A INTRODUÇÃO DO RACIOCÍNIO FUNCIONAL NO 5º ANO DO ENSINO

FUNDAMENTAL: UMA INTERVENÇÃO

Antonio César Nascimento Teixeira1

GDnº 1 – Educação Matemática nos anos Iniciais do Ensino Fundamental

O objetivo deste estudo é identificar as possibilidades de introduzir o raciocínio funcional,

no 5º ano do Ensino Fundamental em uma escola pública do sul do Estado da Bahia,

trabalhando com a função polinomial do 1º grau, a partir de situações referentes à

proporção simples. Dessa forma visa responder a seguinte questão de pesquisa: Como se

dá a compreensão sobre funcionalidade em estudantes do 5º ano do Ensino

Fundamental? Quais estratégias eles utilizam ao se deparar com atividades que

explorem o raciocínio funcional? Este projeto está pautado nas ideias da Teoria dos

Campos Conceituais de Vergnaud (1996) no que se refere à Estrutura Multiplicativa,

enfocando o eixo da Proporção Simples e as classes um para muitos e muitos para muitos.

O procedimento metodológico escolhido é o da pesquisa quase-experimental (RUDIO,

2001). É esperado que, a partir desse trabalho os estudantes se apropriem de raciocínio

funcional na resolução das situações de proporção simples.

Palavras-Chave: Anos Iniciais; Estrutura Multiplicativa; Função; Proporção Simples;

Intervenção.

Introdução

Como professor da Rede Pública do Estado de São Paulo desde 1987, trabalhando com

estudantes do Ensino Médio, em especial com os do 1º ano, pudemos perceber que eles

apresentam certas dificuldades na compreensão do conceito e propriedades das funções em

geral.

As orientações dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) indicam que as primeiras

noções de função polinomial de 1º e 2º graus iniciam, comumente, no 9º ano do Ensino

Fundamental, contudo nossa proposta é de antecipar essa introdução já no 5º ano. Desse

modo, com as devidas adaptações didáticas necessárias, essas noções já poderiam ser

tratadas desde os anos iniciais do Ensino Fundamental. Essa introdução antecipada se

justifica pelo fato de termos encontrado um estudo correlato, no 7º ano, (PIRES, 2009) que

trabalhou com função afim a partir de modelagem matemática.

1 Universidade Estadual de Santa Cruz, cesinhascs@uol.com.br, Bolsista CAPES, orientadora Dra. Sandra

Magina.

Este projeto de dissertação está inserido no âmbito do Projeto FAPESB (PES0019/2013)

2

Corroboram com essa ideia Carraher, Martinez, Schliemann (2007); Canavarro (2007) e

Yamanaka, Magina (2008), quando expõe seus estudos sobre a Early Algebra concluindo

ser possível adiantar alguns conteúdos que são ministrados apenas nos anos finais do

Ensino Fundamental ou no Ensino Médio.

Isso posto, o objetivo de nosso estudo é investigar o raciocínio funcional introdutório

dos estudantes do 5º ano do Ensino Fundamental. A partir deste objetivo construímos

nossa questão de pesquisa a qual encontra-se assim expressa: Como se dá a compreensão

sobre funcionalidade em estudantes do 5º ano do Ensino Fundamental? Quais

estratégias eles utilizam ao se deparar com atividades que explorem o raciocínio

funcional?

Para alcançar o objetivo e responder a questão de pesquisa, dividimos nosso trabalho em

quatro capítulos que passamos a transcrever.

1. A Álgebra

(Capítulo em Construção)

2. Fundamentação Teórica

Esse capítulo é dedicado a apresentarmos as ideias teóricas que fundamentaram nosso

estudo. Iniciamos discutindo a Teoria dos Campos Conceituais (VERGNAUD, 1996), em

especial naquilo que interessa para este estudo, qual seja, as Estruturas Multiplicativas no

seu eixo Relações quaternárias.

Na sequência abordamos a Early Algebra, pois julgamos que esse aporte teórico está

diretamente relacionado com esta pesquisa, uma vez que estamos trabalhando álgebra já

nos anos iniciais.

2.1. Teoria dos Campos Conceituais

Nosso interesse nesse estudo é trabalhar, a partir de situações-problema, norteados pela

Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1996), a qual postula que é por meio da

situação que o sujeito é confrontado com novas experiências e, para resolvê-las, ele se

utiliza dos conhecimentos já apropriados na tentativa de novas descobertas.

A Teoria dos Campos Conceituais “é uma teoria cognitiva que visa fornecer um quadro

coerente e alguns princípios de base para o estudo do desenvolvimento e da aprendizagem

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de competências complexas, notadamente das que relevam das ciências e das técnicas”

(VERGNAUD, 1996, p. 155). Nela distingue-se duas classes de situações, a saber:

1 – classe de situações para as quais o sujeito dispõe, no seu repertório, num

dado momento do seu desenvolvimento, e em determinadas circunstâncias, das

competências necessárias ao tratamento relativamente imediato da situação; 2 – classes de situações para as quais o sujeito não dispõe de todas as

competências necessárias, o que o obriga a um tempo de reflexão e de

exploração, a hesitações, a tentativas abordadas, conduzindo-o, quer ao êxito,

quer ao fracasso (VERGNAUD, 1996, p.156).

Desse modo, ao tentar solucionar a situação o sujeito poderá utilizar conhecimentos

apreendidos dentro de um determinado domínio, o qual poderá ou não ser efetivo para

resolvê-la. Ao professor cabe então propor uma variedade de situações, compostas por

diferentes relações nas quais um conceito possa ser desenvolvido com seus estudantes, em

busca de uma evolução nas suas resoluções. No caso de nossa pesquisa, o conceito a ser

trabalhado é o de função, especificamente da função polinomial do 1º grau. Isto leva-nos a

entender a afirmação de Vergnaud, qual seja, que para haver a compreensão de um

conceito, por mais simples que ele possa ser, tal compreensão não será atingida advinda de

apenas um tipo de situação. Da mesma forma, uma simples situação sempre envolverá

mais de um conceito.

Para entendermos melhor essa teoria, transcrevemos a seguir o que é campo conceitual

para Vergnaud:

O sentido do desenvolvimento e do funcionamento de um conceito no decurso da aprendizagem ou quando de sua utilização, deve considerar, ao mesmo tempo: o

plano das situações, o dos invariantes operatórios e o das representações

simbólicas. Não há em geral bijeção entre significantes e significados, nem entre

[esquemas] invariantes e situações.

Um conceito se constitui através de uma variedade de situações, e diferentes

invariantes estão envolvidos em diferentes situações. Ao mesmo tempo, uma

situação não pode ser analisada pela via de um único conceito, pois sua

resolução mobiliza, como já vimos, vários esquemas (VERGNAUD, 1985, 1990,

194, apud FRANCHI et al, 1999, p. 173-174).

Dentre os campos conceituais nos interessa o campo conceitual multiplicativo, cujas

situações envolve o tratamento de uma ou mais operação de multiplicação e/ou divisão.

Segundo essa teoria, o estudo do desenvolvimento de um campo conceitual requer o

reconhecimento, por parte do pesquisador, de que um conceito seja formado por uma terna

de conjuntos (S, I, R), sendo:

S é um conjunto de situações que tornam o conceito significativo;

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I é um conjunto de invariantes (objetos, propriedades e relações) que podem ser

reconhecidos e usados pelo sujeito para analisar e dominar essas situações;

R é um conjunto de representações simbólicas que podem ser usadas para

pontuar e representar esses invariantes e, portanto, representar as situações e os

procedimentos para lidar com eles. (MAGINA, 2008, p.7).

Neste estudo consideramos o conjunto de situações como sendo aquele formado pelas

sequências, quer sejam com figuras, quer sejam numéricas, relações um para muitos e as

relações muitos para muitos. O conjunto de invariantes é aquele formado pela relação fixa

entre as grandezas e o conjunto de representações é formado pela linguagem natural,

representações pictóricas e representações algébricas.

Essa variedade de situações das quais emergem o conceito em que pretendemos trabalhar,

fazem parte das Estruturas Multiplicativas (VERGNAUD, 2009), mais especificamente das

relações quaternárias no que se refere a proporção, apresentado a seguir.

2.1.1. Estruturas Multiplicativas

Para Vergnaud (2009) as situações do campo conceitual multiplicativo são classificadas

como relação quaternária e relação ternária. A primeira refere-se a situações que

comportam quatro quantidades de duas grandezas distintas, duas a duas. Quanto às

situações referentes à relação ternária, estas comportam três quantidades, em que uma é

produto das outras duas. Para o propósito deste estudo, interessa-nos as relações

quaternárias no eixo de proporção simples.

Pensemos no seguinte exemplo:

DOIS CARROS POSSUEM 8 RODAS. QUANTAS RODAS POSSUEM 6 CARROS?

Notemos que se trata de uma situação-problema envolvendo quatro quantidades de duas

grandezas distintas (carros e rodas), duas a duas, sendo a quantidades de carros (2), a

quantidade de rodas (8) e quer saber a quantidade de rodas (?), considerando a quantidade

de 6 carros. Assim temos três quantidades e queremos determinar a quarta, por isso é

chamada de relação quaternária.

Nas situações relativas às relações quaternárias, Vergnaud (2009) destaca dois tipos de

análise: a vertical, centrada na noção do operador-escalar que opera com as quantidades de

mesma grandeza; e a horizontal, centrada na noção de operador-funcional, que permite

passar de uma quantidade para outra, porém de grandezas distintas. Nosso estudo se

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pautará sobre tal análise horizontal, pois esta está diretamente relacionada com o raciocínio

funcional, que é o objeto de nossa pesquisa. Abaixo apresentamos os esquemas

relacionados a cada uma das análises, relativos ao exemplo anterior:

Análise vertical – operador escalar

Esquema 1 - Análise de um problema utilizando o operador escalar (vertical)

QUANTIDADE QUANTIDADE

DE CARROS DE RODAS

2 8

x 3 x 3

6 ?

Fonte: Inspirado no esquema de Vergnaud (2009)

Análise horizontal – operador-funcional

Esquema 2 - Análise de um problema utilizando o operador funcional (horizontal)

QUANTIDADE QUANTIDADE

DE CARROS DE RODAS

2 f (x 4) 8

6 f (x 4) ?

Fonte: Inspirado no esquema de Vergnaud (2009)

Vergnaud (2009, p. 252) ainda afirma que é nessa análise horizontal que está a raiz “das

dificuldades encontradas para fazer a criança compreender a noção de função”. Ele aponta

que a noção de correspondência entre as quantidades de grandezas distintas e a

representação em tabela não apresenta qualquer dificuldade aos estudantes. Contudo, a

“análise dessa correspondência em termos de função, é por seu lado, muito mais delicada

porque implica não somente a noção de relação numérica, mas também aquela de

quociente de dimensões” (Ibid., p.252). No exemplo supracitado, podemos observar um

operador-funcional f, que estabelece uma relação entre as duas grandezas (carros e rodas) e

essa relação é fixa (f(x) = 4x). E mais, para descobrir essa relação é preciso dividir a

quantidade de rodas conhecida (8) pela quantidade inicial de carros conhecida (2), ou,

ainda, multiplicar por oito meios (x 8/2), como mostra o Esquema 3 abaixo:

6

Esquema 3 - Explicação do uso do operador funcional (horizontal)

QUANTIDADE QUANTIDADE

DE CARROS DE RODAS

2 x 8/2 8

SE QUEREMOS ENCONTRAR A QUANTIDADE DE RODAS QUE POSSUEM 6 CARROS, TEMOS:

carros2 x carros

rodas

2

8 = rodas8

ENTÃO, PODEREMOS APLICAR ESSA MESMA RELAÇÃO A 6 CARROS PARA ENCONTRAR:

carros6 x carros

rodas

2

8= rodas24

Fonte: Inspirado no esquema de Vergnaud (2009)

Vergnaud reitera sua posição no cuidado que devemos ter ao lidar com situações

semelhantes a esta, quando cita

[...] não se deve subestimar a dificuldade de certas noções como as relações, de

proporção, de fração e de função que exigem precauções didáticas importantes

bem depois do ensino elementar. Apesar disso, essas noções devem ser tratadas

desde o ensino elementar. (VERGNAUD, 2009, p.265, grifo nosso).

Dessa forma, considerando as ponderações acima afirmadas por Vergnaud e o objetivo

desta pesquisa, investigar a compreensão introdutória do raciocínio funcional no 5º ano do

Ensino Fundamental a partir de situações de proporção simples, passamos a explicitar o

que vem a ser uma relação quaternária, o eixo proporção simples e as classes um para

muitos e muitos para muitos.

A classe um para muitos é aquela em que uma das quantidades é a unidade. Por exemplo:

UM CARRO POSSUI 4 RODAS. QUANTAS RODAS POSSUEM 5 CARROS?

Parte-se da quantidade de rodas de um (1) carro, para chegar a quantidade de rodas de

cinco (5) carros. Classificamos, também, na classe um para muitos as situações que partem

de muitos e chegam na unidade, como a partir da quantidade de rodas que possuem cinco

carros e quer chegar na quantidade de rodas que possui um carro.

EXEMPLO: SABENDO QUE CINCO CARROS POSSUEM 20 RODAS, QUANTAS RODAS POSSUI UM

CARRO?

Portanto, na classe um para muitos a unidade sempre será uma das quantidades.

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Na classe muitos para muitos, a unidade não está explicitamente presente nas quantidades.

Retomemos nosso primeiro exemplo: Dois carros possui 8 rodas. Quantas rodas possuem

6 carros? Temos as quantidades, 2 e 6 para carros e 8 e 24 (essa última quantidade a ser

determinada), para rodas. Percebe-se que a unidade não está nas quantidades (embora,

nessa situação, possa ser encontrada) e por isso chamamos de muitos para muitos.

Após a explanação de nossa fundamentação teórica no que tange à Teoria dos Campos

Conceituais, especificamente as Estruturas Multiplicativas no seu eixo Relações

quaternárias, definido a relação da proporção simples e o pensamento funcional, e

considerando que a função é um dos conceitos da álgebra escolar, na sequência

discutiremos as ideias de um grupo de pesquisadores que tem se tornado forte na Educação

Matemática que é a Early Algebra.

2.2. Early Algebra

Em conjunto com a Teoria dos Campos Conceituais, elegemos também, como aporte

teórico a Early Algebra, por entendemos que ela está diretamente relacionada com esta

pesquisa, uma vez que estamos trabalhando álgebra já nos anos iniciais. Sabemos que

atualmente inúmeras pesquisas referem-se à possibilidade de antecipar a introdução da

álgebra para os estudantes do Ensino Fundamental.

Para abrirmos a discussão referente a álgebra nos anos iniciais, trouxemos Carraher,

Schliemann e Schwartz (2007, apud Carraher, Martinez e Schliemann, 2008, p. 5, tradução

nossa) que citam “álgebra inicial entrelaça com temas tradicionais do currículo do ensino

fundamental, introduz a notação algébrica de forma gradual, e depende fortemente de ricos

contextos de suporte.”. Os autores afirmam que o ensino da álgebra nos anos iniciais pode

ser totalmente articulado com os temas trabalhados dentro do currículo dos anos iniciais.

Isso significa que estudantes dessa faixa etária já podem estar aptos a compreender o

raciocínio algébrico. Contudo há um alerta com relação a apresentação da álgebra, que seja

de forma gradual e esteja dentro de um contexto. A preocupação é relevante ao pensarmos

no ensino algébrico apenas e tão somente como técnicas de resolução.

Nesse sentido, Yamanaka e Magina (2008) chamam a atenção ao citar que a Matemática

nas séries iniciais se baseia em aritmética e na fluência calculatória, constituindo-se

puramente em uma abordagem procedimental e que essa abordagem aponta para um

cenário de insucessos em termos das realizações estudantis.

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Concordamos com essas afirmações, pois julgamos que a matemática é mais do que

fluência calculatória ou procedimentos repetidos. A matemática deve levar o estudante a

ser reflexivo, pensando e analisando qual a melhor forma de solução para um problema.

Alguns pesquisadores são favoráveis a inclusão do pensamento algébrico no currículo de

Matemática. Nesse sentido Canavarro (2007, p. 91), pondera que “uma abordagem

algebrizada da aritmética poderá contribuir para ancorar de forma mais sustentada a

aprendizagem da álgebra nos anos posteriores”.

Corroborando com essas ideias, Carraher, Martinez e Schliemann (2008) pontuam

que

Precisamos entender e promover a transição de uma matemática fundamentada,

em grande parte, em observação empírica e casos particulares para uma baseada

na coerência lógica e, em última análise, raciocínio sobre estruturas matemáticas

que tem pouco ou nenhum pé no mudo empírico” (p. 3, tradução nossa).

Ainda conforme essa citação, podemos entender que uma compreensão profunda da

aritmética necessita de generalizações matemáticas e um entendimento dos princípios

básicos algébricos.

Em Carraher, Martinez e Schliemann (2008), temos o recorte de um estudo com o relato de

duas lições a respeito de funções lineares em sala de aula cuja participação contou com 15

estudantes que participaram por 3 anos de investigação longitudinal em duas salas de aula

de uma escola metropolitana de Boston. Os estudantes participaram das investigações

sobre álgebra inicial desde o início da terceira série durante 3 horas por semana e ainda

participavam de suas aulas regulares de matemática. Nesse recorte, os autores concluem:

“Mas há boas razões para a introdução de funções como mapeamentos de

entrada e saída.

Podemos querer introduzir generalizações para os estudantes através das próprias

formas são encontradas no interior do campo da matemática. Mas, mais uma vez,

este é inconsistente com a forma como os jovens estudantes aprendem. Eles

devem primeiro aprender a fazer generalizações matemáticas sobre problemas

para os quais eles estão autorizados a procurar padrões e relações de nota e

estruturas. Aos poucos, eles aprendem a formular essas generalizações, utilizando a notação algébrica. Ainda mais gradualmente, eles vão aprender a

derivar novas informações ao refletirem sobre as expressões algébricas

produzidas por eles mesmos e as que outros produziram.” (p. 20, tradução

nossa).

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Pelo descrito nessa seção, entendemos que nosso trabalho pode ser classificado como

inserido na Early Algebra, e com foco em nosso objetivo, observaremos se as sugestões

mencionadas se confirmam.

3. Procedimentos Metodológicos

Neste capítulo, descrevemos os procedimentos metodológicos adotados para atingir nosso

objetivo e, assim, respondermos à seguinte questão de pesquisa: Como se dá a

compreensão sobre funcionalidade em estudantes do 5º ano do Ensino Fundamental?

Quais estratégias eles utilizam ao se deparar com atividades que explorem o

raciocínio funcional? Desse modo, iniciamos o capítulo apresentando a opção teórico-

metodológica, em seguida o desenho geral do experimento que corresponde: (a) ao

universo de estudo, no que diz respeito aos participantes; (b) aos instrumentos

diagnósticos; (c) à intervenção de ensino.

3.1. Opção Teórico-Metodológica

Optamos por realizar uma pesquisa quase-experimental, de caráter intervencionista, com a

finalidade de introduzir o pensamento funcional aos estudantes do 5º ano do Ensino

Fundamental. Segundo Fiorentini e Lorenzato

As pesquisas experimentais, quase-experimentais ou de laboratório

caracterizam-se pela realização de “experimentos” que visam verificar a validade

de determinadas hipóteses em relação ao fenômeno ou problema. Entendemos

por experimento aquela parte da investigação na qual se manipulam certas

variáveis e se observam seus efeitos sobre outras. Esses estudos podem ser

realizados em laboratórios ou não, podendo ser caracterizados como quase-

experimentais ou, simplesmente, experimentais. (2012, p.71)

Na perspectiva de Rudio (2001) este estudo está definido como uma variação do plano

clássico da pesquisa experimental, pois este não conta com o grupo controle. Este estudo,

segundo o autor conta com um

Grupo único comparado “antes“ e “depois” – Às vezes não podemos encontrar

um grupo de controle para realizarmos um experimento. Neste caso, contamos

apenas com um grupo experimental – grupo único.[...] Há, portanto, um pré-teste

“antes” da aplicação do fator experimental e um pós-teste “depois”. Este plano

permite obter informação da influência que o fator experimental exerce sobre os

indivíduos e certas modificações que produz [...] (RUDIO, 2001, p. 85).

Nesse sentido, esta pesquisa busca testar a eficácia de uma intervenção de ensino planejada

para introduzir o pensamento funcional com uma turma do 5º ano do Ensino Fundamental

de uma escola pública de Ilhéus BA. Para tanto o estudo foi constituído de duas etapas

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distintas: uma envolvendo a aplicação de instrumentos diagnósticos (pré e pós-testes 1 e 2)

e outra voltada para a intervenção de ensino (fator experimental) aqui referida.

3.2. Desenho Geral do Experimento

Nesta seção apresentaremos dois tópicos de nossa metodologia, quais sejam, o universo do

nosso estudo, especificando a nossa amostra, e as etapas do estudo. Dentro da descrição

dessas etapas, listaremos os instrumentos utilizados em cada uma delas e os

procedimentos.

3.2.1. Universo do Estudo

A pesquisa foi desenvolvida em uma escola da rede pública municipal do sul da Bahia, em

uma classe de estudantes do 5º ano do Ensino Fundamental.

A escola funciona nos turnos, matutino e vespertino. Possui 535 estudantes do 1º ao 5º ano,

divididos em 22 turmas, 11 em cada turno. A escola possui espaço amplo para recreação,

sala de informática, biblioteca e salas para administração. O corpo docente é composto por

18 professores, todos com formação em nível superior (17 em Pedagogia e 1 em História) e

duas coordenadoras pedagógicas, ambas com formação em Pedagogia.

A classe em que o estudo foi realizado é do período matutino, cujo horário de início da

aula é às 7h30min e seu término às 11h30min. A turma era composta por 30 alunos

matriculados mas somente 29 frequentavam a aula.

3.2.2. Etapas do Estudo

Nesta seção descrevemos as etapas do estudo e como citamos anteriormente, ele foi

dividido em duas: aquela voltada para a aplicação dos instrumentos diagnósticos

(chamaremos de Etapa Diagnóstica, composta por três instrumentos: pré-teste, pós-teste 1

e pós-teste 2) e uma outra etapa, a aplicação de uma intervenção de ensino (chamaremos de

Etapa Intervenção).

Na Etapa diagnóstica, aplicamos três instrumentos diagnósticos, todos explorando os

mesmos conteúdos. O pré-teste foi aplicado com o intuito de diagnosticar o pensamento

funcional dos estudantes antes da intervenção. Uma semana após a intervenção de ensino,

aplicamos o primeiro pós-teste, denominado por pós-teste 1, o qual foi composto pelas

mesmas questões do pré-teste, porém com a ordem das questões alterada. A finalidade

desse pós-teste 1 foi o de avaliar o desempenho dos estudantes para resolver questões

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relacionadas ao pensamento funcional após a intervenção, ou seja, em última análise

queríamos investigar se houve ou não evolução no pensamento funcional dos estudantes,

após nossa intervenção de ensino. Por fim, 60 dias após a aplicação do pós-teste 1,

aplicamos o segundo pós-teste, denominado por pós-teste 2, o qual foi uma cópia do pós-

teste 1. A finalidade desse último instrumento foi o de investigar o que realmente ficou

apreendido pelos estudantes sobre o assunto.

Tanto o pré-teste quanto os dois pós-testes foram compostos por quatro situações, com três

subitens, relativas à proporção simples, cuja abordagem perpassou por sequência e

raciocínio funcional. Assim, todos os instrumentos tiveram 12 itens.

Os resultados obtidos podem ser analisados qualitativamente considerando as ações,

esquemas e processos utilizados pelos estudantes na resolução das situações problema,

antes e após as intervenções, bem como podemos analisar os resultados quantitativamente,

verificando a porcentagem de acertos dos estudantes, antes e após as intervenções.

(Testes diagnósticos: pré-teste, pós-testes 1 e 2 em construção)

A intervenção foi composta de cinco encontros semanais. (Essa etapa está em construção)

4. Análise dos dados

(Capítulo a ser construído após coleta dos dados)

REFERÊNCIAS

BASSANEZI, R.C. Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática, 3ª ed. São

Paulo: Contexto, 2006.

BIEMBENGUT, M.S. e HEIN, N. Modelagem Matemática no Ensino, 8ª série. São

Paulo: Contexto, 2007.

BLANTON, L. M. et al. Early Algebra. In: Algebra: Gateway to a Technological

Future, Columbia/USA, The Mathematical Association of America, 2007, p. 14-18.

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:

Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998.

CANAVARRO, A. P. O pensamento algébrico na aprendizagem da Matemática nos

primeiros anos. Quadrante, v. XVI, n. 2, p. 81-118, 2007.

CARRAHER, D. W.; MARTINEZ, M. V.; SCHLIEMANN, A. D. Early álgebra and

matematical generalization. ZDM Mathematics Education, v. 40, p. 3-22, 2008.

12

DANTE, L. R. Tudo é Matemática: ensino fundamental. 2. ed. São Paulo: Ática,

2005. 320 p.

FIORENTINI, D. e LORENZATO, S. Investigação em educação matemática:

percursos teóricos e metodológicos. 3ª Ed.rev. Campinas, SP: Autores Associados, 2012.

IEZZI, G. et al. Matemática volume único – Ensino Médio. 5. ed. São Paulo: Atual,

2011. 944 p.

KAPUT, J. J. (1999). Teaching and Learning a New Algebra With

Understanding. Disponível em

<http://www.cimm.ucr.ac.cr/eudoxus/Algebra%20Teaching/pdf/Kaput,%20J.,%20Runni

ng%20head,%20teaching%20and%20learning%20a%20new%20algebra.%20Teaching%

20and%20learning%20a%20new%20algebra%20with%20understanding..pdf>.

Consultado em 23 de julho de 2015.

MAGINA et al. Repensando adição, subtração: contribuições da Teoria dos Campos

Conceituais. São Paulo: PROEM, 2008.

PIRES, R.F. O uso da Modelação Matemática na construção do Conceito de Fração,

Dissertação de Mestrado, PUC-SP, 2009.

POLYA, G. A Arte de Resolver Problemas (Heitor Lisboa Araújo, trad.), Rio de

Janeiro: Editora Interciência, 1995.

RUDIO, F. V. Introdução ao projeto de pesquisa científica. 29 ed. Petrópolis: Vozes.

2001

VERGNAUD, G. A teoria dos campos conceituais. In: BRUN J. (Ed.). Didáctica das

Matemáticas. ( Maria José Figueiredo, trad.). Lisboa: Instituto Piaget, 1996. p. 155-191.

______. A criança, a matemática e a realidade: problemas do ensino de matemática

na escola elementar. (Maria Lucia Faria Moro, trad.). Curitiba: Ed. da UFPR, 2009.

YAMANAKA, O.; MAGINA, S. Um estudo da “Early Algebra” sob a luz da Teoria dos

Campos Conceituais de Gerard Vergnaud. In: ENCONTRO PAULISTA DE

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 9., 2008, Bauru. Anais... São Paulo: SBEM/SBEM-SP,

2008.