a educação matemática & ensino médio: um panorama das ...€¦ · engenharia didática, ......
TRANSCRIPT
ELIANE ALCÂNTARA DE OLIVEIRA
A Educação Matemática & Ensino Médio:
Um Panorama das pesquisas produzidas na PUC/SP
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
PUC - São Paulo
2003
ELIANE ALCÂNTARA DE OLIVEIRA
A Educação Matemática & Ensino Médio:
Um Panorama das pesquisas produzidas na PUC/SP
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como
exigência parcial para obtenção do título de MESTRE
EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação da
Profa. Doutora Sílvia Dias Alcântara Machado
PUC - São Paulo
2003
Banca Examinadora
________________________________________
________________________________________
________________________________________
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou
parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________
Meus especiais agradecimentos à Professora Doutora Sílvia Dias
Alcântara Machado que, com muita competência, paciência e amizade orientou-me
na realização deste trabalho.
Às Professoras Doutoras Maria Cristina Maranhão e Maria Ignez Diniz,
cujas sugestões foram essenciais para melhorar este trabalho.
Aos professores do Programa de Pós-Graduação em Educação
Matemática da PUC/SP pela contribuição para a minha formação.
Aos colegas de Mestrado, Cecília, Luciane e Benedito Junho, um
carinhoso agradecimento pela amizade e companheirismo.
Finalmente, o eterno agradecimento ao meu marido Agnaldo, meus
queridos filhos Marcos e Márcio e a minha irmã Beatriz, pelo apoio constante,
compreensão e incentivo.
AGRADECIMENTOS
6
RESUMO
O objetivo deste trabalho é descrever, analisar e categorizar, segundo
objetivo e metodologia de pesquisa, as dissertações em Educação Matemática no
Ensino Médio, produzidas no Programa de Pós-Graduação em Educação
Matemática, da PUC/SP, no período de 1994 a 2000; baseando-se, para isso, na
leitura integral, fichamento e análise de cada documento. A análise consistiu em
localizar, em cada dissertação, evidências da execução das atividades
características de pesquisa. Os resultados obtidos levam à conclusão de que a maior
parte, sete, destas pesquisas tiveram como objetivo favorecer a construção do
conceito de função, pelo aluno do ensino médio, utilizando para isso a realização de
seqüências didáticas. A metodologia de pesquisa privilegiada por sete autores foi a
Engenharia Didática, e por outros três foi a análise comparativa que mostraram-se
eficazes para o desenvolvimento das pesquisas.
Palavras chave: estado da arte, ensino médio, Educação Matemática.
RESUMO
7
The aim of this dissertation is to describe, analyse and categorize,
according to the objective and research methodology, the dissertations on the
Mathematics Education of the Secondary Level, produced at the PUC/SP
Mathematics Education Postgraduation Program, from 1994 to 2000, based on, for
that, the whole reading, filing and analysis of each document. The analysis consisted
of finding out at each dissertation, evidences of the execution of research typical
activities. The obtained results point out to the conclusion that most of those
researchs, seven, aimed to benefit the construction of the function concept by the
secondary level students, using for that the fulfillment of didatic sequences. The
research methodology privileged by seven authors was the Didatic Engeneering and
by the others three was the comparative analysis that showed to be efficient for the
researchs development.
Key words: state of art, secondary school, Mathematics Education.
ABSTRACT
8
INTRODUÇÃO ... .... ............ ........ ........ ............ ........ ........ ............ .. 10
CAPÍTULO I: PROBLEMÁTICA, REFERÊNCIAS TEÓRICAS E
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
PROBLEMÁTICA E OBJETIVO......... .. ............ ........ ........ ............ ... 12
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS............ ........ ...... ............ ....15
CARACTERIZAÇÃO DO PROGRAMA............. ........ ........ ............ ... 19
QUADRO TEÓRICO........... ........ ...... ............ ........ ........ ............ .... 25
CAPÍTULO II: DESCRIÇÃO E ANÁLISE DAS DISSERTAÇÕES
INTRODUÇÃO....... ............ ........ ........ ............ ........ ........ ............ . 42
INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE PROBABILIDADE POR UMA VISÃO
FREQÜENTISTA.... ............ ........ ........ ............ ........ ........ ............ ..47
FICHAMENTO....... ............ ........ ........ ............ ........ ........ ............ .. 47
ANÁLISE...... ........ . ............ ........ ........ ............ ........ ........ ............ . 51
SOBRE AS CONCEPÇÕES DE FUNÇÃO DOS ALUNOS AO TÉRMINO
DO 2˚ GRAU..... .... ............ ........ ........ ............ ........ ........ ............ .. 57
FICHAMENTO....... ............ ........ ........ ............ ........ ........ ............ .. 57
ANÁLISE...... ........ . ............ ........ ........ ............ ........ ........ ............ . 59
FUNÇÕES SENO E COSSENO: UMA SEQÜÊNCIA DE ENSINO A
PARTIR DOS CONTEXTOS DO “MUNDO EXPERIMENTAL” E DO
COMPUTADOR...... ............ ........ ........ ............ ........ ........ ............ . 66
FICHAMENTO....... ............ ........ ........ ............ ........ ........ ............ .. 66
ANÁLISE...... ........ . ............ ........ ........ ............ ........ ........ ............ . 71
NÚMEROS COMPLEXOS: UMA ABORDAGEM HISTÓRICA PARA A
AQUISIÇÃO DO CONCEITO.... ......... . ............ ........ ........ ............ ... 77
FICHAMENTO....... ............ ........ ........ ............ ........ ........ ............ .. 77
ANÁLISE...... ........ . ............ ........ ........ ............ ........ ........ ............ . 82
LOGARITMOS: PROPOSTA DE UMA SEQÜÊNCIA DE ENSINO
UTILIZANDO A CALCULADORA......... ............ ........ ........ ............ .. 87
ÍNDICE
9
FICHAMENTO....... ............ ........ ........ ............ ........ ........ ............ .. 87
ANÁLISE...... ........ . ............ ........ ........ ............ ........ ........ ............ . 92
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE TERCEIRO GRAU ATRAVÉS DE
CÔNICAS.... ........ .. ............ ........ ........ ............ ........ ........ ............ . 97
FICHAMENTO....... ............ ........ ........ ............ ........ ........ ............ .. 97
ANÁLISE...... ........ . ............ ........ ........ ............ ........ ........ ............ . 102
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES PARAMETRIZADOS E SEU
SIGNIFICADO PARA O ALUNO....... .... ............ ........ ........ ............ . 107
FICHAMENTO....... ............ ........ ........ ............ ........ ........ ............ .. 107
ANÁLISE...... ........ . ............ ........ ........ ............ ........ ........ ............ . 111
O ESTUDO DA RETA A PARTIR DAS GRANDEZAS DIRETAMENTE
PROPORCIONAIS: UMA PROPOSTA ALTERNATIVA DE ENSINO... 115
FICHAMENTO....... ............ ........ ........ ............ ........ ........ ............ .. 115
ANÁLISE...... ........ . ............ ........ ........ ............ ........ ........ ............ . 119
O ENSINO DA MATEMÁTICA E DA FÍSICA NUMA PERSPECTIVA
INTEGRACIONISTA............ ........ ...... ............ ........ ........ ............ ... 124
FICHAMENTO....... ............ ........ ........ ............ ........ ........ ............ .. 124
ANÁLISE...... ........ . ............ ........ ........ ............ ........ ........ ............ . 128
CONSTRUINDO OS CONCEITOS BÁSICOS DA TRIGONOMETRIA NO
TRIÂNGULO RETÂNGULO: UMA PROPOSTA A PARTIR DA
MANIPULAÇÃO DE MODELOS....... .... ............ ........ ........ ............ .. 133
FICHAMENTO....... ............ ........ ........ ............ ........ ........ ............ .. 133
ANÁLISE...... ........ . ............ ........ ........ ............ ........ ........ ............ . 138
CAPÍTULOIII: CONCLUSÃO .. ........ ..... ............ ........ ........ ............ .. 142
BIBLIOGRAFIA.. ... ............ ........ ........ ............ ........ ........ ............ .. 152
ANEXOS: MODELOS DAS FICHAS
MODELO-1... ......... ............ ........ ........ ............ ........ ........ ............ . 156
MODELO-2... ......... ............ ........ ........ ............ ........ ........ ............ . 157
MODELO-3... ......... ............ ........ ........ ............ ........ ........ ............ . 158
MODELO-4... ......... ............ ........ ........ ............ ........ ........ ............ . 159
10
INTRODUÇÃO No período de 1994 a 2000 a produção de dissertações do Programa
de Estudos Pós Graduados em Educação Matemática da PUC/SP teve aumento
considerável. Este aumento suscitou o interesse do colegiado em analisar esta
produção. Dado o volume de obras, a tarefa foi dividida entre três mestrandos,
orientados por Sílvia Machado, transformando-se, portanto, em tema de três
dissertações, entre as quais essa pesquisa se inclui.
Decidi elaborar o panorama visado, por meio de descrição, análise e
categorização das obras, segundo seus objetivos e metodologias de pesquisa.
Assim, esta investigação teve por objetivo fazer um panorama das dissertações em
Educação Matemática no Ensino Médio, produzidas no Programa de Pós-Graduação
em Educação Matemática, da PUC/SP, no período de 1994 a 2000.
No capítulo I, encontra-se a problemática que contextualiza o objetivo
especificado, os procedimentos metodológicos adotados, a caracterização do
programa com um histórico desde a sua criação em 1975 até 2000 e as referências
teóricas que deram suporte à pesquisa.
O capítulo II, contém os fichamentos e as análises de cada dissertação.
O capítulo III traz as conclusões da pesquisa, que englobam a
caracterização e categorização das obras analisadas. Os resultados obtidos denotam
um conjunto de obras que refletem uma preocupação com a prática de sala de aula.
Em sua maioria as pesquisas contêm seqüências didáticas elaboradas para
favorecer a construção de conceitos matemáticos. Entre as metodologias adotadas a
Engenharia Didática foi a mais utilizada pelos autores para atingirem seus objetivos.
INTRODUÇÃO
11
CAPÍTULO I: PROBLEMÁTICA, REFERÊNCIAS TEÓRICAS E
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
12
PROBLEMÁTICA E OBJETIVO
Nas duas últimas décadas observa-se no Brasil, uma expansão da
pesquisa em Educação, como escreve Marli André (2001).
“Nos últimos 20 anos, ao mesmo tempo em que se observa um
crescimento muito grande no número de pesquisas da área de educação no Brasil,
oriundo principalmente da expansão da pós-graduação, observam-se também muitas
mudanças, seja nas temáticas e problemas, seja nos referenciais teóricos, seja nas
abordagens metodológicas e nos contextos de produção dos trabalhos
científicos.”.(ANDRÉ, p.53)
Alguns fatores como: motivações pessoais, necessidades sociais,
econômicas e culturais, as necessidades dos políticos e administradores,
contribuíram e têm contribuído para esta expansão das pesquisas por meio de
financiamentos, criação de cursos de pós-graduação nas universidades, organização
de congressos internacionais, etc..
Paralelamente a esses fatores há o interesse em rever e analisar
criticamente o que vem sendo produzido nessa área, permitindo assim a busca de
resultados cada vez mais confiáveis, detectando tendências dos pesquisadores,
identificando os temas que têm sido privilegiados pelas pesquisas, em resumo,
contribuindo para o aprimoramento e a construção de uma identidade da pesquisa
educacional.
A pesquisa em Educação Matemática, que compreende desde
pesquisa fundamental teórica e empírica até pesquisa aplicada ao desenvolvimento
da prática, embora tenha suas próprias questões de investigação e venha se
desenvolvendo com certa autonomia, apresentando teorias sobre o ensino e
PROBLEMÁTICA E OBJETIVO
13
aprendizagem da matemática, pertence a esse campo mais abrangente que é a
pesquisa em educação, dessa forma, beneficia-se dessa expansão.
A exemplo do que acontece com as pesquisas em educação, pode-se
falar atualmente, da existência de uma comunidade internacional de pesquisadores
em Educação Matemática. Essa comunidade se encarrega de manter o diálogo com
outras áreas da pesquisa em educação, buscar a identidade da pesquisa em
Educação Matemática e criticar os estudos de pesquisas, visando o aprimoramento
deste campo de estudos.
No Brasil, vários pesquisadores têm trabalhos publicados sobre o
"Estado da Arte" das pesquisas em Educação. Essas pesquisas procuram
categorizar, identificar tendências, metodologias ou analisar o que mudou em um
determinado período. Em Educação Matemática destaco os trabalhos de Dario
Fiorentini, como o de 1989, em que expõe as tendências temáticas e metodológicas
da pesquisa em Educação Matemática no Brasil até 1989. Esse tipo de pesquisa,
estado da arte, também foi feito por dois colegas da PUC/SP, em suas dissertações
de mestrado defendidas em 2000; Marcos Roberto Celestino investigou as pesquisas
sobre ensino e aprendizagem da Álgebra Linear e Marco Antônio di Pinto sobre o
ensino e aprendizagem da Geometria Analítica.
Na PUC/SP (Pontifícia Universidade Católica de São Paulo) observa-se
uma expansão considerável na quantidade de pesquisas produzidas no programa de
Pós-Graduação em Educação Matemática. De duas pesquisas produzidas em 1994
para treze em 2000, totalizando trinta e sete pesquisas produzidas neste período.
Em virtude deste aumento da produção discente do Programa, o
colegiado solicitou a professora Silvia Machado uma pesquisa do tipo estado da arte
das dissertações produzidas até 2000 inclusive. Tal pesquisa teria o objetivo de
subsidiar correções, encaminhamentos, políticas, decisões necessárias ao
aprimoramento da produção discente. A professora Silvia Machado formou, então,
14
um grupo composto de quatro alunos de mestrado para, sob sua orientação, realizar
tal estudo.
Em um primeiro momento o assunto interessou-me pela possibilidade
que vislumbrei de aprofundar-me na análise de várias pesquisas, aprender como
fazê-las e por outro lado de aprimorar minha prática docente.
Por trabalhar há muitos anos no ensino médio, escolhi estudar as
dissertações que tratassem dos conteúdos matemáticos desenvolvidos neste
segmento do ensino.
Ao iniciar minha participação no grupo constatei que havia uma questão
anterior à análise da produção discente, que era a de como se realiza uma pesquisa
do tipo "estado da arte", que pontos privilegiar, como categorizar, etc.
Verifiquei que são vários, os focos principais de investigação das
dissertações que poderia adotar. Por exemplo, caracterizar as dissertações pelo
referencial teórico utilizado ou pelas tendências temáticas, etc.
Após análise de obras relativas a "Estado da Arte" de diferentes
pesquisadores, que estudaram objetivos e metodologias de pesquisas em Educação
Matemática, optei por este recorte para traçar o presente panorama.
Por essas razões elegi como objetivo de minha pesquisa: descrever,
analisar e categorizar, segundo seus objetivos e metodologia de pesquisa, as
dissertações em Educação Matemática no Ensino Médio, produzidas no Programa
de Pós-Graduação em Educação Matemática, da PUC/SP, no período de 1994 a
2000.
15
Como explicado no item da Problemática, formamos um grupo com a
intenção de analisar as dissertações do Programa de Pós Graduação em Educação
Matemática a fim de relevar as tendências, tipos de pesquisa privilegiados pelos
autores.
Primeiramente, buscamos uma listagem de todas as pesquisas
produzidas na década de 90, incluindo o ano de 2000, para dividir entre nós o
trabalho a ser feito. A listagem obtida continha trinta e sete obras, sendo que as
primeiras dissertações foram defendidas em 1994.
Adotamos como critério para a divisão dos trabalhos entre os
componentes do grupo, a pertinência do conteúdo matemático da dissertação aos
segmentos do ensino: fundamental, médio e superior.
As dissertações sobre o ensino fundamental foram divididas em dois
lotes: as defendidas no período de 1994 a 1997 (oito dissertações) e as que foram
defendidas no período de 1998 a 2000 (sete dissertações). Sobre o ensino médio
foram encontradas dez dissertações e para o ensino superior dez. Optei por analisar
as dissertações relativas ao ensino médio.
Fixamos como procedimentos comuns ao grupo: estudar algumas
pesquisas do campo da Educação e Educação Matemática sobre "estado da arte".
Após análise de cada uma dessas pesquisas, as discutíamos em grupo. Essas
obras constam da bibliografia deste trabalho e algumas, por serem de maior
interesse, para o recorte deste trabalho, constam do quadro teórico da mesma.
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
16
Ao mesmo tempo em que analisávamos pesquisas sobre estado da
arte, iniciamos, cada um, a ler e fichar as dissertações . No início adotamos a guia de
fichamento (anexo 1), fornecido pela orientadora, a qual, para o fichamento das
dissertações, sofreu modificações e adequações elaboradas pelo grupo (modelo 2).
As modificações, consistiram em suprimir os itens i) e ii) da ficha
anterior, mais apropriados ao fichamento de artigos e, acrescentamos aos itens
existentes, um resumo descritivo de toda a dissertação.
Para evitar confusão ao leitor, sobre o que o autor da dissertação
escreveu e o que se constitui em interpretações do analista, criamos um novo
modelo de ficha (modelo 3), anexo. Neste último modelo constam, somente,
transcrições fiéis de trechos das dissertações.
Além das pesquisas sobre estado da arte discutidas em grupo, senti
necessidade de aprofundar-me em algumas questões específicas sobre
metodologias. Estudei os livros A Arte da Pesquisa de W. C. Booth, G. G. Colomb e
J. M. Williams , e A Construção do Saber de Christian Laville e Jean Dionne. Analisei
também outra obra de Kilpatrick escrita em 1992. Estas leituras constam da
bibliografia.
Até o momento do exame de qualificação, a análise de uma
dissertação, que consta do volume encaminhado à banca, foi feita à luz dessas
leituras, procurando focar principalmente os objetivos e metodologias, para
posteriormente fazer uma categorização das pesquisas que compõem este conjunto
de obras de Educação Matemática no ensino médio.
Após o exame de qualificação, as sugestões feitas pela banca, dentre
outras contribuições, levaram-me a buscar mais referências teórico-metodológicas.
17
Por sugestão da doutora Maria Ignez DINIZ, li o texto de A. I. Pérez
Gómez, “Compreender o ensino na escola: modelos metodológicos de investigação
educativa”. Esta leitura contribuiu para ampliar meus conhecimentos sobre métodos
de investigação. No texto, o autor apresenta, entre outras idéias, as características
de uma investigação desenvolvida dentro de um enfoque positivista e no enfoque
interpretativo.
Sobre minha escolha de KILPATRICK como único apoio teórico para a
análise da dissertação apresentada na qualificação, a doutora Maria Cristina
MARANHÃO reforçou a necessidade de encontrar autores que facilitassem uma
análise objetiva sem incorrer em possíveis julgamentos das obras.
Por sugestão de Paulo Figueiredo, componente da banca da
dissertação do colega Benedito Junho, todos os três mestrandos do grupo panorama
estudaram o artigo escrito por Thomas A. ROMBERG, Perspectives on
Scholarshship and Research Methods. As idéias expostas pelo pesquisador
mostraram-se adequadas ao desenvolvimento de nossa investigação. Alguns trechos
do referido artigo constam do quadro teórico deste trabalho.
Decidimos utilizar, principalmente, as atividades características de
pesquisa, listadas por ROMBERG, para guiar nossas análises. Esta decisão levou-
nos a necessidade de alterar o modelo de fichamento, acrescentando ao item
Conclusões, do modelo 3, as sugestões do pesquisador. Assim surgiu o modelo 4 de
fichamento, anexo.
Por sugestões de Janete Frant e Méricles Moretti o grupo decidiu fazer
um estudo histórico do Programa, na década de 90, evidenciando o perfil desejado
para seus alunos.
Assim, incorporando novos elementos, após a leitura de ROMBERG,
obtive as ferramentas necessárias ao processo de análise das dissertações.
18
De posse dessas análises passei a organização dos trabalhos por:
ano de defesa, orientador, temas, referências teóricas, objetivo do estudo,
procedimentos metodológicos de pesquisa, procedimentos específicos de coleta
de dados, interpretação dos dados obtidos, sugestões de pesquisa e de ensino.
A partir desta organização foi possível fazer uma análise quanti-
qualitativa dos resultados, cuja interpretação encontra-se no capítulo III da
conclusão.
19
Em 1975, a PUC/SP deu início ao seu Programa de Estudos Pós-
graduados em Matemática, sob a coordenação do professor Dr. Fernando
Furquim de Almeida. A partir da década de 80, alguns professores do
Departamento de Matemática passaram a desenvolver pesquisas em Educação
Matemática, vindo a participar, em 1987, do I ENEM (Encontro Nacional de
Educação Matemática) organizado e sediado pela própria PUC/SP. Neste mesmo
ano, surgiu a SBEM (Sociedade Brasileira de Educação Matemática).
Em 1989, foi criada a área de concentração em Ensino de
Matemática no mesmo Programa, que se estendeu até 1993.
Na descrição da proposta do curso constantes dos relatórios CAPES
dessa época consta que o curso visava “uma sólida formação dos alunos nos
assuntos básicos de matemática”. Nessa época, o aluno cursava quatro matérias
de Matemática: Álgebra Linear, Álgebra, Analise do Rn e Espaços Projetivos, após
o que ele fazia três disciplinas da área de concentração escolhida. Na área de
Educação Matemática as três disciplinas versavam sobre Didática da Matemática
principalmente a de origem francesa.
Haviam somente três professores que atuavam na área de
Educação Matemática desde 1990, eram eles os doutores: Benedito Castrucci,
Tânia Campos e Silvia Machado. O pouco número de professores era suprido por
curso ministrado por pesquisadores renomados tanto do Brasil, como Claudia
Davis, Joel Martins, Ubiratan D’Ambrosio, quanto do exterior como Regine
Douady, Michèle Artigue, Jean Luc Dorier, Terezinha Nunes, Nicolas Balacheff,
Rosemund Sutherland, etc.
A área de Ensino da Matemática contava somente com uma linha de
pesquisa de mesmo nome: Linha do Ensino de Matemática. Nessa linha foram
CARACTERIZAÇÃO DO PROGRAMA
20
desenvolvidos três projetos de pesquisa, a saber: “Sobre o ensino/aprendizagem
da Álgebra Linear” de Silvia Machado e Tânia Campos, “O papel da pesquisa na
formação do professor” de Tânia Campos em colaboração com Beatriz
D’Ambrosio de Universidade Americana e “Construção de uma seqüência didática
para geometria da sétima e oitava séries” de Benedito Castrucci e Silvia Machado.
Após algum tempo, a área de Ensino de Matemática conquistou
mais dois professores do Programa, Sonia Igliori e Benedito Antonio da Silva.
A partir de 1994, a área de concentração tornou-se hegemônica e o
Programa passou a se denominar Programa de Estudos Pós Graduados em
Ensino de Matemática, o qual, por sua vez, recebeu nova denominação, em
1998, quando passou a se chamar Programa de Estudos Pós Graduados em
Educação Matemática, nome que preserva até hoje.
Em 1994, além dos doutores: Benedito Castrucci, Benedito Silva,
Silvia Machado, Sonia Igliori e Tânia Campos, o programa passou a contar com a
participação dos doutores em Educação Matemática, Saddo Ag Almouloud e
Sandra Magina. Nesse ano, Marie Jeanne Perrin deu um curso, como professora
visitante.
O relatório CAPES de 1994, estampava a seguinte proposta de
curso: preparar professores pesquisadores que equilibrem uma sólida formação
em assuntos básicos de matemática com conhecimentos de ciências humanas e
sociais que se integrem na massa crítica da área contribuindo para as
modificações necessárias para as melhorias do ensino e aprendizagem de
matemática.
Para atingir o perfil declarado o curso exigia que o aluno cursasse
quatro matérias de matemática (AL, Álgebra, Análise e Geometria)e três matérias
didáticas (Seminários A,B,C).
21
Percebe-se que embora o perfil do mestrando tenha sofrido
alteração, a formação permaneceu a mesma do antigo aluno da área de Ensino da
Matemática.
Assim, embora não tenha havido aparentemente uma transformação
estrutural, essa se refletiu pela incorporação de doutores em Educação
Matemática, um da linha francesa, Saddo Ag Almouloud, e outro vindo da área de
Psicologia e formação no Instituto de Educação de Londres. Os mesmos
passaram a ministrar, o primeiro, curso de Didática da Matemática e o segundo
Teorias da Aprendizagem. Tais professores se incorporaram em projetos de
pesquisa existentes e criaram outros.
Foram criadas duas linhas de pesquisa: Ensino/aprendizagem de
Matemática e, Informática na Educação Matemática. Os projetos: “Sobre o
ensino/aprendizagem da Álgebra Linear” de Silvia Machado e Tânia Campos, “O
papel da pesquisa na formação do professor” de Tânia Campos em colaboração
com Beatriz D’Ambrosio de Universidade Americana migraram para a primeira
linha, e “Construção de uma seqüência didática para geometria da sétima e
oitava séries” de Benedito Castrucci e Silvia Machado foi para a segunda linha e
que passou a contar também com os seguintes projetos: “Manipulação de dados “
de Sandra Magina, “Modelização do aluno dentro do meio informático” de Saddo
Ag Almouloud e “Criação de grade de análise de softwares educativos” de Silvia
Machado, Saddo Ag Almouloud, em colaboração com Gilda Campos da COPPE
do Rio de Janeiro.
De 1994 a 1997 o Programa continuou com a mesma proposta,
sofrendo modificações somente em seu colegiado e linhas de pesquisa.
Em 1995 o Programa além dos cursos curriculares , contou com dois
cursos ministrados por professores visitantes: Evelyne Barbin sobre Historia e
Epistemologia da Geometria e Marc Rogalski sobre “Ensino e aprendizagem de
Geometria Analítica”. Além disso, Saddo Ag Almouloud substituiu Silvia Machado
no projeto, “Construção de uma seqüência didática para geometria da sétima e
oitava séries”.
22
Em 1996 o Programa incorporou em seu colegiado as doutoras em
Educação Matemática: M. Célia Carolino e Anna Franchi. O projeto “Espaço e
forma - a construção de noções geométricas pelas crianças das quatro séries
iniciais do Ensino Fundamental” coordenado por Tânia Campos veio enriquecer a
linha de pesquisa Ensino/aprendizagem de Matemática, que ficou com três
projetos e o projeto “Computadores e Educação Matemática” de Tânia Campos e
Sandra Magina, ficou alocado na linha Informática na educação matemática, que
ficou com quatro projetos.
Em 1997, o Programa passou a contar com a colaboração de M.
Cristina S. de Albuquerque Maranhão, doutora em Psicologia da Educação, e a
grande mudança foi na organização das linhas de pesquisa, que passou a se
chamar: A Matemática na Estrutura Curricular e Formação de Professores que
denominou-se linha 1, Epistemologia e Didática da Matemática, linha 2 e
Tecnologias da Informação e Educação Matemática, linha 3. Com essa nova
organização das linhas, preservou-se apenas dois projetos dos sete anteriores.
Na linha 1, havia 7 projetos: 1- “Espaço e forma” de Tânia Campos, 2- “Educação
continuada de professores de matemática” de Tânia Campos e M.Célia Carolino,
3- “Estudo do desenvolvimento das estruturas aditivas e multiplicativas” de Anna
Franchi, 4- “Estudo do pensamento geométrico nas series iniciais” de Saddo Ag
Almouloud, 5- “Formação de professores e Didática da Matemática” de Tânia
Campos e Sandra Magina, 6- ”Operações” de Célia Carolino, Sandra Magina e
Tânia Campos, 7- “Ensinar é construir”, Tânia Campos e Sandra Magina. Na linha
2, o único projeto destinado era “Ensino e aprendizagem de Geometria Analítica e
Álgebra Linear”, enquanto na linha 3 havia quatro projetos, quais sejam: 1-
“Computadores e Educação Matemática” de Tânia Campos e Sandra Magina, 2-
“Ensino de análise” de Benedito Silva e Sonia Igliori, 3- Interpretação de gráficos e
diagramas” de Sandra Magina e 4- “Uso do Cabri na resolução de equações” de
Saddo Ag Almouloud.
Em 1998, preservou-se da proposta do curso, o perfil do mestrando
embora tenham havido mudanças na grade curricular. Os alunos deveriam cursar
as sete matérias seguintes: Didática I e II, Fundamentos da Didática da
Matemática, Metodologia de Pesquisa, Teorias da Aprendizagem, Atividade
23
programada, e uma eletiva. Assim, verificou-se uma grande mudança na
formação pois as quatro matérias de matemática propriamente ditas foram
substituídas por matérias de Educação. O professor Benedito Castrucci encerrou
suas atividades no programa que permaneceu com apenas, nove dos dez
professores e a professora Circe Mary Dynnikov ministrou um curso de História da
Geometria Analítica. As linhas de pesquisa permaneceram as mesmas do ano
anterior, dos sete projetos da linha1, cinco concluíram, restando somente: 1-
“Espaço e forma” de Tânia Campos, e 2- “Estudo do pensamento geométrico nas
séries iniciais” de Saddo Ag Almouloud. A linha 2 permaneceu inalterada e dos
quatro projetos da linha 3 dois foram concluídos restando apenas: 1-
“Computadores e Educação Matemática” de Tânia Campos e Sandra Magina, 3 -
Interpretação de gráficos e diagramas” de Sandra Magina.
Em 1999 a grade curricular foi mantida porém, o relatório CAPES
passou a informar que o curso pretendia formar “profissionais capacitados para o
ensino da matemática nos diversos graus de ensino, bem como pesquisadores na
área de Educação Matemática. Entende-se que cabe a esse pesquisador
desvendar os diversos fenômenos que interferem no ensino/aprendizagem da
matemática criando um conjunto de conhecimentos que possam subsidiar o
professor em sua prática de sala de aula”, que se mantém até os dias de hoje.
O exposto permite afirmar que, não se pretendia mais dar uma
“sólida formação em matemática”, mas sim formar professor e pesquisador em
Educação Matemática.
Nesse ano, aconteceram algumas alterações nas linhas de
pesquisa, quais sejam: na linha 1 um projeto foi concluído e dois novos foram
agregados: 1- “Espaço e forma” de Tânia Campos, 2- “Pro-ciências” de Tânia
Campos, 3- “Estudo dos fenômenos do ensino da geometria” de Saddo Ag
Almouloud e Tânia Campos. A linha 2 ficou com dois projetos: 1- Ensino e
aprendizagem de Geometria Analítica e Álgebra Linear” de Silvia Machado e 2-
Análise comparativa de conceitos de Douady e Duval” de Sonia Igliori, Benedito
Silva, Silvia Machado e M. Cristina Maranhão. A linha 3 ficou com:1- “Ensino da
24
Análise” de Sonia Igliori, 2- Interpretação de gráficos e diagramas” de Sandra
Magina e 3- “O uso da calculadora TI-92 no Ensino de Cálculo”.
No ano 2000, o Programa passou a contar com a colaboração dos
professores Wagner Valente, doutor em Filosofia da Educação e Ana Paula Jahn,
doutora em Educação Matemática. Nesse ano, o Programa também ofereceu um
curso sobre a “Teoria dos Registros de Representação Semiótica”, ministrado
pelo próprio autor, Raymond Duval.
Durante todo o período relatado neste resumo histórico, os alunos
tinham 4 anos para completar seu mestrado. Assim, eles tiveram oportunidade de
freqüentar diversos cursos com professores visitantes de outras universidades,
bem como conferências proferidas por estudiosos e teóricos de diferentes
nacionalidades, focando temas diversos. Fato esse que certamente influiu na
formação desses alunos.
25
Tendo em vista a elaboração deste panorama, fui buscar em livros e
artigos, os conhecimentos necessários à compreensão do que é considerado
pesquisa, pesquisa em Educação Matemática, objetivos e procedimentos
metodológicos de pesquisa. Dentre as leituras feitas selecionei aquelas que me
deram elementos para esclarecer conceitos e embasar, a interpretação dos dados
obtidos, as análises e a categorização das dissertações.
De Jeremy KILPATRICK destaco dois artigos, sendo: um de 1981,
Research on Mathematical learning and thinking in the United States e o
outro de 1992, A history of research in Mathematics Education. Desses dois
artigos selecionei trechos cujo o autor caracteriza a pesquisa educacional e a
pesquisa em Educação Matemática.
Em relação ao termo pesquisa em Educação Matemática, selecionei
um trecho do artigo Aspects of the nature and research in Mathematics
Education de Mogens NISS (1999), em que ele relaciona pesquisa em
Educação Matemática e Didática da Matemática.
Como o foco de minha investigação está voltado para os objetivos e
as metodologias das dissertações, fui buscar informações no artigo de Thomas A.
ROMBERG, Perspectives on Scholarshship and Research Methods,
publicado em 1992 e traduzido por Silvia MACHADO e Benedito JUNHO.
ROMBERG, em seu artigo, identificou, no período de 1965 a 1990,
as amplas tendências da pesquisa educacional, relacionadas com o processo
ensino/aprendizagem da Matemática e determinou como essas tendências
influenciaram o estudo da Matemática na escola.
O “Mapeamento e Balanço dos trabalhos do GT-19 (EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA) no período de 1998 a 2001”, um trabalho feito por Dario
FIORENTINI com o objetivo de: “descrever, analisar e discutir problemas e
QUADRO TEÓRICO
26
tendências temáticas e teórico-metodológicas relativos aos trabalhos
selecionados pelo GT de Educação Matemática”, no período citado, serviu para a
situar as dissertações no cenário das pesquisas em Educação Matemática
apresentadas na ANPED.
A seguir transcrevo e comento partes dessas obras, com a
indicação, entre parênteses, das páginas dos documentos originais em que foram
extraídos e traduzidos os trechos citados.
No artigo publicado em 1981, KILPATRICK, apresenta um panorama
de como evoluíram as pesquisas em Educação Matemática nos Estados Unidos
até 1981 e classifica essas pesquisas quanto a duas dimensões: a primeira ele
chamou dimensão do rigor e a segunda, a dimensão da significância.
Não descreverei em que consiste a "segunda dimensão" por não
estar relacionada diretamente com o foco de investigação deste trabalho. Mas a
primeira dimensão interessa para as análises das dissertações, porque o autor
descreve os padrões que, segundo ele, devem ser encontrados em uma
pesquisa.
"Um estudo deve ser planejado para acompanhar algum propósito
bem definido, usando técnicas que outros possam seguir e permitir a validação
cruzada destes achados. O resumo de um rigoroso estudo deve conter uma clara
indicação das suposições feitas, tanto no início quanto no final do estudo. O
pesquisador deve especificar as questões sob investigação, expondo a evidência
pertinente a cada questão, sugerindo outras explicações alternativas plausíveis
para os achados e sugerir se possível for, quais alternativas são mais
promissoras e as que são menos. O resumo do estudo deve conter tanto detalhe
sobre os procedimentos usados e as informações coletadas quanto o espaço irá
permitir e se possível, ao leitor interessado deve ser dada a oportunidade de obter
detalhes em outra parte." (p. 371-372)1
1 Tradução da autora
27
Em seu artigo Mogens NISS (1999) oferece uma caracterização da
Didática da Matemática a partir da análise das questões e dos resultados das
pesquisas em Educação Matemática. Em relação aos termos, “Educação
Matemática”, “pesquisa em Educação Matemática” e “Didática da Matemática”
NISS diz que a disciplina Educação Matemática
“é, algumas vezes, chamada de pesquisa em Educação Matemática
ou a Ciência da Educação Matemática, embora Educação Matemática
provavelmente permaneça predominante no uso diário. Na Europa, parece existir
uma preferência para usar o rótulo a Didática da Matemática,[...] Usarei os nomes
indistintamente”. (p. 1)1
Me apoiarei em NISS para, ao longo deste trabalho, usar sem
distinção os termos “pesquisa em Educação Matemática” e “pesquisa em Didática
da Matemática”.
Em KILPATRICK (1992), o autor faz uma síntese histórica da
pesquisa em Educação Matemática. Segundo ele, esse tipo de pesquisa é parte
da história da Educação Matemática e tem se desenvolvido desde o início do
século 19, a partir das universidades, quando matemáticos e educadores voltaram
sua atenção para, como a matemática é, ou, deva ser ensinada e aprendida na
escola. Desde o início, a pesquisa em Educação Matemática convive, e recebe
influências, das diferentes áreas da pesquisa em Educação. Mas, assim como os
próprios educadores matemáticos, a pesquisa em Educação Matemática tem se
esforçado para encontrar sua própria identidade.
“Durante as duas décadas anteriores (1970 e 1980), esta tarefa de
auto definição foi amplamente realizada. Existe uma comunidade internacional de
pesquisadores que mantêm encontros, publica revistas e boletins informativos,
promove a colaboração dentro e entre disciplinas, faz e critica estudos de
pesquisa e tenta manter uma consciência de pesquisa viva dentro de conselhos e
1 Tradução da autora
28
das organizações de educação matemática nas quais os membros da
comunidade de pesquisa participam.” (KILPATRICK, 1992, p.3)1
KILPATRICK empresta de Cronbach & Suppes a definição de
pesquisa como sendo uma investigação disciplinada.
“O termo investigação sugere que o trabalho é dirigido a responder a
uma questão específica, não é uma especulação ou conhecimento inútil para sua
própria causa. O termo disciplinado sugere não apenas que a investigação possa
ser guiada por conceitos e métodos de disciplinas como psicologia, história.
filosofia ou antropologia mas também é colocado de modo que a linha de
investigação possa ser examinada e verificada. Investigação disciplinada não
precisa ser científica no sentido de ser baseada em hipóteses empiricamente
testadas, mas como qualquer bom trabalho científico deve ser escolar, público e
aberto a crítica e possível impugnação. Então pesquisa em Educação Matemática
é uma investigação disciplinada para o ensino e aprendizado em matemática.”
(Kilpatrick, 1992, p.3)2
Levarei em conta essa definição de pesquisa em Educação
Matemática que, permeará o desenvolvimento deste trabalho.
Selecionei ainda neste artigo, um trecho em que KILPATRICK
relaciona as abordagens de pesquisa e seus objetivos. Entenda-se como
abordagem de pesquisa, o ponto de vista do qual o pesquisador desenvolve sua
investigação e que se reflete nos métodos empregados.
"Os propósitos desta pesquisa (pesquisa educacional) são diversos.
Se uma das perspectivas de tal pesquisa se parece com as ciências naturais em
seguir a tradição empírico-analítica (Popkewitz, 1984, pp. 35-40), ela adota as
tradicionais linhas da ciência de: explicar, predizer ou controlar (Carr &
Kemmis,1986. p.83). Se alguém vê a pesquisa, mais semelhante, a compreensão
interpretativa de uma cultura que um antropólogo possa procurar (Eisenhart,
1 Tradução da autora 2 Tradução da autora
29
1988), tenta-se entender os significados que o aprendizado e o ensino da
matemática têm para os que estão envolvidos na atividade. Se tomar o enfoque
de sociologia crítica, empreende "pesquisa ação", projetada para ajudar
professores e estudantes a ganharem maior liberdade e autonomia em seu
trabalho, a pesquisa é feita tanto para melhorar a prática quanto para envolver os
participantes nesta melhoria (Carr & Kemmis, 1986, p.165). Um movimento nesta
pesquisa mais ou menos na década passada a tem levado da tradição empírico-
analítica para enfoques interpretativos e (em menor extensão) críticos (Kilpatrick,
1988a, 1988b). Embora os métodos de tradição empírico-analítico tenham
dominado esta pesquisa em sua maioria neste século; as aspirações cientificas
de explanação, predição e controle; parece nunca ter sido tão predominantes, a
motivação, o desejo de entender e especialmente de melhorar tanto o
aprendizado quanto o ensino de matemática." ( p.3-4)1
Em seu artigo Perspectives on Scholarshship and Research
Methods publicado em 1992, ROMBERG descreve certas características da
ciência da Educação Matemática como campo de estudo, esboça as atividades
dos pesquisadores e realça a variedade de métodos de pesquisa em uso.
Deste artigo de ROMBERG são de especial interesse para o
presente trabalho, a lista das dez atividades essenciais da “arte-técnica”, fazer
pesquisa e as caracterizações dos métodos de pesquisa que ele fornece. Na
realidade quase todos os textos sobre métodos de pesquisa esboçam um
conjunto de atividades similares. Essa lista é apresentada, no citado artigo, para:
“(1) realçar alguns dos problemas comuns que pessoas não familizarizadas com
pesquisa enfrentam para compreender o processo de pesquisa e (2) para
fornecer um contexto para discussão das tendências de pesquisa.” (p. 51)
ROMBERG alerta que, embora tenha apresentado as atividades (ver fig.3-2) de
forma a sugerir a ordem em que elas são executadas pelo pesquisador, na prática
elas não estão, obrigatoriamente, nessa ordem.
Utilizarei a lista de ROMBERG como padrão para as análises das
dissertações. Isto porque, das dez atividades apresentadas as quatro primeiras
1 Tradução da autora
30
estão envolvidas com a decisão, do pesquisador, do que investigar; ou seja, com
a determinação do objetivo ou das questões de pesquisa e as outras atividades (5
a 10), estão envolvidas com a decisão de qual método de pesquisa ele utilizará
para responder as questões ou objetivos propostos.
Por método de pesquisa adotarei a caracterização que é dada por
ROMBERG a este termo.
“...os métodos específicos discutidos na literatura de pesquisa
devem incluir a maneira na qual a informação é colhida, a forma na qual isso é
agregado e analisado, ou, às vezes, como isso é relatado.” (p. 56)
4. Questões ou conjecturas
5. Selecionar estratégias de pesquisa
6. Selecionar procedimentos de pesquisa
1.Fenômeno de interesse
2. Modelo preliminar
3. Relação com idéias de outros
10. Prever próximas ações
7. Coleta de dados
8. Interpretação de dados
9. Comunicar os resultados
figura 3-2. Atividades de pesquisa e como estão relacionadas (p. 51)
31
As atividades características de pesquisa
1- Identificar um fenômeno de interesse
A primeira atividade de pesquisa é explicada por ROMBERG, da
seguinte forma:
“Todo pesquisador começa com curiosidade sobre um fenômeno
particular do mundo real. Na ciência da Educação Matemática, como sugerido na
figura 3.1, o fenômeno envolve professores e alunos, como os alunos aprendem,
como o aluno interage com a Matemática, como o aluno responde ao professor,
como os professores planejam a instrução, e muitos assuntos.” (p. 51)
Sociedade
Escolaridade
subconjunto
Matemática Estudantes
Professores
Figura 3.1 As relações entre a sociedade, a matemática, estudantes, professores, e
escolaridade
32
2- Construir um modelo provisório
“Um pesquisador faz conjecturas sobre certos aspectos importantes
como variáveis do fenômeno de interesse e como esses aspectos estão
relacionados, então ilustram isso em um modelo. [...] um modelo é meramente um
conjunto de descrições de variáveis chave e a relação implícita entre as
variáveis. Para muitos acadêmicos, um modelo é meramente um dispositivo
heurístico para auxiliar o esclarecimento de um fenômeno complexo. [...] A
formulação de um modelo provisório usualmente ajuda porque fazer isso envolve
especificar as variáveis que alguém acredita que estão operando na situação real.
Naturalmente, o modelo é uma simplificação, desde que algumas características
da realidade serão significantes e outras irrelevantes.” (p. 51)
3- Relacionar o fenômeno e o modelo a idéias de outros
Essa atividade refere-se à busca de informações sobre o tema
escolhido, tendo como objetivo esclarecer suas idéias ou obter fontes autorizadas
que possam dar suporte teórico ao seu argumento de pesquisa.
“Uma atividade importante é examinar o que outras pessoas pensam
sobre o fenômeno e determinar quando suas idéias podem ser utilizadas para
esclarecer, ampliar, ou modificar o modelo proposto.” (p. 51)
4- Fazer questões específicas ou fazer conjectura argumentada
Quando o pesquisador define seu tema, abre-se um leque de
possíveis questões cujas respostas merecem uma investigação. ROMBERG
considera difícil decidir qual a questão que será examinada.
[...] “As questões tomam usualmente as seguintes formas: Como as
coisas ficaram desse jeito? (orientado para o passado). Qual o estatuto das
coisas? (orientado para o presente). O que acontecerá se eu fizer o seguinte?
(orientado para o futuro).[...] Muito mais que simplesmente levantar questões
33
interessantes, os pesquisadores usualmente fazem uma ou mais conjecturas
(avaliações argumentadas ou previsões) sobre o que tomará para responder a
questão”...” (p. 52)
5- Selecionar uma estratégia geral de pesquisa para a coleta de
dados1
Ao citar esta atividade ROMBERG, parte do ponto de vista, de que o
objetivo determina a abordagem de pesquisa. Essa se reflete nos métodos que
serão utilizados.
“A decisão sobre que métodos usar depende diretamente das
questões selecionadas, da visão de mundo na qual essas questões estão
situadas, do modelo “preliminar” construído para explicar o “fenômeno de
interesse” e da conjectura que foi feita sobre os dados requeridos. Por exemplo, se
as questões a serem respondidas são sobre o passado, seria apropriado a
historiografia. Por outro lado, se as questões estão orientadas no presente, deve-
se escolher fazer uma observação ou um “estudo de caso”, ou usar uma das
muitas outras estratégias de coleta de dados.” (p. 52)
6- Selecionar procedimentos específicos
“Para responder as questões específicas que foram levantadas,
deve-se coletar dados. Este é o passo no qual as técnicas normalmente
ensinadas nos cursos de métodos de pesquisas são importantes: como selecionar
um exemplo, como reunir informações (entrevista, questionário, observação e
teste), como organizar as informações, uma vez coletadas, e outros. Há um
grande número de procedimentos específicos que devem ser seguidos para
diferentes tipos de questões. Deve-se tomar cuidado em selecionar procedimentos
que esclareçam as questões.” (p. 52)
1 Chamarei de dados qualquer tipo de informação e não apenas informações quantitativas,
como se poderia pensar. (nota da autora.)
34
7- Coleta de informação
“Este passo deve ser direto uma vez que alguém tenha decidido
coletar certas informações para construir um argumento relativo às questões que
estão sendo feitas. Por exemplo, se fazer um mapeamento for apropriado, os
procedimentos para a coleta de dados, embora freqüentemente complexos,
podem ser planejados. Por outro lado, se alguém quer examinar a cultura de uma
sala de aula, os procedimentos para a coleta de dados, podem ser expandidos ou
tornar-se mais focados durante a coleta.” (p. 52-53)
8- Interpretação das informações coletadas
“Neste estágio, a pessoa analisa e interpreta a informação que foi
coletada. Em muitos estudos, o pesquisador tabela as informações, agrega-as e
emprega testes estatísticos de significância apropriados para as propriedades dos
dados. Estes são normalmente chamados de métodos quantitativos, pois é
comum aplicar números às informações (tabelar) e procedimentos matemáticos
são seguidos para agregar e resumir os dados. Em outras áreas, tais como
estudo histórico, o pesquisador também categoriza, organiza e interpreta as
informações relevantes que devem ser coletadas. Mas se não se utilizar de
números, os métodos de análises são chamados qualitativos.” (p. 53)
9-Transmissão dos resultados aos outros
“Ser membro de uma comunidade acadêmica implica em uma
responsabilidade de informar aos outros membros sobre a investigação completa
e solicitar seus comentários e críticas. Freqüentemente, os pesquisadores relatam
somente os procedimentos e os “achados”, não o modelo ou a visão de mundo.
Os achados de cada estudo particular são interpretáveis somente em termos da
visão de mundo. Se ela não for declarada, os leitores irão indubitavelmente usar
suas próprias noções para interpretar o estudo. Diferenças significantes entre
características de distribuições – tais como o grupo de algoritmos calculatório para
compreender frações e o significado de outro grupo – não são importantes por
elas próprias. Não somente os resultados, mas também respostas às questões,
35
que deveriam ter sido embutidas em uma “ciência normal”, devem ser transmitidas
aos outros.” (p.53)
10- Antecipar as ações de outros
“Diante dos resultados de uma investigação particular, todo
acadêmico está interessado no que acontecerá a seguir e pode antecipar ações
posteriores. Membros de uma comunidade acadêmica discutem idéias uns com os
outros, reagem a cada idéia dos outros e sugerem novos passos, modificações de
estudos anteriores, elaborações de procedimentos, e assim por diante. Os
acadêmicos tentam situar cada estudo em uma cadeia de investigação. Coisas
que vieram antes e que virão depois de qualquer estudo particular são
importantes.” (p. 53)
O procedimento de identificação destas dez atividades
características de pesquisa, nas dissertações, tem como finalidade sugerir um
padrão para as análises que deverá facilitar a posterior categorização destes
trabalhos.
Além destas atividades, ROMBERG, em seu artigo, trata de outros
assuntos ligados ao processo de pesquisa e que são do interesse para esse
trabalho, por envolverem idéias ligadas aos métodos usados por pesquisadores.
ROMBERG expõe suas idéias sobre a ideologia e paradigmas de
diferentes comunidades de pesquisa.
“Um acadêmico conduz pesquisa dentro de uma comunidade. As
comunidades acadêmicas envolvem um comprometimento com certas linhas de
pensamento e premissas para certificar o conhecimento. Cada campo acadêmico
é caracterizado por uma constelação própria de questões, métodos e
procedimentos. Essa constelação fornece formas compartilhadas de “enxergar” o
mundo, de trabalho, e de testar o estudo de cada um dos outros”. (p. 53)
36
Essas formas compartilhadas de “enxergar” o mundo têm implicação
nas diferentes abordagens de pesquisa. ROMBERG examina a “visão de mundo”
de três paradigmas de pesquisa que segundo ele “emergiram para dar definição e
estrutura à prática da pesquisa educacional: empírico-analítico, simbólico e
crítico,[...]” (p. 54)
Na educação, o paradigma empírico-analítico, se traduz na crença
de que
... “o conhecimento a ser aprendido em qualquer área, como em
matemática, pode ser especificado a partir de fatos, conceitos, procedimentos e
assim, por diante; de que o trabalho do estudante é de dominar esse
conhecimento; de que o papel do professor é o de apresentar esse conhecimento
ao aluno, de uma forma organizada e monitorar seu progresso em direção ao
domínio; e, de que a organização e tecnologia da sala de aula e da escola são
arranjadas para tornar o ensino e o domínio desse conhecimento tão eficiente
quanto possível.” (p. 55)
No paradigma simbólico a crença subjacente é de que
... “o conhecimento é situado e pessoal, de que os alunos aprendem
por construção como conseqüência de experiências, de que o papel do ensino é
criar experiências instrucionais para os estudantes e negociar com eles
compreensões intersubjetivas ganhas dessas experiências, e que a organização
da sala de aula e da escola são arranjadas para que todas essas experiências
possam ser ricas e cheias de sentido.” (p. 55)
Exemplos de estudos nessa perspectiva do paradigma simbólico em
educação matemática podem ser encontrados em estudos recentes em
“etnomatemática”.
O paradigma crítico envolve a crença de que
... “o conhecimento é ganho pela reflexão em como o homem pode
melhorar as condições sociais, que os alunos aprendem através da reflexão e
37
ação, e que o papel do ensino é fazer os estudantes refletirem sobre o mundo
social no qual ele vive e inicie ações que desafiem a prática atual.” (p.55)
Para ROMBERG, o método real que um pesquisador usa para obter
evidências depende das crenças, listadas acima, de uma certa comunidade
acadêmica, das situações criadas ou já existentes, da fonte dessas evidências, da
orientação temporal da questão: direcionada ao passado, presente ou futuro e do
julgamento ou avaliação dos estudos feitos.
ROMBERG caracteriza os métodos específicos, encontrados na
literatura, que se baseiam ou utilizam estes cinco fatores. São eles:
Métodos usados com dados existentes
• Historiografia
• Análise de conteúdo
• Análises de tendências
Métodos usados quando uma situação existe e o dado deve ser
desenvolvido
• Pesquisa retrospectiva
• Levantamento, mapeamento descritivo de grande número
• Entrevistas estruturadas
• Entrevistas clínicas
• Levantamentos projetivos
• Observações estruturadas
• Observações clínicas
• Estudo longitudinal
• Cross-sectional designs (Desenho de sessões cruzadas)
• Modelagem de causa
• Estudo de caso
• Pesquisa ação
• Etnografia
38
Experiências (experimento)
“Se uma conjectura envolve predizer, prever o que irá acontecer sob
condições que ainda não existem; isto é, se envolve coleta de dados sobre os
efeitos de um produto ou programa novo e diferente, a pessoa usa uma
abordagem experimental.[...] existem três abordagens usadas na Educação:
• Experiências no ensino. [...] as hipóteses são criadas
primeiramente em relação ao processo de aprendizagem, desenvolve-se uma
estratégia de ensino que envolve intervenção sistemática e estimulação da
aprendizagem do estudante, e ambas são determinadas, a eficácia da estratégia
de ensino e as razões para essa eficácia.
• Experimentos comparativos. Este método de investigação é
usado para determinar se um conjunto específico de ações pode ou não causar o
resultado desejado. A determinação é feita comparando os resultados de um
grupo tratado pelo conjunto das ações com o de um grupo similar (grupo de
controle) que não tenha sido tratado daquela forma para ver se existem
diferenças previstas nos resultados.
• Série de experimentos - Tempo descontínuo. [...] A chave para
se usar esta estratégia está em fazer observações suficientes antes de começar o
tratamento, e assim uma tendência pode ser determinada e então comparada
com os resultados após o tratamento.” (p. 57)
O mapeamento feito por FIORENTINI, constou de análise dos
quarenta e oito trabalhos do Grupo de Trabalho de Educação Matemática da
ANPED, aprovados pelo Comitê Científico dessa entidade. Segundo o autor:
“Tendo em vista os objetivos deste estudo, julgamos necessário,
primeiramente, fazer o fichamento de cada um dos trabalhos. Assim, tentamos
extrair, além de informações gerais (ano, autor, título do trabalho, instituição de
origem), outras mais específicas, tais como: foco temático; problema ou objetivos
39
do estudo; referencial teórico; procedimentos metodológicos de pesquisa;
resultados obtidos; e contribuições teóricas e práticas à educação e à pesquisa.”
(p. 2)
Pode-se vislumbrar nas informações específicas a que se referiu
FIORENTINI, uma convergência com as dez atividades listadas por ROMBERG.
Com relação a necessidade de se eleger focos para a investigação e
posterior categorização, FIORENTINI diz que:
“As possibilidades de organização ou categorização dos trabalhos
podem ser diversas. Poderíamos, por exemplo, organizar os estudos pela
metodologia de pesquisa utilizada ou pelo referencial teórico. Outra alternativa,
seria classificá-los segundo o problema ou os objetivos de investigação; ou, ainda
segundo os paradigmas epistemológicos da pesquisa educacional. [...]
Preferimos, entretanto, com base em FIORENTINI (1994) e KILPATRICK (1994),
organizá-los tematicamente. Essa forma de organização exige que se identifique,
para cada trabalho, o foco principal da investigação. Esse processo não é simples
ou direto pois acontece de forma indutiva e, às vezes, dedutiva, exigindo ajustes
individuais (para cada estudo) e grupais (envolvendo um conjunto de estudos). A
vantagem é que as categorias construídas emergem do material sob análise e
não da literatura propriamente dita, embora, neste processo, o diálogo com a
literatura e outras formas de classificação seja conveniente e necessário.” (p. 5).
Como resultado do mapeamento feito para organizar os trabalhos do
GT-19, tematicamente, FIORENTINI identificou oito focos temáticos, que,
resumidamente são:
• Estudos sobre o professor de Matemática
• Estudos cognitivos e metacognitivos: inclui estratégias,
habilidades e processos cognitivos dos alunos
• Estudos sobre o ensino de matemática na universidade
• Estudos sobre as tendências teóricas, didático-pedagógicas e
investigativas em Educação Matemática
40
• Estudos que utilizam a metodologia da Engenharia Didática, no
ensino e aprendizagem de geometria (Produção, aplicação e
análise de seqüências didáticas)
• Estudos sobre Educação Matemática e políticas educacionais
públicas
• Estudos sobre a produção de significados em atividades
matemáticas
• Estudos sobre a matemática em contexto não-escolar
O quadro síntese elaborado por FIORENTINI mostra que os dois
principais focos temáticos de interesse dos trabalhos apresentados foram os
Estudos cognitivos e metacognitivos, com doze trabalhos e os Estudos sobre o
professor de Matemática com doze trabalhos também.
É importante notar a interpretação dada por FIORENTINI à
metodologia de pesquisa denominada Engenharia Didática, que a seu ver
constitui um tema de pesquisa.
41
CAPÍTULO II: DESCRIÇÃO E ANÁLISE DAS DISSERTAÇÕES
42
Para oferecer um panorama das dissertações, foi necessário
analisar os documentos produzidos no período de 1994 a 2000. Portanto, trata-se
de uma pesquisa direcionada ao passado o que, segundo ROMBERG, a situa no
tipo de pesquisa historiográfica1.
Para facilitar a posterior organização e caracterização das obras,
analisei-as por meio da identificação das dez atividades características de
pesquisa, indicadas por ROMBERG e que constam do quadro teórico deste
trabalho.
As análises constituem o conteúdo do presente capítulo. Após
apresentar o fichamento, transcrevo e comento trechos das dissertações que
evidenciam as dez atividades.
Estas atividades estão envolvidas com os focos de investigação de
minha pesquisa que são os objetivos e metodologias das dissertações. As
primeiras quatro atividades, segundo ROMBERG, estão implicadas com a
determinação da questão ou objetivo de pesquisa e as de cinco a dez
Segundo ROMBERG, as atividades, de 5 a 10, estão envolvidas
com o método de investigação utilizado pelo pesquisador e as decisões sobre os
métodos, são tomadas, como conseqüência das primeiras quatro atividades.
1 Historiografia. Nessa abordagem, faz se um esforço em esclarecer condições e problemas atuais através de uma compreensão profunda e completa do que foi feito ou ocorreu no passado.(p. 56)
[...] são aquelas em que um investigador decide (1) qual evidência é necessária
para abordar as questões ou conjecturas “levantadas”; (2) como obter, analisar e
interpretar essa evidência; e, (3) como relatar o “encontrado” para os outros. (p. 56)
INTRODUÇÃO
43
A ordenação dessas análises tem como critério a data de defesa da
dissertação, das mais antigas para as mais recentes.
Utilizei o seguinte padrão para leitura: o que é puramente transcrição
de trechos da dissertação em questão, aparece em quadro sombreado de com
indicação da página. Os trechos dos autores que fornecem as referências teóricas
para as análises são apresentados em quadro amarelo, . As páginas
indicadas nos quadros amarelos referem-se a trechos de ROMBERG
apresentados no capítulo I, ou de algum outro teórico, cuja citação seja
necessária para outros esclarecimentos.
A seguir descrevo cada uma das atividades, com suas respectivas
interpretações e adaptações ao propósito desta pesquisa.
Atividade 1: Identificar um fenômeno de interesse
Considerarei como fenômeno, qualquer área geral de investigação
que o pesquisador pretenda explorar.
Procurarei na problemática ou na justificativa da obra, as indicações
do fenômeno de interesse encontrado pelo pesquisador.
Segundo ROMBERG
Na ciência da Educação Matemática, [...] o fenômeno envolve professores e
alunos, como os alunos aprendem, como o aluno interage com a matemática,
como o aluno responde ao professor, como os professores planejam a instrução, e
muitos outros assuntos. (p. 51)
44
Atividade 2: Construir um modelo provisório
Para identificar se tal atividade foi executada pelo pesquisador
considerarei a definição de modelo apresentada por ROMBERG.
Atividade 3: Relacionar o fenômeno e o modelo a idéias de
outros
Contemplei nesta atividade as principais referências fornecidas pelo
autor sobre o tema de sua pesquisa, e também as referências teóricas que
serviram de apoio para suas análises.
Atividade 4: Fazer questões específicas ou fazer uma conjectura
argumentada
Para identificar a realização desta atividade, considerarei as
questões de pesquisa, conjecturas e o objetivo especificados pelo autor.
[...] um modelo é meramente um conjunto de descrições de variáveis chave e a
relação implícita entre as variáveis. Para muitos acadêmicos, um modelo é
meramente um dispositivo heurístico para auxiliar o esclarecimento de um
fenômeno complexo. (p. 51)
Este é um passo chave no processo de pesquisa porque, quando alguém examina
um fenômeno particular, invitavelmente surge um grande número de questões
potenciais. (p. 51)
[...]Muito mais que simplesmente levantar questões interessantes, os
pesquisadores usualmente fazem uma ou mais conjecturas (avaliações
argumentadas ou previsões) sobre o que tomará para responder a questão. (p. 51)
45
Atividade 5: Selecionar uma estratégia geral de pesquisa para a
coleta de dados
Procurarei ao longo da dissertação a indicação feita pelo autor,
sobre a metodologia que utilizou para a coleta de dados.
Atividade 6: Selecionar procedimentos específicos
Evidenciarei a realização desta atividade, citando objetivamente os
passos seguidos pelo pesquisador para a coleta de dados, sem me deter na
descrição dos instrumentos metodológicos (entrevistas, questionários, testes,...)
por ele, utilizados.
Atividade 7: Coleta de informação
A apresentação das evidências de que esta atividade foi executada
será feita por meio da identificação da população que participou da pesquisa, do
número de sessões com a respectiva duração de cada uma, como foi elaborada
a coleta de dados propriamente dita e, se contou ou não com observadores.
Atividade 8: Interpretação das informações coletadas
Para demonstrar a execução desta atividade não levarei em conta
interpretações parciais das informações coletadas ao longo da pesquisa, mas,
apenas, as interpretações que concluem o trabalho, ou seja, aquelas conclusões
diretamente ligadas às questões ou ao objetivo determinados pelo autor.
É importante ressaltar o que diz ROMBERG a respeito dessa oitava
atividade.
[...] em toda investigação, coleta-se um número maior de informações do que podem
ser usadas para responder as questões. (p. 53)
46
Atividade 9: Transmissão dos resultados aos outros
Trata-se de, como relatar os achados para os outros. Para
ROMBERG
Considerarei esta atividade como tendo sido executada por todos os
autores das obras analisadas, já que, estes mestrandos apresentaram seus
trabalhos publicamente e diante de uma banca composta de representantes da
comunidade acadêmica.
Atividade 10: Antecipar as ações de outros
Identificarei esta atividade por meio das sugestões de pesquisa ou
de ensino que o autor tenha feito.
A seguir passo às análises das obras, precedidas por seus
respectivos fichamentos.
Ser membro de uma comunidade acadêmica implica em uma responsabilidade de
informar aos outros membros sobre a investigação completa e solicitar seus
comentários e críticas. (p. 53)
Diante dos resultados de uma investigação particular, todo acadêmico está
interessado no que acontecerá a seguir e pode antecipar ações posteriores. (p. 53)
47
INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE PROBABILIDADE POR UMA VISÃO FREQÜENTISTA
AUTORA: Cileda de Queiroz e Silva Coutinho
ANO DA DEFESA:1994
NÚMERO DE PÁGINAS: 151
ORIENTADORA: Tânia Maria Mendonça CAMPOS
RESUMO
Este trabalho sobre o ensino de probabilidades é de natureza
didática, no sentido utilizado na França atualmente, seguindo os trabalhos de Guy
Brousseou: um estudo teórico e aplicado das relações entre o ensino e a
aprendizagem em matemática.
Nosso objetivo é estudar as concepções espontâneas ou pré-
construídas dos alunos à propósito do acaso e de probabilidades, analisando as
seqüências experimentais de introdução a estes conceitos, a partir da observação
da estabilização da freqüência relativa de um evento após um grande número de
repetições da experiência aleatória.
O objetivo final da escolha freqüentista é, sem dúvida, estender a
noção de probabilidade às situações não somente de "casos igualmente
prováveis" segundo o enunciado de Laplace em seu segundo princípio, na obra
"Ensaio Filosófico de Probabilidades", mas também modelizar as situações
complexas tais como as questões de confiabilidade, difusão (epidemias), na
pesquisa petrolífera ou no controle estocástico. Como objetivo didático, trata-se
INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE PROBABILIDADE POR UMA VISÃO
FREQÜENTISTA
FICHAMENTO
48
de ligar de forma profunda o ensino às condições de aprendizagem nas quais o
aluno de hoje está inserido.
Os dados obtidos através de um questionário elaborado com o
objetivo de detectar as concepções pré-construídas dos alunos, da aplicação e
análise de uma seqüência de ensino elaborada a partir dos resultados deste
questionário foram analisados à luz de resultados anteriormente obtidos por
outros pesquisadores, tais como S. Maury e J. Bordier, entre outros. (p. 4)
OBJETIVO
Investigar como se dá a aquisição dos primeiros conceitos de
Probabilidade utilizando a visão freqüentista proposta, como vimos em I.1., por
Jacques Bernoulli e, mais recentemente, retomada por alguns pesquisadores do
ensino da Matemática. (p.31)
METODOLOGIA
... nosso trabalho tem início com a aplicação de uma engenharia
didática para o ensino do conceito de Probabilidade junto a alunos do segundo
grau francês para, em seguida, estudar a aplicação desta mesma engenharia em
alunos da primeira série do terceiro grau no Brasil, na cadeira de Estatística.
(p.40)
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
No item II.2 Referências a autora afirma que:
... nosso estudo tomará como base os de M. Henry, que partem de
uma compreensão do espírito dos programas de segunda série de segundo grau
francês, os quais determinam uma visão freqüentista da Probabilidade, evitando
porém, qualquer desenvolvimento teórico.(p.38).
Há também referência a sugestões de outros pesquisadores para o
ensino de probabilidade como: Alan Rogerson e Maria Cristina S. A. Maranhão
(p.32), Gottfried E. Noether e J. Bordier (p.33) , S. Maury (p.34).
49
A autora declara que “…vamos procurar informações na psicologia
cognitiva ....O primeiro e mais importante trabalho que aparece deve-se a Piaget e
Inhelder”. (p. 35)
PALAVRAS-CHAVE
Não constam
CONCLUSÃO
Transcrição das conclusões propriamente ditas:
Com isto, confirmamos os estudos de Fischbein e de Tversky e
Kahneman, já citados no Capítulo II, e que concluem pelo encorajamento de um
ensino precoce de Probabilidades e também que certas concepções errôneas
podem persistir mesmo após o aprendizado de noções básicas deste conteúdo.
(p. 132)
No que concerne ao grupo observado no Brasil, esta cultura
adquirida informalmente, juntamente com o fato de que alguns alunos haviam
recebido noções de probabilidade durante o segundo grau sem contudo tê-las
assimilado como uma interpretação da realidade, provocou uma maior dificuldade
no aprendizado, muito embora a utilização freqüentista tenha minorado, conforme
pudemos constatar, esta situação.(p.132)
Durante as sessões observadas, pudemos constatar que os alunos
conseguiram assimilar proporção como probabilidade, o que foi mais difícil para a
relação “freqüência relativa - probabilidade”, ou seja, verificamos que uma única
observação da estabilização desta freqüência não foi suficiente, principalmente
quando estudamos eventos cuja probabilidade não pode ser calculada “a priori”.
Acreditamos que este fato é devido à dificuldade em analisar as condições
particulares de cada evento através de uma lógica adequada, conforme já
mencionamos. (p.133)
50
Sugestão de ensino:
... verificamos que uma única observação da estabilização desta freqüência não
foi suficiente, principalmente quando estudamos eventos cuja probabilidade não
pode ser calculada “a priori”. Acreditamos que este fato é devido à dificuldade em
analisar as condições particulares de cada evento através de uma lógica
adequada, conforme já mencionamos. Poderíamos aqui sugerir a utilização do
computador para simular situações, conforme o estudo de J. Bordier [6] e Xavier
[34], mas também a realização de outros experimentos que possam ser
associados à realidade de cada aluno, conforme sugere Cristina Maranhão em
[24]. (p. 133)
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Das 34 referências constantes da bibliografia, indico apenas aquelas
que se referem a autores citados no fichamento.
BORDIER, Jacques. Un Modèle Didactique Utilisant la Simulation sur Ordinateur
pour l'Enseignement de la Probabilité. Thèse de Doctorat - Paris VII. 1991.
FISCHBEIN, Efraim et al. Factors Affecting Probabilistic Judgements in
Children and Adolescents, em Educational Studies in Mathematics, 22, pp
523-549. 1991.
HENRY, Annie et Michel. L' Enseignement des Probabilités dans le Programme
de Première, em Repères n° 6. 1991. Publicação IREM.
MARANHÃO, Maria Cristina S. de A. . Matemática. Coleção magistério, 2° Grau.
Série formação geral. Ed. Cortez. 1991. pp 101-102.
MAURY, Silvette. Contribuition à l'étude didactique de quelques notions de
probabilité et de combinatoire à travers la résolution de problèmes. Thèse
d' Etat, Montpellier I. 1986.
NOETHER, Gottfried E. Introdução à Estatística - Uma abordagem não
paramétrica. Guanabara Dois. 1983.
51
ANÁLISE
Esta dissertação foi defendida por Cileda de Queiroz e Silva
COUTINHO em 17 de maio de 1994. A banca examinadora foi composta por:
Tânia Maria Mendonça CAMPOS (PUC/SP), que também foi a orientadora da
pesquisa, Airton Fontenele Sampaio XAVIER (UFCE) e Saddo Ag ALMOULOUD
(PUC/SP).
Cileda COUTINHO demonstra ter identificado o fenômeno de seu
interesse quando diz:
No âmbito desse fenômeno de interesse, a autora enfocou seu
objetivo de pesquisa, no item II.1 denominado “Objetivo” que consta:
COUTINHO esclarece na introdução que :
ANÁLISE
Uma constatação que nos parece importante é que as respostas dos
alunos para questões de probabilidades são influenciadas pela sua
formulação e pelo contexto, evidenciando que sem uma intervenção
didática apropriada, a aprendizagem da Teoria das Probabilidades tornar-
se-á muito difícil para os alunos. (p. 35)
Nosso trabalho tem como objetivo investigar como se dá a
aquisição dos primeiros conceitos de Probabilidade utilizando a visão
freqüentista proposta, como vimos em I,1, por Jacques Bernoulli e, mais
recentemente, retomada por alguns pesquisadores do ensino da
Matemática. (p. 31)
Nosso trabalho tem por objetivo mostrar as vantagens encontradas quando
da utilização da visão freqüentista para o ensino dos primeiros conceitos de
probabilidade. (p. 9)
52
Assim, levando em conta que a autora estabeleceu a necessidade
de uma intervenção didática apropriada, conforme citação da página anterior e o
trecho do quadro acima, concluo que sua hipótese de pesquisa pode ser
considerada como sendo: é vantajoso utilizar a visão freqüentista para ensinar os
primeiros conceitos de probabilidade.
Para embasar sua pesquisa, COUTINHO citou, principalmente, os
trabalhos de M. HENRY, por seus estudos sobre o ensino de probabilidades no
segundo grau do ensino francês.
Outros pesquisadores são citados pela autora. A. ROGERSON e
Maria Cristina S. A. MARANHÃO sobre o ensino do cálculo das Probabilidades
baseado em dados experimentais e situações do cotidiano dos alunos e J. Bordier
e S. Maury também por seus estudos sobre as concepções dos alunos.
Constata-se que COUTINHO realizou a terceira atividade de
pesquisa que é relacionar o fenômeno a idéias de outros.
Para atingir seu objetivo, COUTINHO selecionou uma estratégia
geral de pesquisa que, resumidamente, consistiu em: criar uma hipótese de
pesquisa em relação ao processo de aprendizagem das Probabilidades,
desenvolver uma estratégia de ensino e avaliar a eficácia desta estratégia.
Para o tipo de pesquisa desenvolvida, uma experiência no ensino,
faz-se necessário coletar e interpretar dados com alunos em situação de
aprendizagem de Probabilidades. Assim, compreende-se que, para esta coleta,
Coutinho tenha optado pelos procedimentos específicos da Engenharia Didática,
caracterizada por Michèle ARTIGUE (1988)
Existem outros trabalhos publicados sobre o ensino das Probabilidades,
mas nosso estudo tomará como base os de M. Henry, que partem de uma
compreensão do espírito dos programas de segunda série de segundo grau
francês, os quais determinam uma visão freqüentista da Probabilidade, evitando
porém, qualquer desenvolvimento teórico. (p. 38)
53
A autora, por meio de um quadro comparativo, observou que a
estrutura do ensino francês era muito parecida com a brasileira, conforme o
trecho a seguir: “A estrutura do ensino francês é, de certa forma, muito parecida
com a brasileira,”...(p. 39)
Esse fato justificou a sua escolha dos procedimentos específicos
utilizados:
Para operacionalizar a coleta de dados a autora declarou que:
A análise das respostas obtidas com a aplicação do questionário
forneceram os subsídios para a elaboração das seqüências didáticas a serem
aplicadas em alunos franceses e posteriormente em alunos brasileiros.
A aplicação de cada seqüência foi feita em três sessões de duas
horas cada.
Tendo em vista estas semelhanças, nosso trabalho tem início com a aplicação
de uma engenharia didática para o ensino do conceito de Probabilidade junto a
alunos do segundo grau francês para, em seguida, estudar a aplicação desta mesma
engenharia em alunos da primeira série do terceiro grau no Brasil, na cadeira de
Estatística. Para tanto, procuramos seguir as etapas proposta por M. Artigue [3] para
uma metodologia de pesquisa. (p. 40)
Os instrumentos por nós utilizados nesse trabalho foram: um questionário
para levantamento das concepções pré-construídas, observações de
seqüências de ensino elaboradas com base nos resultados obtidos pelo
questionário, um teste para verificação dos conhecimentos adquiridos. (p. 43)
...como um esquema experimental baseado sobre “realizações didáticas” em sala
de aula, isto é, sobre a concepção, a realização, a observação e a análise de
seqüências de ensino. (ARTIGUE in MACHADO, p. 199)
54
A seqüência para alunos franceses foi aplicada para quarenta e um
alunos da segunda série do segundo grau e administrada pelos próprios
professores dos alunos, contando com a observação da pesquisadora e de M.
HENRY.
No Brasil, a seqüência foi aplicada em uma turma de trinta e quatro
alunos cursando a primeira série de um curso de Fonoaudiologia, administrada
pela professora-pesquisadora e contou com um observador.
Após a coleta de dados a próxima atividade essencial da “arte-
técnica”, fazer pesquisa, é a interpretação das informações coletadas. Em sua
pesquisa, COUTINHO mescla métodos quantitativos e métodos qualitativos para
a interpretação dos dados.
Estes registros de observações foram relatados nos itens IV.4 e V.4,
“Análise a Posteriori” de cada uma das seqüências: a do ensino francês e a do
ensino brasileiro, respectivamente. Nesses itens a autora analisa as respostas
dadas pelos alunos, após as atividades experimentais, comparando estas
respostas com suas previsões descritas nos itens IV.3 e V.3, “Análise a Priori”,
de cada uma das seqüências.
A última fase do desenvolvimento das seqüências foi a aplicação de
um teste para verificar o grau de aprendizagem do conteúdo desenvolvido. Os
números de respostas certas, erradas ou deixadas em branco, para cada questão
do teste, são apresentados em tabelas. Em seguida, a autora analisa estes
resultados, dando-lhes tratamento qualitativo.
Desta forma, os dados por nós obtidos foram registros de observações,
que receberão tratamento qualitativo, o que nos permitirá fazer distinções ,
decidir os índices a serem privilegiados para, então, quantificarmos algumas
destas informações [...] (p. 78)
55
Com relação à transmissão dos resultados aos outros, COUTINHO
relata, ao longo do texto, os resultados que obteve em cada uma das fases do
desenvolvimento de cada seqüência didática.
No item IV.4.3, conclusão da aplicação da seqüência para o ensino
francês a autora escreve:
Um relato parecido com este encontra-se na análise a posteriori da
seqüência para o ensino brasileiro, item V.4.
Embora não tenha confirmado a sua hipótese de pesquisa, o estudo
realizado por COUTINHO apresentou resultados que de fato atenderam ao seu
objetivo de pesquisa: investigar como se dá a aquisição dos primeiros
conceitos de Probabilidade utilizando a visão freqüentista.
Na Conclusão da pesquisa a autora escreveu:
Desta forma, nossa hipótese é que a utilização de uma situação a-
didática adequada agiria como um agente facilitador da aprendizagem
pretendida. (p. 99)
Uma vez que nesta seqüência também não foi apresentada uma situação
a-didática conforme nossa análise em IV.4.3, não nos foi possível verificar a
hipótese de que esta seria um agente facilitador da aprendizagem, o que
deixaremos para um futuro trabalho de complementação. (p. 122)
No que concerne ao grupo observado no Brasil, esta cultura adquirida
informalmente, juntamente com o fato de que alguns alunos haviam recebido
noções de probabilidade durante o segundo grau sem contudo tê-las assimilado
como uma interpretação da realidade, provocou uma maior dificuldade no
aprendizado, muito embora a utilização freqüentista tenha minorado, conforme
pudemos constatar, esta situação. (p. 132)
56
Os resultados de sua investigação permitiram a autora antecipar as
ações de outros, mais uma das atividades características de pesquisa, listadas
por ROMBERG. Os trechos a seguir ilustram esta atividade realizada por
COUTINHO, ao fazer as seguintes sugestões de ensino:
... verificamos que uma única observação da estabilização desta freqüência não foi
suficiente, principalmente quando estudamos eventos cuja probabilidade não pode
ser calculada “a priori”. Acreditamos que este fato é devido à dificuldade em
analisar as condições particulares de cada evento através de uma lógica adequada,
conforme já mencionamos. Poderíamos aqui sugerir a utilização do computador
para simular situações, conforme o estudo de J. Bordier [6] e Xavier [34], mas
também a realização de outros experimentos que possam ser associados à
realidade de cada aluno, conforme sugere Cristina Maranhão em [24]. (p. 133)
57
SOBRE AS CONCEPÇÕES DE FUNÇÃO DOS ALUNOS AO TÉRMINO DO 2°°°° GRAU
AUTOR: Osmar Schwarz
ANO DA DEFESA: 1995
NÚMERO DE PÁGINAS: 161
ORIENTADORA: Professora Doutora Sílvia Dias Alcântara Machado
RESUMO
O trabalho visa verificar qual a concepção de função do aluno ao
final do 2° grau.
No 1° capítulo apresentamos um histórico sobre o desenvolvimento
do conceito de função, após o que fazemos uma análise epistemológica,
evidenciando os obstáculos que se apresentaram no desenvolvimento dessa
concepção. Apresentamos também os conceitos de definição operacional e de
definição estrutural, utilizados na seqüência do trabalho.
O 2° capítulo, é dedicado ao teste aplicado aos alunos, para verificar
suas concepções de função. Primeiramente levantamos as variáveis didáticas,
fizemos a análise a priori e após aplicarmos o teste fizemos a análise a posteriori.
No 3° capítulo, apresentamos as conclusões finais, evidenciando
que o aluno ao final do 2° grau tem uma concepção ainda operacional de função,
e às vezes até mesmo elementar. (p. 4)
FICHAMENTO
SOBRE AS CONCEPÇÕES DE FUNÇÃO DOS ALUNOS AO TÉRMINO DO
2°°°° GRAU
58
OBJETIVO
Verificar qual a concepção de função do aluno ao final do 2° grau.
(p. 4)
METODOLOGIA
O autor utiliza procedimentos da engenharia didática.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
O autor baseou-se nas idéias de Anna Sfard, sobre concepção
operacional e concepção estrutural, e como se dá a transição da primeira para a
segunda. (p. 22)
PALAVRAS-CHAVE
Não constam
CONCLUSÃO
Transcrição das partes da conclusão propriamente dita.
A maior parte dos alunos por nós pesquisados, está adentrando o 1°
nível, justificando as observações da análise a posteriori, de que em alguns ainda
persiste uma concepção operacional elementar de função (nível anterior ao da
interiorização), outros estão francamente na 1a fase da concepção de função.
(p.124-125)
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Das 20 referências constantes da bibliografia, indico apenas aquela
que se refere a autor citado no fichamento.
SFARD, Anna. Operational Origins of Mathematical Objets and the Quandary of
Reification - The Case of Function. From The Concept of Function, Aspects of
Epistemology and Pedagogy, Edited by G. Harel and E. Dubinsky, MAA Notes,
vol. 25. 1a Ed. 1992. U.S.A.
59
ANÁLISE
Defendida em 15 de maio de 1995, essa dissertação de Mestrado,
de autoria de Osmar SCHWARZ, teve como componentes da banca
examinadora: Regina Flemming DAMM (UFSC), Saddo Ag Almouloud (PUC/SP)
e a orientadora Sílvia Dias Alcântara MACHADO (PUC/SP).
A dissertação de SCHWARZ foi a primeira dissertação orientada por
Silvia Machado em Educação Matemática.
O autor faz indicações sobre o fenômeno de seu interesse, ao longo
do texto, de forma dispersa, um tanto diluída, isto é, não dedica um item ou
capítulo especifico à sua problemática de pesquisa. O próprio capítulo 1, cujo
tema é Historia e Epistemologia do Conceito de Função indica seu interesse pelo
tema, que vai se confirmando ao longo do capítulo como por exemplo nos
seguintes trechos:
O autor estva interessado no tipo de conhecimento que os alunos
possuiam sobre o conceito de função. Esse interesse levou-o a uma questão de
pesquisa orientada para o presente, como pode ser confirmado com o objetivo do
trabalho, apresentado no início do resumo.
ANÁLISE
Analisaremos neste item, com base no desenvolvimento histórico da
concepção de função, os obstáculos epistemológicos que integraram a
construção dessa concepção, cujos vestígios são encontrados nos modelos
espontâneos de nossos alunos. (p. 17)
... os matemáticos decidiram por uma definição estrutural de função que lhes
permita operar com espaços de funções e desenvolver conceitos modernos.
No entanto, para os alunos que não operam com espaços funcionais, nem
pretendem muitas vezes seguir carreira de Matemática, o conceito estrutural é
incompreensível e inútil. (p. 21)
60
Embora o objetivo esteja explicitado com clareza no resumo, o fato
de não tê-lo sido no corpo do texto, tornou-o implícito ao longo da dissertação.
De modo análogo, uma de suas hipóteses de pesquisa acaba sendo revelada no
seguinte trecho de uma de suas análises a priori do capitulo 2.
O que me permite concluir que uma das hipóteses de SCHWARZ é
de que aqueles alunos possuíssem uma concepção operacional de função, ao
término do ensino médio.
O autor desenvolveu a parte histórica propriamente dita, embasada
principalmente em trabalho de Yuskevitch. No segundo item do capitulo 1,
desenvolve a epistemologia da concepção de função utilizando-se dos estudos
de pesquisadores como Anna Sierpinska, Kaput e Sophie René de Cotret, as
idéias desta última são expostas e utilizadas no capítulo III, conclusão da
dissertação. SCHWARZ apresenta a teoria de Anna Sfard sobre a construção do
conceito de função pelo aluno, principal apoio de suas análises, no item 3 do
primeiro capítulo. Assim, o autor não só examinou o que outras pessoas pensam
sobre o fenômeno de seu interesse como também abriu a possibilidade de utilizar
estas idéias para confirmar ou refutar suas hipóteses de pesquisa.
Uma das quatro atividades que ROMBERG destacou, como sendo
as mais importantes da “arte-técnica” de fazer pesquisa, coincidiu com o que fez
SCHWARZ. Relacionar o fenômeno a idéias de outros.
O trabalho visa verificar qual a concepção de função do aluno ao final do 2˚
grau. (p. 4)
Nesse item, pedimos aos alunos: “Escreva com suas palavras o que é função”.
...Acreditamos que tais explicações serão do tipo operacional, e que alguns
tentarão dar exemplos particulares, isto é, dirão que função é uma reta, ou que
função é uma parábola, etc. (p. 43)
61
Os procedimentos metodológicos adotados por SCHWARZ, são
apresentados em sub itens do capítulo 2, nomeado de O Teste. Como o nome do
capítulo indica foi elaborado um teste. Por meio de uma análise a priori, realizou-
se o experimento com a aplicação do teste, após o que, foi feita uma análise a
posteriori. A seguir foram feitas diferentes análises dos resultados. Percebe-se,
embora não haja referência no texto, que o autor se inspirou em alguns
procedimentos da Engenharia Didática.
O autor explicitou que optou pela aplicação de um teste para obter
resposta a sua questão de pesquisa da seguinte maneira:
Esse procedimento pode ser identificado com mais uma das
atividades características de fazer pesquisa. Selecionar uma estratégia geral de
pesquisa para a coleta de dados.
ROMBERG descreve, resumidamente, treze métodos diferentes de
pesquisa na qual a situação existe e uma evidência específica deve ser obtida. No
entanto, o tipo de pesquisa realizada por SCHWARZ não se enquadra
exatamente em nenhum desses tipos, e por isso a denominarei de Pesquisa
Diagnóstica.
Assim, considerarei Pesquisa Diagnóstica aquela em que se
pretende investigar questões orientadas no presente e na qual o procedimento é
solicitar a participantes da situação escolhida que respondam a um conjunto de
questões estruturadas e pré-determinadas.
O teste foi aplicado a quarenta alunos da 3a série do ensino médio
de uma escola estadual da cidade de São Paulo. Os participantes eram
Elaboramos o teste dividindo-o em três partes primeiramente questões
relativas a representações gráficas, em segundo lugar questões relativas a
representações algébricas além da solicitação de que os alunos escrevam com suas
palavras o que é função e, na terceira parte apresentamos três definições, duas
operacionais e uma, para escolha do aluno. (p. 30)
62
voluntários e realizaram o teste em duplas. A aplicação do teste durou 50
minutos.
A 1a parte do teste, parte A, é composta de questões relativas à
representação gráfica de função num sistema cartesiano ortogonal. Foram
apresentados três gráficos distintos para que os alunos identifiquem se eram ou
não gráficos de funções. Na 2a parte ou parte B, foram apresentadas aos alunos
questões algébricas. Segundo o autor,
Ainda nesta parte B, no item C, o autor diz que espera que o aluno
revele por meio de palavras escritas a sua concepção de função. As questões
propostas nas partes A e B foram respondidas por duplas de alunos. A 3a parte
consistiu em um teste individual. O objetivo específico dessa 3a parte é, segundo
relato do autor, verificar o que o aluno reconhece como definição de função e
mais à frente ele amplia este objetivo quando diz:
SCHWARZ ressaltou que as três partes do teste foram concebidas
de forma a não dependerem uma da outra embora pretendesse estudar como
elas se articulam entre si, isto é, se o aluno demonstraria nas 1a e 2a partes ter
uma concepção operacional de função e no teste individual indicaria a definição
estrutural de função. Percebe-se aqui uma preocupação com a qualidade dos
dados. Segundo ROMBERG, a forma como os dados da pesquisa foram
coletados e a precisão dos dados é que conferirão a validade e a confiança,
respectivamente, à pesquisa.
Todas as questões que compõem as três partes do teste foram
elaboradas de modo a evidenciarem qual o tipo de concepção de função que os
Nosso objetivo nessa parte é observar como o aluno decide se são
representações algébricas de funções, isto é, como ele verifica se é função.
(p. 38)
Nos interessa também analisar a coerência entre a resposta do aluno
nesse teste individual e as respostas de sua dupla às questões das duas
primeiras partes. (p. 46)
63
alunos tinham. Essa atividade de selecionar procedimentos específicos que
esclareçam as questões se encaixa em outra das dez atividades da lista de
ROMBERG.
Apesar de, o autor ter trabalhado com porcentagens para tabelar as
respostas dadas pelos alunos, não se pode dizer que seu método de pesquisa é
prioritariamente ou exclusivamente quantitativo já que na análise a priori e na
análise a posteriori as respostas coletadas com os alunos são analisadas
qualitativamente.
Evidências dessa perspectiva podem ser encontradas nas análises,
a priori e a posteriori, de cada questão. Destaco, como exemplo, as transcrições
nos quadros a seguir.
Escolhemos a função f(x) = - x2 com contra-domínio R+. Aqui sobressairá o
fato do aluno estar trabalhando com a definição operacional ou a estrutural de
função, ou seja, se o aluno se preocupa com a correspondência entre os
elementos do Domínio R e do Contra-Domínio R+, ou se a preocupação é mais
com a dependência entre as variáveis. (p. 41 da análise a priori)
Somente o ponto do vértice da parábola tem uma única imagem, os
demais pontos da abscissa tem duas imagens, portanto essa parábola não
representa gráfico de função. Se os alunos perceberem isso, é sinal de que têm
uma visão estrutural de gráfico de função. (p. 34 da análise a priori )
Das 20 duplas participantes do teste aplicado escolhemos 4 para serem
analisadas mais profundamente. O critério de escolha das 4 duplas foi o de terem
todas as questões respondidas e comentadas. Das 4 duplas selecionadas foi
necessário entrevistar apenas 3 para maiores esclarecimentos. (p.49 da análise a
posteriori)
64
Pode-se afirmar que SCHWARZ mescla métodos quantitativos e
qualitativos para interpretar as informações coletadas. A Interpretação das
informações coletadas é mais uma das atividades da lista de ROMBERG.
SCHWARZ, validou seus resultados confrontando os elementos da
análise a priori com os da análise a posteriori e situando os seus resultados em
relação aos resultados obtidos por outros acadêmicos como pode ser percebido
na transcrição do trecho a seguir.
No trecho acima o autor concluiu que a concepção dos alunos é
operacional, o que vem a confirmar a sua hipótese sobre as concepções dos
alunos.
Apoiado nos resultados de seus estudos, SCHWARZ fez sugestões
em relação ao ensino de funções.
O resultado de nossa pesquisa mostra fenômeno semelhante ao observado
por Sfard e outros pesquisadores em outros países.
A maior parte dos alunos por nós pesquisados, está adentrando o 1˚ nível,
justificando as observações da análise a posteriori, de que alguns ainda persiste
uma concepção operacional elementar de função (nível anterior ao da
interiorização), outros estão francamente na 1a fase da concepção de função.(p.
124 e 125 da Conclusão)
Diante dos fatos acima expostos, não temos outra alternativa, a não ser propor
que se reveja o processo de ensino/aprendizagem do conceito de função em
nossas escolas. O processo deve partir da realidade e conhecimento dos alunos,
sem “queimar” etapas que são naturais para essa aprendizagem. (p. 127)
65
Com estas sugestões SCHWARZ, não só confirmou os estudos
anteriores de outros acadêmicos como antecipou as ações de outros.
Antecipar as ações de outros, é a atividade 10, da lista de
atividades características de fazer pesquisa, elaborada por ROMBERG.
... percebemos a necessidade de não só rever o processo de ensino e
aprendizagem da concepção de função, voltando a dar o conceito operacional de
função aos alunos de 1˚ e 2˚ grau, mas também levar em conta nesse processo os
pontos levantados por Duval de que é necessário trabalhar as diferentes
representações centrando o “jeu de cadre” nas variáveis cognitivas tanto do ponto
de vista algébrico como do ponto de vista gráfico. (p. 131)
66
Autora: Nielce Meneguelo Lobo da Costa
Ano da Defesa: 1997
Número de páginas: 179
Orientadora: Professora Doutora Sandra M. P. Magina
RESUMO
O objetivo deste trabalho foi investigar a influência de dois diferentes
contextos - computador e "mundo experimental" - na aprendizagem da
trigonometria.
Escolhemos como assunto alvo as funções seno e cosseno e
partimos da hipótese de que é possível introduzi-las de maneira significativa.
Preparamos uma seqüência didática e trabalhamos com dois grupos de alunos,
sendo que para um deles iniciamos o assunto por atividades no computador e
demos continuidade por manipulações no "mundo experimental" e, para o outro
grupo, a ordem de introdução foi invertida.
Nossa questão de pesquisa foi identificar qual a ordem de
introdução, por contextos, que se apresenta mais eficaz para a aprendizagem.
Assim sendo aplicamos três testes escritos: um antes de iniciar a seqüência
didática, um ao término das atividades de um dos contextos e um ao final do
estudo.
Analisamos os dados sob os seguintes pontos de vista: desempenho
dos grupos e dos sujeitos nos testes, taxa de variação de acertos por grupo,
análise dos testes por objetivo, desempenho dos grupos nos itens (subdivisões
FICHAMENTO
FUNÇÕES SENO E COSSENO: UMA SEQÜÊNCIA DE ENSINO A PARTIR DOS CONTEXTOS DO "MUNDO EXPERIMENTAL" E DO COMPUTADOR
67
das questões), sua taxa de variação e análise dos erros e procedimentos.
Concluímos que a ordem de introdução do assunto interferiu na aprendizagem.
OBJETIVO
Com esta pesquisa temos o objetivo de observar a influência dos
contextos na aprendizagem. Pesquisaremos se uma mesma seqüência,
constituída de atividades nos contextos do computador e do mundo experimental,
aplicada a dois grupos de alunos, advindos de uma mesma população, sofre a
influência da ordem de aplicação de tais contextos. Teremos ainda um grupo de
referência, para o qual o assunto será desenvolvido na sala de aula.
Procuraremos ponderar sobre a eficácia de cada contexto e sua interferência no
momento da aprendizagem. (p. 79)
METODOLOGIA
Na página 81 encontra-se um resumo dos procedimentos
metodológicos adotados, com o título de "Desenho Geral do Experimento", cuja
transcrição é a seguinte:
A pesquisa envolverá 32 alunos distribuídos em três grupos, que
denominamos grupos A, B e C, sendo o primeiro o de referência e os dois últimos
os grupos experimentais. Descreveremos a seguir as cinco fases do estudo a que
eles serão submetidos.
Fase 1: Aplicação de um Pré-Teste, feita coletivamente em cada um dos grupos,
com resolução individual e sem consulta. O objetivo será a investigação do que o
aluno consegue resolver, antes das atividades.
Fase 2: Compreende a aplicação da seqüência didática, com atividades do
mundo experimental para o grupo B e as do contexto do computador para o grupo
C, com as respectivas discussões e institucionalizações locais. É necessário
esclarecer que esta fase envolverá os dois contextos simultaneamente, porém
com grupos distintos. Para o grupo A esta fase se resume às aulas ministradas
pelo professor da disciplina em sala de aula. Este grupo terá a introdução às
funções trigonométricas por meio de explicações e resoluções de problemas,
como previsto no currículo e no plano de aula de seu professor de Matemática,
que não será a pesquisadora.
Fase 3: Aplicação do Teste Intermediário para os três grupos.
68
Fase 4: Compreende a continuação da aplicação da seqüência didática
envolvendo as atividades no computador para o grupo B, e as do mundo
experimental para o grupo C, incluindo para ambos discussões e a
institucionalização. O grupo A continuará com as aulas previstas.
Fase 5: Aplicação do Pós-Teste para os três grupos. O objetivo será a
investigação do que o aluno consegue resolver, depois da seqüência didática.
(p. 81)
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Transcrição da introdução do capítulo III, Fundamentação teórica.
Neste capítulo apresentaremos as idéias teóricas que nortearam esta
pesquisa, vindas tanto da Psicologia Cognitiva quanto da Didática da Matemática.
A partir da primeira, que se preocupa com a aquisição do conhecimento e o
processo de formação dos conceitos, buscamos entender as questões
psicológicas ligadas ao raciocínio humano e à aprendizagem. Por meio da
segunda, que se preocupa com a transmissão do conhecimento da Matemática,
procuramos entender o processo de ensino mediado. Assim sendo,
emprestaremos algumas das idéias de Piaget, Vygotsky, Vergnaud, Nunes,
Brousseau, Douady, Duval e Balachef. A seguir, discutiremos com mais detalhes
os principais pontos teóricos desses autores, quanto à formação de conceitos e à
transposição didática, que estarão presentes em todo o nosso trabalho. (p. 32)
PALAVRAS-CHAVE
Não constam.
CONCLUSÃO
Transcrição das partes da conclusão propriamente dita.
As conclusões do experimento, [...], são que nesta pesquisa, a
ordem de introdução por contextos interferiu na aprendizagem. Seja qual for o
aspecto a partir do qual tenhamos observado, o grupo de alunos que teve maior
sucesso foi o que passou primeiro pelas atividades construídas no contexto do
"mundo experimental" e depois pelas do computador .(p.169)
69
Sugestão de pesquisa:
Futuras pesquisas poderiam ser feitas com um número maior de
alunos e tendo várias duplas trabalhando simultaneamente nos ambientes de
laboratório e/ou com alunos de escolas públicas. Sugerimos que sejam feitos
testes de retenção ou acompanhamento do desempenho dos estudantes na
trigonometria, após a participação em pesquisas. Entrevistar os alunos ao término
das seqüências de introdução de funções via computador e “mundo experimental”
também pode trazer contribuições valiosas. Que [...] trariam novas informações e
fariam avançar os conhecimentos sobre a aprendizagem com o uso de modernas
tecnologias e em contextos alternativos. (p. 172)
Sugerimos estudos nos quais os alunos possam construir os
arquivos no Cabri para, em seguida, trabalhar a trigonometria no triângulo
retângulo e no ciclo trigonométrico. (p.172)
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Das 79 referências constantes da bibliografia, indico apenas aquelas
que se referem a autores citados no fichamento.
BALACHEF - Não consta
BROUSSEAU, G. . Les Obstacles Épistémologiques et les Problèmes en
Mathématiques. RDM. vol. 4, n° 2. 1983.
-------------------------Fondements et Méthodes de la Didatique des Mathématiques.
RDM. vol 7/2. p.333-115. 1986.
-------------------------Le Contrat Didactique: le Milieu. RDM. vol. 9/3. p. 309-336.
1988.
DOUADY, R. Jeux de Cadres et Dialectique Outil - Objet. RDM. vol. 7/2. 1986
70
DUVAL, R. Graphiques et Équations: L' Articulation deux Registres. Annales de
Didactique et de Sciences cognitives 1. p. 235-253. IREM de Strasbourg.
1988
NUNES, T. - “Cognitive Invariants and Cultural Variation in Mathematical
Concepts”, International Journal of Behavioral Development, Vol. 15, n˚ 4.
pp 435-455, 1992.
NUNES, T; SCHLIEMANN, A & CAHARRER, D. “Street Mathematics and School
Mathematics”, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
NUNES, T; BRYANT, P. “Children Doing Mathematics”, Blackwell - Publishers,
London, 1996.
PIAGET, J. Biology and Knowledge, em Gruber, H. E. e Vomech, J.J. The
Essencial Piaget. Routledge and Kegan Paul Ltda. London. 1977.
----------------A Formação do Símbolo na Criança. Ed. Guanabara Koogan. Rio de
Janeiro. 1978
VERGNAUD, G. Problem Solving and Concept Development in Learning of
Mathematics. E. A. R. L. I...Second Meeting. Tübigen. September. 1987
---------------------La Théorie des Champs Conceptuels. RDM. vol. 10/2.3.p.133-170.
1990
----------------------Epistemology and Psicology in Mathematics Education em
Mathematics and Cognition. Nesher, P. e Kilpatrick, J. p. 14-30. Cambridge.
University Press. 1994
VYGOTSKY, L.S. Formação Social da Mente - O Desenvolvimento dos Processos
Psicológicos Superiores. Trad. de J. Cipolla Neto e outros. Editora Martins
Fontes. 4a Edição. São Paulo. 1991
71
A dissertação de Nielce Meneguelo Lobo da COSTA foi defendida
em 16/10/1997 e teve sua banca examinadora composta por: Sandra M. P.
Magina (PUC/SP), como orientadora, Benedito Antonio da Silva (PUC/SP) e
Marcelo de Carvalho Borba (UNESP-RIO CLARO).
COSTA atribuiu à sua prática como professora e aos resultados de
uma pesquisa1 da qual participou, a motivação para estudar outras formas de
ensino das funções trigonométricas, diferentes das tradicionais.
Como professora, ela observou que os alunos viam a trigonometria
como um conteúdo “vazio de sentido”, sem relação com o cotidiano. No relato da
pesquisa da qual participou ela disse que:
Diante da exposição de motivos, descritos pela autora no capítulo I,
item 1, Problemática e Objetivo, verifica-se que a pesquisadora identificou um
fenômeno de seu interesse.
COSTA foi buscar em estudos de PIAGET, VYGOTSKY,
VERGNAUD e NUNES as idéias relacionadas com o fenômeno de seu interesse.
Isto porque estes estudiosos possuem teorias sobre o processo de formação e
evolução de conceitos.
Além destes estudos, COSTA descreveu no capítulo 3, item 5,
Revisão da Literatura; as pesquisas de BRIGUENTI (1994), BORBA (1993) e
GOMES FERREIRA (1997). Essas pesquisas têm em comum a utilização de
1 Pesquisa feita em 1996 por Gouvêa, F. A. T.; Oliveira, N.; Costa, N. M. L.; Almouloud, S.; com o objetivo de investigar as concepções dos alunos, sobre funções, ao término do 2˚ grau e início do 3˚ grau.
... muitos dos alunos não conseguiram identificar os gráficos das funções seno e
cosseno, colocados próximos a gráficos de funções de 1˚ e 2˚ Grau. (p. 1)
ANÁLISE
72
softwares no ensino de funções. Entre esses trabalhos a autora deu destaque à
pesquisa1 de WENZELBURGER (1992).
COSTA, examinando as idéias de outras pessoas sobre o fenômeno
de seu interesse, executou a 3a atividade característica de pesquisa.
O estudo relatado acima, possibilitou a autora chegar a um interesse
específico que serviu de base para determinação do objetivo de sua pesquisa. Tal
objetivo é apresentado tanto no capítulo I, item 1; Problemática e Objetivo:
Como no capítulo 5, item 3; Objetivo:
Nesta segunda forma em que apareceu o objetivo, a autora
esclareceu o que entendia por interferência dos ambientes (sic p.5), quando
escreveu que iria observar a influência do contextos do computador e do
1 Nesta pesquisa a autora compara o desempenho dos estudantes que estudaram as funções trigonométricas utilizando o computador com o dos alunos que as estudaram em sala de aula utilizando apenas lápis e papel.
Este foi o único trabalho de introdução das funções trigonométricas via
computador, que encontramos na literatura. Para nós foi um trabalho
extremamente inspirador, pois pretendemos dar continuidade a este tipo de
pesquisa. (p. 51)
Nosso objetivo neste trabalho é investigar qual o tipo de interferência dos
ambientes nos quais a seqüência estará inserida na formação do conceito. (p. 5)
Com esta pesquisa temos o objetivo de observar a influência dos contextos na
aprendizagem. Pesquisaremos se uma mesma seqüência, constituída de
atividades nos contextos do computador e do mundo experimental, aplicada a dois
grupos de alunos, advindos de uma mesma população, sofre a influência da ordem
de aplicação de tais contextos. (p. 79)
73
“mundo experimental” na aprendizagem. O termo contexto, por sua vez,
mereceu um item, 3.4, de quatro páginas, em que COSTA apresentou três
significados diferentes para o termo “contexto”, e optou pelo seguinte:
Uma indicação que o objetivo fornece é com relação à orientação
temporal da pesquisa. A autora pretendia saber, por meio da aplicação de uma
seqüência didática, quais seriam os efeitos da mudança de contexto sobre a
aprendizagem proposta. Trata-se, portanto, de uma pesquisa orientada para o
futuro.
Para atingir seu objetivo, COSTA utilizou como estratégia geral, a
elaboração e aplicação de uma seqüência didática como declara no trecho a
seguir.
Dentro desta abordagem COSTA selecionou procedimentos
específicos, para a coleta de dados, que estão descritos no capítulo V;
Metodologia. Os procedimentos apontados foram os seguintes:
Estudo histórico do desenvolvimento da trigonometria e do conceito
de ângulo, análise do Currículo Escolar e de livros didáticos.
Elaboração da seqüência, seguida de uma “Aplicação-piloto” feita
com uma dupla de alunos. Correção da seqüência devido a resultados da
aplicação piloto.
O contexto pode ser entendido como a situação-problema, ou o ambiente
onde a situação é construída, ou o fenômeno que dá sentido ao conceito.
Em nosso estudo, optaremos por usar o termo contexto para nos referirmos a
ambientes (“settings”) onde as situações de aprendizagem acontecerão. (p. 47)
Preparamos uma seqüência didática e trabalhamos com dois grupos
de alunos, sendo que para um deles iniciamos o assunto por atividades no
computador e demos continuidade por manipulações no "mundo experimental" e,
para o outro grupo, a ordem de introdução foi invertida. (Resumo)
74
Seleção de alunos do Ensino Médio, e divisão dos mesmos em três
grupos: dois grupos experimentais e um de referência.
Aplicação de três testes: um pré-teste, um teste intermediário e um
teste final, intermediados por duas fases de aulas para o grupo referência e
aplicação das seqüências aos grupos experimentais.
A coleta de dados foi feita por intermédio das cinco fases da
aplicação da seqüência elaborada.
Essa pesquisa envolveu trinta e dois alunos da 1a e da 2a séries do
2˚ grau, interessados e disponíveis para participar do experimento.
Esses alunos foram divididos em três grupos: A, B e C. O grupo A
com dezesseis alunos, os grupos B e C com oito alunos cada um. Nesses dois
últimos os alunos trabalharam em duplas.
A 1a fase do experimento consistiu de aplicação de um pré-teste
para cada um dos componentes de cada grupo para conhecer o que os alunos
conseguiam resolver a partir de seus saberes anteriores.
A 2a fase foi a aplicação da seqüência didática composta de
atividades elaboradas no contexto do “mundo experimental”1 e no contexto do
computador.
As atividades do “mundo experimental” foram realizadas em um
Laboratório de Ensino da Matemática e consistiu de três experimentos que
permitiam a manipulação de artefatos, pelos alunos, para que esses por meio da
observação coletassem dados e produzissem tabelas e gráficos que
descrevessem os fenômenos que esses artefatos simulavam. A aplicação das
atividades do “mundo experimental” foram elaboradas em dois encontros com
duração de uma hora cada um.
1 ambiente com materiais que serão manipulados pelos alunos, tais como: relógio, areia, madeira e metal.
75
As atividades do computador, realizadas no laboratório de
informática, visavam o estudo das razões trigonométricas e a introdução das
funções seno e cosseno, utilizando os softwares “Cabri II” e “Graphmática”. Para
as atividades desse contexto foram necessários quatro encontros de uma hora
cada um.
As atividades do “Mundo experimental” foram executadas pelos
alunos do grupo B, as do computador pelos alunos do grupo C e para os alunos
do grupo A, escolhido como grupo de referência, a introdução às funções
trigonométricas deu-se por meio de aulas tradicionais ministradas por seu
professor de Matemática, que não foi a pesquisadora, em sala de aula.
Quando 50% da seqüência já havia sido desenvolvida, COSTA
aplicou um teste intermediário para acompanhar a evolução do aproveitamento de
cada um dos alunos até aquela altura do experimento.
Após essa avaliação (fase 3), aos alunos do grupo B foram
aplicadas atividades do computador e aos alunos do grupo C foram aplicadas
atividades do “mundo experimental”. O grupo A continuou com as aulas
tradicionais.
A última etapa da realização do experimento foi a aplicação de um
pós-teste para investigar se a seqüência foi “frutífera” para o aluno se apropriar
dos conceitos das funções seno e cosseno.
A coleta de dados contou com gravações em áudio e vídeo,
transcrições dos ‘tapes” das sessões, notas de campo por observadores,
anotações feitas pelos estudantes nas guias de estudo durante as atividades e os
testes.
Com base em tabelas e gráficos que apresentaram as porcentagens
dos acertos dos grupos e dos alunos individualmente, COSTA analisou o
desempenho dos alunos nos testes.
76
O seguinte trecho do capítulo VII, Conclusões, evidencia a
interpretação da pesquisadora para as informações coletadas com a aplicação
dos testes.
No capítulo VII, Conclusões, a autora faz sugestões que poderão
antecipar as ações de outros quando disse:
A autora dá outras sugestões de pesquisa, entretanto selecionei o
trecho acima como amostra para evidenciar que COSTA realizou a décima
atividade descrita por ROMBERG.
As conclusões do experimento, [...] são que nesta pesquisa, a ordem de
introdução por contextos interferiu na aprendizagem. Seja qual for o aspecto a partir
do qual tenhamos observado, o grupo de alunos que teve maior sucesso foi o que
passou primeiro pelas atividades construídas no contexto do “mundo experimental” e
depois pelas do computador (Grupo B). (p. 169)
Futuras pesquisas poderiam ser feitas com um número maior de alunos e
tendo várias duplas trabalhando simultaneamente nos ambientes de laboratório
e/ou com alunos de escolas públicas. Sugerimos que sejam feitos testes de
retenção ou acompanhamento do desempenho dos estudantes na trigonometria,
após a participação em pesquisas. Entrevistar os alunos ao término das
seqüências de introdução de funções via computador e “mundo experimental”
também pode trazer contribuições valiosas. (p. 172)
77
Autor: Mário Servelli Rosa
Ano da Defesa: 1998
Número de páginas: 179
Orientador: Professor Doutor Saddo AG ALMOULOUD e com co-orientação do
Professor Doutor Benedito Antônio da Silva
RESUMO
O objetivo deste trabalho é criar uma seqüência didática, ou seja,
propor uma série de atividades, para que os alunos entrem em contato com os
números complexos da maneira como eles surgiram na História, e também para
que operem com esses números.
Essa maneira de introduzir os números complexos surgiu, quando
analisando alguns livros didáticos, observamos que a maioria propunha uma
equação do 2° grau, para ser resolvida, como por exemplo x2 + 1 = 0, e davam
como solução um número i tal que i2 = -1. Essa maneira de abordar esses
números, dá-nos a impressão de que na Matemática, tudo surge da inspiração de
algumas pessoas que "inventam" os conceitos. Além disso, as equações do
segundo grau não motivaram o surgimento dos complexos, uma vez que quando
a resolução de uma equação desse tipo, proveniente de um problema,
apresentava discriminante negativo, isso apenas indicava que tal problema não
tinha solução.
Na seqüência didática que vamos apresentar, pretendemos que os
alunos sintam a necessidade da extração da raiz quadrada de um número
FICHAMENTO
NÚMEROS COMPLEXOS: UMA ABORDAGEM HISTÓRICA PARA
AQUISIÇÃO DO CONCEITO
78
negativo, e que, operando com esses números, eles cheguem a respostas reais
de problemas concretos.
Para validar este trabalho, aplicamos um teste em alunos que já
haviam estudado os números complexos de maneira diferente daquela por nós
proposta; e o mesmo teste, para alunos que haviam realizado nossa seqüência
didática, dois meses depois desse fato. Os resultados mostraram que as nossas
atividades foram bem mais eficazes que outras maneiras de ensinar. Os alunos
que já haviam estudado os números complexos, eram do 1° ano de Engenharia
Mecânica da Universidade de Mogi das Cruzes, por isso, vindos de colégios
diferentes, com propostas de ensino diferentes, mas, por uma das respostas
dadas, concluímos que nenhum estudou como estamos propondo. (p. 4)
OBJETIVO
O objetivo deste trabalho é criar uma seqüência didática, ou seja,
propor uma série de atividades, para que os alunos entrem em contato com os
números complexos da maneira como eles surgiram na História, e também para
que operem com esses números. (p. 4)
Questões de pesquisa:
As questões que pretendemos responder neste trabalho são:
1a) A nossa seqüência didática possibilitará que os alunos participem
ativamente da aquisição do conceito de número complexo?
....................................................
2a) Após a aplicação da seqüência, os alunos conseguirão efetuar
operações com números complexos, inclusive as de potenciação e radiciação? (p.
26-27)
METODOLOGIA
... vamos elaborar uma seqüência didática que será aplicada a alunos do terceiro
ano do Ensino Médio, e sua validade será confirmada ou não, pelo confronto
79
entre os resultados de testes que aplicaremos a esses alunos, e a outros, que não
estudaram através dessa seqüência. (p. 39)
Após a análise "a priori" da seqüência, passaremos à
experimentação, que é sua aplicação. Em seguida, faremos uma análise que
chamamos de análise "a posteriori" da seqüência didática. (p. 40)
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
No capítulo II (p. 29), o autor cita alguns conceitos da linha francesa
da Didática da Matemática, nos quais se baseou:
- as noções de dialética ferramenta e objeto e de mudança de
quadro de Régine Douady;
- a noção de registro de representação de R. Duval;
- Teoria das situações de G. Brousseau
Da Psicologia Cognitiva de PIAGET, o autor utilizou a noção de
desequilíbrio cognitivo.
PALAVRAS-CHAVE
Não constam
CONCLUSÃO
Transcrição das partes das conclusões propriamente ditas.
... parece que conseguimos obter alguns aspectos positivos, com a maior parte
dos alunos, quando da aplicação da seqüência didática:
.................
• Ao trabalharem em duplas, eles participaram ativamente da
formação do conceito de número complexo quando discutiam a
realização de cada atividade proposta.
• Tiveram a oportunidade de descobrir qual foi o motivo que levou os
matemáticos a extraírem as raízes quadradas de um número
negativo, percebendo que os conceitos matemáticos não são
80
simplesmente inventados, mas surgem, quando da resolução de
problemas.
• Sentiram a necessidade de mudar do registro de representação
das fórmulas no quadro algébrico, para o geométrico, e
efetuaram essa mudança.
• Chegaram a soluções reais de equações, operando com raízes
quadradas de números negativos. Com isso, puderam tomar
conhecimento de que, apesar de um número complexo não
representar uma quantidade, operando-se com ele, chega-se a
resultados que são números reais. (p. 170)
... a seqüência aplicada, tendo dado significado aos números complexos, fez com
que os alunos fixassem mais as operações com esses números.
Comparando esses resultados com os obtidos com os alunos do 1°
ano do curso de Engenharia Mecânica da Universidade de Mogi das Cruzes, que
não estudaram os números complexos como estamos propondo, consideramos
que a nossa proposta teve pleno êxito. (p. 175)
Sugestão de ensino:
... gostaríamos que esse trabalho pudesse influenciar os professores no sentido
de modificarem aulas puramente expositivas, por atividades nas quais os alunos
participassem ativamente do aprendizado, com significado. (p. 175)
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Das 28 referências constantes da bibliografia, indico apenas aquelas
que se referem a autores citados no fichamento.
BROUSSEAU, Guy. Le contrat didactique: le milieu. RDM. vol. 9 n° 3. 1988. p.309
a 336
81
---------------------------Fondements et méthodes de la didactique des
mathématiques. RDM. vol.7 n° 2. Ed. La Pensée Sauvage. Grenoble. 1986
---------------------------Les obstacles épistémologiques et les problèmes en
mathématiques. RDM. vol. 4 n° 2. 1983
DOUADY, Régine. Un exemple d'ingénierie didactique oú sont à l'oeuvre jeux de
cadres e dialectique outil-objet. Séminaires de didactique des
mathématiques. Année 1986-1987. IRMAR de Rennes 1
DUVAL, Raymond. Semiosis et pensée humaine - Registres sémiotiques et
apprentissages intellectuels. Peter Lang S.a . Suisse. 1995
PIAGET, J: nada consta
82
A dissertação de Mário Servelli ROSA foi defendida em 04/06/1998 e
teve a banca composta por: Benedito Antonio da SILVA (PUC/SP), Sérgio
Roberto NOBRE (UNESP-RIOCLARO) e Saddo Ag ALMOULOUD (PUC/SP)
como orientador.
ROSA manifestou a curiosidade em relação ao tema de sua
pesquisa quando questionou as diversas maneiras como os números complexos
são apresentados aos alunos do terceiro ano do ensino médio. Uma evidência
deste questionamento encontra-se no trecho transcrito para o quadro a seguir.
Está claro que ROSA identificou um fenômeno de seu interesse que
é a construção do conceito de número complexo.
O pesquisador buscou na teoria construtivista de Piaget,
principalmente na questão da “equilibração”, elementos que o auxiliassem na
compreensão do tema, como o atesta o excerto abaixo.
ANÁLISE
Os números complexos podem ser introduzidos aos alunos do 3˚ ano do
Ensino Médio de diversas maneiras, como é possível constatar-se nos livros
didáticos. (p. 24)
......................................................................................................
... observamos que a maioria propunha uma equação do 2˚ grau, para ser
resolvida, como por exemplo x2 + 1= 0, e davam como solução um número i tal
que i2 = -1. Essa maneira de abordar esses números, dá - nos a impressão de
que na Matemática, tudo surge da inspiração de algumas pessoas que “inventam”
os conceitos. ( Resumo)
No caso dos números complexos, nos parece que uma equação do segundo
grau não deverá provocar nenhum desequilíbrio cognitivo,...
[...] Para nós, o que vai provocar desequilíbrio é a resolução de uma equação do
terceiro grau... (p. 28)
83
ROSA fundamentou-se principalmente nos didatas franceses,
Régine Douady, contribuiu com as noções de dialética ferramenta-objeto e de
“jogo de quadros”; Raymond DUVAL, com a teoria de registro de representação
semiótica e Guy BROUSSEAU, com noções da teoria das situações.
O autor encontrou nas conclusões da dissertação de Nilze de
Almeida, incentivo para tratar o ensino dos números complexos por
Ao relacionar suas idéias com as de outros pesquisadores, Rosa
executou a terceira atividade de pesquisa.
No capítulo II, item 1, Problemática, ROSA relata sua hipótese de
pesquisa.
Assim, Rosa explicitou sua conjectura inicial de pesquisa, e logo a
seguir, expôs as seguintes questões:
[...] uma abordagem [...], com atividades que façam com que os alunos se
defrontem com esses números, como os matemáticos o fizeram, conforme mostra a
historia (p.25)
Nossa hipótese é a seguinte: para que os alunos vejam sentido nas
operações com números complexos, é necessário colocá-los numa situação na
qual se deparem com um problema que tenha soluções reais, mas, para chegar a
elas, devem trabalhar com raízes quadradas de números negativos. (p. 26)
1a) A nossa seqüência didática possibilitará que os alunos
participem ativamente da aquisição do conceito de número complexo?
....................................................
2a) Após a aplicação da seqüência, os alunos conseguirão efetuar
operações com números complexos, inclusive as de potenciação e radiciação? (p.
26-27)
84
Em busca de respostas a essas questões, o pesquisador
estabeleceu como objetivo de pesquisa:
Para alcançar seu objetivo Rosa declarou no capítulo II, item 3,
Metodologia, qual a estratégia geral de pesquisa que iria utilizar:
Os procedimentos específicos de coleta de dados utilizados por
ROSA foram: a aplicação de um questionário a trinta e um alunos do 1˚ ano de
engenharia; uma aplicação “piloto” da seqüência didática; a realização das treze
atividades da seqüência e a aplicação de um teste a quinze alunos que
participaram do experimento.
Para elaborar as atividades da seqüência didática, o autor fez: um
estudo histórico e epistemológico dos números complexos, uma análise da
Proposta Curricular para o Ensino de Matemática do 2˚ grau e uma análise de
livros didáticos. Foi feita uma análise a priori de cada atividade da seqüência para
prever o possível comportamento dos alunos e permitir, uma futura confrontação
com o comportamento que eles, de fato, tiveram e uma análise a posteriori dos
fatos, comportamentos e dos erros observados.
A coleta de dados foi feita quando da aplicação da seqüência
didática. Essa foi aplicada, pelo próprio pesquisador, a um grupo de dezoito
O objetivo deste trabalho é criar uma seqüência didática, ou seja, propor
uma série de atividades, para que os alunos entrem em contato com os números
complexos da maneira como eles surgiram na História, e também para que operem
com esses números. (p. 4)
Para tanto, vamos elaborar uma seqüência didática que será aplicada a
alunos do terceiro ano do Ensino Médio, e sua validade será confirmada ou não,
pelo confronto entre os resultados de testes que aplicaremos a esses alunos, e a
outros, que não estudaram através dessa seqüência. (P. 39)
85
alunos do terceiro ano do ensino médio, em três sessões com duas horas de
duração cada uma.
A primeira sessão consistiu em realizar quatro atividades, na
segunda cinco atividades e na terceira e última sessão, quatro atividades. Durante
as três sessões os alunos trabalharam em duplas.
Dois meses após a aplicação da seqüência, o pesquisador aplicou
um teste a quinze alunos que participaram das atividades da seqüência, para
verificar a possível evolução de seus conhecimentos sobre números complexos.
Dentre as conclusões do autor transcrevo abaixo as que estão
diretamente ligadas ao objetivo proposto. O autor declarou que a maior parte dos
alunos, quando da aplicação da seqüência didática:
Além disso, o pesquisador afirmou que:
• [...]
• Tiveram a oportunidade de descobrir qual foi o motivo que levou os matemáticos a
extraírem as raízes quadradas de um número negativo, percebendo que os conceitos
matemáticos não são simplesmente inventados, ...
• [...]
• ... puderam tomar conhecimento de que, apesar de um número complexo não
representar uma quantidade, operando-se com ele, chega-se a resultados que são
números reais. ... (p. 170)
... a seqüência aplicada, tendo dado significado aos números complexos, fez com que os
alunos fixassem mais as operações com esses números.
Comparando esses resultados com os obtidos com os alunos [...] que não estudaram
os números complexos como estamos propondo, consideramos que a nossa proposta
teve pleno êxito. (p. 175)
86
Embasado nos resultados de sua experiência, ROSA fez a seguinte
sugestão de ensino:
... gostaríamos que esse trabalho pudesse influenciar os professores no sentido de
modificarem aulas puramente expositivas, por atividades nas quais os alunos
participassem ativamente do aprendizado, com significado. (p. 175)
87
LOGARITMOS: PROPOSTA DE UMA SEQÜÊNCIA DE ENSINO
Autora: Monica Karrer
Ano da Defesa: 1999
Número de páginas: 191
Orientadora: Professora Doutora Sandra M. P. Magina
RESUMO
O objetivo deste trabalho consistiu em investigar se uma seqüência
didática significativa para o ensino dos logaritmos, aliada ao uso da calculadora,
favoreceria a formação deste conceito.
Para isso, construímos uma seqüência de ensino, fundamentada nas
teorias psicológicas e educacionais, que partiu de situações-problema
exponenciais. Neste caso, o logaritmo foi introduzido como uma necessidade de
estudo, assumindo o papel de ferramenta para a resolução desses problemas.
Trabalhamos com dois grupos: experimental e de referência. Estes
se submeteram a um pré-teste antes de serem introduzidos neste novo conceito,
para em seguida estudarem os logaritmos segundo abordagens distintas.
Enquanto o grupo experimental realizou o estudo através de nossa
seqüência, o grupo de referência seguiu a abordagem tradicional apresentada nos
livros didáticos. Por fim, os dois grupos realizaram um pós-teste, cujos resultados
foram analisados sob os seguintes pontos de vista: análise do desempenho geral
dos grupos, dos desempenhos por item, por objetivo e por indivíduo e por fim a
análise da qualidade dos erros e dos procedimentos. A conclusão obtida é a de
LOGARITMOS: PROPOSTA DE UMA SEQÜÊNCIA DE ENSINO
UTILIZANDO A CALCULADORA
FICHAMENTO
88
que a abordagem desenvolvida por nossa seqüência favoreceu a formação do
conceito de logaritmo para esse grupo.
OBJETIVO
O objetivo deste trabalho consistiu em investigar se uma seqüência
didática significativa para o ensino dos logaritmos, aliada ao uso da calculadora,
favoreceria a formação deste conceito. (Resumo)
Questão de pesquisa:
... a nossa questão de pesquisa consiste em estudar se a introdução do conceito
de logaritmo a partir de problemas desafiadores e significativos, nos quais o
mesmo assume o papel de ferramenta de resolução de uma equação
exponencial, favorece a formação de seu conceito. (p. 5)
METODOLOGIA
Foi realizada uma aplicação preliminar de nossa seqüência didática,
a qual denominamos de "estudo piloto". A partir da análise de seus resultados,
efetuamos algumas alterações no seu desenho, sem contudo mudar a sua
essência. (p. 70)
Nosso experimento incluiu três fases, a saber:
• A fase 1 envolveu um teste inicial (pré-teste), composto de 6
questões sobre a função exponencial e o logaritmo, ...
• A fase 2 foi dedicada ao processo ensino-aprendizagem do
logaritmo. Foi aqui que desenvolvemos a nossa seqüência didática
com um dos grupos, enquanto que o outro teve contato com o tema
na escola, dentro da sala de aula;
• Na fase 3, os dois grupos novamente se submeteram a um segundo
teste nos moldes do primeiro. ... (p. 74)
89
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Em relação à fundamentação teórica de nosso trabalho,
destacaremos principalmente, contribuições da Psicologia Cognitiva dadas por
Piaget, Vygotsky e Vergnaud. Além dessas, tomaremos emprestadas algumas
idéias teóricas advindas da Didática da Matemática Francesa, especialmente a
noção de obstáculo aplicada à Matemática de Guy Brousseau e o jogo de
quadros de Régine Douady. (p. 9)
PALAVRAS-CHAVE
Não constam
CONCLUSÃO
Transcrição das partes das conclusões propriamente ditas.
... acreditamos que a abordagem de nossa seqüência favoreceu a construção do
conceito de logaritmo. Isto porque, apesar das dificuldades apresentadas durante
a aplicação de nossa seqüência, o grupo experimental obteve sucesso em todos
os aspectos, o que não podemos afirmar com relação ao grupo de referência.
Para que o leitor tenha clara esta afirmação, mostraremos de forma resumida os
principais resultados já descritos no capítulo V. Vimos que nas análises do
desempenho geral e do percentual de acertos por item, o grupo experimental
atingiu um patamar consideravelmente superior que o alcançado pelo grupo de
referência. Além disso, os erros cometidos pelo grupo experimental ao final do
estudo não eram específicos do conteúdo dos logaritmos. Já o grupo de
referência cometeu todos os erros categorizados, inclusive aqueles localizados
nos logaritmos. Notamos superação de erros no grupo experimental, fato que não
pôde ser verificado em relação ao outro grupo, devido ao grande número de
questões deixadas "em branco". (p. 179)
A calculadora representou, para os alunos do grupo experimental,
um instrumento extremamente eficaz, visto que possibilitou centrar a atenção no
conceito e não nas técnicas de cálculo. (p. 182)
90
Sugestões de pesquisa:
... propomos para os pesquisadores de Educação Matemática, que trabalhem
com maior ênfase a linguagem matemática de tal forma a permitir aos alunos a
apropriação dessa simbologia. (p. 184)
... como sugestões de pesquisa, acreditamos ser de vital importância desenvolver
estudos sobre a relação entre a simbologia apresentada nas definições
matemáticas e o significado atribuído pelos alunos. (p. 184)
Sugestões de ensino:
... acreditamos que não haverá necessidade de grandes adaptações na
seqüência por outro educador, caso queira utilizá-la em sala de aula. (p. 181)
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Das referências constantes da bibliografia, indico apenas aquelas
que se referem a autores citados no fichamento.
BROUSSEAU, Guy. Le contrat didactique: le milieu. RDM. vol. 9 n° 3. 1988. p.309
a 336
---------------------------Fondements et méthodes de la didactique des
mathématiques. RDM. vol.7 n° 2. Ed. La Pensée Sauvage. Grenoble. 1986
---------------------------Les obstacles épistémologiques et les problèmes en
mathématiques. RDM. vol. 4 n° 2. 1983
DOUADY, R. Jeux de Cdres et Dialectique Outil - Objet. RDM. vol. 7/2. 1986
VERGNAUD, G. Problem Solving and Concept Development in Learning of
Mathematics. E. A. R. L. I...Second Meeting. Tübigen. September. 1987
91
---------------------La Théorie des Champs Conceptuels. RDM. vol. 10/2.3.p.133-170.
1990
----------------------Epistemology and Psicology in Mathematics Education em
Mathematics and Cognition. Nesher, P. e Kilpatrick, J. p. 14-30. Cambridge.
University Press. 1994
VIGOTSKY, L.S. Formação Social da Mente - O Desenvolvimento dos Processos
Psicológicos Superiores. Trad. de J. Cipolla Neto e outros. Editora Martins
Fontes. 4a Edição. São Paulo. 1991
-----------------------Pensamento e Linguagem. Tradução de J. L. Camargo. São
Paulo. Martins Fontes. 1993
92
Defendida em 23/03/1999, a dissertação de Monica KARRER teve
sua banca composta pela orientadora Sandra M. P. MAGINA (PUC/SP), por Tânia
M. M. Campos (PUC/SP) e Verônica G. G. FERREIRA (UFPE).
No capítulo I, item 1, Problemática e Objetivo, KARRER esclareceu
como surgiu o seu interesse em estudar o processo de formação do conceito de
logaritmo.
Assim, KARRER realizou a primeira atividade de pesquisa que é a
identificação do fenômeno de seu interesse.
KARRER fundamentou-se nas teorias de PIAGET, VYGOTSKY e
VERGNAUD; para melhor compreender os processos de aquisição do
conhecimento e de formação de conceitos matemáticos. Além disso, utilizou
algumas noções da Didática da Matemática Francesa, como a noção de
obstáculo de Guy BROUSSEAU e a de “jogo de quadros” de Régine DOUADY.
A autora investigou trabalhos de pesquisadores sobre o ensino de
logaritmos, dentre eles o de Jere CONFREY; e, também sobre o uso de
calculadoras, nesse caso evidenciando trabalhos de Marcelo BORBA em
colaboração com outros.
Interessada em estudar o processo de formação do conceito de
logaritmo Karrer elaborou a questão de pesquisa que consistiu
ANÁLISE
... pudemos notar que existem problemas no processo ensino-aprendizagem desse
conteúdo e, conseqüentemente, na formação de seu conceito. Tais dificuldades
inicialmente puderam ser percebidas tanto através de nossa própria experiência
docente como em discussões com colegas da área. ( p. 1)
93
Tal questão teve como hipótese:
Na procura por resposta à sua questão, a pesquisadora definiu como
objetivo da pesquisa:
Embora a autora não tenha declarado explicitamente sua
metodologia, ela explicou sua estratégia geral de pesquisa, da seguinte maneira:
[...] que se o aluno interage com a introdução desse conteúdo através de
situações significativas, o mesmo terá condições de construir o conceito de
logaritmo. (p. 6)
... em estudar se a introdução do conceito de logaritmo a partir de problemas
desafiadores e significativos, nos quais o mesmo assume o papel de ferramenta de
resolução de uma equação exponencial, favorece a formação de seu conceito.
(p. 5)
... investigar se uma seqüência didática significativa para o ensino dos logaritmos,
aliada ao uso da calculadora, favoreceria a formação deste conceito. (Resumo)
94
Da leitura da obra, depreendi que KARRER realizou os seguintes
procedimentos específicos: estudo histórico e epistemológico do conceito de
logaritmos e a análise de seis livros didáticos, elaboração da seqüência, aplicação
preliminar ou “estudo piloto”, aplicação da seqüência para duplas de alunos
utilizando calculadoras, cujas discussões foram gravadas, e, finalmente um pós-
teste. Para validação a autora comparou os resultados obtidos pelos grupos
experimental e de referência, no pré e pós-teste.
Os dados foram coletados em três diferentes momentos: o pré-teste
colheu dados sobre o desempenho do grupo de referência, uma turma de vinte e
nove alunos, da 1a série do ensino médio de um colégio A e do grupo
experimental, treze alunos da 1a série do ensino médio de um colégio B. O
segundo momento, foi o da aplicação da seqüência para os alunos do grupo
experimental, realizada em cinco sessões. O terceiro momento foi o da realização
do pós-teste.
Foi realizada uma aplicação preliminar de nossa seqüência didática, a qual
denominamos de "estudo piloto". A partir da análise de seus resultados,
efetuamos algumas alterações no seu desenho, sem contudo mudar a sua
essência. (p. 70)
Nosso experimento incluiu três fases, a saber:
• A fase 1 envolveu um teste inicial (pré-teste), composto de 6
questões sobre a função exponencial e o logaritmo, ...
• A fase 2 foi dedicada ao processo ensino-aprendizagem do
logaritmo. Foi aqui que desenvolvemos a nossa seqüência
didática com um dos grupos, enquanto que o outro teve
contato com o tema na escola, dentro da sala de aula;
• Na fase 3, os dois grupos novamente se submeteram a um
segundo teste nos moldes do primeiro. ... (p. 74)
95
Para validar os resultados de sua pesquisa KARRER fez análises
dos desempenhos dos dois grupos nos testes. Essas análises consistiram em
“tabulação numérica (porcentagem de acertos) acompanhadas das discussões
dos resultados obtidos”.
No capítulo VI, item 3, Discussão e conclusões, KARRER
apresentou a interpretação dos resultados de sua coleta de dados.
Além disso a autora relevou o fato de que:
KARRER antecipou as ações de outros pesquisadores, fazendo
sugestões de pesquisa:
... acreditamos que a abordagem de nossa seqüência favoreceu a
construção do conceito de logaritmo. Isto porque, apesar das dificuldades
apresentadas durante a aplicação de nossa seqüência, o grupo experimental
obteve sucesso em todos os aspectos, o que não podemos afirmar com relação
ao grupo de referência. [...]Vimos que nas análises do desempenho geral e do
percentual de acertos por item, o grupo experimental atingiu um patamar
consideravelmente superior que o alcançado pelo grupo de referência. Além
disso, os erros cometidos pelo grupo experimental ao final do estudo não eram
específicos do conteúdo dos logaritmos. Já o grupo de referência cometeu
todos os erros categorizados, inclusive aqueles localizados nos logaritmos.
Notamos superação de erros no grupo experimental, fato que não pôde ser
verificado em relação ao outro grupo, devido ao grande número de questões
deixadas "em branco". (p. 179)
A calculadora representou, para os alunos do grupo experimental, um instrumento
extremamente eficaz, visto que possibilitou centrar a atenção no conceito e não nas
técnicas de cálculo. (p. 182)
96
e, sugestão de ensino:
A partir do observado, propomos para os pesquisadores de Educação Matemática,
que trabalhem com maior ênfase a linguagem matemática de tal forma a permitir
aos alunos a apropriação dessa simbologia. (p. 184)
....como sugestões de pesquisa, acreditamos ser de vital importância desenvolver
estudos sobre a relação entre a simbologia apresentada nas definições
matemáticas e o significado atribuído pelos alunos. (p. 184)
... acreditamos que não haverá necessidade de grandes adaptações na seqüência
por outro educador, caso queira utilizá-la em sala de aula. (p. 181)
97
Autora: Rosana Nogueira de Lima
Ano da Defesa: 1999
Número de páginas: 113
Orientador: Professor Doutor Saddo Ag Almouloud
RESUMO
Este trabalho teve por objetivo estudar métodos geométricos e
algébricos de resolução de equações de terceiro grau, observando as vantagens
e desvantagens de cada um.
Para isso, construímos uma seqüência didática, enfatizando o
método geométrico de Omar Khayyam, matemático árabe do século XII. Foi feita
uma pesquisa histórica, e este método foi escolhido por utilizar o quadro
geométrico, quadro este pouco explorado em sala de aula. Utilizamos, também,
na seqüência, a fórmula de Cardano e o dispositivo de Briot - Ruffini para resolver
equações cúbicas.
Aplicamos nossa seqüência a dois grupos. O primeiro, formado por
quatro alunos do curso de Ciência da Computação da PUC/SP. O segundo,
formado por alunos da terceira série do ensino médio, do Colégio Vera Cruz; no
início, contávamos com 32 alunos, ao final, eles eram em número de 6. A
abstenção, ao final da aplicação, se deve, principalmente, a época em que a
seqüência foi aplicada.
FICHAMENTO
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE TERCEIRO GRAU ATRAVÉS DE
CÔNICAS
98
Com resultados obtidos, vemos que o quadro geométrico dificilmente
é usado pelos alunos ao tentar resolver um problema. O método de Omar
Khayyam foi considerado o mais prático deles, pois pode ser usado para qualquer
equação cúbica. A fórmula de Cardano causa problemas aos alunos que não
conhecem números complexos e o dispositivo de Briot-Ruffini só pode ser usado
quando a equação que se quer resolver tem uma raiz inteira.
Os alunos perceberam, também, que podem escolher que caminho
seguir, para resolver uma equação de terceiro grau, dependendo de seus
coeficientes. Além disso, o quadro geométrico, agora, é levado em consideração.
OBJETIVO
Este trabalho tem por objetivo estudar métodos geométricos e
algébricos de resolução de equações de terceiro grau, observando as vantagens
e desvantagens de cada um. (Resumo)
Nossa proposta é apresentar alguns métodos geométricos e
algébricos de resolução de cúbicas, com o objetivo de levar os alunos a compará-
los, compreendendo suas diferenças e vantagens. (p. 38)
Questões de pesquisa:
• Estes métodos são suficientes para que o aluno tenha uma visão geral de
resolução de cúbicas?(p.39)
• O aluno terá mais facilidade com métodos geométricos ou algébricos?(p.39)
• O método de Omar Khayyam é o mais adequado para utilização do aluno por
ser de simples construção geométrica, se usado sem o auxílio do
computador?(p.40)
• A fórmula de Cardano pode trazer problemas na resolução algébrica?(p.40)
99
METODOLOGIA
A meta de nosso trabalho é construir e aplicar uma seqüência
didática... (p. 8)
Iniciamos com uma pesquisa histórica, procurando os diferentes
métodos de resolução de cúbicas [...]...(p.9)
Um estudo de manuais didáticos [...]Analisamos também as
propostas curriculares do Estado de São Paulo,... ...(p.9)
[...] aplicamos um questionário inicial, ...(p.9)
[...] desenvolvimento e a aplicação de uma seqüência didática (p.11)
[...] usamos Cabri-géomètre [...]
Para analisar os dados colhidos, utilizamos os softwares estatísticos
Chic e Chadoc, estudando análises multidimensionais.[p.10]
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
... a Transposição Didática de Yves Chevallard
... a dialética ferramenta-objeto e o jogo de quadros presentes na
teoria de Régine Douady
... os registros de representação de Raymond Duval.
... o conceito de contrato didático (p.4)
Rosa coloca [...] que os alunos [...] nunca tinham utilizado um
método gráfico para encontrar raízes reais de qualquer equação. Imaginamos que
isso possa vir a acontecer em nosso trabalho, pois pretendemos fazer nosso
estudo com alunos do mesmo nível. Esse dado de sua pesquisa, entretanto,
reforça nossa hipótese de que o quadro geométrico é pouco explorado pelos
professores ao ensinar equações. (p.38)
PALAVRAS-CHAVE
Não constam
100
CONCLUSÕES
Transcrição das partes das conclusões propriamente ditas.
... os métodos utilizados nessa seqüência didática são suficientes
para dar, aos alunos, uma visão geral de resolução de equações cúbicas. ...
(p. 107)
Vimos que os que estudaram nossa seqüência continuam muito
ligados ao quadro algébrico, e este parece ser o quadro com o qual eles têm
maior facilidade.... (p. 107)
A fórmula de Cardano foi descartada como possibilidade de uso. Um
fator determinante para isto é a dificuldade de calcular as raízes, sem o auxílio de
uma calculadora, ... (p. 108)
O método de Omar Khayyam foi unanimemente considerado o
melhor desses métodos apresentados. Os fatores que levaram os alunos a esta
conclusão são a possibilidade de encontrar a quantidade de raízes reais que a
equação possui, ao menos um valor aproximado para cada uma delas e
principalmente a possibilidade de uso para qualquer equação. (p. 108)
Sugestões de ensino:
Alguns tópicos devem ser observados pelo professor que se
interesse em aplicar a seqüência didática deste trabalho a seus alunos: (p. 99)
Os métodos de resolução de equações de terceiro grau, estudados
em nossa seqüência didática, podem dar ao aluno uma visão das formas
possíveis de se manipular uma equação para resolvê-la. (p. 101)
Do ponto de vista didático, os métodos geométricos são muito úteis
para introduzir o estudo de resolução de equações de terceiro grau, ... (p. 109)
101
Sugestões de pesquisa:
A possibilidade de adaptação das atividades de nossa seqüência
para uso de Cabri-géomètre II deveria ser estudada. (p. 101)
Um estudo deveria ser feito, preocupando-se em verificar se
teoremas, relações e fórmulas, válidas todas para equações polinomiais de grau
n, são melhor compreendidas se primeiro for estudado um caso particular, para
depois serem generalizados os resultados obtidos. Isso acompanharia, então, o
desenvolvimento histórico de equações polinomiais.
Um estudo interessante também seria pesquisar se equações de
quarto grau podem ser resolvidas por meio de cônicas, como fizemos aqui com
equações cúbicas. (p. 102)
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Das referências constantes da bibliografia, indico apenas aquelas
que se referem a autores citados no fichamento.
BROUSSEAU, Guy. “Os diferentes papéis do professor”, In: Didática da
Matemática - Reflexões Psicopedagógicas. Organizadoras: Cecília Parra e
Irma Saiz, Editora Artes Médicas - Porto Alegre - RS, 1996, páginas 48 a
73.
DOUADY, Régine. Un processus d'apprentissage du concept d'aire de surface
plane. Educational Studies in Mathematics. vol. 20. n° 4. 1989
-------------------------Des apports de la didactique des mathematiques a
l'enseignement. In REPERES - IREM n° 6. janeiro/1992. pp.132 a 158
DUVAL, R. Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de
la pensée. IREM de Strasbourg. n° 5. 1993. pp. 37
102
Defendida em 29/04/1999 a dissertação de Rosana Nogueira LIMA
teve sua banca examinadora composta por: Sado Ag. ALMOULOUD (PUC/SP),
como orientador; Sônia B. C. IGLIORI (PUC/SP) e Circe Mary S. S. DYNNIKOV
(UFES).
LIMA identificou como fenômeno de seu interesse, o ensino e
aprendizagem de equações do terceiro grau.
Observando como os livros didáticos apresentavam os métodos de
resolução de equações de grau n, LIMA verificou que esses livros, além de não
apresentarem métodos geométricos, também não apresentavam métodos de
resolução que fossem específicos para equações de grau três. A partir desta
constatação a autora declara que:
LIMA embasou-se em didatas da matemática franceses,
principalmente em Régine DOUADY, com as noções de “jogo de quadros” e
dialética ferramenta-objeto.
Além de DOUADY, a pesquisadora utilizou a teoria de registro de
representação semiótica de Raymond DUVAL, conforme trecho abaixo.
ANÁLISE
A escolha deste tema partiu da curiosidade em observar como os alunos
recebem um método de resolução de equações de terceiro grau diferente dos que
eles estão acostumados a encontrar em livros didáticos, ... (p. 1)
Em nosso trabalho, utilizamos as cônicas primeiro como objetos de estudo,
para mais tarde dar a elas o estatuto de ferramentas explícitas que serão usadas na
resolução de equações do terceiro grau. (p. 7)
103
Outros teóricos como: Yves Chevallard e Guy Brousseau
subsidiaram sua pesquisa com as teorias da transposição didática e da teoria das
situações respectivamente.
A autora declarou que encontrou apenas uma “pesquisa” sobre o
tema de seu interesse, a de Mario Servelli ROSA, dissertação analisada neste
trabalho, anteriormente.
Uma vez identificado o fenômeno de seu interesse, LIMA levantou
as seguintes questões:
A hipótese apresentada por LIMA era de que ao apresentar o
método geométrico de Omar Kayyam e a fórmula de Cardano (método algébrico),
os alunos optariam pelo método geométrico, por ser simples de construir sem o
computador, ao contrário da fórmula de Cardano, que pode trazer complicações
para o aluno quando exige o conhecimento de números complexos.
... a conversão de registros é fundamental em nossa seqüência, na medida em que
a mudança do quadro algébrico para o geométrico implica mudança do registro
equação para o registro gráfico. (p. 8)
• Estes métodos são suficientes para que o aluno tenha uma visão geral de resolução de
cúbicas?(p.39)
• O aluno terá mais facilidade com métodos geométricos ou algébricos?(p.39)
• O método de Omar Khayyam é o mais adequado para utilização do aluno por ser de
simples construção geométrica, se usado sem o auxílio do computador?(p.40)
• A fórmula de Cardano pode trazer problemas na resolução algébrica?(p.40)
104
Como objetivo de pesquisa a autora especificou que:
Embora neste trecho, não haja explicitação de que este seja o
“objetivo oficial” do trabalho, penso que nesta versão a pesquisadora esclareceu
melhor a que fim se destinou, seu estudo sobre as vantagens e desvantagens dos
métodos geométricos e algébricos de resolução de equações de terceiro grau.
O método geométrico a que se refere LIMA, é o método de Omar
Kayyam, e os métodos algébricos são aqueles que utilizam, a fórmula de
Cardano-Tartaglia e o dispositivo de Briot-Ruffini.
LIMA afirmou que:
“A meta de nosso trabalho é construir e aplicar uma seqüência didática”... (p. 8)
para tanto utilizou os seguintes procedimentos de investigação:
Nossa proposta é apresentar alguns métodos geométricos e algébricos de
resolução de cúbicas, com o objetivo de levar os alunos a compará-los,
compreendendo suas diferenças e vantagens. (p. 38)
Iniciamos com uma pesquisa histórica, procurando os diferentes
métodos de resolução de cúbicas [...]...(p.9)
Um estudo de manuais didáticos [...]Analisamos também as
propostas curriculares do Estado de São Paulo,... ...(p.9)
[...] aplicamos um questionário inicial, ...(p.9)
[...] desenvolvimento e a aplicação de uma seqüência didática
(p.11)
[...] usamos Cabri-géomètre [...]
Para analisar os dados colhidos, utilizamos os softwares
estatísticos Chic e Chadoc, estudando análises multidimensionais.[p.10]
105
A coleta de dados se deu por meio da aplicação da seqüência
didática elaborada. Participaram, do experimento, dezesseis duplas de alunos da
terceira série do ensino médio, sendo que, na quarta e última sessão,
compareceram apenas três duplas. A autora conduziu os trabalhos e contou com
um observador.
Como resposta às suas questões de pesquisa, a pesquisadora
respondeu à primeira questão, afirmando que:
Para a segunda questão, “ o aluno terá mais facilidade com métodos
algébricos ou geométricos?”, sua resposta foi:
Sobre as possíveis dificuldades dos alunos com a fórmula de
Cardano, referente a terceira questão, a autora concluiu que os estudantes
descartaram seu uso pelas dificuldades de cálculo. E, finalmente, LIMA,
respondeu à ultima questão, da seguinte forma:
... os métodos utilizados nessa seqüência didática são suficientes para dar, aos
alunos, uma visão geral de resolução de equações cúbicas. ... (p. 107)
Vimos que os que estudaram nossa seqüência continuam muito ligados ao
quadro algébrico, e este parece ser o quadro com o qual eles têm maior facilidade. ...(p.
107)
O método de Omar Khayyam foi unanimemente considerado o melhor desses
métodos apresentados. Os fatores que levaram os alunos a esta conclusão são a
possibilidade de encontrar a quantidade de raízes reais que a equação possui, ao
menos um valor aproximado para cada uma delas e principalmente a possibilidade
de uso para qualquer equação. (p. 108)
106
A autora concluiu que atingiu seu objetivo de pesquisa, pois
conseguiu com a sua seqüência didática, que o aluno desenvolvesse uma atitude
de mobilização de outros métodos, o que permitirá que esse aluno possa utilizar o
método geométrico como opção na resolução de cúbicas.
A autora fez sugestões de pesquisa que poderão antecipar as ações
de outros quando disse que:
LIMA, também fez sugestões de ensino:
Um estudo deveria ser feito, preocupando-se em verificar se teoremas, relações e
fórmulas, válidas todas para equações polinomiais de grau n, são melhor
compreendidas se primeiro for estudado um caso particular, para depois serem
generalizados os resultados obtidos. Isso acompanharia, então, o desenvolvimento
histórico de equações polinomiais.
Um estudo interessante também seria pesquisar se equações de quarto grau
podem ser resolvidas por meio de cônicas, como fizemos aqui com equações
cúbicas. (p. 102)
Os métodos de resolução de equações de terceiro grau, estudados em
nossa seqüência didática, podem dar ao aluno uma visão das formas possíveis de
se manipular uma equação para resolvê-la. (p. 101)
Do ponto de vista didático, os métodos geométricos são muito úteis para
introduzir o estudo de resolução de equações de terceiro grau, ... (p. 109)
107
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES PARAMETRIZADOS E
Autora: Ivete Mendes de Freitas
Ano da Defesa: 1999
Número de páginas: 79
Orientadora: Professora Doutora Silvia Dias Alcântara Machado
RESUMO
Os sistemas lineares parametrizados são amplamente utilizados na
Álgebra Linear. Sua primeira aprendizagem se dá no 2° grau, no entanto, algumas
pesquisas indicam a dificuldade apresentada por alunos do 3° grau quando da
interpretação das soluções desse tipo de sistema. Esta pesquisa objetivou
diagnosticar o sentido que os alunos do final do 2° grau dão às soluções desse
tipo de sistema, através de questões sobre a relação que estabelecem entre a
solução de um dado sistema, de no máximo 3 incógnitas, e sua representação
gráfica. As conclusões apontam a necessidade de se desenvolver o ensino desse
tópico, dando ênfase as representações gráficas e as conversões entre o registro
gráfico e algébrico, a fim de atribuir um significado às soluções dependentes de
parâmetro
OBJETIVO
... defini como objetivo de minha pesquisa proceder a um
diagnóstico sobre a interpretação que alunos do 2° grau dão às soluções de um
sistema de equações lineares parametrizado. (p. 10)
FICHAMENTO
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES PARAMETRIZADOS E SEU
SIGNIFICADO PARA O ALUNO
108
METODOLOGIA
Para esta investigação utilizei, sobretudo, os princípios da
Engenharia Didática como metodologia de pesquisa. (p. 23)
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Esta pesquisa foi elaborada com base em elementos teóricos que
fundamentam pesquisas em Didática Matemática e em alguns trabalhos de
pesquisadores que abordaram o tema. A noção de registros de representação de
Raymond Duval, orientou-me com relação à elaboração do questionário a ser
respondido pelos alunos e fundamentou as sugestões apontadas pela pesquisa
para o ensino/aprendizagem dos sistemas lineares parametrizados. (p. 11)
A tese de Marlene DIAS, por tratar do ensino da Álgebra Linear,
assunto esse estreitamente relacionado aos sistemas lineares, também contribuiu
para o encaminhamento dessa pesquisa. (p.11)
II.1.2 Mudança de quadros e a dialética ferramenta-objeto.
As noções de quadro e a dialética ferramenta-objeto foram
propostas por Régine Douady, ... (p. 15)
PALAVRAS-CHAVE
Conversão entre registros de representação, sistemas lineares
parametrizados, parâmetros, incógnitas.
CONCLUSÕES
Transcrição das partes das conclusões propriamente ditas.
... as questões propostas colocaram em evidência as dificuldades
dos alunos para compreender o papel dos parâmetros nas resoluções e nas
soluções de um sistema de equações lineares. (p. 73)
Foi possível concluir que o reconhecimento de uma reta associada a
uma equação é feito basicamente por atribuição de valores às variáveis,...
109
... o aluno não recorre aos conceitos de coeficiente angular e linear;
isto é, não observa as características dos gráficos... (p. 73)
... a maior parte dos alunos que responderam ao questionário não
estabelece uma relação entre o número de soluções do sistema e os pontos de
intersecções das retas que o representam. (p. 74)
Sugestão de ensino:
Concluo, finalmente, sugerindo que o recurso à mudança de
registros, do algébrico para o gráfico e vice-versa e a conversão de registros, que
permite observar as alterações nos tipos de soluções dos sistemas lineares,
podem se constituir numa estratégia eficaz que favoreça a compreensão e a
atribuição de significado aos sistemas lineares parametrizados. (p. 76)
Sugestão de pesquisa:
...os alunos não relacionam a solução de um sistema com os pontos comuns
entre as retas que o representam.
Esse seria um ponto a ser priorizado por uma seqüência
didática.(p.72)
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Das referências constantes da bibliografia, indico apenas aquelas
que se referem a autores citados no fichamento.
DIAS, M. A. Les problèmes d'articulation entre points de vue "cartesien" et
"paramétrique" dans l'enseignement de l'algèbre linéaire. Université de
Paris VII. Denis Diderot. 1998
DOUADY, R. Jeux de cadres et dialectique outil-objet dans l’enseignement des
mathématiques - Universite Paris VII, 1984.
---------------- Didactique des mathematiques, Universite Paris VII, França, 1984.
110
DUVAL, R. As representações gráficas: Funcionamento e condições de sua
aprendizagem. Tradução do pré-print fornecido pelo autor: Osmar Schwarz
e Silvia Machado. 1986
--------------- Graphiques et equations: L' Articulation de deux registres. Annales de
Didactique et de Sciences Cognitives. IREM de Strasbourg. 1988
---------------- L' Analyse Théorique du Fonctionnement cognitif. Curso PUC. fev.
1999
111
A dissertação de Ivete Mendes e FREITAS foi defendida em
28/06/1999 e teve como componentes da banca: sua orientadora, Sílvia D. A.
MACHADO (PUC/SP); Benedito Antonio da SILVA (PUC/SP) e Gilda de La
Rocque PALIS (PUC/RJ).
Em sua prática como professora de ensino médio, FREITAS
verificou a dificuldade dos alunos diante de sistemas que envolvem equações
lineares.
Observa-se que as dificuldades dos alunos em relação aos sistemas
lineares despertaram a curiosidade da pesquisadora, fazendo-a executar a
primeira atividade de pesquisa que foi identificar um fenômeno de interesse.
Suas observações de professora levaram FREITAS a formular a
hipótese de que
Com esta hipótese decidiu diagnosticar as causas dessa dificuldade,
definindo para objetivo de sua pesquisa:
ANÁLISE
A razão de meu interesse por esse tópico vem do fato de estar trabalhando
nos últimos 12 anos com alunos de 2˚ grau, onde esse assunto é intensamente
tratado. Tenho observado a dificuldade dos alunos, com relação à discussão de
sistemas lineares... (p. 9)
... proceder a um diagnóstico sobre a interpretação que alunos do 2˚ grau dão às
soluções de um sistema de equações lineares parametrizado. (p. 10)
... a dificuldade persistente dos alunos com a interpretação estaria relacionada ao
fato de que os alunos decoram técnicas sem compreender realmente o sentido de
suas respostas ao interpretarem a solução de um sistema. (p. 10)
112
No capítulo I, a autora faz distinção entre dois tipos de parâmetros,
explícitos e implícitos.
Para desenvolver sua pesquisa diagnóstica, a autora fundamentou-
se, principalmente, nas idéias de Raymond DUVAL.
Além de DUVAL, FREITAS utiliza a noção de “jogo de quadros”, de
Régine DOUADY, para suas análises de livros didáticos.
Ao tratar do ensino da Álgebra Linear, área a que pertencem os
sistemas lineares, FREITAS levou em consideração os resultados obtidos por
Marlene DIAS, em sua tese sobre a questão da flexibilidade entre
Verifica-se que a pesquisadora relacionou suas idéias com as de
outros pesquisadores.
Um parâmetro será explícito se aparecer representado por uma letra nas
equações, podendo modificar o tipo de solução do sistema; um parâmetro será
implícito se for utilizado para representar as infinitas soluções de um sistema
indeterminado. (p. 10)
A noção de registros de representação de Raymond DUVAL, orientou-me
com relação à elaboração do questionário a ser respondido pelos alunos e
fundamentou as sugestões apontadas pela pesquisa para o ensino/aprendizagem
dos sistemas lineares parametrizados. (p. 11)
os diferentes quadros de funcionamento da álgebra linear, entre os diferentes
registros de representações semióticas a partir dos quais os conceitos envolvidos
são expressos e trabalhados matematicamente, enfim entre os diferentes pontos de
vista que lhes podem ser associados. (p. 16)
113
Como estratégia geral, a autora declarou que utilizou sobretudo os
princípios da Engenharia Didática no capitulo dedicado a metodologia de
pesquisa.
Os procedimentos específicos envolveram: análises prévias, análise
a priori, aplicação e análise a posteriori. Para validar os resultados FREITAS
comparou sua previsões sobre os comportamentos dos alunos, descritas na
análise a priori, com os resultados obtidos após a aplicação do questionário.
A coleta de dados iniciou-se com um “teste diagnóstico”, para seus
quarenta e cinco alunos de uma classe, de escola particular de São Paulo.
Após análise dos resultados desse teste a autora decidiu ampliar
sua investigação como relata no trecho a seguir.
O questionário a que FREITAS se refere no trecho acima foi
aplicado, pela própria pesquisadora, a um grupo de vinte e oito alunos, que não
eram seus, de uma classe da 3a série do ensino médio. A aplicação se deu em
uma aula de cinqüenta minutos.
As interpretações que FREITAS deu às informações coletadas,
mostraram que a pesquisadora atingiu seu objetivo pois, em relação ao
questionário
E, em relação ao diagnóstico,
A fim de obter resultados mais abrangentes em termos de população, escolhi
aplicar o questionário em uma escola pública. (p. 49)
... as questões propostas colocaram em evidência as dificuldades dos alunos para
compreender o papel dos parâmetros nas resoluções e nas soluções de um
sistema de equações lineares. (p. 73)
114
FREITAS concluiu sua dissertação fazendo sugestões de ensino que
poderão antecipar ações posteriores, quando diz:
Foi possível concluir que o reconhecimento de uma reta associada a uma
equação é feito basicamente por atribuição de valores às variáveis,...
[...] o aluno não recorre aos conceitos de coeficiente angular e linear; isto é,
não observa as características dos gráficos... (p. 73)
[...] a maior parte dos alunos que responderam ao questionário não estabelece
uma relação entre o número de soluções do sistema e os pontos de intersecções das
retas que o representam. (p. 74)
Concluo, finalmente, sugerindo que o recurso à mudança de registros, do
algébrico para o gráfico e vice-versa e a conversão de registros, que permite
observar as alterações nos tipos de soluções dos sistemas lineares, podem se
constituir numa estratégia eficaz que favoreça a compreensão e a atribuição de
significado aos sistemas lineares parametrizados. (p. 76)
115
Autor: Alberto Ramos PEROTTI
Ano da Defesa: 1999
Número de páginas: 134
Orientadora: Tânia Maria Mendonça CAMPOS
RESUMO
O objetivo desta pesquisa é apresentar uma seqüência didática que
possibilite aos alunos a aprendizagem da equação da reta com ênfase no
conceito de coeficiente angular, calculado pela taxa de variação.
Para atingir o objetivo proposto, consideramos três hipóteses: Em
primeiro lugar, a seqüência deve ser iniciada por questões contextualizadas, isto
é, a partir de situações-problema. Em segundo lugar, a seqüência deve partir do
conceito de grandezas diretamente proporcionais, por ser esta uma idéia simples
e, provavelmente, do domínio dos alunos. Em terceiro lugar, o coeficiente angular
deve ser trabalhado por meio da taxa de variação xy
∆∆
, o que facilita a sua
determinação.
O desenvolvimento do trabalho foi baseado na Teoria das Situações
de Guy Brousseau. Sua aplicação se deu no Núcleo de Educação e Cultura de
Mogi das Cruzes, contando com a participação de 14 alunos, sendo 8 do 1º
Colegial e 6 do 2º Colegial.
FICHAMENTO
O ESTUDO DA RETA A PARTIR DAS GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS: UMA PROPOSTA ALTERNATIVA DE ENSINO
116
Os alunos participaram com entusiasmo de todas as atividades e, ao
final, responderam o questionário de avaliação com alto índice de acertos.
Consideramos então que os resultados obtidos foram satisfatórios e nos levam a
indicar o estudo da reta a partir das grandezas diretamente proporcionais, com
ênfase na taxa de variação para determinar o coeficiente angular, como uma
proposta alternativa de ensino para este conteúdo.
OBJETIVO
[...] o objetivo do nosso trabalho é a construção de uma seqüência
didática que possibilite aos alunos a aprendizagem da equação da reta com
ênfase no conceito de coeficiente angular, calculado pela taxa de variação. (p. 1)
METODOLOGIA
Seqüência Didática, fazendo uma análise a “priori”, na qual o
pesquisador faz uma previsão daquilo que, no seu modo de ver, pode ocorrer em
função da situação que ele criou. Posteriormente esta previsão vai ser comparada
com os resultados obtidos nas atividades, na análise a “posteriori”. (p.51)
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Para elaborar a seqüência didática e analisar seus resultados,
apoiamo-nos nos trabalhos de diversos autores, que passamos a apresentar:
(p.5)
Guy BROUSSEAU, sobre a teoria das situações didáticas. (1996, p. 48)
Gérard VERGNAUD, para resolução de problemas. (1982, p. 5).
PALAVRAS-CHAVES
Não constam
CONCLUSÕES Nosso objetivo foi amplamente atingido no que se refere ao grupo de
alunos que participaram da pesquisa, como podemos constatar pela avaliação
contínua no decorrer da seqüência e pelos resultados obtidos na atividade 6,
avaliação final... (p. 120)
117
De fato ficou claro, nas fases de formulação e validação, que o
trabalho explorando as mudanças do registro numérico, apresentado pelas
tabelas, para o registro gráfico, norteou em muito nossos alunos no sentido de
dar-lhes oportunidade de relacionar grandezas diretamente proporcionais, com a
representação gráfica de uma reta que passa sempre pela origem o que já não
acontece nos casos do quadrado e do cubo. (p. 122).
Sugestões de ensino:
Defendemos portanto, com base nesta experiência, que é preciso
enfatizar desde o inicio a representação gráfica de grandezas proporcionais. No
entanto isto em geral não acontece, uma vez que normalmente os professores
costumam preparar suas aulas nos conteúdos propostos nos livros didáticos e
estes, freqüentemente, não representam graficamente estas grandezas. (p.122)
[...] julgamos ser muito importante que no ensino médio se faça um
estudo adequado das equações da reta, com ênfase no conceito de coeficiente
angular, calculado pela taxa de variação, de preferência partindo de alguma idéia
que seja simples, de modo que os alunos se sintam seguros ao enfrentar o
desafio desta nova aprendizagem. Estamos convencidos que este conceito é o de
grandezas diretamente proporcionais. Estamos convencidos ainda de que a
melhor estratégia a ser adotada para este estudo é a de introduzi-lo por meio de
situações contextualizadas em que seja possível estabelecer relação entre o
conteúdo em questão e o dia a dia dos alunos, passando gradativamente pelo
processo de descontextualização, quando o significado para esse conteúdo não
mais precisará estar apoiado em representações do mundo real, mas sim nas
representações construídas pela Matemática. (p.131)
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Das 32 referências constantes da bibliografia, indico a seguir apenas
aquelas que se referem a autores citados neste fichamento:
BROUSSEAU, Guy. Os diferentes papéis do professor. In: PARRA, Cecília, SAIZ,
Irma. Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artes
Médicas, 1996. Cap.4 p. 48-72.
118
VERGNAUD, G .La Théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactique
des Mathématiques, Paris, v.10,n.23, p.133-170, 1990.
119
A dissertação de Alberto Ramos PEROTTI foi defendida em
25/10/1999. Participaram da banca examinadora os professores: Tânia Maria
Mendonça CAMPOS (orientadora), Ana Paula JAHN, ambas da PUC/SP e Nilson
José MACHADO da FEUSP.
Ao planejar seu trabalho, PEROTTI contou que, considerou
principalmente as mudanças do método tradicional, axiomático, de ensino para o
método de resolução de problemas ocorridas ao longo de sua experiência como
professor de Ensino Secundário.
O autor explicitou também que, em sua atuação como professor de
Ensino Superior, nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral e Geometria
Analítica, percebeu que
Assim, a partir de sua experiência profissional, PEROTTI, identificou
o fenômeno de seu interesse: o efeito da mudança no método de ensino para o
estudo da “reta”.
Para a realização de seu trabalho, PEROTTI fundamentou-se em
teóricos da escola francesa, notadamente Guy Brousseau (1996) e Gerard
Vergnaud (1982).
De Brousseau, o autor utilizou a Teoria das Situações Didáticas.
[...] o estudo da reta era um dos conteúdos em que o desempenho dos
alunos era pouco satisfatório. Quando pretendíamos introduzir o conceito de
derivada, poucos estudantes identificavam a reta pela sua equação e eram
capazes de determinar o seu coeficiente angular (p.4)
ANÁLISE
120
A teoria dos campos conceituais de VERGNAUD foi utilizada,
principalmente, para fundamentar a elaboração de problemas. PEROTTI,
também cita VERGNAUD, ao falar sobre proporcionalidade, assunto ligado ao
tema de sua pesquisa.
Ficou, então, caracterizada a execução da 3a atividade de pesquisa
que é examinar o que outras pessoas pensam sobre o fenômeno de seu
interesse.
Tendo identificado um fenômeno do seu interesse, PEROTTI, a
partir de suas observações, levantou a hipótese de que
Para validar esta hipótese o pesquisador definiu como objetivo de
sua pesquisa,
[...] Segundo este autor a aprendizagem se dá através da situação
didática. Uma situação didática se caracteriza pelas relações que se
estabelecem entre alunos, professor e um certo meio onde se encontram estes
personagens, com o objetivo de que os alunos venham a se apropriar de um
saber geralmente já construído. (p. 49)
[...] os alunos aprendem melhor quando conseguem construir o seu próprio
saber, pois o prazer da aquisição valoriza o conhecimento adquirido. (p. 1)
Vale a pena destacar também um problema levantado por VERGNAUD (1990,
p. 148), no que diz respeito à proporcionalidade ... (p. 13)
[...] a construção de uma seqüência didática que possibilite aos alunos a
aprendizagem da equação da reta com ênfase no conceito de coeficiente
angular, calculado pela taxa de variação. (p. 1)
121
Tendo definido qual a questão a examinar, traduzida no objetivo
descrito, PEROTTI executou a quarta atividade de pesquisa. Fazer questões
específicas ou fazer uma conjectura argumentada.
PEROTTI, não dedicou item ou capítulo a metodologia usada em
seu trabalho, mas descreveu a forma pela qual elaborou e aplicou a seqüência
baseada na teoria das situações de BROUSSEAU sendo portanto, a aplicação
desta seqüência didática, a estratégia geral que utilizou para a coleta de dados.
PEROTTI iniciou sua pesquisa buscando pistas do saber aprendido
pelos alunos com a finalidade de eleger variáveis didáticas que os auxiliassem na
seqüência que posteriormente elaborou. Para tanto, analisou três livros didáticos
de grande aceitação em nosso país, procurando verificar como essas obras
trataram o estudo da equação da reta.
Além da análise dos livros didáticos, o autor realizou também um
estudo histórico em que observa como se deu o ensino da matemática, focado na
resolução de problemas e contextualizados.
Finalizou com a citação dos Parâmetros Curriculares Nacionais, que
criticam o ensino tradicional e propõe novas posturas, tanto para alunos, quanto
professores para que o desenvolvimento do ensino e aprendizagem seja um
processo mais eficiente.
Em seguida, realizou um teste diagnóstico com intuito de verificar
qual a concepção dos alunos ingressantes em um curso de engenharia,
constatando que, a maior dificuldade dos alunos participantes, foi a determinação
do coeficiente angular da reta a partir do gráfico.
O autor descreveu as análises à “priori” de todas atividades
desenvolvidas, em que fez a previsão daquilo do que poderia ocorrer na situação
por ele criada. Posteriormente, essa previsão foi comparada com os resultados
obtidos em cada atividade, na análise à “posteriori”.
122
Levando em consideração os procedimentos metodológicos
utilizados pelo autor, está evidenciada a execução da sexta atividade.
A coleta de dados foi feita com quatorze alunos, sendo oito da 1a
série e seis da 2a série, do ensino médio.
As cinco primeiras atividades da seqüência foram desenvolvidas em
sala de aula “sob a observação do pesquisador e de um dos professores da sala”.
A sexta e última atividade foram resolvidas pelas mesmas duplas, mas fora do
ambiente de sala de aula, a sexta atividade tinha como objetivo “uma avaliação da
seqüência”.
Em todas as atividades o pesquisador procurou obedecer as
seguintes etapas: na primeira fase, ação, os alunos atuando em duplas discutiram
suas escolhas e decisões sobre as ações; na segunda fase, formulação, os
alunos trocaram as informações entre os pares. Naquele momento, alunos
redigiram explicitando as ferramentas utilizadas; na terceira fase, validação, os
alunos trataram de validar seus resultados, mostrar porque a solução encontrada
era verdadeira, um debate coletivo se estabeleceu. Na quarta fase,
institucionalização, o professor fez um fechamento do que havia sido estudado e
apresentou o conteúdo com estatuto de saber matemático.
Para todas as questões das atividades que compunham a seqüência
o pesquisador fez a análise a priori e posteriormente a análise a posteriori, na
qual, comparou suas previsões com os resultados efetivamente obtidos nas
atividades.
Alguns trechos que denotam como o autor interpretou as
informações coletadas foram transcritos para os quadros a seguir.
Nosso objetivo foi amplamente atingido no que se refere ao grupo de
alunos que participaram da pesquisa, como podemos constatar pela avaliação
contínua no decorrer da seqüência e pelos resultados obtidos na atividade 6,
avaliação final... (p. 120)
123
O autor garante que houve uma preferência efetiva pela metodologia
de ensino utilizado, ou seja, pela resolução de problemas, de modo
contextualizado, em detrimento ao modelo tradicional de aulas expositivas.
PEROTTI antecipa as ações de outros ao sugerir que
Além desta, o pesquisador faz outra sugestão de ensino.
De fato ficou claro, nas fases de formulação e validação, que o trabalho
explorando as mudanças do registro numérico, apresentado pelas tabelas,
para o registro gráfico, norteou em muito nossos alunos no sentido de dar-lhes
oportunidade de relacionar grandezas diretamente proporcionais, com a
representação gráfica de uma reta que passa sempre pela origem o que já não
acontece nos casos do quadrado e do cubo. (p. 122)
[...] é preciso enfatizar desde o inicio a representação gráfica de grandezas
proporcionais. No entanto isto em geral não acontece, uma vez que
normalmente os professores costumam preparar suas aulas nos conteúdos
propostos nos livros didáticos e estes, freqüentemente, não representam
graficamente estas grandezas. (p.122)
[...] julgamos ser muito importante que no ensino médio se faça um estudo
adequado das equações da reta, com ênfase no conceito de coeficiente
angular, calculado pela taxa de variação, de preferência partindo de alguma
idéia que seja simples, de modo que os alunos se sintam seguros ao
enfrentar o desafio desta nova aprendizagem. Estamos convencidos que
este conceito é o de grandezas diretamente proporcionais. Estamos
convencidos ainda de que a melhor estratégia a ser adotada para este
estudo é a de introduzi-lo por meio de situações contextualizadas em que
seja possível estabelecer relação entre o conteúdo em questão e o dia a dia dos alunos, passando gradativamente pelo processo de
descontextualização, quando o significado para esse conteúdo não mais
precisará estar apoiado em representações do mundo real, mas sim nas
representações construídas pela Matemática. (p.131)
124
O ENSINO DA MATEMÁTICA E DA FÍSICA NUMA PERSPECTIVA
INTEGRACIONISTA
FICHAMENTO
Autor: Celso Ribeiro Campos
Ano da Defesa: 2000
Número de páginas: 139
Orientadora: Professora Doutora Sonia Barbosa Camargo Igliori
RESUMO
Este trabalho visa realizar um estudo sobre as relações
Matemática/Física pertinentes aos processos de ensino/aprendizagem, referentes
aos conteúdos específicos da cinemática escalar (Física) e de funções
(Matemática), no nível médio escolar. Pretendemos mostrar que alguns
fenômenos físicos, especificamente da cinemática, podem ser abordados
tomando por base suas relações matemáticas, admitindo que estas atuam como
uma linguagem estruturante, que dá corpo ao conhecimento físico. Uma
integração dessas duas disciplinas, pode ser conseguida nesse contexto,
contribuindo para uma melhor significação dos conceitos por parte dos alunos.
Investimos então, nesta pesquisa, num modelo de integração para esses dois
ramos do conhecimento científico e procuramos avaliar se essa integração pode
oferecer alguma contribuição pedagógica aos alunos. A perspectiva
integracionista que abordamos trata da construção de conceitos físicos baseados
na experimentação empírica, combinada com a análise matemática de fenômenos
específicos da cinemática. Apoiamo-nos no pressuposto de que a Matemática é
mais do que uma simples coadjuvante no desenvolvimento dos conceitos físicos.
Ela está sempre presente nas atividades científicas: seja no seu processo ou no
FICHAMENTO
O ENSINO DA MATEMÁTICA E DA FÍSICA NUMA PERSPECTIVA
INTEGRACIONISTA
125
seu produto, seja na definição de um conceito, seja na articulação entre os
elementos de uma teoria científica. A integração dos conteúdos citados encontra
respaldo na epistemologia do conceito de função, através dos trabalhos de
Oresme (séc. XIV), bem como no trabalho de Galileu (séc. XVI), os quais também
abordamos aqui. Adotamos um quadro teórico que se baseia principalmente nos
conceitos de registros de representação, contrato didático, situações didáticas e
a-didáticas, bem como nas idéias de ação, formulação e validação, oriundos dos
fundamentos da didática francesa. Utilizamos a metodologia da engenharia
didática para formularmos uma seqüência de atividades que visa desenvolver a
integração construtiva dos conteúdos mencionados.
OBJETIVO
Este trabalho visa realizar um estudo sobre as relações
Matemática/Física pertinentes aos processos de ensino/aprendizagem,
especificamente no que tange ao nível médio, referentes aos conteúdos
específicos de cinemática escalar (Física) e de funções (Matemática). (p. 8)
Questões de pesquisa:
� É possível obter, no universo pedagógico da sala de aula, a
integração de conteúdos matemáticos e físicos, especificamente no
que se refere à cinemática e às funções?
� Há algum ganho pedagógico nessa integração?
� É possível promover junto aos alunos a construção de conceitos
físicos com base na experimentação empírica combinada com a
análise matemática de alguns fenômenos específicos? (p. 9)
METODOLOGIA
Empregaremos neste trabalho a metodologia de pesquisa conhecida
como engenharia didática, amplamente utilizada nos estudos da Didática da
Matemática,... (p. 36)
126
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
A Teoria das Situações Didáticas (Guy Brousseau)
... procuramos apresentar situações-problema que são concebidas com
base nas idéias básicas desta teoria das situações, visando abraçar os objetivos
pedagógicos já descritos por nós nos capítulos precedentes. (p. 47)
O Contrato Didático (Guy Brousseau)
Dentro de nossa visão de ensino, entendemos que o contrato didático deve
ser estabelecido de forma a permitir que os alunos avancem no projeto de ensino
de forma autônoma, que possam caminhar com seus próprios pés, que possam
construir o conhecimento num processo dinâmico e interativo com os colegas e
com o professor. (p.43)
Os Registros de Representação (Duval)
...entendemos como essencial para nosso trabalho a constatação de que o
que garante a apreensão do objeto é a conceitualização e esta é obtida na
coordenação entre vários registros de representação. (p. 50)
PALAVRAS-CHAVE
Não constam
CONCLUSÃO
Transcrição das partes da conclusão propriamente dita.
Entendemos que a elaboração da seqüência didática foi feita com
sucesso no que tange ao objetivo de promover a integração dos conteúdos físicos
(cinemática escalar) e matemáticos (funções). Principalmente nas atividades 2 e
3, vimos os alunos transitarem de um domínio a outro sem prejuízo de nenhum
dos dois. Pudemos vivenciar a edificação de conceitos físicos a partir de sua
modelização matemática, mostrando um avanço construtivo no desenvolvimento
dos conteúdos analisados. A perspectiva integracionista de ensino esteve
presente, assim, nas atividades desenvolvidas junto aos alunos, andando lado a
lado com a proposta pedagógica construtiva dentro da metodologia adotada nas
situações-problema. (p. 120)
127
Sugestão de ensino:
Acreditamos que, ao trazer o aluno frente a frente a essas
intersecções de conteúdos, estamos promovendo um avanço considerável no
entendimento do fenômeno físico estudado. (p. 121)
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Das referências constantes da bibliografia, indico apenas aquelas
que se referem a autores citados no fichamento.
BROUSSEAU, G. Fondaments et Méthodes de la Didactique des Mathématiques.
Recherches en Didactique des Mathématiques (7.2) pp. 33-116. Grenoble.
1986
-------------------------Le contract didactique: le milieu. Recherches en Didactique des
Mathématiques (9.3) pp. 309-336. Grenoble. 1988
DUVAL, Raymond. Registres de representation sémiotique et fonctionnements
cognitif de la pensée. Annales de Didactique et Sciences Cognitives, Vol. 5,
IREM-ULP, Strasbourg, 1993.
------------------------- Sémiosis et pensée humaine. Berne: Peter Lang. 1995
128
A dissertação de Celso Ribeiro CAMPOS foi defendida em
17/04/2000 e contou com a aprovação da banca composta por sua orientadora,
Sonia Barbosa Camargo IGLIORI (PUC/SP), Wagner Rodrigues VALENTE
(PUC/SP) e Maurício Pietrocola Pinto de OLIVEIRA (UFSC).
De sua prática como professor de Matemática e Física, vivenciando
no seu dia-a-dia, as dificuldades enfrentadas por seus alunos, para aprender
alguns conteúdos dessas duas disciplinas, CAMPOS extraiu a motivação para
desenvolver seu estudo .
Algumas constatações relacionadas a estas dificuldades estão
explicitadas pelo pesquisador no seguinte trecho do capítulo I, INTRODUÇÃO-
PROBLEMÁTICA:
Pela exposição dos fatos, certifica-se que CAMPOS realizou a
primeira atividade característica de pesquisa que é a identificação de um
fenômeno de interesse.
Para desenvolver sua pesquisa, CAMPOS embasou-se,
principalmente, na teoria de DUVAL sobre o “uso das representações no ensino
da Matemática”.
ANÁLISE
Firmados em nossa experiência pedagógica, constatamos que as conexões
entre os conteúdos citados são geralmente desprezadas pelos professores da 1a
série do Ensino Médio (tanto os de Física como os de Matemática). Os próprios
livros didáticos de Matemática e de Física não as valorizam, relegando-as a segundo
plano, através de citações colocadas na parte final dos capítulos ou simplesmente
ignorando o assunto. (p. 11)
129
E também em BROUSSEAU, quando da utilização da noção de
contrato didático.
Além destes, o autor também cita os trabalhos de Maurício
PIETROCOLA1 e de Terezinha de Fátima PINHEIRO2. Ambos ressaltam a
necessidade de introduzir os alunos na prática de modelização matemática de
fenômenos naturais. PIETROCOLA refere-se mais especificamente ao ensino da
Física.
Constata-se, portanto que CAMPOS relacionou o fenômeno de seu
interesse com as idéias de outros pesquisadores.
Com a perspectiva de um ensino integrado, de Física e Matemática,
CAMPOS apresentou a conjectura de que
Em relação a esta hipótese, CAMPOS apresentou três questões:
1 A história e a epistemologia no ensino da Física. Florianópolis: Mimeo UFSC. 1993 2 Aproximação entre a Ciência do aluno na sala de aula da 1a série do 2˚ grau e a Ciência dos cientistas: Uma discussão. Florianópolis. 1996. Dissertação de Mestrado. UFSC
Dentro de nossa visão de ensino, entendemos que o contrato didático deve
ser estabelecido de forma a permitir que os alunos avancem no projeto de ensino de
forma autônoma, que possam caminhar com seus próprios pés, que possam
construir o conhecimento num processo dinâmico e interativo com os colegas e com
o professor. (p.43)
... é possível conseguir essa integração entre a Matemática e a Física no ensino da
cinemática escalar e das funções de 1˚ e 2˚ graus, ... (p. 12)
... entendemos como essencial para o nosso trabalho a constatação de que o que
garante a apreensão do objeto é a conceitualização e esta é obtida na coordenação
entre vários registros de representação. (p. 50)
130
Para obter as respostas que procurava, CAMPOS empreendeu uma
pesquisa cujo objetivo está especificado no quadro a seguir.
O autor esclareceu que esse estudo consistiu em
A metodologia de pesquisa declarada pelo o autor foi a Engenharia
Didática.
Os procedimentos específicos relatados por CAMPOS foram: como
análises preliminares, um estudo histórico e epistemológico de determinados
conteúdos da Física, interlocução com teóricos e pesquisadores do assunto,
análise a priori, aplicação e análise a posteriori da seqüência didática objetivada.
Este trabalho visa realizar um estudo sobre as relações Matemática/Física
pertinentes aos processos de ensino/aprendizagem, especificamente no que tange ao
nível médio, referentes aos conteúdos específicos de cinemática escalar (Física) e de
funções (Matemática). (p. 8)
� É possível obter, no universo pedagógico da sala de aula, a integração de
conteúdos matemáticos e físicos, especificamente no que se refere à
cinemática e às funções?
� Há algum ganho pedagógico nessa integração?
� É possível promover junto aos alunos a construção de conceitos físicos com
base na experimentação empírica combinada com a análise matemática de
alguns fenômenos específicos? (p. 9)
... construir uma situação-problema que leve o aluno a abstrair a idéia de função
com base na análise de fenômenos físicos, como o movimento uniforme e o
movimento uniformemente variável. (p. 35)
131
A coleta de informações envolveu, em sua parte experimental,
cinqüenta alunos da 1a série do ensino médio de uma escola particular de São
Paulo, que realizaram as atividades da seqüência didática elaborada por
CAMPOS. Quanto a duração das sessões o pesquisador informou que:
Para a coleta de dados, CAMPOS também utilizou um mini-
gravador, para registrar os acontecimentos que ele julgou relevantes durante as
sessões, facilitando assim futuras análises; e, fez entrevistas com alguns alunos
que participaram do experimento.
Após a realização das atividades, as informações obtidas foram
comparadas com as previsões feitas pelo pesquisador, na análise a priori de cada
uma das cinco atividades que compunham a seqüência.
A interpretação das informações coletadas foram feitas ao longo do
capítulo da análise a posteriori, item 5.5 e também ao longo do capítulo das
considerações. Transcrevi para o quadro abaixo, um trecho que confirma a
execução desta oitava atividade da lista de ROMBERG.
As sessões da seqüência didática foram realizadas em meados do primeiro
semestre de 1999 pelo próprio professor pesquisador, em meio às aulas de Física
ministradas regularmente. (p. 57)
Entendemos que a elaboração da seqüência didática foi feita com sucesso
no que tange ao objetivo de promover a integração dos conteúdos físicos
(cinemática escalar) e matemáticos (funções). [...] Pudemos vivenciar a edificação
de conceitos físicos a partir de sua modelização matemática, mostrando um
avanço construtivo no desenvolvimento dos conteúdos analisados. A perspectiva
integracionista de ensino esteve presente, assim, nas atividades desenvolvidas
junto aos alunos, andando lado a lado com a proposta pedagógica construtiva
dentro da metodologia adotada nas situações-problema. (p. 120)
132
As conclusões apresentadas mostraram que CAMPOS obteve
respostas para suas questões de pesquisa, validando assim sua hipótese quanto
a possibilidade de um ensino integrado da Física com a Matemática.
CAMPOS antecipa as ações de outros ao fazer a seguinte sugestão
de ensino:
Acreditamos que, ao trazer o aluno frente a frente a essas intersecções de
conteúdos, estamos promovendo um avanço considerável no entendimento do
fenômeno físico estudado. (p. 121)
133
Autor: Luiz Roberto de Moura Lindegger
Ano da Defesa: 2000
Número de páginas: 204
Orientadora: Professora Doutora Sandra Maria Pinto Magina
RESUMO
O objetivo deste trabalho foi investigar uma abordagem para o
ensino da trigonometria no triângulo retângulo, em que se pretendeu introduzir os
conceitos das razões trigonométricas seno, co-seno e tangente a partir da
manipulação de modelos. Tivemos por hipótese o desenvolvimento de uma
seqüência de ensino criando situações-problema, a partir de questões simples,
contextualizadas, concretas. Tal ambiente servirá de facilitador para a construção
e a apropriação dos conceitos da trigonometria.
Trabalhamos com duas turmas, ambas da 8a série do Ensino
Fundamental, sendo uma considerada como grupo de referência (GR) e uma
outra considerada como grupo experimental (GE). No GE, foi aplicada a
seqüência de ensino, objeto de nossa pesquisa, com pressuposto teórico
construtivista, com base na psicologia cognitiva de Vygotsky e Vergnaud, e na
didática francesa de Brousseau.
No GR, a abordagem da trigonometria se deu na forma por nós
considerada tradicional (definições seguidas de exercícios). Os dois grupos foram
submetidos a dois testes individuais: um antes (pré-teste) da introdução dos
conceitos de razões trigonométricas e outro (pós-teste) após terem tido contato
FICHAMENTO
CONSTRUINDO OS CONCEITOS BÁSICOS DA TRIGONOMETRIA NO
TRIÂNGULO RETÂNGULO: UMA PROPOSTA A PARTIR DA MANIPULAÇÃO DE MODELOS
134
com esse conteúdo. A análise dos resultados envolveu duas etapas: a análise
quantitativa e a qualitativa dos instrumentos diagnósticos.
Em síntese, quanto ao desempenho geral dos grupos nos testes,
podemos dizer que o GE apresentou um desempenho satisfatório e superior ao
GR. Não tivemos a pretensão de extrapolar nossos resultados para além do
universo da pesquisa, uma vez que nossa amostra foi pequena. Mas, obtivemos
pistas significativas sobre o processo de ensino-aprendizagem do conteúdo. A
mais valiosa delas foi a de que o processo de construção dos conceitos básicos
da trigonometria, a exemplo da história, ganha força quando se inicia a partir da
resolução de problemas concretos, advindos da realidade, dirigindo-se para os
problemas formais, quando os conceitos ganham significados mais abstratos e
abrangentes.
OBJETIVO
O objetivo deste trabalho é investigar uma abordagem para o ensino
da trigonometria no triângulo retângulo, em que se pretende introduzir os
conceitos das razões trigonométricas - seno, co-seno e tangente - de maneira
significativa. (p. 2)
Questão de pesquisa:
... como abordar o conteúdo relativo à trigonometria do triângulo
retângulo (seno, co-seno e tangente) de forma a possibilitar que o aluno
comprenda seus conceitos? (p. 2)
METODOLOGIA
...Trabalharemos com duas turmas... . A primeira turma constituirá o
que passaremos a chamar de grupo de referência e a segunda, em que
aplicaremos a nossa seqüência de ensino, de grupo experimental. O grupo de
referência é composto por 32 alunos e o experimental por 24. ( p. 82)
No grupo de referência, a abordagem da trigonometria no triângulo
retângulo se dará na forma por nós considerada tradicional, tendo, inclusive, a
adoção de um livro didático. (p. 83)
135
Para o grupo experimental, a aplicação do experimento pelo
pesquisador[...] O experimento compreenderá um total de treze encontros, [...] e
os onze restantes para a seqüência de ensino. (p. 83)
Os dois grupos foram submetidos a dois testes individuais: um antes
(pré-teste) da introdução dos conceitos de razões trigonométricas e outro (pós-
teste) após terem tido contato com esse conteúdo. A análise dos resultados
envolveu duas etapas: análise quantitativa e a qualitativa dos instrumentos
diagnósticos. (Resumo)
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Ao desenvolver este trabalho, tivemos por base as idéias da
psicologia cognitiva de Vygotsky, Vergnaud e da didática francesa de Brousseau.
Isto significa dizer que o presente trabalho se apóia no pensamento sócio-
construtivista, em resoluções de problema e na teoria das situações,
respectivamente. (p.11)
PALAVRAS-CHAVE
Não constam
CONCLUSÔES
Transcrição das partes das conclusões propriamente ditas.
...entendemos que a seqüência de ensino, apoiada numa
abordagem socioconstrutivista, iniciando por situações-problema, a-didática,
apresentou resultados satisfatórios, tanto quantitativamente quanto
qualitativamente. Em nossa análise no capítulo V, observamos que o GE concluiu
a seqüência de ensino tendo, efetivamente, iniciado a formação do conceito das
razões trigonométricas, além de ter desenvolvido substancialmente a
competência na resolução de problemas. (p. 193)
136
Outro fato relevante foi o de que com somente 28 atividades, a
nossa seqüência de ensino desenvolvida no GE, juntamente com a metodologia
adotada, mostrou-se eficaz. (p. 195)
Sugestão de ensino:
Eventualmente questionamos se numa seqüência de ensino, que
está relacionada à sala de aula, não se poderia estar propondo algumas tarefas
para casa, para o aluno continuar pensando sobre trigonometria e não dar um
vácuo tão grande entre um encontro e outro. (p. 198)
Sugestões de pesquisa:
... num trabalho futuro, gostaríamos de questionar a validade da
tarefa. Uma eventual pesquisa poderia controlar isso, no sentido de trabalhar com
um grupo tendo atividade para casa e outro não, e avaliar o desenvolvimento
disso. (p. 198)
... a ênfase no conceito pode fazer o professor relevar - em nome da
construção do conhecimento - falhas de notação ou comunicação. Então o aluno
não se apropria dessa linguagem matemática como um todo e pesquisas futuras
poderiam se ater a esse fato. Será que um número maior de atividades e mais
tempo resolveriam esse problema? (p. 198)
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Das referências constantes da bibliografia, indico apenas aquelas que se
referem a autores citados no fichamento.
BROUSSEAU, G. Fondaments et Méthodes de la Didactique des Mathématiques.
Recherches en Didactique des Mathématiques (7.2) pp. 33-116. Grenoble.
1986
-------------------------Le contract didactique: le milieu. Recherches en Didactique des
Mathématiques (9.3) pp. 309-336. Grenoble. 1988
137
VERGNAUD, G. Problem Solving and Concept Development in Learning of
Mathematics. E. A. R. L. I...Second Meeting. Tübigen. September. 1987
---------------------La Théorie des Champs Conceptuels. RDM. vol. 10/2.3.p.133-170.
1990
----------------------Epistemology and Psicology in Mathematics Education em
Mathematics and Cognition. Nesher, P. e Kilpatrick, J. p. 2-17. Cambridge.
University Press. 1994
VYGOTSKY, Lev Semenovich. Pensamento e linguagem. São Paulo. Martins
Fontes. 1987
138
A dissertação de Luiz Roberto de Moura LINDEGGER foi defendida
em 23/10/2000. Participaram da banca examinadora: sua orientadora, Sandra M.
P. MAGINA (PUC/SP); Anna FRANCHI (PUC/SP) e Verônica G. G. FERREIRA
(UFPE).
Baseando-se em sua prática de professor e nas conversas com
colegas, LINDEGGER afirmou que:
Além desta observação, “sem nenhum cunho de cientificidade”
como ressalta o próprio LINDEGGER, os erros de notação e de conceito
despertaram também o seu interesse:
Esta narrativa contextualiza a execução da primeira atividade de
pesquisa do autor, que foi a identificação de um fenômeno de interesse.
Interessado na formação dos conceitos básicos da Trigonometria,
LINDEGGER buscou esclarecimento sobre o processo de formação dos
conceitos em VYGOTSKY (principalmente) e VERGNAUD; e, sobre a
“estruturação do conhecimento” em, BROUSSEAU.
ANÁLISE
... percebemos que os alunos se sentem “incomodados’ ao tratar de questões que
envolvam trigonometria, o que, normalmente acarreta uma rejeição ao conteúdo.
Acreditamos que essa rejeição esteja diretamente relacionada à falta de
compreensão dos conceitos trigonométricos básicos. (p. 4)
... foram essas observações, enquanto professor, que nos levaram a ter interesse em
pesquisar o assunto, para podermos entender justamente os porquês que, na sala de
aula, não tivemos condições de obter. (p. 7)
139
Verifica-se, portanto, que o autor relacionou o fenômeno de seu
interesse com as idéias de outros pesquisadores.
Tendo por hipótese que
LINDEGGER levantou a seguinte questão de pesquisa:
Para obter resposta a sua questão e validar sua hipótese ele definiu
como objetivo de pesquisa,
Para desenvolver esta investigação, LINDEGGER utilizou como
estratégia geral de pesquisa, um estudo comparativo entre o desempenho de um
grupo de alunos, considerado pelo autor, como referência, GR, e o grupo
experimental, GE, que foi aquele, que executou as atividades da seqüência
didática desenvolvida.
Os procedimentos específicos deste estudo foram: a aplicação de
um pré-teste aos dois grupos; a aplicação da seqüência didática ao grupo
experimental, para introdução dos conceitos de razões trigonométricas, enquanto
o grupo de referência teve a introdução a estes mesmos conceitos mediante aulas
tradicionais (“definições seguidas de exercícios”), conforme o programa
... o desenvolvimento de uma seqüência ensino criando situações-problema, a partir
de questões simples, contextualizadas, concretas. Tal ambiente servirá de facilitador
para a construção e a apropriação dos conceitos da trigonometria. (Resumo)
... investigar uma abordagem para o ensino da trigonometria no triângulo retângulo,
em que se pretende introduzir os conceitos das razões trigonométricas - seno, co-
seno e tangente - de maneira significativa. (p. 2)
... como abordar o conteúdo relativo à trigonometria do triângulo retângulo (seno, co-
seno e tangente) de forma a possibilitar que o aluno compreenda seus conceitos?
(p. 2)
140
estabelecido pela escola a que pertenciam. Após o desenvolvimento da
seqüência foi aplicado um pós-teste aos dois grupos.
Para a coleta de dados LINDEGGER trabalhou com duas turmas de
oitava série. O grupo GR com trinta e dois alunos, e o GE com vinte e quatro
alunos. A estes dois grupos foi aplicado um pré-teste, realizados individualmente
por aluno, com o objetivo de: “avaliar os conhecimentos anteriores a respeito de
trigonometria no triângulo retângulo” e “servir de parâmetro para avaliarmos, ao
final da seqüência, se ocorreu a construção dos conceitos pretendidos”.
Após a aplicação do pré-teste, para o GR foram ministradas quinze
horas/aula para o desenvolvimento do conteúdo programático (trigonometria no
triângulo retângulo), sem a participação e controle do pesquisador.
A aplicação da seqüência didática ao GE, teve vinte e nove
atividades realizadas em dezoito horas/aula de cinqüenta minutos cada. O próprio
autor coordenou a aplicação da seqüência didática que ocorreu em horário normal
de aula, tendo a professora da classe como observadora. Os alunos trabalharam
em grupos de três componentes.
Um pós-teste foi aplicado aos dois grupos, GR e GE, para verificar
se ocorreu a “aprendizagem dos conceitos” referentes às razões trigonométricas
no triângulo retângulo.
Feitas as análises dos desempenhos dos alunos no pós-teste em
comparação aos resultados do pré-teste, LINDEGGER relatou a sua interpretação
das informações coletadas.
...entendemos que a seqüência de ensino, apoiada numa abordagem
socioconstrutivista, iniciando por situações-problema, a - didática, apresentou
resultados satisfatórios, tanto quantitativamente quanto qualitativamente. Em nossa
análise no capítulo V, observamos que o GE concluiu a seqüência de ensino tendo,
efetivamente, iniciado a formação do conceito das razões trigonométricas, além de
ter desenvolvido substancialmente a competência na resolução de problemas. ... (p.
193)
141
Os trechos acima, sugerem que o autor encontrou uma forma de
abordar o conteúdo relativo à trigonometria, deparando assim, com resposta a
sua questão de pesquisa: como abordar o conteúdo relativo à trigonometria
do triângulo retângulo (seno, co-seno e tangente) de forma a possibilitar que
o aluno compreenda seus conceitos?
LINDEGGER fez as seguintes sugestões, de pesquisa:
e de ensino:
... num trabalho futuro, gostaríamos de questionar a validade da tarefa. Uma eventual
pesquisa poderia controlar isso, no sentido de trabalhar com um grupo tendo atividade para
casa e outro não, e avaliar o desenvolvimento disso. (p. 198)
... a ênfase no conceito pode fazer o professor relevar - em nome da construção do
conhecimento - falhas de notação ou comunicação. Então o aluno não se apropria dessa
linguagem matemática como um todo e pesquisas futuras poderiam se ater a esse fato.
Será que um número maior de atividades e mais tempo resolveriam esse problema? (p.
198)
Eventualmente questionamos se numa seqüência de ensino, que está relacionada à
sala de aula, não se poderia estar propondo algumas tarefas para casa, para o aluno
continuar pensando sobre trigonometria e não dar um vácuo tão grande entre um
encontro e outro. (p. 198)
Outro fato relevante foi o de que com somente 28 atividades, a nossa seqüência de
ensino desenvolvida no GE, juntamente com a metodologia adotada, mostrou-se
eficaz. (p. 195)
142
CAPÍTULO III: CONCLUSÃO
143
Neste capítulo relacionarei as análises feitas de cada dissertação com
a finalidade de captar os tipos de objetivos e metodologias privilegiados por esse
grupo de autores para categorizá-los.
Para facilitar a compreensão do leitor apresentarei antes de cada
estudo feito um quadro resumindo a atividade considerada.
COUTINHO SCHWARZ COSTA ROSA KARRER LIMA FREITAS PEROTTI CAMPOS LINDEGGER
Probabilidade Função Trigono
metria
Complexos Logaritmo Equação
3º grau
Sistemas
lineares
Equação
1º grau
Função
1º grau
Trigonometria
Quadro 1: Sobre o tema e/ou fenômeno de interesse
Com relação à localização da 1a atividade de pesquisa, esta busca
possibilitou-me evidenciar a predominância do tema “função”, pois o quadro
ressalta oito trabalhos ligados a esse tema, dois de trigonometria, função,
logaritmo, função de 1º grau, função de 3º grau, equação de 1º grau e de 3º grau
e sistemas lineares.
As análises elaboradas de cada uma das obras evidenciaram os
contextos em que emergiram as motivações dos autores. Em nove dos 10
trabalhos o fenômeno de interesse surgiu da prática docente de seus autores,
professores do ensino médio, motivados pelas dificuldades apresentadas por
seus alunos.
A leitura de cada análise do capitulo II, indica a ausência da
construção explícita de um modelo, conforme o descrito por ROMBERG.(p. 51)
144
Orient. Autores HENRY SFARD BROUSSEAU DOUADY DUVAL VERGNAUD PIAGET VYGOTSKY
COUTIN. X Tânia
PEROTTI X X
SCHWAR X Sílvia
FREITAS X X
COSTA X X X
KARRER X X X X X
Sandra
LINDEG. X X X
ROSA X X X Saddo
LIMA X X
Sônia CAMPOS X X
total 1 1 5 4 4 4 2 3
Quadro 2: Relacionar o fenômeno a idéias de outros (3ª atividade)
Todas as dissertações apresentaram referências teóricas e citaram
estudos relacionados ao mesmo tema da pesquisa, comprovando assim, a
interlocução com pesquisadores ligados ao tema. A teoria das situações de
Brousseau, foi a mais utilizada, tendo sido citada por cinco autores, isto é, metade
dos trabalhos basearam-se nesta teoria. Os trabalhos cujos conteúdos envolviam
algum tipo de representação gráfica, basearam-se também nas teorias do “jogo
de quadros” de DOUADY e dos “registros de representação semiótica” de
DUVAL, quatro utilizaram jogo de quadros e quatro utilizaram a teoria dos
registros de representação. VERGNAUD foi citado em quatro trabalhos, em três
por sua teoria sobre os campos conceituais e, em um, por seus estudos sobre
proporcionalidade. VYGOTSKY foi citado em três trabalhos, por sua teoria sobre a
ZDP, para justificar, principalmente, a opção do pesquisador de fazer os alunos
trabalharem em grupos durante o desenvolvimento da pesquisa. A teoria da
equilibração de PIAGET foi utilizada mais diretamente, em dois trabalhos.
Concluindo, é notável a influencia da Didática da Matemática francesa, das vinte e
seis referências, dezoito pertencem a esse ramo.
Na realidade, deve-se levar em conta a interlocução dos autores com
seus orientadores, que necessariamente deve tê-los influenciado. O quadro 2,
mostra quatro dos cinco orientadores, Tânia CAMPOS, Silvia MACHADO, Saddo
AG ALMOULOUD e Sonia IGLIORI, que tiveram forte influência de educadores
matemáticos franceses, em sua formação como pesquisadores, e/ou estudos
pós-doc. Além disso, a vinda de vários desses autores como, VERGNAUD,
DOUADY, DUVAL e Michel HENRY, propiciou a convivência e/ou discussão de
145
suas idéias com os mestrandos. Assim, justifica-se o maior número de referências
aos didatas franceses, estar associado a estes quatro orientadores. A associação,
do maior número de ocorrências para as teorias psicológicas de VERGNAUD,
PIAGET e VIGOTSKY, com a orientadora SANDRA é mais uma constatação de
que a formação dos orientadores exerceu influência sobre os mestrandos.
SANDRA tem formação em psicologia.
146
COUTINHO Investigar como se dá a aquisição dos primeiros conceitos de Probabilidade utilizando a
visão freqüentista.
SCHWARZ Verificar qual a concepção de função do aluno ao final do 2° grau
COSTA Pesquisaremos se uma mesma seqüência, constituída de atividades nos contextos do computador e do mundo experimental, aplicada a dois grupos de alunos, advindos de uma mesma população, sofre a influência da ordem de aplicação de tais contextos.
ROSA O objetivo deste trabalho é criar uma seqüência didática, ou seja, propor uma série de atividades, para que os alunos entrem em contato (conceito)* com os números complexos da maneira como eles surgiram na História, e também para que operem com esses números.
KARRER O objetivo deste trabalho consistiu em investigar se uma seqüência didática significativa para o ensino dos logaritmos, aliada ao uso da calculadora, favoreceria a formação deste conceito.
LIMA Nossa proposta é apresentar alguns métodos geométricos e algébricos de resolução de cúbicas, com o objetivo de levar os alunos a compará-los, compreendendo suas diferenças e vantagens.
FREITAS Defini como objetivo de minha pesquisa proceder a um diagnóstico sobre a interpretação que alunos do 2° grau dão às soluções de um sistema de equações lineares parametrizado.
PEROTTI O objetivo do nosso trabalho é a construção de uma seqüência didática que possibilite aos alunos a aprendizagem da equação da reta com ênfase no conceito de coeficiente angular, calculado pela taxa de variação.
CAMPOS Este trabalho visa realizar um estudo sobre as relações Matemática/Física pertinentes aos processos de ensino/aprendizagem, especificamente no que tange ao nível médio, referentes aos conteúdos específicos de cinemática escalar (Física) e (conceituação)* de funções (Matemática).
LINDEGGER O objetivo deste trabalho é investigar uma abordagem para o ensino da trigonometria no triângulo retângulo, em que se pretende introduzir os conceitos das razões trigonométricas - seno, co-seno e tangente - de maneira significativa.
Quadro 3: Objetivos
A identificação da atividade 4, fazer questões específicas ou fazer
uma conjectura argumentada, revelou que, todos os trabalhos continham a
descrição do objetivo da pesquisa, e em quatro destes trabalhos o pesquisador
explicitou, além do objetivo, suas questões de pesquisa, em forma de perguntas.
Embora, a forma como alguns objetivos foram redigidos nem sempre
deixasse clara a intenção do autor, a leitura integral da obra forneceu os devidos
esclarecimentos, que me possibilitaram perceber a intenção fundamental e de
* conceito e conceituação - termos incluídos por esta autora, para melhor esclarecimento do assunto.
147
quantificar como sete, os autores que demonstraram como principal preocupação,
a discussão da formação de conceitos matemáticos, uma obra, de COSTA,
objetivou verificar a influência da ordem de aplicação de dois contextos, a de
LIMA que visou a comparação entre métodos geométricos e algébricos e a de
FREITAS que visou identificar o significado dado, pelo aluno, a solução de
sistemas lineares. Assim, verifico que as obras podem ser divididas em quatro
categorias: formação de conceitos (7), comparação da ordem de aplicação de
contextos diferentes (1), comparação entre métodos geométricos e algébricos (1)
e significado dado a solução de sistemas (1).
Quanto à orientação temporal, das questões de pesquisa, baseada
em ROMBERG, concluo que dois dos estudos estavam orientados para o
presente porque visavam saber “qual o estatuto das coisas?” enquanto os outros
eram estudos prognósticos, orientados para o futuro, envolvendo a pergunta “o
que acontecerá se eu fizer o seguinte?”.
A predominância destes estudos, cujo foco está direcionado para
aprendizagem ou para o desenvolvimento do pensamento matemático, fez com
que eu situe esse conjunto de obras na categoria dos Estudos de natureza
cognitiva ou metacognitiva dos alunos, que coincide com um dos dois principais
focos temáticos encontrados por FIORENTINI (2002) em seu mapeamento.
148
Procedimentos
aplicação validação
Autores Estratégia
geral Pré-
teste
Analise
Prelim.
Analis
e
a
priori
seq quest
Analise
a posteriori
Pós
teste interna externa
COUTIN. Engenharia
Didática
x x x x x x x x
PEROTTI Engenharia
Didática *
x x x x x
SCHWARZ Engenharia
Didática *
x x x x x
FREITAS Engenharia
Didática
x x x x x x
COSTA Estudo
comparativo
x x x x x
KARRER Estudo
comparativo
x x x x x
LINDEG. Estudo
comparativo
x x x x x
ROSA Engenharia
Didática *
x x x x x
LIMA Engenharia
Didática *
x x x x x
CAMPOS Engenharia
Didática
x x x x x
Quadro 4: Selecionar uma estratégia geral e procedimentos específicos (ativ. 5 e 6)
Considerei que sete das dez dissertações utilizaram a metodologia da
Engenharia Didática. Isto porque, embora quatro desses trabalhos não tenham
declarado essa metodologia, parte deles ou todos os procedimentos adotados
coincidiam com procedimentos estabelecidos por essa metodologia de pesquisa.
Desses sete os de PEROTTI, SCHWARZ, FREITAS e CAMPOS, realizaram a
Engenharia completa, como esta foi especificada por Michele ARTIGUE (1988).
COUTINHO, ROSA e LIMA utilizaram alguns dos procedimentos desta
metodologia, sendo que os dois primeiros validaram suas pesquisas de forma
externa. Os três outros autores, todos orientados por Sandra MAGINA, utilizaram
como metodologia, o estudo comparativo, método consagrado nas pesquisas
psicológicas. Assim concluo que as obras estão divididas em duas categorias
segundo as metodologias adotadas: sete em Engenharia Didática e três em
Estudos Comparativos. * a estrela indica que os autores não declararam a metodologia utilizada
149
Entre os procedimentos específicos de coleta de dados houve
predominância da utilização de seqüências didáticas, oito trabalhos utilizaram
este procedimento como principal fonte de coleta de dados. Os outros trabalhos
foram pesquisas diagnósticas que utilizaram a aplicação de teste ou questionário
para coletar informações.
A coleta de dados, atividade 7, foi feita, pela maior parte (8) dos
pesquisadores, com alunos em situação de aprendizagem, seja em salas de aula
tradicionais ou em laboratórios.
As informações obtidas com a localização das atividades 5, 6 e 7
permitem colocar este conjunto de obras na categoria das experiências no ensino,
pois na maior parte das dissertações, cada um dos autores criou uma hipótese
em relação ao processo de aprendizagem de um determinado assunto,
desenvolveu uma estratégia para estimular a aprendizagem do aluno e testou a
eficácia desta estratégia. Nas dissertações em questão, esta estratégia consistiu
na elaboração e aplicação de uma seqüência didática. Diante destas
constatações sobre os métodos usados pelos pesquisadores pode-se inferir que
estas obras basearam-se no paradigma empírico-analítico. Segundo KILPATRICK
(1992), os métodos de tradição empírico-analítico dominaram a pesquisa
educacional, em sua maioria, no século XX. No mapeamento dos trabalhos do
GT-19, FIORENTINI identificou nos quatorze trabalhos apresentados ou
aprovados, oriundos da Universidade Federal de Pernambuco (UFPE), quatorze
estudos, e nos trabalhos da PUC/SP, nove estudos; “uma preferência pela
abordagem empírico-analítica de pesquisa.”
Para analisar e interpretar as informações coletadas a grande maioria
dos pesquisadores tabelou as informações (utilizaram números) mas esses
números não caracterizaram métodos puramente quantitativos, pois foram usados
para fundamentar as análises e interpretações das informações relevantes, que
indica a utilização do método qualitativo. Pode-se dizer então, que os autores
utilizaram métodos quanti-qualitativos.
150
Os autores, todos eles, concluíram ter atingido seus objetivos e/ou
responderam às suas questões de pesquisa. Assim chego a conclusão que a
metodologia, e/ou os procedimentos metodológicos adotados foram adequados à
coleta de dados requerida pelo fim visado, pois segundo ROMBERG, “A decisão
sobre que métodos usar segue diretamente das questões selecionadas”, ou seja
a decisão dos procedimentos adotados visa esclarecer as questões. Esclarecidas
as questões pode-se concluir que os procedimentos foram adequados.
É interessante notar que dos dez autores, quatro elaboraram questões
abertas, sugerindo pesquisas posteriores, enquanto todos os dez, apresentaram
ao menos uma sugestão de ensino. Este fato pode revelar a preocupação do
autor com a prática docente, pois como já realçado anteriormente nove deles
eram professores.
Como conclusão final afirmo que a principal característica do conjunto
das obras estudadas é a preocupação com a construção dos conceitos
matemáticos, por parte do aluno do ensino médio; em especial, do conceito de
função. Os esforços desses autores-professores em buscar soluções para as
dificuldades que seus alunos enfrentavam, indicam que este assunto é de difícil
compreensão para alunos desta faixa etária.
A Engenharia Didática, como metodologia de pesquisa, revelou-se a
preferida pelos autores. Diante das evidências apresentadas até aqui, fica clara,
para este conjunto de pesquisas, a associação entre os objetivos relativos ao
ensino e a aprendizagem de funções, com esta metodologia. Para este tipo de
questão, esta metodologia mostrou-se eficaz. Uma sugestão para pesquisas
futuras seria investigar se existe esta relação de adequação, de outros objetivos,
específicos de pesquisas em Educação Matemática, com esta mesma
metodologia.
Encerro este trabalho acreditando ter atingido o objetivo proposto de:
descrever, analisar e categorizar, segundo seus objetivos e metodologias de
pesquisa, as dissertações em Educação Matemática no Ensino Médio, produzidas
151
no Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática, da PUC/SP, no
período de 1994 a 2000.
Com a elaboração deste panorama acredito ter dado a minha
contribuição para o aprimoramento da produção discente do Programa de Pós-
Graduação em Educação Matemática, da PUC/SP.
152
BIBLIOGRAFIA
ADDA, Josette. A glance over the evolution of research in mathematics
education. Capítulo do livro: Mathematics Education as a Research Domain: A
Search for identity. Grã Bretanha. Ed. Kluwer Academic Publishers. 1998. p. 49 a
56
ANDRÉ, M. E. D. A. Pesquisa em Educação: buscando rigor e qualidade. Cadernos de pesquisa, n. 113. julho de 2001.
ARTIGUE, Michèle. Ingénierie Didactique. Capítulo do livro: Recherches en
Didactique des Mathématiques. Vol. 9 , n˚ 3, p. 281 a 307, 1988
BOOTH, W. C.; COLOMB, G. G.; WILLIAMS, J. M. A ARTE DA PESQUISA. 1a
edição. São Paulo. ed. Martins Fontes. 2000.
CAMPOS, Celso Ribeiro. O ensino da Matemática numa perspectiva
integracionista. São Paulo, 2000. 139 f. Dissertação (Mestrado em Educação
Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo.
CELESTINO, Marcos Roberto. As pesquisas em educação matemática. In:
Ensino-aprendizagem da álgebra linear - as pesquisas brasileiras da década
de 90. São Paulo, 2000. p. 17 a 35. Dissertação (Mestrado em Educação
Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo.
COSTA, Nielce Meneguelo Lobo da. Funções seno e cosseno: Uma seqüência
de ensino a partir dos contextos do "Mundo experimental" e do
Computador. São Paulo,1997. 179 f. Dissertação (Mestrado em Ensino da
Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
COUTINHO, Cileda de Queiroz e Silva. Introdução ao conceito de
probabilidade por uma visão freqüentista. Estudo Epistemológico e
BIBLIOGRAFIA
153
Didático. São Paulo, 1994. 151 f. Dissertação (Mestrado em Matemática).
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo.
FIORENTINI, Dario. Tendências temáticas e metodológicas da pesquisa em
Educação Matemática no Brasil. Artigo publicado nos anais do I Encontro Paulista
de Educação Matemática. 1989. p. 186 a 193.
----- Mapeamento e Balanço dos trabalhos do GT-19 (EDUCAÇÃO MATEMÁTICA) no período de 1998 a 2001. Caxambú. 25a ANPED. 2002. Disponível em: http://www.anped.org.br/25/encomendados/mapeamentobalancogt19.doc
FREITAS, Ivete Mendes e. Resolução de sistemas lineares parametrizados e
seu significado para o aluno. São Paulo, 1999. 79 f. Dissertação (Mestrado:
Ensino da Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo.
GODINO, Juan D.; BATANERO, Carmem. Carifying the meaning of mathematical
objects as a priority area for research in Mathematics Education.
Artigo do livro: Mathematics Education as a Research Domain: A Search for
identity. Grã Bretanha . Ed. Kluwer Academic Publishers. 1998. pp. 177 a 195.
KARRER, Mônica. Logaritmos: proposta de uma seqüência de ensino
utilizando a calculadora. São Paulo, 1999. 191 f. Dissertação (Mestrado em
Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo.
KILPATRICK, J. Research on mathematical learning and thinking in the United
States. Artigo do livro: Recherches em Didactique des Mathématiques. University
of Georgia. 1981. Vol 2, n˚ 3. p. 363 a 379.
----- . A History of research in mathematics education. Artigo do livro: Handbook of
research on mathematics teaching and learning. University of Georgia. Edited by
Douglas A. Grouws. Ed. Macmillan. 1992. p. 3 a 38
154
LAVILLE, Christian; DIONNE, Jean. Problema e Problemática. Capítulo 4 do
livro: A construção do saber - Manual de metodologia da pesquisa em ciências
humanas. Porto Alegre. Ed. UFMG e Artmed. 1999. p. 85 a 102.
LEDER, Gilah C. The aims of research. Artigo do livro: Mathematics Education as
a Research Domain: A Search for identity. Grã Bretanha. Ed. Kluwer Academic
Publishers. 1998. p. 131 a 139.
LIMA, Rosa Nogueira de. Resolução de equações de terceiro grau através de
cônicas. São Paulo, 1999. 113 f. Dissertação (Mestrado em Educação
Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo.
LINDEGGER, Luiz Roberto de Moura. Construindo os conceitos básicos da
trigonometria no triângulo retângulo: uma proposta a partir da manipulação
de modelos. São Paulo, 2000. 204 f. Dissertação (Mestrado em Educação
Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
NISS, Mogens. Aspects of the nature and state of research in mathematics
education. Artigo publicado no livro: Research in Mathematics Education. 1999.
p.1-24.
PEROTTI, Alberto Ramos. O Estudo da reta a partir das grandezas
diretamente proporcionais: uma proposta alternativa de ensino. São Paulo,
1999. 134 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo.
ROMBERG, Thomas A. Perspectives on scholarship and research methods.
Artigo publicado no livro: Handbook of research on mathematics teaching and
learning. University of Wiscosin. Edited by Douglas A. Grouws. Ed. Macmillan.
1992. p. 49 a 64.
ROSA, Mario Servelli. Números Complexos: uma abordagem histórica para
aquisição do conceito. São Paulo, 1998. 179 f. Dissertação (Mestrado em
Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo.
155
SACRISTÁN, J. Gimeno; GÓMEZ, A, I. Pérez. Compreender o ensino na escola:
modelos metodológicos de investigação educativa. Capítulo 5 do livro:
Compreender e transformar o ensino. 4. ed. Porto Alegre: Artmed, 2000. p. 98 a
117
SCHWARZ, Osmar. Sobre as concepções de função dos alunos ao término
do 2°°°° grau. São Paulo, 1995. 161 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de
Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
156
ANEXOS: MODELOS DAS FICHAS
157
Modelo-1 (produzido por Silvia Machado)
1ª página
Nome do que será feito: fichamento de capítulo de livro, fichamento de livro ou
fichamento de artigo de revista especializada.
Identificação do texto:
Autor
Título do texto. (se for capítulo de livro expor organizador ou editor do livro e o
titulo do livro)
Número de páginas. (se for capítulo de livro expor o número de páginas do livro)
Ano da publicação.
Resumo (descrever com suas palavras)
Palavras chaves. (se não aparecer no texto colocar sua indicação)
2ª página
Qual a questão de pesquisa?
Qual o objetivo da pesquisa?
Qual o método da pesquisa? (se não aparecer no texto colocar sua indicação)
Qual o referencial teórico da pesquisa?
Quais as conclusões da pesquisa? (descrever com suas palavras)
Indicar outro ou outros escritos do mesmo autor do texto, situar o texto em relação
a um outro texto do mesmo autor.
Indicar um ou mais autores de textos semelhantes, situar o texto em relação a
esse(s) outro(s) texto(s).
158
Modelo-2 (produzido pelo grupo)
Autor
Titulo do texto
Número de páginas
Ano de defesa
Orientador (a)
Resumo (com suas palavras)
Palavras chave (se não aparecer no texto colocar sua indicação)
Objetivo
Metodologia (se não aparecer no texto colocar sua indicação)
Referencial Teórico
Conclusão (com suas palavras)
Observação (o que é relevante)
159
Modelo-3
1) Fichamento da dissertação (identificar o título da dissertação).
2) Autora.
3) Ano de defesa.
4) Número de páginas.
5) Orientador.
6) Resumo (escrito pelo autor da dissertação).
7) Objetivo (escrever e localizar de acordo com a dissertação).
8) Metodologia (escrever e localizar de acordo com a dissertação).
9) Fundamentação Teórica (escrever e localizar de acordo com a dissertação).
10) Palavras-chave (escrever quando aparecer na dissertação).
11) Conclusão (transcrição das partes da conclusão que respondem o objetivo
proposto).
12) Referências bibliográficas (indicar aquelas que se referem a autores citados no
fichamento)
160
Modelo-4
1) Fichamento da dissertação (identificar o título da dissertação).
2) Autora.
3) Ano de defesa.
4) Número de páginas.
5) Orientador.
6) Resumo (escrito pelo autor da dissertação).
7) Objetivo (escrever e localizar de acordo com a dissertação).
8) Metodologia (escrever e localizar de acordo com a dissertação).
9) Fundamentação Teórica (escrever e localizar de acordo com a dissertação).
10) Palavras-chave (escrever quando aparecer na dissertação).
11) Conclusão (transcrição das partes da conclusão que respondem o objetivo
proposto).
12) Sugestões de ensino e/ou sugestões de pesquisa
13) Referências bibliográficas (indicar aquelas que se referem a autores citados no
fichamento)