a programação linear
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Trabalho realizado por:
Andreia Silva, nº4
Andreia Nunes, nº5
Andreia António, nº6
Clara Simões, nº9
Diana Rocha, nº11
Escola Secundária Manuel Cargaleiro
PPrrooggrraammaaççããoo LLiinneeaarr
Escola Secundária Manuel Cargaleiro 2
1ª Parte p.
Definição, Aplicação e História da Programação Linear ………………………………. 2
2ª Parte
Resolução de um Problema ……………………………………………………………. 5
Bibliografia …………………………………………………………………………….... 9
PPrrooggrraammaaççããoo LLiinneeaarr
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A Programação Linear (PL) é um conjunto de técnicas que se destina à
resolução de problemas de optimização, ou seja, destina-se, de uma forma geral, à
diminuição dos custos e ao aumento dos lucros, sendo linear tanto a função objectivo
como as restrições. Deste modo, o termo “programação” significa “planeamento” e
“linear” deixa antever que todas as expressões matemáticas utilizadas são funções
lineares.
A Programação Linear tem uma vasta aplicação prática, destinando-se à
resolução de problemas no campo dos sistemas económicos, de produção industrial
ou das intervenções militares. Por exemplo: no planeamento da distribuição e
produção de produtos; no planeamento a curto prazo em aproveitamento
hidroeléctrico; nas decisões ligadas às políticas microeconómicas e macroeconómicas
de governação dos países; na utilização como sub-rotinas para suporte de tarefas
específicas em códigos de programação não linear; formulação de alimentos, rações e
adubos; blendagem de ligas metálicas e petróleo; transporte; localização industrial;
carteira de acções (investimento); alocação de recursos em fábricas, fazendas,
escritórios, etc.; designação de pessoas e tarefas (composição de tabelas de horários) e
corte de barras e chapas.
O desenvolvimento da Programação Linear foi inspirado pelos três tipos de
problemas que se seguem:
Transporte (A)
Considere-se um sistema de distribuição que alimenta cinco armazéns
localizados em diferentes cidades (Lisboa, Seixal, Amadora, Almada e Setúbal) a
partir de três grandes unidades produtoras localizadas em Sintra, Braga e Porto.
Conhecendo-se os custos de transporte, a procura prevista para cada
armazém e as capacidades (máximas) de produção de cada unidade, pretende-
-se optimizar o programa de distribuição.
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Composição (B)
Conhecendo-se os conteúdos calóricos e vitamínicos de diversos alimentos,
bem como os seus preços, pretende-se optimizar a composição da dieta a
adoptar de modo a minimizar o seu custo e a satisfazer níveis mínimos de
calorias.
Formação e Produção (C)
Uma indústria pretende satisfazer uma encomenda em certo prazo, o que
exige aumentar o número de operários especializados. Para este efeito, deverá
contratar novos elementos e usar parte dos seus recursos humanos no treino e
formação de novos elementos. Pretende determinar-se qual o programa
óptimo de contratação e formação, de produção e armazenamento a fim de
satisfazer a entrega pretendida.
PPrroobblleemmaa DDeessiiggnnaaççããoo
ddaa((ss))
aaccttiivviiddaaddee((ss))
IInntteennssiiddaaddee
((iinnccóóggnniittaa))
RReeccuurrssooss ee
ccoorrrreessppoonnddeenntteess
rreessttrriiççõõeess
FFuunnççããoo
OObbjjeeccttiivvoo
A
Transporte do
armazém i para
o armazém j.
Quantidade a
transportar
de i para j
(xij).
Máxima capacidade
produtiva em i; procura
satisfazer em j.
Soma dos custos
de transporte de i
para j em função
de xij.
B
Colocação do
alimento i na
dieta.
Percentagem
de i na dieta
(xi).
Níveis calóricos e
vitamínicos mínimos.
Custo global de
composição.
C
Contratação de
novos
operários na
unidade de
tempo t;
utilização de
parte dos
recursos
humanos na
formação
durante a
unidade t,
sendo t=1, …,
Tem que T é o
prazo de
entrega.
Número de
operários
contratados
em t (xt)
números de
operários
afectados à
produção em
t (yt).
Produção acumulada até
T que deve atingir o
total encomendado;
utilização em t de
operários para formação
não superior aos
existentes em t (já
formados); produção em
t utilizando os operários
já formados e não
afectados à formação em
t.
Custo global de
produção
expresso em
termos do custo
da mão-de-obra e
de
armazenamento.
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Em 1826, Fourier efectuou estudos sobre sistemas lineares de inequações,
sendo o marco das funções lineares sujeitas a restrições lineares.
O russo L. V. Kantorovich deu os primeiros passos na programação linear, em
1939, ao resolver problemas relacionados com a optimização de recursos das
organizações, utilizando um algoritmo primitivo de programação linear como uma
ferramenta ao serviço da Economia. Este visava obter uma maior produção/lucro
possível com base numa utilização óptima dos recursos disponíveis. Pelo seu
contributo neste campo recebeu o prémio Nobel da Economia, em 1975.
A época áurea da programação linear foi na década de 1940, mais
concretamente em 1946, quando George. B. Dantzig inventou e incrementou o
“Método Simplex” como forma de solucionar problemas de optimização relacionados
com questões de logística da Força Aérea dos Estados Unidos da América, aquando da
Segunda Guerra Mundial.
Em 1947, T. C. Koopmans mostra que a programação linear é um modelo
indicado para a análise da teoria económica clássica. Frank L. Hitchcock formulou o
problema base de transporte, quase em simultâneo com o professor Koopmans. Já no
que respeita a problemas de fluxos máximos e a problemas de fluxos de custo mínimo
em rede, considera-se que estes foram formulados e investigados pela equipa de Lester
Ford e Delbert Fulkerson.
Entre 1950 e 1965, desenvolveram-se diversos algoritmos para modelos de
programação linear em rede, nos quais se destacam a especialização do método
Simplex e o método Primal-Dual.
Os desenvolvimentos tecnológicos dos computadores e da informática foram
marcantes para a rápida evolução da programação linear, pois o primeiro problema de
tamanho considerável resolvido pelo Algoritmo do Simplex foi o das dietas de Stingler
com nove equações e setenta e sete variáveis não negativas, gastando cento e vinte
horas Homem nas calculadoras de secretária da época e menos de um segundo nos
actuais computadores pessoais.
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Uma modista possui 100 m2 de tecido de algodão e 140 m2 de tecido de lã.
Uma sweat-shirt necessita de 1 m2 de algodão e 3 m2 de lã e um casaco de 2 m2 de
cada um dos tecidos. Cada sweat-shirt rende 35€ e cada casaco 50€.
a) Quantas sweat-shirts e casacos vendeu a modista, de modo a maximizar a sua
venda?
b) Qual o lucro máximo?
c) Será possível produzir 50 sweat-shirts e 25 casacos? Justifique.
Partindo deste enunciado é possível construir uma tabela para esquematizar os
dados:
x = número de Sweat-Shirts produzidos pela modista
y = número de Casacos produzidos pela modista
Para confeccionar ambos os produtos, Sweat-Shirt e Casaco, existem no total
100 m2 de algodão, sendo necessários 1 m2 de algodão para produzir uma Sweat-Shirt
e 2 m2 para fazer o Casaco. Desta forma, obtém-se a seguinte restrição:
10021 yx
Sweat-Shirt Casaco Total
Algodão 1 m2 2 m2 100 m2
Lã 3 m2 2 m2 140 m2
Lucro 35€ 50€
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Para produzir uma Sweat-Shirt são necessários 3 m2 de lã, enquanto que para
produzir um Casaco são precisos 2 m2. Sabendo que apenas estão disponíveis 140 m2,
obtém-se a restrição seguinte:
14023 yx
Sabendo ainda que a produção é não negativa, obtêm-se mais duas condições:
0
0
y
x
Tendo em conta que cada Sweat-Shirt origina um lucro de 35€ assim, para x
unidades produzidas, obtém-se 35x euros de lucro.
Sabendo que cada Casaco produz um lucro de 50€ então com y unidades produzidas,
obtém-se 50y euros de lucro.
Desta forma a expressão matemática que exprime o lucro é:
50
350
5035
xyL
yxL
Sintetizando:
Variáveis de decisão: x = número de Sweat-Shirts produzidos pela modista;
y = número de Casacos produzidos pela modista.
Função Objectivo: yxL 5035
Restrições:
2
314014023
xyyx
0
0
y
x
Resolvamos o problema graficamente (Método Gráfico):
Como x ≥ 0 e y ≥ 0, a condição obtida está apenas definida no 1º Quadrante.
2
10010021
xyyx
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Na figura seguinte estão representados os pontos (área sombreada) que
respeitam as restrições do problema.
2
100y1
x
2
2140y 2
x
50
353
xy
0
P
Q
R
y1
y2
y3
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Podemos considerar que a solução que procuramos se encontra no polígono
[OPQR].
Os pontos que estão nesta região são designados pontos admissíveis. E os
vértices O= (0,0), P= (0,50), Q= (40,30) e R= (70,0) dizem-se vértices da região
admissível. O ponto Q é a solução óptima do exercício
Tendo em conta os vértices da região admissível, construímos a seguinte tabela:
Pontos x y Lucro (L=35x+50y)
O 0 0 0050035 LL
P 0 50 25005050035 LL
Q 40 30 290040504035 LL
R 70 0 24500507035 LL
a) Quantas sweat-shirts e casacos vendeu a modista, de modo a maximizar a sua
venda?
R: De modo a maximizar a sua venda, a modista vendeu 40 sweat-shirts e 30
casacos.
b) Qual o lucro máximo?
R: O lucro máximo é de 2900€, correspondendo esse valor à venda de 40 sweat-
-shirts e 30 casacos.
c) Será possível produzir 50 sweat-shirts e 25 casacos? Justifique.
140200
100100
140252503
10025250
14023
1002
yx
yx
R: É impossível produzir este número de sweat-shirts e casacos, pois a lã não
chega para fazer essa quantidade de peças de roupa, visto que seriam necessários
200 m2 de lã, quando apenas estão disponíveis 140 m2.
V
F
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TAVARES, L. V., & CORREIA, F. N. (1999). Optimização Linear e não Linear –
Conceitos, Métodos e Algoritmos. Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian.
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Geometria no Plano e no Espaço – 11.º ano – Ensino Secundário. Lisboa: Lisboa
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Lisboa: Texto Editores.
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