a história da trigonometria

A História da Trigonometria

Orientador: Prof. Rose Jucá

Universidade do Estado do Pará – UEPACristiane do S. F. dos Santos

Keila dos S. Ferreira

Belém – PA

Setembro - 2009

Origem e Significado

Matemática grega por volta século IV ou V a.C;

Surgiu devido as necessidades da Astronomia (p/ calcular a localização e o tempo), Navegação, na Agrimensura e na Geografia;

A palavra trigonometria vem do grego tri – três, gono – ângulo e metrien – medida, significando medida de triângulos. “Estudo das relações entre os lados e os ângulos de um triangulo”.

Povos que contribuíram para o surgimento da trigonometria

Egito e BabilôniaCálculo de razões

números e entre lados de triângulos semelhantes.

No Egito temos o Papiro Ahmes, conhecido como Papiro Rhind, que data de aproximadamente 1650 a.C., e contém 84 problemas.

No Egito a utilização da trigonometria nas medições das pirâmides;

1500 a.C apx. a idéia de associar sombras projetadas por uma vara vertical a seqüências numéricas, relacionando seus comprimentos com horas do dia (relógio de sol).

Os babilônios tinham grande interesse pela Astronomia, por razoes religiosas e pelas conexões com o calendário e as épocas de plantio;


Construíram no século 28 a.C., durante o reinado de Sargon, um calendário astrológico e elaboraram, a partir do ano 747 a.C., uma tábua de eclipses lunares;

Conceito de ângulo e de como efetuar sua medida.

Na China, no reinado de Chóupei Suan-King, aproximadamente 1110 a.C, os triângulos retângulos eram freqüentemente usados para medir distâncias, comprimentos e profundidades.


Segundo o historiador Heródoto (490-420 a.C.), foram os gregos que deram o nome gnômon ao relógio de sol que chegou até eles através dos babilônios, embora já tivesse sido utilizado pelos egípcios antes de 1500 a.C.

O mais antigo gnômon que temos conhecimento é que chegou até nossos dias, está no museu de Berlim.



O gnômon era uma vareta (GN, figura 2) que se espetava no chão, formando com ele um ângulo de 90°, e o comprimento de sua sombra (AN) era observado, num horário determinado: meio dia. Uma observação dos limites da sombra permitia medir a duração do ano e o movimento lateral do ponto A permitia medir a duração do dia.

Figura 1: O Gnômon

Sábios na Grécia:Thales (625 - 546 a.C.);Seu discípulo Pitágoras (570 - 495 a.C.).

Congectura-se ter feito a primeira demonstração do teorema que leva seu nome: “Em todo triângulo retângulo a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos”. Deste teorema deriva a relação fundamental da trigonometria.

A primeira amostra documentada em 180 a.C Hipsícles dividiu o zodíaco em 360 partes idéia generalizada por Hiparco para qualquer círculo.



Eratóstenes de Cirene (276 - 196 a.C.), contemporâneo de Arquimedes (287 - 212 a.C.) e Aristarco (310 - 230 a.C) que produziu a mais notável medida da Antiguidade para a circunferência da Terra, usando semelhança de triângulos e razões trigonométricas, o que o levou a perceber a necessidade de relações mais sistemáticas entre ângulos e cordas.

Hiparco de Nicéia (180 - 125 a.C.):Divisão a circunferência em 360 partes;Atribuição do nome arco de 1 grau;Ele dividiu cada arco de 1° em 60 partes obtendo o arco

de 1 minuto, construiu a primeira tabela trigonométrica com os valores das cordas de uma série de ângulos de 0º a 180°, em cuja montagem utilizou interpolação linear, observou que num dado circulo a razão do arco para a corda diminui quando o arco diminui de 180° para 0°. Resolveu então associar a cada corda de um arco o ângulo central correspondente, o que representou um grande avanço na Astronomia e por isso ele recebeu o titulo de “Pai da Trigonometria”.


Cláudio Ptolomeu autor da mais importante obra da trigonometria da Antiguidade, surgiu no séc. II, em Alexandria, a “Syntaxis Mathemática”, composta de treze volumes. Ela ficou conhecida como Almagesto, que significa em árabe “A maior”.


No Almagesto temos: (a) uma tabela mais completa que a de Hiparco,

com ângulos de meio em meio grau, de 0° a 180º;

(b) o uso da base 60, com a circunferência dividida em 360 graus e o raio em 60 partes e frações sexagesimais, não só para expressar ângulos, mas para qualquer tipo de calculo, com exceção dos de medida de tempo.

(c) o resultado que passou a ser conhecido como Teorema de Ptolomeu: Se ABCD é um quadrilátero convexo inscrito num círculo, então a soma dos produtos dos lados opostos é igual ao produto das diagonais.



A partir desse resultado, operando com as cordas dos arcos, Ptolomeu chegou a um equivalente das fórmulas de seno da soma e da diferença de dois arcos, isto é sen (a + b) e sen (a - b). Especialmente a formula para a corda da diferença foi usada por ele para a construção da tabela trigonométrica.

(d) O uso, também baseado nas cordas, do seno do arco metade:

2 1sen 1 cos

2 2

Em aproximadamente 400 d.C os Hindus nos trazem um conjunto de textos “Surya Siddhanta”;

Relação: entre a metade da corda e a metade do ângulo central correspondente, jiva;

Visão de um triângulo retângulo na circunferência.


500 d.C., o matemático Aryabhata já calculava semi cordas e usava também o sistema decimal (criado 600 d.C);

Introduziram os conceitos de semi corda e de seno, demonstraram algumas identidades, Varahamihira, no ano 505 d.C., o equivalente verbal de


sen² cos² 1

Povos que contribuíram para o surgimento da trigonometria Escola de Bagdad, no século IX, o príncipe da

Síria Mohamed-ben-Geber, conhecido como AL Battani (aproximadamente 850 a 929 d.C.), ou Albategnius, nas traduções latinas, chamado o Ptolomeu de Bagdad.

Idéia de introduzir o circulo de raio unitário e com isso demonstrar que a razão jiva é valida para qualquer triangulo retângulo, independentemente do valor da medida da hipotenusa.

Construir uma tabela de senos.

Na Europa, século XIII, Fibonacci (1170-1250). Obra “Practica Geometriae”, de 1220, é uma

aplicação da trigonometria árabe na Agrimensura. Napier (1550-1617) invenção logaritmos.

No “Tratado” ele calculou novas tabuas trigonométricas, aperfeiçoando a de senos de Purbach, e introduziu na trigonometria européia o uso das tangentes, incluindo-as em suas tábuas.


Viète (1540-1603), adicionou um tratamento analítico à trigonometria, em 1580.

É dele a idéia de decompor em triângulos retângulos oblíquos para determinar todas as medidas dos seus lados e ângulos. Isto está em sua obra “Canon Mathematicus”. No livro “Variorum de rebus mathematicis” aparece um equivalente da nossa lei das tangentes:

com A e B ângulos e a e b os arcos respectivos.


tg A B a b

tg A B a b

No tratado de Pitiscus a palavra “Trigonometria” aparece pela primeira vez.

O britânico Napier, que estabeleceu regras para triângulos esféricos. Publicadas no “Napier Analogies”, do “Constructio” no ano de 1619, em Edinburgh.

Sir Isaac Newton (1642-1727) paralelamente aos seus estudos de calculo infinitesimal apoiados fortemente na geometria do movimento, trabalhou com séries infinitas, tendo expandido arc sen (x) em séries e, por reversão, deduzido a série para sen(x).


A trigonometria ganha a sua forma atual quando Euler (1707-1783) adota a medida do raio de um circulo como unidade e define funções aplicadas a um número e não mais a um ângulo como era feito até então, em 1748.


Simbologia para razões trigonométricas

Seno (latim: sinus) sig. seio, volta, curva, cavidade; (árabe: jaib) sig. dobra, bolso ou prega de uma vestimenta.

Notação para seno:Fibonacci: sinus rectus arcusEdmund Gunter(1624) e Hérigone(1634): senCavalieri: SiOughtred: S


Notação para cosseno:

Viète: sinus residuaeGunter(1620): co-sinusCavalieri: Si.2Oughtred: s co arcWallis: S


A função tangente (função sombra) e a cotangente;

Comprimento das sombras e o Relógio de Sol.

Tales(alturas das pirâmides).

Primeiras tabelas de sombras(860): produzidas pelos árabes.


Notação para tangente e cotangente:

Cavalieri: Ta e Ta.2Oughtred: t arc e co arcWallis: T e tAlbert Girard(1626): tan escrito por cima

do ânguloJonas Moore(1674): cot


Notação para secante e cossecante:

Cavalieri: Se e Se.2Oughtred: se arc e sec co arcWallis: s e Albert Girard: sec escrito por cima do

ângulo


No século XVIII foram estudadas as funções trigonométricas de uma variável complexa.

Johann Bernoulli (1702): e De Moivre (1722): teorema

Euler (1748):

1sen z logz

cos . cos .n

x i sen x nx i sen nx

cos .i xe x i sen x

A trigonometria esférica

A trigonometria esférica: Definições básicas

Círculo máximo;Círculo pequeno; Ângulo esférico;Triângulo esférico.

Definição formal de triângulo esférico: Dados três pontos A, B, C de

uma esfera ( os quais não estão sobre um mesmo círculo maximal ), o triângulo esférico de vértices A, B e C é a figura da esfera contornada pelos três arcos maximais que vão de A a B, de B a C e de C a A. Esses arcos maximais são chamados de lados do triângulo.

Propriedades dos triângulos esféricos

Medida dos lados e ângulos: graus ou radianos;

Todo ângulo e todo lado mede menos do que 180°;

Soma dos ângulos: é sempre maior que 180°, e menor do que 540°;

Soma das medidas dos lados: qualquer valor menor do que 360°.

Propriedades dos triângulos esféricos

Os lados maiore estão opostos aos ângulos maiores no triângulo;

A soma de dois lados do triângulo é sempre maior do que o terceiro lado, e a diferença é sempre menor.

Conclusão

Bibliografia:

BOYER, Carl B. História da Matemática. 2ª Edição. São Paulo: Edgard Blucher, 2000.

KENNEDY, Edwards S. Tópicos de história da matemática para uso em sala de aula. Vol 5. São Paulo: Atual, 1992.

LOBO DA COSTA, Nielce M. A história da trigonometria. SBEM. Ano 10 – nº13, março de 2003, pág.60 a 68.

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