a matemática do desenho de algoritmos

7/23/2019 A Matemática Do Desenho de Algoritmos

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Página 1 A Matemática deAlgoritmo designJon KleinbergUniversidade de Cornell, Ithaca NY EUA.

1 s b!ectivos de "ro!eto de algoritmos#$ando a ci%ncia da com"$ta&'o come&aram a emergir como $m s$b(

!eto em $niversidades na d)cada de 1*+ e 1*-, ele chamo$ a$ma certa $antidade de "er"le/idade dos "ro0issionaismais de cam"os estabelecidos. Com e0eito, n'o ) inicialmenteclaro "or $e a ci%ncia da com"$ta&'o deve ser visto como $mdisci"lina acad%mica distinta. m$ndo está cheiocom novas tecnologias, mas ns geralmente n'ocriar $m cam"o se"arado ao redor de cada $m2 em ve3,ns tendemos a v%(los como s$b"rod$tos da e/istenteramos da ci%ncia e da engenharia. $e ) es"e(

cial sobre com"$tadores45isto em retros"ecto, esses debates em desta$e$ma $est'o im"ortante6 a ci%ncia da com"$ta&'o n'o ) t'om$ito sobre o com"$tador como $ma "arte es"ec70ica dotecnologia, "ois ) sobre o "he( mais geralmeno da "r"ria com"$ta&'o, o "ro!eto de "ro(

"rocessos $e re"resentam e mani"$lar in0orma&8es.9ais "rocessos vir a obedecer a s$a "r"ria inerenteleis, e eles s'o reali3ados n'o a"enas "or "$tadorers, mas "or "essoas, "or organi3a&8es, e "or sis(tems $e s$rgem na nat$re3a. Ns enviamos "ara estes

"rocessos com"$tacionais como algoritmos. :ara o "ro"sitos de nossa disc$ss'o neste artigo, "ode( "ensar em $m algoritmo in0ormalmente como $m "asso(a("assose$%ncia de instr$&8es, e/"ressa em $m estili3adol7ng$a, "ara resolver $m "roblema.Este "onto de vista de algoritmos ) geral o s$0iciente "ara ca"(t$ra tanto a 0orma como $m com"$tador "rocessa dados ea 0orma como $ma "essoa e/ec$ta cálc$los ; m'o.:or e/em"lo, as regras "ara adi&'o e m$lti"lica&'on<meros $e ns a"rendemos $ando crian&as s'o algoritmos2

as regras $tili3adas "or $ma com"anhia a)rea "ara o escalonamentovoos ing constit$em $m algoritmo2 e as regras$sado "or $m motor de b$sca como o =oogle "ara o ran>ing:áginas da ?eb constit$em $m algoritmo. 9amb)m ) !$sto@i3er $e as regras $tili3ado "elo c)rebro h$mano "araidenti0icar ob!ectos no cam"o vis$al constit$em $ma es")ciedo algoritmo, embora estamos at$almente $m longo caminhode com"reender o $e este algoritmo "areceo$ como ela ) im"lementada em nosso hardare ne$ral.Um tema com$m a$i ) $e se "ode raciocinarsobre todos estes algoritmos sem rec$rso a es"e(

dis"ositivos de com"$ta&'o es"e( o$ "rograma&'o de com"$tadorl7ng$as, em ve3 e/"ressá(los $sando o lan(



bitola da matemática. Na verdade, a no&'o de $malgoritmo como agora "ensar sobre isso 0oi 0ormali3adaem grande "arte "elo trabalho de Bogica matemáticaCians na d)cada de 1*, e algor7tmica racioc7nio )im"l7cita no "assado de vários mil)nios matemático

atividade cal. D:or e/em"lo, metan0etamina de resol$&'o de e$a&'oods sem"re tenderam a ter $m 0orte algorith(sabor mic2 as constr$&8es geom)tricas da an(cientes gregos eram inerentemente algor7tmica tamb)m.Fo!e em dia, a análise matemática de algoritmosoc$"a $ma "osi&'o central em ci%ncia da com"$ta&'o2racioc7nio sobre algoritmos inde"endentemente dodis"ositivos es"ec70icos em $e eles e/ec$tam "ode render in(vista em "rinc7"ios e damental gerais de designconstrangimentos 9AB em com"$ta&'o.Ao mesmo tem"o, a "es$isa de ci%ncia da com"$ta&'o

es0or&a(se "ara manter os dois "ontos de vista divergentes em 0oco6este "onto de vista mais abstrato $e 0orm$la algoritmosmatematicamente, ea vista mais a"licada $eo "<blico em geral se associa com o cam"o, oa$ele $e b$sca desenvolver a"lica&8es como In(motores de b$sca ternet, sistemas bancários electrnicos,so0tare de imagens m)dicas, e do an0itri'o de o$troscria&8es $e temos vindo a es"erar do com"$tadortecnologia. A tens'o entre essas d$as vis8essigni0ica $e as 0orm$la&8es matemáticas do cam"oest'o contin$amente a ser testado contra a s$a im"le(ta&'o na "rática2 ele "ro"orciona novas vias

"ara no&8es matemáticas "ara in0l$enciar largamente $tili3adosa"lica&8es2 e, "or ve3es, leva a nova mathe(matical "roblemas motivados "or esses a"licativos. ob!etivo deste "e$eno artigo ) il$strar esteE$il7brio entre o 0ormalismo matemático eas a"lica&8es de motiva&'o da com"$ta&'o. Ns tornar(gin, constr$indo(se a $m dos mais básico de0i(

"erg$ntas nitional nesta veia6 como devemos "erdoarm$lar a no&'o de com"$ta&'o e0iciente4

G dois "roblemas re"resentativos:ara tornar a disc$ss'o de e0ici%ncia mais concreto,e "ara il$strar como se "oderia "ensar sobre $m$est'o como esta, "recisamos "rimeiro disc$tir dois re"resentante

"roblemas ( ambos 0$ndamentais no est$do de algo(( ritmos $e s'o semelhantes na s$a 0orm$la&'o, masm$ito di0erentes em s$a di0ic$ldade com"$tacional.1

G

11 10



8 12 12 14 24

8 10 11 22 b) a) 20 7 Hig$ra 16 ol$&8es "ara instncia do Da o "roblema do cai/eiro via!ante e Db o

"anning 9ree m7nimo:roblema, no mesmo con!$nto de "ontos. As linhas esc$ras indicam os "ares de

cidades $e est'o conectados "elares"ectivas sol$&8es timas, e as linhas mais claras indicam todos os "ares $e n'o

est'o conectados. "rimeiro neste "ar ) o cai/eiro(via!ante:roblema D9:, e ) de0inida como se seg$e. Nsimagine $m vendedor contem"lando $m ma"a com ncidades Dele at$almente está locali3ada em $m deles. oma"a indica a distncia entre cada "ar de cidades,eo vendedor dese!a "lane!ar a "osse mais c$rto

"asseio vel $e visita todas as n cidades e retorna ao "onto de "artida. Em o$tras "alavras, estamos b$scando $maalgoritmo $e toma como entrada o con!$nto de todos os dis(distncias entre "ares de cidades, e "rod$3 $m to$rde com"rimento total m7nimo. Hig$ra 1 Da mostra asol$&'o ideal "ara $m "e$eno e/em"lo do 9:2os c7rc$los re"resentam as cidades, a linha esc$ra segmentomentos Dcom com"rimentos de rot$lá(los conectar cidades$e as visitas vendedor consec$tivamente na t$rn%,e os segmentos de linha de l$3 conectar todos os o$tros

"ares de cidades, $e n'o s'o visitados consec$tivamente.Um seg$ndo "roblema ) o "anning m7nimo

rvore de :roblemas DM9. A$i ns imaginar $ma constr$&'oem"resa &'o com acesso ao mesmo ma"a de n cidades,mas com $m ob!etivo di0erente em mente. @ese!amconstr$ir $m con!$nto de estradas $e ligam certos "ares de ocidades no ma"a, "ara $e de"ois destas estradas s'oconstr$7do e/iste $ma rota a "artir de cada $m dos n "ara cidadesentre si. DUm "onto(chave a$i ) $e cada estradadeve ir diretamente de $ma cidade "ara o$tra. $aob!etivo ) constr$ir tal rede rodoviária o mais barato

"oss7vel ( em o$tras "alavras, $sando o m7nimo total de estradade material $anto "oss7vel. A Hig$ra 1 Db descreve a o"(

9imal sol$&'o "ara a instncia do M9 de0inido "elo mesmo con!$nto de cidades $sada "ara a "arte Da.



Ambos estes "roblemas t%m $ma am"la gama dea"lica&8es "ráticas. 9: ) $m "roblema básicoem ca$sa com se$encia&'o de $m determinado con!$nto de ob!ectosem $m LbomL ordem2 tem sido $tili3ada "ara tratar "roblemas$e v'o desde o "lane!amento do movimento de bra&os robticos

abert$ra de 0$ros em "lacas de circ$ito im"resso Donde oLCidadesL s'o os locais onde os b$racos devem ser "er0$rados "ara ordenar marcadores gen)ticos n$m cromossomoalg$ns n$ma se$%ncia linear Dcom os marcadores con(stit$ting as cidades e as distncias derivadoestimativas "robabil7sticas de "ro/imidade. M9 )$m "roblema de base na conce"&'o de com$nica&'o e0icienteredes ca&'o2 este seg$e a motiva&'o dadaacima, com 0ibra "tica cabo de ator no "a"el deLEstradasL. M9 tamb)m desem"enha $m "a"el im"ortante nao "roblema de dados de cl$ster em gr$"o( nat$rais

Ings. bserve, "or e/em"lo, como os "ontos do lado es$erdolado da Hig$ra 1 Db s'o $nidos aos "ontos dalado direito "or $m "er7odo relativamente longo de liga&'o2 no agr$"amento a"ro(com"lica&8es, isso "ode ser tomado como evid%ncia de $e o

"ontos es$erdo e direito 0ormar agr$"amentos nat$rais. N'o ) di07cil chegar a $m algoritmo "araresolver o 9:. Bistamos "rimeiro todas as 0ormas "oss7veisde ordenar as cidades De/ceto a cidade de "artida,$e ) 0i/ado com anteced%ncia. Cada de0ine encomendar$m to$r ( o vendedor "oderia visitar as cidades nestaordem e, em seg$ida, voltar ao in7cio ( e "ara cadaordena&'o "oder7amos calc$lar o com"rimento total doto$r, "ercorrendo as cidades nesta ordem e s$m(ming as distncias de cada cidade "ara a o$tra. Comons 0a3er este cálc$lo "ara todas as ordens "oss7veis,ns manter o controle da ordem $e "rod$3 a menordistncia total, e no 0inal do "rocesso de nsretornar esse "asseio como a sol$&'o ideal.Embora este algoritmo n'o resolve o "roblema, ele) e/tremamente ine0iciente. Fá n(1 o$tras cidadesdo $e o "onto de "artida, e $al$er se$%ncia "oss7vel

Página 3 . e0ici%ncia com"$tacionaldeles de0ine $m "asseio, "ortanto, "recisa considerarDN ( 1 Dn ( G Dn ( D DG D1 Dn ( 1O dadeto$rs ble. Mesmo "ara n cidades, este ) $m astronomicamente grande $antidade2 sobre os com"$tadores mais rá"idostemos ho!e, correndo este algoritmo "ara com"lementar&'o levaria mais tem"o do $e a e/"ectativa de vidada 9erra. A di0ic$ldade ) $e o algoritmo

$e acabamos de descrever está reali3ando br$te(0orce:es$isa6 o Les"a&o de b$scaL de sol$&8es "oss7veis "ara



o 9: ) m$ito grande, eo algoritmo está 0a3endonada mais do $e arar o se$ caminho atrav)s destees"a&o inteiro, considerando(se todas as sol$&8es "oss7veis.:ara a maioria dos "roblemas, e/iste $ma ine0i( com"aravelmentealgoritmo 0iciente $e sim"lesmente e/ec$ta br$te(0orce

"es$isar. As coisas tendem a 0icar interessante $ando $mencontra $ma maneira de melhorar signi0icativamente ao longo deste br$te(abordagem de 0or&a. :roblema da árvore m7nima "anning 0ornece$m bom e/em"lo de como essa melhoria "odeacontecer. Em ve3 de considerar todas as estradas "oss7velredes em $m dado con!$nto de cidades, s$"onha $e ns tentamosa seg$inte abordagem m7o"e, LgananciosoL "ara oM9. Ns classi0icar todos os "ares de cidades, a 0im de in(vincando distncia, e, em seg$ida, trabalhar com os "ares

"or esta ordem. #$ando chegarmos a $m "ar de cidades, di3em

A e P, testamos se !á e/iste $ma 0orma de via!arde A "ara P na cole&'o de estradas constr$7dosat) agora. e n'o 0or, ent'o seria s$")r0l$o

"ara constr$ir $m caminho direto de A "ara P ( o nosso ob!etivo,lembre(se, ) a"enas "ara garantir $e cada "ar ) con(nectado "or $ma se$%ncia de estradas, e A e P s'o

!á conectado neste caso. Mas, se n'o ho$vermaneira de ir de A "ara P, $sando o $e !á 0oiconstr$7do, ent'o ns constr$ir o caminho direto de A

"ara P. DComo $m e/em"lo deste racioc7nio, note $eestrada "otencial de com"rimento 1Q na Hig$ra 1 Da,n'o s'o constr$7das "or este algoritmo M92 $ando chegar a horaesta rota direta ) considerada, as s$as e/tremidades s'o al(

"ronto !$nto$ "ela se$%ncia de d$as estradas mais c$rtosde com"rimento - e 11, como re"resentado na Hig$ra 1 Db.

N'o ) de todo evidente $e a estrada res$ltanterede deve ter o m7nimo c$sto "oss7vel,mas na verdade isso ) verdade. Em o$tras "alavras, "ode

"rovar $m teorema $e di3, essencialmente, LEm cadade entrada, o algoritmo descrito a"enas "rod$3 $msol$&'o ideal. L retorno desse teorema

) $e agora temos $ma maneira de calc$lar $ma "timarede de estradas "or $m algoritmo $e ) m$ito, m$itomais e0iciente do $e a b$sca de 0or&a br$ta6 ele sim"lesmente

"recisa classi0icar os "ares de cidades "or s$as distncias,e de"ois 0a3er $ma <nica "assagem atrav)s deste classi0icadaslistar decidir $al estradas a constr$ir.Essa disc$ss'o nos "ro"orciono$ $ma 0eira$antidade de insights sobre a nat$re3a do 9:e "roblemas de M9. Em ve3 de e/"eri%nciascom "rogramas de com"$tador reais, descrevemos al(gorithms em "alavras, e 0e3 declara&8es sobre a s$a

desem"enho $e "oderia ser a0irmado e "rovado comoteoremas matemáticos. Mas o $e "odemos abstrato



a "artir desses e/em"los, se $eremos 0alar sobre com(e0ici%ncia com"$tacionais em geral4 e0ici%ncia com"$tacionalA maioria dos "roblemas com"$tacionais interessantes com"artilhar aseg$inte rec$rso com o 9: eo M96 $ma

entrada de tamanho n de0ine im"licitamente $m es"a&o de "es$isa "oss7veis sol$&8es, c$!o tamanho a$menta e/"onencialmentecom n. Um "ode a"reciar este crescimento e/"losivota/a da seg$inte 0orma6 se adicionar sim"lesmente $m com o tamanhoda entrada, o tem"o necessário "ara "es$isar todaes"a&o a$menta "or $m 0actor m$lti"licativo. 9eremos

"re0erem algoritmos de escalar mais ra3oável6 a s$atem"os de e/ec$&'o s deve a$mentar "or $ma m$lti"lica&'o0ator tiva $ando a "r"ria entrada a$menta "or $ma m$l(0ator ti"licative. 9em"os de e/ec$&'o $e s'o delimitadas

"or $ma 0$n&'o "olinomial do tamanho de entrada ( em

$ se!a, "ro"orcional ao n a$mentado "ara alg$ns 0i/o "oder ( e/ibem essa "ro"riedade. :or e/em"lo, se $malgoritmo re$er no má/imo nGeta"as em $ma entrada detamanho n, em seg$ida, ele re$er no má/imo DGnG QnGdegra$s$ma entrada em d$as ve3es t'o grande.Em "arte "or ca$sa de arg$mentos como este, com"$tadorcientistas na d)cada de 1*+ ado"to$ tem"o "olinomial como$ma de0ini&'o de trabalho de e0ici%ncia6 $m algoritmo )considerado e0iciente se o n<mero de "assos $e re($ires sobre $ma entrada de tamanho n cresce como n levantadaa $ma "ot%ncia 0i/a. Usando o conceito de bet'otem"o "olinomial como $m s$bstit$to "ara o con( 0$33ierconceito de e0ici%ncia ) o ti"o de decis'o modelagem$e, 0inalmente, bem s$cedido o$ n'o com base na s$a U9IBI9Ydade "ara orientar o desenvolvimento de algoritmos reais.

E, a este res"eito, o tem"o "olinomial des"e!o$ "ara ser $ma de0ini&'o de "oder s$r"reendente na "rática6 "roblemas "ara os $ais se "ode desenvolver $ma "olinomialalgoritmo de tem"o !á acabo$, em geral, a seraltamente tratável, en$anto a$eles "ara os $ais nos 0altaalgoritmos de tem"o "olinomial tendem a re"resentar grave

Page 4 Qdesa0ia at) mesmo "ara tamanhos de entrada modestos.A 0orm$la&'o matemática concreta de e0i(

e0ici%ncia 0ornece $m bene07cio adicional6 torna(se "os(s7vel "ose, de 0orma "recisa, a con!ect$ra de $e



certos "roblemas n'o "odem ser resolvidos "or algo( e0icienteritmos. :roblema do Cai/eiro 5ia!ante ) $m NA9$ral candidato "ara tal con!ect$ra2 de"ois de d)cadasde tentativas 0alhadas de encontrar $m algoritmo e0iciente

"ara o 9:, $m gostaria de ser ca"a3 de "rovar

$m teorema $e di36 LN'o há "olinomialalgoritmo de tem"o $e encontra $ma sol$&'o ideal "aracada instncia do 9:. LA teoria conhecida como

N:(com"let$de 0ornece $ma estr$t$ra $ni0icadora "ara "ensar sobre estas $est8es2 mostra $e $maam"la classe de "roblemas com"$tacionais, contendoliteralmente milhares de "roblemas $e s$rgem nat$ralmenteDincl$indo a 9:, s'o e$ivalentes no $e di3 res"eitoa solvabilidade de tem"o "olinomial. E/iste $ma e0icientealgoritmo "ara $m, se e a"enas se e/iste $ma e0icientealgoritmo "ara todos. R aberto $m grande "roblema "ara de(

cide se o$ n'o estes "roblemas t%m e0icientealgoritmos2 o sentido "ro0$ndamente arraigados $e o $e eles 0a3emn'o se torno$ a con!ect$ra L: N:L, $ecome&o$ a a"arecer nas listas dos mais "roeminentes

"roblemas de matemática.Como $al$er tentativa de 0a3er $ma no&'o int$itiva, o tem"o "olinomial matematicamente e/acta como de0i(de0ini&'o de e0ici%ncia na "rática come&a a $ebrarem torno de s$as 0ronteiras. E/istem algoritmos "ara$e se "ode revelar(se $m "olinSmio encadernado "elatem"o de 0$ncionamento, mas $e s'o irremediavelmente ine0icientena "rática. :or o$tro lado, n'o s'o bem conhecidos al(gorithms Dtais como o m)todo "adr'o sim"le/

"ara a "rograma&'o linear $e e/igem e/"onencialtem"o de corrida em certos casos "atolgicos, mas$e correr ra"idamente em $ase todas as entradas encontradasna vida real. E "ara com"$tar as a"lica&8es $etrabalhar com grandes con!$ntos de dados, $m algoritmo com$m tem"o de e/ec$&'o "olinomial "ode n'o ser e0icienteUn>non2 se a entrada ) $m trilh'o de bTtes Dcomo

"ode 0acilmente ocorrer $ando se lida com instantneos de

a ?eb, "or e/em"lo, mesmo $m algoritmo c$!atem"o de e/ec$&'o de"ende $adraticamente na entradaseria in<til na "rática. :ara tal a"lica&'o&8es, $e geralmente se necessita de algoritmos $e s'o dimensionados lin(no in7cio do tamanho da entrada ( o$, mais 0ortemente,$e o"eram "or integra&'oV, atrav)s da entrada em$m o$ dois "asses, resolvendo o "roblema como eles v'o.A teoria de tais algoritmos de streaming ) $ma ac(tiva t"ico de "es$isa, com base em t)cnicas deteoria da in0orma&'o, análise de Ho$rier, e o$tros ar(eas. Nada disso di3 $e ) tem"o "olinomial

"erdendo a s$a relevncia "ara o "ro!eto de algoritmos2 ainda )o "onto de re0er%ncia "adr'o "ara a e0ici%ncia. Mas novas



a"lica&8es de com"$ta&'o tendem a em"$rrar os limites dode0ini&8es at$ais, e no "rocesso de levantar novo

"roblemas matemáticos.Q Algoritmos "ara Com"$tacionalmente:roblemas intratáveis

Na se&'o anterior ns disc$timos como re( "es$isadores identi0icaram $ma grande classe de nat$(ral "roblemas, incl$indo o 9:, "ara o $al )acreditava 0irmemente $e n'o e/iste algoritmo e0iciente.En$anto isso e/"lica as nossas di0ic$ldades em resolver estes

"roblemas da melhor maneira, dei/a em aberto $ma $est'o nat$ral,&'o6 o $e devemos 0a3er $ando na verdade con0rontado

"or $m "roblema na "rática4Fá $m certo n<mero de estrat)gias di0erentes "ara A:(

"roaching tal "robabilidade intratável com"$tacionalmente blemas. Uma delas ) a a"ro/ima&'o6 "ara "roblemas

como o 9: $e envolvem a escolha de $m ideal so(l$&'o de entre m$itas "ossibilidades, "oder7amos tentar

"ara 0orm$lar $m algoritmo e0iciente $e ) garan(teed "ara "rod$3ir $ma sol$&'o $ase t'o bom como o$m "timo. design dessa a"ro/ima&'o al(gorithms ) $ma área ativa de "es$isa2 ns "odemos ver$m e/em"lo de base deste "rocesso, considerando a9:. $"onha $e nos ) dada $ma instncia do 9:,es"eci0icada "or $m ma"a com as distncias, e "artimos nosso(elves a tare0a de constr$ir $m to$r c$!o total decom"rimento ) de no má/imo d$as ve3es $e do "asseio mais c$rto.

No in7cio, este ob!etivo "arece $m "o$co ass$stador6 $ma ve3 $en'o sei como calc$lar o "asseio ideal Do$se$ com"rimento, como vamos garantir $e a sol$&'ons "rod$3imos ) c$rto o s$0iciente4 Acontece, no entanto,$e isto "ode ser 0eito "or e/"lora&'o de $ma interessantecone/'o entre os "roblemas 9: e do M9,$ma rela&'o entre as res"ectivas so( "timal$&8es "ara cada "roblema no mesmo con!$nto de cidades.Considere $ma sol$&'o ideal "ara a "robabilidade M9lem sobre determinado con!$nto de cidades, $e consiste em $ma rede

trabalho de estradas2 Wecordamos $e este ) algo $e ns "odemoscalc$lar e0icientemente. Agora, o vendedor interessadoem encontrar $ma "e$ena t$rn% "ara estas cidades "odem $sar esterede rodoviária ideal "ara visitar as cidades da seg$inte 0orma.A "artir de $ma cidade, ele seg$e estradas at) $e ele atinge

Page 5 X. Matemática e "ro!eto de algoritmos6 in0l$%ncias rec7"rocasX$m beco sem sa7da ( $ma cidade sem novas estradas sairisto. Ele ent'o 0a3 o bac>$", re(tra&ar se$s "assos at) $e ele

chega a $m cr$3amento com $ma estrada $e ele ainda n'o tomo$,e ele "assa "or este novo caminho. :or e/em(



"lo, a "artir do canto s$"erior es$erdo da Hig$ra 1 Db,o vendedor "oderia seg$ir o caminho de com"rimento e em seg$ida, escolha $ma das estradas de com"rimento 1 o$ G2 E seele selecciona o "rimeiro, em seg$ida, de"ois de atingir o dead(0inal, ele a"oiaria novamente at) este cr$3amento e

contin$ar o "asseio seg$indo a estrada de com"rimentoG. Um "asseio constr$7do desta 0orma atravessa cadaestrada d$as ve3es D$ma em cada sentido, "or isso, se ns dei/armos mdenotar o com"rimento total de todas as estradas na "timaol$&'o M9, ns encontramos $m "asseio de com"rimento de Gm.Como isso se com"ara a t, o com"rimento domelhor assist%ncia "oss7vel4 5amos disc$tir "rimeiro $e t Z m.Isso ) verdade "or$e no es"a&o de todos os "oss7veis so(l$&8es "ara o M9, $ma o"&'o ) constr$ir estradas torna(cidades teen $e as visitas vendedor consec$tivamentena t$rn% 9: ideal, "ara $ma $ilometragem total de t2

:or o$tro lado, m ) o com"rimento total domais c$rto "oss7vel rede de estradas, e, "ortanto, n'o "ode tser menor do $e m. Assim, concl$7mos $e osol$&'o "tima "ara o com"rimento do 9: tem "elo menos m2combinado com a concl$s'o anterior, de $e o nossoalgoritmo está "rod$3indo $m "asseio de com"rimento Gm, nster $ma a"ro/ima&'o "ara dentro de $m 0actor de dois deideal, como $is)ssemos.:essoas tentando resolver grandes instncias de com"$tacionaltationallT "roblemas di07ceis na "rática $tili3am 0re$entementealgoritmos $e t%m sido observados "ara em"iricamentedar sol$&8es $ase timas, mesmo $ando n'o há ga(ga( sobre o se$ desem"enho ter sido "rovado. Bo(cal algoritmos de b$sca 0orma $ma classe am"lamente $tili3adode abordagens como esta. Um algoritmo de b$sca localinicia(se com $ma sol$&'o inicial e re"etidamente mo(i0ies(lo 0a3endo alg$ma m$dan&a LlocalL "ara a s$a estr$(t$ra, ; "roc$ra de $ma 0orma de melhorar a s$a $alidade. @entroo caso da 9:, $m algoritmo de b$sca local seria

b$scar modi0ica&8es Melhoria das sim"les "ara a s$a act$al "asseio2 "or e/em"lo, ele "ode olhar "ara con!$ntos de cidades

$e s'o visitados consec$tivamente e ver se visitar(los na ordem inversa iria enc$rtar a t$rn%.s "es$isadores e/tra7ram cone/8es entre o localalgoritmos de b$sca e 0enSmenos da nat$re3a2 "arae/em"lo, assim como $ma grande mol)c$la se contorce(se emes"a&o tentando encontrar $ma con0orma&'o(energia m7nima&'o, "odemos imaginar o deslocamento do 9: em $ma "es$isa localalgoritmo modi0icando(se ; medida $e tenta red$3ir o se$com"rimento. @eterminar $'o "ro0$ndamente esta analogia vai) $ma $est'o de "es$isa interessante.X Matemática e Algoritmo @e(

Inscreva(se6 in0l$%ncias rec7"rocasM$itos ramos da matemática t%m contrib$7do



a as"ectos de "ro!eto de algoritmos e as $est8ess$scitada "ela análise de novos "roblemas algor7tmicost%m em $m n<mero de "rocessos s$gerido romance mathe(matical "erg$ntas.Combinatria e teoria dos gra0os t%m sido $a(

itativelT trans0ormadas "elo crescimento de com"$tadorci%ncia, na medida em $e $est8es algor7tmicostornaram(se com"letamente entrela&ada com amainstream da investiga&'o nestas áreas. 9)cnicasde "robabilidade tamb)m se tornaram 0$ndamentais "aram$itas áreas da ci%ncia da com"$ta&'o6 al( "robabil7sticagorithms e/trair energia a ca"acidade de 0a3er ran(dom escolhas en$anto eles est'o em e/ec$&'o, e "roba(

bilistic modelos de entrada "ara $m algoritmo "ermitir$m "ara tentar ca"tar com mais "recis'o a 0am7liade instncias de "roblemas $e s$rgem na "rática. este

estilo de análise 0ornece $ma 0onte constante de novos "erg$ntas na "robabilidade discreta.Uma "ers"ectiva com"$tacional ) 0re$entemente <tilem "ensar sobre os "roblemas Lcaracteri3a&'oL emmatemática. :or e/em"lo, a $est'o geral dacaracteri3ando n<meros "rimos tem $ma bvia al(com"onente gorithmic6 dado $m n<mero n como in(colocar, $'o e0icientemente "odemos determinar se ele) "rimo4 DE/istem algoritmos $e s'o E[:(nentiallT melhor do $e a abordagem de dividir n

"or todos os n<meros at) \n. :roblemas no n o(orT tais como a caracteri3a&'o de al&as sem ntem $m lado algor7tmica similar. $"onha $e este!amosdado $m loo" circ$lar de cadeia em tr%s dimens8esDdescrita como $ma cadeia artic$lada de segmentos de linha, eela envolve em torno de si mesmo de maneiras com"le/as. Comoe0icientemente "odemos determinar se ) verdadeiramenteatado, o$ se movendo a ao redor "$dermosdesembara&ar(lo totalmente4 :ode(se envolver neste activi(dade com m$itas $est8es matemáticas semelhantes2 )claro $e as vers8es corres"ondentes algor7tmicos

s'o e/tremamente concreto como "roblemas, embora eles "ode "erder "arte da inten&'o original do mathe(maticians $e "osaram as "erg$ntas de 0orma mais geral.Em ve3 de tentar en$merar a interse&'o de id)ias algor7tmicos com todos os di0erentes

Page 6 +ramos da matemática, "odemos concl$ir este artigocom dois est$dos de casos $e envolvem o desenho de Al(gorithms "ara a"lica&8es es"ec70icas, bem como as 0ormas

em $e as id)ias matemáticas s$rgem em cada instncia.+ ?eb earch e A$tovetores



9al como a ?orld ?ide ?eb cresce$ em("o"$lardade em toda a d)cada de 1**, re( ci%ncia da com"$ta&'o

"es$isadores voltas com $m "roblema di07cil6 a?eb cont)m $ma vasta $antidade de in0orma&8es <teis&'o, mas a s$a estr$t$ra anár$ica torna m$ito di07cil

"ara os $s$ários, sem a!$da, "ara encontrar a in0orma&'o es"ec70ica&'o $e eles est'o "roc$rando. Assim, no in7cio da ?eb dehistria, as "essoas come&aram a desenvolver motores de b$sca$e o 7ndice de in0orma&8es na ?eb,e "rod$3ir "áginas da ?eb relevantes em res"osta aas cons$ltas dos $s$ários. Mas $m dos milhares o$ milh8esde "áginas relevantes "ara $m t"ico na ?eb, $e

"o$cos caso o motor de b$sca "resente a $m $s$ário4Este ) o "roblema de classi0ica&'o6 como determinaros LmelhoresL rec$rsos sobre $m determinado t"ico. Note(se acontrastam com "roblemas concretos, como o 9raveling

5endedor. Bá, o ob!etivo Do "asseio mais c$rto 0oin'o em d<vida2 a di0ic$ldade 0oi sim"lesmente em "$tadoring $ma sol$&'o tima e0ici%ncia. :ara a "es$isamecanismo de ran>ing "roblema, "or o$tro lado, "ara(mali3ing o ob!etivo ) $ma grande "arte do desa0io( $e $eremos di3er com a "ágina LmelhorL em $m t"ico4Em o$tras "alavras, $m algoritmo "ara classi0icar as "áginas da ?eb )realmente dar $ma de0ini&'o de $alidade da "ágina ?eb

bem como os meios "ara avaliar esta de0ini&'o.s "rimeiros motores de b$sca classi0icados de cada "ágina da ?eb

baseado "$ramente em te/to $e continha. Estes a"ro(abordagens come&o$ a r$ir como a ?eb cresce$,

"or$e n'o levar em conta a $a( !$lgamentos itT codi0icado em hi"erliga&8es da ?eb6 emnavegar na ?eb, $e m$itas ve3es descobrir de alta $alidaderec$rsos "or$e eles s'o LendossadoL "eloliga&8es $e recebem de o$tras "áginas. Esse insightlevo$ a $ma seg$nda gera&'o de motores de b$sca $eran>ings determinada $tili3ando análise de liga&'o. mais sim"les tal análise a"enas contar on<mero de lin>s "ara $ma "ágina6 em res"osta ; cons$lta

LJornaisL, "or e/em"lo, "ode(se classi0icar as "áginas "elo n<mero de liga&8es recebidas $e recebem deo$tras "áginas $e contenham o termo ( com e0eito, al(m$gido "áginas $e contenham o termo L!ornaisL avotar no res$ltado. 9al es$ema geralmente 0ar'o

bem "ara os melhores alg$ns itens, colocando not7cias de desta$esites como o 9he Ne Yor> 9imes e 9he Hinancial5e3es no to"o da lista, mas vai ra"idamente tornar( bar$lhento vir de"ois disso.R "oss7vel 0a3er $m $so mais e0ica3 doa in0orma&'o latente nas liga&8es. Considere "áginas

$e a"ontam "ara m$itos dos sites altamente classi0icado "or estees$ema de vota&'o sim"les2 ) nat$ral es"erar $e



estes s'o de a$toria de "essoas com $m bom senso "araonde os !ornais s'o interessantes, e "or isso,

"oderia correr a vota&'o novamente, desta ve3 dando mais "oder de voto a estas "áginas $e m$itos selecionados$m dos sites altamente classi0icados. Este elemento "ode revote

vate certos !ornais menos conhecidos, 0avorecido "oros a$tores "áginas da ?eb $e s'o mais conhecimentoca"a3es sobre o tema2 em res"osta aos res$ltados destarevote, "odemos ag$&ar ainda mais a nossa "ondera&'o dosos eleitores. Este L"rinc7"io da melhoria re"etidomento L$sa a in0orma&'o contida em $m con!$nto deA $alidade da "ágina estima "ara "rod$3ir $m mais re0inadocon!$nto de estimativas. e reali3armos essas re0inamentosre"etidamente, eles convergem "ara $ma sol$&'o estável4

Na verdade, essa se]%ncia de re0inamentos "ode servisto como $m algoritmo "ara calc$lar o "rinci"al

vector "r"rio de $ma matri3 "artic$lar2 este tanto esta( belece a converg%ncia do "rocesso e ca(teri3es o res$ltado 0inal. :ara estabelecer esta cone/'o&'o, a"resentamos alg$ma nota&'o. Cada "ágina ?eb) atrib$7do d$as "ont$a&8es6 $ma a$toridade de "eso, me(s$ring s$a $alidade como 0onte "rimária sobre o tema2e $m "eso h$b, medindo se$ "oder como $m eleitor

"elo conte<do da mais alta $alidade. As "áginas "odem marcaraltamente em $ma destas medidas, mas n'o o o$tro( N'o se deve es"erar $m !ornal "roeminente

"ara servir sim$ltaneamente como $m bom g$ia "ara o$tra !ornais (, mas tamb)m n'o há nada "ara im"edir$ma "ágina de marcar bem em ambos. Uma rodada devota&'o "ode agora ser vis$ali3ado como se seg$e. Ns at$ali3amoso "eso a$toridade de cada "ágina "ela soma dos

"esos centro de todas as "áginas $e a"ontam "ara ele Drece(ing liga&8es de eleitores altamente "onderadas 0a3 de voc% $mmelhor a$toridade2 $e, em seg$ida, re("eso todos os eleitores,at$ali3ar "eso h$b de cada "ágina "ela soma dos

"esos de a$toridade das "áginas $e a"onta "ara Dligandoa alta $alidade de conte<do 0a3 de voc% $m h$b melhor.

Como vectores "r"rios vir a este4 $"orns de0inimos $ma matri3 M com $ma linha e $ma col($mn "ara cada "ágina em $est'o2 a Di, !entrada ) ig$al a 1 se :ágina I lin>s "ara a "ágina !, e

Página 7 -. algoritmos distrib$7dos-) ig$al a , caso contrário. Ns codi0icar a a$toridade

"esos itT em $m vector $m, onde a coordenada$ma

E$) o "eso da a$toridade "ágina i. c$bo



"esos "ode ser escrito de 0orma semelhante como $m vector h.Usando a de0ini&'o de matri3(vector m$lti"lica&'o&'o, "odemos agora veri0icar $e a act$ali3a&'o do h$b

"esos em termos de "esos de a$toridade ) sim"lesmenteo ato da cria&'o h ig$al a Ma2 corres"ondente

ve3 mais, estabelecendo $m ig$al a M9h at$ali3a a a$toridade

"esos dade. DA$i M9denota a trans"osta dea matri3 M. A e/ec$&'o dessas at$ali3a&8es n ve3escada $m de iniciar vetorese h

, ns obtemosA DF9DM DF9DM DM9DMa DF9Fn$ma. Este ) o m)todo de alimenta&'o itera&'o

"ara calc$lar o "rinci"al a$tovetor de M9F,em $e re"etidamente m$lti"licam alg$ns arran$e 0i/o

ing vetor "or "oderes cada ve3 maiores de M9M.DAo 0a3ermos isso, ns tamb)m dividimos todas as coordenadas dovetor "or $m 0actor de escala "ara os im"edir decrescente $nbo$ndedlT. Assim, este ) eigenvectoro con!$nto estável de "esos de a$toridade "ara a $alnossas at$ali3a&8es est'o convergindo. :or com"letamente sTm(racioc7nio m)trica, os "esos de h$b est'o convergindo

"ara o "rinci"al vector "r"rio de MM9

.Uma medida liga&'o ; base relacionado ) :ageWan>, de(



m$ltado "or $m "rocedimento di0erente, $e tamb)m ) baseadano re0inamento re"etido. Em ve3 de desenhar $m dis(tin&'o entre os eleitores eo voto$(on, $ma

"ost$la $m <nico ti"o de medida de $alidade $e as(assina $m "eso "ara cada "ágina. Um con!$nto at$al de "ágina

"esos ) at$ali3ado 0a3endo com $e cada "ágina vis$ali3adatrib$to se$ "eso $ni0ormemente entre as "áginas $elin>s "ara. Em o$tras "alavras, $e recebe liga&8es de alta

"áginas de $alidade levanta a "r"ria $alidade. Isto tamb)m "ode ser escrita como a m$lti"lica&'o "or $ma matri3, ob(tained de M9dividindo entradas de cada linha "oro n<mero de liga&8es $e "arte da corres"ondenteing "ágina2 at$ali3a&8es re"etidas novamente convergir "ara $meigenvector. DFá ainda $ma r$ga a$i6 re(

at$ali3a&'o vem ser re"etidas neste caso tende a ca$sar todos "eso a "iscina em "áginas Lbeco sem sa7daL $e n'o t%mlin>s de sa7da e, "ortanto, nenh$m l$gar "ara "assar o se$

"eso. Assim, "ara se obter a medida :ageWan>$tili3ados em a"lica&8es, se acrescenta $ma "e$ena $antidade ^_ em cada itera&'o "ara o "eso de cada "ágina2 Isto )e$ivalente a $sar $ma matri3 ligeiramente modi0icado.:ageWan> ) $m dos "rinci"ais ingredientes namotor de b$sca =oogle2 h$bs e a$toridades 0ormara base "ara o motor de b$sca As> Jeeves 9eoma `, como

bem como $m n<mero de o$tras 0erramentas de "es$isa ?eb. @entro "rática, os motores de b$sca at$ais Dincl$indo =ooglee 9eoma $sar vers8es altamente re0inados destesmedidas básicas, m$itas ve3es combinando caracter7sticas de cada $m2entender como relevncia e $alidade medidasest'o relacionadas com cálc$los a$tovetores grande escalacontin$a a ser $m tema de "es$isa ativo.- Algoritmos @istrib$7dosAt) agora temos sido algoritmos $e disc$teme/ec$tar em $m <nico com"$tador. Como $m t"ico de concl$s'o,tocamos brevemente sobre $ma am"la área no com"$tador sci(

ENCE em ca$sa com os cálc$los $e est'o dis( b$7do ao longo de vários com"$tadores se com$nicando.A$i, o "roblema da e0ici%ncia ) agravado "ela "reoc$"a&8es sobre a man$ten&'o da coordena&'o e con(consist%ncia entre os "rocessos de com$nica&'o.Como $m e/em"lo sim"les il$stra estas $est8es,Considere $ma rede de cai/a de banco a$tomático ma(chines DA9Ms. #$ando voc% retirar $ma $antidade/ de dinheiro em $ma dessas cai/as eletrSnicos, deve 0a3%(d$as coisas6 D1 noti0icar $m com"$tador banco centralded$3ir / de s$a conta, e DG emitir o cor(

rect $antidade de dinheiro em contas 07sicas. Agora, a"oiore"resentam, em $e entre os "assos D1 e DG, a A9M



0alhas de modo $e voc% n'o receber o se$ dinheiro2 5oc% teriagostaria $e 0osse o caso de $e o banco n'o s$btraia/ de s$a conta de $al$er maneira. $ s$"onha $e oA9M e/ec$ta ambos os "assos D1 e DG, mas a s$aMensagem "ara o banco está "erdido2 o banco gostaria

/ "ara ser, event$almente, s$btra7do do se$ ac(contar de $al$er maneira. A área de com"$ta&'o distrib$7daestá "reoc$"ado com a conce"&'o de algoritmos $e o"e(Comeram correctamente na "resen&a de tais di0ic$ldades.Como $m sistema distrib$7do ) e/ec$tado, certos "rocessos

"odem en0rentar longos atrasos, alg$ns deles "oderá 0alharem meados de com"$ta&'o, e alg$mas das mensagens tornar(tre eles "odem ser "erdidos. Isto leva a $ma signi0icativadesa0ios no racioc7nio sobre sistemas distrib$7dos,

"or$e esse "adr'o de 0alhas "ode ca$sar cada "ro(cesso de ter $ma vis'o $m "o$co di0erente do com"$tacional

ta&'o. R 0acilmente "oss7vel "ara $e ha!a d$as corridasdo sistema, com di0erentes "adr8es de 0racasso,$e s'o Lindisting$7veisL do "onto de vistade alg$m "rocesso :2 Em o$tras "alavras, o : terámesmo "onto de vista de cada $m, sim"lesmente "or$e as di0eren&asnas corridas n'o a0eto$ nenh$ma das com$nica&8es

&8es $e recebe$. Isso "ode re"resentar $m "roblema

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se a sa7da 0inal do : ) s$"osto de"ender de s$atendo notado $e as d$as corridas eram di0erentes.Um im"ortante avan&o no est$do de tais sistemass$rgi$ na d)cada de 1**, $ando $ma cone/'o 0oi0eita de t)cnicas de to"ologia alg)brica. Con(I@EW "ara sim"li0icar $m sistema com "rocessos,embora t$do o $e di3emos generali3a "ara $al$er n<(

ber de "rocessos. Ns consideramos o con!$nto de todos os "oss7veis0$ncionamentos do sistema2 cada e/ec$&'o de0ine $m con!$nto de tr%s

"ontos de vista, $m detido "or cada "rocesso. 5amos agora imaginaros "ontos de vista associados com $ma <nica corrida, en$anto os tr%s

cantos de $m tring$lo, e colamos destes tring$losem con!$nto de acordo com a seg$inte regra6 "ara $al$erdois ensaios $e s'o indisting$7veis "ara alg$ns "ro(cesso :, ns colar os dois tring$los corres"ondentesem con!$nto nas s$as cantos associados com :. Estadá(nos $ma geom)trico "otencialmente m$ito com"licadoob!eto, constr$7do "ela a"lica&'o t$do isso colandoo"era&8es "ara os tring$los2 ns chamamos este ob!eto acom"le/o relacionado com o algoritmo. De láHoram mais de tr%s "rocessos, ter7amos $maob!ecto n$m maior n<mero de dimens8es. Embora

está longe de ser bvio, os "es$isadores 0oram ca"a3es demostram $e a corre&'o de algoritmos distrib$7dos



"ode estar estreitamente relacionado com o "ro"( to"olgicaerties dos com"le/os $e de0inam.Este ) o$tro e/em"lo da maneira "oderosa em$e id)ias matemáticas "odem a"arecer s$r"re(E@lT no est$do de algoritmos, e levo$

a novos insights sobre os limites do distrib$7damodelo de com"$ta&'o. Combinando a análise dealgoritmos e se$s com"le/os com re( clássicos$ltados de to"ologia alg)brica tem em alg$ns casosresolvido "roblemas em aberto com"licadas nesta área, esta(instit$i $e determinadas tare0as s'o com"rovadamente im"oss7velresolvidos n$m sistema distrib$7do. :ara Beit$ra@esign de algoritmo ) $m tema "adr'o na in(com"$tador dergrad$ate c$rr7c$lo de ci%ncias, e) o tema de $ma s)rie de livros didáticos incl$in(

ing Cormen et al. Q e $m livro a ser "$blicado "elao a$tor andeva 9ardos +. A "ers"ectiva decientistas da com"$ta&'o iniciais sobre como 0ormali3ar %nciae0ici%ncia ) disc$tida "or i"ser 1. 9he 9raveling5endedor e "roblemas de árvore m7nima "annings'o 0$ndamentais "ara o cam"o de o"ti( combinatria3a&'o2 o 9: ) $tili3ado como $ma lente, atrav)s do $al

"ara ins"ecionar este cam"o em $m livro editado "or Baler et al.-. Algoritmos de a"ro/ima&'o e "es$isa locais al(gorithms "ara "roblemas intratáveis com"$tacionalmentes'o disc$tidos em livros editados "or Fochba$m X eAarts e "or Benstra 1, res"ectivamente. "es$isa na interneteo "a"el da análise de liga&'o ) coberto em $m livro deCha>rabarti G2 al)m das a"lica&8es ?eb, há$ma s)rie de o$tras cone/8es interessantes torna(a$tovetores de inter"ola&'o e estr$t$ras de rede, como de(descrito "or Ch$ng . Algoritmos distrib$7dos s'ocoberto em $m livro de BTnch , eo to"olog(abordagem iCal "ara analisar algoritmos distrib$7dos) revisado "or Wa!sba$m *.Pibliogra0ia

1.E. Aarts e JK Benstra Deds.. :es$isa local emtimi3a&'o Combinatria. ?ileT, 1**-.G.

. Cha>rabarti. Minando o ?eb. Morgan Ka$0(Fomem, de GG..

HWK Ch$ng, "ectral =ra"h 9heorT.AM:ress, 1**-.Q.

9. Cormen, C. Beiserson, W. Wivest, C. tein. @entro(trod$&'o de Algoritmos. MI9 :ress, G1.



X.@ Fochba$m Ded.. Algoritmos de A"ro/ima&'o

"ara "roblemas N:(di07ceis. :? :$blishing, 1**+.+.

J. Kleinberg, E. 9ardos. :ro!eto algoritmo. @e An<ncios(

dison ?esleT, GX.-.EB Baler, JK Benstra, AF= WinnooTKan, hmoTs @P. vendedor amb$lante:roblema6 $ma visita g$iada Combinatria "(timi3ation. ?ileT, 1*X..

N. BTnch. Algoritmos distrib$7dos. Morgan Ka$0(mann, 1**+.*.

. Wa!sba$m. Col$na Com"$ta&'o @istrib$7da

1X. ACM I=AC9 not7cias X6 DGQ.1.

M. i"ser. A histria eo estat$to da : vers$s N: $est'o. :roc. GQ ACM Tm". na 9eoriade Com"$ta&'o, 1**G.Piogra0ia de contrib$inteJon Kleinberg recebe$ se$ AP de Cornell em1** e se$ :h.@. em ci%ncia da com"$ta&'o do MI9em 1**+. Em seg$ida, ele "asso$ $m ano como $ma visita(ing cientista no IPM Almaden Wesearch Cen(ter, e ) agora $m "ro0essor ad!$nto na @e(

"artamento de Ci%ncia da Com"$ta&'o da Universidade de Cornell Univer(sidade. Ele recebe$ bolsas de "es$isa a "artir deas H$nda&8es :ac>ard e loan, e ele re(

be$ o G1 U National AcademT o0 ciences:r%mio de iniciativas em "es$isa "ara se$ trabalho emalgoritmos em análise de rede e "es$isa na eb.



Original English text:

cific computing devices or computer programmingContribute a better translation

a matemática do desenho de algoritmos

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