A METODOLOGIA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO DE Á REA E

PERÍMETRO DE FIGURAS RETANGULARES

Autora: Neucely Gonçalves Vicente1

Orientadora: Márcia Cristina de Costa Trindade Cyrino2

RESUMO

Este artigo visa relatar uma experiência de ensino e aprendizagem de Matemática, desenvolvida com alunos de 5ª série/6º ano do Ensino Fundamental, em que se teve como objetivo, oportunizar a construção ou mobilização de alguns conceitos geométricos, noções de medidas com cálculos de área e perímetro de formas retangulares, por meio da Resolução de Problemas. O trabalho com a Metodologia Resolução de Problemas proporcionou aos alunos, o encorajamento de atitudes, a confiança e o respeito ao modo de pensar dos colegas. A experiência também possibilitou desenvolverem e compreenderem conhecimentos matemáticos, atribuindo significados aos conteúdos trabalhados, devido ao contato com problemas que apresentavam situações cotidianas e a capacidade de criarem estratégias considerando seus conhecimentos prévios.

Palavras – chave: Resolução de Problemas; Medidas; Perímetro; Área.

1 INTRODUÇÃO

Enquanto professora de Matemática, percebo que grande parte de

meus alunos demonstram pouco conhecimento, quando é necessário identificar

e relacionar elementos geométricos e alguns conceitos de grandezas e

medidas, que envolvem o cálculo de área e perímetro de figuras planas.

1 Professora de Matemática da Rede Estadual de Educação do Paraná, ² Doutora em Educação pela USP. Professora do Departamento de Matemática e do Programa

de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática da Universidade Estadual de Londrina (UEL).

Mesmo conhecendo certas definições, encontram dificuldades na resolução de

problemas.

Diante das dificuldades de alguns alunos em resolver problemas, na

busca de viabilizar alternativas e contribuir na questão referente às dificuldades

apresentadas, o desenvolvimento desse trabalho consistiu em oportunizar aos

alunos a construção de alguns conceitos geométricos, noções de medidas

com cálculos de área e perímetro de formas retangulares, por meio da

Resolução de Problemas, juntamente com uma sequência de ações didáticas

com uso de materiais manipuláveis.

Com a Resolução de Problemas nas aulas de Matemática, os alunos

terão a oportunidade de desenvolverem e compreenderem conceitos

matemáticos, dando-lhes significados e capacidades de criarem estratégias

que levem em consideração aquilo que já conhecem, aproveitando, por

exemplo, a presença da Matemática em situações do cotidiano.

Consideramos ser importante possibilitar aos alunos, perceberem a

utilização de certos conteúdos matemáticos em situações-problema, além de

entenderem que o conhecimento matemático não está desassociado do nosso

cotidiano.

Assim, o trabalho com a utilização da Metodologia Resolução de

Problemas para o ensino de Área e Perímetro de figuras retangulares, que foi

desenvolvido e aqui será relatado, também teve como intuito possibilitar ao

aluno, o contato com problemas que apresentassem situações cotidianas,

podendo motivá-lo para o desenvolvimento do raciocínio matemático, já que, o

ser humano é desafiado a resolver problemas a todo o momento em seu dia a

dia, e, a Matemática possibilita a ele, elaborar estratégias ou pensar em outros

caminhos para resolver problemas.

2 ASPECTOS TEÓRICOS

Nas Diretrizes Curriculares Educacionais (DCE, 2006), a Resolução

de Problemas é apresentada como uma das tendências metodológicas para o

ensino da Matemática. Assim, se apresenta como uma possibilidade para o

ensino de Área e Perímetro de figuras retangulares em sala de aula. Ao

resolverem problemas que envolvam esses conteúdos, os alunos podem

estudar conceitos de Geometria em articulação com conceitos relacionados a

Grandezas e Medidas.

Nesse sentido, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) de

Matemática assinalam quanto à Geometria, o seguinte

O estudo da Geometria é um campo fértil para trabalhar com situações-problema e é um tema pelo qual os alunos costumam se interessar naturalmente. O trabalho com noções geométricas contribui para a aprendizagem de números e medidas, pois estimula o aluno a observar, perceber semelhanças e diferenças, identificar regularidades etc. (BRASIL, 1998, p. 51)

Em relação ao Estudo de Grandezas e Medidas, de acordo com as

DCE (2006), é importante salientar que

No Ensino fundamental, propõe-se o uso das medidas como elemento de ligação entre numeração e geometria, cuja ideia é, essencialmente, a de que medir é comparar. Ao observar objetos, ao explorar um determinado espaço, essa ideia pode ser trabalhada em várias situações que envolvem o aluno, de maneira que ele faça comparações e classificações (PARANÁ, 2006, p.29).

Levando em conta considerações como essas, desenvolvemos

nosso trabalho a respeito de Área e Perímetro de figuras retangulares por meio

da Resolução de Problemas, aqui relatado. Mas, o que é um problema?

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais

Um problema matemático é uma situação que demanda a realização de uma sequência de ações ou operações para obter um resultado. Ou seja, a solução não está disponível de início, no entanto é possível construí-la. Em muitos casos, os problemas usualmente apresentados aos alunos não constituem verdadeiros problemas porque, via de regra, não existe um real desafio nem a necessidade de verificação para validar o processo de solução (BRASIL, 1998, p.41).

A palavra "problema" ocorre em muitas situações e tem diferentes

significados. De acordo com Dante (1998, p. 09-10), problema "é qualquer

situação que exija o pensar do indivíduo para solucioná-lo.” O autor ainda

complementa, ao direcionar o conceito para a área matemática, que problema

matemático "é qualquer situação que exija a maneira matemática de pensar e

conhecimentos matemáticos para solucioná-la.”

Allevato e Onuchic (2009, p. 7), baseando-se em Van de Walle

(2001), ressaltam que, “um problema é qualquer tarefa ou atividade para a qual

os estudantes não têm métodos ou regras prescritas ou memorizadas, nem a

percepção de que haja um método específico para chegar à solução correta.”

Estas autoras consideram ainda que “problema refere-se a tudo aquilo que não

sabemos fazer, mas que estamos interessados em fazer” (ibidem).

A partir das definições apresentadas por esses autores, podemos

afirmar que um problema envolve a busca por estratégias de resolução para se

obter uma solução, estratégias e solução que não são fornecidas de antemão

para os alunos antes do trabalho com os problemas. E por que se trabalhar

com a Resolução de Problemas?

Para Domingos (2010), no cotidiano

[...] enfrentamos problemas o tempo todo. Em cada novo problema nos vemos diante de um novo desafio que exige algum tipo de estratégia, podendo ser criada e aplicada de maneira a nos conduzir para a solução do mesmo. Assim, pensamos que quem quer resolver um problema deve escolher uma estratégia que será aplicada num plano de tentativas (p. 70 - 71).

Ao optar por utilizar a Resolução de Problemas em suas aulas, o

professor precisa estar atento sobre como desenvolver seu trabalho segundo

essa estratégia metodológica. Portanto, as autoras Allevato e Onuchic (2009, p.

10), dentre as recomendações deixadas por Krulik e Rudnick (2005), no livro

Matemática com Problemas Dirigidos – Aplicação da Matemática além das

soluções, em que são apresentados problemas e orientações ao professor para

sua aplicação em sala de aula, tem-se que

[...] resolução de problemas e raciocínio deve ser o foco principal do currículo de matemática. Mas [...] os professores, além disso, devem também trabalhar algoritmos, habilidades e conceitos matemáticos básicos. [...] os autores destacam aspectos importantes a serem considerados naquela aula. Que conceitos matemáticos pretendem-se construir a partir do problema proposto? Qual é o foco relativo aos tópicos matemáticos próprios desse problema? Há outros tópicos relacionados a esse foco, ou seja, conteúdos matemáticos adicionais que possam ser traduzidos para a aula como novo conhecimento? Que estratégias de resolução podem ser utilizadas para obter a solução do problema dado? (ALLEVATO; ONUCHIC, 2009, p.10).

Entretanto, de acordo com essas autoras, não há “formas rígidas

para colocar em prática essa metodologia” (ibidem, p. 7). Uma proposta,

sugerida pelas autoras, de organização das tarefas em etapas a serem

desenvolvidas pelo professor e pelos alunos, é apresentadas a seguir

1)Preparação do problema - Selecionar um problema visando à construção de um novo conceito, princípio ou procedimento. Esse problema será chamado problema gerador. É bom ressaltar que o conteúdo matemático necessário para a resolução do problema não tenha ainda sido trabalhado em sala de aula.

2)Leitura individual - Entregar uma cópia do problema para cada aluno e solicitar que seja feita sua leitura. 3)Leitura em conjunto - Formar grupos e solicitar nova leitura do problema, agora nos grupos. 3)Leitura em conjunto - Formar grupos e solicitar nova leitura do problema, agora nos grupos.

• Se houver dificuldade na leitura do texto, o próprio professor pode auxiliar os alunos, lendo-lhes o problema.

• Se houver, no texto do problema, palavras desconhecidas para os alunos, surge um problema secundário. Busca-se uma forma de poder esclarecer as dúvidas e, se necessário, pode-se, com os alunos, consultar um dicionário.

4)Resolução do problema - De posse do problema, sem dúvidas quanto ao enunciado, os alunos, em seus grupos, num trabalho cooperativo e colaborativo, buscam resolvê-lo. Considerando os alunos como co-construtores da “matemática nova” que se quer abordar, o problema gerador é aquele que, ao longo de sua resolução, conduzirá os alunos para a construção do conteúdo planejado pelo professor para aquela aula. 5)Observar e incentivar – Nessa etapa o professor não tem mais o papel de transmissor do conhecimento. Enquanto os alunos, em grupo, buscam resolver o problema, o professor observa, analisa o comportamento dos alunos e estimula o trabalho colaborativo. Ainda,

o professor como mediador leva os alunos a pensar, dando-lhes tempo e incentivando a troca de ideias entre eles.

• O professor incentiva os alunos a utilizarem seus conhecimentos prévios e técnicas operatórias já conhecidas necessárias à resolução do problema proposto. Estimula-os a escolher diferentes caminhos (métodos) a partir dos próprios recursos de que dispõem. Entretanto, é necessário que o professor atenda os alunos em suas dificuldades, colocando-se como interventor e questionador. Acompanha suas explorações e ajuda-os, quando necessário, a resolver problemas secundários que podem surgir no decurso da resolução: notação; passagem da linguagem vernácula para a linguagem matemática; conceitos relacionados e técnicas operatórias; a fim de possibilitar a continuação do trabalho.

6)Registro das resoluções na lousa – Representantes dos grupos são convidados a registrar, na lousa, suas resoluções. Resoluções certas, erradas ou feitas por diferentes processos devem ser apresentadas para que todos os alunos as analisem e discutam. 7) Plenária – Para esta etapa são convidados todos os alunos para discutirem as diferentes resoluções registradas na lousa para os colegas, para defenderem seus pontos de vista e esclarecerem suas dúvidas. O professor se coloca como guia e mediador das discussões, incentivando a participação ativa e efetiva de todos os alunos. Este é um momento bastante rico para a aprendizagem. 8) Busca do consenso – Após serem sanadas as dúvidas e analisadas as resoluções e soluções obtidas para o problema, o professor tenta, com toda a classe, chegar a um consenso sobre o resultado correto. 9) Formalização do conteúdo – Neste momento, denominado “formalização”, o professor registra na lousa uma apresentação “formal”- organizada e estruturada em linguagem matemática - padronizando os conceitos, os princípios e os procedimentos construídos através da resolução do problema, destacando as diferentes técnicas operatórias e as demonstrações das propriedades qualificadas sobre o assunto.(ALLEVATO e ONUCHIC, 2009, p.7-8).

Sendo assim, concordo com as autoras Allevato e Onuchic, que a

Resolução de Problemas pode contribuir para que o aluno participe na

construção de conceitos.

A seguir, apresenta-se o relato de uma experiência desenvolvida

seguindo a proposta dessas autoras.

3 RELATO DA EXPERIÊNCIA

A Implementação do Projeto de Intervenção Pedagógica, por meio

da produção didático-pedagógica elaborada, que originou esse artigo, foi

realizada com 20 alunos de 5ª série/6º ano do Ensino Fundamental do período

matutino. As aulas foram ministradas no horário contraturno, onde o início de

cada aula estava previsto para 13h30min e término até as15h30min.

Antes de iniciarmos a implementação, foi realizada uma reunião com

os pais dos alunos envolvidos, para a apresentação da proposta de trabalho e

para que assinassem a autorização de participação de seus filhos no projeto.

Na aula inicial para implementação do projeto, os alunos foram

reunidos na sala de aula. Em seguida, apresentei as seguintes orientações a

respeito de como seria desenvolvido o nosso trabalho:

� entrega de uma folha avulsa contendo um problema para cada aluno;

� alunos organizados em grupos de 4 integrantes;

� entrega de materiais para cada grupo: lápis preto, lápis de cor,

réguas, transferidores, uma fita métrica; dicionários de Português que

a escola disponibiliza aos alunos ( de diferentes autores);

� leitura individual e em grupo, do problema;

� após as leituras do problema, os alunos tentariam resolvê-lo em grupo,

buscando um consenso;

� cada grupo elegeria um representante, para apresentar a resolução no

quadro de giz;

� momento da plenária, os alunos poderiam discutir, analisar as

resoluções, esclarecer as dúvidas, chegar num consenso a respeito da

resolução correta para o problema;

� momento da formalização dos conteúdos abordados.

Na sequencia, foi entregue o primeiro problema aos alunos.

PROBLEMA 1:

Dona Célia é costureira. Ela comprou uma peça com 64 metros de tecido

(Figura 1 ) e vai dividi-la em 20 partes de mesmo comprimento, pois pretende

fazer de cada parte uma toalha de mesa retangular, para vendê-las.

a) Qual será a medida do comprimento de cada parte?

b) Se a largura do tecido mede 160 centímetros, faça um desenho que

represente uma dessas toalhas de mesa e coloque as medidas

correspondentes da largura e do comprimento.

c) Qual é o nome do polígono que cada toalha representa?

d) Dona Célia decidiu costurar no contorno de cada toalha uma rendinha,

quantos metros de rendinha terá cada toalha?

Figura 1 – Apresentação de uma peça de tecido.

Fonte : Neucely Gonçalves Vicente, 2011.

Para iniciar o trabalho com esse problema, os alunos fizeram a

leitura individual. Em seguida, fiz a leitura em voz alta, a pedido dos próprios

alunos, pois tinham dúvidas sobre algumas palavras, que para eles eram

desconhecidas. Foram surgindo várias perguntas ao mesmo tempo, então,

houve a necessidade de realizarmos uma discussão com os alunos a respeito

de algumas informações presentes no enunciado do problema, para que depois

eles conseguissem compreendê-lo e iniciassem as suas resoluções.

A seguir, apresento o diálogo estabelecido com os alunos nessa

discussão inicial. Utilizarei a partir daqui, (A) para designar a fala de um aluno

ou aluna e (P) para a fala da professora.

(A) – A peça de tecido é o mesmo que rolo de tecido?

(P) – Sim, podemos dizer que é o mesmo.

(A) – O que é polígono?

(P) –Vamos aguardar um pouquinho para chegarmos a essa

resposta.

Apresentei aos alunos uma peça de tecido que emprestei de uma

loja. Coloquei-a sobre a mesa, e comecei a instigar, dizendo:

(P) – Alguém de vocês poderia vir até a mesa e mostrar aos colegas,

como identificamos o comprimento e a largura dessa peça de tecido?

O aluno J. se prontificou a mostrar e fez corretamente, tirando a

dúvida de quem ainda não tinha entendido as diferenças entre as dimensões.

Afirmei dizendo que nem sempre a largura é menor que o comprimento, elas

podem variar, ou até podem ser iguais, ou seja, ter o mesmo tamanho.

Aproveitei o momento para fazermos uma pesquisa no dicionário de

Português, sobre o significado da palavra “dimensão”. Devido a disponibilidade

de termos dicionários de diferentes autores, após a leitura de cada grupo sobre

o significado de “dimensão”, fizemos uma coletânea do que seria mais claro

para defini-la. Escolhemos alguns significados e após, a aluna S. escreveu no

quadro de giz a seguinte definição: “dimensão: sentido que se mede uma

extensão, tamanho, espaço, medida.”

Concluímos que largura e comprimento são dimensões e podem ser

representadas por um número seguido de uma unidade de medida.

(P) – Vocês conhecem alguma unidade de medida?

(A) – O que é unidade de medida?

(P) – Por exemplo, como fazemos para medirmos a nossa altura?

(A) – Com o metro, com fita métrica,...

(P) – A fita métrica é um instrumento usado para medições, e as

unidades usadas para medir a nossa altura são: o metro, o centímetro e o

milímetro. Altura também é um comprimento.

Todos começaram a falar sobre suas alturas. Aproveitando esse

contexto, sugeri aos alunos, que com a fita métrica disponível para cada grupo,

medissem a altura uns dos outros, para que pudessem ir se familiarizando com

as unidades de medida.

Alguns alunos concluíram que a medida da nossa altura pode ser

expressa de duas formas, por exemplo: “eu meço 1 metro e 35 centímetros ou

eu meço 135 centímetros.” Nesse momento, pedi para que cada aluno

anotasse no quadro de giz a medida da sua altura. Então, constatei que eles

sabiam representar a medida (supostamente em metros) usando a vírgula

corretamente, mas nem todos colocaram a unidade de medida.

Após eles terminarem, apresentei um cartaz contendo o quadro das

unidades de medidas de comprimento, e destaquei o metro como sendo a

unidade fundamental, ou seja, a unidade-padrão, e que a partir dele podemos

obter outras unidades de medida, os múltiplos e submúltiplos do metro (km –

hm – dam – m – dm – cm – mm ). Discutimos e citamos exemplos onde

podemos usá-las, o que podemos medir e comprar usando algumas dessas

unidades, e, como é possível uma medida que está expressa por determinada

unidade ser convertida numa outra. Aproveitei o momento para discutir com os

alunos sobre os números decimais, a parte inteira e as casas decimais.

Apresentei também aos alunos, o instrumento “metro” usado nas lojas para

medir tecidos ou outros materiais.

Refletindo agora a esse respeito, percebo que poderia ter esperado

a partir de um dos itens do problema, a necessidade de discutir essa questão

das conversões entre unidades de medida bem como acerca dos números

decimais, para fazer tais discussões junto aos alunos. Acredito que por estar

sendo minha primeira experiência com a Resolução de Problemas, acabei

ficando um pouco ansiosa e antecipando algumas discussões que poderiam

surgir durante a resolução dos problemas.

Os alunos demonstraram estarem atentos durante os nossos

diálogos. Prossegui então retomando a pergunta que um dos alunos já havia

feito:

(P) – Agora, alguém de vocês poderia responder o que é um

polígono?

(A) – É uma forma geométrica.

(P) – Sim, mas o que é uma forma geométrica?

(A) – É tipo um quadrado.

(P) – Mas, como é formado um quadrado?

(A) – De retas.

Apresentei um cartaz com desenhos de algumas figuras geométricas

planas (triângulos, quadriláteros, pentágonos e hexágonos). Nesse momento

destacamos as diferenças entre as figuras formadas por segmentos de reta, e

as formadas por linhas curvas. Assim, foi possível discutir o significado de

“polígonos”, são figuras fechadas formadas por segmentos de reta.

(P) – Pessoal, vamos agora, iniciar a resolução do problema 1?

Fui caminhando pela sala de aula e observando as discussões entre

os alunos em cada grupo. Eles eram participativos, expunham várias sugestões

na tentativa de resolver o problema.

Alguns alunos me chamavam para mostrar suas respostas, queriam

saber se estavam corretas.

(P) – Vamos esperar o momento da plenária.

Esperei que todos terminassem, organizei o quadro de giz em 5

partes, uma parte para cada grupo, e nomeei cada grupo da seguinte forma:

grupo A, grupo B, grupo C, grupo D e grupo E.

(P) – Agora, um aluno representante de cada grupo, vai ao quadro

de giz apresentar as resoluções.

(A) – Professora, quem acertou?

(P) – Estamos no momento da plenária, vamos discutir e analisar

cada resposta.

Nesse momento foi possível que cada grupo explicasse a maneira

como resolveu o problema, por que escolheu aquele caminho e por que

pensaram que poderiam resolver daquela forma. Enfim, cada grupo defendia o

seu ponto de vista. Pelo que pude constatar, as estratégias estavam todas bem

elaboradas, mas em quase todos os grupos, ocorreram erros ao efetuarem a

operação de divisão ( item a).

Item (a) – a seguir apresento as resoluções dos alunos:

Resolução apresentada pelo grupo C:

Resoluções apresentadas pelos demais grupos:

Grupo A

Grupo B

Grupo D

Grupo E

A operação de divisão “64 m : 20” tem como resultado um número

decimal “3,2 m”, então ao observar os erros de alguns alunos, aproveitando a

resolução dos grupos D e E, onde apresentaram a divisão sem continuar

dividindo os 4 metros de tecido que sobraram de resto, refiz a operação no

quadro de giz, mostrando o procedimento correto da divisão, como se divide o

resto usando a vírgula e a casa decimal. Enfatizei como é possível continuar

dividindo aqueles 4 metros de tecido em 20 partes, mas, que não seriam

pedaços em metros, podendo então convertê-los em centímetros, chegando a

conclusão da seguinte resposta: cada parte que foi dividida dos 64 metros de

tecido, terá então, 3 metros e 20 centímetros. Voltei a falar sobre os números

decimais citando alguns exemplos de medidas de comprimento.

Eu poderia também ter solicitado aos alunos do grupo que havia

efetuado corretamente as operações, que explicassem para a turma como

fizeram, e durante a sua explicação, ir intervindo, se necessário, para auxiliar

os demais alunos na compreensão dos procedimentos.

Item (b) – alguns alunos desenharam um retângulo com o uso da

régua, outros não usaram a régua, no entanto, não seguiram padrões com

escalas de medidas para representá-lo. Todos conseguiram converter os 160

cm em 1,60 m e também usaram os lápis de cor para pintar o desenho, alguns

até fizeram estampas para representar a toalha.

Item (c) – todos responderam que o nome do polígono é “retângulo”.

Item (d) – sobre a quantidade de rendinha, os grupos não tiveram

dificuldades, usaram corretamente o procedimento de somar as quatro

medidas que representavam os lados do retângulo, apesar das medidas dos

grupos A,B,D e E não estarem corretas.

Depois de corrigir cada item do problema, enfatizei que aquele

cálculo que realizamos para saber a quantidade de rendinha para contornar a

toalha, é o mesmo que calcular o perímetro de um retângulo que possui as

mesmas dimensões da toalha, assim formalizamos o conceito de “perímetro”.

Construindo o conceito de perímetro juntamente com os alunos, definimos

perímetro como sendo a medida total do contorno de uma figura geométrica

plana.

Quanto aos objetivos atingidos por meio da resolução desse

problema, pude verificar que, foi possível definir perímetro, conceituar polígono,

reconhecer figuras retangulares e identificar algumas unidades de medida de

comprimento.

PROBLEMA 2:

O Sr. Manoel trabalha para uma empresa que está loteando terrenos. A cada

venda de um lote, ele cerca o contorno do terreno com 3 voltas de fio de arame

liso, ou seja, ele faz uma cerca, como mostra a figura a seguir. A tarefa do Sr.

Manoel é cercar um terreno de 35 m de frente por 22 m de lateral. Como você

faria para calcular a metragem de fio de arame, que o Sr Manoel vai precisar

para cercar esse terreno? Quantos metros de fio de arame seriam

necessários?

Parte da cerca de

três fios de arame

Ao iniciar a aula pedi aos alunos que formassem novos grupos, que

não permanecessem nos mesmos grupos da aula anterior e assim faríamos

nas aulas seguintes, expliquei que desta forma poderiam interagir com

diferentes colegas.

Após a entrega da folha contendo o enunciado do problema e o

material de apoio (dicionários de Português, réguas e lápis de cor), os alunos

fizeram a leitura individual. As perguntas foram surgindo:

(A) – O que é loteamento?

(P) – Alguém sabe o que é loteamento?

(A) – É data para vender.

(P) – Vamos pesquisar no dicionário o significado de loteamento?

A definição escolhida para loteamento foi a seguinte: “divisão da

terra em lotes.”

(P) – É um terreno grande que foi dividido em vários terrenos

menores, ou seja, em outros lotes, com a finalidade de vendê-los, para

construções de moradias ou outros tipos de construções.

(A) – Professora, primeiro tem que achar o perímetro do terreno, né?

(P) –Todos concordam que é necessário calcular o perímetro

primeiro?

Alguns alunos responderam que sim, outros alunos ficaram

pensativos.

Sugeri aos alunos, que fizessem o desenho do terreno que seria

cercado. Observei que em todos os grupos, os alunos desenharam um

retângulo para representar o terreno, colocando as medidas indicadas no

problema. Sem perguntas, os alunos foram resolvendo, primeiramente

calculando o perímetro, obtendo como resposta 114 e depois efetuando a

adição 114+114+114 = 342, ou a multiplicação 114 x 3 = 342.

Um dos grupos chamou a minha atenção (grupo A), observei que os

alunos desse grupo usaram uma estratégia diferente para calcular a

quantidade de arame ( essa resolução será mostrada mais adiante).

As resoluções foram expostas no quadro de giz.

No momento da plenária, concluímos que todas as resoluções

estavam corretas, os resultados apresentados foram os mesmos, houve até um

aplauso geral.

Os alunos não registraram na folha, a resposta da primeira pergunta

do problema : “Como você faria para calcular a metragem de fio de arame, que

o Sr Manoel vai precisar para cercar esse terreno?”, eles responderam

oralmente e foram unânimes, todos responderam que primeiramente seria

necessário obter a medida do perímetro ou medir com uma trena o contorno do

terreno para depois multiplicar esse valor pela quantidade de voltas de fios de

arame.

Como o grupo A usou uma estratégia diferente, pedi a eles que nos

explicassem como chegaram àquela conclusão. A resolução apresentada por

esse grupo foi a seguinte:

(P) – Como vocês chegaram a esse raciocínio, ou seja, a esse tipo

de cálculo? Por que multiplicaram cada dimensão do terreno por 6?

(A) – Porque o fio de arame vai passar 6 vezes em cada medida.

Pedi a eles que explicassem como o fio de arame teria que passar 6

vezes pela medida 22 m e 6 vezes pela medida 35 m. Eles explicaram:

(A) – É porque no terreno tem duas vezes a medida 22 m e duas

vezes a medida 35 m, portanto, se o fio tem que passar 3 vezes por cada uma,

então, é o mesmo que passar 6 vezes em cada dimensão.

(P) – Muito bem, está correta a conclusão de vocês!

Em relação aos objetivos que se pretendia atingir, a partir das

resoluções apresentadas, foi possível constatar que houve a compreensão por

grande parte dos alunos, do conceito e cálculo de perímetro, assim como

também, estabeleceram relações entre possíveis formas de terrenos com

figuras geométricas.

PROBLEMA 3:

Em uma casa há duas salas. Uma das salas tem forma quadrada e a outra,

forma retangular. A sala retangular tem dimensões 4 m por 2 m. Considere que

as figuras geométricas planas associadas às formas das salas (quadrado e

retângulo) tenham o mesmo perímetro. Qual é o perímetro dessas figuras? E

quais as dimensões da sala quadrada?

Considero que esse problema foi o mais difícil para os alunos

interpretarem. Depois da leitura individual, eles pareciam não saber por onde

começar a resolver o problema. Então, tentei instigá-los, e perguntei:

(P) – Na casa de vocês há duas salas?

Alguns responderam que sim. O objetivo era que eles

compreendessem que, há tamanhos diferentes de cômodos no interior de uma

casa, mas que podem ter “perímetros” iguais. Então, por meio de exemplos,

como, um triângulo equilátero de lado 8 cm e um quadrado de lado 6 cm,

oportunizei aos alunos perceberem que é possível duas figuras diferentes ter

as medidas de seus perímetros iguais. Parecia que tinham entendido.

(A) – Precisa desenhar as salas?

(P) – Acho importante desenhar as salas por meio das figuras planas

que as representam.

Alguns alunos lembraram e falaram sobre as semelhanças e

diferenças entre o quadrado e o retângulo. Mesmo assim eles me chamavam

muito para que eu os orientasse.

(P) – Professora, se o quadrado tem os quatro lados iguais, é só

dividir o perímetro por 4, né?

Depois desse comentário da aluna S., parece ter ficado fácil para os

demais alunos resolverem o problema.

Todos conseguiram resolver o problema. No momento da plenária e

da formalização, discutimos sobre as relações existentes entre esses dois

quadriláteros, e a possibilidade de um retângulo e um quadrado em alguns

casos, terem o mesmo perímetro.

Sendo assim, foi possível verificar que o objetivo que tinha para esse

problema foi alcançado, pois os alunos durante as discussões sobre a

resolução do problema, estabeleceram as relações entre retângulos e

quadrados, tais como: os dois polígonos são quadriláteros, possuem lados

opostos paralelos, ângulos retos e que, todo quadrado também é um retângulo,

mas tem um nome particular.

PROBLEMA 4:

A tarefa é construir uma figura com formato de um quadrado3 de um metro de

lado. Quantas vezes essa figura caberá na superfície do piso da nossa sala de

aula?

1 m

1 m 1m

Esse problema foi bem divertido para os alunos, pois para eles foi

também uma tarefa recreativa. Primeiramente, distribui folhas de jornal, fita

adesiva, cola, tesoura sem ponta, régua e fita métrica para cada grupo, e deixei

por conta deles a construção da figura com formato de quadrado. Eles tiveram

a ideia de contar juntos, utilizando os seus quadrados, a quantidade necessária

para cobrir a superfície da sala de aula. Concordei com a ideia. Na plenária,

eles concluíram que seria preciso 42 quadrados daqueles para cobrir a

superfície da sala.

(P) – A superfície do piso da nossa sala mede 42 quadrados de 1

metro de lado?

Todos concordaram que sim.

3 Vale ressaltar que a figura desenhada no material utilizado corresponderá a uma representação de um quadrado, pois por mais fina que seja a espessura do material utilizado, quando os alunos o manipularem para realizar a medição solicitada, não estarão utilizando uma figura bidimensional, mas sim tridimensional.

(P) – Então, também podemos dizer que a nossa sala mede 42

metros quadrados, vocês já ouviram falar em “metros quadrados?”

(A) – Sim...

(P) – Mas, vocês já tinham visto o metro quadrado?

(A) – Não...

(P) – Agora vocês já conhecem a representação geométrica da

unidade de medida “metro quadrado”, é um quadrado que tem 1m de medida

de lado!

(A) – Existe uma régua desse jeito?

(P) – Não existe uma régua do metro quadrado como instrumento

para medirmos algo, como por exemplo a superfície dessa sala de aula, é

usado um outro tipo de procedimento que logo vocês vão entender como é.

(P) – Continuando, agora me respondam quantas vezes o metro

quadrado coube na largura da sala?

Coube 6 vezes, responderam vários alunos.

(P) – E quantas vezes o metro quadrado coube no comprimento da

sala?

Responderam: 7 vezes.

(P) – Esse valor que vocês encontraram “42” metros quadrados,

alguém poderia nos dizer a relação desse número, com a quantidade de

quadrados que coube na largura e no comprimento da sala?

(A) – O 42 é o resultado de 6 vezes 7.

(P) – Todos concordam com a afirmação da S. ?

(A) – Sim, é mesmo.

(P) – Mas então, se o quadrado que vocês construíram têm 1 metro

de lado, também poderemos usar o metro para medir o comprimento e a

largura da sala, o quê vocês acham disso? Vamos medir usando uma trena

para ver se dá certo?

Medimos a largura e o comprimento da sala de aula e constatamos

as mesmas medidas, 6 m de largura por 7 m de comprimento. A partir daí,

discutimos sobre a quantidade de pisos que seriam necessários para colocar

naquela sala, ou seja, como faríamos para comprar a quantidade ideal de pisos

para colocar sobre a superfície da sala. Usando o resultado que obtivemos,

seriam necessários 42 metros quadrados de pisos para cobrir o chão dessa

sala de aula.

Finalizamos essa tarefa concluindo que é necessário conhecermos a

medida do comprimento e da largura de formas retangulares, para obter a

medida da superfície. A medida de uma superfície também é chamada de

área, e a unidade de medida padrão de área é o metro quadrado (representada

por m² → m x m), que corresponde à medida da área de um quadrado de 1m

de lado.

Conduzi os alunos a perceberem a importância da padronização das

unidades de medidas utilizadas e que a medição está associada a inúmeras

situações do cotidiano. Aproveitei a discussão para comentar com os alunos

que para medir extensão de sítios e fazendas, usamos uma unidade de medida

agrária chamada hectare (ha), o hectare corresponde à medida da superfície

de um quadrado de 100 m de lado. Citei exemplos de aplicações de unidades

agrárias, incluindo o alqueire.

O objetivo dessa tarefa foi explorar o conceito de área,

proporcionando ao aluno, a construção da medida padrão “ metro quadrado” e

a compreensão simbólica dessa medida, sabendo que não é necessário usá-la

como instrumento de medição, pois, para calcularmos a medida da área de

uma superfície retangular, é necessário apenas conhecermos as medidas das

dimensões. Portanto, por meio das discussões entre os alunos, concluí que o

objetivo tinha sido atingido .

PROBLEMA 5:

Observe as as figuras a seguir e complete o quadro abaixo:

FIGURA

Nº DE QUADRADOS

POR LINHA

Nº DE

QUADRADOS POR

COLUNA

TOTAL DE QUADRADOS

NO INTERIOR DA FIGURA

A

B

C

D

E

Agora responda, como é possível calcular a área das figuras, sem precisar

contar quadradinho por quadradinho?

Essa tarefa foi de fácil compreensão para os alunos, talvez pelo fato

de já termos discutido um pouco a respeito disso na plenária anterior

Algumas respostas apresentadas pelos alunos para a pergunta

apresentada no problema:

(A) – Para obter o valor da área precisa multiplicar o número de

linhas pelo número de colunas.

(A) – Para medir a área de figuras retangulares só precisa do

comprimento e da largura e multiplicá-los depois.

(A) – Não precisamos quadricular as figuras retangulares, pois se

tivermos a largura e o comprimento, fica mais fácil, é só multiplicar as medidas.

Na plenária discutimos que a quantidade de quadradinhos de cada

figura é igual ao produto do número de quadrados por linha pelo número de

quadrados por coluna. Concluíram rapidamente que não seria necessário

contar o número de quadradinhos dentro das figuras para calcular a área de

cada figura.

Formalizamos então que para calcular a medida da área de uma

figura retangular, multiplica-se a medida da largura pela medida do

comprimento dessa figura. Constatei que o meu objetivo para o trabalho com

esse problema tinha sido atingido.

PROBLEMA 6:

Quantos metros quadrados de gramado serão necessários para cobrir um

campo de futebol, que tem medidas 100 m de lateral e 70 m de linha de fundo?

Os alunos resolveram o problema sem apresentar dificuldades.

As resoluções foram as mesmas em todos os grupos, multiplicaram

as medidas100 m x 70 m, resultando 7000 m² de gramado. No entanto, alguns

alunos se esqueceram de representar o metro quadrado por m², apenas

colocando m.

No momento da plenária, aproveitamos para discutir a respeito do

que podemos comprar e medir em metros quadrados, citando exemplos

sempre buscando estabelecer conexões entre a matemática e a realidade.

Pude identificar por meio das resoluções dos alunos, que houve a

compreensão do conceito de área de figuras planas retangulares.

Finalizei os trabalhos com os alunos destacando que ter

conhecimento dos conteúdos de área e perímetro de figuras retangulares é

muito importante, não apenas como um saber matemático, mas também como

um saber que faz parte de diversos elementos com os quais nos deparamos no

cotidiano.

No final da aula, propus aos alunos responderem um questionário,

contendo as seguintes questões:

1) Quais foram os conteúdos que você aprendeu, nas aulas de Implementação

do Projeto de Matemática da professora Neucely?

2) Na sua opinião, qual é a importância de ter conhecimento sobre esses

conteúdos?

3) O que você achou dos problemas propostos, fáceis ou difíceis?

4) Qual parte, durante o desenvolvimento das aulas de Matemática você mais

gostou?

Apresento a seguir as respostas do questionário do aluno T., que me

chamaram atenção.

1) Eu aprendi muitas coisas, que nós precisamos saber que tudo que existe a

nossa volta pode ser medido, para cada coisa tem um instrumento e as suas

unidades de medida. Aprendi como se mede perímetro e área de retângulos

e quadrados.

2) Acho importante saber, quando vamos comprar tecido, pisos, madeira,

arame, corda e outras coisas, temos que saber a quantidade certa, para não

faltar, nem desperdiçar. E também para construir uma casa, tudo tem que

ser medido e calculado.

3) Achei fácil, mas às vezes eu não consigo resolver sozinho.

4) Gostei mais de quando a gente resolvia juntos os problemas e também da

parte quando tinha que medir as coisas.

Ao analisar as respostas de cada aluno, fiquei muito feliz e

gratificada, senti que o trabalho valeu a pena, os resultados do trabalho

desenvolvido foram satisfatórios e mostraram que a Resolução de Problemas

contextualizados com situações próximas ao cotidiano dos alunos, podem

motivá-los durante as aulas de Matemática, promovendo momentos de

discussões sobre possíveis resoluções, mobilização e construção de

conceitos matemáticos e superações em algumas dificuldades.

4 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Matemática é vista por muitas pessoas com um olhar

preconceituoso, pois para algumas, ela é constituída apenas de números e

contas, presas à memorização de símbolos e formas, outras a consideram a

matéria mais difícil para ser aprendida; e outros julgam-na necessária somente

para algumas profissões.

Diante desse quadro, busquei por meio dessa experiência com a

Resolução de Problemas e da manipulação de materiais, tornar as aulas de

Matemática mais atraentes e motivadoras; oportunizando aos alunos a reflexão

de que a Matemática não é um conhecimento restrito somente para alguns

alunos talentosos; que ela pode ser utilizada em situações cotidianas e que há

diferentes maneiras para se ensinar e aprender conteúdos de Matemática,

como área e perímetro de figuras retangulares.

Mediante essa experiência, ressalto que para que o professor possa

utilizar a Resolução de Problemas como estratégia metodológica em suas

aulas, é importante que tenha conhecimento a respeito do papel que ele e seus

alunos irão desempenhar nos processos de ensino e aprendizagem da

Matemática, pois a Resolução de Problemas visa um trabalho centrado no

aluno, em que ele participa da construção do conhecimento sob a orientação e

a supervisão do professor que, somente no final do trabalho da resolução dos

problemas propostos, formalizará as ideias construídas, utilizando notação e

terminologia adequadas, diferentemente dos métodos que enfatizam a

memorização, repetição e a resolução mecânica de exercícios.

Como uma das grandes dificuldades dos alunos em Matemática está

em resolver problemas, consideramos que essa metodologia de trabalho

adotada é uma oportunidade de modificar o desenvolvimento habitual das

aulas de matemática podendo auxiliar os alunos nessa dificuldade, assim como

motivar e tornar significativa para os alunos a introdução de um determinado

conceito matemático.

Durante a realização desse trabalho, dificuldades dos alunos quanto

à leitura e interpretação, foram sendo amenizadas, fazendo com que fossem

encorajados a se envolverem na resolução dos problemas. Aspectos que

auxiliaram também nesse envolvimento com os problemas propostos, foram a

utilização de materiais manipuláveis, bem como a presença de situações

cotidianas, ou que tivessem alguma ligação com a realidade dos alunos, nos

enunciados.

Essa experiência, além de trazer bons resultados para os alunos de

5ª série/ 6º ano, foi uma oportunidade de utilizar a Metodologia de Resolução

de Problemas.

Para mim foi uma experiência inigualável e muito gratificante, pois

pude refletir e repensar sobre a minha prática pedagógica. Às vezes, me

atenho em aulas expositivas, com tarefas mecânicas e repetitivas. Em algumas

situações me coloquei dessa forma diante dos alunos, durante a

implementação, mas, espero que essa experiência seja um começo para

renovar e melhorar minha prática de ensino.

Para finalizar, tenho a convicção de que para atingir o objetivo

esperado ao aplicarmos uma proposta diferenciada de trabalho como essa, é

necessário que acreditemos na metodologia e no material que vamos utilizar,

além de nos prepararmos com muito estudo, tanto a respeito dos conteúdos

que serão abordados, quanto da metodologia a ser utilizada. Assim,

poderemos envolver nossos alunos na aventura do aprender, sem medo de

enfrentarmos situações inesperadas e desconhecidas, desmistificando a ideia

de que, a disciplina Matemática é um conhecimento para poucos indivíduos

talentosos.

REFERÊNCIAS

ALLEVATO, N. S. G; ONUCHIC, L. R. Ensinando Matemática na sala de aula

através da Resolução de Problemas . Boletim GEPEM, n. 55, 2009.

BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais/ Secretaria de Ed ucação

Fundamental. Brasília: MEC/SEE, 1998.

DANTE, L. R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. São Paulo:

Editora Ática, 1998.

DOMINGOS, J. Um estudo sobre polígonos a partir dos princípios d e Van

Hiele. Dissertação. (Mestrado em Educação) – Universidade Federal do Espírito

Santo, Centro de Educação. 272 f. 2010.

PARANÁ, Diretrizes Curriculares de Matemática para Educação Básica do

Estado do Paraná. Curitiba. SEED, 2006.

PARANÁ, Diretrizes Curriculares de Matemática para Educação Básica do

Estado do Paraná. Curitiba. SEED, 2008.