FUNDAÇÃO ESCOLA TÉCNICA LIBERATO SALZANO VIEIRA DA CUNHA

A Matemática da Eletrônica

Material de Auxílio ao Estudante de

Eletrônica

Gabriel Borges Fernandes

Samuel Armbrust Freitas

Yan Prates Pimentel

4514324 - 7

Novo Hamburgo, 2012

2

O Processo de conhecer envolve um imaterial transformar-se,

uma identificação imaterial, e, por fim, o conhecimento é ele

próprio uma variável dependente da imaterialidade.

James Bryant Conant

3

SUMÁRIO

1. ELETRÔNICA DIGITAL .....................................................................4

2. ELETRÔNICA FUNDAMENTAL .....................................................14

2.1. UNIDADES DE MEDIDA .........................................................14

2.2. RESISTORES .............................................................................15

2.2.1. Resistores Fixos ...............................................................15

2.2.2. Resistores Variáveis ........................................................16

2.3. CONDUTÂNCIA ........................................................................19

2.4. LEI DE OHM ..............................................................................19

2.5. POTÊNCIA ELÉTRICA .............................................................21

2.6. ANÁLISE DC .............................................................................24

2.7. CIRCUITOS COM FONTES .....................................................25

2.8. LEIS DE KIRCHOFF .................................................................26

2.8.1. Lei das Correntes ............................................................26

2.8.2. Lei das Tensões ...............................................................26

2.8.2.1. Equações lineares ........................................27

2.8.2.2. Escalonamento ............................................28

2.9. SUPERPOSIÇÃO .......................................................................29

2.9.1. Associação Série de Fontes .............................................30

2.9.2. Associação Paralela de Fontes ........................................30

2.10. CAPACITORES E INDUTORES ..............................................30

2.10.1. Capacitores .....................................................................30

2.10.2. Indutores .........................................................................33

2.11. ANÁLISE AC .............................................................................34

2.11.1. Reatância .......................................................................34

2.12. SEMICONDUTORES ................................................................38

2.12.1. Diodo .............................................................................38

2.12.2. Transistor Bipolar ..........................................................40

3. CONSIDERAÇÕES FINAIS................................................................45

REFERÊNCIAS

4

1. ELETRÔNICA DIGITAL

A matemática euclidiana tem como um dos princípios a infinidade, tanto positiva como

negativa, englobando tudo o que há entre esses dois extremos. Essa é a matemática linear,

contrapondo-se com esse modelo temos a matemática discreta.

Scheinerman (2003) fala que um exemplo de diferenciação seria a comparação de dois

relógios: um analógico e um digital. No analógico quando um ponteiro salta de um segundo para o

próximo ele não está referenciando somente aqueles dois valores de segundos, ele passa por todos

os infinitos números decimais entre os dois segundos. Já o relógio digital não, ele salta de um

segundo para o próximo somente alternando suas luzes.Para o digital não existe nada entre aqueles

dois segundos.

Assim como o sistema de números reais desempenha papel central na matemática contínua, os inteiros

são o instrumento principal da matemática discreta. A matemática discreta oferece excelentes modelos e

ferramentas para analisar fenômenos do mundo real que podem modificar-se abruptamente e que estão

definidamente em um estado ou em outro. A matemática discreta é o instrumento de escolha em uma

diversidade de aplicações, dos computadores ao planejamento de chamadas telefônicas, e das

atribuições de pessoal à genética.” SCHEINERMAN, Edward R., Mathematics: a discreteintroduction.

Tradução de Alfredo Alves de Farias. São Paulo: (Thomson Learning Edições, 2003, p.30).

Scheinerman (2003) diz que em matemática linear temos a álgebra, com operações como 𝑅 =

𝑈

𝐼. Na matemática discreta temos a álgebra booleana, que se projeta longe da álgebra ordinária.Ela

trata não com números, mas com afirmações. Na álgebra normal as variáveis podem ter infinitos

valores, enquanto na álgebra booleana as variáveis só contêm dois valores possíveis: verdadeiro e

falso.

Para compreender melhor a álgebra booleana basta olhar para ela com conjunções. Por

exemplo: “João e Maria nasceram no mesmo ano”.O uso da conjunção aditiva “e” remete que tanto

João como Maria nasceram no mesmo ano. Se os dois nasceram no mesmo ano essa frase adquire

um valor verdadeiro, não só João, ou só Maria, se não essa sentença seria falsa, e não verdadeira.

Outro exemplo seria: “Ele me ligará agora ou daqui a três horas”.O uso da conjunção

alternativa “ou” remete que o interlocutor pode receber a ligação tanto agora quanto daqui a três

horas.Se ele receber a ligação agora ele não precisará receber outra ligação daqui a três horas, mas

se ele não recebê-la agora ele pode recebê-la daqui a três horas. Agora, se ele não receber ligação

alguma essa sentença torna-se falsa, mas com qualquer uma das hipóteses tornando-se real, a

sentença vira verdadeira.

5

Linguisticamente não é comum uma frase contendo “ou” ser verdadeira pelos dois lados da

conjunção, porém na matemática discreta isso é possível e comum (SCHEINERMAN, 2003). Caso

isso aconteça, a resposta continua sendo verdadeira. Um exemplo pode ser visto em: “Antônio ou

Leonardo pode resolver este problema para você”. Só um dos dois é requisitado para o serviço,

porém eles podem ir em dupla resolver o problema, mesmo que seja desnecessário a presença de

duas pessoas.

Por outro lado temos o exemplo: “Venda sua casa ou more nela”. O interlocutor pode vender

sua casa, dando um valor verdadeiro para a afirmação. Se ela for vendida, ele não poderá viver

nela, obrigando a segunda operação a ser falsa. Quando um dos fatores for realizado a frase terá

valor verdadeiro e não poderá ter seus dois requisitos completos. Isso nunca ocorre em lógica

booleana.

Um último tópico seria o uso da conjunção adversativa “não”, como na frase: “Não usarei a

roupa branca”. Essa frase adquira valor verdadeiro se o sujeito não usarroupa branca e falso se o

sujeito vestir uma roupa branca.

Esses são as conjunções que determinam a falsidade ou veracidade da frase.Determinando se

ela foi verdadeira ou falsa. Esses conceitos foram utilizados pelo matemático Boole para a

atribuição de operações aritméticas para resolução de problemas.

George Boole viveu de 1815 até 1864. Em 1854 ele publicou um livro chamado An

Investigation of the Laws of Thought (Uma Investigação das Leis do Pensamento), e nesse livro

ele cria a álgebra booleana (IDOETA E CAPUANO, 1998).

Idoeta e Capuano (1998) falam que no início da era eletrônica, ainda na chamada “eletrônica a

vácuo”, todos os problemas eram resolvidos utilizando-se sistemas analógicos, com sistemas

lineares. Foi somente em 1938 que o engenheiro americano Claude Elwood Shannon resolveu

problemas de circuitos telefônicos usando relés aplicando a álgebra booleana. Ele lançou um livro

chamado Symbolic Analysis of Relay and Switching (Análise simbólica de relés e chaveamento),

criando o campo de eletrônica digital.

Com um pequeno conhecimento de Eletrônica Digital, podemos ver as operações booleanas

aplicadas no exemplo de Idoeta e Capuano (1998):

Figura 1 – Representação em circuito da porta lógica AND.

6

Na Figura 1 podemos associar que verdadeiro seria quando a chave estivesse ligada e falso

seria quando a chave estivesse desligada. Logo, quando somente a chave A estiver ligada, a corrente

não passará e o circuito não será ativo. E quando somente a chave B estiver ligada o circuito ainda

não funcionará. O circuito só funcionará se as chaves A e B estiverem ligadas.

Figura 2 – Representação em circuito da porta lógica OR.

Na figura 2, também de Idoeta e Capuano (1998), temos um contraste com a figura 1. Aqui se

a chave A for ligada o circuito será ativado, mas mesmo com A desligado e B ligado temos o

circuito funcionando. O circuito funcionará se a chave A ou a chave B estiverem ligadas.

Na álgebra linear, onde se contém os símbolos mais básicos: +, -, x e ÷, temos, em álgebra

booleana, os operadores: ˄, ˅ e ¬, respectivamente eles significam: ˄ para e, ˅ para ou, e ¬ para não

(SCHEINERMAN, 2003).

Na álgebra linear podemos ter a expressão:

𝑦 = 𝑥. 𝑧

Podemos substituir x e z por qualquer número, já que a matemática linear contempla toda

infinidade de números infinitesimais. Por exemplo: se atribuirmos os números 6 para x e 7 para z

teremos a resposta para y sendo 42, uma operação simples de multiplicação.

Agora, podemos usar a mesma equação, mas convertendo ela para equações booleanas, temos

que:

𝑦 = 𝑥 ∧ 𝑧

Como aqui só podemos atribuir dois valores para os números, podemos atribuir verdadeiro

para x e falso para z, teremos como o valor de y sendo falso, pois “verdadeiro e falso” tem como

resultado falso.

No uso de eletrônica digital os as operações lógicas são realizadas com os algarismos “1” e

“0”, não relacionando que eles se tratam de verdadeiro e falso, respectivamente:

7

Tabela 1.1. -

Representação padrão. Tabela 1.2. – Representação em cascata.

Ao compararmos as tabelas 1.1 e 1.2, podemos ver claramente a utilização dos algarismos ao

invés das afirmações. A tabela 1.1, de Idoeta e Capuano (pg.43 1998), utiliza-se dos algarismos,

enquanto a tabela 1.2, de Scheinerman (p. 13 2003), utiliza-se das expressões verdadeiro e falso,

tornando linguisticamente lógico a expressão “verdadeiro e verdadeiro”, contrapondo-se ao “um e

um”.

Na primeira comparação da equação booleana com a linear vimos que podemos utilizar a

mesma equação para as duas matemáticas. Podemos unificar as duas concepções de equações

limitando os valores das equações lineares. Como na booleana temos verdadeiro e falsopodemos

limitar a linear para “1” e “0”, respectivamente. Usemos a mesma equação exemplo anterior:

𝑦 = 𝑥. 𝑧

Se atribuirmos os valores “1” para x e “0” para z, temos a resposta de y sendo zero. Não por

coincidência, quando escolhemos verdadeiro e falso a resposta foi falso. Assim sendo, podemos

sim ver verdadeiro como “1” e falso como “0”.

Idoeta e Capuano (1998) falam que soa estranho o fato que 1 + 1 = 1, mas temos que admitir

isso. Quando relacionamos operações booleanas com matemática linear, temos que podar alguns

pedaços da matemática linear para que haja sentido. Normalmente 1 + 1 = 2, porém não existe

espaço para “2” em lógica booleana, então 1 + 1 = 1. Temos que lembrar-nos que são ideias

relacionadas, não números. Em matemática linear temos a operação de inversão dos números, mas

aqui essa inversão de valores é a troca de verdadeiro para falso ou falso para verdadeiro.

Usualmente usado com um traço em cima da variável que será invertida.

Normalmente em sentenças não temos somente um articulador ou, e e não, temos todos

combinados para formar uma frase. Para os próximos parágrafos tomemos como exemplo a frase:

“Limpe o quarto ou a sala, ou então varra a cozinha e não embaixo da geladeira”.

8

Podemos ter o exemplo em álgebra booleana. Relacionando “limpar o quarto” com a variável

x, “limpar a sala” com a variável z, “varrer a cozinha” com a e “não varrer embaixo da geladeira”

com b. Resultando na equação:

𝑦 = (𝑥 ∨ 𝑧) ∨ [𝑎 ∧ (¬𝑏)]

Digamos que o sujeito limpou a sala, mas não seu quarto e varreu a cozinha e não varreu

embaixo da geladeira, teremos as seguintes variáveis com seus valores definidos:

x = verdadeiro; z = falso; a = verdadeiro; b = falso;

Substituindo as variáveis por seus valores podemos resolver a equação:

𝑦 = (𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜 ∨ 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜) ∨ [𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜 ∧ (¬𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜)]

𝑦 = (𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜) ∨ [𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜 ∧ (𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜)]

𝑦 = (𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜) ∨ [𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜]

𝑦 = 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜

Podemos contrapor essa equação com uma linear, limitando-a em “0” e “1” e utilizando-se de

uma barra para a inversão de um valor:

𝑦 = (𝑥 + 𝑧) + [𝑎 . ()]

Utilizando os mesmos valores adquiridos pelas variáveis anteriormente, teremos de convertê-

la em algarismos binários:

x = 1; z = 0; a = 1; b = 0;

Repetindo o procedimento acima, teremos:

𝑦 = (1 + 0) + [1 . (0)]

𝑦 = (1) + [1. (1)]

𝑦 = (1) + [1]

𝑦 = 1

9

Com as relações entre as verdades e as falsidades podemos criar circuitos eletrônicos para

resolução de problemas do cotidiano. Por exemplo: Uma porta que só pode ser aberta se a

impressão digital é reconhecida ou se a pessoa sabe a senha da porta.

Tabela 2. – Formas de manipulação porta lógica OR.

Vendo essas informações podemos ver que há uma operação lógica ou entre as duas

obrigatoriedades. Para suprimir o circuito utilizado aqui utilizamos um símbolo, denominado Porta

Lógica (IDOETA E CAPUANO, 1998). Cada porta lógica tem um símbolo que é relacionado aos

comparadores booleanos. Para o caso desse circuito ele seria:

Figura 3. – Representação Digital de uma porta OR.

Podemos ter o valor verdadeiro convertido para um sinal elétrico para o nível lógico

verdadeiro ou falso. Com um circuito devido convertendo para esses valores, como caso a senha

estiver certa ou errada e outro convertendo a veracidade da digital inserida. Assim verificando e

comparando os valores para liberar a porta se algum dos dois for verdadeiro, ou “1”.

Agora tomemos como exemplo um sistema de proteção mais completo que necessita da íris

do usuário e sua digital para que confirme a abertura da porta. Podemos ter uma tabela que

relaciona as duas variantes do sistema:

Digital Senha Abre

Verdadeira Verdadeira Sim

Falsa Verdadeira Sim

Verdadeira Falsa Sim

Falsa Falsa Não

Digital Íris Abre

10

Tabela 3. – Formas de manipulação porta lógica AND.

Neste caso vemos que há uma relação com a operação erelacionando a veracidade da digital e

da íris. Neste caso o símbolo da Porta Lógica seria (IDOETA E CAPUANO, 1998):

Figura 4. - Representação Digital de uma porta lógica AND.

De novo aqui podemos ter um sinal elétrico equivalente ao valor lógico que será comparado

pelo circuito e dado uma resposta para a porta.

O último caso é o da operação não, que, ao contrário das outras duas é aplicada somente em

uma variável. Podemos compará-la com um cachorro e um gato, eles nunca ficam no mesmo

ambiente, se o gato está dentro de casa o cachorro estará fora, se o cachorro estiver dentro de casa o

gato estará fora.

Tabela 4. – Formas de manipulação de uma porta lógica NOT.

Aqui a porta lógica utilizada fica em uma linha só. Com uma entrada e uma saída, essa é a

porta lógica de negação (IDOETA E CAPUANO,1998):

Verdadeira Verdadeira Sim

Falsa Verdadeira Não

Verdadeira Falsa Não

Falsa Falsa Não

Cachorro está em casa Gato está em casa

Verdadeiro Falso

Falso Verdadeiro

11

Figura 5. – Representação Digital de uma porta lógica NOT.

Novamente o circuito será utilizado com sinais elétricos e depois convertido com portas

lógicas.

Anteriormente utilizamos a frase “Limpe o quarto ou a sala, ou então varra a cozinha e não

em baixo da geladeira” para relacionarmos com lógica booleana e vimos que ela tem a forma de

equação de:

𝑦 = (𝑥 ∨ 𝑧) ∨ [𝑎 ∧ (¬𝑏)]

Então, podemos fazer uma tabela que relacione as veracidades e um circuito de portas lógicas

que aplicará a equação.

X Z A B Saída

Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro

Falso Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro

Verdadeiro Falso Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro

Falso Falso Verdadeiro Verdadeiro Falso

Verdadeiro Verdadeiro Falso Verdadeiro Verdadeiro

Falso Verdadeiro Falso Verdadeiro Verdadeiro

Verdadeiro Falso Falso Verdadeiro Verdadeiro

Falso Falso Falso Verdadeiro Falso

Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro Falso Verdadeiro

Falso Verdadeiro Verdadeiro Falso Verdadeiro

Verdadeiro Falso Verdadeiro Falso Verdadeiro

Falso Falso Verdadeiro Falso Verdadeiro

Verdadeiro Verdadeiro Falso Falso Verdadeiro

Falso Verdadeiro Falso Falso Verdadeiro

12

Verdadeiro Falso Falso Falso Verdadeiro

Falso Falso Falso Falso Falso

Tabela 5. – Manipulação de valores em um circuito digital modelo.

Na tabela verdade obtemos todos os possíveis usos da equação, mas para uma resposta

dinâmica temos de utilizar um circuito. Este circuito:

Figura 6. – Representação Digital de um circuito com portas lógicas.

A figura 4 mostra um esquemático de várias portas lógicas interligadas para a resolução da

equação passada anteriormente. Isso mostra a aplicação eletrônica do que foi mostrado aqui.

Para montar o circuito proposto na figura 4 serão necessários circuitos integrados que façam

esse trabalho de comparação lógica entre duas tensões relacionando-as com verdadeiro e falso.

Existem duas principais tecnologias de circuitos integrados (CI) que são utilizados para a

implantação de portas lógicas em circuitos, chamadas CMOS e TTL (FLOYD, 2007). Há que ser

notado que as operações lógicas são as mesmas para cara família, mas cada uma tem sua aplicação.

A tecnologia de Semicondutor de Óxido Metálico Complementar (CMOS – Complementary Metal-

Oxide Semiconductor) é implantada com um tipo de transistor de efeito de campo. A tecnologia da

Lógica Transistor-Transistor (TTL- Transistor-Transistor Logic) é implementada com transistores de

junção bipolar. Tenha em mente que diferem apenas nos tipos de componentes de circuito e valores de

parâmetros e não na operação lógica básica. Uma porta AND CMOS tem a mesma operação lógica que

uma porta AND TTL. Isso é válido para todas as outras funções lógicas básicas. A diferença entre TTL

e CMOS está nas características de performance tais como velocidade de comutação (atraso de

propagação, dissipação de potência, imunidade a ruído entre outros parâmetros.” (FLOYD, 2007 p.

167).

13

Curiosidade

Se criarmos uma frase “essa sentença é falsa” ela irá adquirirá o valor verdadeiro se a

sentença tiver o valor falso. Isso é impossível de se conceber, tornando um paradoxo.

Exercícios:

1) Identifique e relacione, até esse ponto do capítulo, todas as expressões “ou”,

“e” e “não”.

2) Resolva as seguintes equações dado que:

a = verdadeiro; b = verdadeiro; c = falso.

a) (𝑎 ∧ 𝑏)⋁ (¬𝑎)⋁[(𝑐⋀𝑏)⋀(¬𝑏)] = _____________

b) 𝑐 ∧ [(𝑐 ∧ 𝑎) ∨ (𝑎 ∧ 𝑏)]⋁ [(¬𝑏)⋁(¬𝑎)] = _____________

c) (¬𝑐)⋁ [(¬𝑏) ∨ (𝑐 ∨ 𝑎)] = _____________

d) (¬𝑐) ∧ [𝑎 ∧ (¬𝑏)]⋁ [(¬𝑏)⋁(¬𝑐)] = _____________

3) Desenhe, para cada uma das equações acima, o seu circuito equivalente em

portas lógicas.

14

2. ELETRÔNICA FUNDAMENTAL

2.1. UNIDADES DE MEDIDA

Visto que não há necessidade de um estudo completo das unidades de medida, devido ao

conhecimento de que esse assunto é o primeiro estudado na Fundação Escola Técnica Liberato

Salzano Vieira da Cunha, sendo matéria integrante e essencial para todos os cursos e seus

respectivos fins. Sendo assim, as unidades de medida abordadas neste material, serão apenas as

aplicadas diretamente à eletrônica, expostas de forma básica sem demais aprofundamentos.

Além das potências de base 10, é importante a mostra das unidades de medida do S.I relativas

às constantes mais utilizadas neste estudo. Essas constantes estão dispostas na tabela a seguir:

Tabela 6. – Unidades sistema S.I

Grandeza Física Unidade Símbolo

Comprimento Metro m

Massa Quilograma kg

Tempo Segundo s

Corrente elétrica Ampère A

Temperatura

termodinâmica Kelvin K

Quantidade de matéria Mole mol

Intensidade luminosa Candela cd

Grandeza Física Unidade S.I. Símbolo

Outras

Unidades

S.I.

Expressão

em unidades

básicas do SI

Potência Watt Hz - -

Carga elétrica Coulomb C - 𝑠. 𝐴

Potencial elétrico Volt V 𝑊

𝐴

𝑚². 𝑘𝑔

𝑠3. 𝐴

Resistência elétrica Ohm Ω 𝑉

𝐴

𝑚2. 𝑘𝑔

𝑠3. 𝐴2

15

Tabela 7. –

Unidades

Sistema

Internacional

utilizadas em

Eletrônica.

2.2. RESISTORES

Waters (1981) define os resistores como sendo componentes que apresentam como

característica principal a resistência, que pode ser explicada como sendo uma oposição à passagem

de corrente. São os dipolos mais utilizados. Sua própria definição sugere que seja um dispositivo

possuidor de uma relação de dependência linear entre a tensão U aplicada em seus terminais e a

corrente I que percorre este componente, independentemente do tempo decorrido. Sua outra

característica mais comum é a produção de calor a partir da energia elétrica que o percorre. Uma

explicação básica da unidade ohm pode ser expressa como: “Define-se ohm como a quantidade de

resistência que limita a corrente num condutor a um ampère quando a tensão aplicada for de um

volt.“ (GUSSOW, 1997, p.34).

2.2.1. Resistores Fixos:

Gussow (1997) também apresenta os resistores como componentes que possuem valor

conhecido e bem determinado. Esses valores sãodados a sua oposição à passagem de corrente em

um circuito. O valor é constante em função do tempo, divididos em Resistores de Carbono e

Resistores de Fio Enrolado. Dentre estes dois tipos de resistores fixos, a diferença principal é a

faixa de resistência que suportam, enquanto os de carbono possuem faixa entre 0,1Ω e 22MΩ, os de

fio enrolado têm a faixa reduzida de 1Ω à 100kΩ.

O comportamento de um resistor fixo é linear, devido à sua não alteração da resistência com o

tempo, dessa forma, seu comportamento mediante a aplicação de uma tensão constante em seus

terminais, pode ser expresso por:

Condutância elétrica Siemens S 1

Ω

𝑠3. 𝐴2

𝑚2. 𝑘𝑔

Capacitância elétrica Farad F 𝐴. 𝑠

𝑉

𝑚2. 𝑠4. 𝐴2

𝑘𝑔

Indutância elétrica Henry H 𝑉. 𝑠

𝐴

𝑚2. 𝑘𝑔

𝑠2. 𝐴2

16

Figura 7. – Exemplodo gráfico de uma função constante.

Este comportamento pode ser expresso pela função, derivada da lei ohm:

𝑈(𝑡) = 𝑅 𝑥 𝑖

De onde, sendo U constante e R um resistor fixo, a corrente também será constante. Essa

função é denominada função constante, pois não possui o coeficiente linear (“a”) da função f(x) =

ax + b.

2.2.2. Resistores Variáveis:

Para Gussow (1997) a concepção de resistores variáveis é definida como os componentes que

são usados para variar a quantidade de resistência em um circuito. Podem ser chamados de

potenciômetros ou reostatos. Os potenciômetros apresentam normalmente a composição de um

elemento resistivo composto por carbono, enquanto os reostatos apresentam este elemento resistivo

composto por fio enrolado, porém, em ambos os casos o contato direto que é feito com esse

material se dá por um braço deslizante que indica o valor da resistência acionada no contato deste

braço.

Dentre esses resistores variáveis, ainda existem os resistores que variam seu comportamento

de acordo com as condições do ambiente: LDR (Light Dependent Resistors), NTC (Negative

Temperature Coefficient) e PTC (Positive Temperature Coefficient). Esses resistores são de grande

17

utilidade na eletrônica moderna, pois são feitos especialmente para determinadas situações. O LDR,

por exemplo, é resistor não linear que varia em função da luz incidente.O dispositivo apresentando

resistência em seus terminais em função da intensidade de luz incidente.

Figura 8. – Resistor Dependente da Luz (LDR).

Seu comportamento pode ser percebido pelo gráfico a seguir, regido por uma função

inicialmente considerada 𝑅 = 𝐶 𝑥 𝐿 𝑥 𝑎, onde se possui L = Luminosidade medida em Lux, L e a

como constantes do material de acordo. De acordo com o seu comportamento não linear, a obtenção

de um gráfico só é possível por meio de práticas, pois não possui uma equação padrão, porém é

sabido que seu comportamento é exponencial, o qual pode ser percebido no gráfico a seguir:

Figura 9. – Gráfico do comportamento do LDR.

Como pode ser percebido, seu comportamento exponencial, assemelha-se muito com um

comportamento de uma função de grau 2 (função exponencial) com coeficiente angular (“a”) menor

que 1(um):

18

Figura 10. Gráfico exemplo de uma função exponencial 𝑦 = 𝑎𝑥.

Possível de ser percebido por seu comportamento decrescente em função da luminosidade

incidente.

Após essa mostra de comportamento, uma análise desse comportamento pode ser expressa

por:

Como se vê dessa característica, a resistência apresentada pelo LDR diminui com a

intensidade luminosa aplicada, o que tem permitido sua utilização em circuitos para controle

de brilho automático em televisores, onde se leva em conta a iluminação ambiente e em

sistemas de proteção ou de alarmes. (NOVO, 1973 p.14).

Seguindo, o próximo tópico explicita uma das propriedades mais utilizadas no inicio do

estudo de eletrônica, a questão de funções inversas e a proporcionalidade geradas por essas

inversões advindas das equações originais, tais como:

𝑅 =𝑉

𝐼

1

𝑅=

𝐼

𝑉 = 𝐺 (𝐶𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎)

No caso, invertendo-se o primeiro termo da igualdade, a proporcionalidade entre os termos

continua a mesma. Porém, ao nomearmos essa inversão como G, a proporcionalidade entre esta e o

segundo termo torna-se inverso ao modelo inicial.

19

2.3. CONDUTÂNCIA

Sendo R uma constante de proporcionalidade chamada resistência, a constante G = R-1 é

chamada de condutância. Quando U é dado em volts e I em ampères, temos R em Ω e G em Ω-1:

𝑅 =1

𝐺 𝐺 =

1

𝑅

Ao passo que resistência é a oposição à passagem de corrente, a condutância é a capacidade

de condução que um material possui. É a capacidade de permitir que elétrons percorram seu espaço

físico, sendo representada por uma função inversa.

As funções inversas são definidas aquelas que possuem o conjunto imagem de da primeira,

igual ao conjunto domínio da segunda, possuindo a recíproca verdadeira. Porém, para Dante (2005),

função inversa possui uma definição diferente. Sua explicação é demasiada expositiva, abrangendo

conteúdos não explorados no ensino fundamental.

Finalizando o estudo de resistores, dois casos particulares importantes, são os que Waters

(1981) classifica como sendo os correspondentes aos valores zero e infinito da resistência,

representados, respectivamente, pelas palavras curto-circuitoecircuito aberto. O primeiro se

caracteriza por apresentar uma tensão nula e o segundo pela corrente nula.

2.4. LEI DE OHM

Antes de tudo é necessário esclarecer a definição da equação da lei de ohm, e para essa

definição deve-se possuir um conhecimento prévio de funções.

As funções são classificadas por seu termo de maior grau, o termo de maior grau, é o valor

que possui o maior expoente, o qual pode ser qualquer numero real, incluindo o 0 (zero). No estudo

de eletrônica básica a primeira função estudada é a função de primeiro grau (expoente 1) e será

abordada de duas formas distintas por dois matemáticos diferentes.

De acordo com Dante (2005), as funções de primeiro grau são classificadas pela presença ou

ausência de termos constituintes de sua forma original. Uma função de primeiro grau completa,

possui os termos A e B, coeficiente linear e um coeficiente angular, respectivamente. Essa função

completa é chamada Função Afim, representada por:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏

20

Na ausência do coeficiente linear, a função é classificada como Função Constante, podendo

ser representada por:

𝑓(𝑥) = 𝑏

Já no caso de não possuir apenas o coeficiente linear, a função é classificada como Função

linear. Essa função pode ser representada por:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥

Por último, na ausência do coeficiente angular, e com o coeficiente linear possuindo valor

igual a 1, a função é denominadaFunção Identidade, e é expressa por:

𝑓(𝑥) = 𝑥

Nesse exemplo podemos ver que para todos os valores de x, a função terá o mesmo valor, e

consequentemente, a equivalente de cada valor no eixo vertical será igual a x.

Em um momento diferente buscou-se uma abordagem diferente do assunto. Na álgebra a

função da linearidade comporta a aditividade e homogeneidade e é representada por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥,

onde x é uma constante real. Fazendo-se x igual a α, obtêm-se:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝛼

𝐹𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 − 𝑠𝑒 𝑥 = 𝛼 + 𝛽

𝑓(𝛼 + 𝛽) = 𝑎 (𝛼 + 𝛽)

𝑓(𝛼 + 𝛽) = 𝑎𝛼 + 𝑎𝛽

= 𝑓 (𝛼) + 𝑓(𝛽)

Com isso, para qualquer valor de α e β, demonstra-se a aditividade da função linear.

Multiplicando uma constante ao valor de x, nota-se que ao multiplicarmos a variável pela

constante, o resultado é igual ao valor da imagem da função no ponto x, pela constante,

demonstrando assim a homogeneidade da função linear. Dessa forma podemos relacionar a Lei de

Ohm à função Linear.

21

𝑉(𝑡) = 𝑅 𝑥 𝑖(𝑡)

Figura 11. Gráfico comportamento de um circuito na relação 𝑉 𝑥 𝑖.

Como um exemplo da aplicação desse comportamento, podemos aplica-lo diretamente no

circuito a seguir:

Figura 12. – Circuito básico com uma fonte e um resistor.

De onde pode ser percebido, que sendo uma fonte fixa, com um resistor de comportamento

linear, a tensão U sobre o componente do circuito manter-se-á constante durante qualquer intervalo

de tempo.

2.5. POTÊNCIA ELÉTRICA

Um dos fenômenos mais perceptíveis na eletrônica é o fenômeno de dissipação de potência,

no qual a energia elétrica pode ser transformada em energia térmica, além de possuir um índice de

energia que é transmitido para o resto do circuito elétrico. A definição de potência elétrica pode ser

compreendida por:

22

Quando uma quantidade de elétrons passa entre pontos que tenham uma diferença de

potencial, produz-se certa quantidade de trabalho. Por definição, quando 1 coulomb passa

entre dois pontos que tenham a diferença de potencial de 1 volt, o trabalho executado é de 1

joule. Então o trabalho (W) é igual a QE joules, onde Q é a quantidade de elétrons, medida

em coulombs. A potência é o número de joules de trabalho executado durante t segundos.

(WATERS, 1981 p.30).

Basicamente, “potência elétrica é energia transformada por unidade de tempo.” (PARANÁ,

1976, p.45), a partir disso podemos desenvolver um cálculo para potência elétrica:

Você já sabe que o trabalho da força elétrica em cada portado de carga q é obtido através do

produto entre a ddpUe a carga q:

τ = q. U

Sabe também que, ao atravessar um trecho do circuito, num determinado intervalo de tempo,

a carga q pode ser calculada pela relação:

q = i∆t

Logo, o trabalho da força elétrica pode ser colocado na forma:

τ = U. i. ∆t

Como a potencia elétrica corresponde ao trabalho realizado pela força elétrica na unidade de

tempo, temos:

P =τ

∆t=> P = U. i.

∆t

∆t=> P = U. i

(PARANÁ, 1976, p.45).

Podemos notar uma relação matemática que se pode fazer com a potência elétrica observando

sua fórmula e respectivas derivações: 𝑃 = 𝑈. 𝐼, 𝑃 =𝑈2

𝑅 e 𝑃 = 𝑅. 𝐼2, que fazem menção à dois tipos

de função, tais quais, Funções lineares e Funções Exponenciais.

Funções lineares já citadas anteriormente, no capítulo da Lei de Ohm, porém, apenas a fim

de amostrar, abaixo estão os gráficos a seguir, primeiramente mostrando a relação 𝑃 =𝑈2

𝑅:

23

Figura 13. – Relação gráfica Potência (P) x Tensão (U)

Em seguida, a relação 𝑃 = 𝑅. 𝐼2:

Figura 14. – Relação gráfica Potência (P) x Corrente (i).

Os gráficos mostram que o aumento da potência é diretamente proporcional ao aumento da

corrente e da tensão, explicitando o formato gráfico da função quadrática gerada pela relação

matemática.

As funções exponenciais compreendem uma ampla gama de funções de grau. Dentre essas,

um caso particular é a função quadrática. Esta será a única função de grau que usaremos no estudo

até agora e será definida por Dante (2005), como uma função que possui coeficientes reais a, b, c

com a ≠ 0, tal que f(x) = ax² + bx + c para todo x∈R (x pertencente aos NÚMEROS

REAIS)”.Então pode-se dizer que as equações, tendo uma constante, no caso, a resistência podem

ser escritas da seguinte maneira: 𝑃(𝑈) =𝑈2

𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒(𝑅)+ 0𝑈 + 0 e 𝑃(𝐼) = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒(𝑅). 𝐼²+ 0𝐼 +

0, onde os zeros são respectivamente os coeficientes “b” e “c”.

24

Com o aumento constante da tensão sobre um resistor, é necessário o cuidado da potência

dissipada em um resistor, por isso é tão importante o desenho e cálculos prévios do circuito, visto

que isso evita acidentes, como a queima de componentes eletrônicos. A potência em um resistor

pode ser medida por 𝑃 =𝑉2

𝑅ou 𝑃 = 𝑉 𝑥 𝑖.

Aqui entra a parte legal dos gráficos com P x V & P x I, entre outras, que mostrem a relação

quadrática entre os termos. A questão do vértice da função podendo ser calculado por 𝑥𝑣 = −𝑏

𝑎

e 𝑦𝑣 = −∆

4a.

2.6. ANÁLISE DC

O princípio da análise DC está no entendimento de que a tensão DC é regida por uma função

teoricamente constante, ao levarmos em conta que não haverá variações em relação ao tempo na

amplitude da tensão:

Figura 15. –Tensão DC é constante em função do tempo.

Figura 16. – Gráfico da tensão (teórica) de saída de uma fonte de 12 V em função do tempo.

25

Em seguida, é essencial o entendimento das convenções adotadas para melhor entendimento

dos circuitos eletrônicos. Dessa maneira, adotaremos o sentido de corrente eletrônico,

diferentemente do sentido real da corrente. Apenas com finalidade de demonstração, abaixo estão

representações dos dois sentidos da corrente:

Figura 17. – Sentido Eletrônico. Figura 18. – Sentido Real.

2.7. CIRCUITOS COM FONTES

Os circuitos elétricos são formados por condutores e outros componentes. Um dos mais

simples que podemos ter é um circuito composto por uma fonte (como uma bateria) e um

dispositivo de circuito (como uma lâmpada). Em algumas situações é necessário medir a

intensidade da corrente que atravessa esse circuito, e uma das técnicas utilizadas é a obtenção de um

sistema linear cuja solução nos fornece o dado procurado.

Em circuitos com fontes, as tensões nos componentes são diretamente dependentes dessa(s)

fonte(s). O circuito se torna o resultado de uma soma de funções lineares na forma de um sistema de

funções.

3𝑥 + 𝑦 = 12𝑥 − 3𝑦 = 8

Para resolver o sistema podemos usar o método da adição.

3𝑥 + 𝑦 = 1𝑥(3) => 9𝑥 + 3𝑦 = 3

2𝑥 – 3𝑦 = 82𝑥 − 3𝑦 = 8

11𝑥 = 11 => 𝑥 = 1

26

Substitui-se x=1 na equação 3𝑥 + 𝑦 = 1, obtém-se:

3𝑥 + 𝑦 = 1 => 3𝑥1 + 𝑦 = 1 => 𝑦 = −2

Solução do sistema (1, −2).

Sabemos que uma equação linear com duas incógnitas pode ser representada por uma reta no

plano cartesiano. Desse modo, a interseção das duas retas que representam as equações do sistema

2x2 determina sua solução, caso exista.

2.8. LEIS DE KIRCHOFF

Podemos dizer que a Lei de Kirchoff tem base em duas leis:

2.8.1. Lei Das Correntes

A lei das correntes de Kirchoff nos diz que:

A soma das correntes que chegam a um nó é igual à soma das correntes que saem do

mesmo nó. Considerando-se as correntes que chegam a um nó como positivas e as

que saem como negativas, a Lei das Correntes de Kirchoff estabelece que a soma

algébrica das correntes incidindo em um nó deve ser nula. (PEREIRA, 2004 p.67)

2.8.2. Lei Das Tensões

Conforme a lei das tensões de Kirchoff:

A soma das elevações de potencial ao longo de um percurso fechado qualquer

(malha) é igual à soma das quedas de potencial no mesmo percurso fechado.

Assumindo-se que as quedas de potencial (sentido de percurso do terminal positivo

para o negativo) são positivas ao longo do percurso e que as elevações de potencial

(sentido do percurso do terminal negativo para o positivo) são negativas, a Lei das

Tensões de Kirchoff estabelece que a soma algébrica das tensões em um percurso

fechado é nula. Conforme as definições anteriores, uma malha é um tipo especial de

percurso fechado. (PEREIRA, 2004 p.67).

Estas serão usadas para a resolução de quaisquer circuitos em que haja malhas e, para fazer

estas análises devem seguir os seguintes quatro passos básicos:

27

I. Determinação do número total de malhas do circuito e atribuir um sentido as

correntes respectivas;

II. Aplicação da Lei de Kirchoff das tensões a cada uma das malhas;

III. Substituição da característica tensão-corrente ao longo da malha;

IV. Resolução dos sistemas de equação.

2.8.2.1. Equações lineares

Podemos dizer que os sistemas de equações 𝑚 𝑥 𝑛 são conjuntos de m equações lineares com

n incógnitas:

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑘1𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑘2𝑎𝑛1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 + ⋯ 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 = 𝑘𝑛

Considerando este tipo de equação, como linear, devido ao fato que x1, x2 e xn são as

incógnitas da equação; a1, a2 e an são números reais, denominados coeficientes de uma

equação; e também k1, k2 e kn, que são números reais chamados de termos independentes da

equação. É importante lembrar, também, que toda equação linear tem incógnitas de 1ª grau.

(YOUSSEF, 1993 p.40)

Figura 19. – Circuito resistivo com fonte de tensão independente.

I. 𝑀 = 2, sendo M o número de malhas e, consequentemente, o número de

equações lineares obtidas de sua análise.

II. Fazendo a análise das malhas, dos sinais de polarização de cada componente

podemos obter as seguintes equações:

1- 𝑈𝐹 = 𝑈𝑅1 + 𝑈𝑅2

2- 0 = 𝑈3 − 𝑈2

28

III. Fazendo a substituição das características de tensão-corrente das resistências,

que seguem a Lei de Ohm, podemos reescrever as equações da seguinte maneira:

1- 𝑈𝐹 = (𝑅1. 𝐼1) + 𝑅2(𝐼1 − 𝐼2)

2- 0 = (𝑅3. 𝐼2) − 𝑅2(𝐼1 − 𝐼2)

E então com este conjunto formar a matriz nome da matriz destas equações

lineares, que ficará da seguinte maneira:

[𝑈𝐹 (𝑅1. 𝐼1) +𝑅2(𝐼1 − 𝐼3)

0 (𝑅3. 𝐼2) −𝑅2(𝐼1 − 𝐼2)]

IV. A partir desta representação, resolve-se o sistema, através do método do

Escalonamento Matricial:

2.8.2.2. Escalonamento

Um método bastante pra resolver o nosso problema é através do escalonamento, o qual é

demasiadamente simples. Para iniciarmos seu estudo, vale dizer que: “Um sistema está escalonado

quando de equação para equação, no sentido de cima para baixo, houver aumento dos coeficientes

nulos situados antes dos coeficientes não nulos”, e para escalonar um sistema podem-se seguir

basicamente três etapas:

I. Colocar como 1ª equação aquela que tem 1 como coeficiente da 1ª

incógnita. Caso não haja nenhuma, assim, dividir todos os membros da 1ª

equação pelo coeficiente da 1ª incógnita;

II. Nas demais equações, obter zero como coeficiente da 1ª incógnita (caso já

não seja), somando cada uma delas com o produto da 1ª equação pelo

oposto do coeficiente dessa incógnita;

III. Repetir os itens 1 e 2, substituindo neles 1ª por 2ª, depois 2ª por 3ª, etc.

Neste caso, iremos aplicar isto em uma matriz, posicionando os coeficientes no lugar dos

termos, no molde feito no tópico III.

Notando a linearidade do valor de tensão em um circuito, no momento em que se aumenta a

tensão da fonte, a proporção da tensão nos resistores aumenta da mesma forma. Seguindo esse

raciocínio, quando se quer ter uma tensão em especial em um resistor, podemos fazer a mesma

29

equivalência em resistores ao que primeiramente determinamos uma resistência total para assim,

possuir uma corrente fixa.

Figura 20. – Circuito modelo para divisor de tensão.

Com essa demonstração, a regra de três pode ser usada para determinar os resistores de um

circuito para o melhor funcionamento do mesmo. É um simples exemplo da utilização da função

linear. Exemplo: Sendo 20Volts fixos em um circuito série simples, com resistência total de 2KΩ,

para obter-se 3V em um resistor, devemos:

20𝑉 = 2𝑘Ω x i𝑖 =20

2𝑘Ω𝑖 =

1

100𝑖 = 10𝑚𝐴

R = U/i 𝑈 = 𝑅 𝑥 𝑖

3U = R x 10mA

3U

0,01 = R

R = 300Ω

2.9. SUPERPOSIÇÃO

É o teorema no qual a avaliação de circuitos com mais de uma fonte, ligadas ao mesmo tempo

é feito considerando-se apenas uma fonte de cada vez. Fontes de corrente tornam-se circuitos

30

abertos e fontes de tensão tornam-se curtos-circuitos. Dessa forma, temos a soma de funções

lineares, como resultado em cada parte dos circuitos.

Calculando, associação de fontes em circuitos mistos deve ser feita da seguinte forma:

2.9.1. Associação Série de Fontes

Fontes ideais de tensão são somadas algebricamente.

Fontes reais de tensão são somadas e suas Ri’s somadas em série.

Fontes ideais de corrente não podem ser associadas em série.

Fontes reais de corrente devem ser transformadas em fontes reais de tensão.

2.9.2. Associação Paralela de Fontes

Fontes ideias de corrente são somadas algebricamente.

Fontes reais de corrente são somadas e suas Ri’s somadas em paralelo.

Fontes ideias de tensão devem ser iguais, caso contrário não pode ser associadas.

Fontes reais de tensão devem ser transformadas em fontes reais de corrente.

No teorema da Superposição de fontes deve-se cuidar a direção das correntes na avaliação de

cada fonte para no final, a soma algébrica.

2.10. CAPACITORES E INDUTORES

2.10.1. CAPACITORES

Os capacitores são componentes compostos por duas pequenas placas condutoras, separadas

por uma camada de material isolante, ainda menor que as placas. Com essa composição, ele

armazena energia em seus terminais, pois funciona como uma espécie de fonte, que acumula

energia, até que o circuito seja aberto e permita que ele possa ser descarregado.O capacitor

apresenta sua característica principal baseada na capacitância, que é medida em Farad (F).

31

A carga do capacitor acontece em um determinado valor de tempo, que é representado

normalmente por 5RC, de onde RC é a resultante da Resistência do resistor, multiplicada pela

Capacitância do capacitor.

A capacitância do Capacitor pode ser obtida pela equação C=Q/V. Sendo essa, a relação entre

Capacitância, Carga e Tensão no capacitor. Para manter a relação, no aumento de V, a capacitância

deve diminuir para a mesma transferência de carga ser efetuada.

O Capacitor quando disposto sob uma tensão DC, comporta-se como um circuito aberto,

porém, sua camada de depleção dosa a quantidade de elétrons que passam de uma placa a outra do

capacitor. Porém, antes de comportar-se como um circuito aberto, ele necessita de um tempo para

carregar, o qual é denominado constante de tempo RC, obtida pela fórmula T=5RC, de onde R é a

resistência que deve ser colocada em série com o capacitor, e C é a capacitância total da malha.

Como pode ser percebido no circuito, o capacitor quando aplicado a uma tensão DC em série

com um resistor, forma uma função linear juntamente com este resistor, nos formatos:

UF = Uc + UR

Uc = UF - UR

Como foi mencionado anteriormente, o capacitor necessita de um tempo para carregar seus

terminais, assemelhando-se a uma fonte DC, porém, o comportamento dessa carga, não é dado

linearmente, e sim na forma logarítmica. As equações de carga e descarga de um capacitor, do seu

resistor série e da corrente na malha, quando colocamos todos em um circuito série simples, tem seu

comportamento expresso pelas funções logarítmicas:

CARGA

VC (t)= 𝑉𝑓𝑥 (1 − 𝑒−𝑡

𝑅𝐶)

VR(t) = 𝑉𝑓𝑥(𝑒−𝑡

𝑅𝐶)

It(t) =𝑉𝑓

𝑅𝑥(𝑒−

𝑡

𝑅𝐶)

DESCARGA

VC (t)= 𝑉𝑓𝑥 (𝑒−𝑡

𝑅𝐶)

VR(t) = − 𝑉𝑓𝑥(𝑒−𝑡

𝑅𝐶)

It (t) = −𝑉𝑓

𝑅𝑥(𝑒−

𝑡

𝑅𝐶)

32

Pode-se perceber que todas as equações de carga de capacitores são regidas por

uma constante, a chamada constante de Euler. Essa constante de Euler que possui valor

de 2,7182818, a qual é utilizada como base na função de logaritmo natural. Dessa

forma, podemos perceber que o comportamento dos circuitos RC é dado em função

logarítmica, como podemos perceber nos gráficos a seguir:

As funções logarítmicas apresentam comportamento específico, pois, para cada

valor de x que é colocado na função logarítmica, o valor da função correspondente, é o

logaritmo deste x. Além disso, da mesma forma que as funções exponenciais, podem ser

classificadas como Crescente e Decrescente. Os gráficos a seguir representam exemplos

de funções logarítmicas:

Figura 21. – Curvas características de funções logarítmicas.

Figura 22. – Circuito modelo série com um resistor e um capacitor.

33

2.10.2. INDUTORES

Os indutores são componentes eletrônicos formados por um fio metálico enrolado

na forma de um cilindro, que armazena energia na forma de campo magnético,

normalmente combinando o efeito desses loops que o fio metálico faz ao estar enrolado.

Diferentemente do capacitor, o indutor apresenta uma grandeza física que expressa seu

comportamento, denominada indutância, medida em Henry (H). A energia armazenada

por um indutor é igual à quantidade de trabalho necessário para se estabelecer o fluxo

de corrente pelo componente.

Um indutor resiste apenas às mudanças de corrente em um circuito, idealmente,

não deve apresentar resistência a uma corrente contínua. Quando uma tensão DC é

aplicada sobre um indutor, seu comportamento é semelhante à uma carga de bateria, a

tensão sobre o indutor vai aumentando de forma logarítmica, tendo um tempo médio

para efetuar essa carga completamente. Esse tempo de carga é denominado constante de

tempo LR. Esse tempo é obtido a partir da equação T=5LR, que seria 5 vezes o valor de

indutância, multiplicado pela resistência série com o indutor.

O comportamento dos indutores juntamente com um resistor em um circuito com

uma fonte DC pode ser percebido no circuito a seguir:

Figura 23. – Circuito modelo série com um resistor e um indutor.

Além disso, os indutores quando colocados em uma associação série com um

resistor e uma fonte de tensão DC, possuindo seus períodos de carga e descarga, são

regidos pelas fórmulas:

34

CARGA

VR (t)= 𝑉𝑓𝑥 (1 − 𝑒−𝑡

𝑅𝐶)

VL(t) = 𝑉𝑓𝑥(𝑒−𝑡

𝑅𝐶)

It (t) =𝑉𝑓

𝑅𝑥(𝑒−

𝑡

𝑅𝐶)

DESCARGA

VR (t) = − 𝐼𝑚á𝑥𝑥𝑅𝑥 (𝑒−𝑡

𝑅𝐶)

VL(t) = 𝐼𝑚á𝑥𝑥 𝑅𝑥(𝑒−𝑡

𝑅𝐶)

It (t) =𝑉𝑓𝑚á𝑥

𝑅𝑥(𝑒−

𝑡

𝑅𝐶)

2.11. ANÁLISE AC

No momento em que se começa a estudar a análise AC, é essencial conhecer os

tipos de tensões que são usadas nessa análise. Essas são expressas da seguinte forma:

Figura 24. – Modelos de tensão alternada.

2.11.1. REATÂNCIA

Componentes como capacitores e indutores são muito utilizados em tensão AC,

pois apresentam comportamento parecido nessas condições, e uma dessas características

é a presença de uma espécie de resistência do componente, denominada Reatância, a

qual varia de acordo com a tensão aplicada sobre o componente. Essa relação entre

35

Tensão Alternada é a Reatância, denominada com Xc, para o capacitor, e Xl, para o

indutor. Essa reatância é representada pelas funções:

REATÂNCIA CAPACITIVA Xc=1

2πfC

REATÂNCIA INDUTIVA Xl= 2πfL

Como uma explicação básica, a Reatância, não é nada mais que uma reação que o

componente apresenta a passagem de corrente. É uma reação que gera uma oposição à

passagem de corrente, na forma de uma f.e.m, que varia com o tempo, juntamente com

o fluxo magnético no circuito. Em um indutor, por exemplo, quando é aplicada uma

tensão alternada em seus terminais, os elétrons que antes estavam estáticos, começam a

reagir à passagem de corrente, gerando um campo magnético, o qual é explicado pela

Lei de Lenz.

A Lei de Lenz, buscando uma sucinta explicação da Lei de Lenz, fora encontrado

uma definição bastante simples e de fácil entendimento:

A corrente induzida em um circuito aparece sempre com um sentido tal que o

campo magnético que ela cria tende a contrariar a variação do fluxo magnético

através da espira. (MÁXIMO, 2000 p.130).

Quando associamos reatâncias com alguma resistência, ou ainda reatâncias entre

si, podemos definir esta associação como uma impedância. Esta associação, A

impedância pode ser expressa na forma retangular ou na forma polar, e é caracterizada

pela letra Z (Este tópico será mais bem explicado em seguida). Além disso, na análise

de circuitos a forma polar pode ser expressa em um plano cartesiano. Essa representação

na forma cartesiana, assemelha-se muito à vetores, porém sua nomenclatura é de

notação fasorial.

Os fasores são segmentos de retas orientados, que possuem um valor específico

que seria o valor da impedância total, juntamente com um ângulo de defasagem.

Na eletrônica, utiliza-se a representação Complexa para poder se indicar em um

valor de magnitude e um ângulo de fase, em uma mesma expressão. O operador

imaginário é representado por j, que é um eixo com rotação de 360 graus, onde cada

unidade j, que simula uma variação de 90º nesse eixo. Essa representação a + b x i, por

36

ordem matemática, apresenta um unidade real (a) e uma unidade imaginária (i), a

notação de Número Complexo.

De acordo com Secchin (2006), a notação de número complexo do fasor é

representada pela função:

𝑈(𝑡) = 𝑈𝑚á𝑥 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 + Ө)

Porém, não apenas por poder comportar um módulo e um ângulo, mas os módulos

dos termos da notação complexa, os coeficientes “a” e “b” podem ser considerados os

catetos de um triângulo retângulo:

Figura 25. – Plano Cartesiano de eixos paralelos.

É bom salientar, que estes eixos y e x, representam valores de seno e cosseno,

respectivamente. Como modelo básico, no momento em que o ângulo varia, a

correspondente modular determina a amplitude no movimento.

Além disso, quando um fasor é considerado um valor unitário, e este é feito

percorrer um círculo trigonométrico com uma velocidade 𝑤, produz o efeito visto na

imagem a seguir. Quando colocamos cada ponto em um plano horizontal, percebemos

claramente a formação de uma senoidal.

37

Figura 26. – Representação do movimento do fasor em relação a um plano cartesiano horizontal.

Baseando-se em métodos comuns de aplicação matemática, a expressão x²+1=0,

não possui uma solução inteira, expressando a inexistência de um numero que elevado

ao quadrado possa resultar em -1. Porém, com uma análise matemática, chega-se em (v-

1), mas como não parece ter significado prático, essa expressão foi chamada de i -->

imaginária, levando a definição de um Número Complexo, como aquele que pode ser

expresso por 𝑧 = 𝑎 + 𝑏 𝑥 𝑖.

As operações básicas de adição, subtração e multiplicação são efetuadas de forma

muito semelhante às expressões polinomiais, como por exemplo:

Adição: (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i.

Subtração: (a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i

Em ambos os casos pode-se perceber propriedades polinomiais, como a

propriedade da fatoração por termo em comum, no caso o termo “i”.

Multiplicação: 𝑎 + 𝑏𝑖

𝑐 + 𝑑𝑖 𝑥

𝑎𝑐 + 𝑐𝑏𝑖

𝑎𝑑𝑖 + 𝑑𝑏𝑖2

= 𝑎𝑐 + (𝑎𝑑 + 𝑐𝑏)𝑖 + 𝑑𝑏𝑖²

Seguindo o mesmo conteúdo, para facilitar cálculos de multiplicação de fasores,

usa-se a notação polar dos mesmos.

Essa notação pode ser expressa da seguinte forma N <Ө , que representará a

resultante dessa soma de resistência com reatância, e já que a reatância é uma reação do

componentes que também se opõe a corrente, a resultante é medida em ohm.

Operações com fasores na notação polar:

38

Multiplicação: (40 < 20º) ∗ (30 < 60º) → 1200 < 80º

Divisão: (40 < 60º) ∗ (10 < 20º) → 4 < 40º

2.12. SEMICONDUTORES

Analisando inicialmente o comportamento dos semicondutores, deparamo-nos

com comportamentos regidos por equações não lineares, visto que essas equações

possuem influência tanto das tensões e correntes aplicadas, quanto da temperatura

incidente nestes componentes. Esse tópico de influências é algo que deve ser estimulada

a pesquisa, pois são conhecimentos básicos, que no andamento de Cursos de Eletrônica,

são essenciais (Em caso de curiosidade, pesquise mais sobre o assunto, agregue

conhecimento prático, cresça). Aqui faremos uma pequena introdução aos

semicondutores, na forma mais sucinta possível. As demonstrações a seguir

correspondem à introdução do item 2.8. (Leis de Kirchoff). A retomada deste tópico é

essencial, visto que nele, a demonstração da relação com função de primeiro grau é

demasiadamente simples. Neste caso a relação tornar-se-a mais visível e de fácil

compreensão.

2.12.1. Diodo

Quando falamos em semicondutores, uma forma de explicá-los com maior

facilidade é falar sobre os diodos, que são os tipos de semicondutores mais simples

possíveis, basicamente os diodos são formados por uma junção entre a dopagem tipo N

e tipo P, que consistem em adicionar ao silício pequenas quantidades de Fósforo (ou

Arsênio) e Boro (ou Gálio), respectivamente.

Os efeitos causados por adicionar estes ao Silício são simples, na dopagem tipo N

criam-se elétrons livres, tornando-o um bom condutor e na dopagem tipo P criam-se

lacunas, falta de elétrons, que podem conduzir corrente, quando forçadas, elevando o

Silício de isolante a condutor viável, ou seja, não excelente, por isso semicondutor.

Como dito anteriormente o diodo é um dispositivo muito simples, ele permite que

a corrente flua em uma direção, mas não na outra. Um exemplo disso são as catracas de

39

um ônibus, que deixam as pessoas passar em apenas uma direção. Um diodo é uma

catraca de sentido único para elétrons.

Figura 27. – Diodo polarizado inversamente.

Mesmo que o silício tipo N e o silício tipo P sozinhos sejam condutores, a

combinação mostrada no diagrama não conduz eletricidade. Os elétrons

negativos no silício tipo N são atraídos para o terminal positivo da bateria. As

lacunas positivas no silício tipo P são atraídas para o terminal negativo da

bateria. Nenhuma corrente flui pela junção, pois as lacunas e os elétrons estão

se movendo na direção errada. (MARSHALL, 2001 p.25).

Figura 28. – Diodo polarizado diretamente.

Se você inverter a bateria, o diodo conduz a eletricidade muito bem. Os

elétrons livres no silício tipo N são repelidos pelo terminal negativo da bateria.

As lacunas no silício tipo P são repelidas pelo terminal positivo. Na

junção entre o silício tipo N e o silício tipo P as lacunas e os elétrons se

encontram. Os elétrons preenchem as lacunas. Ambos deixam de existir e

novas lacunas e elétrons surgem em seu lugar. O efeito é que a corrente

flui pela junção. (MARSHALL, 2001 p.26).

40

Vale a pena dizer que, quando polarizado diretamente (Figura 28), o diodo passa a

conduzir a partir da tensão de 0,7V e, quando polarizado inversamente (Figura 27), o

diodo real conduz aproximadamente 10mA.

Figura 29. – Gráfico do comportamento de um diodo.

2.12.2. Transistor Bipolar

Pode-se assemelhar o transistor a um conjunto de diodos, pois ele é formado por

duas junções: uma entre base e emissor, e a outra entre base e coletor, que seriam

equivalentes a diodos. Em caso do transistor ser o tipo NPN, ou seja, suas junções

serem organizadas da seguinte maneira: Tipo N – Tipo P – Tipo N, ou coletor, base e

emissor, respectivamente. Ou o transistor pode ser do tipo PNP, suas junções são

dispostas dessa forma: Tipo P – Tipo N – Tipo P, ou coletor, base e emissor, assim,

como há semelhanças entre os dois tipos de transistores, suas funcionalidades também

são as mesmas, mas com o detalhe de que o sentido das correntes, entre os dois tipos,

são invertidas. Como mencionado anteriormente, pode-se dizer que as junções BE

(Base-emissor) e BC (Base-coletor) são como diodos e, assim, quando polarizados

diretamente, estes apresentam uma barreira potencial de 0,7V e, quando inversamente,

ocorre o mesmo efeito de “corte” da passagem de corrente. (MALVINO, Albert. 1997).

41

Figura 30. – Simbologia e composição básica do transistor.

Outro fator que não se pode esquecer, é que os diodos que as junções

representam que, se os observarmos, será notado que estão virados, logo se os

polarizássemos, eles não poderiam conduzir, por este fato, existe a Base(B), que serve

como controle do transistor, definindo o ponto em que ele inicia a condução.

Dando continuidade a análise da figura acima, podemos dizer que, ao momento

em que a corrente de base (Ib) permite que o transistor conduza, há um encontro das

correntes em um determinado nó. Desta forma, para fins de cálculo, considera-se que a

corrente de emissor (Ie) seja resultante da soma entre a corrente de base e de coletor

(Ic), desta forma, nos dando a equação linear 𝐼𝑒 = 𝐼𝑐 + 𝐼𝑏 , fazendo alusão às Leis dos

Nós, Lei de Kirchoff, o que será melhor explicado a seguir.

Figura 31. – Representação de um transistor de junção Bipolar.

Por esse motivo os transistores podem ser usados como circuitos de chaveamento,

já que se tem um controle da passagem de corrente entre o coletor e o emissor, a base,

que através da intensidade de sua corrente, ou seja, com isto o transistor passa a ter três

regiões de funcionamento (Figura 32): Corte, que devido a corrente de base insuficiente

42

para polarizar os “diodos” de coletor e de emissor, impede a passagem de corrente,

também temos a região de saturação, que ao momento em que a corrente de base se

torna muito intensa, faz com que o transistor conduza como um fio, entre coletor e

emissor, mas também há uma região entre as duas citadas, chamada de ativa.

Figura 32. – Gráfico das regiões de operação do transistor.

Além disso, os Transistores são usados como circuitos de chaveamento, por seus

pontos de saturação e corte que permitem, respectivamente, passagem ou não passagem

de corrente do seu pino de coletor ao pino de emissor.

Figura 33. – Representação de um circuito amplificador.

Nestes circuitos, a relação entre as leis de Kirchoff e as equações de primeiro grau

fica mais visível, no caso, cada caminho que a corrente percorre no circuito pode ser

expresso por uma equação de primeiro grau. Cada caminho corresponde ao trajeto da

corrente do Ucc ao GND da fonte. No caso, podemos dividir essas funções pegando

cada caminho em específico e demonstrando as funções correspondentes.

43

Figura 34. – Representação de uma das malhas do circuito.

Buscando um aprimoramento na visualização do circuito, podemos expressa-lo de

outra forma, explicitando o porquê de possuir esta queda de tensão UBE=0,7V. Da

forma:

Figura 35. – Malha expressa de outra forma.

No primeiro caso, no caminho (malha) que passa no resistor R1, na base e emissor

do transistor, produzindo uma queda de tensão UBE, em seguida passapeloresistor R4 e

terminando no GND. Esta malha pode ser expressa pela equação:

𝑈𝐹 = (𝐼2 𝑥 𝑅1) + 𝑈𝐵𝐸 + (𝐼4 𝑥 𝑅4)

Pode-se ver que gera uma equação com duas incógnitas, as respectivas correntes

do circuito, porém com uma breve análise do circuito, baseado nos cálculos de Divisor

de Tensão e Divisor de Corrente neste circuito consegue chegar aos valores inicialmente

desconhecidos.

44

Figura 36. – Representação da segunda malha do circuito.

No segundo caso, a malha que onde a corrente percorre o resistor R1 e o resistor

R2chegando então ao GND da fonte. Esta malha pode ser expressa pela equação:

𝑈𝐹 = (𝐼2 𝑥 𝑅1) + (𝐼3 𝑥 𝑅2)

No terceiro caso, a terceira malha que o circuito amplificador possui é por onde a

corrente passa pelos resistores R3 e R4, passando pela junção CE do Transistor de

Junção Bipolar e mostrando uma queda de tensão correspondente ao estado atual de

atuação do transistor.

Figura 37. – Representação da terceira malha do circuito.

No caso, levando em consideração que o transistor não esteja cortado, podemos

expressar a equação desta malha da forma:

𝑈𝐹 = (𝐼4 𝑥 𝑅3) + 𝑈𝐶𝐸 + (𝐼4 𝑥 𝑅4)

Ou ainda aplicando uma propriedade associativa do estudo de matemática básica:

𝑈𝐹 = 𝐼4 (𝑅3 + 𝑅4) + 𝑈𝐶𝐸

Voltando ao argumento inicial, visto que os semicondutores eles não possuem

comportamento regido por uma função linear, e isto prejudica a explicação e a

visualização do seu comportamento em forma gráfica ou prática. Porém como a

idealização do material é agregar conhecimento aos poucos, mostrando a relação, ao

passo que essas relações puderem ser ampliadas, versões posteriores com mais conteúdo

podem ser elaboradas.

45

3. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este material é destinado aos alunos que cursam ou pensam em cursar

Eletrônica, e busca facilitar a relação entre os conteúdos de Matemática e Eletrônica,

sendo que estes elementos da disciplina de Matemática, normalmente são estudados em

conjunto com a Eletrônica, porém, muitas vezes sem a relação direta que possuem. Com

o intuito de tornar direta a relação entre estes conteúdos, o presente material busca

tornar o estudo de eletrônica mais visual e atrativo aos alunos. Porém, não ensiná-los

eletrônica. A forma de melhor apresentar o conteúdo em sala de aula cabe ao professor,

e mudanças na metodologia de ensino são pontos não buscados nessa criação.

Possuindo conteúdos específicos totalmente referenciados, buscou-se a essência

do valor da Eletrônica. Além disso, a relação é basicamente criação dos autores. Erros

são evitados, porém muitas vezes podem não ter sido percebidos na elaboração deste

material.

46

REFERÊNCIAS

ABINEE. Associação Brasileira da Indústria Elétrica e Eletrônica. Levantamento

dados sobre busca na área eletroeletrônica. Disponível em:<http://www.

abinee.org.br/>, Acesso em 28 de set. 2012.

BRAIN, Marschall. Como tudo funciona? Tradução de Maria Colenso. 1ª Edição. São

Paulo, 2004.

CARREIRA, Rita; FONSECA, Pedro. Sebenta Multimédia - Análise de Circuitos

Eléctricos. Porto Alegre. UFRGS, 1999.

DANTE, L.R. Matemática: contextos e aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2005. v.

3.(Matemática Contexto e Aplicações). Pág. 354.

FLOYD, Thomas L., Digital Fundamentals, 9th edition. Tradução de José Lucimar do

Nascimento. 9ª Edição. Porto Alegre : Bookman, 2007

IDOETA, Ivan V. CAPUANO, Francisco G. Elementos de Eletrônica Digital. São

Paulo. Editora Érica, 1998.

LUZ, Antônio Máximo Ribeiro da; ÁLVAREZ, Beatriz Alvarenga. Curso de

física. v.3. 5.ed. 2.imp. São Paulo: Scipione, 2001.

MARCONDES, Carlos Alberto; GENTIL, Nelson; GRECO, Sérgio Emílio.

MATEMÁTICA. Volume Único. 7ª Edição (Revisada). Editoria Ática.

MELO, Vinícius Secchin de; Eletrônica Básica: Fasores. Disponível

em:<http://www2.ele.ufes.br/~vinicius/Eletronicabasica/Fasores.pdf> Acesso em: 12 de

set. 2012.

NOVO, Darcy Domingues. Eletrônica Aplicada. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e

Científicos. Ed. da Universidade de São Paulo. 1973.

47

PEREIRA, Luiz Alberto. Disciplina de Circuitos Elétricos I. PUCRS. 2004.

Disponível em:<http://www.feng.pucrs.br/~fdosreis/ftp/elobasicem/Aulas%202006%20II/Aula1/Conc

eitos_basicos.pdf>Acesso em 09 de Set. 2012.

SCHEINERMAN, Edward R., Mathematics: a discrete introduction. Tradução de

Alfredo Alves de Farias. São Paulo: Thomson Learning Edições,2003.

SOUZA, Joamir Roberto de. NOVO OLHAR MATEMÁTICA. 1ªEd. São Paulo.

Volume 2. FTD, 2010. (Coleção novo olhar).

WATERS, Farl J. A B C da Eletrônica. Tradução de José Gurjão Neto. 2ª Edição. Rio

de Janeiro: Antenna. 1981.

YOUSSEF, Antonio Nicolau; FERNANDEZ, Vicente Paz. Matemática - Conceitos e

fundamentos. São Paulo: Scipione, 1993.

Nota dos autores: Como essa pesquisa não visa lucros, este material didático pode ser

copiado inteira ou parcialmente, desde que sejam mantidos os nomes dos autores nas

cópias.