de circunferncia que intercepta o prolonga-

mento do lado AB no ponto E.

AE base do retngulo ureo.

Para complet-lo, basta traar uma reta per-

pendicular a AE pelo ponto E, que intercepta

o prolongamento de CD no ponto F.

AEFD um retngulo ureo.

Justicativa da construo:

Seja a o lado do quadrado ABCD construdo.

Por construo, o tringulo MBC retngulo.

Dessa forma, aplicando o Teorema de Pitgoras,

temos:

MC2 = MB2 + BC2 MC2 = (a2)2 + a2

MC2 = 5a2

4

Portanto: MC = a5

2

ME = MC, por construo.

Assim, temos:

AE = AM + ME AE = a2

+ a52

AE = a2

(5 + 1)

ADAE

= aa2

(5 + 1)

ADAE

= 2(5 - 1)(5 + 1)(5 - 1)

ADAE

= 2(5 - 1)4

ADAE

= (5 - 1)2

ADAE

0,618

Portanto AEFD um retngulo ureo.

4 O segmento ureo

Seja AB um segmento de comprimento a com

um ponto C em seu interior que o divide em duas

partes com a seguinte propriedade: a razo entre a

menor parte e a maior parte igual razo entre

a maior parte e o segmento total. Chamaremos b

maior parte (segmento AC).

A B E

D C F

M

Ilustrao 2: Construo de retngulo ureoFonte: A autora.

A B E

D C F

M

a2

a

a

a a

a2

Ilustrao 3: Justicativa da construo de retngulo ureoFonte: A autora.

CBAC

= ACAB

A BC

a

b

Ilustrao 4: Segmento ureo

Fonte: A autora.


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O segmento AC com essa propriedade

chamado segmento ureo de AB (diviso urea ou

diviso em mdia e extrema razo de um segmento).

A relao CBAC

= ACAB

precisamente a relao

ba

= a - bb

se pusermos AB = a e AC = b.

Logo, AC = (5 - 12 )AB .

5 A construo geomtrica de segmento ureo

dado o segmento AB de medida a.

Determinar o ponto mdio M de AB.

Traar uma reta perpendicular ao segmento

AB pela extremidade B.

Determinar o ponto D na perpendicular tal

que BD = BM.

Traar uma reta pelos pontos A e D.

Com centro em D, traar uma circunferncia

de raio BD.

Determinar os pontos E e E de interseco entre

o segmento AD e a circunferncia anterior.

AE = AC = segmento ureo interno de

AB : AE = AC = (5 - 12 )AB

AE = AC = segmento ureo externo de AB : AE = AC = (5 + 12 )AB

Justicativa da construo:

Sejam a = AB e b = AC. Como CBAC

= ACAB

,

ento temos ba

= a - bb

ou seja, b2 + ab = a2.

O primeiro membro da equao tornar-se-

um quadrado perfeito se lhe for adicionado (a2)2:

b2 + ab + (a2)2 = a2 + (a2)

2

(b + a2) = a2 + (a2)2

ou seja, teremos um tringulo retngulo de

hipotenusa b + a2

e catetos a e a2

.

Fazendo y = b + a2

, teremos:

y2 = a2 + (a2)2 y2 = a2 + a2

4

y2 = 5a2

2 y = 5

2a

Logo,

b + a2

= 52

a b = (5 - 12 )a AC 0,618 AB.

Por outro lado,

AC = AE = AD + DE

AC = (b + a2) + a2

AC= b + aA BM

DE

E

CCIlustrao 5: Construo de segmento ureoFonte: A autora.

A BM

D

E

Ca

ba2

a2

Ilustrao 6: Justicativa da construo de segmento ureoFonte: A autora.


Substituindo o valor de b encontrado,

teremos:

AC = (5 - 12 )a + a AC = a5 -a + 2a

2

AC = a5 + a2

AC = (5 + 12 )a

AC = (5 + 12 )AB ou seja, AC 1,618 AB.

6 A espiral urea

Um retngulo ureo tem a interessante proprie-

dade de que, se o dividirmos num quadrado e num

retngulo, o novo retngulo ser tambm ureo.

Repetindo este processo innitamente, teremos:

E unindo os cantos dos quadrados gerados,

obtm-se uma espiral denominada espiral urea:

7 O pentagrama

A razo urea fascinou os antigos gregos e,

por razes estticas, foi largamente usada por ar-

tistas e arquitetos. Ela conhecida desde os pitag-

ricos (sculo V a.C.). Essa razo foi descoberta no

pentgono regular, que exibe segmentos divididos

na razo urea. Talvez esse tenha sido o motivo

que levou os discpulos de Pitgoras a adotarem

o pentagrama (pentgono regular estrelado) como

smbolo de sua seita.

Esta gura envolve um misticismo, provavel-

mente, em razo de suas propriedades pois, ao de-

senharmos um pentgono regular e traarmos suas

diagonais veremos que elas se cruzam e formam

um novo pentgono interior ao anterior.

Ilustrao 7: Seqncia innita de retngulos ureosFonte: A autora.

Ilustrao 8: Espiral urea sobre seqncia innita de retngulos ureosFonte: A autora.

A

C

BIlustrao 9: PentagramaExemplo da ocorrncia da diviso urea num pentgono regular: a interseco de duas de suas diagonais divide qualquer uma delas em mdia e extrema razo. Por exemplo:

ACCB

= CBAB

0,618

Fonte: A autora.

ACCB

CBAB


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Consideremos o tringulo ABC que issce-

les especial, ou seja, a bissetriz de um dos ngulos

da base divide o tringulo em dois novos tringu-

los issceles:

Podemos vericar que os tringulos ABC e BCD so semelhantes, pois tm os ngulos corres-pondentes congruentes e, portanto, os lados cor-respondentes proporcionais:

ba - b

= ab

b2 + ab - a2 = 0

ba

= 5 - 12

ba

0,618

Tal tringulo chamado tringulo issceles ureo. Assim como no retngulo ureo, identica-se a propriedade de permitir que, ao traarmos a bissetriz de um dos ngulos da base, o novo trin-gulo seja tambm de ouro. Repetindo este proces-so innitamente, temos:

E tambm podemos obter uma espiral urea:

8 A razo urea e as obras arquitetnicas

O retngulo ureo foi muito utilizado nas

construes gregas. Os gregos o consideravam a

gura geomtrica mais harmoniosamente dimen-

sionada e o Partenon, ou templo da deusa Atena,

construdo no sculo V a.C. pelo arquiteto e escul-

tor Fdias, um dos mais famosos exemplos dessas

construes.

O Partenon possui, na fachada principal, um

quase exato retngulo ureo:

Outra obra arquitetnica importante a

Catedral de Notre Dame de Chartres, na Frana,

considerada a rainha das catedrais gticas,2 a fonte

em pedra e luz de toda uma f.

A

CB

a - b

b

b

ab

A

CB

D

Ilustrao 10: Tringulo issceles ureo no pentagramaFonte: A autora.

Ilustrao 11: Seqncia innita de tringulos ureosFonte: A autora.

Ilustrao 12: Espiral urea sobre seqncia innita de tringulos ureosFonte: A autora.

Ilustrao 13: PartenonFonte: TV Cultura (2001).


No incio do sculo IV, a primeira diocese

de Chartres era um edifcio feito inteiramente

de madeira, de tamanho modesto se comparado

s construes de hoje. Na Idade Mdia, a cate-

dral pegou fogo 13 vezes, em 350 anos; por essa

razo, sua estrutura foi sendo alterada a cada

nova restaurao. Aps o incndio de 1194,

a catedral gtica foi erguida pela populao

da cidade que entendia o trabalho no apenas

como tarefa religiosa, mas tambm como meio

de expiar seus pecados. Em 1220, concluiu-se a

construo. A catedral tem medidas gigantescas,

comparveis s de um estdio e a mais alta

igreja gtica que existe.

Conta-se que a catedral, em sua forma gtica,

favorecida por uma estrela da sorte, pois, desde

1194, ela e toda a localidade tm sido poupadas de

incndios, guerras e outras catstrofes.

O fato de as catedrais gticas permanecerem

estveis indenidamente, apesar da enorme altura,

deve-se sua geometria especial. Foras de presso

e de suco equilibram-se harmoniosamente para

que a estrutura no ceda. Na questo da estabili-

dade, tem importncia particular a disposio re-

tangular de arcos e pilares. Os arcos ogivais so

construdos sobre o pentagrama.

A razo urea se encontra em muitas propor-

es espaciais na catedral. O retngulo ureo foi

utilizado na prpria planta da igreja:

No portal oeste, entrada principal da cate-

dral, h guras vestidas, esculturas que repre-

sentam o profeta Davi, a rainha de Sab e o rei

Salomo, e que foram estruturadas de acordo com

a razo urea.

Ilustrao 14: Catedral de Chartres: vista da entrada principalFonte: Klug (2002, p. 1).

Ilustrao 15: Pentagrama no centro de um octgono no porto do coro da Catedral de ChartresFonte: Klug (2002, p. 71).

Ilustrao 16: Disposio retangular dos arcos e pilares que apiam a igreja num ngulo de 108Fonte: Klug (2002, p. 140).


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A proporo urea tambm est presente

na alta estrutura da catedral e na espessura de

seus pilares.

Mesmo em anos recentes, ainda encontra-

mos artistas e arquitetos que utilizam o retngulo

ureo em seus projetos. Na Ilustrao 20, temos

a foto de uma residncia de Paris, projetada pelo

arquiteto Le Corbusier, em que h dois retngulos

ureos, um deles representado pelo corpo inteiro

da casa e o outro, disposto verticalmente, repre-

sentado pela parte da casa esquerda da escada.

Podemos tambm citar o edifcio-sede da

Organizao das Naes Unidas (ONU), em Nova

York, na qual h trs retngulos ureos dispostos

horizontalmente.

Ilustrao 17: Planta da catedral: AC

= BA

0,618

Fonte: Klug (2002, p. 75).

Ilustrao 18: Figuras vestidas do portal oesteFonte: Klug (2002, p. V).

Partes da cabea

Ombros

Mos segurando livro

Parte inferior do corpo

Ilustrao 19: Retngulo ureo nas guras vestidas do portal oesteFonte: Klug (2002, p. 76).

Ilustrao 20: Residncia da atualidadeFonte: vila (1985, p. 9).

Ilustrao 21: Sede da ONU em Nova YorkFonte: Rocha (1999, p. 105).


Podemos perceber que, apesar das evidentes

diferenas entre as construes apresentadas e

do enorme espao de tempo que as separa, essas

construes so regidas estruturalmente pela pro-

poro urea.

9 A razo urea e o corpo humano

O corpo humano tem sido o maior objeto

de estudo sobre a existncia do segmento ureo

na natureza.

Foi Leonardo da Vinci que chamou a razo

urea de divina proporo, utilizando-a inclusive

na famosa Monalisa (ou Gioconda), de 1502: se

construirmos um retngulo em torno de seu rosto,

veremos que est na proporo urea. Poderemos

tambm subdividir este retngulo usando a linha

dos olhos para traar uma reta horizontal e teremos

novamente a proporo urea. Poderemos conti-

nuar a explorar esta proporo em vrias outras

partes do corpo.

Entre tantas outras aplicaes, a razo

dourada tem lugar reservado tambm nos con-

sultrios de ortodontia. Atualmente, a busca de

tratamentos odontolgicos estticos tem sido

priorizada em diversas reas da odontologia.

Vrios so os recursos utilizados em busca de um

sorriso perfeito. Respeitando as regras da pro-

poro urea e os movimentos mandibulares do

paciente, so utilizados instrumentos para veri-

car o posicionamento correto da arcada dentria

(GOMES et al., 2003).

Observe a Ilustrao 26: os quatro dentes

frontais de cada lado da arcada superior a

parte mais visvel do sorriso esto numa relao

dourada uns com os outros.

Ilustrao 22: Desenho de Leonardo da VinciNo desenho de Leonardo da Vinci representando um velho (provavelmente um auto-retrato), o artista sobreps ao esboo um quadrado dividido em retngulos que se aproximam do retngulo ureo.Fonte: TV Cultura (2001).

Ilustrao 23: MonalisaObserve como a linha dos olhos marca uma diviso urea no comprimento total da face. E tambm a linha da boca uma pro-poro urea da distncia entre a base do nariz e a extremidade do queixo.Fonte: TV Cultura (2001).

Ilustrao 24: Propores ureas no corpo humano faceFonte: TV Cultura (2001).


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Nos ltimos anos, tem sido discutida a

relao da razo urea com a beleza. Um corpo

perfeitamente harmonioso traz relaes ureas.

Como j dissemos, o retngulo ureo conside-

rado a forma geomtrica mais agradvel vista.

Consideramos subjetivamente belas as formas

que correspondem ao corte dourado, enquanto

as que no se baseiam nele no nos agradam.

claro que os conceitos de beleza que pos-

sumos se relacionam a questes culturais. O

que pode ser considerado belo para uma deter-

minada civilizao pode no ser to belo para

outra.

Para exemplicar isso, podemos veri-

car as relaes ureas encontradas nas faces de

dois atores que so considerados os expoentes

da beleza cinematogrca: Tom Cruise e Sophia

Loren. interessante observar que a assimetria

uma das caractersticas principais dos seres

humanos; por isso, foram estudadas as propor-

es apenas de um dos lados do rosto. Um retrato

que seja espelhado, partindo do meio, pode

transformar uma determinada gura pblica

num quase desconhecido.

A beleza desses atores pode no ser aceita

por todos. Por se tratar de guras pblicas, sua

beleza fsica pode ser contestada por aqueles

que no os apreciam como atores. Contudo,

incontestvel que o tipo de padro apresentado

se aproxima das propores ureas.

Ilustrao 25: Propores ureas no corpo humanoO umbigo marca um ponto ureo no comprimento do corpo. Na mo, o tamanho dos dedos est relacionado, de maneira urea, com cada uma de suas articulaes.Fonte: Guimares (1997, p. 65).

Ilustrao 26: Arcada dentriaFonte: TV Cultura (2001).

Ilustrao 27: Tom CruiseFonte: Rocha (1999, p. 134).

Ilustrao 28: Relaes ureas nos atores Tom Cruise e Sophia LorenFonte: Rocha (1999, p. 149).


10 A razo urea e a natureza

O nmero ureo tambm encontrado na

natureza. Se sobrepusermos um pentgono estre-

lado azalia, veremos que ela est formada por

propores ureas.

O mesmo pode ser observado em outras ores

como, por exemplo, na petnia e no jasmim-estrela.

As sementes do girassol ou as orezinhas que

formam a congurao dos sculos da margari-

da-do-campo esto dispostas em dois conjuntos

de espirais sobrepostos, irradiando-se nos sentidos

horrio e anti-horrio. Uma contagem do nmero

de espirais, em cada um dos casos, fornece quase,

invariavelmente, dois termos consecutivos de uma

seqncia de Fibonacci, tais como 21 e 34 ou 34 e

55. (EVES, 1992)

Relaes semelhantes so encontradas em

vrias outras plantas cujas folhas obedecem a um

modelo de desenvolvimento em espiral.

A espiral fornece tambm o padro matem-

tico para o princpio biolgico que regula o cres-

cimento das conchas: o tamanho aumenta, mas o

formato no se altera.

Alm dos padres retangulares, espirais e

pentagonais, a razo urea tambm pode ser

encontrada numa progresso linear. Isso pode

ser observado na estrutura da concha do mar

(Ilustrao 33):

E tambm no padro de desenvolvimento de

uma rvore:

Ilustrao 30: A petnia e o jasmim-estrelaFonte: Rocha (1999, p. 67).

Ilustrao 29: AzaliaFonte: Guimares (1997, p. 65).

Ilustrao 31: GirassolFonte: Doczi (1990, p. 4).

Ilustrao 32: Concha do molusco nutiloFonte: Rocha (1999, p. 63).

Ilustrao 33: Concha do marFonte: Rocha (1999, p. 68).


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Para nalizar, observemos a razo urea presen-

te nas propores da anatomia de alguns animais.

Os peixes da Ilustrao 35 so das guas da

costa canadense do Pacco. Podemos observar

a proporo urea em suas silhuetas e articula-

es. Em alguns casos, como no salmo-prateado

e no mangang, a boca est no ponto de ouro da

altura do corpo.

Encontramos tambm as propores da seo

urea nas formas das diferentes arraias, nas estruturas

sseas das rs e dos cavalos, nos olhos da cauda do

pavo que esto nos pontos de interseo de espirais

ureas, em insetos como os besouros, as borboletas,

as moscas, as liblulas, as abelhas, as vespas, as formi-

gas, os grilos e os louva-a-deus (DOCZI, 1990).

11 Consideraes nais

Como vimos, a razo urea, que conhecida

desde o sculo V a.C. pelos pitagricos, est sendo

ainda hoje usada por diversos artistas. Essa pro-

poro aparece em diversas situaes no mundo

nossa volta, muitas vezes inesperadas.

Os padres harmnicos so encontrados na

natureza, utilizados nas artes, consciente e algumas

vezes inconscientemente, contribuindo para a

cultura do homem desde os tempos antigos.

Com os exemplos apresentados neste traba-

lho, esperamos ter contribudo para mostrar aos

alunos e professores que a Matemtica e, especi-

camente, a Geometria possuem vrias aplicaes

nas diversas reas do conhecimento e que, talvez

com isso, ns, professores, possamos incentivar e

motivar nossos alunos ao estudo da Geometria.

Ilustrao 34: Padro de desenvolvimento de uma rvoreFonte: Rocha (1999, p. 68).

Ilustrao 35: Salmo-prateado, mangang e linguado

Fonte: Doczi (1990, p. 58).

The golden ratio and the harmonic patterns

in nature, arts and architecture

The ancient Greeks considered more harmonious

and beautiful the rectangles that were in a ratio

known as golden. The Greek temple Parthenon,

built in the 5th century B.C., is maybe the most

emblematic example of this ratio usage revealing

their concern to make extremely harmonic

architectonic works. This esthetic criterion

crossed the centuries and is still adopted by some

artists nowadays. Some examples of this ratio

usage in nature, arts, architectonic works and in

the human body are shown and examined in this

work, showing some applications of Geometry in

the world around us.

Key words: Golden ratio. Golden rectangle.

Harmonic patterns. Pentagram.


Notas

1 A razo urea com mais casas decimais dada por 0,61803398874989484820458683436564...

2 Gtico: estilo arquitetnico que nasceu na Europa no sculo XIII e que se caracteriza pelo arco ogival e a distribuio da luz atravs de vitrais.

Referncias

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recebido em: 12 set. 2005 / aprovado em: 3 nov. 2005

Para referenciar este texto:

LAURO, M. M. A razo urea e os padres harmnicos na natureza, artes e arquitetura. Exacta, So Paulo, v. 3, p. 35-48, 2005.

a razão Áurea e os padróes harmônicos na natureza, artes e arquitetura

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