Universidade de Lisboa

A argumentação matemática dos alunos do 9.º ano de escolaridade no

estudo da Circunferência

Carolina Beatriz De Costa Rebelo E Da Costa Rodrigues

Mestrado em Ensino de Matemática

Relatório da Prática de Ensino Supervisionada orientado pela Professora Doutora Ana

Cláudia Correia Batalha Henriques e coorientado pelo Professor Doutor Pedro Jorge

Santos Freitas

2018

Universidade de Lisboa

A argumentação matemática dos alunos do 9.º ano de escolaridade no

estudo da Circunferência

Carolina Beatriz De Costa Rebelo E Da Costa Rodrigues

Mestrado em Ensino de Matemática

Relatório da Prática de Ensino Supervisionada orientado pela Professora Doutora Ana

Cláudia Correia Batalha Henriques e coorientado pelo Professor Doutor Pedro Jorge

Santos Freitas

2018

i

Agradecimentos

Começo por agradecer ao Professor Paulo Alvega por me “emprestar” a sua

turma no decorrer deste ano letivo e pelos conselhos e experiência partilhada, que

permitiram a escrita e desenvolvimento deste trabalho.

À turma na qual desenvolvi a minha intervenção, por uma primeira experiência

de ensino tão rica e especial como a que me proporcionaram.

À Professora Ana Henriques, minha orientadora, pela cordialidade, simpatia,

preocupação, dedicação e modo como me orientou e aconselhou no desenvolvimento

deste trabalho. Obrigada pelas valiosas contribuições e sugestões, que me motivaram

a superar as minhas dificuldades e a redigir o trabalho aqui apresentado. Um especial

agradecimento pelas palavras de apoio e incentivo, que me permitiram encarar este

trabalho com a seriedade necessária, mas sem me esquecer de ter uma atitude positiva

face ao mesmo.

Ao Professor Pedro Freitas, meu coorientador, pela simpatia e cordialidade

com que sempre me recebeu, o interesse e apoio na orientação deste trabalho, assim

como as sugestões e comentários pertinentes, que me permitiram ter como base de

ensino um contexto matemático coeso e sem erros de formalidade.

À professora Hélia Oliveira e ao professor Henrique Guimarães, meus

professores neste ciclo de estudos, pela experiência partilhada e contribuição para o

meu bom desempenho no decorrer do mesmo. Um especial agradecimento pelos

conselhos e palavras de incentivo, face às adversidades encontradas.

Aos meus pais, irmão e irmã, pelo amor incondicional que sempre mostraram

nutrir por mim. Em particular, um especial agradecimento à minha mãe que, sem nunca

hesitar, reuniu todas as condições necessárias para que eu pudesse concretizar o meu

sonho de infância, por vezes em detrimento próprio. Obrigada por me teres ajudado a

erguer em todos os momentos de fraqueza e hesitação e por fazeres parte, com a boa

disposição que te é caraterística, de todas as aventuras a que me proponho.

Às minhas colegas de mestrado e aos colegas do Mestrado em Ensino de

Biologia e Geologia e Mestrado em Ensino de Físico-Química, pelo companheirismo

no decorrer deste ciclo de estudos, amizade e experiências partilhadas. Um especial

agradecimento à minha colega Dulce Matias pelo companheirismo, amizade e apoio

demonstrados.

ii

À Marlène Cavaleira, minha amiga, por acreditar nas minhas capacidades

enquanto professora, me incentivar em tudo aquilo a que me proponho

profissionalmente e me mostrar, todos os dias, que ser professor é a profissão mais

gratificante que existe.

Ao Rúben Simões, pelo companheirismo, amizade e amor incondicionais

demonstrados ao longo deste ciclo de estudos e em todos os momentos por nós

partilhados. Obrigada por todas as palavras de carinho, apoio e compreensão.

A todos os professores que comigo se cruzaram e, de uma maneira ou de outra,

me inspiraram a sê-lo.

Por último, ao Vasco Manuel Moreira, meu antigo professor e grande amigo, a

quem dedico este trabalho. Fica a promessa de honrar a tua memória, tentando ser tão

boa professora como aquele que me mostraste ser durante os poucos anos em que os

nossos caminhos se cruzaram. Fica a eterna lembrança da amizade, apoio

incondicional e afeto que perpetuaram o caminho até então.

iii

Resumo

O estudo aqui apresentado foi realizado no âmbito da Prática de Ensino

Supervisionada, no ano letivo 2017/2018, tendo tido como base a lecionação de um

conjunto de nove aulas (6 aulas de 50 minutos e 3 aulas de 100 minutos), a uma turma

do 9.º ano de escolaridade, na disciplina de Matemática.

Este estudo tem como objetivo caracterizar a argumentação matemática dos

alunos de 9.º ano, na realização de tarefas propostas no âmbito da unidade de ensino

propriedades dos ângulos, cordas e arcos definidos numa circunferência. Em

particular, pretende-se analisar: (a) Que processos argumentativos são utilizados pelos

alunos na realização das tarefas propostas e quais as suas características. Quais as

dificuldades que evidenciam na utilização desses processos argumentativos e (b) Que

conhecimentos matemáticos são mobilizados pelos alunos nas suas argumentações e

quais as dificuldades que evidenciam na mobilização desses conhecimentos.

O estudo seguiu uma metodologia qualitativa e interpretativa a recolha de

dados fez-se através de: (a) observação participante das aulas lecionadas, com registo

áudio e vídeo; (b) recolha documental das produções escritas dos alunos na resolução

das tarefas; e (c) entrevistas semiestruturadas, realizadas individualmente a cinco

alunos da turma.

A análise dos dados sugere que os alunos se envolvem satisfatoriamente nos

processos de explicação e justificação, embora inicialmente só o concretizam quando

pedido explicitamente. No entanto, apresentam dificuldades ao nível da produção de

demonstrações, e compreensão das mesmas, pelo que consideram que o caso geral

pode ser obtido empiricamente. As dificuldades evidenciadas incidem,

essencialmente, na comunicação matemática e na falta de rigor e coesão com que

apresentam as suas ideias.

Os alunos mobilizaram diferentes conhecimentos geométricos, prévios e

adquiridos durante a lecionação da unidade, mas evidenciam falta de apropriação e

compreensão do vocabulário próprio da Geometria, o que provoca dificuldades ao

nível da argumentação.

Palavras-chave: argumentação matemática, processos argumentativos, dificuldades

dos alunos, Geometria, Ensino básico.

iv

v

Abstract

This study was conducted as a supervised teaching practice report, as a part of

my masters degree in Mathmeatics Teacher Education. The study took place during

the scholar year of 2017/2018, based on a set of nine lessons (six lessons of fifty

minutes and three lessons of one hundred minutes), in a 9th grade mathematics class.

The aim of this study was to characterize 9th grade students mathematical

argumentation, when solving tasks involving the geometrical unit: properties of

angles, strings and arcs defined on a circumference. In particular, I intended to

analyse: (a) which argumentative processes do students use, when solving proposed

tasks, and their characteristics. More specifically, which difficulties do they show

when using those processes and (b) which prior knowledge do students use in their

argumentations and which difificulties do they show when using that knowledge.

This study was conducted as a qualitative and interpretative approach and data

collection included: (a) direct observation, (b) written documents produced by students

and (c) five semi-structured interviews.

The results suggest that students produce explanations and justifications

satisfactorily, although they only did it initially when explicity requested. However,

they have difficulties producing proofs, and understanding them, as it is shown that

they seem to believe that the validity of an affirmation can be concluded empirically.

The difficulties that they show affect, mostly, in mathematical communication and

lack of rigor and cohesion with which they present their ideas.

Students mobilize different geometrical knowledge, acquired during the

teaching intervention and from other school years. They use this knowledge to argue

using geometrical procedures. However, it seems that they lack of geometrical

vocabulary understanding, and appropriation, which causes difficulties in using

argumetation processes.

Keywords: mathematical argumentation, argumentative processes, students

difficulties, Geometry, middle school.

vi

vii

Índice

Agradecimentos ............................................................................................... i

Resumo ........................................................................................................... iii

Abstract ........................................................................................................... v

Índice de Tabelas ............................................................................................ x

Índice de Figuras ........................................................................................... xi

1. Introdução ................................................................................................... 1

1.1. Relevância do estudo e motivações pessoais ........................................ 1

1.2. Objetivo e questões de estudo .............................................................. 4

1.3. Organização do estudo.......................................................................... 4

2. Enquadramento teórico ............................................................................. 5

2.1. A argumentação em Matemática .......................................................... 5

2.1.1. Perspetivas de argumentação ......................................................... 5

2.1.2. Dimensões da argumentação .......................................................... 8

2.1.3. Modelos de argumentação comuns ................................................ 9

2.1.3.1. O modelo de argumentação de Toulmin ................................. 9

2.1.3.2. O modelo de argumentação de Perelman .............................. 13

2.1.3.3. Seleção e ordenação de argumentos ...................................... 15

2.1.4. A argumentação na aula de Matemática....................................... 17

2.1.4.1. Significado de argumentar em Matemática ........................... 17

2.1.4.2. Argumentar, explicar e justificar ........................................... 17

2.1.4.3. A argumentação e a demonstração matemática ..................... 18

2.1.4.4. Dificuldades evidenciadas pelos alunos em argumentar ....... 20

2.1.4.5. O papel do professor na promoção da argumentação em sala de

aula ..................................................................................................... 22

2.2. A Geometria ....................................................................................... 24

2.2.1. A Geometria nos documentos curriculares .................................. 24

viii

2.2.2. A aprendizagem da Geometria e as dificuldades dos alunos ....... 25

2.2.2.1. Visualização espacial............................................................. 26

2.2.2.2. Dificuldades dos alunos ......................................................... 27

3. A Unidade de Ensino ................................................................................ 31

3.1. Contexto Escolar ................................................................................ 31

3.1.1. Caraterização da Escola................................................................ 31

3.1.2. Caraterização da turma ................................................................. 32

3.2. Ancoragem e Organização da Unidade de Ensino ............................. 34

3.2.1. A Circunferência no Programa do Ensino Básico ........................ 34

3.2.2. Planificação das atividades desenvolvidas em aula ..................... 37

3.3. Conceitos Matemáticos....................................................................... 38

3.4. Estratégias de ensino .......................................................................... 50

3.5. Tarefas ................................................................................................ 56

3.6. Avaliação ............................................................................................ 64

3.7. Descrição da intervenção letiva .......................................................... 65

4. Métodos e procedimentos de recolha de dados ...................................... 85

4.1. Opções metodológicas gerais ............................................................. 85

4.2. Participantes no estudo ....................................................................... 86

4.3. Métodos de recolha de dados ............................................................. 87

4.4. Análise de dados ................................................................................. 89

4.5. Questões éticas ................................................................................... 90

5. Análise de dados ....................................................................................... 91

6. Conclusões ............................................................................................... 129

6.1. Síntese do estudo .............................................................................. 129

6.2. Principais conclusões ........................................................................ 130

6.3. Reflexão final ................................................................................... 135

7. Referências Bibliográficas ..................................................................... 139

ix

x

Índice de Tabelas

Tabela 1 – Planificação das atividades (parte 1 de 2) ................................... 37

Tabela 2 – Planificação das atividades (parte 2 de 2) ................................... 38

xi

Índice de Figuras

Figura 1- Representação elementar do modelo de argumentação de Toulmin

(adaptado de Gil e Martinho, 2014) ............................................................... 10

Figura 2 - Modelo de análise do micro argumento proposto por Toulmin

(retirado de Gil e Martinho, 2014, p.320) ...................................................... 11

Figura 3 - Tipologia de argumentos segundo Perleman (Grácio, 2010) ....... 14

Figura 4 – Classificações dos alunos a Matemática no final do 1.º período do

ano letivo 2017/2018 ...................................................................................... 33

Figura 5 – Figura de apoio à demonstração I ................................................ 41

Figura 6 – Figura de apoio à demonstração I ................................................ 41

Figura 7 – Figura de apoio à demonstração II ............................................... 42

Figura 8 – Figura de apoio à demonstração III ............................................. 43

Figura 9 – Figura de apoio à demonstração IV ............................................. 44

Figura 10 – Figura de apoio à demonstração IV ........................................... 44

Figura 11 – Figura de apoio à demonstração IV ........................................... 45

Figura 12 – Figura de apoio à demonstração V ............................................ 45

Figura 13 – Figura de apoio à demonstração VII .......................................... 46

Figura 14 – Figura de apoio à demonstração VIII ........................................ 46

Figura 15 – Figura de apoio à demonstração IX ........................................... 47

Figura 16 – Figura de apoio à demonstração X ........................................... 48

Figura 17 – Figura de apoio à demonstração X ........................................... 48

Figura 18- Figura de apoio à demonstração XI ............................................. 49

Figura 19- Exemplo de resolução da questão 2.1. da tarefa " Ângulo ao centro

e ângulo inscrito ", pelo par de alunos Aluno A - Aluno B. .......................... 92

Figura 20 - Exemplo de resolução da questão 2.2. da tarefa “Ângulo ao centro

e ângulo inscrito", pelo par de alunos Aluno E - Aluno F. ............................ 93

Figura 21 – Conjetura apresentada pelo par de alunos Aluno E – Aluno F.

Questão 2.3. da tarefa “Ângulo ao centro e ângulo ao inscrito”. ................... 96

Figura 22 – Exemplo de resolução da questão 3.1. da tarefa “Ângulo ao centro

e ângulo inscrito”, pelo par de alunos Aluno I - Aluno J. .............................. 97

Figura 23 – Exemplo de resolução da questão 3.1. da tarefa “Ângulo ao centro

e ângulo inscrito”, pelo par de alunos Aluno I - Aluno J. .............................. 98

xii

Figura 24 – Resolução da alínea b) da questão 1, da tarefa "Propriedades sobre

os Ângulos", pelo par Aluno E - Aluno F. ................................................... 101

Figura 25 - Conjetura apresentada pelo par de alunos Aluno A – Aluno B.

Questão 1.2. da tarefa “Ângulo de segmento”. ............................................ 105

Figura 26 - Conjetura apresentada pelo par de alunos Aluno M - Aluno N.

Questão 1.2. da tarefa "Ângulo de segmento". ............................................. 105

Figura 27 – Exemplo de resolução da alínea 1.1. da tarefa “Ângulo ex-

inscrito”, pelo par de alunos Aluno A – Aluno B. ....................................... 108

Figura 28 – Exemplo de resolução da questão 1.1. da tarefa “Ângulos internos

e externos de polígonos”, pelo par de alunos Aluno C - Aluno D. .............. 109

Figura 29 – Exemplo de resolução da questão 1.3. da tarefa “Ângulos internos

e externos de polígonos”, pelo par de alunos Aluno C – Aluno D............... 110

Figura 30 – Casos estudados por um par de alunos da turma para formular uma

conjetura, na questão 2.1. da tarefa “Ângulos internos e externos de polígonos”

(Aluno K e Aluno L). ................................................................................... 111

Figura 31 – Proposta de resolução, elaborada pelo Aluno J, da questão 2.2. da

tarefa “Ângulos internos e externos de polígonos”, utilizando uma expressão

algébrica. ...................................................................................................... 113

Figura 32 - Exemplo de resolução do problema 1 da tarefa " Problemas

geométricos”, pelo par de alunos Aluno F – Aluno I ................................... 119

Figura 33 – Exemplo de resolução do problema 1 da tarefa “Problemas

geométricos”, pelo par de alunos Aluno G – Aluno H. ................................ 120

Figura 34 - Exemplo de resolução do problema 2.1. da tarefa " Problemas

geométricos", pelo par de alunos Aluno A – Aluno C. ................................ 121

Figura 35 – Exemplo de resolução do problema 2.2. da tarefa “Problemas

geométricos”, pelo par de alunos Aluno M – Aluno N. ............................... 121

Figura 36 – Exemplo de resolução (incorreta) do problema 1 da tarefa

“Problemas envolvendo polígonos inscritos numa circunferência”, pelo par de

alunos Aluno C - Aluno D. ........................................................................... 123

Figura 37 – Exemplo de resolução do problema 1 da tarefa “Problemas

envolvendo polígonos inscritos numa circunferência”, pelo par de alunos

Aluno E – Aluno F. ...................................................................................... 125

Figura 38 – Resolução da questão 2 da tarefa “ficha de trabalho para casa”,

pelo Aluno I .................................................................................................. 127

xiii

Figura 39 – Resolução da questão 2 da tarefa “Ficha de trabalho para casa”,

pelo Aluno Q. ............................................................................................... 128

1. Introdução

O presente relatório refere-se à Prática de Ensino Supervisionada, realizada no

âmbito do Mestrado em Ensino de Matemática, na Escola Secundária Padre Alberto

Neto, em Queluz-Belas, numa turma do 9.º ano de escolaridade, no 2.º período do ano

letivo 2017/2018.

Em relação à intervenção letiva, esta desenrolou-se por um período de nove

aulas (3 aulas de 100 minutos e 6 aulas de 50 minutos), com início a 16 de fevereiro e

término a 09 de março, e tendo por base a subunidade da Geometria: propriedades dos

ângulos, cordas e arcos definidos numa circunferência.

1.1. Relevância do estudo e motivações pessoais

A Geometria é um tema que, ao longo das sucessivas reformulações dos

programas curriculares, continua a ter uma forte presença no ensino da Matemática,

dada a sua importância para a aprendizagem dos alunos. De facto, a aprendizagem da

Geometria proporciona ao aluno uma forma de este adquirir intuição e orientação

espacial, cruciais para a vivência no mundo moderno – através da Geometria podemos

estudar as formas, estruturas e simetrias do Mundo que nos rodeia (Gutiérrez & Jaime,

2011). A importância da Geometria no currículo emerge, essencialmente, das

oportunidades de aprendizagem que esta proporciona, favorecendo o desenvolvimento

de capacidades transversais, como a visualização espacial, o raciocínio e a

argumentação matemática (NCTM, 2008).

A expressão argumentação matemática é usada neste estudo para designar um

meio através do qual os alunos explicitam raciocínios de caráter justificativo,

explicativo e demonstrativo na realização de tarefas na sala de aula de Matemática,

destinando-se a convencê-los a aceitar ou rejeitar ideias matemáticas (Boavida, 2005).

De acordo com o programa de Matemática do Ensino Básico (MEC, 2013a),

ao nível do raciocínio matemático deve ser desenvolvida nos alunos a capacidade de

argumentação apoiada em procedimentos, propriedades e conceitos matemáticos.

Segundo Yackel & Hanna (2003), a ênfase no raciocínio matemático em todos os

níveis de escolaridade atrai a atenção para a argumentação matemática: nas aulas nas

quais se valoriza o raciocínio matemático, a argumentação torna-se um aspeto chave

da atividade desenvolvida pelos alunos.

2

Esta ideia é igualmente defendida por Boavida, Paiva, Cebola, Vale e Pimentel

(2008):

Conceder, na sala de aula, um lugar de destaque à argumentação em

Matemática está intimamente associado à importância de os alunos

desenvolverem a capacidade de raciocinar matematicamente (…) e de

aprenderem Matemática com compreensão. (p.81)

Uma aula onde existam hábitos de argumentação sobre determinado raciocínio

permite aos alunos construírem argumentos que lhes possibilitam a defesa das suas

ideias, a análise crítica das ideias dos colegas e a discussão da sua legitimidade

matemática (Boavida, 2005; Lopes, 2010). A argumentação identifica-se, assim, como

uma parte integrante do raciocínio, desempenhando um papel fundamental da

aprendizagem matemática (Boavida, Gomes & Machado, 2002; Simãozinho, 2014).

O estudo da argumentação como parte integrante da Educação Matemática e

o aumento dos trabalhos de investigação nesta área está relacionado com a importância

que o processo social tem na aprendizagem matemática e, também, no facto de a

linguagem natural, mais do que a formal, ser a base do conhecimento e comunicação

humana (Duval, 1999). Em particular, o valor da argumentação nas aulas de

Matemática surge não só associado à justificação e explicação como formas de

convencer os outros, mas também à discussão e avaliação das diferentes ideias que são

expressas em sala de aula, mediante a realização das tarefas propostas (Gil e Martinho,

2014).

Portanto, são vários os documentos no âmbito da investigação em Matemática

que têm vindo, ao longo dos anos, a destacar a importância e a necessidade de se

envolver os alunos em atividades que promovam a argumentação, nas quais estes

tenham de fundamentar e explicar raciocínios e em que “a descoberta do porquê de

determinados resultados ou situações, a formulação, teste e prova de conjeturas”

assumam um papel de destaque (Boavida, Paiva, Cebola, Vale & Pimentel, 2008,

p.84). Quando um aluno expõe uma ideia à restante turma, os colegas podem sentir a

necessidade de argumentar a favor ou contra, ou apenas melhorar as ideias

apresentadas, gerando-se assim um diálogo argumentativo (Ponte, Boavida, Graça &

Abrantes, 1997). A partir deste diálogo, o professor pode estabelecer uma ligação entre

a cultura dos alunos, a cultura escolar e a cultura científica, enfatizando os argumentos

que são baseados em justificações e evidências (Vieira & Nascimento, 2009), típicos

da Matemática.

3

Wood (1999) salienta que ao envolver os alunos em atividades de

argumentação, estes desenvolvem também a capacidade de comunicar, aprendendo a

saber quando e como devem participar. Esta ideia é igualmente defendida por Vincent,

Chick e McCrae (2005) que sublinham que o envolvimento dos alunos na

argumentação potencia não só o seu conhecimento, mas também a sua capacidade

reflexiva.

Reconhecida a sua importância, o desenvolvimento da capacidade de

argumentação como forma de reforçar a autonomia nos alunos tornou-se um assunto

discutido pela comunidade de educadores matemáticos, na última década. Para

desenvolver o potencial argumentativo é essencial que, em sala de aula, se

implementem atividades que permitam estimular a argumentação, através de processos

de justificação e explicação de métodos, procedimentos e raciocínios (Douek & Pichat,

2003). No entanto, esta habilidade não tem sido, de um modo geral, suficientemente

desenvolvida em sala de aula (Boavida, 2005), sendo que, por norma, cabe ao

professor transmitir os conhecimentos e resultados, a fim de posteriormente aplicar e

corrigir um conjunto de exercícios sobre o tema que foi abordado. Este modelo de

ensino-aprendizagem causa no professor a falsa impressão de que o aluno sabe

Matemática, não cumprindo a sua função em desenvolver o raciocínio do mesmo

(Imenes, 1997, p.57).

Da minha experiência pessoal, também noto que a argumentação é uma

capacidade ainda pouco desenvolvida em sala de aula, pelo que os alunos mostram ter

alguma dificuldade em conseguir transmitir as justificações e explicações dos seus

raciocínios, mesmo quando corretos. Uma vez que a Geometria é propícia ao

desenvolvimento da capacidade de argumentação, e tendo em conta a sua importância

para a aprendizagem, senti um particular interesse em estudar esta temática, sobretudo

como um meio de contribuição para a minha prática letiva futura. Em particular, creio

que este estudo me permitiu refletir sobre de que forma posso ajudar os alunos a

superar as dificuldades detetadas, construindo em sala de aula uma cultura de

argumentação que beneficie a aprendizagem de conceitos matemáticos essenciais para

o sucesso à disciplina.

4

1.2. Objetivo e questões de estudo

Dada a importância da argumentação, referida acima, as minhas motivações

pessoais e tendo em conta o tópico matemático abordado durante a intervenção letiva,

este estudo tem por objetivo caracterizar a argumentação matemática dos alunos de 9.º

ano, na realização de tarefas propostas no âmbito da unidade de ensino propriedades

dos ângulos, cordas e arcos definidos numa circunferência.

Com vista a responder a este objetivo, foram formuladas as seguintes questões

de investigação:

1. Que processos argumentativos são utilizados pelos alunos na realização das

tarefas propostas e quais as suas características? Quais as dificuldades que

evidenciam na utilização desses processos argumentativos?

2. Que conhecimentos matemáticos são mobilizados pelos alunos nas suas

argumentações? Em particular, quais as dificuldades que evidenciam na

mobilização desses conhecimentos?

1.3. Organização do estudo

Este relatório estrutura-se ao longo de seis capítulos. O primeiro capítulo é uma

introdução à problemática do estudo, onde apresento a sua pertinência bem como o

objetivo e questões de investigação do mesmo. O segundo capítulo diz respeito ao

enquadramento teórico da problemática estudada, sendo abordados os temas:

Argumentação em Matemática e Geometria. O terceiro capítulo é dedicado à

apresentação da unidade curricular lecionada, sendo apresentado o contexto escolar no

qual decorreu o estudo e a ancoragem da unidade de ensino no programa de

matemática vigente. Na unidade curricular constam também os conceitos abordados

durante a lecionação, as estratégias de ensino e as tarefas adotadas, a avaliação das

aprendizagens e uma descrição sucinta da intervenção letiva. No quarto capítulo são

apresentadas as principais opções metodológicas, os participantes no estudo, os

métodos de recolha e análise de dados e as questões éticas envolvidas no estudo. O

quinto capítulo apresenta a análise dos dados recolhidos, tendo por base a problemática

definida, o objetivo e questões de estudo. Por fim, no sexto capítulo, apresento as

conclusões do estudo e uma reflexão pessoal, onde são discutidos os principais

resultados e, ainda, as limitações do estudo, as dificuldades encontradas na sua

realização e sugestões para possíveis investigações futuras.

5

2. Enquadramento teórico

Neste capítulo apresento o enquadramento da problemática estudada tendo

como base orientações curriculares e literatura de referência das áreas da

argumentação em Matemática e da Geometria.

Este capítulo encontra-se dividido em duas partes. A primeira é centrada na

argumentação, onde discuto o seu conceito, as dimensões que a mesma comporta e os

modelos argumentativos mais comuns que servem de base a diversos estudos sobre

esta temática na área da Educação Matemática. Por fim, abordo o significado de

argumentação em Matemática e discuto os conceitos de demonstração, justificação e

explicação, em particular no que diz respeito às suas semelhanças e diferenças.

A segunda parte deste capítulo é centrada no ensino e aprendizagem da

Geometria, onde refiro o seu desenvolvimento nos documentos curriculares, ao longo

das últimas décadas, e discuto as principais dificuldades evidenciadas pelos alunos no

decorrer da sua aprendizagem.

2.1. A argumentação em Matemática

2.1.1. Perspetivas de argumentação

Não existe uma noção consensual de argumentação, uma vez que são variadas

as áreas do conhecimento que se debruçam sobre este tema. As primeiras teorias que

surgiram sobre a argumentação têm origem num processo de retórica da antiga

civilização grega. Segundo Oléron (1996), foi Aristóteles o primeiro autor a expor uma

conceção da argumentação “como uma associação de um procedimento racional e de

um percurso social” (p.5). Na visão Aristotélica, a argumentação surge

simultaneamente como uma forma de raciocínio e como uma forma de persuasão

(Boavida, 2005).

Grácio (1993) apresenta dois modos básicos de raciocínio adotados por

Aristóteles: (a) o raciocínio analítico e (b) a argumentação dialética. O raciocínio

analítico fundamenta-se em proposições que são evidentes – que garantem, por si só,

a sua própria certeza – conduzindo a conclusões verdadeiras. Contrariamente a este, a

argumentação de natureza dialética relaciona-se com a incerteza, com o verosímil,

expressando-se através de argumentos sobre enunciados prováveis e aceites pela

maioria. Os raciocínios dialéticos partem, portanto, de premissas geralmente aceites,

resultando em inferências que podem não ser necessariamente válidas – são

6

argumentos mais ou menos convincentes cuja finalidade é a aceitação ou rejeição

global (Boavida, 2005; Grácio, 1993).

Ainda na perspetiva de Grácio (1993), apesar de estes dois modos de raciocínio

não serem desenvolvidos ou explorados na mesma medida, existe uma equiparação

entre a sua importância, pelo que não “se excluem mutuamente, não se sobrepõem,

não se substituem um ao outro” (p.12). Contudo, com os avanços da filosofia e do

pensamento, esta equiparação perdeu-se, havendo uma primazia do raciocínio

analítico, em detrimento da dialética. Segundo o autor, a contribuição de Perelman terá

sido essencial para reabilitar a dialética proposta por Aristóteles.

De acordo com Perelman (1987), a argumentação surge como uma forma de

“fornecer argumentos, ou seja, razões a favor ou contra uma determinada tese” (p.234),

de forma a provocar ou aumentar a adesão de um auditório1 ao que se pretende,

modificando as suas convicções, por meio de um discurso. Portanto, a argumentação

“necessita que se estabeleça um contacto entre o orador, que deseja convencer, e o

auditório, disposto a escutar” (p.235) – esta depende do auditório que o orador

pretende influenciar, sendo essencial que este seja capaz de se adaptar ao mesmo.

Esta perspetiva argumentativa de Perelman é defendida por outros autores que

também sublinham a importância do caráter social e discursivo da argumentação. Por

exemplo, Grize (1996) define argumentação como uma “atividade específica que visa

intervir sobre as ideias, opiniões, atitudes, sentimentos ou comportamentos de alguém

ou de um grupo de pessoas” (p.5), pelo que requer uma participação ativa daqueles a

quem esta se dirige. De Chiaro e Leitão (2005), também apresentam uma perspetiva

social e discursiva da argumentação definindo-a como uma atividade “que se realiza

pela defesa de pontos de vista e consideração de perspetivas contrárias, com o objetivo

último de promover mudanças nas representações dos participantes, sobre o tema

discutido” (p.350). Para Grácio (2010), estamos perante argumentação quando uma

experiência é objeto de discussão e interpretação – existe argumentação quando é

provocada uma discussão que exija defesa ou crítica. Esta dinâmica argumentativa, na

visão do autor, privilegia situações de interação entre diversas perspetivas sobre um

mesmo tema, pelo que a argumentação permite uma mudança ou correção das

diferentes afirmações que se estabelecem, de forma gradual. O resultado deste

1 Como sublinhado por Boavida (2005), não existe uma noção consensual sobre auditório. Para

efeitos deste estudo adotou-se a definição de Perelman (1993): “conjunto daqueles que o orador quer

influenciar pela sua argumentação” (p.33).

7

processo é o argumento que se pode caraterizar como sendo um intercâmbio de ideias

cujo principal objetivo é o de convencer o outro (Banegas, 1998).

Deste modo, uma situação carateriza-se como argumentativa quando um

assunto suscita diversos pontos de vista e a sua validação ou refutação levanta questões

pertinentes e produz razões (argumentos) que reforçam ou modificam as perspetivas

assumidas perante a situação discutida (Fernandes, 2011).

A ideia de que se argumenta quando somos incitados a apresentar razões ou

justificações que fundamentam ou contrapõem uma ideia, apresenta, no entanto,

alguns constrangimentos (Angenot, 2008; Goodwin, 2005; Grácio, 2010). O primeiro

diz respeito ao auditório a quem o argumentador se dirige, de forma a conduzir o

discurso de modo a que a comunicação flua e se revele eficaz. A adaptação necessária

ao auditório torna a atividade argumentativa sobre o assunto indissociável das outras

duas dimensões da comunicação persuasiva: as caraterísticas do orador, que podem

influenciar o processo discursivo, e o apelo sentimental do público-alvo (Grácio,

2010).

Outro constrangimento, decorre da natureza específica do assunto em causa: a

persuasão varia consoante a natureza do problema a ser abordado (Grácio, 2010). Esta

ideia decorre da definição de retórica como uma “capacidade de descobrir o que é

adequado em cada caso com o fim de persuadir” (Aristóteles, 1998). No entanto,

deverá ter-se em conta que a natureza dos assuntos é condicionada por fatores que

nunca são totalmente antecipáveis e que os mesmos podem ser suscetíveis a uma

variada gama de perspetivas (que envolvem a dinâmica interpretativa) do auditório:

O ponto fundamental, aqui, é que a forma de se enquadrar as questões e se

definir os assuntos está, ela própria, em jogo na cena argumentativa e as

perspetivas do outro podem ser sempre surpreendentes. Em muitos casos,

somos até surpreendidos pelas nossas próprias perspetivas quando as

avançamos sob a influência das perspetivas do interlocutor. (Grácio, 2010,

p.15)

A seletividade do assunto é, portanto, um ponto fundamental do processo

argumentativo. É “uma descoberta, no sentido de selecionar entre o disponível (…)

não desdenhando a especificidade contextual de «cada caso» ” e «a quem nos

dirigimos?» como um elemento essencial do ato de persuadir (Grácio, 2010, p.24).

8

2.1.2. Dimensões da argumentação

A argumentação comporta seis dimensões: (a) dimensão discursiva, (b)

dimensão social, (c) dimensão dialógica, (d) dimensão dialética, (e) dimensão

cognitiva e (f) dimensão epistémica (Leitão, 2000; Pedemonte, 2002; Fernandes,

2011).

A DIMENSÃO DISCURSIVA DA ARGUMENTAÇÃO. A natureza discursiva da

argumentação emerge do facto de esta se realizar recorrendo-se ao discurso oral,

utilizando-se a linguagem natural como principal ferramenta de comunicação entre

quem argumenta e o seu auditório (Pedemonte, 2002). A argumentação comporta uma

atividade discursiva intencional (Balacheff, 2000), isto é, argumentar envolve a

intenção de exercer uma influência sobre alguém (Perelman, 1993; Vargas, 2010), não

pretendendo ser um mero exercício especulativo.

A DIMENSÃO SOCIAL DA ARGUMENTAÇÃO. A argumentação comporta uma

dimensão social porque se desenvolve como um conjunto de interações, mobilizando

diversos intervenientes (Pedemonte, 2002): o locutor, que produz as asserções a ser

discutidas, e o (s) interlocutor (es), a quem este se dirige.

A DIMENSÃO DIALÓGICA DA ARGUMENTAÇÃO. A argumentação desenvolve-se

segundo um diálogo, no qual são apresentados os argumentos, opiniões contrárias a

essas e contra-argumentos.

A DIMENSÃO DIALÉTICA DA ARGUMENTAÇÃO. A argumentação pode ser vista

como uma tentativa de se justificar uma ideia, ou um enunciado, a partir daquilo que

se crê como verdadeiro (Boavida, 2005): é um processo através do qual as inferências

que se fazem se apoiam sobre os conteúdos enunciados. Os raciocínios envolvidos na

argumentação podem não conduzir, necessariamente, a uma conclusão verdadeira.

Ainda assim, têm por base ideias que são consideradas verdadeiras por quem

argumenta, pelo que assume uma dimensão dialética (Pedemonte, 2002).

A DIMENSÃO COGNITIVA DA ARGUMENTAÇÃO. Segundo Leitão (2000), a

argumentação influencia o desenvolvimento cognitivo porque implica raciocinar:

pensar pela argumentação envolve uma “indissociável combinação de conteúdos e

formas de raciocínio” (p.10) que permitem organizar, validar e reelaborar os contextos

sobre os quais a argumentação se desenvolve. Segundo a autora, o envolvimento dos

diferentes participantes da argumentação, em discussões, permite analisar, rever

posições e, por consequência, construir o conhecimento.

9

A DIMENSÃO EPISTÉMICA DA ARGUMENTAÇÃO. A argumentação desenvolve-se

sobre determinados assuntos, com caraterísticas do conhecimento, em domínios

específicos. Esta depende, portanto, do (s) domínio (s) de conhecimento em que se

desenvolve (Toulmin, 1958), das formulações conceptuais e padrões processuais de

cada domínio (Leitão, 2000).

As diferentes dimensões da argumentação referidas concedem-lhe um valor

enriquecedor no desenvolvimento do conhecimento: a argumentação pode ser definida

como um fenómeno social, de natureza cognitiva e discursiva, com a finalidade de

influenciar um auditório acerca de um determinado domínio epistémico. Uma vez que

requer o confronto de diversos pontos de vista e ideias, assume uma natureza

dialógica, mas também dialética, porque pressupõe a oposição (Leitão, 2007).

2.1.3. Modelos de argumentação comuns

No campo educacional, a investigação da argumentação tem sido amplamente

desenvolvida. As obras de Toulmin e Perelman têm influenciado fortemente este

processo, servindo de base a diversos estudos que analisam e documentam diversas

formas de aprendizagem que encorajam a argumentação e a criação de ambientes de

sala de aula propícios à mesma. Em particular, estas obras tornaram possível a

caraterização da argumentação ao nível das suas caraterísticas funcionais e estruturais

(Boavida, 2005; Pedemonte, 2002).

2.1.3.1. O modelo de argumentação de Toulmin

O modelo de argumentação de Toulmin propõe a análise da microestrutura de

um argumento, pelo que tem sido bastante difundido em trabalhos de investigação de

educação na área da Matemática (Balacheff, 2000; Duval, 1999; Krummheuer, 1998;

Pedemonte 2008).

Na sua forma elementar, o modelo de argumentação de Toulmin descreve a

estrutura básica dos argumentos racionais dividindo-os em três dimensões: (a) os

dados, (b) a conclusão e (c) a garantia. Estas dimensões articulam-se segundo uma seta

que liga o dado factual à conclusão, através de uma lei de passagem (Figura 1).

10

De acordo com Toulmin (1958), uma afirmação pode ser contestada caso os

dados em que se apoie não sejam válidos ou suficientemente fortes, uma vez que estes

são a base para uma conclusão sólida. Caso se levantem questões quanto à natureza da

validade das afirmações, será necessária uma nova argumentação que proporcione uma

evidência aceitável das mesmas (Boavida, 2005). É, portanto, importante mostrar que

a partir dos dados, a passagem que conduz à conclusão é oportuna e legítima. Para tal,

devem ser utilizadas proposições (as garantias) – axiomas, teoremas, regras, princípios

e/ou enunciados – que funcionem como uma autoridade racional e impeçam que a

conclusão seja questionada (Toulmin, Rieke & Janik, 1984). As garantias funcionam,

assim, como uma licença da inferência entre dados e conclusão.

Nesta perspetiva, um “argumento” é uma estrutura complexa de dados que

envolve um movimento que parte de uma evidência (dados/fundamentos) e permite

estabelecer uma afirmação (conclusão). O movimento de evidência para a afirmação é

realizado com eficácia através da garantia, que permite essa conexão (Bello, 2004).

Segundo Pedemonte (2002), o modelo argumentativo elementar proposto por

Toulmin tem como principal função captar a forma lógica de um discurso racional.

Através deste modelo, os professores podem motivar os alunos a encontrar as

evidências que suportam uma afirmação, traduzindo-se na ideia de que os argumentos

dependem de um conjunto de relações que podem ser examinadas e especificadas

(Bello, 2004).

De acordo com Krummheuer (1995), o esquema “dados-garantia-conclusão” é

a “força mínima de argumentação” (p. 243) pelo que pode não ser suficiente para se

analisar um discurso argumentativo, uma vez que as garantias podem variar quanto à

sustentabilidade com que apoiam os dados:

Há diversas espécies de garantias, suscetíveis de conferir uma força

variável às conclusões que elas justificam. Certas garantias autorizam--nos

a aceitar uma conclusão sem equívoco, supondo--se que os dados

apropriados estão reunidos – estas garantias habilitam-nos em casos

propícios a qualificar a nossa conclusão por meio do advérbio

“necessariamente”; outras autorizam-nos a passar dos dados às conclusões

Figura 1- Representação elementar do modelo de argumentação de Toulmin (adaptado

de Gil e Martinho, 2014)

11

quer provisoriamente, quer enunciando condições, exceções ou reservas

— casos em que podem intervir outros qualificadores modais como

“provavelmente” ou “é verosímil que”. (Toulmin,1993, citado por

Boavida, 2005, p.72)

Deste modo, o esquema representativo da argumentação é enriquecido com

uma referência que explicita o grau de força que os dados conferem à conclusão, em

virtude da garantia. Para tal, Toulmin propôs outros elementos com o objetivo de

reforçar a conclusão: (a) o fundamento; (b) os qualificadores modais; e (c) as

condições de exceção ou refutação. Estes elementos constituem o modelo de análise

do micro argumento proposto por Toulmin (Figura 2).

O fundamento reforça a legitimidade da garantia, justificando a sua aceitação

– funciona como uma “âncora” para a garantia, indicando por que motivo esta deve

ser aceite como tendo autoridade. O qualificador modal designa a força que a garantia

atribui à articulação que existe entre os dados e a conclusão. Por fim, as condições de

refutação assinalam as circunstâncias em que poderá ser necessário anular a

aceitabilidade da garantia, dando lugar a um novo discurso argumentativo (Boavida,

2005; Fernandes, 2011). As asserções que se formulam e as conclusões a que se

chegam variam em função do problema que se pretende analisar. O tipo de factos a

que se faz referência depende, também, da natureza da questão tratada (Boavida,

2005).

Através do seu modelo, Toulmin parece entender a argumentação como “um

tipo de atividade que decorre de uma ação cujo valor ou validade é questionado, o que

requer a apresentação de elementos justificativos” (Boavida, 2005, p.75). Neste

contexto, o modelo que propõe constitui um modo útil de mostrar como se articulam

os elementos essenciais do discurso argumentativo, e, em particular, como é que as

argumentações secundárias se podem inserir numa argumentação principal. Como

salienta Boavida (2005):

Figura 2 - Modelo de análise do micro argumento proposto por Toulmin (retirado de

Gil e Martinho, 2014, p.320)

12

Por exemplo, se uma garantia é contestada nada impede de considerar o

seu estabelecimento como uma argumentação secundária ou preparatória.

De igual modo, se os dados forem postos em causa pode atribuir-se-lhe o

estatuto de conclusão potencial. Assim, este modelo, em princípio, pode

captar as estratégias usadas numa argumentação particular, o que poderá

facilitar avaliá-las através dos cânones do campo onde a argumentação se

inscreve e contribuir para trazer à tona as suas fraquezas e potencialidades.

(p.75)

Efetivamente, o modelo de argumentação de Toulmin permite analisar a argumentação

de acordo com os seus elementos, ao mesmo tempo que permite visualizar as ligações

entre estes (Pedemonte, 2002).

Este modelo foi utilizado no âmbito da investigação em Educação Matemática

inicialmente por Krummheuer (1995), na sua forma elementar, excluindo-se os

qualificados e as refutações. O autor investigou a prática da argumentação coletiva2

em sala de aula, particularmente no que à Matemática diz respeito, analisando os seus

dados com base nas interações argumentativas que surgiam.

Segundo Inglis, Mejia-Ramos e Simpson (2007), uma parte considerável das

pesquisas efetuadas em Educação Matemática seguiram Krummheuer (1995), na

utilização do modelo elementar de Toulmin. Poucos investigadores utilizaram o

modelo na sua totalidade, incluindo os qualificadores modais e as refutações (Banegas,

1998; Aberdein, 2008). Ainda assim, a investigação de Krummheuer contribui para

evidenciar as potencialidades deste modelo para analisar a natureza e a qualidade das

comunicações de ideias em sala de aula (Nunes & Almouloud, 2013). De facto,

Krummheuer (1995) sustenta que este modelo “ajuda a reconstruir a lógica (informal)

das questões do dia-a-dia” (p.247) da aula de Matemática, sendo potenciador da

aprendizagem em contextos de argumentação coletiva. Para Knipping (2004), este

modelo permite analisar as argumentações individuais dos alunos e comparar a

argumentação com a demonstração e a prova.

Através da análise do modelo de Toulmin, Pedemonte (2002) classificou a

argumentação em três vertentes: (a) dedução, (b) indução e (c) abdução. Numa

dinâmica dedutiva, a argumentação desenvolve-se através de uma inferência lógica,

2 Embora o modelo proposto por Toulmin tenha sido concebido para analisar frases individuais,

na sua obra não há qualquer referência à utilização do mesmo em situações educativas, ou que envolvam

discursos coletivos. No entanto, Krummheuer (1995), baseando-se neste modelo, ampliou a noção de

argumentação proposta por Toulmin do individual para o coletivo, focando a sua investigação na

argumentação matemática (Boavida, 2005; Gil, 2012).

13

existindo uma coerente ligação entre os dados e a conclusão, cuja natureza é

irrefutável. A argumentação dedutiva tem, assim, a mesma forma da demonstração

dedutiva. Ainda assim, “a dedução por demonstração utiliza apenas objetos formais e

baseia-se sempre numa teoria matemática. Em contrapartida, a argumentação dedutiva

utiliza a linguagem natural e pode não se basear numa teoria matemática” (Magalhães,

2010, p.16).

Numa dinâmica indutiva, a conclusão obtém-se partindo de casos particulares,

através de uma extensão dos dados. Nesta perspetiva, as garantias oferecem um forte

apoio à conclusão. Na dinâmica abdutiva, a conclusão relaciona-se com os dados, na

medida em que é inferida por representar a melhor explicação para os dados

(Fernandes, 2011).

Apesar do modelo de Toulmin servir, como já referido, de base para diversos

estudos, o mesmo apresenta algumas limitações (Boavida, 2005; Fernandes, 2011).

Por exemplo, segundo Boero (1999), este modelo não aprofunda aspetos específicos

da argumentação respeitante à atividade matemática, porque não aprofunda a estrutura

linguística da sucessão de argumentos. Para Knipping (2004), o modelo não funciona

para analisar a estrutura global dos processos de prova e demonstração, devido à

complexidade das estruturas argumentativas existentes, à sobreposição de argumentos

e ao desenvolvimento de diferentes justificações para a mesma conclusão (Boavida,

2005; Fernandes, 2011). De acordo com Pedemonte (2002), embora o modelo proposto

por Toulmin permita representar os constituintes explícitos de uma argumentação, não

permite representar aspetos implícitos da mesma e que estão na base do raciocínio.

Ainda segundo Vieira e Nascimento (2008), em sala de aula, as falas dos alunos podem

completar-se e as justificações apresentadas podem estar implícitas, sendo que a

argumentação pode não surgir de forma ordenada como a indicada pelo modelo.

2.1.3.2. O modelo de argumentação de Perelman

O modelo de argumentação de Perelman surgiu na sua obra “Tratado da

argumentação. A Nova Retória” (Perelman & Olbrechts-Tyteca, 1999). Neste modelo,

a argumentação é tratada de acordo com os efeitos que produz no auditório: “é em

função de um auditório que qualquer argumentação se desenvolve” (Perelman &

Olbrechts-Tyteca,1999, citado por Boavida, 2005, p.38). De acordo com Grácio

(1993), Perelman trouxe a questão da adesão à argumentação. A atenção da

argumentação recai, assim, não sobre o valor dos argumentos, mas nos esquemas

14

argumentativos utilizados e na sua recetividade: “a atividade racional não é apenas

cálculo (…), antes se encontra ligada à arte da persuasão, às técnicas discursivas que

visam obter a adesão de um auditório” (Grácio, 1993, citado por Boavida, 2005).

O modelo de argumentação proposto por Perelman, permite identificar

argumentos, classificá-los, e compreender a sua articulação, tentando medir a sua

eficácia persuasiva. Perelman distinguiu três grupos de argumentos:

(a) argumentações quase-lógicas, (b) argumentações baseadas na estrutura do real e

(c) argumentações que fundamentam a estrutura do real (Boavida, 2005; Fernandes,

2011).

A tipologia de argumentos proposta por Perelman apresenta-se sistematizada

na figura 3.

As argumentações quase-lógicas são as que têm uma natureza próxima dos

raciocínios formais, lógicos ou matemáticos, e caraterizam-se pelo “seu caráter não

formal e o esforço mental de que necessita a sua redução ao formal” (Perelman &

Olbrechts-Tyteca, 2005, p.220). Entre estas argumentações, encontram-se os que

recorrem às estruturas lógicas, como a contradição, a identidade e a transitividade; e

os que recorrem à invocação de relações matemáticas, como a relação entre a parte e

o todo, do menor para o maior (Perelman & Olbrechts-Tyteca, 2005).

Na atualidade, a primeira reação face a argumentos quase-lógicos é o de

assinalar as suas fraquezas, através da sua comparação com argumentos formais de

raciocínio. No entanto, enquanto a linguagem formal assenta na univocidade dos

símbolos que utiliza, os argumentos quase-lógicos dependem da interpretação dos

enunciados tratados, “daí ser impossível empurrar para o absurdo quem utiliza esta

Figura 3 - Tipologia de argumentos segundo Perleman (Grácio, 2010)

15

linguagem, pois este pode ser quase sempre evitado a partir da reinterpretação dos

termos usados” (Boavida, 2005, p.44) pelo que “na antiguidade, quando o pensamento

científico de feição matemática se encontrava menos desenvolvido, o recurso a

argumentos quase lógicos era mais frequente” (Perelman, 1993, citado por Boavida,

2005, p.43).

Enquanto a argumentação quase-lógica é somente válida enquanto existir uma

relação entre esta e certas estruturas lógicas, ou relações matemáticas, as

argumentações baseadas na estrutura do real constroem-se a partir do que o auditório

crê ser verdade, tendo por base ligações que existem entre os elementos do real, que

aliam os fenómenos às suas consequências ou causas – ligações de sucessão – e as

pessoas aos seus atos – ligações de coexistência (Perelman & Olbrechts-Tyteca, 2005;

Fernandes, 2011); os argumentos baseados na estrutura do real valem-se da

argumentação para “estabelecer uma solidariedade entre juízos admitidos e outros que

se procura promover” (Perleman & Olbrecths-Tyteca, 1988, citado por Magalhães,

2010), isto é, partindo de ideias reconhecidas, para que se possa introduzir outras que

se querem ver admitidas (Grácio, 2010).

Por fim, as argumentações que fundamentam a estrutura do real são as que

recorrem ao caso particular: permitem generalizar o que é aceite, a partir do estudo de

casos específicos (Perelman & Olbrechts-Tyteca, 2005). A credibilidade dos

argumentos que fundamentam a estrutura do real reside, essencialmente, na sua

capacidade em efetuar generalizações, procurando estabelecer regras e princípios

(Grácio, 2010).

A distinção tripartida entre os argumentos quase-lógicos, baseados na

estrutura do real e nos que fundamentam a estrutura do real, assenta na ideia de que

cada um destes retira a sua credibilidade da possibilidade de fazer o auditório aderir

ao que se pretende, através de diferentes formas de influência (Boavida, 2005; Grácio,

2010; Magalhães 2010).

2.1.3.3. Seleção e ordenação de argumentos

Na elaboração de uma argumentação, a escolha dos argumentos e a ordem pela

qual estes são apresentados assume um papel de destaque: proceder a uma seleção e

organização dos argumentos permite que o discurso argumentativo não se construa em

torno de uma acumulação, sem sentido, de ideias – a organização dos argumentos

16

selecionados oferece uma maior força e irrefutabilidade aos mesmos (Boavida 2005;

Gil, 2012).

Segundo Perelman (1993), a força e pertinência dos argumentos são noções da

argumentação subjacentes à seleção de argumentos. A força de um argumento depende

da adesão do auditório às premissas da argumentação: da relação de proximidade entre

o auditório e a tese a ser defendida, das objeções do auditório e das maneiras com que

o mesmo pode refutar a tese. Portanto, a força de um argumento está associada ao facto

de este ser, ou não, aceite pelo auditório, bem como ao facto de resistir, ou não, às

objeções colocadas (Duval, 1992-1993): a força de um argumento “depende da

maneira como este é recebido, não se devendo perder de vista que o auditório, em

função da eficácia do discurso, muda com o desenrolar deste” (Boavida, 2005, p. 53).

A “pertinência dos argumentos apenas pode ser defendida por relação a

auditórios que estabelecem acordos sobre uma metodologia, aceitam certos meios de

prova e desvalorizam outros qualificando-os como irrelevantes” (Boavida, 2005,

p.51). Portanto, a pertinência da argumentação faz-se de acordo com os conteúdos

discutidos e os argumentos que os justificam (Duval, 1992-1993).

No que diz respeito à ordem pela qual os argumentos são apresentados, Duval

(1992-1993) considera que existem três formas distintas de se ordenar a argumentação:

iniciar a mesma com os argumentos mais fortes e terminar com os mais fracos, a ordem

inversa, ou iniciar e terminar com argumentos fortes. Como a finalidade do discurso

argumentativo é a adesão, o orador deverá adaptar a ordem dos argumentos de acordo

com a finalidade dos mesmos: “cada argumento deverá surgir no momento em que

maior força exerça. Mas como aquilo que persuade um auditório pode não convencer

outro, este esforço de adaptação é permanente” (Perelman, 1993, citado por Boavida,

2005, p. 53).

Boavida (2005) sublinha que na teoria de argumentação de Perelman o efeito

da argumentação depende dos vários tipos de argumentos que surgem durante o

discurso argumentativo, conduzindo a uma teoria argumentativa essencialmente

descritiva (ao invés da teoria de Toulmin, que se baseia na contestação da lógica

formal). Também Grácio (2010) salienta que o modelo de argumentação de Perelman,

apesar de interessante do ponto de vista do conhecimento sobre formas de argumentar,

não esclarece sobre o uso dos argumentos, nem sobre o impacto que os mesmos podem

ter sobre um auditório. Para este autor, há uma ausência de uma perspetiva normativa

no modelo argumentativo de Perelman – um dos principais objetivos deste modelo é a

17

discriminação dos vários tipos de argumentos que podem surgir durante uma prática

discursiva, contrariamente ao que acontece com o trabalho de Toulmin. Efetivamente,

Toulmin procura identificar um esquema que permite interligar todos os elementos

existentes em todos os raciocínios de justificação de asserções: quando um enunciado

é posto em causa, o valor da argumentação é o de precisar o grau de verdade do mesmo

(Boavida, 2005). Ainda assim, o valor do trabalho de Perelman é fortemente

reconhecido e referido por vários investigadores que estudam a argumentação dentro

da aula de Matemática (Balacheff, 2000; Duval, 1999; Pedemonte, 2002).

2.1.4. A argumentação na aula de Matemática

2.1.4.1. Significado de argumentar em Matemática

Como já referido, argumentar tem diferentes significados dependendo da área

do conhecimento a que se refere. Em Matemática também nos podemos deparar com

diferentes perspetivas sobre a argumentação (Monteiro & Santos, 2013). Para efeitos

deste estudo considerou-se argumentação matemática como:

Conversações de caráter explicativo ou justificativo, centradas em

Matemática, que assumem um papel preponderante na fundamentação de

raciocínios, na descoberta do porquê de determinados resultados ou

situações, na formulação, teste e prova de conjeturas e na resolução de

desacordos através de explicações e justificações convincentes e válidas,

de um ponto de vista matemático. (Boavida et al., 2008, p.84)

2.1.4.2. Argumentar, explicar e justificar

Ao caraterizar a argumentação em Matemática, Duval (1992-1993) abordou os

conceitos de argumentação, explicação e justificação, explorando e analisando as

relações existentes entre os mesmos. Para este autor, a principal diferença entre estes

reside nas razões que motivam estas atividades e nas funções que estas desempenham

em sala de aula.

A argumentação é produzida com o principal objetivo de justificar ou explicar

uma afirmação (Duval,1992,1993) – a justificação e a explicação surgem, portanto,

como uma parte integrante da argumentação. Esta ideia é salientada em diversos

estudos realizados por Yackel (2001) e Whitenack e Yackel (2008), que consideram

que a argumentação pode ser vista como um conjunto de justificações e explicações

matemáticas que podem ser aceites, individual ou coletivamente, pelos diversos

participantes do processo argumentativo.

18

Na perspetiva de Whitenack e Yackel (2008) ambas as atividades de “explicar

e justificar são aspetos importantes do raciocínio” (p.85) e servem como uma

ferramenta para o compreender. A explicação é motivada pela necessidade que o

aluno, ou professor, sente em clarificar o seu raciocínio: produzem-se explicações

matemáticas quando queremos clarificar aspetos do nosso pensamento que podem, ou

não, ser entendidos por outros (Whitenack & Yackel, 2008). Portanto, uma explicação

oferece uma ou mais razões para se tornar um fenómeno, resultado ou comportamento,

compreensível. As razões apresentadas têm uma função meramente descritiva:

contribuem para apresentar as relações nas quais o que se pretende explicar, ocorre

(Duval,1992,1993). A justificação, por sua vez, é motivada pela necessidade que o

aluno, ou o professor, sente em validar as suas ideias, expondo as razões que legitimam

as mesmas ou determinada atuação ou acontecimento (Cobb, Yackel & Wood, 1992).

Segundo o National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2008), os

alunos, desde as suas primeiras experiências de contacto com a Matemática, devem

compreender que as afirmações devem ser justificadas, usando questões como “porque

é que pensas que isto é verdade?” e “alguém acha que a resposta é diferente? Porquê?”.

Desta forma, compreendem que todas as afirmações necessitam de ser validadas ou

refutadas por evidências, baseados em conceitos, procedimentos e ideias matemáticas.

Assim, a explicação pode ser entendida como um discurso cujo objetivo é o de

tornar inteligível o caráter de verdade, adquirido pelo locutor, duma proposição ou de

um resultado, apelando frequentemente à intuição. A justificação é a exposição de

razões que legitimam determinada ação, comportamento ou acontecimento (Balacheff,

2000).

2.1.4.3. A argumentação e a demonstração matemática

Em Matemática, verifica-se uma tendência em relacionar a demonstração

matemática3 com a argumentação, pelo que estas surgem frequentemente associadas,

nomeadamente na sua distinção e/ou semelhança (Reid e Knipping, 2010).

Para Machado (2005), a argumentação e a demonstração diferem na medida

em que esta última se constrói tendo por base raciocínios gerais, que decorrem de

afirmações previamente aceites como verdadeiras (os axiomas, as definições e os

3 É usual, em Matemática, confundirem-se os termos prova matemática e demonstração matemática.

Para efeitos deste estudo consideraram-se as definições propostas por Balacheff (1999): a demonstração é um

processo formal que segue regras bem definidas e que utiliza termos matemáticos e simbologia própria; a prova é

reconhecida e aceite pelos outros, permitindo estabelecer a veracidade de uma afirmação de forma correta e aceite

pela comunidade matemática, mas sem recorrer necessariamente a um elevado grau de formalismo.

19

teoremas) e desenvolve-se numa sequência de enunciados organizados, segundo regras

determinadas por uma comunidade científica. A argumentação, por sua vez, relaciona-

-se com a prática discursiva, cujo objetivo é o de convencer e persuadir, apresentando

um raciocínio espontâneo e natural e que se baseia em proposições sustentadas por

premissas (Machado e Cunha, 2005).

Para Duval (1990), a argumentação emerge de uma interação social, em que é

necessário convencer alguém ou contradizer algo – a argumentação surge, assim, como

um raciocínio ordenado para fins de comunicação. A demonstração, por sua vez, está

associada ao raciocínio dedutivo, a procedimentos formais da Matemática, e ao

estabelecimento da verdade, opondo-se ao tipo de raciocínio exigido na argumentação.

O raciocínio que emerge da argumentação tem regras implícitas que realçam não só

estrutura da linguagem bem como as representações dos interlocutores. A

demonstração deve ser entendida como um estabelecimento da veracidade de um dado

resultado, combinando, através da dedução e segundo resultados da lógica

proposicional, outros resultados já demonstrados ou admitidos (Duval, 1991).

Apesar de alguns autores considerarem que a demonstração tem caraterísticas

particulares e, por consequência, diferentes da argumentação, outros consideram que

a demonstração pode ser entendida como um processo particular de argumentação.

Pedemonte (2002), analisou a argumentação em Matemática e a sua relação com a

demonstração, recorrendo ao modelo de argumentação de Toulmin. A estrutura

ternária proposta por este modelo legitima a comparação entre a estrutura da

argumentação e da demonstração, levando a autora a considerar que a demonstração

é, portanto, um caso particular da argumentação, sendo a garantia um axioma, uma

definição ou um teorema de uma determinada teoria específica. De acordo com a

autora, na construção de uma conjetura, um aluno pode devolver uma atividade

argumentativa, justificando a plausibilidade da opção que tomou e, na fase

demonstrativa, o aluno pode apoiar-se na ação anterior, organizando os argumentos

que já produziu.

A diferença entre os dois conceitos reside, segundo a autora, na sua finalidade

– a argumentação, como uma expressão de um raciocínio possível, através da tentativa

de justificar enunciados a partir do que se acredita ser verdadeiro, tem como finalidade

convencer, enquanto a demonstração tem como finalidade validar.

20

Para efeitos deste estudo adotou-se a perspetiva de Pedemonte (2002),

encarando a demonstração como um processo particular da argumentação (bem como

a justificação, a explicação, a formulação e o teste de conjeturas).

2.1.4.4. Dificuldades evidenciadas pelos alunos em argumentar

No que concerne aos processos argumentativos, são vários os estudos que

apontam dificuldades destacadas pelos alunos. No que à demonstração matemática se

refere, Hanna (1990) afirma que a abordagem formal à demonstração foi desenvolvida

como um meio de eliminar a evidência intuitiva, uma vez que esta é uma potencial

fonte de erro. Mas De Villiers (2001) salienta que os alunos têm dificuldades em

compreender a necessidade da demonstração, especialmente em Geometria, quando os

teoremas têm visualmente um caráter óbvio ou podem ser feitas empiricamente, pelo

que a sua demonstração lhes parece inútil (Parzysz, 2006). De facto, são vários os

estudos que referem que os alunos se baseiam na evidência das suas intuições e,

portanto, têm dificuldade em compreender a necessidade e/ou utilidade não só da

demonstração, mas também da justificação. Simãozinho (2014) refere, no seu estudo

sobre a argumentação matemática dos alunos do 11.º ano, que estes “têm dificuldade

em justificar afirmações que lhes pareçam óbvias, por acharem a justificação

desnecessária” (p.118).

Esta ideia surge também num outro estudo realizado com alunos do 9.º ano de

escolaridade, focado nas aprendizagens por estes realizadas, sobre o tópico

“Circunferência”. A autora do estudo refere que os alunos apresentam dificuldades em

compreender a importância de se produzirem justificações e demonstrações, e

acrescenta que, mesmo quando compreendem essa importância, os alunos têm

dificuldade em produzir uma demonstração, pela fraca frequência com que se

envolvem nesta atividade:

A dificuldade que a maior parte dos alunos revelou em demonstrar os

resultados a que chegaram parece dever-se à pouca frequência em que se

envolvem nesta atividade. Os alunos tendem a ver os conceitos

matemáticos como entes estáticos, sem conexão com outros conceitos, o

que tende a impedi-los de articular os conhecimentos adquiridos

anteriormente na demonstração de um resultado. (Capa, 2015, p.83)

De facto, a autora salienta que a atividade na qual os alunos evidenciaram ter

mais dificuldades, foi a demonstração, referindo que “apenas um número reduzido de

alunos é que a conseguiu efetuar, com a ajuda das sugestões da professora” (p.83).

21

Ao nível da justificação, a expressão oral e/ou escrita mostra-se como sendo a

maior dificuldade dos alunos. Esta ideia é salientada por Junqueira (1995), num estudo

com alunos do 9.º ano de escolaridade:

De um modo geral os alunos (…) revelaram muita dificuldade em

exprimir-se, quer por escrito, quer oralmente, o que constituiu um entrave

à sua capacidade de justificar as construções que faziam. (…) Mesmo uma

análise superficial das respostas que escrevem nas diversas fichas, mostra

que os textos dos alunos eram normalmente pouco claros e com bastantes

erros. (…) Quase todos os alunos participantes reconheceram que lhes era

difícil justificar (…) e atribuíram isso à dificuldade que sentiam em

exprimir as suas ideias. Como eles próprios disseram, «tinham as ideias na

cabeça, mas era-lhes difícil explicá-las». Para alguns alunos isso era

consequência da pouca experiência que tinham em Geometria. (p.189-190)

Gil (2012), no seu estudo sobre a argumentação em sala de aula, também

salienta as dificuldades sentidas pelos alunos quando confrontados com a necessidade

em apresentarem justificações, referindo que estes têm tendência a exprimir as suas

ideias de forma imprecisa:

Em relação às dificuldades dos alunos ao nível da interação discursiva

(argumentação), é possível observar que estes manifestam dificuldades em

apresentarem as justificações necessárias para os seus raciocínios (…) é

possível identificar outras situações em que há a apresentação de garantias

que não legitimam um passo de argumentação por falta de dados (…), e

outras em que não há a apresentação de dados ou garantias que sustentem

determinadas conclusões. (p.627)

Também Lopes (2010), no seu estudo sobre o desenvolvimento da

argumentação com o apoio de ambientes de Geometria Dinâmica, salienta as

dificuldades evidenciadas pelos alunos aquando da comunicação dos seus raciocínios

geométricos, particularmente no que à justificação diz respeito:

As dificuldades sentidas e demonstradas situaram-se, quase que em

exclusivo, na forma como muitos alunos organizaram a comunicação dos

seus argumentos. Ao considerarem que as premissas eram evidentes, não

sentiram necessidade de as referir e organizar de forma sistemática. As

justificações e as cadeias de argumentos elaboradas, ainda que pequenas,

permitem afirmar que os alunos revelam dificuldades na expressão escrita

(…) Os alunos revelaram não ter hábitos de apresentação de justificações

ou argumentos em Matemática (…) Perante a necessidade de uma cadeia

de argumentos, os alunos não a constroem segundo uma sequência lógica,

mas sim de forma desorganizada”. (p.111-112)

22

Acrescenta, ainda, que “as respostas [dadas pelos alunos] são incompletas, os

cálculos e as justificações surgem sem ordem lógica e, muitas vezes, [os alunos] fazem

afirmações que não fundamentam, como se a afirmação de uma justificação se

tratasse” (p. 108).

Fernandes (2011), num estudo realizado com alunos do 9.º ano de escolaridade,

focado na argumentação matemática, refere igualmente a comunicação matemática

como uma dificuldade presente nos alunos:

[Os alunos] revelavam dificuldades em expressar os seus raciocínios. Os

registos efetuados eram pouco explícitos. Nalguns casos, apresentaram

justificações em que, para além da linguagem verbal, também utilizaram

representações visuais, com o intuito de facilitar a comunicação de ideias.

Mas, os registos continuavam pouco explícitos para o leitor. (p.214)

A argumentação, apesar de se revelar uma capacidade transversal privilegiada

pelo currículo, comporta diversas dificuldades. Entre essas, destacam-se: (a) a

dificuldade que os alunos sentem em compreender a sua importância para a

aprendizagem matemática; (b) a construção de demonstrações e justificações, por esta

ser uma prática pouco frequente; (c) a comunicação matemática, através da expressão

oral e/ou escrita, sendo que os alunos apresentam argumentos pouco explícitos

frequentemente.

2.1.4.5. O papel do professor na promoção da argumentação em sala de

aula

A aprendizagem da Matemática exige compreensão, capacidade de aplicar

procedimentos, conceitos e processos, com vista a utilizar o conhecimento de um modo

flexível (NCTM, 2007). Para tal, é necessário que se desenvolvam capacidades como

o raciocínio, a comunicação e a argumentação. Diversos autores apoiam a ideia de que

o professor tem um papel crucial no desenvolvimento destas capacidades, em

particular da argumentação (Martinho & Gil, 2014), como forma de desenvolver

hábitos de pensamento dos alunos, associados ao “porquê” das coisas (Boavida, 2008).

Apesar da argumentação matemática poder ser destituída da formalidade e

rigor que caraterizam a Matemática, a esta pode associar-se a formulação de

conjeturas, o seu teste e verificação e a apresentação dos raciocínios que induzem a

sua validação. É importante, portanto, que o professor proponha tarefas que envolvam

os alunos em atividades de formulação, teste e prova de conjeturas, com situações que

23

aludam a acontecimentos do dia-a-dia, próximos dos alunos, ou a contextos puramente

matemáticos (NCTM, 2008).

Para a argumentação se desenvolver de forma eficaz, é importante que o

professor crie, em sala de aula, um ambiente que interligue a escrita produzida pelos

alunos e a discussão dessa escrita (Lopes, 2010). Para tal, há necessidade de os alunos

“se sentirem confortáveis e seguros para assumir riscos e partilhar ideias emergentes e

titubeantes” (Boavida, 2008, p.1).

Para desenvolver a capacidade de argumentação em sala de aula, o professor

também deverá considerar aspetos relacionados com a natureza da Matemática: o

formalismo e o raciocínio, inerentes à atividade matemática, por vezes são um entrave

à aprendizagem dos alunos, pelo que se deve dar oportunidade de os mesmos

resolverem descobertas matemáticas, apresentar exemplos e contraexemplos e

elaborar ou refutar ideias. Para Boavida (2005), as aulas direcionadas para o

desenvolvimento da argumentação pressupõem competência e cuidado, por parte do

professor, e concretizam-se numa planificação na qual se tem em consideração: (a) a

valorização da necessidade de participação dos alunos nas diversas atividades de

argumentação; (b) tarefas abertas e potencialmente favoráveis às atividades de

justificação, explicação e demonstração; (c) a inclusão de materiais provenientes de

diversas fontes; (d) modalidades de trabalho que permitam interações entre os alunos

e entre alunos e professor, favorecendo a sua participação e (e) a não penalização do

erro, mas considerando-o parte integrante da construção do conhecimento. A este

conjunto de fatores acresce, ainda, a gestão do currículo, as conexões entre os diversos

temas matemáticos e o investimento nos processos matemáticos como um objetivo de

ensino. Portanto, deve ser criado um contexto em sala de aula que promova a

curiosidade e o interesse dos alunos e que valorize o questionamento e a discussão das

fragilidades das justificações que forem apresentadas (Boavida, 2005; Lopes, 2010).

O desenvolvimento da capacidade de argumentação nos alunos depende, pois, da

realização de experiências, pela troca de ideias, negociação de significados e pelo

desenvolvimento de argumentos entre estes e o professor, ou entre estes, apenas.

24

2.2. A Geometria

2.2.1. A Geometria nos documentos curriculares

O papel da Geometria no ensino da Matemática nem sempre foi relevante,

tendo sofrido algumas alterações no decorrer das últimas décadas. O seu papel no

currículo tem vindo a ser revalorizado e os conteúdos, metodologias e finalidades têm

sido amplamente discutidas.

Nas décadas de 70 e 80 assistiu-se à deterioração da Geometria, com uma

desvalorização da visualização na atividade matemática dos alunos (Veloso, 1998) - a

observação, a experimentação e construção quase desapareceram do currículo. Com o

movimento Matemática Moderna, quer a nível nacional, quer a nível internacional, as

consequências no ensino da Geometria variaram, de acordo com os países. No final da

década de 80 começaram a criar-se condições para que a Geometria voltasse a ocupar

um lugar de destaque no currículo (Veloso, 1988). No final da década de 90, de acordo

com Abrantes, Serrazina e Oliveira (1999), as orientações curriculares indicavam que

“a Geometria é essencialmente um meio para (…) conhecer o espaço em que se move,

pelo que se torna importante promover a aprendizagem baseada na experimentação e

manipulação” (p. 67).

Atualmente, a Geometria ocupa uma parte significativa dos programas

curriculares de Matemática, sendo trabalhada gradualmente desde o primeiro ciclo do

Ensino Básico até ao Ensino Secundário. As orientações curriculares do nosso país

conferem um lugar de destaque à Geometria, apontando a importância do

desenvolvimento da visualização e do raciocínio espacial. De acordo com este

documento, a aprendizagem da Geometria traduz-se na compreensão de conteúdos

geométricos, e na sua operacionalização, nomeadamente a nível da resolução de

problemas (MEC, 2013a).

Para o ensino da Geometria, desde o pré-escolar ao 12.º ano de escolaridade, o

NCTM (2008) propõe um conjunto de normas com a finalidade de habilitar os alunos

a: (a) analisar as caraterísticas e propriedades de formas bidimensionais e

tridimensionais; (b) desenvolver argumentos matemáticos acerca das relações

geométricas que observam; (c) especificar posições e descrever relações espaciais

recorrendo à geometria de coordenadas e a outros sistemas de representação; (d)

aplicar transformações geométricas e usar a simetria para analisar situações

25

matemáticas; e (e) usar a visualização, o raciocínio espacial e a modelação geométrica

para a resolução de problemas.

De acordo com o NMAP (2008), apesar da exposição do aluno a formas

geométricas básicas, nomes e conceitos, poder ser útil no desenvolvimento das

capacidades e conhecimentos geométricos formais, tal não é suficiente: muitas vezes

é necessário recorrer à utilização de materiais manipuláveis e/ou ambientes de

geometria dinâmica (Jones, 2000). Para um entendimento profundo dos objetos

geométricos, os alunos têm de transpor o concreto para o visual. Esta ideia é

igualmente sublinhada por Jones e Mooney (2003): a representação de objetos

potencia o desenvolvimento da intuição geométrica, as capacidades de visualização e

também o conhecimento e compreensão das propriedades geométricas. Contudo, as

dificuldades em Geometria surgem, por diversas vezes, porque os alunos raciocinam

sobre as representações, em vez de o fazer sobre objetos teóricos (Battista, 2007).

As diretivas nacionais e internacionais têm vindo a evidenciar, desde os

primeiros anos de escolaridade, a preocupação com o ensino-aprendizagem da

Geometria, como um meio privilegiado para se desenvolver capacidades transversais,

como a argumentação e a comunicação, e aprender diferentes tipos de raciocínios,

como a visualização espacial e o raciocínio geométrico.

2.2.2. A aprendizagem da Geometria e as dificuldades dos alunos

A Geometria permite aos alunos trabalhar em simultâneo com outros ramos da

Matemática, como a Álgebra e a Análise (Atyah, 2003). O ensino da Geometria

desenvolve nos alunos a intuição geométrica e o raciocínio espacial, bem como

capacidades para estes explorarem, conjeturarem e raciocinarem logicamente, usando

e aplicando os conteúdos matemáticos trabalhados, formulando e resolvendo

problemas abstratos ou numa perspetiva de modelação matemática. Esta ideia é

sublinhada por Geddes e Fortunato (1993), que indicam que dois dos principais

objetivos da Geometria são o desenvolver de capacidades de pensamento lógico e de

intuições espaciais sobre o mundo que nos rodeia.

Alguns investigadores (Junqueira, 1995; Abrantes et al., 1999; Afonso, 2002)

destacam a importância da resolução de problemas não rotineiros para a aprendizagem

da Geometria, porque os mesmos podem propiciar o desenvolvimento de capacidades,

sendo a mais óbvia a visualização espacial.

26

2.2.2.1. Visualização espacial

Para Tartre (1990), a visualização espacial é uma capacidade mental

relacionada com a manipulação e interpretação de relações visuais. Clements e Sarama

(2007) consideram a visualização espacial como uma capacidade de gerar e manipular

imagens, envolvendo a compreensão e capacidade de imaginar objetos em

movimentos num espaço bidimensional e tridimensional. Para tal, é necessário que os

alunos sejam capazes de modelar imagens mentais. Arcavi (2003) tem uma visão

semelhante do que é a visualização espacial:

A capacidade, o processo, o produto de criação, interpretação, utilização e

análise de figuras, imagens e diagramas, na nossa mente, em papel ou com

ferramentas tecnológicas, com o objetivo de descrever e comunicar

informação, pensar e desenvolver ideias até então desconhecidas e

progredir no conhecimento. (p. 217)

Na perspetiva de Gutiérrez (1996), a visualização é composta por quatro

elementos principais: as imagens mentais, as representações externas, os processos e

as capacidades de visualização. As imagens mentais são vistas como um qualquer tipo

de representação cognitiva de um conceito ou propriedade matemática, por meio de

elementos visuais e/ou espaciais. Para este autor, apenas alguns tipos de imagens

mentais são necessários para se executar determinado tipo de tarefa, pelo que podem

não surgir todas durante o processo de resolução. As representações externas são

qualquer tipo de representação verbal ou gráfica de conceitos e propriedades, incluindo

as figuras, os diagramas, os desenhos, etc., que ajudam a criar imagens mentais. Por

sua vez, os processos de visualização são vistos como ações onde as imagens mentais

estão envolvidas, podendo ser divididos em: (a) interpretação visual da informação, de

modo a criar imagens mentais; e (b) interpretação das imagens mentais criadas, de

modo a gerir informação.

Também Duval (1998) considera que a visualização envolve três processos

cognitivos: (a) os de visualização, tendo em consideração a representação espacial para

a ilustração e demonstração, para a exploração de uma situação complexa, para uma

vista de olhos sinótica ou para uma verificação subjetiva; (b) os de construção, que

funcionam como um modelo em que as ações representativas e os resultados

observados estão relacionados com os objetos matemáticos que estão representados; e

(c) os discursivos, para alargamento dos processos de conhecimento, para

demonstração e explicação.

27

Del Grande (1987) considera ainda as seguintes capacidades visuais: (a)

perceção da figura, como uma capacidade em identificar um componente específico

em determinada situação (como identificar figuras geométricas em desenhos

complexos, por exemplo); (b) constância percetual, como uma capacidade de

reconhecer figuras geométricas representadas em diferentes posições, tamanhos,

texturas e contextos (reconhecer um losango independentemente da sua posição, por

exemplo); (c) a rotação mental, como a capacidade de produzir imagens dinâmicas

mentais e visualizar a sua configuração em movimento; (d) a perceção da posição no

espaço, que permite distinguir figuras idênticas, mas colocadas em orientações

distintas; (e) a perceção de relações espaciais como uma capacidade de se imaginar

dois, ou mais, objetos ou imagens mentais, em relação consigo próprios ou com outros

(o reconhecimento que um triângulo é a imagem de outro, de acordo com uma

translação, por exemplo); e (f) a descriminação visual, como uma capacidade emerge

da procura da igualdade ou diferença entre duas figuras (quando se pretende classificar

figuras geométricas, por exemplo).

Para Matos e Gordo (1993), as capacidades de interpretar, modificar e antecipar

transformações em objetos pode ser desenvolvida através de experiências concretas

que os alunos tenham com uma diversidade de objetos matemáticos. A decomposição

e/ou composição de figuras, quando acompanhadas da sua descrição, representação

e/ou raciocínio sobre o que acontece, quando suportadas por tecnologias que permitam

trabalhar figuras a duas e três dimensões, possibilitam o desenvolvimento da

capacidade de visualização espacial (NCTM, 2007).

A capacidade de visualização é salientada em diversos estudos como uma

capacidade essencial da promoção da atividade mental dos alunos, estabelecendo a

ligação entre o mundo real e o raciocínio, mostrando-se particularmente útil na

clarificação de ideias matemáticas (Clements & Battista, 1992).

2.2.2.2. Dificuldades dos alunos

A aprendizagem da Geometria permite, também, desenvolver outras

capacidades, como a capacidade de verbalização, que envolve a troca de ideias e

argumentos e negociação de significados (Matos & Serrazina, 1996). Para Ponte

(2005), são os momentos de discussão que proporcionam a troca de ideias e

negociação, pelo que as atividades desenvolvidas em Geometria são um excelente

meio para desenvolver a comunicação dos alunos (Abrantes et al., 1999). O estudo da

28

Geometria permite, ainda, desenvolver capacidades ao nível da organização lógica do

pensamento matemático, através da intuição espacial e a descoberta de propriedades e

relações entre objetos (Matos & Serrazina, 1996).

Apesar do contexto natural privilegiado para desenvolver diversas capacidades,

o insucesso dos alunos na aprendizagem da Geometria é reconhecido em variados

estudos, pelo que alguns investigadores se têm debruçado sobre a função das imagens

mentais na forma como se resolvem problemas, nas dificuldades percetuais dos alunos

na compreensão dos desenhos e figuras, na interpretação de representações visuais de

conceitos, no estudo da capacidade em imaginar transformações em objetos

matemáticos e na comunicação do pensamento matemático, através do uso de

vocabulário geométrico adequado (Gutiérrez, 1998).

Quando pretendemos expor certos raciocínios, não o fazemos apresentando

conceitos ou objetos, mas sim utilizando expressões, gráficos, diagramas, desenhos ou

símbolos, que representam o que queremos; isto é, servimo-nos de representações

externas. No entanto, quando pretendemos comunicar os nossos conhecimentos,

somos obrigados a pensar sobre os objetos e conceitos matemáticos, formando

imagens mentais sobre os mesmos, as denominadas “representações internas” (Duval,

2006; Goldin, 2008). Castro e Castro (1997) consideram que estas representações têm

a dupla função de atuar como um estímulo para os sentidos, nos processos de

construção de novas estruturas mentais, e permitem expressar conceitos e ideias.

Uma das formas mais comuns de representação de conhecimento geométrico é

o desenho, fundamental para a compreensão de conceitos e ideias (Battista, 2007): os

desenhos permitem a ilustração de teoremas e/ou definições, resumem conjuntos de

informação e auxiliam na construção de provas/demonstrações (Parzyz, 1991),

podendo fornecer contraexemplos. Ainda assim, os alunos revelam ter dificuldades em

compreender a sua utilização, atribuindo caraterísticas de um desenho ao objeto

geométrico que este está a representar, não compreendendo que o desenho não

representa necessariamente todas as informações sobre o objeto (Parzysz, 1988;

Battista, 2007).

De acordo com Yerushalmy e Chazan (1990), as dificuldades dos alunos com

a utilização de desenhos relaciona-se com a sua particularidade, com o seu uso comum

e com a forma como o desenho pode ser visto e descrito, isto é, as suas múltiplas

interpretações. A utilização de um caso particular de desenho pode prender a atenção

em detalhes irrelevantes ou conduzir a informação que não é válida: um desenho

29

representa uma classe de um objetivo, servindo de base ou modelo para o mesmo, no

entanto, tem caraterísticas próprias que não são representativas da classe (Presmeg,

1986). Esta ideia é salientada num estudo desenvolvido com alunos do 9.º ano de

escolaridade, sobre a aprendizagem da Geometria em ambientes de geometria

dinâmica, no qual se verificou que uma das principais dificuldades dos alunos na

construção das suas justificações foi a visualização, sendo que estes se apoiaram,

sobretudo, nos desenhos propostos nas fichas de trabalho: “os desenhos dados nas

fichas influenciaram grandemente o trabalho dos alunos” e “as justificações baseadas

nas evidências das imagens foi predominante” (Junqueira, 1995, p.31-132).

Ferreira (2005), num estudo com alunos de 9.º ano de escolaridade, também

afirma que os alunos se basearam fortemente na evidência das imagens, incapacitando-

-os de produzir justificações que não se baseavam nessa evidência:

Poucas foram as vezes que [os alunos] sentiram a necessidade de procurar

justificações, salvo quando eram confrontados com as nossas questões ou

púnhamos em causa as suas respostas (…) limitando-se muitas vezes a

dizer “vê-se logo” ou “parece” (…) Não sabemos a que se deveu, mas a

justificação baseada na evidência das imagens foi, assim, predominante.

(p.196)

Na formação de imagens mentais, os desenhos a estas associados assumem um

papel de relevo na construção do conhecimento matemático, em particular na

Geometria. No entanto, nem sempre é claro para os alunos que o desenho é somente

uma representação física dessas imagens (Gravina, 1996).

Segundo French (2004), o ensino da Geometria deve desenvolver-se

proporcionando uma experiência rica através da observação, tratamento, manipulação

e descrição de formas. Contudo, os alunos apresentam dificuldades que, muitas das

vezes, têm a ver com a sua intuição. De acordo com o mesmo autor, a confusão dos

alunos não resulta por si só de uma confusão na linguagem, mas sim no facto de

pensarem que os conceitos estão relacionados entre si. Esta ideia é salientada por

Ferreira (2005), que refere que os mesmos “por vezes, misturavam a aparência [a sua

intuição através da observação de casos] com algumas relações ou propriedades que

já tinham estudado, mas sem conseguirem estabelecer um encadeamento lógico das

relações que observavam (p.183).

Também o rigor da linguagem utilizada é uma dificuldade evidenciada em

alguns estudos. Salvador (2013), num estudo com alunos do 9.º ano de escolaridade

30

focado em Geometria, concluiu que a maioria dos alunos consegue aplicar os conceitos

e propriedades estudadas “embora demonstrem algumas dificuldades em enunciá-las,

usando linguagem mais formal” (p.77). Capa (2015), no seu estudo que pretendia

analisar as aprendizagens desenvolvidas pelos alunos de 9.º ano de escolaridade no

tópico Circunferência, menciona igualmente o rigor da linguagem como uma

dificuldade evidenciada pelos alunos, referindo que ao tentar relacionar a medida da

amplitude de dois arcos, os alunos concluíram que “𝛼 é igual a 𝐴�̂� mais 𝐷�̂� a dividir

por dois” (p.62), não esclarecendo que se estão a referir ao conceito de amplitude.

A compreensão do vocabulário utilizado e a comunicação de raciocínios

geométricos constituem, igualmente, duas dificuldades evidenciadas pelos alunos,

como mostram alguns estudos. Guillén (2000), num estudo com alunos do 6.º ano de

escolaridade, fez menção às dificuldades que os alunos “apresentam em utilizar e

expressar corretamente o vocabulário próprio da Geometria quando enunciam

propriedades ou relações” (p. 59), como forma de justificar algo.

Por último, uma dificuldade frequentemente presente nos alunos, quer em

Geometria, quer, mais geralmente, em Matemática, diz respeito à compreensão dos

enunciados propostos. Esta ideia é referida por Braga (2014), no seu estudo sobre a

resolução de problemas no ensino-aprendizagem do tópico Circunferência,

desenvolvido com alunos do 9.º ano de escolaridade:

Perante os problemas propostos, e tendo em conta as dificuldades que se

prendem com a resolução destes, talvez a primeira dificuldade verificada

se prenda com a interpretação do enunciado, ou seja, a interpretação do

texto em si e de informações concretas, não interpretando os alunos

corretamente o que o problema transmite. (p.60)

Em suma, a Geometria, apesar de ser um meio privilegiado para o

desenvolvimento da intuição, raciocínio e capacidades transversais do aluno, comporta

diversas dificuldades, como (a) o uso de desenhos e sua compreensão; (b) a

visualização espacial; (c) a desconexão de ideias e incapacidade de interligação das

mesmas, construindo uma argumentação coesa; (d) o rigor da linguagem utilizado; e

(e) a compreensão e apropriação do vocabulário próprio da Geometria.

31

3. A Unidade de Ensino

Neste capítulo apresento a intervenção letiva que realizei, tendo por base a

unidade de ensino “Circunferência”, numa turma de 9.º ano de escolaridade, na Escola

Secundária Padre Alberto Neto. Começo com uma breve descrição do contexto

escolar, onde faço uma caracterização da Escola e da turma. Em seguida, apresento a

ancoragem da unidade de ensino e os principais conceitos matemáticos abordados no

decorrer da sua lecionação, explicitando, também, as opções didáticas tomadas à luz

do programa vigente (MEC, 2013a). Apresento, ainda, a planificação da unidade e

descrevo detalhadamente as tarefas utilizadas, incluindo os seus principais objetivos,

bem como a avaliação das aprendizagens realizadas no decorrer da lecionação da

unidade considerada. Por fim, descrevo sucintamente as aulas lecionadas tendo em

conta os objetivos previamente definidos, referindo, justificadamente, desvios em

relação às planificações inicias.

3.1. Contexto Escolar

3.1.1. Caraterização da Escola

A Escola Secundária Padre Alberto Neto está inserida no Agrupamento de

Escolas de Queluz-Belas, sendo esta a sua escola-sede, abrangendo alunos oriundos

das freguesias de Queluz e de Belas, as mais populosas do conselho de Sintra (AEQB,

2013).

Segundo o Projeto Educativo da Escola (2013), o território no qual esta se

insere carateriza-se por uma significativa diversidade cultural, registando-se uma

percentagem de alunos estrangeiros de cerca de 11,7%, com predomínio da população

escolar proveniente dos PALOP e do Brasil. Maioritariamente ocupado por famílias

de classe baixa ou classe média baixa, o abandono e o insucesso escolar tornaram-se

nas duas principais preocupações educativas do Agrupamento e da Escola.

A escola tem como principal missão promover a equidade e inclusão social, e

a plena integração dos alunos no contexto escolar, a partir de colaborações com as

famílias, identificação de interesses e alternativas escolares e profissionais, e

articulando a sua oferta com as características do meio e as solicitações da

comunidade, favorecendo o desenvolvimento global dos alunos e visando o exercício

da cidadania (AEQB, 2013).

32

A oferta formativa da Escola Secundária Padre Alberto Neto integra os 2.º e 3.º

Ciclos do Ensino Básico, os cursos Cientifico-Humanísticos regulares e os Cursos

Profissionais do Ensino Secundário.

Em 2011, foi concluída a requalificação do espaço escolar que passou a integrar

instalação mais modernas e seguras, bem como uma biblioteca e uma sala polivalente,

que disponibiliza um auditório com cerca de 200 lugares (AQEB, 2013). O projeto de

intervenção da Escola incluiu a reabilitação de três pavilhões, a remodelação e

ampliação de outros três, a edificação de dois novos pavilhões e a requalificação dos

espaços exteriores envolventes.

Em relação às salas de aula, todas dispõem de um retroprojetor e um

computador, para uso de professores e alunos. Contudo, os meios disponibilizados pela

Escola não são suficientes para suportar uma aula em que os alunos tenham acesso

total a computadores, ou outros dispositivos informáticos, que lhes permitam

manipular softwares de aprendizagem ou realizar atividades pedagógicas em sala de

aula que requeiram acesso a tecnologia.

3.1.2. Caraterização da turma

No que concerne à turma onde foi realizada a minha intervenção letiva, esta é

constituída por vinte e oito alunos (12 raparigas e 16 rapazes), dos quais três são de

nacionalidade estrangeira, sendo que há um aluno da turma, inscrito este ano letivo,

que apenas comunica em língua francesa. As idades dos alunos desta turma estão

compreendidas entre os 14 e os 16 anos, pelo que a maioria iniciou o presente ano

letivo com 14 anos de idade, havendo apenas dois alunos repetentes, mas, do que se

pode observar, com vontade de aprender, participativos em aula e envolvidos nas

tarefas propostas.

A turma integra uma aluna identificada com necessidades educativas especiais

(NEE), por esta ser bastante tímida e ter dificuldades em se relacionar com os colegas

e restantes membros da comunidade educativa, sendo que se nota, em contexto de sala

de aula, um certo desconforto em relação à interpelação durante a discussão das

diversas atividades realizadas. Há, ainda, um aluno diagnosticado com Dislexia, com

dificuldades ao nível da consciência fonológica, da leitura e da escrita.

Em termos comportamentais, a turma pode descrever-se como sossegada,

existindo apenas momentos pontuais em que se regista algum barulho em sala de aula,

durante o trabalho autónomo ou, por vezes, quando há exposição de conteúdos por

33

parte do professor. Aliado a isto, registam-se alguns casos de imaturidade e de falta de

atenção, caraterísticos das idades dos alunos com os quais estamos a interagir, pelo

que, por vezes, se torna necessário alertá-los de que o barulho que se gera está a ser

incomodativo e a impedir o decorrer normal da aula.

Uma vez habituados a trabalhar a pares, os alunos são, por norma, ativos nas

resoluções das tarefas propostas, demonstrando interesse em participar e aprender. O

facto de trabalharem a pares ajuda-os a superar mais facilmente as suas dificuldades,

notando-se uma constante entreajuda, podendo afirmar-se que a relação entre estes é

bastante positiva, não se verificando casos de quezílias ou problemas de maior

extensão. Um aspeto importante a salientar do trabalho a pares diz respeito à

disposição dos alunos em sala de aula. Estes são emparelhados de acordo com as suas

classificações nos testes, sendo que os alunos com classificações mais altas se juntam

aos alunos com classificações mais baixas, alterando-se a planta da sala sempre que há

um momento de avaliação sumativa.

Quanto ao desempenho académico desta turma na disciplina de Matemática, os

resultados são satisfatórios com a maioria das classificações no nível três. No que diz

respeito às classificações do primeiro período, do presente ano letivo, registou-se que

cerca de 21% da turma obteve uma classificação final de 2, 39% obteve uma

classificação final de 3 e 25% da turma obteve classificação final de 4 (Figura 4).

Figura 4 – Classificações dos alunos a Matemática no final do 1.º período do ano letivo 2017/2018

Das observações das produções escritas dos alunos e das aulas, feitas por mim

ao longo do primeiro período, conclui-se que a maioria das dificuldades destes alunos

assenta na resolução de problemas, na comunicação matemática utilizando uma

linguagem correta e na repetição de alguns processos que envolvam o Cálculo.

Dessas observações destaca-se, ainda, no que diz respeito ao ritmo de trabalho

da turma e à envolvência dos alunos nas atividades propostas, uma notória divisão da

mesma em três grupos distintos de alunos. O primeiro grupo diz respeito a três alunos

que se destacam pela sua constante vontade em participar e pela rapidez com que

34

executam as tarefas propostas, bem como pela sua capacidade em explicar, na maioria

das vezes recorrendo a linguagem matemática adequada, os seus raciocínios aos

colegas. Estes alunos destacam-se, ainda, pela sua autonomia na resolução das tarefas,

não necessitando de chamar o professor de forma regular para que este valide as suas

conclusões. O segundo grupo diz respeito a cinco alunos da turma que dependem muito

do trabalho realizado em colaboração com o colega de carteira, do que é exposto no

quadro, ou da ajuda do professor, sendo que não tomam a iniciativa de participar

voluntariamente nas discussões das diferentes tarefas propostas em aula. O último

grupo diz respeito à restante turma, que utiliza o questionamento maioritariamente

como forma de esclarecimento de dúvidas e cujo ritmo de trabalho é regular. De uma

forma geral, estes alunos têm tendência a participar, voluntariando-se para expor ideias

e ir ao quadro sempre que solicitados, e, por norma, explicando os seus raciocínios

recorrendo a linguagem informal, mas, quando alertados, tentando utilizar linguagem

matemática mais formal e correta.

3.2. Ancoragem e Organização da Unidade de Ensino

3.2.1. A Circunferência no Programa do Ensino Básico

A intervenção letiva sobre a qual se debruça este estudo foi desenvolvida tendo

por base a subunidade da Geometria: propriedades dos ângulos, cordas e arcos

definidos numa circunferência, lecionada ao nível do 9.º ano de escolaridade, e tendo

como referência as metas e orientações curriculares para o 3.º ciclo do ensino básico,

previstas pelo programa de Matemática em vigor (MEC, 2013a).

A circunferência é estudada ao longo dos três ciclos de escolaridade, sendo a

sua aprendizagem abordada de forma progressiva pelo programa. Ao nível do 1.º ciclo,

são apresentadas noções básicas de Geometria, iniciando o seu estudo com o

reconhecimento visual de objetivos e conceitos elementares – pontos, colinearidade de

pontos, direções, retas, semirretas e segmentos de reta, paralelismo e

perpendicularidade –, a partir dos quais se constroem objetos mais complexos, como

as circunferências ou os ângulos. A este nível, sugere-se que os alunos sejam capazes

de reconhecer, em objetos e desenhos, a circunferência, conseguindo identificá-la

como sendo “um conjunto de pontos do plano que se encontram a uma igual distância

do seu centro” (MEC, 2013ª, p.19), utilizando corretamente os termos centro, raio e

diâmetro. Nesta fase, é esperado que os alunos sejam capazes de representar

35

circunferências utilizando o compasso e identifiquem a parte interna da mesma como

“um conjunto de pontos do plano cuja distância ao centro é inferior ao raio” MEC,

2013a, p.19), identificando o círculo como a “reunião de uma circunferência com a

respetiva parte interna” (MEC, 2013a, p.19), distinguindo corretamente estas duas

figuras geométricas.

Dado que os temas em estudo neste ciclo são introduzidos de forma

progressiva, caminhando faseadamente para uma conceção mais abstrata, a

aprendizagem da Geometria deve ser feita partindo de modelos concretos do mundo

real das crianças, de modo a que estas possam formar os conceitos essenciais a ser

desenvolvidos nos ciclos posteriores (Ponte & Serrazina, 2000).

Ao nível do 2.º ciclo, a circunferência é estudada apenas no 6.º ano de

escolaridade, sendo abordados os tópicos: polígonos inscritos e circunscritos a uma

circunferência e retas e segmentos de reta tangentes a uma circunferência. A este nível,

são abordados também os conceitos de ângulo ao centro e de setor circular. Uma vez

que este ciclo é uma etapa imprescindível para o estudo da Geometria, é previsto que

os alunos sejam capazes de relacionar as diferentes propriedades estudadas e realizar

tarefas que envolvam a utilização de material de desenho e medida – como a régua, o

compasso e o transferidor –, sendo desejável que adquiram destreza na execução de

construções rigorosas, e reconheçam alguns dos resultados matemáticos que apoiam

os diferentes procedimentos (MEC, 2013a).

Por fim, ao nível do 3.º ciclo, o estudo da circunferência é aprofundado tendo

como principal objetivo o de se estudar as suas propriedades, relacionando elementos

que lhe são inerentes, como os ângulos, as cordas e os arcos. Posto isto, o programa

em vigor prevê o estudo da subunidade propriedades dos ângulos, cordas e arcos

definidos numa circunferência, dividindo-a em:

(a) Arcos de uma circunferência – extremos de um arco, arco menor e arco

maior;

(b) Cordas de uma circunferência – arcos subtensos por uma corda, arco

correspondente a uma corda, propriedades;

(c) Ângulo inscrito num arco – arco capaz, arco compreendido entre os lados

de um ângulo inscrito, propriedades;

(d) Segmento de círculo maior e menor;

(e) Ângulo de segmento – propriedades;

(f) Ângulo ex-inscrito – propriedades;

36

(g) Ângulos de vértice no exterior ou interior de um círculo e lados

intersetando a respetiva circunferência (ângulos excêntricos) –

propriedades;

(h) Construção aproximada de um polígono regular de n lados, inscrito numa

circunferência, com recurso ao transferidor;

(i) Problemas envolvendo ângulos e arcos definidos numa circunferência e

ângulos internos e externos de polígonos regulares.

São ainda previstas as demonstrações dos seguintes teoremas (MEC,2013a):

(a) A amplitude de um ângulo inscrito é igual a metade da amplitude do arco

compreendido entre os respetivos lados. Como corolários: ângulos inscritos

no mesmo arco têm a mesma amplitude e um ângulo inscrito numa

semicircunferência é um ângulo reto;

(b) Qualquer reta que passa pelo centro de uma circunferência e é

perpendicular a uma corda a bisseta, assim como aos arcos subtensos e aos

ângulos ao centro correspondentes.

Por fim, estão previstas as provas matemáticas das seguintes propriedades

(MEC, 2013a):

(a) A amplitude de um ângulo convexo de vértice no interior de um círculo é

igual à semissoma das amplitudes dos arcos compreendidos entre os lados

do ângulo e os lados do ângulo verticalmente oposto;

(b) A amplitude de um ângulo de vértice exterior a um círculo, e cujos lados o

intersetam, é igual à semidiferença entre a maior e a menor das amplitudes

dos arcos compreendidos entre os respetivos lados;

(c) A soma das medidas das amplitudes, em graus, dos ângulos internos de um

polígono convexo com n lados é igual a 180 × (𝑛 − 2) e a soma de n

ângulos externos com vértices distintos é igual ao ângulo giro;

Embora se incluam estas provas e demonstrações como um tópico a

desenvolver em aula, as mesmas requerem um nível de desempenho avançado, pelo

que não são exigíveis à generalidade dos alunos. Todavia, é fundamental que estes

conheçam o enunciado das mesmas e estejam aptos a utilizá-las sempre que necessário.

Por fim, pretende-se que haja uma valorização da intuição e do desenvolvimento do

37

rigor matemático, apelando à importância da argumentação, como justificativa de

procedimentos, técnicas ou raciocínios (MEC, 2013b).

3.2.2. Planificação das atividades desenvolvidas em aula

Com vista à concretização dos objetivos propostos pelo programa, a unidade

didática foi apoiada por um conjunto de nove tarefas, distribuídas de acordo com o

apresentado na tabela 1 e na tabela 2, tendo em conta os tópicos a serem abordados e

os objetivos e duração de cada aula.

Tabela 1 – Planificação das atividades (parte 1 de 2)

Aulas Tópicos Objetivos Tarefa

16 fevereiro

100 minutos

• Arcos e cordas numa

circunferência

• Ângulos ao centro

• Ângulos inscritos

numa circunferência

• Rever elementos de uma circunferência: diâmetro, raio, arcos

(maior e menor), cordas, ângulos ao centro.

• Relacionar a medida da amplitude do ângulo ao centro com a

medida da amplitude do arco compreendido entre os seus lados.

• Definir ângulo inscrito e arco capaz.

• Relacionar a medida da amplitude do ângulo ao centro com a

medida da amplitude do ângulo inscrito correspondente.

• Relacionar a medida da amplitude do ângulo inscrito com a

medida da amplitude do arco capaz e provar a relação encontrada.

• Desenvolver a capacidade de argumentação.

Ficha de trabalho I

“Ângulo ao centro e

ângulo inscrito”

19 fevereiro

50 minutos

• Propriedades do

ângulo ao centro

• Propriedades do

ângulo inscrito

• Reconhecer que a ângulos ao centro com a mesma medida de

amplitude correspondem arcos e cordas geometricamente iguais

e vice-versa.

• Reconhecer que ângulos inscritos num mesmo arco têm a mesma

medida de amplitude.

• Identificar a medida da amplitude de um ângulo inscrito cuja

corda seja um diâmetro da circunferência.

• Desenvolver a capacidade de argumentação.

Ficha de trabalho II

“Propriedades sobre

ângulos”

21 fevereiro

50 minutos

• Arcos e cordas

determinados por

duas retas paralelas

• Reta que contém o

centro da

circunferência e é

perpendicular a uma

corda

• Reconhecer que qualquer reta que contenha o centro da

circunferência e é perpendicular a uma corda, a bisseta, assim

como aos arcos subtensos e aos ângulos ao centro

correspondentes.

• Reconhecer que arcos (respetivamente cordas) determinados por

duas retas paralelas e entre elas compreendidos, são iguais.

• Desenvolver a capacidade de argumentação.

Ficha de trabalho III

“Propriedades

geométricas numa

circunferência”

23 fevereiro

100 minutos

• Arcos e cordas

compreendidos entre

duas retas paralelas

• Ângulo de segmento

• Reconhecer que arcos (respetivamente cordas) determinados por

duas retas paralelas e entre elas compreendidos, são iguais.

• Definir ângulo de segmento.

• Relacionar a medida da amplitude do ângulo de segmento com a

medida da amplitude do arco compreendido entre os seus lados e

provar a relação encontrada.

• Desenvolver a capacidade de argumentação.

Ficha de trabalho IV

“Ângulo de Segmento”

38

Tabela 2 – Planificação das atividades (parte 2 de 2)

26 fevereiro

50 minutos

• Ângulo excêntrico

• Definir ângulo excêntrico.

• Relacionar a medida da amplitude do ângulo excêntrico com as

medidas das amplitudes do arco compreendido entre os seus

lados e o arco compreendido entre o prolongamento dos seus

lados, quando o vértice do ângulo está no interior do círculo, e

provar a relação encontrada.

• Relacionar a medida da amplitude do ângulo excêntrico com as

medidas das amplitudes do arco compreendido entre os seus

lados e o arco compreendido entre o prolongamento dos seus

lados, quando o vértice do ângulo está no exterior da

circunferência.

Desenvolver a capacidade de argumentação.

Ficha de trabalho V

“Ângulo

excêntrico”

28 fevereiro

50 minutos

• Ângulo ex-inscrito

• Relação entre a

medida da amplitude

do ângulo ex-inscrito

e a medida da

amplitude do arco

compreendido entre

os seus lados

• Definir ângulo ex-inscrito.

• Relacionar a medida da amplitude do ângulo ex-inscrito com a

medida da amplitude dos arcos correspondentes às cordas que as

retas suporte dos seus lados contêm e provar a relação

encontrada.

• Desenvolver a capacidade de argumentação.

Ficha de trabalho VI

“Ângulo ex-inscrito

02 março

100 minutos

-------------------------- -------------------------------- Teste de avaliação

05 março

50 minutos

• Ângulo excêntrico, ao

centro e inscrito

• Arcos determinados

numa circunferência

• Eixos de simetria

• Retas tangentes a uma

circunferência

• Resolver problemas geométricos que envolvem os tópicos

matemáticos trabalhados anteriormente.

• Desenvolver a capacidade de argumentação.

Ficha de trabalho VII

“Problemas

geométricos”

07 março

50 minutos

• Ângulos internos e

externos de polígonos

convexos

• Soma dos ângulos

internos e soma dos

ângulos externos

• Determinar a soma das medidas das amplitudes dos ângulos

internos de um polígono convexo e provar que é dada pela

expressão 𝑆𝑖 = (𝑛 − 2) × 180. • Deduzir que a soma das medidas das amplitudes dos ângulos

externos de um polígono convexo é igual ao ângulo giro e provar

o mesmo.

• Desenvolver a capacidade de argumentação.

Ficha de trabalho VIII

“Ângulos internos e

externos de polígonos”

09 março

100 minutos

• Ângulos ao centro e

inscritos

• Polígonos inscritos

numa circunferência

• Resolver problemas geométricos que envolvam tópicos

matemáticos trabalhados anteriormente

• Desenvolver a capacidade de argumentação.

• Correção da ficha

“Problemas” de

trabalho de casa

• Ficha de trabalho

IX

“Problemas envolvendo

polígonos inscritos

numa circunferência”

• Mini teste

3.3. Conceitos Matemáticos

Neste subcapítulo, apresentam-se os principais conceitos matemáticos que

foram trabalhados com os alunos na unidade didática lecionada. Os conceitos

trabalhados em anos anteriores também são aqui abordados, por se revelarem de

particular importância, estabelecendo uma ligação com os conceitos a adquirir da

unidade. As definições, teoremas, corolários e respetivas demonstrações aqui

apresentadas, estão em conformidade com o programa de Matemática vigente (MEC,

2013a), tendo sido retirados ou adaptados do mesmo e do manual adotado pela Escola

(Magro, Fidalgo & Louçano, 2015).

39

Notações utilizadas:

- AB representa a reta que contém os pontos A e B.

- [AB] representa o segmento de reta de extremos A e B.

- �̇�𝐁 representa a semirreta com origem em A.

- 𝐀�̂� representa o menor arco de circunferência, de extremos A e B (pontos da

circunferência não diametralmente opostos).

- 𝐀𝐁 ̂ representa o maior arco de circunferência, de extremos A e B (pontos

da circunferência não diametralmente opostos).

- [AB] representa a corda de extremos A e B, pontos da circunferência.

- Dados dois segmentos de reta [AB] e [CD], 𝐀𝐁̅̅ ̅̅ = 𝐂𝐃̅̅ ̅̅ , representa a igualdade

de comprimento entre os mesmos.

- Dados dois segmentos de reta [AB] e [CD], [AB] // [CD] representa o

paralelismo entre os mesmos.

- Dado um ângulo 𝐴�̂�𝐶, ∢𝐀�̂�𝐂 representa a medida da sua amplitude.

- Dado um arco 𝐴�̂�, ∢𝐀�̂� representa a medida da sua amplitude.

- Dados dois ângulos 𝐴�̂�𝐶 e 𝐸�̂�𝐺, ∢𝐀�̂�𝐂 = ∢𝐄�̂�𝐆, representa a igualdade

entre a medida das amplitudes dos mesmos.

- Dado um ângulo 𝐴�̂�𝐶 e um arco 𝐷�̂�, ∢ 𝐀�̂�𝐂 = ∢𝐃�̂�, representa a igualdade

entre a medida das amplitudes dos mesmos.

Definição de Lugar Geométrico: É a figura geométrica formada por todos os

pontos que satisfazem uma determinada propriedade.

Definição de Mediatriz de um segmento [AB]: É o lugar geométrico dos pontos

do plano, equidistantes dos extremos do segmento [AB].

Definição de Isometria do plano: Uma isometria do plano é uma transformação

do plano em si mesmo que preserva as distâncias e as medidas das amplitudes dos

ângulos, podendo ser classificada em: translação, rotação ou reflexão.

Definição de Reflexão axial de eixo t: Dada uma reta t e um ponto B, não

pertencente a t, a imagem de B, pela reflexão axial de eixo t, é o ponto B’, sendo t a

mediatriz do segmento [BB’].

40

Definição de Ângulo Convexo: Dados três pontos, A,B e O não colineares,

designa-se por ângulo convexo de vértice O o conjunto de pontos pertencentes às

semirretas situadas entre �̇�𝐴 e �̇�𝐵.

Definição de Ângulo Côncavo: Dados três pontos, A,B e O não colineares,

designa-se ângulo côncavo, como o conjunto complementar, no plano, do respetivo

ângulo convexo, unido com as semirretas �̇�𝐴 e �̇�𝐵.

Definição de Circunferência como lugar geométrico: É o lugar geométrico dos

pontos do plano que se encontram à mesma distância de um ponto fixo: o centro.

Definição de Círculo: Designa-se por círculo, a reunião da circunferência com

a sua respetiva parte interna.

Definição de ângulo ao centro: Designa-se por ângulo ao centro, um ângulo

cujo vértice é o centro da circunferência.

Definição de setor circular: Designa-se por setor circular, a interseção de um

dado ângulo ao centro, numa circunferência, com o respetivo círculo.

Definição de arco AB̂: Designa-se arco de extremos A e B, 𝐴�̂�, numa

circunferência, à interseção da mesma com o ângulo ao centro 𝐴�̂�𝐵. O arco 𝐴�̂�,

compreendido entre os lados do ângulo ao centro 𝐴�̂�𝐵, desgina-se por arco

correspondente ao mesmo. O arco determinado na circunferência pelo ângulo ao

centro convexo 𝐴�̂�𝐵, designa-se arco menor 𝐴�̂�, ou simplesmente arco AB̂, e o arco

determinado na circunferência pelo ângulo ao centro côncavo 𝐴�̂�𝐵, designa-se arco

maior 𝐴𝐵 ̂.

Por definição, a medida da amplitude de um arco de circunferência 𝐴�̂� é igual

à medida da amplitude do seu ângulo ao centro correspondente.

Definição de corda [AB]: Dados dois pontos A e B de uma circunferência,

designa-se corda [AB] o segmento de reta de extremos A e B. A maior corda de uma

circunferência é o seu diâmetro.

Dada uma corda [AB], o arco de extremos A e B designa-se por arco subtenso

pela corda [AB]; quando se tratar de um arco menor, este designa-se por arco

correspondente à corda [AB].

Definição de segmento de círculo: Designa-se por segmento de círculo à região

do círculo compreendida entre uma corda e um arco por ela subtenso, dito maior

quando o arco subtenso for o arco maior e menor quando o arco subtenso for o arco

menor.

41

Proposição: A ângulos ao centro de igual amplitude, correspondem arcos e

cordas geometricamente iguais, e vice-versa.

Demonstração (I):

⟹)

Considere-se uma circunferência de centro em O, os pontos da

circunferência A, B, C e D, os ângulos ao centro 𝐴�̂�𝐵 e 𝐶�̂�𝐷 com

igual medida de amplitude (Figura 5).

Como estes ângulos têm igual medida de amplitude, os seus arcos

correspondentes, 𝐴�̂� e 𝐶�̂� têm a mesma medida de amplitude

(porque aa medida da amplitude do ângulo ao centro é igual à

medida da amplitude do seu arco correspondente, por definição).

Resta demonstrar que as cordas [AB] e [CD] são geometricamente iguais.

Considerem-se os triângulos [AOB] e [BOD].

𝑂𝐴̅̅ ̅̅ = 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑂𝐶̅̅ ̅̅ = 𝑂𝐷̅̅ ̅̅ , por se tratarem de raios da circunferência.

Como 𝐴�̂�𝐵 e 𝐶�̂�𝐷 têm igual medida de amplitude, pelo critério de igualdade LAL os

triângulos [AOB] e [BOD] são geometricamente iguais.

Portanto, [AB] e [CD] são geometricamente iguais por se tratarem de lados opostos a

ângulos de igual medida de amplitude, em triângulos geometricamente iguais.

Portanto, a ângulos ao centro com igual medida de amplitude correspondem arcos e

cordas geometricamente iguais.

⟸)

Considere-se uma circunferência de centro em O, as cordas [AB]

e [CD] e os arcos subtensos 𝐴�̂� e 𝐶�̂� (Figura 6).

Considere-se que os arcos 𝐴�̂� e 𝐶�̂� têm a mesma medida de

amplitude.

Sejam 𝐴�̂�𝐵 e 𝐶�̂�𝐷 ângulos ao centro.

∢𝐴�̂�𝐵 = ∢𝐴�̂� e ∢𝐶�̂�𝐷 = ∢𝐶�̂�, por definição.

Como, ∢𝐴�̂� = ∢𝐶�̂� resulta que ∢𝐴�̂�𝐵=∢𝐶�̂�𝐷.

Portanto, a arcos geometricamente iguais correspondem ângulos ao centro com igual

medida de amplitude.

Figura 5 – Figura de

apoio à demonstração I

Figura 6 – Figura de

apoio à demonstração I

42

Considere-se, agora, que as cordas [AB] e [CD] são geometricamente iguais.

Sejam 𝐴�̂�𝐵 e 𝐶�̂�𝐷 ângulos ao centro correspondentes às cordas [AB] e [CD],

respetivamente.

D é a imagem de A, por uma Isometria (rotação de centro em O), e C é a imagem de

B pela mesma Isometria.

Uma vez que as isometrias preservam os ângulos, 𝐴�̂�𝐵 e 𝐶�̂�𝐷 têm a mesma medida

de amplitude.

Portanto, a cordas geometricamente iguais correspondem ângulos ao centro com igual

medida de amplitude. ∎

Propriedade: Dois arcos, e respetivas cordas, compreendidos entre duas

cordas paralelas, são geometricamente iguais.

Demonstração (II):

Considere-se a circunferência de centro em O e as cordas [AB] e

[DC], tais que [AB] // [DC] (Figura 7).

Considere-se uma reta t, que contém o ponto O e é perpendicular

a uma das cordas. Como as cordas são paralelas, a reta t também

é perpendicular à outra corda.

A reta t é um eixo de simetria da circunferência, pelo que B é a

imagem de A e D é a imagem de C, por meio dessa simetria.

Portanto, as cordas [AC] e [BD] são iguais e os arcos 𝐴�̂� e 𝐵�̂� têm igual medida de

amplitude. ∎

Teorema: Qualquer reta que contém o centro de uma circunferência e é

perpendicular a uma corda:

(a) bisseta essa corda

(b) bisseta o seu ângulo ao centro correspondente

(c) bisseta o arco subtenso pela corda

Figura 7 – Figura de

apoio à demonstração II

43

Demonstração (III):

Considere-se a circunferência de centro em O, uma corda [AB],

que contém um ponto C, e uma reta r, perpendicular a [AB], que

contém o ponto O (Figura 8).

(a) A reta r contém um ponto equidistante dos extremos da

corda [AB], o ponto O, e é perpendicular à corda, pelo que

se trata da sua mediatriz. Logo, [AC] e [CB] têm igual

comprimento, pelo que r bisseta a corda [AB].

(b) Os ângulos ao centro 𝐴�̂�𝐷 e 𝐵�̂�𝐷 têm a mesma amplitude porque são a

imagem um do outro pela reflexão axial de eixo r; a imagem do ponto A, pela

reflexão axial de eixo r, é o ponto B. Os pontos O e D, que pertencem ao eixo,

são imagens de si próprios. Portanto, r bisseta 𝐴�̂�𝐵.

(c) Pela proposição anterior, as cordas [AD] e [BD] têm o mesmo comprimento e

os arcos 𝐴�̂� e 𝐵�̂� são geometricamente iguais. Portanto, r bisseta o arco 𝐴�̂�.

∎

Definição de ângulo inscrito: Designa-se por ângulo inscrito num arco de

circunferência um ângulo cujo vértice é um ponto da circunferência e os seus lados

contêm uma corda da mesma. O arco compreendido entre os lados de um ângulo

inscrito designa-se por arco capaz.

Teorema: A medida da amplitude do ângulo inscrito é igual a metade da

medida da amplitude seu arco capaz.

Demonstração (IV):

Considere-se uma circunferência de centro em O, e os pontos da circunferência A,B e

V.

Seja 𝐴�̂�𝐵, um ângulo inscrito nessa circunferência.

Demonstre-se o teorema para cada uma das seguintes situações:

Figura 8 – Figura de

apoio à demonstração

III

44

(a) [VB] é um diâmetro da circunferência (Figura 9)

O triângulo [AOV] é um triângulo isósceles, pois

𝑂𝑉̅̅ ̅̅ = 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ .

Portanto, ∢𝐴�̂�𝐵 = ∢𝑉�̂�𝑂.

O ângulo 𝐴�̂�𝐵 é um ângulo ao centro da circunferência, e

externo de [AOV].

Portanto, ∢ 𝐴�̂�𝐵=∢ 𝐴�̂�𝐵 + ∢𝑉�̂�𝑂.

Como ∢𝐴�̂�𝐵 = ∢𝑉�̂�𝑂, resulta que ∢ 𝐴�̂�𝐵=2 × ∢ 𝐴�̂�𝐵 ⇔∢ 𝐴�̂�𝐵 =∢ 𝐴�̂�𝐵

2.

𝐴�̂�𝐵 é um ângulo ao centro, cujo arco correspondente é o arco 𝐴�̂� pelo que

∢ 𝐴�̂�𝐵 = ∢𝐴�̂�. Daqui resulta que, ∢ 𝐴�̂�𝐵 =∢ 𝐴�̂�

2, pelo que a medida da

amplitude do ângulo inscrito 𝐴�̂�𝐵 é metade da medida da amplitude do seu

arco capaz, 𝐴�̂�.

(b) [VB] não é um diâmetro da circunferência

Considere-se um ponto C, da circunferência, tal que [VC] seja um diâmetro.

(b1) Os pontos A e B pertencem à mesma

semicircunferência definida pelo diâmetro [VC]

(Figura 10).

Considerem-se os ângulos inscritos 𝐴�̂�𝐶 e 𝐵�̂�𝐶.

Um dos lados destes ângulos é o diâmetro [VC]. Por (a),

resulta que ∢ 𝐴�̂�𝐶 =∢ 𝐴�̂�

2 e ∢ 𝐵�̂�𝐶 =

∢ 𝐵�̂�

2.

∢𝐴�̂�𝐵=∢ 𝐴�̂�𝐶 − ∢ 𝐵�̂�𝐶⇔∢𝐴�̂�𝐵=∢ 𝐴�̂�

2−

∢ 𝐵�̂�

2⇔∢𝐴�̂�𝐵 =

∢𝐴�̂�−∡𝐵�̂�

2⇔ ∢𝐴�̂�𝐵 =

∡𝐴�̂�

2,

pelo que a medida da amplitude do ângulo inscrito 𝐴�̂�𝐵 é metade da medida

da amplitude do seu arco capaz, 𝐴�̂�.

Figura 9 – Figura de

apoio à demonstração

IV

Figura 10 – Figura de

apoio à demonstração

IV

45

(b2) Os pontos A e B pertencem a semicircunferências

distintas, definidas pelo diâmetro [VC] (Figura 11).

Considerem-se os ângulos inscritos 𝐴�̂�𝐶 e 𝐵�̂�𝐶.

Um dos lados destes ângulos é o diâmetro [VC]. Por (a),

resulta que ∢ 𝐴�̂�𝐶 =∢ 𝐴�̂�

2 e ∢ 𝐵�̂�𝐶 =

∢ 𝐵�̂�

2.

∢𝐴�̂�𝐵=∢ 𝐴�̂�𝐶 + ∢ 𝐵�̂�𝐶⇔∢𝐴�̂�𝐵=∢ 𝐴�̂�

2 +

∢ 𝐵�̂�

2⇔∢𝐴�̂�𝐵 =

∢𝐴�̂�+∡𝐵�̂�

2 ⇔∢𝐴�̂�𝐵 =

∡𝐴�̂�

2, pelo que a medida da amplitude do ângulo inscrito

𝐴�̂�𝐵 é metade da medida da amplitude do seu arco capaz, 𝐴�̂�.

∎

Corolários

(a) Ângulos inscritos num mesmo arco de circunferência têm a mesma medida

de amplitude.

Demonstração (V):

Sejam 𝛼 e 𝛽 dois ângulos inscritos num mesmo arco 𝐴�̂�, de uma

circunferência de centro em O (Figura 12).

Pelo teorema anterior, ∢𝛼=∢𝐴�̂�

2 e ∢𝛽=

∢𝐴�̂�

2, pelo que ∢𝛼 = ∢𝛽.

Portanto, ângulos inscritos num mesmo arco de circunferência

têm a mesma medida de amplitude.

∎

(b) Um ângulo inscrito numa semicircunferência é um ângulo reto.

Demonstração (VI):

O arco capaz de um ângulo inscrito numa semicircunferência tem 180º de medida de

amplitude, porque se trata de um arco de semicircunferência. Pelo teorema anterior,

resulta que a medida da amplitude do ângulo inscrito é de 180

2=90º, pelo que é um

ângulo reto. ∎

Definição de ângulo de segmento: Designa-se por ângulo de segmento um

ângulo cujo vértice é um extremo de uma corda, um dos seus lados contém essa corda

e o outro lado é tangente à circunferência.

Propriedade: A medida da amplitude do ângulo de segmento é igual a metade

da medida da amplitude do arco compreendido entre os seus lados.

Figura 11 – Figura de

apoio à demonstração

IV

Figura 12 – Figura de

apoio à demonstração V

46

Demonstração (VII):

Considere-se a circunferência de centro em O, o ponto A e os

pontos B,C e D, da circunferência, e o ângulo de segmento 𝐴�̂�𝐶

(Figura 13).

Uma vez que a reta AB é tangente à circunferência, o ângulo

𝐴�̂�𝐷 é reto.

O arco 𝐵�̂� tem 180º de amplitude, por se tratar do arco de uma

semicircunferência. Portanto, ∢ 𝐴�̂�𝐷=∡𝐵�̂�

2.

O ângulo 𝐶�̂�𝐷 é um ângulo inscrito, cujo arco capaz é o arco 𝐶�̂�, pelo que

∢𝐶�̂�𝐷 = 𝐶�̂�

2.

∢ 𝐴�̂�𝐷 = ∢𝐶�̂�𝐷 +∢𝐴�̂�𝐶⇔∡𝐵�̂�

2= 𝐶�̂�

2+∢𝐴�̂�𝐶⇔∢𝐴�̂�𝐶 =

∢𝐵�̂�−∢𝐶�̂�

2⇔∢𝐴�̂�𝐶 =

∢𝐵�̂�

2.

Portanto, a medida da amplitude do ângulo de segmento 𝐴�̂�𝐶 é metade da medida da

amplitude do arco compreendido entre os seus lados, 𝐶�̂�. ∎

Definição de ângulo ex-inscrito: Designa-se por ângulo ex-inscrito num arco

de circunferência um ângulo adjacente a um ângulo inscrito e a ele suplementar.

Propriedade: A medida da amplitude do ângulo ex-inscrito é igual à

semissoma das medidas das amplitudes dos arcos correspondentes às cordas que as

retas suportes dos seus lados contêm.

Demonstração (VIII):

Considere-se a circunferência de centro em O, o ponto A, os

pontos B,C,D da circunferência e o ângulo ex-insrito 𝐴�̂�𝐶

(Figura 14).

O ângulo 𝐴�̂�𝐶 é um ângulo externo de [BCD].

A amplitude de um ângulo externo é igual à soma das amplitudes

dos ângulos internos não adjacentes, pelo que ∢𝐴�̂�𝐶 = ∢𝐵�̂�𝐶 +

∢𝐷�̂�𝐵.

𝐵�̂�𝐶 é um ângulo inscrito cujo arco capaz é o arco 𝐵�̂�, logo ∢𝐵�̂�𝐶=∢𝐵�̂�

2

𝐷�̂�𝐵 é um ângulo inscrito, cujo arco capaz é o arco 𝐷�̂�, logo ∢𝐷�̂�𝐵=∢𝐷�̂�

2

Portanto, ∢𝐴�̂�𝐶 = ∢𝐵�̂�𝐶 + ∢𝐷�̂�𝐵 ⇔ ∢𝐴�̂�𝐶 = ∢𝐵�̂�

2+

∢𝐷�̂�

2=

∢𝐵�̂�+∢𝐷�̂�

2 .

Figura 13 – Figura de apoio à demonstração

VII

Figura 14 – Figura de apoio à demonstração

VIII

47

Conclui-se que a medida da amplitude do ângulo ex-inscrito 𝐴�̂�𝐶 é igual à semissoma

das medidas das amplitudes dos arcos correspondentes às cordas que as retas suporte

dos seus lados contêm, 𝐵�̂� e 𝐷�̂�. ∎

Definição de ângulo excêntrico: Designa-se por ângulo excêntrico um ângulo

um ângulo cujo vértice não está no centro da circunferência. Quanto à posição do seu

vértice, este pode encontrar-se no interior do círculo ou ser exterior à circunferência.

Por definição, um ângulo inscrito é um ângulo excêntrico.

Propriedade (1): A medida da amplitude do ângulo excêntrico, cujo vértice se

situa no interior do círculo, é igual à semissoma das medidas das amplitudes dos arcos

compreendidos entre os lados do ângulo e os lados do ângulo verticalmente oposto.

Demonstração (IX):

Considere-se a circunferência de centro em O, os pontos A,B, D

e E da circunferência, um ponto C interior ao respetivo círculo e

as cordas [AE] e [DB], que contêm o ponto C (Figura 15).

Seja 𝐴�̂�𝐵 um ângulo excêntrico, com vértice em C.

O ângulo 𝐴�̂�𝐵 é externo do triângulo [BCE], pelo que

∢𝐴�̂�𝐵 = ∢𝐵�̂�𝐶 + ∢𝐷�̂�𝐸.

O ângulo 𝐵�̂�𝐶 é um ângulo inscrito, cujo arco capaz é o arco 𝐴�̂�, pelo que

∢𝐵�̂�𝐶 =∢𝐴�̂�

2.

Analogamente, ∢𝐷�̂�𝐸 =∢𝐷�̂�

2.

Daqui resulta que:

∢𝐴�̂�𝐵 = ∢𝐵�̂�𝐶 + ∢𝐷�̂�𝐸⇔∢𝐴�̂�𝐵 =∢𝐴�̂�

2+

∢𝐷�̂�

2⇔ ∢𝐴�̂�𝐵 =

∢𝐴�̂�+∢𝐷�̂�

2.

Portanto, a medida da amplitude do ângulo excêntrico 𝐴�̂�𝐵, cujo vértice se situa no

interior do circulo, é igual à semissoma das medidas das amplitudes dos arcos

compreendidos entre os lados do ângulo (𝐴�̂�) e os lados do ângulo verticalmente

oposto (𝐷�̂�). ∎

Propriedade (2): A medida da amplitude do ângulo excêntrico, cujo vértice se

situa no exterior da circunferência, é igual à semidiferença entre a maior e a menor das

medidas das amplitudes dos arcos compreendidos entre os seus respetivos lados.

Figura 15 – Figura de

apoio à demonstração

IX

48

Demonstração (X):

Demonstre-se o teorema para cada uma das seguintes situações:

(a) Considere-se a circunferência de centro em O, os pontos

A,B,C,D da circunferência e um ponto V exterior à

circunferência (Figura 16).

Seja 𝐴�̂�𝐵 o ângulo excêntrico de vértice V.

Considere-se o triângulo [AVC].

O ângulo inscrito 𝐴�̂�𝐵 é um ângulo externo de [AVC],

pelo que ∢𝐴�̂�𝐵 = ∢𝐴�̂�𝐵 + ∢𝐶�̂�𝐷.

O arco 𝐴�̂� é o arco capaz de 𝐴�̂�𝐵, pelo que ∢𝐴�̂�𝐵 =∢𝐴�̂�

2.

O arco 𝐶�̂� é o arco capaz de 𝐶�̂�𝐷, pelo que ∢𝐶�̂�𝐷=∢𝐶�̂�

2.

Assim:

∢𝐴�̂�𝐵 = ∢𝐴�̂�𝐵 + ∢𝐶�̂�𝐷⇔∢𝐴�̂�

2= ∢𝐴�̂�𝐵 +

∢𝐶�̂�

2⇔∢𝐴�̂�𝐵=

∢𝐴�̂�

2−

∢𝐶�̂�

2⇔∢𝐴�̂�𝐵=

∢𝐴�̂�−∢𝐶�̂�

2.

Portanto, a medida da amplitude do ângulo excêntrico 𝐴�̂�𝐵, cujo vértice se

situa no exterior da circunferência, é igual à semidiferença entre a maior e a

menor das medidas das amplitudes dos arcos compreendidos entre os seus

respetivos lados, 𝐴�̂� e 𝐶�̂�.

(b) Considere-se a circunferência de centro em O, os pontos

A e B da circunferência, e os pontos V e D exteriores à

circunferência (Figura 17).

Seja 𝐴�̂�𝐷 o ângulo excêntrico cujo vértice é o ponto V, e

cujos lados são tangentes à circunferência nos pontos de

tangência A e B.

Considere-se o triângulo [AVB].

O ângulo 𝐴�̂�𝐷 é externo de [AVB], pelo que ∢𝐴�̂�𝐷 = ∢𝐴�̂�𝐷 + ∢𝐵�̂�𝑉.

O ângulo 𝐴�̂�𝐷 é um ângulo de segmento (pois um dos seus lados contém a

corda [AB] e outro é tangente à circunferência), pelo que ∢𝐴�̂�𝐷 =∢𝐴𝐵 ̂

2.

Analogamente, 𝐵�̂�𝑉 é um ângulo de segmento, pelo que ∢𝐵�̂�𝑉 =∡𝐴𝐵 ̂

2.

Logo,

∢𝐴�̂�𝐷 = ∢𝐴�̂�𝐷 + ∢𝐵�̂�𝑉⇔∢𝐴𝐵 ̂

2= ∢𝐴�̂�𝐷 +

∡𝐴𝐵 ̂

2⇔∢𝐴�̂�𝐷=

∢𝐴𝐵 ̂

2 -

∡𝐴𝐵 ̂

2⇔∢𝐴�̂�𝐷=

∢𝐴𝐵 ̂−∢𝐴�̂�

2.

Figura 16 – Figura de

apoio à demonstração

X

Figura 17 – Figura de apoio à demonstração

X

49

Portanto, a medida da amplitude do ângulo excêntrico 𝐴�̂�𝐷, cujo vértice se

situa no exterior da circunferência, é igual à semidiferença entre a maior e a

menor das medidas das amplitudes dos arcos compreendidos entre os seus

respetivos lados, 𝐴𝐵 ̂ e 𝐴�̂�. ∎

Definição de polígono convexo: Um polígono designa-se por polígono convexo

quando qualquer segmento de reta que una dois pontos desse polígono está nele

contido. Caso contrário, designa-se por polígono côncavo. Em qualquer polígono

convexo, cada ângulo interno é convexo e suplementar do respetivo ângulo externo.

Propriedade: A soma das medidas das amplitudes, em graus, dos ângulos

internos de um polígono convexo de n lados (para 𝑛 ≥ 3), é dada pela expressão

𝑆𝑖 = (𝑛 − 2) × 180º.

Demonstração (XI):

Considere-se a decomposição de um polígono

convexo de n lados em triângulos, como indicado na

figura 18.

A soma das medidas das amplitudes dos

ângulos internos do polígono convexo é dada pela

soma de todos os 𝛽𝑖 + 𝛾𝑖, com 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛.

A soma de cada 𝛽𝑖 + 𝛾𝑖 + 𝛼𝑖 é de 180º, pelo

que para todos os 𝛽𝑖, 𝛾𝑖, 𝛼𝑖 a soma é dada por

𝛽𝑖 + 𝛾𝑖 + 𝛼𝑖 = 𝑛 × 180º.

Como a soma de todos os 𝛼𝑖 é de 360º, a soma de todos os 𝛽𝑖 + 𝛾𝑖 é dada por

𝛽𝑖 + 𝛾𝑖 + 360 = 𝑛 × 180⇔𝛽𝑖 + 𝛾𝑖 = 𝑛 × 180 − 360 ⇔ 𝛽𝑖 + 𝛾𝑖 = (𝑛 − 2) × 180 ∎

Propriedade: A soma da medida das amplitudes, em graus, dos ângulos

externos de um polígono convexo de n lados, é igual ao ângulo giro.

Demonstração (XII):

Num polígono convexo, cada ângulo externo é suplementar do ângulo interno.

Sejam, 𝑆𝑖 e 𝑆𝑒 a soma das medidas de amplitude dos ângulos internos de um polígono

convexo de n lados e a soma das medidas de amplitude dos ângulos externos de um

polígono convexo de n lados, respetivamente.

Figura 18- Figura de apoio à

demonstração XI

50

Para qualquer polígono convexo de n lados tem-se: 𝑆𝑖 + 𝑆𝑒 = 𝑛 × 180º.

Uma vez que, pelo teorema anterior, 𝑆𝑖 = (𝑛 − 2) × 180º, resulta que

𝑆𝑖 + 𝑆𝑒 = 𝑛 × 180º⇔(𝑛 − 2) × 180º+𝑆𝑒 = 𝑛 × 180º⇔180 × 𝑛 − 360 = 𝑆𝑒 +

180 × 𝑛⇔𝑆𝑒 = 180 × 𝑛 − 360 − 180 × 𝑛 ⇔ 𝑆𝑒 = 360º.

Portanto, a soma da medida das amplitudes, em graus, dos ângulos externos de um

polígono convexo de n lados é igual ao ângulo giro. ∎

3.4. Estratégias de ensino

As estratégias de ensino adotadas na lecionação desta unidade tiveram em

conta não só os objetivos estabelecidos pelos documentos curriculares, como também

o objetivo do estudo desenvolvido com base na intervenção, a importância da

Geometria para a aprendizagem dos alunos e as suas dificuldades, quer ao nível da

argumentação, quer ao nível da unidade de ensino tratada.

O programa de Matemática do ensino básico dá enfoque às capacidades de

comunicação e argumentação matemática, no âmbito da Geometria, enfatizando a

formulação de conjeturas e a necessidade de justificação a posteriori (MEC, 2013a).

Deste modo, é necessário que se criem oportunidades para os alunos elaborarem

raciocínios dedutivos, que constituem o elemento estruturante, por excelência, do

conhecimento matemático (Oliveira, 2002).

O programa sugere, igualmente, que os alunos sejam incentivados a expor as

suas ideias e a comentar as afirmações dos colegas e do professor, e redijam as suas

respostas usando linguagem matemática, apoiando-se em argumentos matemáticos

válidos e fundamentando o seu raciocínio. Fundamentalmente, pretende-se estimular,

junto dos alunos, a justificação matemática das suas asserções, em todas as atividades

que estes realizarem – sejam elas problemas, tarefas de investigação ou exploração –

devendo o professor criar, em sala de aula, momentos em que os alunos utilizem de

forma adequada, consistente e progressiva, a notação, simbologia e vocabulário

específico da Geometria (MEC, 2013a).

No mesmo sentido, o NCTM (2009) recomenda que o professor: (a) resista ao

impulso de indicar estratégias de resolução para as mais variadas tarefas; (b) recorra

ao questionamento, promovendo o aprofundamento da situação a ser estudada, com

questões do tipo “como sabes que a tua conjetura funciona?”, “experimentaste de outra

forma?”; (c) dê destaque a explicações exemplificativas e conduza os alunos à reflexão

51

da sua eficiência; (d) estabeleça, em sala de aula, um ambiente no qual os alunos se

sintam confortáveis para a partilha e crítica de argumentos. Estas ideias são igualmente

salientadas na literatura. Por exemplo, Boavida (2005) defende:

O discurso desejável numa aula com uma cultura de argumentação envolve

a apresentação, pelos alunos, de argumentos em defesa das suas ideias, a

análise crítica de contribuições dos colegas, a discussão da legitimidade

matemática de cadeias de raciocínio, a expressão de desacordos quando

existem e sua resolução, a fundamentação de posições com argumentos de

carácter matemático, a avaliação de se é, ou não, apropriado usar um

determinado raciocínio na resolução de um problema, a formulação de

conjeturas e a avaliação da plausibilidade e/ou validade destas conjeturas.

(p. 96-97)

Tendo em conta o descrito, e o objetivo deste estudo, as aulas foram

dinamizadas de acordo com as três fases seguintes: (a) apresentação das tarefas a

realizar; (b) trabalho autónomo desenvolvido pelos alunos; (c) discussão e síntese dos

resultados (Canavarro, 2011; Stein, Engel, Smith & Hughes,2008), com enfoque nos

argumentos e contra-argumentos produzidos pelos alunos.

Durante a apresentação das tarefas, as mesmas foram distribuídas aos alunos,

em papel, explicitando-se o tempo que estes teriam para as realizar e que recursos

dispunham para o fazer (Stein et al., 2008). Dado que em algumas tarefas foram

apresentados os enunciados de certas definições, foi pedido, nesses casos, a um aluno

que lesse o enunciado das mesmas para a restante turma, com posterior discussão, de

forma a tentar minimizar a estranheza dos alunos face a estas. Durante estes momentos

foram salientados, por mim, aspetos relevantes do enunciado e esclarecidas eventuais

dúvidas que decorressem da sua leitura (Canavarro, 2011).

Durante este processo, centrei-me no apoio à compreensão do (s) enunciado

(s), e do que era pedido, auxiliando os alunos a envolverem-se na resolução das tarefas,

não fornecendo orientações específicas que lhes mostrassem que estratégia utilizar, ou

procedimento seguir, uma vez que tal poderia anular o potencial da (s) tarefa (s)

proposta (s).

Em relação ao trabalho autónomo, pretende-se que os alunos sejam ativos na

resolução das tarefas, na interpretação das questões colocadas e na construção de

estratégias que lhes permitam resolver o pretendido mobilizando conhecimentos,

aprofundando a sua compreensão dos vários conceitos matemáticos envolvidos e

desenvolvendo representações, procedimentos e ideias. Nesta fase, o trabalho foi

52

desenvolvido a pares, não só por este ser o modo de trabalho com o qual os alunos da

turma estão familiarizados, mas também porque promove a constante trocas de ideias

e argumentos, permitindo a sua envolvência nas atividades propostas. De facto, o

trabalho em conjunto contribui significativamente para a aprendizagem dos alunos,

uma vez que permite um constante feedback por parte dos próprios colegas, e uma

partilha de pensamentos, tornando a aprendizagem em algo que é construído

mutuamente (Canavarro, 2011). A interação entre os alunos é, pois, fundamental para

desenvolver a capacidade argumentativa, porque promove uma interação mais

significativa entre eles (Ponte & Serrazina, 2000) e contribui fortemente para o seu

envolvimento na construção e crítica de argumentos (Boavida, 2005), permitindo

também que os alunos expressem as suas ideias e dúvidas com os seus colegas, num

ambiente mais restrito, isento de exposição para toda a turma.

Um aspeto tido em conta, durante este momento, foi a forma como auxiliei a

resolução das tarefas. Uma vez que estes foram momentos de trabalho autónomo,

circulei pela sala de forma a monitorizar o trabalho realizado, o progresso dos alunos

e as diversas estratégias utilizadas pelos mesmos. Em momentos em que os alunos

solicitaram o meu auxílio, incentivei-os a recomeçar os seus raciocínios, a explorarem

diferentes caminhos, tentando não validar ou contrariar o seu trabalho (Stein et al.,

2008). Ao longo do trabalho dos alunos, quando se verificava que a mesma dúvida era

evidenciada por diversos grupos, esta era devolvida à turma para que, em conjunto, se

pudesse esclarecer a mesma, de forma a retomar o trabalho (Tudella, Ferreira,

Bernardo, Pires, Fonseca, Segurado & Varandas, 1999).

Uma vez que este estudo se foca na argumentação, e como nem sempre os

alunos têm as ferramentas matemáticas necessárias para construir argumentos fortes,

cabe ao professor dirigir os alunos à concretização desse processo. Para tal, foram

realizadas discussões em grupo turma, assumindo-se a professora como a principal

mediadora das mesmas, a fim de se estimular a interação entre os alunos, e com a

professora, reforçando atividades como o questionamento, a comparação, a

justificação e a explicação (NCTM, 2000).

Nesta fase, questionei os alunos acerca dos diversos processos de resolução,

alertando para o vocabulário científico utilizado e desenvolvendo uma abordagem

positiva face ao erro, como um meio de aprendizagem (Santos, Canavarro & Machado,

2006). Efetivamente, o erro constitui uma forma provisória do saber. Assim, cabe ao

professor encará-lo como algo construtivo, analisando e evidenciando fatores que o

53

produziram, a fim de conseguir auxiliar o aluno a ultrapassá-lo. O professor deverá

procurar compreender a lógica por detrás do erro cometido, pedindo ao aluno que

explique o seu raciocínio, orientando-o, através do questionamento, a uma reflexão

cuidada e estruturada do seu próprio raciocínio e, sempre que possível, envolvendo a

turma nesse processo (Abrahão, 2004).

As discussões matemáticas foram divididas em três fases: (a) apresentação dos

resultados obtidos e conjeturas formuladas; (b) comparação e avaliação dos resultados

e conjeturas apresentados, com recurso à justificação e à explicação; (c) sintetização

das principais ideias (Sherin, 2002) e posterior demonstração/prova das conjeturas

formuladas.

Na primeira fase, foi da minha responsabilidade decidir de que forma se

iniciariam as discussões. A título de exemplo, sempre que surgiram resultados,

processos de resolução ou conjeturas distintas, foi pedido aos alunos que os

expusessem, explicando como chegaram às suas conclusões, justificando os processos

utilizados, através do seu conhecimento matemático sobre propriedades, teoremas e/ou

enunciados já por eles estudados. Pedir a alunos que tivessem resultados incorretos,

conjeturas erradas ou processos de resolução indevidamente justificados, para

apresentarem as suas ideias de modo a serem discutidas em aula, tornou-se num

processo rico para a aprendizagem dos mesmos.

O programa apela a que, ao longo do seu percurso escolar e em particular no

que diz respeito à Geometria, sejam criadas oportunidades para que os alunos elaborem

raciocínios dedutivos do tipo “se… então…” (MEC, 2013a), sendo salientada a

importância de conduzir os alunos a dar sentido às justificações existentes, pedindo,

sempre que pertinente, uma justificação alternativa, salientando o que valida uma

justificação e enfatizando a explicação da sua veracidade (Bell, 2011). Deste modo, o

questionamento oral assumiu-se como sendo o foco principal da minha atividade

enquanto professora, estimulando-se o raciocínio dos alunos, a interligação de ideias

e conceitos e obrigando os alunos a pensar autonomamente sem a validação do seu

pedagogo, promovendo-se atitudes de reflexão e valorizando-se as ideias próprias de

cada um (Tudella et al., 1999). Perguntas como: “porque pensas que a tua ideia permite

chegar à conclusão pedida?”, “consegues pensar em outra maneira de resolver o

problema e explicar porque funciona?”, “se quisesses convencer alguém das tuas

afirmações, o que dirias?”, foram utilizadas como promotoras da argumentação

matemática.

54

Durante o questionamento oral, o discurso em sala de aula focou-se em três

ações distintas: (a) apoiar, como forma de ajudar os alunos a relembrar o que já sabiam

ou a considerar nova informação, introduzida por algum colega ou mesmo pela

professora, através de questões do tipo: “e se pensarmos de outra forma? Como

podemos chegar à mesma conclusão, mas utilizando os resultados obtidos na aula

anterior?”, “que teorema podemos utilizar para responder a esta questão?”; (b) incitar

como forma de aceder ao pensamento dos alunos e incentivá-los a torná-lo público

para a turma, através de questões do tipo: “como pensaste?”, “queres ajudar o teu

colega a melhorar a ideia apresentada?”, “queres apresentar outra ideia que sustente

ou refute alguma(s) já apresentada(s)?”; (c) ampliar, como forma de encorajar os

alunos a irem além dos métodos ou processos de resolução por eles utilizados

inicialmente, convidando-os a avaliar as afirmações feitas, e a sustentá-las através de

argumentos matemáticos, comparar os diversos processos de resolução apresentados e

contra-argumentar as afirmações dos colegas (Cengiz, Kline & Grant, 2011).

Para que o discurso na sala de aula seja promotor da aprendizagem é necessário

que o diálogo seja focado na argumentação, tendo o particular cuidado de garantir que

a linguagem matemática formal esteja presente - é importante que o aluno compreenda

o que se diz em aula, pelo que a linguagem deverá ser acessível aos diferentes alunos

mas, progressivamente, deve ser incentivado o uso de linguagem mais formal, para

que os alunos se habituem e mais facilmente se apropriem da mesma (Martinho & Gil,

2014). Como é usual que os alunos demonstrem dificuldades nesse processo, e tendo

em conta que muitos estudos em sala de aula apontam que devem ser utilizadas

estratégias nesse sentido (Canavarro, 2011), utilizei a estratégia de repetir o que foi

dito reformulando as afirmações feitas pelos alunos, numa linguagem correta, como

forma de as redigir formalmente. Neste processo, embora não se altere o que é dito,

pode-se acrescentar ou substituir certas palavras por outras, de modo a introduzir

mudanças substantivas que permitem dar lugar às ideias matemáticas que se pretendem

ensinar (Boavida, 2005). Por diversas vezes, também dei a oportunidade aos alunos de

o fazerem entre si, através de questões do tipo “como explicariam o que o vosso(a)

colega disse de forma mais rigorosa?” (O' Connor & Michaels, 1993).

Por fim, na fase de síntese, selecionei, quando pertinentes, de entre todas as

ideias discutidas, aquelas que tiveram potencial para ser aprofundadas, introduzindo

novas ideias, quando necessário, que permitiram analisar ou relacionar com outras

anteriormente discutidas e que, ainda, permitiram sintetizar o apresentado. Em

55

algumas ocasiões, apoiei-me no software Geogebra, como uma ferramenta de

geometria dinâmica, que serviu para o teste das conjeturas formuladas em aula, de

modo a que os alunos pudessem retirar conclusões sobre as mesmas. A escolha deste

software recaiu, sobretudo, no facto de a linguagem utlizada ser familiar aos alunos,

aliando a Álgebra à Geometria e potenciando a aprendizagem dos contextos estudados.

O software permitiu aceder a uma gama variada de exemplos, uma vez que as figuras

se podem movimentar, podendo alterar as suas dimensões (Hohenwarter & Fuchs,

2004), oferecendo um maior suporte matemático aos alunos para dar sentido às suas

conclusões e justificações, algo que em registo escrito se revelaria exaustivo e pouco

produtivo.

Como evidenciado na ancoragem da unidade de ensino considerada, o

programa prevê a prova e demonstração de certos teoremas e propriedades.

Posteriormente às argumentações críticas e reflexões, incentivei os alunos a procurar

uma justificação para as propriedades e teoremas encontrados, de forma a construir

provas e demonstrações matemáticas que permitissem generalizar os resultados

obtidos – os alunos foram diversas vezes alertados para a importância da prova da

veracidade das conjeturas encontradas, sublinhando-se que a partir da observação de

alguns casos particulares não se pode concluir o caso geral sem uma prova que torne

essa observação irrefutável. As provas e demonstrações foram maioritariamente

realizadas por mim recorrendo ao questionamento oral e com o auxílio da turma, tendo

sempre aproveitado as contribuições dos alunos para a construção das mesmas; optei

por realizar estes dois processos, em vez de o pedir aos alunos, pois, pelo que pude

observar de aulas anteriores, e do contacto com a turma, os alunos não estão

familiarizados com os mesmos, sendo que há alunos que desconhecem a sua

existência. Contudo, incentivei os alunos, sempre que possível, a tentar provar as

conjeturas encontradas, interligando as ideias que estes expunham durante estes

momentos, de forma a construir uma cadeia argumentativa.

Embora as discussões matemáticas tenham sido um momento central das aulas

lecionadas, existiram outros momentos mais expositivos aquando da necessidade de

introduzir algum novo conceito ou definição. Durante estes momentos, foram

esclarecidas dúvidas sobre o conteúdo exposto e, uma vez mais, utilizou-se o

questionamento oral como forma de averiguar como os alunos compreenderam a

informação exposta.

56

Da necessidade de se introduzir conceitos e definições, mediar discussões e

apoiar o trabalho dos alunos, emerge a importância de: (a) antecipar algumas

dificuldades que possam emergir da resolução das tarefas propostas; (b) monitorizar a

atividade desenvolvida em sala de aula, recolhendo informações que se considerem

pertinentes, selecionando aspetos importantes a salientar durante a discussão e (c)

sequenciar as apresentações dos alunos (Canavarro, 2011), de forma a se construir uma

argumentação baseada em conceitos, propriedades e/ou teoremas que permitam a sua

irrefutabilidade. Stein et al. (2008) referem que a prática de antecipação deverá ser

preparada com o máximo cuidado e importa desenvolver todas as práticas aqui

descritas, na medida em que o sucesso da aula depende das mesmas.

3.5. Tarefas

Ponte (2005) sugere que, aquando da seleção de tarefas, estas sejam

diversificadas, uma vez que cada uma desempenha um papel específico na

aprendizagem dos alunos. Cabe, portanto, ao professor selecionar tarefas que

estimulem não só a intuição e a experimentação, como também permitam consolidar

os conteúdos estudados e/ou desenvolver técnicas rotineiras de resolução.

As tarefas fechadas, como os problemas e os exercícios, são importantes na

medida em que auxiliam o aluno a desenvolver a sua capacidade de relacionar a

informação que dispõem com os conhecimentos adquiridos até ao momento. As tarefas

abertas, como as explorações, permitem aos alunos contactar com situações de caráter

mais complexo, obrigando-os a raciocinar matematicamente, podendo surgir

diferentes métodos de resolução, porque os alunos podem seguir por caminhos

imprevisíveis (Tudella et al, 1999). Como os exercícios e explorações têm um grau de

desafio mais reduzido, favorecem o sucesso dos alunos, promovendo a sua

autoconfiança, ao passo que os problemas, tratando-se de tarefas desafiantes,

propiciam uma atividade matemática mais profunda (Ponte et al., 2015). De facto,

atualmente, a capacidade de resolver problemas é considerada uma habilidade

fundamental presente na maioria das atividades do quotidiano de cada um, pelo que se

torna essencial discutir a sua importância no contexto matemático (NCTM, 2008).

O programa de Matemática do 3.º Ciclo do Ensino Básico (MEC, 2013a)

refere, além do raciocínio e da argumentação, a resolução de problemas como uma

57

capacidade transversal a ser desenvolvida em sala de aula. De acordo com este

documento:

A resolução de problemas envolve, da parte dos alunos, a leitura e

interpretação de enunciados, a mobilização de conhecimentos de factos,

conceitos e relações, a seleção e aplicação adequada de regras e

procedimentos, previamente estudados e treinados, a revisão, sempre que

necessária, da estratégia preconizada e a interpretação dos resultados

finais. (p. 5)

Particularmente no que respeita à Geometria, o programa refere ser essencial

estimular, entre os alunos, a resolução de problemas, o reconhecimento de conjeturas

e a resolução de exercícios como forma de desenvolver a argumentação, essencial à

aprendizagem da unidade (DGE, 2013). Esta ideia é destacada por diversos autores

que apontam que os conceitos geométricos não devem ser tratados de modo

desvinculado das situações problema. Por exemplo, Abrantes (2005) refere que a

Geometria é o domínio da Matemática mais propício à resolução de problemas, e

também às explorações, desde os primeiros anos de escolaridade, uma vez que, neste

domínio, se pode apelar à intuição e à visualização:

Fazendo apelo à intuição e à visualização e recorrendo, com naturalidade,

à manipulação de materiais, a Geometria torna-se, talvez mais do que

qualquer outro domínio da Matemática, especialmente propícia a um

ensino fortemente baseado na realização de descobertas e na resolução de

problemas. (p.121)

Efetivamente, é na resolução de problemas que os alunos podem rever,

consolidar, mobilizar e construir conhecimentos, descobrindo novos conceitos de

Geometria, pois esta carateriza-se por ser uma “fonte de problemas de vários tipos: de

visualização e representação; de construção e lugares geométricos, envolvendo

transformações geométricas, em torno das ideias de forma e de dimensão e implicando

conexões com outros domínios da Matemática” (Abrantes, 2005, p.122).

De acordo com o NCTM (2008), ao resolverem problemas os alunos não só

adquirem conhecimentos matemáticos, como ferramentas essenciais para o seu

quotidiano e para a sua vida profissional, e desenvolvem novos modos de pensar,

persistência, curiosidade e confiança para enfrentar situações novas. É então de

salientar que “a resolução de problemas não só constitui um objetivo da aprendizagem

matemática, como é também um importante meio pelo qual os alunos aprendem

matemática” (NCTM, 2008, p. 57). Dante (1991) defende, também, que é possível,

58

através da resolução de problemas, que o aluno desenvolva iniciativa, criatividade,

espírito inovador, independência e habilidade em elaborar raciocínios lógicos, fazendo

uma utilização inteligente, consciente e eficaz dos recursos que tem aos seu dispor, de

forma a responder e oferecer soluções face às questões colocadas.

Ao contrário do que acontece com os exercícios, quando um aluno resolve um

problema não dispõe, à partida, dos processos de resolução a serem utilizados. O seu

grau de dificuldade carateriza-se por ser superior, na medida em que os alunos não se

limitam a reproduzir técnicas rotineiras de resolução, fomentando o trabalho autónomo

dos mesmos, apelando, uma vez mais, ao sentido crítico e, sobretudo, à justificação

dos processos e conteúdos mobilizados.

Dada a importância da resolução de problemas e explorações, particularmente

em Geometria e de acordo com as orientações curriculares para o Ensino Básico

(MEC, 2013b) a minha intervenção apoiou-se, sobretudo, na resolução de tarefas

integrando problemas e explorações geométricas. Estes foram propostos aos alunos

com o objetivo de permitir a descoberta das propriedades a serem estudadas, dando-

-lhes a oportunidade de elaborarem raciocínios do tipo indutivo (Oliveira, 2008) e de

desenvolverem a sua capacidade de argumentação, tendo optado por enunciados que

possibilitassem mais do que uma estratégia de resolução.

Ainda que o foco principal da unidade de ensino aqui considerada seja a

resolução de problemas e explorações, também foram propostos exercícios de

consolidação dos tópicos estudados, focando-se, igualmente, na justificação e

explicação dos processos de resolução utilizados, através de questões do tipo “justifica

a tua resposta”, “explica como chegaste a essa conclusão”.

As tarefas utilizadas durante a lecionação desta unidade didática são

apresentadas em seguida, de forma detalhada, sendo que os seus enunciados se

apresentam no Anexo 1.

Tarefa I

Ângulo ao centro e ângulo inscrito

A tarefa “Ângulo ao centro e ângulo inscrito” foi concebida como tarefa

introdutória da unidade de ensino “Circunferência”, sendo que a primeira questão se

trata de um exercício de revisão em que se pretende que os alunos identifiquem alguns

elementos da circunferência, já estudados em anos anteriores, indispensáveis para o

estudo da unidade de ensino considerada. No que respeita à introdução de novos

conteúdos, foi pensada para introduzir os conceitos de ângulo inscrito e arco capaz,

59

bem como conduzir os alunos à formulação de conjeturas (sobre a relação que existe

entre a medida da amplitude do ângulo ao centro e a medida da amplitude do seu

respetivo arco e sobre a relação que existe entre a medida da amplitude do ângulo

inscrito e a medida da amplitude do seu arco capaz), tendo por base exemplos

específicos.

Com a primeira e segunda questão desta tarefa, elaboradas por mim, pretendia

que os alunos formulassem as conjeturas já referidas, com posterior verificação

recorrendo ao Geogebra. Optei por inscrever polígonos, sobre os quais os alunos já

conhecem propriedades, em circunferências, para que estes deduzissem o pretendido,

apoiando-se nas duas figuras propostas. Para a segunda questão optei por incluir um

“episódio” ocorrido em sala de aula de forma a envolver os alunos na tarefa, uma vez

que, de observações de aulas e tarefas anteriores, notei que os alunos tendem a focar-

-se mais quando se apresentam enunciados com os quais se identificam.

Por fim, a última questão desta tarefa apresenta três alíneas, sendo a última um

exercício de consolidação. As duas primeiras alíneas desta questão pretendem

conduzir os alunos à formulação de uma conjetura sobre a relação que existe entre a

medida da amplitude do ângulo inscrito e a medida da amplitude do seu arco capaz,

sendo que, na segunda alínea, se pretende que os alunos tentem encontrar uma

justificação para a veracidade da mesma, utilizando as conclusões retiradas das

questões anteriores. Esta opção permitiu-me verificar se os alunos tinham

compreendido as conclusões retiradas anteriormente e a conexão entre diferentes

objetos matemáticos – ângulo inscrito, ângulo ao centro e arco capaz. Esta foi uma

questão adaptada do Caderno de Apoio do 3.º Ciclo, com o objetivo de ser utilizado

para a demonstração da conjetura encontrada pelos alunos. Utilizei a imagem presente

nesta questão para introduzir a demonstração, questionando os alunos sobre as suas

ideias.

Tarefa II

Propriedades sobre os ângulos

A tarefa “Propriedades sobre os ângulos” tem como principal objetivo estudar

propriedades dos ângulos ao centro e inscritos, trabalhados na tarefa anterior, sendo

um seguimento dessa.

Esta tarefa inclui três questões, duas adaptadas do Caderno de Apoio do 3.º

Ciclo e uma desenvolvida por mim, tendo a imagem sido retirada de Lopes (2011).

Para a primeira questão desta tarefa optei por colocar dois ângulos ao centro

60

verticalmente opostos, para que os alunos conseguissem mais facilmente aperceber-se

que podiam referir as isometrias como forma de justificar a igualdade entre as medidas

dos comprimentos das cordas pedidas. Para a segunda questão optei por acrescentar

um pedido de justificação, em relação ao seu original, por esse ser um processo de

argumentação, que é foco deste estudo e por, habitualmente, ser uma dificuldade para

os alunos. Para a terceira questão optei por utilizar uma escolha múltipla, tornando a

tarefa variada em termos de questões colocadas. Ao colocar diversas opções de

escolha, consegui apurar até que ponto os alunos compreendem os conteúdos trabalhos

e, de certo modo, lhes incutir um raciocínio do tipo “se… então”. Em relação ao

original, acrescentei o pressuposto do ponto P ser movível, de forma a introduzir a

classificação dos triângulos quantos aos lados e verificar como os alunos chegariam a

essa informação, como justificariam as respostas dadas e se seriam, ou não, capazes

de explorar além da imagem presente na ficha, isto é, se seriam capazes de se abstrair

e visualizar as diferentes posições de P.

Tarefa III

Propriedades geométricas numa circunferência

A tarefa “Propriedades geométricas numa circunferência” foi apresentada em

terceiro lugar, com o objetivo de se estudar as propriedades da circunferência

propostas pelo programa (MEC, 2013a), relembrando a definição de mediatriz, a noção

de paralelismo e perpendicularidade, os critérios de semelhança entre triângulos e as

isometrias. Esta tarefa contempla um único problema, adaptado do Caderno de Apoio

do 3.º Ciclo.

Este problema induz nos alunos a necessidade de raciocinar dedutivamente

(Oliveira, 2008) – para se concluir que, numa circunferência, cordas e arcos

compreendidos entre duas retas paralelas são geometricamente iguais e que, numa

circunferência, uma reta que contenha o seu centro e seja perpendicular a uma corda,

a bisseta. Ainda, requer-se que os alunos argumentem matematicamente todas as suas

deduções, apoiando-se em propriedades e conceitos por eles conhecidos.

Sendo proposto para uma aula de apenas 50 minutos, foi pensando de forma a

poder contemplar diferentes justificações, pelo que não são dadas indicações, no

enunciado, de como proceder.

61

Tarefa IV

Ângulo de segmento

A tarefa “Ângulo de segmento”, como o nome indica, foi proposta com o

principal objetivo de se estudar o ângulo de segmento. Uma vez que este ângulo ainda

era desconhecido para os alunos, optei por colocar, no início da tarefa, a sua definição

para que os alunos pudessem ter acesso à mesma sempre que utilizassem a tarefa como

meio de estudo. Tal não alteraria o trabalho matemático pedido aos alunos, uma vez

que a definição seria sempre apresentada em aula, por ser essencial ao

desenvolvimento da tarefa proposta.

Esta tarefa, desenvolvida por mim, divide-se em duas questões. A primeira,

refere-se a um caso particular, para que os alunos consigam, através de conhecimentos

prévios – reta tangente a uma circunferência, ângulos suplementares e ângulo inscrito

– relacionar a medida da amplitude do ângulo de segmento com a medida da amplitude

do respetivo arco compreendido entre os seus lados. A segunda questão, por sua vez,

pretende introduzir o caso geral, no qual os alunos são levados a conjeturar sobre a

relação que se pretende estudar. Esta questão foi colocada com o objetivo de,

posteriormente à discussão da tarefa, ser utilizada como introdução ao caso geral, com

posterior prova do mesmo.

Tarefa V

Ângulo excêntrico

A tarefa “Ângulo excêntrico”, como o nome indica, foi proposta com o

principal objetivo de se estudar o ângulo excêntrico e as suas propriedades, sendo uma

adaptação de um problema do manual (Magro, Fidalgo & Louçano, 2015). À

semelhança da tarefa anterior, como seria introduzido um ângulo desconhecido pelos

alunos, optei por colocar a sua definição no início da tarefa.

Uma vez que as relações encontradas apenas dependem da posição do vértice,

optei por construir duas questões semelhantes, modificando apenas a posição do

vértice do ângulo, de forma a metade da turma puder resolver a primeira questão e a

outra metade resolver a segunda questão, com posterior discussão. Tal não alteraria a

aprendizagem dos alunos, porque a discussão em grupo turma permitira à turma

compreender o que ambas as “metades” concluíram.

Optei, uma vez mais, por levar os alunos a conjeturar sobres as relações que se

pretendiam estudar, para que estes tivessem presente que o estudo de um caso concreto

62

não permitira concluir as relações pretendidas, sendo que essas questões serviram para

introduzir o caso geral e a posterior prova do mesmo.

Tarefa VI

Ângulo ex-inscrito

A tarefa “Ângulo ex-inscrito”, como o nome indica, foi proposta com o

principal objetivo de se estudar o ângulo ex-inscrito e as suas propriedades, tendo sido

desenvolvida por mim. Mais uma vez, optei por incluir a definição de ângulo ex-

-inscrito no enunciado da tarefa proposta.

Para a primeira questão optei por uma escolha múltipla, solicitando a

justificação dessa escolha. Esta opção prendeu-se, principalmente, pelo facto de

existirem pelo menos duas formas de resolução: uma recorrendo à análise minuciosa

de cada alínea, e outra fazendo os cálculos e optando pela alínea correta. Penso que

isto torna as discussões mais ricas e interessantes, porque, optando pela primeira

estratégia de resolução, os alunos são obrigados a raciocinar dedutivamente “se…

então…”.

Para a segunda questão, optei por apresentar a relação que se pretendia estudar

– a medida da amplitude do ângulo ex-insrito é igual à média das medidas das

amplitudes dos seus arcos correspondentes – questionando se esta seria verdadeira, ou

não, para o caso particular apresentado. O objetivo seria que, através dos seus

conhecimentos prévios, os alunos concluíssem que a relação é verdadeira para o caso

estudado.

Tarefa VII

Problemas geométricos

A tarefa “Problemas geométricos” teve como principal objetivo consolidar

conhecimentos e desenvolver a capacidade de argumentação dos alunos. Formulei esta

tarefa como forma de avaliar em que medida os alunos estariam a compreender os

conteúdos estudados até ao momento, e porque considerei pertinente consolidar os

principais conceitos e relações, antes de prosseguir para a lecionação dos ângulos

internos e externos de polígonos.

Para esta tarefa optei por problemas retirados de provas nacionais de 3.º ciclo,

para que os alunos contactassem com problemas de exames, uma vez que este é um

ano em que terão exame final de Matemática. Optei por, em cada pergunta, não me

limitar a pedir a resolução dos problemas, mas, sobretudo, a justificação dos processos

de resolução utilizados.

63

Tarefa VIII

Ângulos internos e externos de polígonos

A tarefa “ângulos internos e externos de polígonos” foi apresentada aos alunos

com o objetivo de se estudar os ângulos internos e externos de polígonos convexos.

Para esta tarefa optei por utilizar um pentágono irregular para que os alunos

concluíssem que as propriedades que conhecem para os polígonos regulares também

se verificam para este caso. Também optei por colocar novamente uma escolha

múltipla, na qual os alunos eram obrigados a justificar a sua opção, porque me parece

interessante que os alunos possam raciocinar dedutivamente, analisando cada alínea

das escolhas dadas.

Na última questão, pretendia introduzir o caso geral, levando os alunos a

estudar mais dois casos particulares e, a partir destes e da questão anterior,

conjeturarem sobre as relações que se pretendiam estudar, com posterior prova das

mesmas em aula.

Tarefa IX

Problemas envolvendo polígonos inscritos numa circunferência

A tarefa “Problemas envolvendo polígonos inscritos numa circunferência” teve

como principal objetivo o de aplicar os conceitos anteriormente trabalhos e

desenvolver a capacidade de argumentação matemática nos alunos, através da

justificação. Optei, uma vez mais, por problemas retirados de exames nacionais,

modificando-os de forma a incluir o pedido de justificação dos conceitos e

propriedades utilizados. Para a questão dois, optei por um problema que, para além de

fazer alusão aos principais conteúdos trabalhados durante a unidade didática, necessita

de outros conhecimentos dos alunos, essenciais em Geometria, uma vez que é

importante fazer conexões entre os tópicos de diferentes anos escolares, de forma a

consolidar os mesmos.

Em todas as tarefas propostas decidi optar por enunciados relativamente

simples, com contextos familiares aos alunos, de forma a envolve-los na sua resolução

e a minimizar a orientação necessária, da minha parte, na apresentação inicial das

tarefas.

64

3.6. Avaliação

Ao longo da intervenção letiva, para além das tarefas propostas, também foi

incluído um momento de avaliação sumativa, sendo o mini teste o instrumento de

avaliação escolhido. Este mini teste contemplou quatro questões abrangendo alguns

dos tópicos lecionados na referida unidade de ensino, dividido em dois exercícios e

dois problemas. Com este instrumento de avaliação, os alunos podem demonstrar o

seu conhecimento matemático quando se incluem questões de interpretação que

“convidem” os mesmos a refletir e justificar as suas respostas, (Ponte, 1997). Portanto,

optei por pedir, em todas as questões do mini teste, justificações sobre os processos de

resolução dos alunos, de forma a avaliar o progresso da sua capacidade de

argumentação e o conhecimento dos conteúdos trabalhados no decorrer da lecionação

da unidade.

No contexto de uma avaliação que se pretende reguladora, o professor deve

recorrer a instrumentos alternativos aos testes tradicionais (Santos, 2002). Segundo

Santos (2008), a avaliação reguladora pode ser entendida como um processo de

acompanhamento do ensino e aprendizagem dos alunos, com o objetivo principal de

interpretar e compreender o modo como os alunos pensam, em determinada situação.

Dada a sua importância, como instrumentos de avaliação reguladora utilizei (a) o

questionamento oral (NCTM, 2000), (b) a observação do trabalho autónomo dos

alunos e (c) a recolha e análise das tarefas realizadas, com o objetivo de dar feedback.

O questionamento oral é a forma de interação verbal mais comum em sala de

aula (Mata,1990), assumindo um papel fundamental na avaliação reguladora. Para a

lecionação das minhas aulas, utilizei o questionamento oral como forma de aferir sobre

as aprendizagens que estavam a ser desenvolvidas pelos alunos e, sobretudo, para

detetar as suas dificuldades e ideias erróneas, de forma a promover uma atitude

intelectual menos passiva. Ainda, utilizei o questionamento oral como forma de

promover a participação dos alunos, centrando a sua atenção em aspetos dos conteúdos

trabalhados que considerei relevantes (Pereira, 1991).

A observação do trabalho autónomo dos alunos permitiu-me complementar o

questionamento, na medida em que me deu a oportunidade de observar aspetos não-

-verbais, que não são detetáveis através do mesmo. Utilizei ainda a observação do

trabalho autónomo como uma forma de me ajudar a tomar decisões relativamente à

gestão das minhas aulas, regulando o meu próprio ensino. Das observações efetuadas,

65

emergiram reflexões imediatas acerca de opções didáticas que inicialmente tinham

sido tomadas nas planificações das aulas, no que diz respeito ao alargamento do tempo

de realização das tarefas propostas ou à análise crítica fundamentada sobre as mesmas

(Santos, 2005).

A recolha de tarefas com o propósito de dar feedback mostrou-se bastante útil

como um processo de comunicação entre mim e os alunos, contribuindo para os

consciencializar relativamente ao seu processo formativo, apontando aspetos

negativos e positivos das suas resoluções, o que, em aula, não terá sido possível fazer

para todos os alunos da turma. Portanto, utilizei o feedback como um instrumento de

avaliação recorrente, tentando ser o mais explícita possível nos meus comentários, não

incluindo as correções ao erro para que fossem os próprios alunos a identificá-lo,

incentivando-os a reanalisar as suas respostas e reconhecendo o seu esforço (Santos,

2003).

3.7. Descrição da intervenção letiva

Nesta secção apresento descrições sucintas e reflexões sobre as aulas

lecionadas, cujos planos se encontram no Anexo 2.

Aula I

16 de fevereiro de 2018

A minha intervenção letiva foi iniciada dia 16 de fevereiro de 2018, tendo sido

repartida em dois blocos de 50 minutos cada. Para esta aula, defini como tópico estudar

os ângulos ao centro e inscrito. A aula foi apoiada, essencialmente, na resolução e

discussão da tarefa proposta aos alunos (Ficha de trabalho I).

O primeiro bloco de aula focou-se na resolução coletiva do primeiro exercício

da tarefa e no trabalho autónomo e posterior discussão da segunda questão da mesma.

Optei por discutir coletivamente o primeiro exercício, por se tratar de uma revisão de

noções prévias necessárias para dar continuidade ao trabalho no estudo da unidade

considerada. Os alunos envolveram-se bastante na atividade realizada, embora

revelando não se recordar de algumas definições – como a de setor circular e a de

corda. Para contornar essa dificuldade, optei por apoiar o questionamento oral com

desenhos efetuados no quadro. Por exemplo, para definir corda, os alunos afirmaram

que a mesma não poderia conter o centro da circunferência. Assim, optei por desenhar

um diâmetro na circunferência e questionar “um diâmetro é uma corda? os extremos

66

do diâmetro estão ou não sobre a circunferência?”. Os alunos responderam que sim,

sendo que um referiu que o diâmetro seria, portanto, uma corda.

No que à segunda questão concerne, ao monitorizar o trabalho autónomo dos

alunos, apercebi-me que alguns utilizaram processos distintos de resolução, pelo que

considerei pertinente incluir esses elementos na discussão. Para tal, optei pelo

questionamento oral, perguntando a diversos alunos que estratégias de resolução

utilizaram e porquê, pedindo comentários dos colegas. Este processo permitiu aos

alunos relembrar conceitos de anos escolares anteriores (medida das amplitudes dos

ângulos internos de polígonos regulares, medida da amplitude de arcos compreendidos

entre os lados de um polígono regular) e corrigir/modificar algumas das ideias

apresentadas inicialmente.

O segundo bloco desta aula focou-se na resolução autónoma das questões 3 e

4, e sua posterior discussão, tendo os alunos sido igualmente participativos e atentos.

Durante a monitorização do trabalho autónomo dos alunos, no que à questão 3 diz

respeito, apercebi-me que muitos consideraram que as medidas das amplitudes dos

ângulos seriam diferentes porque tal era observável através da imagem presente no

enunciado da tarefa. Como tal, decidi interromper o trabalho autónomo e esclarecer os

alunos que a imagem apenas serve de apoio ao problema e a sua observação não

constitui uma justificação matematicamente aceitável. Com a resolução e discussão a

questão 3, os alunos concluíram que a medida da amplitude do ângulo inscrito é

sempre metade da medida da amplitude do seu ângulo ao centro correspondente. Os

alunos foram alertados para o facto de a conclusão que retiraram ser verdadeira para o

caso geral, não podendo, ainda assim, concluir isso com base num exemplo único, sem

uma demonstração matemática que o sustente.

Para esta aula, tinha definido que iria demonstrar, em conjunto com a turma,

que a medida da amplitude do ângulo inscrito é metade da medida da amplitude do

ângulo ao centro. No entanto, como alguns alunos não puderam comparecer nesta

segunda aula, porque houve um torneio de futebol na Escola, optei por deixar a

demonstração para a aula seguinte, alertando-os, no entanto, para a necessidade de

provar a relação encontrada.

Com a resolução da questão 4, os alunos recordaram a classificação de

triângulos quanto aos lados – sendo que isso foi questionado durante a discussão e os

alunos foram unânimes em responder, sendo que nenhum levantou dúvidas –,

relacionaram a medida da amplitude do ângulo inscrito com a medida da amplitude do

67

seu arco capaz e, na última alínea, resolveram um exercício de consolidação. No que

diz respeito à relação da medida da amplitude do ângulo inscrito com a medida da

amplitude do seu arco capaz, os alunos mostraram ter algumas dificuldades na

compreensão do que era pedido, não conseguindo utilizar as conclusões retiradas das

questões anteriores como um auxílio na resolução da nova questão. Através do

questionamento oral, tentei remeter o pensamento dos alunos para as conclusões

retiradas anteriormente, algo que resultou, uma vez que estes conseguiram concluir o

pretendido.

No final da aula, os alunos foram alertados para o facto de, na questão 4, um

dos lados do ângulo inscrito conter o centro da circunferência, pelo que isso nem

sempre acontece. Decidi mostrar, recorrendo ao Geogebra, os outros casos possíveis

para a posição do ângulo inscrito, para que os alunos compreendessem que a medida

da amplitude deste ângulo é sempre metade da medida da amplitude do seu arco capaz,

independentemente da posição do mesmo. Por fim, discuti a questão dos

arredondamentos porque um aluno reparou que, para certas medidas de amplitude, o

software apresentava valores arredondados.

Um dos aspetos que considerei ter de melhorar foi a escolha dos alunos a

participar durante o questionamento oral: a minha tendência, durante esta aula, foi a

de selecionar apenas os alunos que mostraram interesse em responder, em vez de tentar

incentivar todos os alunos a participar ativamente, construindo uma cultura de

argumentação, que era o desejado. Ainda, durante a monotorização do trabalho

autónomo, notei que se gerou algum barulho incomodativo porque alguns alunos

terminaram mais cedo do que o previsto e, apesar de lhes ter dado tarefas extra para

realizarem, deveria ter gerido este momento de uma melhor forma. Notei que, nesta

fase, é bastante complicado dar assistência a todos os alunos, porque a turma é grande

e tem tendência a demorar a iniciar o trabalho autónomo. Uma forma de minimizar a

distração da turma, será, futuramente, não despender tanto tempo para o trabalho

autónomo.

A aula decorreu de acordo com o planeado, embora não tenha sido

demonstrado que a medida da amplitude do ângulo inscrito é metade da medida da

amplitude do ângulo ao centro.

68

Aula II

19 de fevereiro de 2018

A segunda aula da minha intervenção letiva foi realizada dia 19 de fevereiro,

do presente ano, tendo uma duração de 50 minutos. Para esta aula, defini como

objetivo o de estudar as propriedades dos ângulos estudados na aula anterior,

apoiando-me na resolução e discussão da tarefa proposta para este efeito (Ficha de

trabalho II). Uma vez que na aula anterior não teria conseguido realizar a demonstração

a que me tinha proposto, considerei esse aspeto nesta aula.

Os primeiros vinte minutos da aula focaram-se numa pequena revisão das

conclusões retiradas da aula anterior e na demonstração de que a medida da amplitude

do ângulo inscrito é metade da medida da amplitude do seu arco capaz. Decidi rever

os conteúdos tratados na aula anterior como forma de esclarecer dúvidas e consolidar

ideias.

Uma vez iniciada a demonstração, os alunos mostraram ter algumas

dificuldades em compreender a sua simbologia e a demonstração, em si. Para contornar

essa situação, apoiei-me na imagem da questão 4 da tarefa anterior (tendo-a projetado

no quadro) e utilizei diversas cores de marcador para assinalar os ângulos a que me ia

referindo durante a demonstração e questionando sempre os alunos sobre as suas

dúvidas em diferentes passos da mesma. Para contornar a questão da dificuldade em

compreender a simbologia, considero que utilizar letras gregas para definir os ângulos

é mais vantajoso do que utilizar a notação normalmente utilizada, embora não o tenha

feito para esta demonstração, por lapso. Ainda assim, os alunos mostraram-se

interessados em participar e contribuíram com sugestões proveitosas, que utilizei para

clarificar a demonstração. Este momento revelou ser mais moroso que o previsto, pois

registou-se algum barulho incomodativo, o que obrigou a algumas paragens da aula

para se alertar os alunos de que o barulho estaria a interferir com o decorrer da mesma

e com a compreensão do que estaria a ser realizado. No entanto, a maioria dos alunos

mostrou ter compreendido a demonstração pois, quando interpelados através do

questionamento, souberam esclarecer os colegas e explicar como se chegou à

conclusão pretendida.

Finalizado este momento, os alunos dispuseram de quinze minutos para realizar

a ficha de trabalho. Ao monitorizar o trabalho autónomo dos alunos, constatei que a

maioria não resolveu a segunda questão da ficha, cujo objetivo era concluir que as

medidas das amplitudes dos ângulos inscritos seriam a mesma; dos que resolveram a

69

questão, um par de alunos concluiu que a medida da amplitude dos ângulos era metade

da medida da amplitude do arco 𝐴�̂�, como se estes fossem ângulos ao centro e não

inscritos, algo que aproveitei para a discussão. Durante a discussão desta questão, optei

por questionar os alunos que consideraram que a amplitude dos ângulos era metade da

amplitude do arco 𝐴�̂�, porque achei importante que percebessem que isso seria

verdade se os ângulos fossem ao centro, o que não era o caso; de facto, foram os

restantes alunos da turma que alertaram os colegas para esse facto, fazendo uma

analogia com o estudado na aula anterior, evidenciando uma aprendizagem

significativa nesse sentido.

Os últimos quinze minutos de aula focaram-se na discussão das duas primeiras

questões. Apesar de a maioria dos alunos ter resolvido a última questão, as dificuldades

que emergiram durante a discussão das anteriores, impediram a discussão da mesma.

Em relação à primeira questão, os alunos utilizaram todos o mesmo processo

de resolução, pelo que pude observar do seu trabalho autónomo e pelas respostas dadas

durante a discussão. Apenas um aluno referiu a isometria como forma de justificar o

que se pedia, mas não concluiu que isometria seria (rotação de centro O e amplitude

de 180º). Esta ideia foi explorada durante a discussão, em que esse aluno indicou que

existia uma isometria, não se recordando qual seria.

Para esta discussão decidi, ainda, explorar a ideia de que as cordas seriam

geometricamente iguais pelo critério de igualdade dos triângulos LAL, como forma de

relembrar os alunos do mesmo.

O último objetivo de aprendizagem para esta aula não terá sido cumprido, uma

vez que a demonstração inicial e a discussão das primeiras questões se estendeu mais

do que o previsto, devido às dificuldades evidenciadas pelos alunos, em justificar. Este

aspeto obrigou-me a refletir sobre as planificações das aulas, em termos de gestão de

tempo, e sobre a previsão de dificuldades dos alunos. Considero que estas duas

dinâmicas estão interligadas, porque uma boa previsão de dificuldades ajuda a uma

melhor gestão do tempo; como não previ muitas das dificuldades evidenciadas pelos

alunos durante a demonstração, este processo acabou por atrasar a aula. Futuramente,

creio ser essencial prever as dificuldades que os alunos possam ter durante a

demonstração de um qualquer resultado matemático, algo que não considerei para esta

aula.

70

Durante esta aula, notei também que os alunos, em certos momentos, se

distraíram com ruídos exteriores à sala de aula, pelo que, por diversas vezes, tive de

os alertar para esse facto.

Em relação à aula anterior, considero que geri melhor a participação dos alunos,

tentando incentivar todos a participar, principalmente quem não colocava o braço no

ar. Quando tinha a certeza que um aluno com dificuldades tinha uma resposta correta

(pelo observado durante o trabalho autónomo), questionava-o de forma a existir um

reforço positivo.

Aula III

21 de fevereiro de 2018

A terceira aula da minha intervenção letiva foi realizada dia 21 de fevereiro, do

presente ano, tendo uma duração de 50 minutos. Para a concretização desta aula apoiei-

-me na resolução e discussão da ficha de trabalho III.

Os primeiros quinze minutos da aula focaram-se numa pequena revisão das

conclusões retiradas das aulas anteriores e na discussão da terceira questão da tarefa

proposta durante a aula anterior. Decidi iniciar a discussão da questão da tarefa da aula

anterior, questionando quem teria colocada a alínea [A] como verdadeira, pedindo uma

justificação para essa opção. Em seguida, pedi aos alunos que comentassem,

especificando porque estariam de acordo ou contra. Os alunos terão sido unânimes em

concluir que o triângulo era um triângulo retângulo. No entanto, todos responderam

que seria triângulo “porque teria um ângulo de 90º”, não compreendendo que a

justificação pretendida passava por compreenderem que o ângulo seria inscrito num

arco de 180º de amplitude. Para que o compreendessem, decidi questionar “Que

ângulo, de entre os estudados nas últimas duas aulas, é este? O que podem concluir

sobre a sua medida de amplitude?”. Neste instante, houve um pequeno conjunto de

alunos que conseguiu explicar que o ângulo tinha 90º de amplitude por se tratar de um

ângulo inscrito num arco com 180º de amplitude.

Quanto à classificação quanto aos lados, apenas uma aluna notou que o

triângulo seria isósceles para uma certa posição de V. Uma vez que me apercebi desse

facto, pedi à aluna que explicasse, no quadro, a sua resolução para os colegas.

De seguida, foram dados quinze minutos aos alunos para realizarem,

autonomamente, a ficha de trabalho. No entanto, esses quinze minutos estenderam-se

para vinte pois, do que pude observar da monitorização do trabalho autónomo, os

alunos tendem a despender tempo a explicar aos colegas de carteira as conclusões que

71

retiram, não escrevendo, de imediato, a resposta, pelo que me pediam, por diversas

vezes, mais tempo para poderem registar o que tentavam explicar ao colega. Da

monitorização do trabalho dos alunos durante esta fase, notei ainda que os mesmos se

preocuparam em conseguir justificar os seus raciocínios, apresentando justificações

mais completas do que anteriormente, e conectando melhor as ideias, entre si.

Durante o momento em que circulei pela sala, a fim de esclarecer dúvidas, fui,

por diversas vezes, questionada sobre o significado de mediatriz, pelo que decidi

interromper o trabalho autónomo para questionar a turma “quem sabe qual a definição

de mediatriz? O que vos faz lembrar a palavra mediatriz?”. Os alunos concluíram que

seria uma reta que contém o ponto médio de um segmento. Uma vez que nenhum aluno

referiu o facto de a mediatriz ser uma reta perpendicular ao segmento, decidi, no

quadro, desenhar um segmento de reta, identificar o seu ponto médio e traçar, sobre o

mesmo, uma reta oblíqua, tendo questionado “Esta reta é a mediatriz deste segmento?

Porquê? Para ser mediatriz o que falta garantir?”. Os alunos foram unânimes em

responder que a reta teria de formar um ângulo de 90 graus com o segmento. Como

nenhum aluno referiu que os pontos se encontram à mesma distância dos extremos do

segmento, decidi perguntar “Se eu colocar um ponto sobre e mediatriz o que é que se

pode dizer sobre a distância entre esse ponto e os extremos? Porquê?”. Um aluno

respondeu prontamente que os pontos estão à mesma distância dos dois extremos,

tendo explicado aos colegas a sua conclusão.

Os últimos quinze minutos de aula focaram-se na discussão das questões 1.1.

e 1.2. Apesar de a maioria dos alunos ter resolvido a ficha na sua totalidade, a demora

durante o trabalho autónomo em registar conclusões e a quantidade de contribuições

dadas durante a discussão das questões anteriores, impediram a discussão da ficha de

trabalho na sua íntegra.

Em relação à alínea b) da questão 1.1., os alunos responderam distintamente:

(a) a mediatriz seria aquela, pois, continha o ponto médio de ambos os segmentos e

era perpendicular aos dois; (b) a mediatriz seria aquela porque 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ = 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ ; (c) a

mediatriz seria aquela porque esta dividia a circunferência em duas partes iguais. Em

relação às duas últimas observações, levantaram-se questões pertinentes, entre os

alunos: houve quem dissesse que o facto de 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ = 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ não seria suficiente para

justificar o pretendido, porque isso advém do facto de r ser mediatriz, e quem dissesse

que a circunferência ficaria dividia em duas partes iguais, exatamente por r ser

mediatriz, pelo que essa também não poderia ser uma justificação, pois “não se pode

72

justificar começando por usar a hipótese de que r é mediatriz, porque isso é o que

queremos justificar”. Desta discussão, foi notória a importância que os alunos

começaram a mostrar em justificar adequadamente os seus raciocínios, recorrendo a

argumentos matemáticos válidos.

O surgimento de variadas justificações tornou este momento bastante

interessante, porque os alunos discutiram entre si a validade das justificações

encontradas. Da discussão das questões 1.1.e 1.2., os alunos concluíram que qualquer

reta que contenha o centro da circunferência e seja perpendicular a uma corda, a

bisseta, sendo um eixo de simetria da circunferência.

O último objetivo de aprendizagem não terá sido cumprido, uma vez que as

alíneas 1.3. e 1.4. terão ficado por corrigir, devido ao trabalho autónomo se ter

estendido por mais tempo que o previsto, algo que, uma vez mais, terei de considerar

futuramente; talvez seja conveniente introduzir melhor a ficha de trabalho a ser

explorada, esclarecendo dúvidas sobre conceitos que os alunos não se recordem de

anos anteriores.

Aula IV

23 de fevereiro de 2018

A quarta aula da minha intervenção letiva foi realizada no dia 23 de fevereiro,

do presente ano, tendo sido repartida em dois blocos, com 50 minutos cada. Para esta

aula, baseei a lecionação na resolução e discussão da ficha de trabalho IV.

Os primeiros dez minutos de aula focaram-se na revisão oral das conclusões

retiradas das aulas anteriores, pelo que os alunos mostraram estar atentos, nas aulas,

conseguindo enunciar as relações encontradas até ao momento.

Os vinte minutos seguintes, foram destinados à discussão, em grupo turma, das

alíneas 1.3. e 1.4. da questão da aula anterior. Da resolução destas alíneas, os alunos

mostraram ter conhecimento sobre isometrias e eixos de simetria, identificando, de

imediato, o diâmetro como eixo de simetria. Além do mais, houve quem constatasse

que as cordas [AF] e [BE] não seriam paralelas “porque não se encontram sempre à

mesma distância uma da outra, logo tocam-se no infinito”. Ainda durante esta

discussão, foi relembrado, por mim, o critério de igualdade LAL, como estratégia de

resolução da alínea 1.4.

Uma vez que nesta aula seria introduzido um novo ângulo (o de segmento),

antes do trabalho autónomo, despendi quinze minutos para introduzir o mesmo, tendo

pedido a um aluno que lesse a definição que se encontrava na ficha de trabalho. Este

73

momento gerou alguma confusão entre os alunos, uma vez que o ângulo se define

utilizando uma corda e uma reta tangente à circunferência. No quadro, desenhei um

ângulo de segmento, à medida que ia lendo, devagar, a definição, e esclarecendo as

dúvidas que emergiam. Este momento contribuiu para que os alunos esclarecessem o

que não tinham compreendido sobre a definição sendo que apenas prossegui com a

aula quando tive a confirmação de não existirem mais dúvidas – ainda assim, durante

a monitorização do trabalho autónomo, perguntei aos alunos, individualmente, se não

tinham dúvidas sobre a definição abordada.

O trabalho autónomo teve uma duração de vinte minutos e, do que consegui

observar, os alunos mostraram-se interessados, uma vez mais, em resolver a ficha de

trabalho e trabalharam, maioritariamente, em conjunto com o colega de carteira. Da

observação do trabalho autónomo, notei que a maioria dos alunos não se recordava

que uma reta tangente forma um ângulo reto com o diâmetro de uma circunferência,

com vértice no ponto de tangência, sendo que esta dificuldade impedia a continuação

do trabalho. Como tal, decidi interromper os alunos e devolver a pergunta à turma

“Quando uma reta é tangente a uma circunferência, o que podemos afirmar sobre o

ângulo que esta forma com o diâmetro da circunferência?”. Os alunos responderam

que a reta tangente forma um ângulo reto com o diâmetro da circunferência.

Ainda, notei que alguns alunos continuaram a considerar que um ângulo tem

sempre a mesma amplitude do seu arco associado, como se essa propriedade se

verificasse não apenas para o ângulo ao centro, mas para todos os ângulos – várias

vezes, questionei os alunos “Essa conclusão é verdade para todos os tipos de ângulos?

O que viste sobre a relação entre a medida da amplitude do ângulo inscrito e a medida

de amplitude do seu arco capaz?”. Estas questões ajudaram os alunos a relembrar que

tal acontecia para os ângulos ao centro, tendo de verificar se para este também seria

assim.

Uma vez que observei que dois pares de alunos consideraram o João como

tendo razão (nenhum aluno considerou que a Joana tinha razão), decidi iniciar a

discussão pedindo a esses pares que apresentasse as suas ideias, pedindo comentários

aos colegas. Como estes foram os únicos alunos a considerar que o João teria razão,

considerei pertinente deixa-los expor as suas ideias e, através da ajuda e comentários

dos colegas, concluírem que as mesmas estariam erradas.

Algo que surgiu como dúvida, e que se tornou num momento de aula

interessante, foi a questão: “o que é uma conjetura?”. Um aluno, neste momento, quis

74

participar, tentando explicar o que entendia por conjetura, e falou num exemplo prático

e próximo da realidade dos alunos: uma colega estaria a faltar, sendo que uns poderiam

considerar que a colega foi ao médico ou outros que a colega estaria doente e, no dia

seguinte, confirmariam quem teria razão ou se o que disseram seria verdadeiro. Com

esta explicação, os alunos compreenderam que se trata de uma afirmação que necessita

de verificação quanto ao seu valor lógico.

A discussão durou cerca de vinte e cinco minutos e os alunos mostraram-se

participativos e sempre que questionados sobre “o porquê” de apresentarem certo

raciocínio, eram imediatos a tentar responder. Ainda, notou-se uma considerável

evolução no que diz respeito às justificações, que se mostraram cada vez mais

refinadas.

A dez minutos do fim, os alunos foram confrontados com a necessidade de

demonstrar a relação encontrada, que seria um dos objetivos da aula. Este momento

foi um pouco moroso, porque se registou, aproximando-se o término da aula, algum

barulho incomodativo. Ainda assim, os alunos contribuíram, uma vez mais, para a

demonstração, comentando e expondo as suas dúvidas. A aula terminou com a questão

“qual a conclusão da aula de hoje?”, ao qual os alunos responderam com a relação

encontrada. A aula decorreu de acordo com o planeado e foram cumpridos os objetivos

previstos.

Aula V

26 de fevereiro de 2018

A quinta aula da minha intervenção letiva foi realizada dia 26 de fevereiro, do

presente ano, tendo uma duração de 50 minutos. Para esta aula baseei-me, uma vez

mais, na resolução e discussão de uma ficha de trabalho (Ficha de trabalho V).

Uma vez que se pretendia analisar a relação da amplitude do ângulo com as

amplitudes dos seus arcos, para duas posições distintas, metade da turma resolveu a

questão 1 e a outra metade resolveu a questão 2, sendo que, na discussão, todos

contribuíram com ideias para completar o raciocínio dos colegas e/ou explicar alguma

incorreção ou algo que não tivesse sido bem compreendido.

Os primeiros cinco minutos de aula, foram destinados à leitura da definição de

ângulo excêntrico e esclarecimento de dúvidas acerca desta definição, presente no

enunciado da tarefa proposta. Neste momento decidi questionar os alunos “Um ângulo

inscrito é excêntrico? Porquê? O contrário também será verdade?”, para que estes

compreendessem que o ângulo inscrito é excêntrico. Uma aluna respondeu

75

prontamente que um angulo inscrito é excêntrico, mas o contrário não seria verdade,

explicando para os colegas o que concluiu.

Os vinte minutos seguintes foram dedicados à resolução autónoma das duas

questões, pelo que circulei pela sala a fim de esclarecer eventuais dúvidas e apoiar os

alunos na resolução. Da monotorização do trabalho autónomo dos alunos, constatei

que muitos utilizavam a relação dada para confirmar que era verdadeira, sendo que

isso não era o pretendido: era pedido que os alunos confirmassem se a relação era

verdadeira, ou falsa, sendo que não poderiam considera-la verdadeira para resolver a

questão. Neste sentido, alertei os alunos para isso, tendo interrompido o trabalho

autónomo, clarificando que teriam, através de cálculos que achassem pertinentes,

calcular a amplitude do ângulo pedido e, posteriormente, confirmar se o que o João

dizia seria verdade, ou não.

Os últimos vinte e cinco minutos da aula foram destinados à discussão, em

grupo turma, dos dois problemas da ficha. Da discussão da questão 1, os alunos

mostraram já saber identificar ângulos inscritos e os seus arcos capaz, bem como

relacionar as suas medidas de amplitude, além de mostrarem sempre preocupação em

justificar o seu raciocínio. Apesar de ter sido só apresentada uma estratégia de

resolução, que recorria à soma dos ângulos internos do triângulo [BVC], os alunos

mostraram interesse em participar, com contribuições pertinentes e, no fim, chegando

à relação que se pretendia.

Da discussão da questão 2, os alunos mostraram, igualmente, que sabiam

identificar ângulos inscritos e os seus arcos capaz, bem como relacionar as suas

medidas de amplitude, e, uma vez mais, foi apenas apresentada uma estratégia de

resolução, que fazia referência ao triângulo [AVC], chegando-se, ainda assim, à

relação pretendida.

No final da discussão, um aluno perguntou se a demonstração destas relações

não seria feita, mostrando que houve, efetivamente, interesse e preocupação em

confirmar a veracidade das relações encontradas e uma compreensão de que, através

de exemplos, não se pode concluir a veracidade do que se encontrou; a demonstração,

para o caso em que o vértice se encontra no interior da circunferência foi realizada nos

últimos dez minutos de aula, por se tratar de uma demonstração simples e porque, na

sua maioria, os alunos participaram com contribuições interessantes – de facto, foi um

aluno que iniciou a demonstração, constatando que o ângulo pedido seria externo do

triângulo [BVC] e recordando-se que existe uma relação entre a amplitude do ângulo

76

externo de um triângulo e as amplitudes dos seus ângulos internos não adjacentes. A

demonstração para o caso em que o vértice se encontra no exterior da circunferência é

semelhante à anterior, pelo que pedi aos alunos que a tentassem produzir, como

trabalho para casa, para me entregarem posteriormente.

A aula decorreu de acordo com o planeado e os objetivos de aprendizagem

foram cumpridos, na sua totalidade.

Aula VI

28 de fevereiro de 2018

A sexta aula da minha intervenção letiva foi realizada dia 28 de fevereiro, do

presente ano, tendo uma duração de 50 minutos. Uma vez mais, esta aula foi baseada

na resolução e discussão de uma ficha de trabalho, de entre as propostas (Ficha de

trabalho VI).

Os primeiros dez minutos de aula foram dedicados a uma revisão dos ângulos

estudados até ao momento - ângulo ao centro, ângulo inscrito, ângulo de segmento e

ângulo excêntrico com o vértice no interior do círculo e exterior à circunferência -,

com o objetivo de consolidar ideias porque, uma vez que este seria o último ângulo a

ser estudado, considero importante que os alunos já tivessem interiorizado as relações

referentes aos ângulos anteriores.

De seguida foi apresentada a ficha de trabalho tendo pedido a um aluno que

lesse a definição de ângulo ex-inscrito e esclarecendo eventuais dúvidas sobre o

mesmo; alguns alunos mostraram não se recordar da definição de ângulos

suplementares, neste momento. Como tal, decidi desenhar no quadro uma reta e

assinalar dois ângulos sobre a mesma e questionei “Qual a soma destes dois ângulos?

Eles são suplementares ou complementares?”. Os alunos foram unânimes em

responder que a soma seria 180º e os ângulos seriam suplementares. Um aluno disse

que os ângulos seriam complementares se formassem 90º.

Os vinte minutos seguintes foram dedicados à resolução autónoma da ficha de

trabalho. Da monitorização do trabalho autónomo constatei que todos os pares de

alunos assinalaram a hipótese [C] como a correta. Houve um único par de alunos que

respondeu a esta questão elaborando um tipo de raciocínio dedutivo “se…então”

analisando as três escolhas múltiplas e justificando porque, para os casos restantes, a

conclusão seria falsa. Como tal, optei por pedir a um elemento desse par de alunos

para mostrar a sua resolução para a turma. No que diz respeito à alínea 1.2., todos os

77

alunos foram unânimes em concluir que a Joana teria razão, pelo que pedi a outro aluno

que se dirigisse ao quadro a fim de mostrar a sua resolução à turma.

Posteriormente à discussão da quesão, foi pedido aos alunos que, oralmente,

conjeturassem sobre que relação pensavam existir entre as medidas das amplitudes do

ângulo ex-inscrito, e as dos arcos a este associado, apoiando-se na questão por eles

acabada de resolver. Os alunos foram imediatos a responder, utilizando o termo

“média”. Finalizado este momento, um aluno fez referência à demonstração e de como

esta estaria em falta. Então, pedi contribuições aos alunos para, em conjunto, tentarmos

construir a demonstração e houve quem fizesse referência ao ângulo externo, embora

não se recordasse da relação que existe entre a amplitude deste ângulo e os ângulos

internos. Um aluno referiu que o ângulo externo tem de somar 180º com os ângulos

internos, mas foi rapidamente refutado por uma aluna que disse que a amplitude do

ângulo externo seria igual à soma das amplitudes dos internos não adjacentes, pelo que

não poderia somar 180º. Esta ideia foi utilizada para a demonstração, tendo os alunos

manifestado interesse em participar e em contribuir com ideias para a demonstração.

Esta aula decorreu como o planeado, tendo-se cumprido todos os objetivos de

aprendizagem propostos. Ainda assim, considero que esta aula foi um pouco centrada

em mim, e não tanto nos alunos, porque, muitas vezes, senti a necessidade de explicar

pequenos detalhes que, ao invés, poderia ter pedido à turma para tentar clarificar entre

si, através do questionamento oral. Ainda, durante o momento em que os alunos

estiveram no quadro, muitas vezes interrompi o trabalho que estava a ser efetuado para

perguntar à turma algo sobre as ideias que estavam a ser apresentadas. Isto gerou

algum desinteresse pelo que estaria a ser realizado, uma vez que, quando os alunos

terminaram de escrever as suas resoluções, já as respostas tinham sido dadas.

Considero que a melhor estratégia a tomar é a de ir para o fundo da sala e observar as

resoluções e, quando os alunos terminarem de as escrever, pedir comentários dos

colegas. Ainda, creio que deva trabalhar mais no sentido de tentar centrar a aula nos

alunos, resistindo ao impulso imediato de responder às dúvidas dos alunos; ao invés,

devolver a dúvida à turma ou, através do questionamento oral, tentar conduzir o aluno

à resposta, parecem ser as estratégias adequadas a adotar.

Aula VII

05 de março de 2018

A sétima aula da minha intervenção letiva foi realizada dia 05 de março, do

presente ano, tendo uma duração de 50 minutos. Para esta aula, cujo objetivo seria o

78

de consolidar matéria e desenvolver a argumentação, baseei-me na resolução e

discussão da ficha de trabalho VII.

Os primeiros vinte minutos de aula foram dedicados à resolução autónoma da

tarefa proposta. Da monitorização do trabalho realizado pelos alunos, constatei que,

referente à primeira questão, houve um único par de alunos que utilizou uma estratégia

de resolução que recorria ao ângulo excêntrico, ao contrário dos restantes colegas que

optaram por considerar o triângulo [ACD] e encontrar o valor do arco através dos

valores das medidas das amplitudes dos ângulos internos deste triângulo. Ainda,

constatei que um par de alunos considerou que o ângulo apresentado seria ex--inscrito,

não o tendo identificado corretamente.

Os vinte e cinco minutos seguintes foram dedicados à discussão, em grupo

turma, das resoluções dos alunos. Em relação à primeira questão, optei por solicitar a

um dos alunos do par com a resolução incorreta, que se dirigisse ao quadro, a fim de

se poder discutir, com a turma, se o ângulo apresentado seria ex-inscrito, ou não, e

porquê, levando-os a compreender a diferença entre o ângulo ex-inscrito e o

excêntrico. De seguida, solicitei a outro aluno que completasse o raciocínio dos

colegas, acrescentando modificações que este considerasse pertinente. Por fim, pedi a

um aluno, que fez referência ao ângulo excêntrico, que explicasse, para a turma, a sua

resolução, uma vez que esta seria distinta da apresentada e recorria a elementos

estudados anteriormente. Da discussão desta questão, os alunos relembraram a

definição de ângulo excêntrico e a relação das medidas das amplitudes do mesmo, com

as medidas das amplitudes dos seus arcos associados, bem como a definição de ângulo

inscrito e a relação da sua medida de amplitude com a medida de amplitude do seu

arco capaz.

Em relação à questão 2, da observação do trabalho autónomo dos alunos

constatei que a resposta foi unânime pelo que pedi a um aluno que explicasse como

obteve o valor pedido. Para a alínea 2.2. solicitei a uma aluna que se dirigisse ao quadro

para expor a sua resolução, pedindo sempre a contribuição dos colegas para

acrescentar ou modificar o que estes considerassem pertinente.

Por último, indiquei que, como até ao momento não tinha surgido uma

justificação distinta, se poderia utilizar o critério de igualdade entre triângulos LAL,

para justificar o pretendido. Através do questionamento oral, os alunos encontraram a

justificação que faria referência a este critério, recordando-se da sua existência.

79

A aula decorreu como o planeado e os objetivos de aprendizagem foram

cumpridos na sua totalidade, sendo que os alunos se mostraram participativos e

interessados. É de destacar, também, o bom ambiente em sala de aula, em particular

durante esta aula, em que não se verificou muito barulho ou alunos que não tentassem

responder ao pretendido.

Um aspeto negativo a ressaltar, durante esta aula, é referente à boa gestão do

quadro: escrevi quase sempre com a mesma cor de caneta, não se destacando aspetos

importantes das resoluções ou ideias importantes, e nem tudo era visível do fundo da

sala, o que é problemático para alunos que se sentam mais atrás. Futuramente, tenho

de considerar este aspeto, tentando diversificar a escolhe de cores, ressaltando aspetos

importantes – talvez sublinhando ideias ou desenhando quadrados em torno do que é

relevante.

Aula VIII

07 de março de 2018

A oitava aula da minha intervenção letiva foi realizada dia 07 de março, do

presente ano, tendo uma duração de 50 minutos. Para a concretização desta aula,

baseei-me na resolução e discussão da ficha de trabalho VIII.

Os primeiros dez minutos de aula foram destinados à apresentação da tarefa e

esclarecimento da definição de polígono convexo. A turma foi questionada sobre o

assunto, sendo que um aluno prontamente respondeu corretamente. De forma a

distinguir polígono convexo de côncavo, desenhei no quadro um exemplo de cada um.

De seguida, foram dados quinze minutos para os alunos resolverem,

autonomamente, a primeira questão da proposta. Da monitorização do trabalho

autónomo dos alunos, constatou-se que a estratégia de resolução utilizada foi a de

decompor o pentágono em três triângulos.

Os vinte e cinco minutos seguintes foram dedicados à discussão desta questão

e resolução da segunda questão, em grupo turma, cujo objetivo seria o de levar os

alunos a deduzir a expressão geral da soma das medidas das amplitudes dos ângulos

internos de um polígono convexo e que a soma das amplitudes dos ângulos externos é

sempre um ângulo giro. Durante a discussão da primeira questão tendo notado que a

estratégia de resolução utilizada foi unânime, questionei a turma “Será que existe outra

forma de resolução? Alguém quer tentar outra forma?”, tentando conduzir os alunos a

outra estratégia. Um aluno participou dizendo que achava existir outra forma de

resolução, talvez dividindo o polígono em outras formas.

80

Da discussão da segunda questão, os alunos deduziram, recorrendo-se a uma

tabela, que a soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos de um polígono

convexo de n lados é dada pela expressão 𝑆𝑖 = (𝑛 − 2) × 180º. Em seguida, da

resolução da última alínea, os alunos deduziram que a soma das medidas das

amplitudes dos ângulos externos de um polígono convexo é o ângulo giro. Uma vez

mais, os alunos questionaram se não seria necessária uma demonstração que provasse

a veracidade desta propriedade. Uma aluna referiu que pensava que a demonstração se

poderia fazer recorrendo à ideia de que 𝑆𝑖 + 𝑆𝑒 = 𝑛 × 180º. Uma vez que a

demonstração se baseia nisto, o raciocínio da aluna foi aproveitado e, recorrendo-se ao

questionamento oral, demonstrou-se o pretendido.

A aula decorreu de acordo com o planeado, tendo sido cumpridos todos os

objetivos de aprendizagem propostos. Os alunos mostraram-se participativos e atentos,

contribuindo ordeiramente sempre que solicitados para tal. Como um aspeto positivo

nesta aula, ressalta-se o aspeto visual do quadrado, em comparação com a aula anterior,

destacando-se, sobretudo, o uso diversificado da cor, sendo notório quais as conclusões

a retirar das questões propostas.

Aula IX

09 de março de 2018

A última aula da minha intervenção letiva foi realizada dia 09 de março, do

presente ano, tendo sido repartida em dois blocos, de 50 minutos cada. Para esta aula,

baseei-me na resolução e discussão da ficha de trabalho IX.

Os primeiros vinte minutos de aula, foram dedicados à correção do trabalho de

casa proposto anteriormente (Ficha de trabalho para casa). Uma vez que já tinha

analisado as resoluções dos alunos, selecionei um aluno da turma que teria respondido

que o João tinha razão para expor a sua ideia. Em seguida, pedi comentários à turma e

os alunos explicaram ao colega por que motivo seria a Joana a ter razão.

Para a última questão, os alunos foram unânimes em responder que não existe

um ângulo inscrito com 190º de amplitude porque, caso tal fosse possível, o seu arco

capaz teria 380º de amplitude, o que é impossível porque o arco de uma circunferência

tem 360º de amplitude. Decidi, após essa discussão, questionar os alunos sobre qual o

ângulo inscrito com maior amplitude que se pode formar, sendo que os alunos foram

unânimes em responder que esse seria o ângulo giro.

Os vinte e cinco minutos seguintes foram dedicados à resolução autónoma dos

problemas propostos na ficha de trabalho. Da monitorização do trabalho autónomo,

81

constatou-se que alguns alunos revelaram algumas dificuldades em resolver o

problema 1, por não lerem, no enunciado, que o trapézio apresentado seria isósceles.

Como tal, decidi interromper o trabalho dos alunos e questionar “O que é um trapézio

isósceles?” e, fazendo a analogia com o triângulo isósceles, esclareci essa dúvida.

Para o problema 2, a maioria dos alunos disse que bastaria constatar que o

quadrilátero teria os lados todos com igual comprimento, para se concluir que seria um

quadrado. Para contornar essa dificuldade, optei muitas vezes, por fazer a analogia

com o losango e o um triângulo equilátero. No que diz respeito a este problema, os

alunos concluíram que o quadrilátero seria um quadrado recorrendo à igualdade do

comprimento dos lados e à amplitude dos ângulos internos através dos ângulos ao

centro e à igualdade das suas cordas correspondentes. Uma vez que nenhum aluno

apresentou a estratégia de resolução que faz referência às diagonais do quadrado,

decidi questionar “Será que existe outra forma de justificar que o quadrilátero é um

quadro? O que podemos afirmar sobre as diagonais de um quadrado?”, tentando

conduzir os alunos à conclusão de que também se poderia justificar que o quadrilátero

é um quadrado através da igualdade das suas diagonais e a perpendicularidade das

mesmas.

Os últimos vinte minutos de aula foram dedicados à realização do mini teste.

Os objetivos visados para esta aula foram cumpridos na sua íntegra, tendo os alunos

sido, uma vez mais, atentos e participativos. Um aspeto negativo a salientar desta aula

foi o facto de uma vez mais durante o trabalho autónomo, os alunos se mostrarem

distraídos e conversadores pelo que, daqui em diante, pretendo ter especial atenção a

esses momentos, no que à distração dos alunos diz respeito.

Em todas as aulas optei por utilizar o questionamento oral como forma de

incitar a argumentação, pedindo comentários, contra-argumentos e sugestões às

resoluções e ideias apresentadas. Sempre que se observou que os alunos tinham

dúvidas, era pedido aos colegas que tentassem, por palavras suas, explicar aos colegas

as ideias que estavam a ser trabalhadas. Quando se observava que vários alunos tinham

uma dúvida comum, a pergunta era devolvida à restante turma, para que fossem estes

a esclarecer os colegas.

As diferentes estratégias de resolução que emergiam durante o trabalho

autónomo foram sempre valorizadas durante a discussão, mesmo quando incorretas,

82

como forma de potenciar a aprendizagem dos alunos e a entreajuda, mostrando que

podem existir diferentes formas de resolver um mesmo problema.

As demonstrações e provas requeridas pelo programa foram realizadas por

mim, mas optei por pedir sempre contribuições dos alunos, para que estes tivessem um

papel ativo na construção das mesmas e porque acredito que isso os aproxima da

realidade do fazer matemática. Ainda assim, como observei durante o período letivo

anterior, os alunos têm muita dificuldade em interligar as ideias de forma a construir

uma prova/demonstração. Através do questionamento oral, acredito que os alunos são

incentivados a ligar essas ideias de forma ordenada, construindo um argumento

irrefutável – há uma construção da demonstração/prova em passos, o que oferece um

fio condutor das ideias, aos alunos.

Em relação a aspetos a melhorar no futuro, penso que é importante gerir melhor

os momentos de trabalho autónomo, de forma a tentar que os alunos se mantenham

interessados, não destabilizando os restantes colegas. Para isso, talvez seja importante

reduzir o tempo que dou para esse momento e aumentar o tempo despendido durante

as discussões, de forma a conseguir usufruir melhor do tempo letivo que disponho para

uma aprendizagem consistente dos conceitos trabalhos. De facto, noto que quando são

apresentados mais do que um método de resolução de um mesmo problema/exercício,

os alunos se mostram mais interessados e, posteriormente, utilizam ideias de

problemas anteriores para resolver outros, algo que pode ser reforçado durante as

discussões quando se dispõe de tempo suficiente para se apresentar mais do que uma

estratégia.

Um outro aspeto que pretendo melhorar, diz respeito ao questionamento oral.

Em alguns momentos, sobretudo no início da minha intervenção letiva, utilizei

questões como “todos concordam com o que o colega disse?” ou “todos escreveram

isto?”, ao invés de utilizar questões como “qual é a vossa opinião sobre o que o colega

acaba de dizer?” ou “o que pensam sobre isto?”. Estas últimas, convidam os alunos à

participação com emissão de uma opinião porque, para responderem, os alunos têm de

pensar no que o colega disse, de modo a compreender o seu ponto de vista. Por sua

vez, as primeiras não convidam a uma reflexão e dão a impressão de que estou de

acordo com as ideias apresentadas.

Também considero ser importante continuar a trabalhar a participação dos

alunos nas discussões – quando verificava que não tinha dado tempo suficiente a um

aluno para apresentar uma justificação para a sua ideia, na aula seguinte tentava

83

modificar esse comportamento. Ainda, tentei sempre dar instruções claras no sentido

de “obrigar” os alunos a falar alto, para os colegas da turma, tendo-me afastado

diversas vezes do quadro e colocando-me no fundo da sala, “obrigando-os” a focar a

sua atenção em quem expunha o seu raciocínio, e não em mim.

Outro aspeto que pretendo continuar a ter em conta, futuramente, á a

centralização da aula nos alunos. Efetivamente, acredito que uma aula na qual o foco

principal seja o aluno, e não o professor, aproxima os alunos de uma aprendizagem

significativa, isto é, ajuda a que os alunos se mantenham motivados e descubram, por

si mesmos, o que se pretende, não dependendo do professor para o fazer.

84

85

4. Métodos e procedimentos de recolha de dados

Neste capítulo apresento as opções metodológicas tomadas, particularmente no

que diz respeito à recolha de dados e à sua análise, bem como uma breve referência às

questões éticas envolvidas neste estudo.

4.1. Opções metodológicas gerais

Este estudo seguiu uma abordagem de natureza qualitativa e paradigma

interpretativo, procurando analisar a argumentação matemática dos alunos na

realização das tarefas propostas no âmbito da unidade de ensino lecionada.

A opção do paradigma interpretativo prende-se, essencialmente, pelo facto de

o estudo se ter focado num conjunto, de pequena dimensão, de indivíduos, e não

representativa da realidade, tendo um interesse prático futuro, analisando-se os

significados conferidos pelos participantes e por aqueles que com estes interagiram na

realização das tarefas propostas em sala de aula (Cohen, Manion & Morrison, 2007;

Erickson, 1986).

Neste estudo assumi o duplo papel de professora e de investigadora. Este duplo

papel comporta algumas vantagens e desafios. Como vantagem destaco a reflexão

sobre a própria lecionação que o papel de investigadora me permitiu fazer –

possibilitou-me reconhecer dificuldades, tanto nos processos de justificação

estudados, como nos tópicos e conceitos matemáticos a ser abordados, importantes

para trabalho futuro, e possibilitou a delimitação de estratégias que permitiram o

colmatar dessas mesmas dificuldades. Destaco, ainda, a importância que o papel da

investigação assumiu nas minhas aulas – procurei melhorar a minha atividade

educativa, através da conexão com a prática que pretendia realizar e a teoria que

investiguei anteriormente, permitindo-me desconstruir conceitos e dogmas sobre a

minha própria prática letiva.

Por outro lado, este duplo papel revelou-se bastante desafiador em termos de

multiplicidade de tarefas que tive de desempenhar em simultâneo. Durante a

lecionação das aulas, além de ter de gerir a solicitação dos alunos e o modo como

abordaria essas solicitações, também tive de reter alguns aspetos importantes a incluir

na minha investigação tentando não comprometer a objetividade do estudo em causa.

86

4.2. Participantes no estudo

As características qualitativas e interpretativas do presente estudo tornam a

escolha dos participantes especialmente importante. Esta escolha recaiu sobre todos os

28 alunos da turma do 9.º ano onde se desenvolveu a minha intervenção, para não

diminuir a abrangência da análise em que pretendo caracterizar a argumentação

matemática dos alunos. No entanto, para permitir um aprofundamento do estudo, e

tendo em conta a dimensão da turma, optei por selecionar cinco alunos sobre os quais

foram recolhidos dados que permitiram particularizar realidades e dar maior

fundamentação à análise realizada, tendo sido realizadas entrevistas aos mesmos.

Um dos critérios para a seleção destes alunos foi a facilidade em comunicar,

demonstrada em sala de aula, para que as respostas que se obtivessem fossem o mais

claras possível, e para que pudessem responder às questões colocadas sem limitações.

Outro critério utilizado para a sua seleção diz respeito à divisão da turma em

três grupos distintos: o primeiro, caraterizado pela constante participação dos alunos,

rapidez dos mesmos na execução das tarefas propostas e pela sua capacidade de

explicação de raciocínios recorrendo, maioritariamente, a linguagem

matematicamente correta; o segundo, caraterizado por uma dependência constante, por

parte dos alunos, da ajuda do professor, ou do colega de carteira, para a execução das

tarefas propostas, pela sua fraca iniciativa em participar voluntariamente durante a aula

e pelo seu ritmo de trabalho demorado; o último, caraterizando-se pelo uso do

questionamento como forma de esclarecimento de dúvidas, com um ritmo de trabalho

regular, alguma iniciativa para participar e, explicando, de forma geral, os raciocínios

através de linguagem informal mas tentando incluir aspetos formais da linguagem

matemática. Posto isto, foi selecionado um aluno representativo do primeiro grupo,

dois alunos representativos do segundo grupo e dois alunos representativos do último

grupo, de forma a poder avaliar o progresso dos mesmos, em diferentes momentos.

Por último, optei por selecionar alunos com diversos desempenhos na disciplina de

Matemática. Escolhi dois alunos que habitualmente apresentam classificações baixas

na disciplina (nível 2), dois alunos com classificações medianas (nível 3 e nível 4) e

um aluno com uma classificação elevada (nível 5).

As entrevistas que foram realizadas a estes alunos decorreram ao longo de toda

a intervenção letiva, duas vezes por semana, tendo tido a duração de cerca de quinze

minutos cada uma. Foram realizadas na Escola, numa sala contígua à sala de

87

professores, num horário que foi previamente acordado com os alunos. Para as

entrevistas, procurei colocar questões que se basearam numa análise prévia dos dados

recolhidos durante a intervenção letiva, pelo que foram realizadas sempre no dia a

seguir à aula de Matemática.

4.3. Métodos de recolha de dados

A escolha relativamente aos métodos e instrumentos de recolha de dados a

serem utilizados num estudo depende do objetivo e do contexto onde o estudo será

realizado e dos interesses do investigador (Bogdan & Biklen, 1994). De acordo com o

objetivo e questões de investigação anteriormente apresentados, os métodos de recolha

de dados utilizados neste estudo foram: a observação, a recolha documental e as

entrevistas semiestruturadas.

A observação tem como característica distintiva o facto de ser um processo de

pesquisa que oferece ao investigador a oportunidade de recolher dados in situ, havendo

uma maior precisão na recolha dos mesmos, permitindo observar pequenos detalhes

que, de outra forma, poderiam ser inconscientemente ignorados (Cohen et. al, 2007).

Esses detalhes dizem respeito à: configuração física do contexto no qual o estudo se

desenvolve (ambiente físico e sua organização), configuração humana (organização e

caraterísticas dos indivíduos observados), configuração inter-relacional (interações

que ocorrem) e configuração inerente às pedagogias utilizadas em sala de aula

(recursos utilizados e sua organização, estilos pedagógicos), sendo um método de

recolha de dados vantajoso quando utilizado em contextos de investigação educativa

(Morrison, 1993). Para efeitos deste estudo, a observação incidiu sobre as aulas

lecionadas, com posterior transcrição das gravações vídeo e áudio das mesmas, em

particular no que diz respeito às discussões coletivas referentes às tarefas que apelam

à argumentação.

A observação pode classificar-se quanto à sua função e ao posicionamento do

observador (Dias & Morais, 2004). Neste estudo, a observação foi: (a) de caráter

descritivo quanto à sua função, uma vez que são descritos os fenómenos que

ocorreram, e, simultaneamente, de caráter avaliativo, uma vez que a observação

permitiu delinear estratégias para ultrapassar dificuldades reveladas pelos alunos no

momento de questionamento oral, possibilitando uma tomada de decisão no que diz

respeito às opções didáticas a tomar; e (b) participante quanto ao posicionamento do

88

observador, uma vez que desempenhei um duplo papel de professora e investigadora,

participando nas atividades desenvolvidas pelos alunos (Flick, 1998), auxiliando-os

nas resoluções das tarefas propostas, mediando as discussões dessas tarefas e

esclarecendo eventuais dúvidas.

A observação pode ser considerada numa dimensão self, quando o observador

é o próprio investigador, ou feita por terceiros, quando a observação é sustentada por

observações realizadas por alguém exterior ao contexto (Flick, 1998). No estudo

realizado, a observação abrangeu ambas as dimensões. A dimensão self consistiu na

gravação áudio e vídeo das aulas lecionadas. A dimensão feita por terceiros consistiu

em anotações das observações realizadas pela colega com a qual tive a oportunidade

de trabalhar conjuntamente, no decorrer deste ano letivo (Spradley, 1980).

Como complemento às gravações vídeo das aulas, no final de cada uma das

aulas durante as quais a intervenção se desenrolou, foram tiradas notas de campo, por

mim. Este instrumento incluiu informação de natureza reflexiva e descritiva: foram

anotados elementos de natureza crítica, reflexiva e de caráter pessoal, respeitantes a

aspetos a melhorar em futuras intervenções no que concerne às opções didáticas

tomadas, bem como registados, resumidamente, episódios decorridos em aula,

importantes para a posterior análise dos dados.

Uma vez que a observação apresenta limitações ao nível da dificuldade do

registo de dados e da sua interpretação, a recolha documental assume um papel

bastante importante no estudo aqui considerado, de forma a reduzir essas limitações e

permitindo uma análise minuciosa das argumentações apresentadas pelos alunos

(Cohen et al., 2007), processo que seria difícil de realizar apenas através da

observação. Esta recolha documental incidiu sobre as produções escritas dos alunos,

nomeadamente tarefas realizadas em aula, surgindo como um elemento chave na

análise, permitindo complementar as gravações áudio e vídeo na obtenção de dados

para responder ao objetivo de investigação e para ilustrar a interpretação dos mesmos.

A recolha documental deverá ser complementada com outros meios que

permitam clarificar o seu conteúdo, pelo que foram realizadas entrevistas, após a

mesma. As entrevistas têm como principal característica o facto de permitirem um

contacto direto com o participante, permitindo retirar conclusões sobre a recolha

documental efetuada. O principal objetivo destas entrevistas foi de me esclarecer sobre

eventuais dificuldades de interpretação da recolha documental, particularmente no que

89

diz respeito à formulação das argumentações apresentadas pelos alunos ou explicitação

dos seus raciocínios ambíguos.

Sendo que os dados serão tanto mais fiáveis quanto maior for o questionamento

e abertura das perguntas, as entrevistas realizadas tiveram em vista um guião de

entrevista semiestruturada, no qual a ordem das perguntas pôde ser alterada e podendo

surgir, aquando da entrevista, novas perguntas a ser colocadas aos participantes

(Cohen et al., 2007). Esta decisão prende-se, essencialmente, pelo facto de as

entrevistas revelarem ser um método de recolha de dados eficiente quando se pretende

procurar interpretações pessoais de um dado evento, tendo sido desenvolvidas

baseando-se numa análise preliminar da recolha documental e, de acordo com as

respostas dos entrevistados, conduzida de forma a minimizar erros de interpretação,

consonantes com as respostas dadas.

4.4. Análise de dados

Atendendo aos objetivos deste estudo, optei por analisar os dados de acordo

com as questões de investigação a ser respondidas ao longo do mesmo. Para tal, foram

analisados: (a) os processos argumentativos utilizados pelos alunos na realização das

tarefas propostas, as suas caraterísticas e as dificuldades evidenciadas na sua

utilização, (b) os conhecimentos matemáticos mobilizados pelos alunos nas suas

argumentações e as dificuldades evidenciadas nessa mobilização.

Da totalidade das produções escritas dos alunos, selecionei, para cada questão,

uma amostra de resoluções que melhor evidenciam a diversidade de respostas dadas.

A análise dos dados foi complementada pelos registos escritos das aulas, resultantes

da observação participante, e pela informação recolhida da observação dos momentos

de discussão, provenientes das gravações em vídeo das aulas. A análise dos dados

contou, ainda, com as respostas dadas durante as entrevistas. Estas respostas

permitiram, em primeiro lugar, destacar algumas das dificuldades sentidas pelos

alunos, ao argumentar, tendo-se revelado uma mais-valia para o meu papel de

investigadora, enquanto professora, e para a lecionação de aulas futuras.

As informações retiradas das respostas dadas pelos alunos contribuíram para

a caraterização da turma, para o desenrolar da intervenção letiva e para, posteriormente

a uma primeira análise das produções escritas, clarificar aspetos inerentes à análise

dessas produções.

90

4.5. Questões éticas

Em relação às questões de caráter ético envolvidas neste estudo, seguindo as

orientações da Carta Ética do Instituto de Educação (2016), foram assegurados:

(a) O consentimento informado: os participantes deste estudo, devidamente

autorizados pelos seus representantes legais (Anexo 4), foram informados

sobre o objetivo do mesmo, dos dados a serem recolhidos e divulgados, da

natureza voluntária da sua participação, da possibilidade de desistir e do

tempo requerido no seu envolvimento.

(b) A confidencialidade e privacidade: no decorrer deste estudo foi assegurado

o anonimato dos participantes, utilizando nomes fictícios para os designar,

e nos documentos presentes em anexo não consta a identificação da turma

onde o estudo foi realizado.

Ainda, foram asseguradas a transparência e o rigor, comprometendo-se a

investigadora a, ao longo de todo este estudo, não plagiar, fabricar, falsificar ou

distorcer os dados e resultados.

91

5. Análise de dados

Ao longo deste capítulo apresento a análise dos dados recolhidos durante a

minha intervenção letiva, organizada segundo as questões de investigação deste

estudo. Uma vez que não pretendia ser exaustiva na apresentação da análise de dados,

selecionei alguns excertos de resoluções dos alunos, e de diálogos em grupo turma,

que considero que melhor evidenciam o trabalho realizado pelos alunos no que diz

respeito à utilização de processos argumentativos e à mobilização de conhecimentos

adquiridos em anos letivos anteriores e ao longo da unidade de ensino, assim como às

suas dificuldades.

Primeiramente, analisei as justificações e explicações dadas, tendo como

referencial as noções de justificação e explicação dadas por Whitenack e Yackel

(2008) e Balacheff (2000). Tentei identificar as caraterísticas dos processos utilizados,

no que à produção de argumentos diz respeito, e as dificuldades evidenciadas ao nível

da argumentação. Tentei, igualmente, identificar as conjeturas formuladas pelos

alunos, as suas conceções de conjetura, caso geral e demonstração e a importância

dada por estes à demonstração, uma vez que esta é um processo argumentativo no qual

os alunos evidenciam maiores dificuldades.

Por fim, analisei os conhecimentos que os alunos mobilizaram na resolução das

tarefas, em particular na sua argumentação, e as dificuldades evidenciadas por estes,

com especial enfoque nos conceitos de Geometria e no vocabulário geométrico

utilizado, procurando perceber como os alunos articulam conceitos matemáticos

prévios com os estudados durante a lecionação da unidade.

5.1. Processos de argumentação (explicação, justificação e

demonstração)

Na tarefa “Ângulo ao centro e ângulo inscrito”, é pedido explicitamente aos

alunos que expliquem as suas estratégias de resolução. Na questão 2.1., todos os alunos

determinaram corretamente as medidas das amplitudes dos ângulos ao centro 𝐴�̂�𝐵 e

𝐷�̂�𝐶. Em aula, foram unânimes em explicar que dividiram a circunferência em quatro

e seis partes iguais, como estratégia de resolução.

Na figura 19 apresenta-se a resolução efetuada pelo par de alunos Aluno A e

Aluno B. Este foi o único par de alunos que, por escrito, não se limitou a apresentar a

sua conclusão.

92

Da resolução apresentada, observa-se que os alunos concluíram que o ângulo

𝐴�̂�𝐵 tem 90º de medida de amplitude, tentando justificá-lo através da definição de

ângulo reto (os alunos utilizaram a terminologia “retângulo” incorretamente). Quando

questionados sobre a sua resolução, durante uma entrevista, os Alunos A e B

explicaram que para o caso do quadrado “viram logo que era 90º” porque seria

“evidente o ângulo ter 90º de amplitude porque era o ângulo de um quadrado”. Quando

lhes pedi uma justificação que recorresse a uma propriedade, os alunos responderam

“ah, as diagonais dos quadrados formam um ângulo reto entre si, é por isso”. Sobre os

ângulos ao centro do hexágono, este par de alunos explicou que dividiram a

circunferência em seis partes iguais, em conformidade com a estratégia utilizada pelos

colegas de turma.

Quando lhes pedi durante uma entrevista, uma justificação, apoiada em alguma

propriedade, que fundamentasse a sua estratégia, os alunos responderam que podiam

fazê-lo por o hexágono ser regular e, portanto, poder dividir a circunferência em seis

partes iguais, algo que não seria possível caso o hexágono não fosse regular.

Embora se consiga intuir o processo de resolução utilizado, a falta de cuidado

ao apresentar as ideias, não existindo um encadeamento entre elas, por inexistência de

frases que as interliguem, não permite compreender na totalidade o raciocínio utilizado

pelos alunos, pelo que foi necessário recorrer ao questionamento oral para que estes

pudessem explicar a estratégia utilizada – através da observação da sua produção

escrita, não se compreende que estratégia os alunos utilizaram para determinar as

medidas das amplitudes dos ângulos ao centro pedidas para o caso do quadrado.

Salienta-se, ainda, que a resolução apresentada mostra domínio ao nível do

vocabulário geométrico utilizado, no que à representação de ângulo com centro num

ponto diz respeito. Ainda assim, os alunos utilizam incorretamente o símbolo de

igualdade, “=”, para exprimir a amplitude dos ângulos pedidos.

Figura 19- Exemplo de resolução da questão 2.1. da tarefa " Ângulo ao centro e ângulo inscrito ",

pelo par de alunos Aluno A - Aluno B.

93

Na questão 2.2., da mesma tarefa, os alunos são solicitados a determinarem a

medida da amplitude de dois arcos de circunferência, justificando a sua resposta.

Apenas um par de alunos não respondeu a esta questão e, na sua generalidade, os

alunos determinaram corretamente as amplitudes pedidas, mas sem apresentar

qualquer justificação para as suas conclusões.

Ao monitorizar o trabalho autónomo dos alunos, constatei que uma dificuldade

evidenciada inicialmente em justificar consistia em considerarem que a justificação

era demasiado óbvia, pelo que não seria necessária – os alunos basearam-se na

evidência das suas intuições, não compreendendo a necessidade de apresentar uma

justificação para a sua resposta, uma vez que a sua intuição lhes parecia ser suficiente

e incontestável.

O par de alunos que não respondeu a esta questão evidenciou dificuldades ao

nível da formulação de uma estratégia que lhes permitisse concluir o desejado. Este

par de alunos disse não poder resolver a questão “porque o enunciado não tem

valores…” apesar de terem respondido corretamente à questão precedente. Talvez por

o nível de abstração necessário ser elevado, esta também foi uma dificuldade

evidenciada inicialmente pela maioria dos alunos.

Na figura 20 apresenta-se um exemplo de uma resolução, desenvolvida pelo

par de alunos Aluno E e Aluno F.

Apesar de não apresentarem qualquer justificação no sentido de fundamentar

as medidas de amplitude por si apresentadas para esta questão, os alunos apresentam

dois desenhos que, segundo os mesmos, permitem intuir sobre a estratégia utilizada –

a divisão da circunferência em quatro e seis partes iguais, algo que foi, posteriormente,

explicado pelos alunos, em aula:

Tentámos compreender se existia alguma propriedade que respondesse ao

que queríamos. Acabamos por desenhar um quadrado dentro da

circunferência porque pensamos que assim ficaria justificado…porque ele

[o quadrado] divide a circunferência em quatro partes iguais. Fica 360º a

dividir por 4, que dá o 90º, mas não sabemos se isso é uma propriedade ou

Figura 20 - Exemplo de resolução da questão 2.2. da tarefa “Ângulo ao centro e ângulo inscrito", pelo

par de alunos Aluno E - Aluno F.

94

não. Mas tentámos justificar utilizando o desenho. Fizemos igual para o

hexágono. O que fizemos foi dividir… e podemos dividir porque são

iguais [os comprimentos] e fica o arco igual ao ângulo. (Aluno F)

Quando entrevistado, o Aluno E acrescentou:

É igual ao anterior, porque ao dividirmos a circunferência em diferentes

partes também dividimos em diferentes arcos… por exemplo, se

estivermos a dividir aí no quadrado em 4 partes iguais, vemos que cada

parte fica com 90º… cada ângulo com centro no O, vá. Mas os arcos

também estão divididos em 4 arcos iguais e o total tem 360º…por isso

ficamos com 90º na mesma em cada arco… por isso é que vai ser igual…

é como se fossemos fatiar.

Efetivamente, a resolução destes alunos assenta na divisão da circunferência

em quatro e seis partes iguais, como forma de determinar a amplitude dos arcos

correspondentes. Parece ser evidente que os alunos compreendem a diferença entre os

processos de explicação e justificação – o Aluno F aponta que o que “fizemos foi

dividir”, referindo-se ao processo de resolução utilizado, e “podemos dividir porque

(…)”, referindo-se ao porquê de o terem feito. É ainda de salientar que os alunos

tentam, mesmo que implicitamente, enunciar uma propriedade geométrica para

explicitar o seu raciocínio – o Aluno E refere que ao dividir a circunferência em

“partes” iguais, os ângulos ao centro terão a mesma amplitude dos arcos

correspondentes.

Ainda assim, é de referir que os alunos não apresentam evidências que

explicitem os seus raciocínios, na sua expressão escrita – os desenhos que os alunos

apresentam são as imagens presentes na ficha de trabalho, não sendo apresentada

qualquer indicação de que a imagem pretende, efetivamente, justificar ou explicar o

processo utilizado.

Apesar do raciocínio apresentado ser correto, os alunos não apresentaram uma

justificação sobre o porquê de ser possível dividir a circunferência em quatro e seis

partes iguais (porque o quadrado tem os lados todos iguais e o hexágono é regular),

durante a aula. Um aluno levantou essa questão: “podemos fazê-lo porque o hexágono

é regular… se fosse tipo com os lados todos diferentes já não dava”, algo que foi

apontado como “desnecessário” por muitos alunos. Apesar do seu caráter óbvio, esta

justificação seria importante, por se tratar de uma condição necessária para garantir a

veracidade das conclusões apresentadas. O facto de os alunos considerarem

desnecessária a apresentação de uma justificação nesse sentido, parece estar

95

relacionada com a fraca apropriação que estes têm de alguns conceitos matemáticos.

Com efeito, alguns alunos consideraram que mesmo se os lados fossem diferentes a

circunferência poderia ser dividida em quatro e seis partes iguais e os resultados seriam

idênticos aos encontrados: “ se fossem os lados diferentes também podíamos dividir e

os resultados eram iguais… porque divide na mesma a circunferência “ (Aluno S).

Da resolução aqui apresentada, também é evidente a falta de rigor matemático

com que os alunos apresentam as suas ideias, utilizando o símbolo da igualde, “=”,

como forma de exprimir a ideia de que, por exemplo, o arco 𝐴�̂� tem 90º de medida de

amplitude. Contudo, os alunos mostram correta apropriação das nomenclaturas

geométricas – neste caso, no que à representação de arco diz respeito.

Para a questão 2.3., pretendia-se que os alunos conjeturassem acerca da relação

que existe entre a medida de amplitude do ângulo ao centro e a medida de amplitude

do seu arco correspondente, baseando-se nas suas conclusões no decorrer da questão

2.

A maioria dos alunos da turma concluiu corretamente o pretendido, mas sem

apresentar uma justificação. Em discussão grupo turma, os alunos foram unânimes em

dizer que não apresentaram justificações por não considerarem “necessário” uma vez

que “da observação do quadrado, se pode concluir o resultado desta [referindo-se à

conjetura] ”. Parece ser evidente, para estes alunos, que a observação de um único caso

permite concluir que existe uma relação entre os objetos matemáticos que se

pretendem estudar. É de salientar que os alunos não referiram os ângulos para o caso

do hexágono, focando-se exclusivamente na evidência do caso do quadrado. Não há

evidências, excetuando dois alunos, que mostrem que os alunos se tenham questionado

acerca da veracidade da sua conjetura, ou tenham tido curiosidade em testar a

veracidade da mesma para mais alguns casos. Isto deve-se, talvez, à pouca experiência

que os alunos têm com este tipo de atividade matemática, não revelando hábitos de

formulação, teste (validação ou refutação) e demonstração de conjeturas por eles

desenvolvidas.

Na figura 21 apresenta-se a conjetura desenvolvida pelos alunos Aluno E e

Aluno F.

96

Os alunos utilizaram os casos estudados nas alíneas anteriores, para o quadrado

e para o hexágono inscritos na circunferência. Além destes, os alunos utilizaram o

triângulo inscrito (neste caso, implicitamente, equilátero) numa circunferência, para

observarem mais um caso. Parece evidente, para estes dois alunos, que a exploração

de mais casos permite uma maior certeza naquilo que se conclui. Contudo, os alunos

não apresentam cálculos que sustentem a sua afirmação quanto às medidas de

amplitude calculadas, intuindo-se que determinaram as mesmas com recurso à divisão

da circunferência em três partes iguais (um raciocínio também utilizado nas duas

questões anteriores). Em aula, os alunos explicaram que lhes pareceu “insuficiente

utilizar só dois casos”, explicando que, na sua opinião, a exploração de três casos já

permitiria produzir uma conclusão com algum grau de certeza.

Os alunos não mostraram sentir necessidade de demonstrar a conjetura por eles

encontrada, mesmo quando incentivados nesse sentido, dizendo que, através dos casos

apresentados pelos colegas, “estava visto [provado] que funcionava para todos os casos

existentes [caso geral] ”. Aparentemente, os alunos distinguem o caso particular do

caso geral, referindo-se a este último como uma “generalização dos exemplos” por

eles testados. No entanto, idealizam a demonstração do caso geral, de forma empírica,

através da dedução, pela observação de diferentes casos.

Figura 21 – Conjetura apresentada pelo par de alunos Aluno E – Aluno F. Questão 2.3. da tarefa

“Ângulo ao centro e ângulo ao inscrito”.

97

Em relação à questão 3.1. da mesma tarefa, pedia-se aos alunos que

concluíssem se determinados ângulos ao centro e inscrito têm a mesma medida de

amplitude. Um par de alunos (Aluno I e Aluno J) respondeu que não, porque “as

amplitudes dos ângulos são diferentes” sem justificar o porquê da sua conclusão, como

se pode observar na figura 22.

Quando questionados, durante uma entrevista, sobre esta resolução, os alunos

explicaram:

Aluno J: Pela imagem parece que não são iguais… um parece maior que

o outro.

Professora: Qual parece ser maior?

Aluno J: O 𝐵�̂�𝐶…parece ser tipo o dobro ou assim.

Professora: Se me quisesses convencer que seria o dobro, como tentarias

explicar? Pela imagem é suficiente?

Aluno J: Eu acho que é.

Professora: Se eu disser que a mim me parece o triplo, o que me

respondes?

Aluno I: Oh… pelas imagens uma pessoa tira as conclusões que quer…

não é por aí de certeza…

Com este diálogo pode concluir-se que, em primeira instância, os alunos

utilizaram a imagem como referencial para responder à questão, não a assumindo

como uma mera representação do objeto que se pretendia estudar. No entanto, quando

confrontados com uma diferente perspetiva, os alunos conseguiram perceber que a

imagem apenas oferece um apoio visual e não uma justificação matematicamente

válida. Esta dificuldade parece estar relacionada com a ideia de que as imagens

oferecem uma evidência irrefutável sobre o caso de estudo.

Da monitorização do trabalho autónomo realizado em aula, concluí que apenas

um par de alunos (Aluno C e Aluno D) respondeu que as medidas das amplitudes são

Figura 22 – Exemplo de resolução da questão 3.1. da tarefa “Ângulo ao centro e ângulo inscrito”, pelo

par de alunos Aluno I - Aluno J.

98

as mesmas porque os ângulos estão inscritos no mesmo arco, não tendo procedido a

quaisquer cálculos, como em seguida se apresenta:

Aluno C: Têm o mesmo arco. Por isso têm a mesma amplitude.

Professora: Então e se eu desenhar o ângulo 𝐵�̂�𝐶 [concâvo]? Tem a mesma

amplitude?

Aluno C: Não, esse é claramente obtuso.

Professora: Mas partilha o mesmo arco que os outros. Como podes justificar?

Aluno C: Pois, são diferentes…não é por terem o mesmo arco. Mas nem

fizemos contas.

Em seguida, um par de alunos (Aluno I e Aluno J) com uma resolução correta

interveio, respondendo que se poderia dividir a circunferência em três partes iguais,

por o triângulo ser equilátero, e fazendo referência aos ângulos internos do triângulo –

este processo de resolução foi utilizado pela maioria dos alunos da turma (Figura 23),

excetuando os casos já aqui apresentados.

Da resolução apresentada, percebe-se que os alunos dividiram a circunferência

em três partes iguais, não justificando porque o podem fazer (tal não era pedido), e

consideraram 𝐵�̂�𝐶 como interno de [BAC], calculando a sua medida de amplitude e

verificando que é diferente da do ângulo ao centro 𝐵�̂�𝐶. Uma vez mais, os alunos

utilizam o símbolo da igualdade, “=”, para exprimir incorretamente as medidas de

amplitude dos ângulos. É de notar que os alunos mostram dificuldade ao nível do rigor

da linguagem com que apresentam as suas ideias, exprimindo relações de forma

incorreta.

Ainda, houve um par de alunos que respondeu que os ângulos não teriam a

mesma amplitude por um ser um ângulo ao centro e outro ser um ângulo inscrito. Uma

vez que a relação entre estas amplitudes nunca tinha sido apresentada, perguntei aos

alunos, durante o trabalho autónomo, o que a sua resposta significaria. Os alunos

Figura 23 – Exemplo de resolução da questão 3.1. da tarefa “Ângulo ao centro e ângulo inscrito”, pelo

par de alunos Aluno I - Aluno J.

99

responderam-me que talvez fossem diferentes porque seriam ângulos “de tipo”

distintos, pelo que não poderiam ter a mesma amplitude ou “seriam do mesmo tipo”,

mas não apresentaram quaisquer cálculos que lhes permitissem fundamentar a sua

resposta.

Para a questão 3.2., os alunos são convidados, uma vez mais, a estabelecer uma

relação geral entre as medidas das amplitudes do ângulo ao centro e inscrito. A maioria

dos alunos relacionou corretamente as medidas pedidas, indicando que são iguais, sem

evidenciar fundamentos que o sustentem. Em aula, referiram que “concluíram logo da

alínea anterior”. No entanto, uma vez que na questão 2 os colegas referiram a

importância do estudo de mais casos, alguns alunos referiram o mesmo:

Aluno P: Professora, nós usamos mais alguns casos para ver…como

fizeram para a 2.

Professora: Que casos estudaram?

Aluno P: Nós pensámos que era metade porque na 3.1. vimos que era. Mas

depois usámos os da pergunta 2. Tipo vimos que o 𝐵�̂�𝐷 no quadrado é o

ao centro. Mas achámos estranho… porque esse também tem 90º… então

o ao centro fica igual ao inscrito mas isso não é o que deu na 3.1.

Aluno B: Nós também tentámos usar a pergunta 2 mas também achamos

que está mal porque fica 90º.

Deste diálogo, concluímos que os alunos tentaram, de facto, testar a relação

que pensavam ter encontrado para outro caso: o do quadrado inscrito. Nenhum aluno

se focou no hexágono, ou referiu esse caso, sem incentivo da minha parte. O erro dos

alunos reside, neste caso particular, de considerarem incorretamente 𝐵�̂�𝐴 como

ângulo ao centro correspondente ao ângulo inscrito por eles considerado. No entanto,

é de salientar que os alunos apresentaram uma justificação (no caso do quadrado não

funcionava) baseada num único contraexemplo, que, segundo os mesmos, refutava a

sua primeira intuição. Os alunos não mostraram, no entanto, necessidade em obter uma

justificação matemática para o caso geral, parecendo, uma vez mais, convictos de que

o caso geral poderia ser deduzido empiricamente.

O problema 4, da mesma tarefa, tem como principal objetivo conduzir os

alunos á conclusão de que a medida da amplitude do ângulo inscrito é metade da

medida da amplitude do seu arco capaz. Para tal, os alunos têm de relacionar este

problema com os anteriormente trabalhados durante a resolução e discussão em grupo

turma.

100

Para a questão 4.2., os alunos revelaram dificuldades ao nível da compreensão

do enunciado, não conseguindo utilizar as conclusões retiradas dos problemas

anteriores como um auxílio na resolução do novo problema. De facto, muitas vezes os

alunos questionaram-me: “professora, o que é para fazer aqui?”, “como posso justificar

se não tenho valores?” ou “não tenho dados para responder, porque isto não tem

valores… com valores se calhar conseguia”. Com isto, percebi que os alunos têm

dificuldade em interpretar e resolver problemas que não contenham dados concretos.

Os alunos apontaram, frequentemente, a “impossibilidade” de resolver este problema.

No entanto, revelaram ser capazes de resolver os mesmos problemas quando se

utilizam valores concretos:

Professora: Não precisamos de dados, ou valores, para o resolver.

Aluno H: Mas sem valores como sabemos?

Professora: Vamos pensar, então, com valores. Se eu disser, por exemplo,

que o arco 𝐴�̂� tem 50º de medida de amplitude… o que podem dizer?

Aluno B: Sabemos que 𝐴�̂�𝐵 tem 50º também, por ser ângulo ao centro…

e do exercício 1 sabemos que esse ângulo [referindo-se ao ângulo ao

centro] tem a amplitude do arco correspondente.

Professora: Então, o ângulo 𝐴�̂�𝐵 tem quanto de medida de amplitude?

Aluno B: Tem 25º, no exercício 3 nós vimos que o inscrito tem metade do

ao centro…

Professora: Alguém quer dizer isso de forma mais rigorosa?

Aluno F: Sim. O ângulo 𝐴�̂�𝐵 é inscrito… o seu arco é o 𝐴�̂�, que tem 50º

de amplitude. Então, o ângulo tem 25º de amplitude.

Deste diálogo, pode concluir-se que os alunos não utilizam linguagem formal

para exprimir as suas ideias, exprimindo-se, diversas vezes, de forma imprecisa

(quando o Aluno B refere que “o inscrito tem metade do ao centro”, não especificando

que se está a referir às medidas das amplitudes destes ângulos).

A necessidade da procura de um porquê apenas surgiu por estar indicado nesta

pergunta, uma vez que a maioria dos alunos disse não conseguir concluir porque tal

acontece, sem se aperceber que, neste caso, bastava justificar utilizando as alíneas

anteriores, e não procedendo a uma demonstração matemática.

Na tarefa “Propriedades sobre os ângulos” os alunos são convidados, uma vez

mais, a envolver-se no processo de justificação. Na questão 1, é solicitado aos alunos

que justifiquem duas afirmações sobre a igualdade entre dois ângulos ao centro e suas

respetivas cordas. A maioria da turma não apresentou qualquer dificuldade em

101

apresentar uma justificação, para a alínea a., baseando-se no facto de os ângulos serem

verticalmente opostos.

Um par de alunos da turma (Aluno I e Aluno J) justificou que os ângulos têm

igual medida de amplitude porque “o ponto C é o ponto de encontro das duas retas que

formam o ângulo”. Quando questionados, durante a aula, sobre a sua resolução, os

alunos explicaram que utilizaram o ponto C como referência para desenvolver a sua

estratégia de resolução: “o ponto C é o centro da circunferência. Nós sabemos que o C

vai estar à mesma distância de F e de E e de B e A. Os ângulos são iguais, porque são

formados por raios”. Os alunos consideraram que os ângulos têm a mesma medida de

amplitude porque suas retas suporte são raios da circunferência. No entanto, o Aluno

A constatou, em seguida, que tal não é verdade:

Se vocês puserem outro ponto qualquer na circunferência, tipo o ponto M,

e ligarem esse ponto ao C, vão ver, por exemplo, que o ângulo formado

pelos pontos B, C e M não é igual ao 𝐹�̂�𝐸. Por isso, tipo… apesar de serem

formados pelos raios, não vão ser iguais. Nós podemos ter vários ângulos

formados pelos raios e serem todos diferentes.

Deste diálogo, é evidente que o Aluno A compreende a explicação dos colegas –

compreende o processo de resolução utilizado – e, através da apresentação de um

contraexemplo, refuta a ideia apresentada e identifica o erro cometido. É importante

salientar que o aluno não se limita a identificar o erro (ser formado pelos raios não

indica que sejam iguais) mas ajuda os colegas a compreender porque é que a sua

justificação é incorreta, apontando evidências disso (porque se considerarem outro

ponto, M, constatam que tal não se verifica). Esta ideia mostrou ser de particular

importância porque, através da mesma, os alunos ficaram convencidos da incorreção

da sua justificação e, em aula, introduziu-se a noção de contraexemplo, algo

desconhecido dos alunos.

Para a questão b., verificou-se que apenas um par de alunos da turma (Aluno E

e Aluno F) mencionou a rotação como forma de justificar o pretendido, embora não

tenham explicitado de que rotação se trata (Figura 24).

Figura 24 – Resolução da alínea b) da questão 1, da tarefa "Propriedades sobre os Ângulos", pelo par

Aluno E - Aluno F.

102

Ainda assim, muitos alunos da turma intuíram corretamente que uma corda se

pode transformar na outra através de uma isometria, pelo que me questionaram por

diversas vezes: “como posso dizer que ao rodar uma das cordas encontro a outra?” ou

“professora, eu sei que posso rodar um dos ângulos e, ao rodar, vai dar o outro…como

digo isto por palavras certas?”, revelando dificuldade em expor as suas ideias através

de linguagem matemática formal, exprimindo-se oralmente ou por escrito, apesar de

apresentarem um raciocínio correto. De facto, muitos alunos escreveram, utilizando

linguagem imprecisa, que a corda [AB] “rodava em torno do C” para “chegar à corda

[EF]”. É de salientar, no entanto, que embora não sejam capazes de o escrever

formalmente, os alunos conseguem apresentar uma justificação assente numa ideia

matemática válida.

Dois pares de alunos da turma escreveram que as cordas são iguais porque os

ângulos são geometricamente iguais (por serem verticalmente opostos), não

especificando que um se obtinha do outro através de uma Isometria, em particular,

uma rotação. Os alunos parecem compreender que o facto de os ângulos serem

geometricamente iguais influencia a igualdade dos comprimentos da corda, embora

não o justifiquem, através das transformações geométricas, ou apresentem algum

raciocínio que fundamente a sua observação – parece ser claro que os alunos se

basearam na forte evidência da intuição.

Na questão 2 é pedido aos alunos que relacionem as medidas das amplitudes

dos ângulos 𝛼 e 𝛽 – inscritos num mesmo arco – justificando. Apenas seis pares de

alunos da turma responderam a esta questão. De facto, da monitorização do trabalho

autónomo, notei que a maioria dos alunos da turma evidenciou ter dificuldades em

apresentar uma justificação para o pretendido: uns por considerarem, uma vez mais, o

caráter óbvio da justificação, outros por não compreenderem como se conseguiria

justificar o pedido, apresentando dificuldades ao nível da expressão escrita, e, ainda,

alguns por não conseguirem relacionar as medidas das amplitudes dos dois ângulos

corretamente. Muitas vezes os alunos me questionaram sobre “o que é para fazer?” ou

“como justifico que são iguais?” ou “como assim, relacionem? Tenho de dizer o quê?”

ou “não percebo como vejo se são iguais ou diferentes…”.

Estas dificuldades devem-se ao facto de o nível de abstração necessário para

este problema ser bastante elevado, uma vez que os alunos não estão habituados a

trabalhar sem valores concretos, ou através da observação. É importante referir que,

para este problema, a imagem revela uma evidência forte e uma condição necessária

103

para que os ângulos tenham a mesma medida de amplitude: o facto de partilharem o

mesmo arco correspondente. Este facto foi apontado por um aluno da turma:

Aluno C: Se não estiverem no mesmo arco não são iguais.

Aluno F: Não? Mas há bocado eram.

Aluno C: Há bocado eram ao centro. Estou a dizer inscrito.

Aluno D: E se forem em arcos opostos também dá. Como no 1. Os ângulos

são opostos logo são iguais. Se os inscritos forem opostos também são

iguais.

Aluno F: Sim, se usarmos aquele problema da aula passada do quadrado

e do hexágono dá… se metermos dois inscritos opostos também é verdade.

E no problema 1 já vimos que dá por causa da rotação. Desde que se rode

já dá.

É de salientar a importância da analogia na apresentação de justificações por

partes dos alunos. Quando utilizam expressões do tipo “como no 1”, “no problema 1

já vimos que dá”, “se usarmos aquele problema da aula passada” e “há bocado eram”,

mostram uma argumentação do tipo dedutivo, porque obtém as suas conclusões através

da aceitação de factos já por eles conhecidos, recorrendo a analogias como forma de

sustentar as suas afirmações.

O problema 3, da mesma tarefa, tem como principal objetivo conduzir os

alunos à conclusão de que a medida da amplitude do ângulo inscrito numa

semicircunferência é sempre igual a 180º. Durante a discussão da tarefa, os alunos

referiram, unanimemente, que o triângulo [AVB] é retângulo “porque tem um ângulo

de 90º”. Quando questionados sobre o porquê de ter um ângulo com 90º de medida de

amplitude, os alunos responderam “porque é um ângulo reto”. O Aluno F recorreu à

explicação para clarificar o que se pretendia, aos colegas. Segundo o mesmo, pedia-se

uma justificação para o porquê do ângulo ser reto, com recurso a propriedades estudas,

e não referindo que seria reto por ter 90º de medida de amplitude: “já entendi. Ser reto

é o mesmo que ter 90º. Estamos a repetir… temos é de dizer porque é que tem 90º, ou

seja, porque é que é reto. Temos de usar qualquer coisa matemática [referindo-se a

uma propriedade/conceito] ” (Aluno F). É de notar que o Aluno F tem uma conceção

do processo de justificação que assenta na utilização de propriedades matemáticas e

nas relações existentes entre elas, apreendendo este processo como algo que permite

clarificar quanto às razões que legitimam uma determinada asserção.

104

Quando confrontados com a necessidade de justificar o pedido, baseando-se

em alguma propriedade por eles estudada, os alunos evidenciaram ter alguma

dificuldade em fazê-lo:

Aluno M: Como é que vamos dizer que tem 90º?

Aluno G: Tem alguma coisa a ver com os ângulos que já estudamos?

Aluno B: O 𝐴�̂� tem 180º e é o arco desse ângulo [𝐴�̂�𝐵]. Deve ser isto.

Aluno P: Como é que isso nos ajuda? Fica 90º por ser metade?

Aluno X: Não é ao centro… é inscrito [referindo-se a 𝐴�̂�𝐵]

Aluno A: Mas não sabemos quanto é o arco 𝐴�̂�.

Esta dificuldade parece estar relacionada com alguma incapacidade em utilizar

imediatamente as relações já estudadas, algo que é natural quando se estuda um tópico

matemático pela primeira vez.

Na tarefa “Ângulo de segmento” os alunos são convidados a conjeturar sobre

a relação que existe entre a medida de amplitude do ângulo de segmento e a medida

de amplitude do arco compreendido entre os seus lados. Na questão 1.1. os alunos têm

de investigar qual dos amigos Joana ou João tem razão sobre a relação, efetuando

cálculos com dados concretos. Na questão 1.2. é pedida, explicitamente, a conjetura.

Para esta última, os alunos foram unânimes em concluir que a medida da

amplitude do ângulo de segmento é metade da medida de amplitude do arco

compreendido entre os seus lados. A maioria das conjeturas não apresenta nenhuma

evidência que as sustente, percebendo-se que os alunos apoiaram a sua dedução na

resolução da questão anterior, embora tenha sido frequentemente pedido que

justificassem (não está pedido explicitamente na ficha de trabalho, mas foi pedido

oralmente). Contudo, dois pares de alunos (Aluno A – Aluno B e Aluno M – Aluno

N) apresentaram evidência de terem testado a veracidade da sua conjetura para mais

casos, como se apresentam na figura 25 e na figura 26.

105

Os casos apresentados diferem. Os alunos A e B consideram o estudo de casos

partindo do ângulo 𝐷�̂�𝐶 (dado no enunciado com uma certa medida de amplitude). A

partir de diferentes amplitudes, dadas pelos alunos, ao ângulo, concluem que a relação

é de metade.

O caso apresentado pelos alunos M e N considera o arco 𝐶�̂� como tendo 10º

de amplitude. No entanto, parece que estes alunos se apoiam na evidência de apenas

um caso, porque não há referência que tenham utilizado a alínea anterior como um

caso particular a estudar – algo que apenas evidenciaram oralmente.

Uma vez convictos da veracidade das suas conjeturas – nas palavras dos alunos

“os testes deles [Aluno A, Aluno B, Aluno M, Aluno N] já mostram que funcionam”

– recorri ao Geogebra para testar a validade das afirmações dos alunos:

Aluno A: Eu disse que dava!

Aluno C: Dá para todas as que quisermos pôr.

Aluno X: Para infinitas.

Aluno S: A stôra já tinha dito que tínhamos de ver para todos os casos.

Mas em papel não dá stôra. Ainda bem que temos essa coisa [referindo-se

ao Geogebra].

Aluno M: Mas falta demonstrar que dá para todos. Porque tínhamos de

andar a fazer para todos os casos possíveis…só acabávamos daqui a 3 mil

anos! Por isso temos de demonstrar, não é?

Figura 25 - Conjetura apresentada pelo par de alunos Aluno A - Aluno B. Questão 1.2. da tarefa

"Ângulo de segmento".

Figura 26 - Conjetura apresentada pelo par de alunos Aluno M – Aluno N. Questão 1.2. da tarefa

“Ângulo de segmento”.

106

Com este diálogo, começa a ser evidente que os alunos começam a

compreender a necessidade da demonstração, mesmo que esta seja por eles

considerada um “processo complicado de compreender” e que consideram que

“sozinhos não íamos conseguir” desenvolver. Como um dos alunos refere, o processo

de verificar para todos os casos possíveis (infinitos) seria bastante exaustivo e

impossível de realizar (“só acabávamos daqui a 3 mil anos”). Também a importância

do Geogebra é evidenciada pelos alunos, que consideram que este é uma ferramenta

útil para o teste de várias medidas de amplitude (“mas em papel não dá (…)”) que lhes

permite confirmar se as suas conjeturas estão certas. É de ressaltar que os alunos

também revelam começar a compreender que através do exemplo único, ou do teste

de exemplos particulares, a veracidade matemática de uma asserção não pode ser

concluída, embora a possam intuir através do processo de observação.

Ao acompanhar o trabalho autónomo dos alunos, durante a realização da tarefa

“Ângulo excêntrico”, apercebi-me que a maioria destes utilizou as relações que se

pretendiam ver justificadas como algo necessariamente verdadeiro, sem o verificar.

Era pedido aos alunos que confirmassem se a medida da amplitude do ângulo

excêntrico, com vértice no interior e exterior da circunferência, é igual à

média/semidiferença das amplitudes dos arcos compreendidos entre os seus lados e os

lados do seu prolongamento. No entanto, os alunos não poderiam considerar estas

afirmações como verdadeiras para resolver o problema, sendo que se trata de um

problema de verificação.

Efetivamente, uma das dificuldades evidenciadas pelos alunos durante a

realização desta tarefa, foi precisamente o facto de não interpretarem corretamente o

enunciado. Outra dificuldade evidenciada foi a falta de autonomia em iniciar o

trabalho, sendo que muitos alunos me perguntaram como poderiam justificar se as

relações eram verdadeiras, ou não. Foi um aluno da turma (Aluno J) que explicou aos

colegas que teriam de proceder a cálculos para concluir se o que o João dizia era

verdade, ou não. O aluno utilizou a analogia como forma de explicar o pretendido:

Imaginem que eu quero dizer que o [aluno] P mede 1,82 cm. Eu digo “o P

mede 1,82 cm”. Vocês não vão dizer que ele tem 1,82 cm só porque eu

disse que tinha. Têm de o medir para ver se tem ou não… para ver se eu

estou a dizer a verdade. Aqui temos de fazer igual. Vamos fazer contas

para ver se é mesmo a média ou não. Se for, o João diz a verdade. Se

formos ver que não é, então não é verdade.

107

É notória a importância da linguagem natural utilizada pelo aluno para explicar

aos colegas o que se pretende. Também, há uma ênfase na utilização de conceitos do

dia-a-dia, particularmente a noção de altura, como um contexto familiar aos alunos,

revelando que o aluno compreende a justificação, neste caso, como um ato de

verificação, ou seja, justifica-se a veracidade da relação através da exibição de cálculos

que verifiquem, ou não, a mesma.

O cálculo como forma de justificação aparece novamente durante a realização

da tarefa “Ângulo ex-inscrito”. É pedido que, na questão 1.1., os alunos selecionem,

de entre as variadas opções apresentadas, a que consideram verdadeira, justificando o

porquê da sua escolha. A maioria dos alunos apresentou cálculos como forma de

justificar o pretendido, mas não justificando como apareciam os cálculos, isto é, não

justificando a sua utilização. Quando questionados, durante a discussão em aula, sobre

a ausência de justificações para os cálculos, os alunos responderam: “o cálculo é uma

justificação, não é? Ou tenho de dizer porque fiz estas contas?”. O Aluno D levantou

esta questão, explicando aos colegas que os cálculos também devem ser devidamente

justificados:

Eu acho que deve ser importante dizer porque é que se fazem essas contas.

Por exemplo, o ângulo 𝐷�̂�𝐶 tem 30º porque é inscrito no arco que tem

60º… Não vou só meter ali que tem 30º, da nada… a professora fica sem

saber de onde veio o 30º. Na conta metemos o 30º, mas de onde vem?

Em primeira análise, percebe-se que o Aluno D vê a justificação, neste caso,

como uma expressão que indica uma razão que fundamenta o porquê da utilização de

certos cálculos, isto é, os cálculos, por si só, não suportam a validade de uma afirmação

pelo que é necessário “dizer porque se fazem estes cálculos e não outros…para a

professora saber como eu pensei” (Aluno D). Parece haver, assim, uma primazia do

entendimento de quem lê o que está a ser exposto – a justificação é vista como um ato

de convencer.

Para resolver esta questão, a maioria dos alunos utilizou um processo de

resolução semelhante (utilizando cálculos que permitissem concluir qual das opções

seria a verdadeira). No entanto, um par de alunos (Aluno A – Aluno B) utilizou uma

argumentação do tipo dedutivo (Se… então) como forma de fundamentar a sua

resposta (Figura 27).

108

Os alunos consideraram, à semelhança dos colegas, que os ângulos 𝐷�̂�𝐶 e 𝐴�̂�𝐶

são suplementares, embora implicitamente, para refutar cada uma das alíneas,

calculando a soma de ambos para cada caso. Os alunos identificam, ainda, que 𝐷�̂� é o

arco capaz do ângulo 𝐷�̂�𝐶, embora não o tenham escrito. Durante a discussão, os

alunos disseram: “nós explicamos aqui no quadro, mas depois não escrevemos porque

não achamos preciso…, mas como a professora pergunta, acabamos por explicar”,

mostrando que apresentam justificações mais completas quando são solicitados

explicitamente nesse sentido, apesar de não sentirem necessidade de o fazer em caso

contrário.

A preferência por uma argumentação do tipo indutivo deveu-se ao facto de,

segundo os alunos, ser “mais fácil” porque “não estávamos a ver como fazer com

aquele valor. Quando conjugámos esse com os dados nas alíneas, ficou mais simples”.

Esta ideia não pareceu, ainda assim, ser partilhada pela maioria da turma, que

consideraram a estratégia desenvolvida “pouco coerente”, por não compreenderem

que poderiam utilizar as hipóteses como forma de concluir o pretendido. Não é,

portanto, habitual para estes alunos argumentar recorrendo a um raciocínio do tipo “Se

hipótese então conclusão”.

Na tarefa “Ângulos internos e externos de polígonos”, o pedido de justificação

surge na primeira questão. Para a questão 1.1., pedi a um par de alunos (Aluno C –

Aluno D) que apresentasse a sua resolução, uma vez que, do trabalho autónomo,

conclui que resolveram a questão utilizando um processo distinto do utilizado pelos

restantes colegas (Figura 28)– a restante turma dividiu o pentágono em três triângulos,

a partir de um único vértice, e utilizou a soma das medidas das amplitudes dos ângulos

internos de um triângulo para concluir corretamente o pretendido.

Figura 27 – Exemplo de resolução da alínea 1.1. da tarefa “Ângulo ex-inscrito”, pelo par de alunos

Aluno A – Aluno B.

109

Os alunos utilizaram as medidas das amplitudes dos ângulos internos do

triângulo para justificar o pretendido, fazendo analogias para diferentes polígonos por

eles já estudados (quadrado, pentágono e hexágono), relacionando as medidas das

amplitudes dos ângulos internos destes com as dos ângulos internos do triângulo:

Aluno D: Nós fizemos tipo por testes. Vimos que para um triângulo temos

180º. Depois, tentamos ver o quadrado e vimos que era 2 vezes 180º,

porque o quadrado tem dois triângulos lá dentro. Depois escrevemos para

o pentágono, mas foi porque vimos que também dá para um hexágono

regular. O hexágono lembrámo-nos que tem 720º, mas também dá desta

forma, tipo faz-se um pentágono mais um triângulo.

Aluno E: Não entendi porque de repente passaram para o hexágono. De

onde vem o pentágono mais o triângulo?

Aluno D: Não… imaginem, tens o triângulo, que tem 180º, logo é uma

vez 180º. Depois temos um quadrado que é duas vezes um triângulo, por

isso é duas vezes 180º. Depois o pentágono regular é duas vezes o

triângulo, que é um quadrado, mais um triângulo, por isso é três vezes 180º.

Depois o hexágono regular é um pentágono mais um triângulo… é sempre

a figura anterior mais um triângulo.

Aluno E: Então o hexágono é 4 vezes um triângulo?

Aluno C: Sim… depois o que tem 7 lados é cinco vezes o triângulo, ou

seja, é o hexágono mais um triângulo. Se fizeres no geral acho que é tipo

o número de lados menos 2, depois isso tudo vezes os 180º do triângulo.

Deste diálogo, pode concluir-se que o par do Aluno D utilizou a analogia como

forma de resolução da primeira alínea conseguindo, a partir da exploração de mais

casos particulares, descobrir a expressão geral para a soma dos ângulos internos de um

polígono convexo de n lados. Os alunos foram, então, confrontados com o raciocínio

dedutivo apresentado por este par de alunos. É de evidenciar que a justificação

apresentada por estes alunos recorre ao teste de vários casos por estes já conhecidos,

de forma a tentar encontrar uma regularidade que lhes permita concluir o pretendido.

No entanto, os alunos parecem não necessitar de provar a veracidade da regularidade

Figura 28 – Exemplo de resolução da questão 1.1. da tarefa “Ângulos internos e externos de

polígonos”, pelo par de alunos Aluno C - Aluno D.

110

encontrada, estando convencidos da sua validade. Ainda assim, um aluno (Aluno K)

mencionou a falta de demonstração pelo que “não tenho a certeza se estará certo”.

Da monitorização do trabalho autónomo, conclui que todos os alunos

responderam à alínea 1.3., da mesma tarefa, utilizando processos de resolução

idênticos ao da figura 29, apresentada pelos alunos C e D.

A resolução apresentada, embora escrita utilizando uma linguagem natural, é

correta. Os alunos, à semelhança dos colegas de turma, utilizaram corretamente a

noção de ângulos suplementares, considerando que o ângulo externo é suplementar do

interno, para resolver esta questão. Pareceu ser evidente, para a turma, que existem

cinco pares de ângulos suplementares no pentágono, perfazendo um total de 900º

(“temos 5 ângulos internos, temos também 5 ângulos externos que vão ter todos juntos

900º”). É evidente, ainda, que os alunos observaram corretamente que as medidas de

amplitude dos cinco ângulos internos têm de ser retiradas

(“900º-540º=360º”), de forma a concluir corretamente o pedido.

Todos os alunos da turma utilizaram a linguagem natural para apresentar a sua

resolução, sendo que nenhum recorreu a uma expressão algébrica para resolver o

problema. Muitos dos alunos apontaram que “não se lembraram que podiam usar uma

expressão”, outros concluíram que tal seria “demasiado difícil”, mostrando que na

argumentação existe uma primazia da linguagem natural em detrimento da linguagem

matemática formal, por esta última ser considerada, nas suas palavras, “difícil” ou ao

acesso “só dos mais inteligentes”.

No entanto, quando desafiados em discussão coletiva, os alunos conseguiram

obter facilmente uma expressão algébrica que lhes permitiu determinar o valor pedido:

Professora: Então como podemos escrever?

Figura 29 – Exemplo de resolução da questão 1.3. da tarefa “Ângulos internos e externos de

polígonos”, pelo par de alunos Aluno C – Aluno D.

111

Aluno A: Faça assim professora… 5 vezes 180º, que é os cinco “pares”,

digamos assim, de ângulos, igual à soma dos internos mais soma dos

externos [5 × 180 = 𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠 + 𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠].

Professora: E agora? Alguma ideia?

Aluno E: Já sei. Então já sabemos que a soma é 540º, das alíneas

anteriores, por isso é só resolver essa equação.

Em relação à questão 2., era pedido aos alunos que, através do teste de alguns

casos particulares, conjeturassem sobre a soma das medidas de amplitude dos ângulos

internos de um polígono convexo (2.1.) e sobre a soma das medidas das amplitudes

dos ângulos externos de um polígono convexo (2.2.).

Na questão 2.1., os alunos foram unânimes em concluir que a soma das medidas

das amplitudes dos ângulos internos de um quadrado é de 360º. A maioria dos alunos

concluiu justificando que “são quatro vezes os 360º, dos pares interno-externo”. No

entanto, três pares de alunos concluíram o mesmo, utilizando uma justificação

diferente. Na figura 30 apresenta-se uma dessas resoluções, elaborada pelos alunos K

e L.

Estes alunos dividiram o quadrado em dois triângulos e calcularam a amplitude

dos seus ângulos internos utilizando essa divisão. Este é um caso notório de analogia

com o problema 1, na qual a divisão do polígono em triângulos também foi utilizada.

Os alunos utilizaram o mesmo processo para calcular o pretendido para um hexágono

(foram os únicos a calcular o pedido para o caso do hexágono). Os únicos alunos a

apresentar uma conjetura para esta questão foram estes, embora o tenham feito apenas

durante o momento de discussão em grupo turma. Através de um processo de teste de

diversos casos os alunos concluem que existe, por palavras suas, “uma fórmula” que

representa a soma pedida. Os alunos acreditam, embora sem provar, que esta é “o

número de lados do polígono menos dois. Isso tudo vezes 180” (Aluno L). Em aula,

os alunos foram capazes de explicar o seu raciocínio e de onde surgiu a sua “fórmula”

Figura 30 – Casos estudados por um par de alunos da turma para formular uma conjetura, na questão

2.1. da tarefa “Ângulos internos e externos de polígonos” (Aluno K e Aluno L).

112

mas admitem incapacidade para o “provar como a professora quer… com aquela

linguagem da Matemática [referindo-se à linguagem formal] ”:

Nós vimos para os casos que a professora pede aqui. O quadrado e o

hexágono. Depois usámos o pentágono da pergunta 1.1. Vimos sempre que

podemos decompor o polígono em 2,4 e 3 triângulos. Os dois triângulos

para o quadrado, que tem 4 lados [4-2], os quatro triângulos para o

hexágono [6-2] e os três para o pentágono [5-2]. O que o [Aluno D] disse

há pouco confirmou depois o que fizemos. (Aluno K)

Os alunos parecem ter compreendido a argumentação desenvolvida durante a

resolução da questão 1.1., em que os colegas apresentam um raciocínio em tudo

semelhante ao seu. É de realçar, uma vez mais, a importância dada à demonstração da

expressão algébrica encontrada pelos alunos, pelo que estes consideram que os testes

evidenciam uma regularidade que pode não ser correta. Uma vez que a demonstração

deste resultado não exige conhecimentos de Lógica, perguntei aos alunos como

pensariam demonstrar. Interessante é que foi um aluno quem deu a maior contribuição

para a mesma: “por exaustão”, disse. O aluno explicou, depois, que “por exaustão”

queria dizer que seria necessário testar para diversos casos e ver que, de facto, tal é

verdade para qualquer polígono considerado. No entanto, vários alunos da turma

disseram que “por aí não pode ser…estamos sempre a ver que os casos não confirmam

nada! Podes dizer que achas, mas não quer dizer que seja!”. É notório que os alunos

reconhecem que o teste de casos particulares não justifica a validade de uma afirmação.

No entanto, a demonstração por exaustão é um caso particular de

demonstração matemática, pelo que expliquei aos alunos em que condições a mesma

é utilizada. A prova da expressão algébrica encontrada pelos alunos não foi realizada,

mas foi utilizada uma tabela e o Geogebra para mostrar a sua validade. No entanto,

houve quem não se mostrasse convencido e, no término da aula, tenha tido a

curiosidade de perguntar como se faz a demonstração.

Na questão 2.2., os alunos responderam unanimemente que a soma das medidas

de amplitude dos ângulos externos de um triângulo é de 360º e, por analogia com a

questão 1.3., 360º para o pentágono regular. Para o caso do triângulo, a maioria dos

alunos disse haver “três grupos de 180º [dos pares interno-externo] e a esses temos de

113

tirar 180º dos internos, para ficar só os externos” (Aluno J), utilizando a linguagem

natural como justificação. Um aluno da turma (Aluno J) recorreu à expressão algébrica

encontrada na alínea 1.3. como forma de justificação (Figura 31).

Todas as conjeturas apresentadas nesta questão dizem que a soma é de 360º,

facto que foi visto com recurso também ao Geogebra, no qual apresentei diversos

polígonos, regulares e irregulares.

Resumindo, embora inicialmente não o tenham feito, com o decorrer da

intervenção, estes alunos começaram a utilizar os processos de justificação e

explicação satisfatoriamente, mesmo quando tal não era pedido explicitamente.

Parece ser do entendimento geral dos alunos, que a explicação serve como um

meio de clarificar os raciocínios utilizados e, também, como um meio de esclarecer

quanto às resoluções apresentadas. A justificação, por sua vez, é entendida pelos

alunos como uma fundamentação, baseada em conceitos e propriedades matemáticas,

cujo objetivo principal é convencer. Em relação à demonstração, a maioria dos alunos

da turma considera esta uma atividade complicada e, primeiramente, considerou-a

desnecessária, considerando principalmente o caráter empírico das conjeturas

formuladas como forma de validar as mesmas. No entanto, no término da intervenção,

os alunos evidenciaram perceber a demonstração como algo necessário e, nas suas

palavras, “importante para perceber se uma coisa [referindo-se a uma afirmação] é

verdade ou não” (Aluno I). Também a importância da justificação e da explicação

foram mencionadas pelos alunos, no término da intervenção, como forma de clarificar

aspetos por eles não compreendidos e como forma de fundamentar os seus raciocínios:

A justificação ajudou a compreender melhor algumas coisas. Por exemplo,

para dizer que faz 90º. Ter de justificar que é porque está inscrito num arco

Figura 31 – Proposta de resolução, elaborada pelo Aluno J, da questão 2.2. da tarefa “Ângulos internos

e externos de polígonos”, utilizando uma expressão algébrica.

114

de 180º ajuda a compreender melhor o porquê de ter 90º e ajuda a perceber

melhor a ideia de estar inscrito. (Aluno D)

As dificuldades evidenciadas dizem respeito essencialmente à comunicação

matemática, quer ao nível da produção escrita, quer oralmente, e também à fraca

apropriação de vocabulário específico da Geometria, traduzindo-se no estabelecer de

igualdades e relações incorretas, mesmo quando o raciocínio utilizado é certo.

5.2. Conhecimentos mobilizados

Nesta secção analiso quais os conhecimentos, específicos da unidade de ensino

lecionada e de anos letivos anteriores, que os alunos mobilizaram nas suas resoluções

e que dificuldades evidenciaram ao fazê-lo.

Para o desenvolver das capacidades requeridas pelo Programa (MEC,2013a)

no que diz respeito a esta unidade de Ensino, é essencial que os alunos se recordem e

saibam identificar elementos da Circunferência como: o diâmetro, o raio, arcos,

cordas, o setor circular, o ângulo ao centro e seu respetivo arco. Para tal, na tarefa

“Ângulo ao centro e ângulo inscrito” é pedido aos alunos, na primeira questão, que

identifiquem os elementos referidos, baseando-se numa circunferência aí apresentada.

Os alunos identificaram com facilidade os diâmetros e raios da circunferência,

mas mostraram ter dificuldades em relembrar o conceito de corda, referindo arcos em

vez de cordas, confundindo os dois conceitos. Quando pedi a definição de corda, na

discussão em grupo turma, o Aluno K respondeu “é o que acompanha a circunferência.

A curvatura…”. Mas, outro aluno (Aluno B) disse “isso é o arco… se fosse a curvatura,

a corda era o mesmo que arco. A corda é uma reta sobre a circunferência”. Deste

discurso, é notória a compreensão que o Aluno B tem dos conceitos de arco e corda,

distinguindo-os, embora não o exprima de forma formal ou totalmente correta (porque

a corda é um segmento e não uma reta). É também evidente que o Aluno K confunde

os dois conceitos, mas apresenta uma noção de curvatura que parece ter sido aceite

pela maioria dos colegas (é o que “acompanha a circunferência”, referindo-se ao arco

de circunferência).

Os restantes alunos da turma concluíram que uma corda é um segmento de reta

cujos extremos são pontos da circunferência (embora tenham confundido, diversas

vezes, os conceitos de reta, segmento e semirreta). Quando pedi para definirem

115

formalmente corda, um aluno (Aluno N) referiu que a corda é um segmento “sobre a

circunferência”, ideia defendida pela maioria dos alunos da turma:

Professora: O que querem dizer com “sobre a circunferência”.

Vários alunos: Está sobre o desenho da circunferência…

Professora: Se eu colocar um ponto aqui [desenhei um ponto na parte

interna da circunferência], este ponto é da circunferência?

Aluno N: Não, é do círculo. A circunferência é o risco… a bola à volta do

círculo.

Professora: Então, quando dizem “segmento sobre a circunferência” estão

a referir-se a quê, especificamente?

Aluno B: Então, tem os dois pontos na circunferência.

Vários alunos: Os extremos!

Com este diálogo, os alunos evidenciaram compreender a diferença entre

circunferência e círculo, identificando o círculo como a parte interna da circunferência

– embora o refiram informalmente, quando identificam circunferência como “a bola à

volta do círculo” – e identificam uma corda como sendo um segmento cujos extremos

são pontos da circunferência, mostrando compreender quando um ponto pertence a

uma circunferência. A noção de pertença foi apontada por um aluno da turma (Aluno

J) que referiu que dois pontos pertencem a uma circunferência quando estes estão

“sobre a circunferência”. Parece ser evidente que os alunos adquiriram esta noção de

anos letivos anteriores (algo que foi apontado por eles como sendo um conhecimento

que trazem de Geometria), conseguindo utilizá-la sempre que necessário.

Embora definam corda corretamente, os alunos referiram, por diversas vezes,

a impossibilidade de o diâmetro ser uma corda. Nas palavras do Aluno S: “uma corda

não pode ter o centro da circunferência”. Uma vez mais, a imprecisão com que

exprimem as suas ideias matemáticas é notória, porque quando utilizam a expressão

“ter o centro da circunferência” pretendem dizer que a corda não contém o centro da

circunferência. Esta ideia parece ser defendida pela maioria dos alunos, porque

nenhum constatou que o diâmetro é, efetivamente, uma corda. A dificuldade em

compreender que a corda pode conter o centro da circunferência está relacionada com

a falta de apropriação que os alunos têm deste conceito, de anos anteriores. No entanto,

no término desta atividade, os alunos referiram que o diâmetro é efetivamente uma

corda, admitindo terem confundido ideias e relembrando-se, de anos anteriores, que

“afinal a corda pode ter o centro da circunferência” (Aluno S) e, perante esta ideia,

assumindo corretamente o diâmetro como uma corda.

116

Na tarefa “Propriedades sobre os ângulos”, os alunos mobilizaram

conhecimentos sobre Isometrias, de forma a justificar que a ângulos ao centro

geometricamente iguais correspondem arcos e cordas geometricamente iguais, e vice-

-versa. Em particular, durante a realização da questão 1, alínea b), os alunos referiram

adequadamente as Isometrias como forma de justificar a igualdade entre os

comprimentos das cordas [AB] e [EF]. Para esta questão, os alunos foram unânimes

em referir, em aula, que existe uma transformação geométrica que relaciona as cordas

mencionadas:

Aluno B: Nós respondemos que são iguais porque uma gira até encontrar

a outra…

Professora: O que querem dizer com girar?

Aluno B: [fazendo o gesto de rotação com as mãos] Gira em torno do C e,

ao girar, fica a corda [EF].

Deste diálogo, depreende-se que os alunos visualizam a transformação que

torna a corda [AB] na corda [EF]. É evidente que os alunos utilizam este conhecimento

para justificar o pedido, mas não o conseguem definir explicitamente utilizando

vocabulário geométrico apropriado. Esta dificuldade pode dever-se ao facto de os

alunos não estarem habituados a utilizar vocabulário geométrico para expressar as suas

ideias ou, por outro lado, não se lembrarem do nome da transformação geométrica,

apesar de a conseguirem reconhecer.

Ainda assim, um aluno da turma referiu que a transformação geométrica a que

os colegas se referiram se designa por Rotação, identificando-a como uma Isometria.

Ultrapassada a dificuldade de nomear Rotação à transformação geométrica

encontrada, os alunos mostraram ter alguma dificuldade em compreender que seria

necessário definir explicitamente qual a rotação pretendida. Quando os alertei para o

facto de terem de determinar qual seria, muitos alunos responderam: “mas já dissemos

que é uma rotação” ou “então, se é uma rotação, não existe só essa?”. Este facto pode

dever-se, uma vez mais, à falta de apropriação de certos conceitos matemáticos.

Efetivamente, para estes alunos, pareceu evidente que qualquer Rotação transformaria

[AB] em [EF], sem que fosse necessário explicitar qual.

Na tarefa “Propriedades geométricas numa circunferência”, os alunos

recordaram a definição de eixo de simetria, conceito apropriado em anos letivos

anteriores, tendo utilizado este conhecimento para justificar a igualdade entre os

comprimentos [AC] e [BC] (questão 1.2.). Um aluno da turma (Aluno P) explicou que

117

“usou o eixo de simetria” para resolver esta questão, não justificando, contudo, a sua

utilização. De facto, para este aluno, aparentemente torna-se claro que o diâmetro é

um eixo de simetria da circunferência, tendo explicado aos colegas que, segundo a sua

ideia “a reta r parte a circunferência em duas partes iguais porque se dobrarmos a folha

pela reta, obtemos duas metades iguais”. A ideia de que a reta r divide a circunferência

em duas semicircunferências parece ter sido entendida pela maioria da turma. Facto é

que todos os alunos responderam a esta questão utilizando essa ideia. Ainda assim,

foram poucos os alunos que justificaram esta ideia mencionando o eixo de simetria,

talvez pela falta de apropriação de vocabulário geométrico porque o raciocínio

utilizado está correto – esta parece ser uma dificuldade da maioria da turma.

A questão 1.4. da tarefa “Propriedades geométricas numa circunferência”

contempla diversas estratégias de resolução possíveis (Anexo 2). Uma dessas

estratégias integra o critério de igualdade entre triângulos LAL. Os alunos não

apresentaram esta resolução em nenhum momento da aula. No entanto, uma vez que é

um conhecimento adquirido em anos letivos anteriores, considerei pertinente

introduzir essa estratégia em sala de aula, conduzindo os alunos a relembrar o mesmo.

Uma vez mais, notou-se que os alunos têm falta de conhecimentos ao nível do

vocabulário geométrico a utilizar, mesmo quando reconhecem as propriedades a

utilizar, ou os conceitos geométricos a destacar:

Aluno D: Então os triângulos não vão ser iguais?

Professora: Porque dizes que são iguais? Como podes justificá-

-lo?

Aluno D: Se são isósceles e os lados são raios já têm um par de lados

iguais, falta ver o outro lado… a mim parece-me igual

Aluno K: O [Aluno D] tem razão. São iguais porque já têm um par de

lados iguais. Isso não é por aqueles critérios?

Professora: Que critérios?

Aluno K: Aqueles, professora… do A não sei o quê…demos isso antes.

Aluno J: Os ângulos também são iguais, por causa do eixo de simetria

Professora: Quais ângulos?

Aluno J: O 𝐹�̂�𝐴 e 𝐵�̂�𝐸… por isso já está. É aquele critério que não sei o

nome… O [Aluno K] já disse…O A qualquer coisa. Os lados são iguais e

o ângulo também é… Logo os triângulos são iguais.

Os alunos mostram lembrar-se da existência dos critérios de igualdade entre

triângulos e parece que identificam que tais são necessários para responder a esta

questão, caso optem por esta estratégia de resolução. No entanto, não conseguem

enunciar quais os critérios que existem, e qual devem enunciar neste caso particular.

118

É de ressaltar, no entanto, que a condição suficiente para enunciar o critério está

subjacente ao diálogo dos alunos: que dois lados têm de ser geometricamente iguais e

o ângulo por eles formado também.

Na tarefa “Ângulo excêntrico”, a justificação surge como forma de conduzir os

alunos à relação que existe entre a medida da amplitude do ângulo excêntrico e as

medidas das amplitudes dos arcos que lhe correspondem (o compreendido entre os

seus lados e o compreendido entre os lados do seu prolongamento).

Uma vez que a definição de ângulo excêntrico seria nova para os alunos, e de

forma a tentar que estes relacionassem este ângulo com o ângulo inscrito, questionei

os alunos: “um ângulo inscrito é excêntrico?”. Os alunos foram unânimes em

responder afirmativamente, respondendo que, de acordo com a definição presente no

enunciado na tarefa, um ângulo excêntrico não tem o vértice no centro da

circunferência, pelo que o ângulo inscrito é excêntrico. Os alunos também referiram

que o ângulo ao centro não é excêntrico, exatamente pelo facto do seu vértice ser o

centro da circunferência. É notório que os alunos apreenderam a definição de ângulo

excêntrico, utilizando-a para constatar que tipos de ângulos por eles conhecidos são,

ou não, excêntricos – os alunos apropriaram-se da definição e recorrem a esta para

justificar as suas afirmações.

Um aluno da turma, quando confrontado com a hipótese de o ângulo excêntrico

ser inscrito, explicou que poderiam utilizar as imagens presentes na tarefa para

justificar que tal não é verdade:

Aluno G: Não necessariamente… aqui nas imagens [referindo-se às

imagens presentes na ficha de trabalho] temos um com o vértice fora da

circunferência, mas o ângulo inscrito tem o vértice no interior da

circunferência. O ângulo excêntrico não é inscrito, mas o inscrito é sempre

excêntrico.

O aluno refere-se ao “interior da circunferência” incorretamente, dando a ideia

de que o ângulo inscrito tem o vértice localizado no círculo, o que não é verdade.

Durante uma entrevista, o aluno distinguiu corretamente os objetos geométricos

circunferência e círculo, e, quando questionado acerca disso, identificou pontos no

interior da circunferência como pertencentes ao círculo. Quando confrontado com a

sua resposta em aula, o aluno esclareceu que se referiu ao “interior da circunferência”

como sendo a “curva” e não efetivamente o círculo, como teria referido. Parece ser

claro que o aluno identifica corretamente o erro cometido aquando da utilização da

119

expressão “interior da circunferência” quando, na verdade, se queria referir aos pontos

pertencentes à circunferência – nas suas palavras, esses são os pontos que estão

situados “por cima da linha que limita a circunferência… em cima do risco, da bola”.

A utilização do termo “interior da circunferência” para exprimir a ideia de pertença

deve-se, uma vez mais, à pouca frequência com que os alunos argumentam

geometricamente, produzindo discursos com erros de vocabulário, confundindo

conceitos, mesmo quando o raciocínio subjacente é correto.

Uma vez esclarecida a expressão utilizada, o aluno consegue utilizar eficazmente a

definição de ângulo inscrito, quando refere que o vértice deste pertence à

circunferência. Note-se que o aluno refere um dos casos possíveis para a posição do

vértice do ângulo excêntrico – neste caso, o aluno refere o ângulo cujo vértice se

encontra no exterior da circunferência – e relaciona-o com o ângulo inscrito, como

forma de justificar a sua ideia. Parece ser evidente para este aluno que um ângulo

excêntrico não é inscrito, mas que o contrário se verifica.

A tarefa “Problemas geométricos” requeria a mobilização de conhecimentos

da unidade de ensino lecionada, até ao momento. Para a resolução do primeiro

problema, a maioria dos alunos da turma considerou o triângulo [DCA] (Figura 32).

Apesar da linguagem natural com que apresentam as suas ideias, estes alunos

parecem ter delimitado uma estratégia de resolução que lhes permitiu resolver o

problema proposto, começando por relacionar o arco pedido com um dos ângulos

internos do triângulo [DCA]. É particularmente interessante notar que o identificam

como o arco capaz desse ângulo, mostrando que apreenderam eficazmente o conceito

de ângulo inscrito e que conseguem relacionar corretamente a sua medida de amplitude

com a medida de amplitude do seu arco correspondente. É de referir, também, que os

alunos identificam corretamente 𝐴�̂�𝐷 como tendo 90º de medida de amplitude, mas

Figura 32 - Exemplo de resolução do problema 1 da tarefa " Problemas geométricos”, pelo par de

alunos Aluno F – Aluno I

120

não apresentam nenhuma justificação nesse sentido (DC é tangente à circunferência

em C), não permitindo concluir se os alunos apreenderam corretamente este conceito

ou se se basearam na evidência da imagem presente no enunciado da tarefa proposta.

No entanto, relacionam corretamente as medidas de amplitude dos ângulos internos do

triângulo [DCA], conseguindo obter o resultado pedido corretamente.

Apenas um par de alunos (Aluno G e Aluno H) utilizou o ângulo excêntrico,

cujo vértice se situa no exterior da circunferência, para resolver este problema,

identificando 𝐶�̂�𝐴 como excêntrico (Figura 33).

Desta resolução pode concluir-se que os alunos identificaram uma relação entre

o arco 𝐶�̂� e o ângulo que consideraram excêntrico. É interessante notar que esta

resolução não parece tão imediata quanto a anterior, mas os cálculos e justificações a

apresentar são em menor quantidade. Facto é que, apesar disso, mais nenhum aluno da

turma utilizou este processo de resolução. Salienta-se, ainda, o facto de estes alunos

considerarem o arco 𝐶�̂� como tendo 2 vezes 40º de amplitude – talvez o tenham escrito

após a resolução dos colegas ou talvez tenham tentando utilizar o processo de

resolução anterior para confirmar os seus cálculos, não apresentando, no entanto,

nenhuma evidência nesse sentido ou cálculos que o fundamentem. Parece, ainda, que

os alunos continuam a escrever igualdades para exprimir as amplitudes dos ângulos

pedidos – os alunos utilizam erroneamente o símbolo da igualdade sem identificar

corretamente que se estão a referir a amplitudes, revelando uma falta de apropriação

de vocabulário específico da Geometria.

Na questão 2.1., os alunos foram unânimes em determinar a medida da

amplitude do arco pedido, relacionando-a com a medida de amplitude do ângulo

inscrito 𝐶�̂�𝐴, evidenciando que conseguem identificar ângulos inscritos e relacionar a

sua medida de amplitude com a medida de amplitude do arco capaz (Figura 34).

Figura 33 – Exemplo de resolução do problema 1 da tarefa “Problemas geométricos”, pelo par de

alunos Aluno G – Aluno H.

121

No entanto, durante o trabalho autónomo, notei que esta questão gerou algumas

dúvidas, porque alguns alunos não estavam a conseguir relacionar o arco pedido com

nenhum ângulo em específico: muitas vezes, os alunos questionaram-me “que tipo de

ângulo é este? É algum dos que estudamos?” ou “este valor 30º tem de estar

relacionado, não é?”, mostrando ter dificuldade em aplicar os conceitos trabalhados

durante a lecionação da unidade. Esta dificuldade pareceu, na altura, estar relacionada

com a dificuldade que os alunos anteriormente também evidenciaram: iniciar o

trabalho autónomo. Efetivamente, por vezes, os alunos eram bastante dependentes da

minha ajuda, perguntando-me como iniciar o trabalho sem, por vezes, tentarem fazê-

-lo sozinhos.

Na questão 2.2., a maioria dos alunos (excetuando dois alunos) respondeu que

os triângulos são geometricamente iguais, evocando as propriedades do eixo de

simetria, - nas suas palavras: “BD é um eixo de simetria da circunferência” – como

forma de justificar o pretendido. Salienta-se o facto de o eixo de simetria ser um

conhecimento adquirido pelos alunos em anos letivos anteriores, mas também

amplamente discutido durante a lecionação desta unidade.

Um par de alunos (Aluno M e aluno N) referiu a mediatriz como forma de

justificar o pretendido (Figura 35).

Os alunos identificam BD como uma mediatriz, justificando que esta “passa

pelo centro” e, portanto, é um eixo de simetria. Os alunos não referem o segmento do

qual BD é mediatriz, dando a impressão de não perceberem a sua definição, além de

Figura 34 - Exemplo de resolução do problema 2.1. da tarefa " Problemas geométricos", pelo par de

alunos Aluno A – Aluno C.

Figura 35 – Exemplo de resolução do problema 2.2. da tarefa “Problemas geométricos”, pelo par de

alunos Aluno M – Aluno N.

122

apresentarem uma justificação que interliga o conceito de mediatriz com o conceito de

eixo de simetria. No entanto, quando questionados, durante uma entrevista, sobre a sua

primeira afirmação, o Aluno M explicou que utilizaram uma propriedade estudada em

aula e que, segundo o mesmo, fazia referência à mediatriz – qualquer reta que contenha

o centro da circunferência e seja perpendicular a uma corda, bisseta-a – considerando

o segmento [AC]. Apesar de não ser evidente na sua produção escrita, para estes alunos

BD é mediatriz de [AC] pois divide este segmento em dois segmentos, [AE] e [EC],

de igual comprimento – facto apontado pelos alunos quando referem que “os pontos

A e C estão os dois à mesma distância de E”.

Os alunos admitiram, ainda, alguma confusão entre a definição de mediatriz e

de eixo de simetria, explicando que “pensámos naquela propriedade para justificar que

a mediatriz vai partir em duas metades iguais, por isso é que o [AE] é igual ao [EC].

Depois pensámos no eixo de simetria para os ângulos, mas confundi-mos as duas

coisas” (Aluno N). Desta explicação evidencia-se que os alunos utilizaram a

propriedade estudada para justificar a igualdade entre os lados [AE] e [EC] e, em

seguida, tentaram utilizar o eixo de simetria para justificar a igualdade entre os ângulos

internos de cada triângulo.

O Aluno N acrescentou, ainda, que lhes pareceu “insuficiente” utilizar BD

como eixo de simetria para justificar o pretendido: “pareceu-nos pouco… insuficiente

(…) sim, é verdade que divide em duas partes iguais, mas não nos pareceu óbvio que

fosse por isso que os triângulos são iguais”. Facto é que os alunos, oralmente, referiram

os critérios de igualdade entre triângulos – neste caso particular o critério LAL – para

justificar:

[Referiram a igualdade entre os lados [AE] e [EC]] Depois, pensamos se

os ângulos também seriam, ou se mais algum lado era… podíamos ir por

um critério qualquer…tipo o que vimos numa aula. Não escrevemos aí,

mas foi isso que pensamos. Por exemplo, eles têm os dois um ângulo reto,

que é este [apontou para os ângulos 𝐴�̂�𝐷 e 𝐶�̂�𝐷]. Depois, também

sabemos que o lado [ED] é comum. Já temos dois lados iguais [o lado [ED]

e os lados [AE] e [EC]] e o ângulo entre eles igual, que é reto. Pelo LAL

podemos concluir que são iguais…ou antes de ir pelo LAL, também

podemos ver que como BD é simetria, o ângulo 𝐷�̂�𝐸 também tem 30º…já

está. Todos os ângulos iguais e todos os lados iguais… Acho que fica mais

completo”. (Aluno M)

Os alunos identificam, aparentemente, que podem utilizar o critério como

forma de tornar a sua justificação mais completa, referindo a condição necessária para

123

o enunciar – que dois lados tenham igual comprimento e o ângulo por eles formado

(referido pelos alunos como “ângulo entre eles”) de igual medida de amplitude.

É interessante mencionar que os alunos referem outra forma de justificar o

pedido sem evocar o critério LAL: o facto de os três ângulos dos triângulos terem igual

medida de amplitude (que também constitui outro critério de igualdade, AA, mas que

os alunos não referem explicitamente). Para o justificar, os alunos consideram BD

como eixo de simetria, mas não justificam o porquê de o poderem fazer (BD é

diâmetro). Interessante também é notar que a produção escrita dos alunos contempla

o critério LAL, mas, como estes referem, não o mencionam, apesar de o seu raciocínio

se basear no mesmo – “não escrevemos aí, mas foi isso que pensamos”. Isto pode estar

relacionado com o facto de os alunos considerarem desnecessário incluir a designação

“das coisas [referindo-se, neste caso, à designação dos critérios de igualdade] nas

respostas que damos”, pelo que este é um caso em que os argumentos apresentados

foram pouco explícitos.

A tarefa “Problemas envolvendo polígonos inscritos numa circunferência”

requer a mobilização de conhecimentos da unidade de ensino lecionada. Da

monitorização do trabalho autónomo, notei que apenas dois pares de alunos

apresentaram uma resolução incorreta. Na figura 36 apresento uma dessas resoluções.

É de notar que os alunos se apropriaram corretamente dos conteúdos trabalhos

durante a lecionação da unidade e requeridos para esta resolução – ângulo inscrito,

noção de arco. No entanto, os alunos apresentam duas incorreções: a primeira, por

considerarem que o trapézio divide a semicircunferência em três partes iguais e, a

Figura 36 – Exemplo de resolução (incorreta) do problema 1 da tarefa “Problemas envolvendo

polígonos inscritos numa circunferência”, pelo par de alunos Aluno C - Aluno D.

124

segunda, por considerarem o arco 𝐵�̂� como o arco capaz de 𝐷�̂�𝐵. Quando

questionados, em aula, sobre a sua resolução, o Aluno C explicou que primeiramente

observaram que o trapézio divide a circunferência em três partes iguais e que, depois,

relacionaram o ângulo cuja medida de amplitude é pedida, com o seu arco

correspondente. Note-se que o aluno identifica corretamente o ângulo como inscrito,

apenas não identifica corretamente o seu arco correspondente. Ainda, intui-se que o

aluno utilizou uma estratégia de divisão por três partes iguais por esse ser um método

de resolução utilizado anteriormente (na primeira tarefa apresentada aos alunos),

ignorando o facto de o trapézio ser isósceles. Talvez esta dificuldade se deva ao facto

de os alunos, por vezes, não compreenderem na totalidade as resoluções efetuadas em

aula, ou não identifiquem as condições necessárias para que as estratégias utilizadas

sejam aplicáveis em outros casos.

Um aluno da turma, o Aluno J, utilizou a explicação como forma de clarificar

o raciocínio dos colegas, à restante turma: “eles dividiram em três partes iguais porque,

para eles, o trapézio divide a circunferência em três partes iguais. Vamos ler o

enunciado”. É de mencionar que o aluno não identifica o erro cometido pelos colegas

explicitamente, ao invés, explica sucintamente a estratégia por estes utilizada e

convida-os a reler o enunciado. Facto é que, com a releitura do enunciado, os alunos

apontaram que a sua estratégia estaria incorreta, por o trapézio “ter só dois lados

iguais” (por ser isósceles). O Aluno K acrescentou: “o arco desse ângulo será esse?”,

não tendo identificado qual seria, dando a hipótese aos colegas de se autorregularem.

Salienta-se o facto de os alunos utilizarem um discurso argumentativo em sala de aula

que convida os colegas a refletir sobre o processo de resolução utilizado, sem os

corrigir imediatamente.

Da monitorização do trabalho autónomo notei, ainda, que um par de alunos

(Alunos E e F) resolveu o problema de forma distinta da maioria da turma; a maioria

da turma considerou o ângulo 𝐷�̂�𝐵 como um ângulo inscrito, cujo arco capaz é o 𝐴�̂�.

O par de alunos E e F considerou o triângulo [BOA] (Figura 37).

125

A resolução apresentada pelo par Aluno E – Aluno F invoca conhecimentos

sobre o ângulo ao centro, embora não o refiram explicitamente. Os alunos consideram

o ângulo 𝐶�̂�𝐵 e relacionam corretamente a sua medida de amplitude com a medida de

amplitude do arco 𝐵�̂�. Em seguida, identificam 𝐷�̂� como sendo um ângulo giro e,

através do trapézio isósceles, concluem que 𝐵�̂�𝐴 tem 50º de medida de amplitude. Os

alunos identificam o triângulo [BOA] como isósceles (embora não especificando como

o concluíram) e, através da soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo,

concluem o pretendido. Desta resolução, é evidente que os alunos dominam os

principais conceitos trabalhados na unidade de ensino e conseguem, com base nisso,

resolver o problema proposto. É de notar que esta estratégia não pareceu, para a

maioria da turma, tão inata como a anterior, porque muitos mencionaram não ter “visto

que o ângulo pedido está dentro [é um ângulo interno] do triângulo [BOA]”. Alguns

alunos apontaram o facto de, como o triângulo não está destacado na figura, tal

estratégia não lhes ocorreu. É interessante mencionar que os alunos, ao longo da

unidade de ensino, referiram várias vezes que “afinal as imagens não servem como

justificação”, mas, em alguns casos, e em particular neste, consideram que a imagem

seria um indicador de uma estratégia de resolução a adotar.

Na questão 2., os alunos evidenciaram dificuldades ao invocar conteúdos

anteriormente trabalhos, sendo que apenas dois pares de alunos da turma responderam

a esta questão (Aluno O-Aluno W e Aluno M-Aluno J). O par de alunos Aluno O –

Figura 37 – Exemplo de resolução do problema 1 da tarefa “Problemas envolvendo polígonos inscritos

numa circunferência”, pelo par de alunos Aluno E – Aluno F.

126

Aluno W, concluiu que [BDFH] é um quadrado por ter os lados todos iguais. Quando,

em aula, foram questionados sobre a sua resolução, os alunos disseram que “ter todos

os lados iguais é suficiente para dizer que é um quadrado”, mostrando não

compreender a insuficiência da justificação apresentada. Esta dificuldade pode dever-

-se, novamente, à incorreta conceção que os alunos têm de alguns conceitos

matemáticos. A maioria dos alunos considera mesmo que um quadrado só é um

quadrado por ter os lados todos iguais, ignorando o facto de, por exemplo, o losango

ser um quadrilátero também com os lados todos com igual comprimento. No entanto,

o Aluno M acrescentou:

Eu acho que não é suficiente. Um triângulo equilátero também tem os

lados todos iguais e não é um quadrado. Falta também falar dos ângulos

internos… que são retos, mas temos de ver que são retos. É como aquele

problema do triângulo… temos de ver que são retos, mas não é por terem

90º… é por serem retos mesmo. Temos de utilizar propriedades para ver

isso.

Este diálogo evidencia a preocupação do aluno em clarificar aos colegas que o

facto de considerarem os lados todos iguais não é suficiente para considerar o

quadrilátero como quadrado, fazendo uma analogia com o triângulo equilátero.

Importante é também referir que o aluno menciona os ângulos internos do quadrado

como forma de acrescentar algo à sua ideia: o aluno evidencia compreender as

condições suficientes para se poder afirmar que o quadrilátero é, de facto, um

quadrado. Há quem tenha, no entanto, questionado se “bastaria dizer que os ângulos

internos são retos” (Aluno F) para responder a esta questão, ignorando o fator da

igualdade dos lados. O Aluno M explicou aos colegas que isso não seria verdade e deu

o exemplo do retângulo, para contradizer a ideia.

A segunda questão da tarefa “Ficha de trabalho para casa” convida os alunos a

comentarem uma afirmação, pretendendo-se que estes mobilizem conhecimentos

sobre o ângulo inscrito. Apenas dois alunos da turma responderam a esta questão,

ambos considerando a afirmação como falsa, mas justificando utilizando ideias

diferentes.

Um dos alunos, Aluno I (Figura 38) refere que o ângulo inscrito numa

circunferência é de 180º porque, segundo o mesmo, a circunferência tem 360º

(referindo-se ao arco de circunferência), logo o ângulo inscrito não poderia ter 190º. É

de notar que a justificação apresentada, apesar de incluir alguns erros de linguagem,

127

evidenciando dificuldades ao nível da comunicação matemática, é correta porque, de

facto, o aluno observa que numa circunferência o ângulo inscrito máximo tem 180º de

amplitude.

O Aluno Q (Figura 39) refere, por sua vez, que não existe um ângulo inscrito

de 190º de medida de amplitude numa circunferência porque um ângulo inscrito é

sempre agudo. Parece existir alguma confusão no que à classificação dos ângulos,

quanto à sua medida de amplitude, diz respeito. O Aluno Q referiu, oralmente, que um

ângulo cuja amplitude é menor que 180º é sempre um ângulo agudo e que um cuja

amplitude é superior a 180º é classificado como obtuso. Vários alunos quiseram

clarificar o colega, alegando que o aluno teria de considerar a medida universal 90º e

não a de 180º: para a maioria dos alunos, um ângulo agudo é aquele cuja medida de

amplitude varia entre 0º e 90º e um ângulo obtuso é aquele cuja medida de amplitude

varia entre 90º e 180º. É de salientar que a maioria da turma tem presente estas

definições, de anos letivos anteriores e que a dificuldade evidenciada pelo Aluno Q se

deve, provavelmente, à incorreta compreensão ou confusão destes conceitos. No

entanto, é de mencionar que o aluno identifica o que é um ângulo inscrito dizendo que

“todos os seus pontos têm de estar na circunferência, nenhum pode estar no círculo”,

evidenciando conhecimentos também ao nível da distinção entre circunferência e

circulo e mostrando compreender que o ângulo inscrito tem o vértice pertencente à

circunferência, facto que o aluno mencionou oralmente quando disse que “os pontos”

significava o vértice, distinguindo este ponto dos extremos. Ainda, ressalta-se a ideia

de que o aluno considera que a afirmação seria verdadeira caso o ângulo fosse ao

centro, o que é verdade considerando o arco maior correspondente a esse ângulo.

Figura 38 – Resolução da questão 2 da tarefa “ficha de trabalho para casa”, pelo Aluno I

128

Resumindo, a maioria dos alunos utiliza corretamente os conceitos estudados

ao longo da unidade de ensino, bem como outros adquiridos anteriormente e que se

revelaram essenciais para a resolução das tarefas propostas, particularmente para a sua

argumentação, e para a aprendizagem eficaz dos tópicos tratados. No entanto, os

alunos revelam dificuldades em articular esses conceitos com o vocabulário específico

da unidade de ensino, e, muitas vezes, parece existir alguma confusão entre conceitos.

Figura 39 – Resolução da questão 2 da tarefa “Ficha de trabalho para casa”, pelo Aluno Q.

129

6. Conclusões

Neste capítulo, apresento uma síntese do estudo elaborado, referindo o seu

contexto, questões de investigação e metodologia utilizada. Apresento, também, um

resumo das conclusões deste estudo, respondendo às questões de investigação

anteriormente formuladas, comparando os resultados obtidos com os resultados de

estudos empíricos apresentados no capítulo do enquadramento teórico. Por fim,

apresento uma reflexão final do trabalho desenvolvido enquanto investigadora e futura

professora, principalmente no que diz respeito às aprendizagens por mim

desenvolvidas no decorrer do mesmo e limitações por mim sentidas na sequência da

sua elaboração.

6.1. Síntese do estudo

O presente estudo, realizado no âmbito da Prática de Ensino Supervisionada,

teve como base a intervenção letiva que realizei no ano letivo de 2017/2018, na

disciplina de Matemática, numa turma de 28 alunos (12 raparigas e 16 rapazes) do 9.º

ano de escolaridade da Escola Secundária Padre Alberto Neto, em Queluz-Belas. A

unidade didática “propriedades dos ângulos, cordas e arcos definidos numa

circunferência” do tema Geometria do Programa de Matemática (MEC, 2013a) foi

lecionada por um período de 9 aulas (3 aulas de 100 minutos e 6 aulas de 50 minutos).

A importância da argumentação e do raciocínio na matemática escolar é

reconhecida na literatura (Boavida, 2005; Duval 1988; Pedemonte, 2007) e o programa

de Matemática do ensino básico (MEC., 2013a) salienta a capacidade de argumentação

matemática no âmbito da Geometria, pelos que os alunos deverão ser incentivados a

expor as suas ideias e a comentar as afirmações dos colegas e do professor. Assim, este

estudo teve como objetivo caracterizar a argumentação matemática dos alunos do 9.º

ano de escolaridade, na realização de uma sequência de tarefas propostas no decorrer

da intervenção letiva. Com vista a responder a este objetivo formulei as seguintes

questões de investigação:

1. Que processos argumentativos são utilizados pelos alunos na realização das

tarefas propostas e quais as suas características? Quais as dificuldades que

evidenciam na utilização desses processos argumentativos?

130

2. Que conhecimentos matemáticos são mobilizados pelos alunos nas suas

argumentações? Em particular, quais as dificuldades que evidenciam na

mobilização desses conhecimentos?

A intervenção letiva teve como base um conjunto de nove tarefas. As aulas foram

dinamizadas de acordo com as seguintes fases: (a) apresentação das tarefas; (b)

trabalho autónomo dos alunos, em pares; e (c) discussão coletiva das tarefas realizadas.

Em algumas discussões recorreu--se ao software Geogebra para que os alunos

conseguissem observar casos particulares de propriedades enunciadas. As

demonstrações previstas no programa (MEC, 2013a) foram realizadas por mim (à

exceção de uma, porque é uma demonstração semelhante às já mostradas em aula e

que recorre aos mesmos conceitos matemáticos), no quadro, com o auxílio dos alunos,

recorrendo-se ao questionamento oral.

O estudo seguiu uma metodologia qualitativa e interpretativa e a recolha de dados

teve por base: (a) a observação participante das aulas lecionadas, com registos áudio e

vídeo; (b) a recolha documental das produções escritas dos alunos nas tarefas

realizadas em aula; e (c) entrevistas semiestruturadas, realizadas individualmente a

cinco alunos da turma.

6.2. Principais conclusões

Que processos argumentativos são utilizados pelos alunos na realização das tarefas

propostas e quais as suas características? Quais as dificuldades que evidenciam na

utilização desses processos argumentativos?

Da análise apresentada pode concluir-se que os alunos inicialmente procuram

argumentar matematicamente utilizando a justificação, quando esta lhes é pedida

explicitamente. No entanto, no final da intervenção, a maioria da turma já o faz mesmo

em situações em que tal não é indicado, quer oralmente, quer por escrito. É de notar,

igualmente, que algumas justificações e explicações são pedidas pelos colegas, pela

necessidade que estes sentem em que as mesmas sejam apresentadas como forma de

clarificar algo ou fundamentar um raciocínio.

A maioria das justificações apresentadas baseia-se em propriedades estudadas

ao longo da unidade de ensino e utilizando uma linguagem natural, que parece ser o

131

tipo de linguagem privilegiado pelos mesmos. Por vezes, os alunos também recorrem

a imagens e tabelas como forma de justificar o pretendido.

A justificação parece ser entendida pela maioria dos alunos como uma

argumentação cujo propósito é o de convencer, tal como definido por Banegas (1998).

Ainda, entendem a justificação como um processo que permite validar as suas ideias,

através da exposição de razões que as legitimem, como entendida por diversos outros

autores (Balacheff, 2000; Cob, Yackel & Wood, 1992).

A explicação, por sua vez, parece ser entendida por estes alunos como um

processo de clarificar os raciocínios utilizados, explicitando-os e evidenciando de que

forma resultaram na produção de uma estratégia de resolução adequada a cada questão

colocada, tal como definido por Duval (1992, 1993) e Whitenack & Yackel (2008).

Ao nível da demonstração, inicialmente, os alunos não compreendiam a

utilidade deste processo, algo que vai ao encontro da literatura consultada

(Simãozinho, 2014), considerando-a um processo desnecessário. Efetivamente, a

maioria dos alunos não atribuiu grande importância à demonstração, principalmente

por considerarem que o caso geral se poderia deduzir empiricamente e, portanto, não

necessitando ser demonstrado. Ainda assim, com o decorrer da lecionação, os alunos

mostraram apropriação do conceito de conjetura e demonstração, bem como a sua

utilidade. Além do mais, começaram a compreender que o teste de vários casos

particulares não constitui uma demonstração do caso geral do que se pretende verificar.

No entanto, mesmo quando começaram a compreender a importância da

demonstração, revelaram ter dificuldade em compreendê-la, por ser uma prática pouco

frequente em sala de aula, tal como indicado por Capa (2015).

Ao nível da justificação, as dificuldades encontradas vão ao encontro do

observado na literatura consultada. De um modo geral, os alunos mostraram ter

dificuldade em exprimir-se, principalmente por escrito, o que por vezes foi uma

limitação à construção de cadeias argumentativa. Os textos produzidos pelos alunos,

por vezes, eram pouco claros e explícitos, com falta de informação que permitisse

compreender o seu raciocínio na totalidade. Para a maioria dos alunos, a justificação

era um processo “com o qual não tinham tido muito contacto anteriormente” (Aluno

J), o que terá certamente influenciado a sua capacidade em justificar utilizando

propriedades e/ou conceitos matemáticos, algo igualmente apontado por Junqueira

(1995). O facto de muitas vezes apresentarem raciocínios sem mencionar algo que para

eles era evidente, obrigou-me a utilizar frequentemente o questionamento oral, como

132

forma de compreender as suas fundamentações e em que ideias matemáticas se

estariam a basear para responder ao proposto. No entanto, no decorrer da lecionação,

os alunos habituaram-se a produzir justificações, mesmo as de caráter mais óbvio, já

o fazendo autonomamente sem que tal seja pedido explicitamente e, por vezes, sendo

eles próprios a pedir aos colegas justificações para as suas afirmações, mostrando

sentir que, por vezes, esse processo estaria em falta.

Outra dificuldade encontrada, diz respeito à interligação de ideias,

principalmente quando se pedia para fundamentarem alguma asserção.

Frequentemente os alunos apresentaram garantias que, por falta de fundamentação,

não legitimavam os dados com os quais tinham de trabalhar, algo que também foi

observado por Gil (2012). Como salientado por Lopes (2010), as respostas dadas por

estes alunos são frequentemente incompletas, sendo que os cálculos e as justificações

muitas vezes não surgem de forma lógica.

Muitas vezes, os alunos recorreram às representações visuais como forma de

justificar algo, apoiando-se na evidência que a imagem lhes proporcionava, facto que

também Junqueira (1995) observou no seu estudo. Efetivamente, a evidência das

imagens destacou-se muito nas produções dos alunos, principalmente quando se

pretendiam relacionar ângulos entre si. Esta forte intuição adquirida pela observação

da imagem foi algo que os alunos demoraram a desconstruir.

Outro facto observado é que os alunos, muitas vezes, utilizam imagens e

tabelas para justificar algo ou, numa fase mais avançada, testar alguns casos que para

eles podem contribuir para a construção de uma conjetura. Isto evidencia, em alguns

casos, uma certa dificuldade em se expressarem matematicamente utilizando

linguagem formal, optando por utilizar representações icónicas que os auxiliem como

refere Fernandes (2011). A falta de ligação, utilizando palavras, entre essas

representações e o resultado final fez com que, muitas vezes, as estratégias de

resolução tivessem de ser clarificadas, através da explicação.

Ainda, é possível concluir que os alunos utilizam diversas vezes a analogia para

tentar explicar os seus raciocínios aos restantes colegas, privilegiando a linguagem

natural, em detrimento da linguagem típica da Matemática, e, outras vezes, recorrendo

a situações do quotidiano para explicar o seu raciocínio.

133

Que conhecimentos matemáticos são mobilizados pelos alunos nas suas

argumentações? Em particular, quais as dificuldades que evidenciam na mobilização

desses conhecimentos?

Ao longo da lecionação da unidade de ensino, os alunos mobilizaram

conhecimentos geométricos sobre a circunferência, e seus elementos, bem como

outros temas matemáticos apreendidos ao longo da sua escolaridade. Um dos conceitos

amplamente revisitados pelos alunos, ao longo da intervenção, foram as Isometrias.

Em particular, os alunos usaram conhecimentos sobre a Rotação e o Eixo de Simetria,

aprendidos no 6º ano de escolaridade, não mostrando dificuldades em mobilizá-los.

No entanto, alguns alunos mostraram dificuldade em perceber que as rotações a que

se referiam teriam de ser designadas explicitamente porque, segundo os mesmos, “não

lhes parece tão intuitivo”. Também as medidas das amplitudes dos ângulos internos de

polígonos regulares foi amplamente discutida ao longo da unidade de ensino, sendo

que os alunos mostraram recordar-se desses conceitos trabalhados ao nível do 6º e 7º

ano, não evidenciando dificuldades em mobilizá-los.

Outros conceitos específicos do tema da Geometria como: retas, segmentos de

reta, semirretas, cordas, arcos, classificação de ângulos, distinção entre circunferência

e círculo, foram corretamente mobilizados pelos alunos, embora estes tenham

mostrado dificuldade em recordar-se de alguns deles, muitas vezes utilizando

incorretamente termos específicos – particularmente no caso da reta, segmento,

semirreta. Estas dificuldades devem-se, muitas vezes, à falta de consolidação de certos

conhecimentos por eles já tratados. Também se verificou alguma falta de compreensão

das condição suficientes e/ou necessárias para considerar certas propriedades como

válidas, algo que também é coerente com a falta de apropriação de alguns

conhecimentos básicos da Geometria.

No que aos conceitos próprios da unidade de ensino diz respeito, os alunos

mostraram apropriar-se corretamente das definições dos ângulos estudados: inscrito,

ao centro, de segmento, excêntrico e ex-inscrito. Foi também notório, no decorrer da

lecionação da unidade, que os alunos relacionam corretamente as medidas de

amplitude destes ângulos com os seus respetivos arcos, quando os conseguem

identificar, mostrando conhecer as propriedades dos ângulos. No entanto, uma

dificuldade observada diz respeito à identificação dos ângulos, pois alguns alunos da

turma mostraram ter dificuldades em distinguir os ângulos entre si. Nas suas palavras,

134

isto deveu-se ao facto de serem estudados “muitos ângulos e temos de saber muitas

relações” (Aluno P). Ainda assim, há evidências, principalmente no desenvolvimento

das últimas tarefas, de que estes tenham aprendido eficazmente a distinguir os ângulos

e o fazem para estabelecer relações que lhes permitem resolver problemas. Esta ideia

foi salientada por um aluno da turma que, na sua opinião, atribui essa eficácia à

necessidade de justificação:

Como temos sempre de justificar, comecei a perceber melhor de onde

apareciam as coisas e parece mais fácil identificar os ângulos ás vezes…

porque eu penso que não é o ângulo ao centro, por exemplo, porque se

fosse justificar tinha de dizer que o ao centro tem o ponto [referindo-se ao

vértice] no centro e este não tem (Aluno G).

Na maioria das tarefas, os alunos utilizaram argumentos geométricos para

produzir corretamente justificações. No entanto, inicialmente, nota-se que poucas

foram as vezes em que os alunos tentaram justificar, salvo quando confrontados

explicitamente com essa necessidade, utilizando expressões do tipo “pela imagem vê-

-se logo” e “é óbvio que assim é”. Facto é que a crença na intuição foi bastante

evidenciada, muitas vezes fazendo com que as conclusões obtidas fossem erradas, algo

que vai de encontro do observado por Ferreira (2005) e French (2004).

Uma das dificuldades mais vezes observada relaciona-se com a linguagem

formal, dificuldade essa que também surge nos estudos de Capa (2015) e Salvador

(2013). Poucas foram as vezes em que os alunos se expressaram formalmente,

utilizando a linguagem própria da Geometria, mostrando dificuldades ao nível da

compreensão do vocabulário utilizado e a comunicação de raciocínios geométricos,

como menciona Guillén (2000). Por exemplo, muitas vezes, e tal como observado por

Capa (2015), os alunos se referiram aos ângulos escrevendo “𝐶�̂�=80º”, não

explicitando que se estão a referir ao conceito de amplitude. Frequentemente, o

símbolo “=” foi utilizado para exprimir a ideia de que um certo ângulo tinha

determinada amplitude, dando a ideia de que os alunos não compreendem quando

devem utilizar uma igualdade, e quando tal é incorreto.

Por fim, outra dificuldade observada em alguns casos, foi a falta de

compreensão do enunciado, algo que também foi observada por Braga (2014). Em

alguns casos, os alunos utilizaram relações que se pretendiam ver estudadas, como

certas, ou interpretaram incorretamente os dados fornecidos no enunciado da tarefa.

135

6.3. Reflexão final

O planeamento e elaboração deste estudo revelou-se de extrema importância,

tanto para o meu papel enquanto futura professora, como para o meu papel enquanto

investigadora. No âmbito profissional, a elaboração deste estudo permitiu-me

compreender e refletir sobre os processos de argumentação presentes na sala de aula

de Matemática. Esta investigação permitiu-me, sobretudo, reconhecer a dificuldade

que os alunos evidenciam em apresentar argumentos que sustentem as suas asserções

matemáticas, levando-me a trabalhar de modo mais consciente para o desenvolvimento

da aprendizagem dos alunos, na medida em que me permitiu refletir sobre aspetos da

gestão curricular – como o tempo despendido para cada momento de aula –, do

discurso a manter em sala de aula e, sobretudo, da capacidade de incutir nos alunos

uma cultura de argumentação que lhes permita avaliar os seus conhecimentos e

partilhá-los com os colegas.

No âmbito da investigação, este estudo contribuiu para o desenvolver de

capacidades importantes para investigar na área da Educação Matemática, ajudando-

-me não só a compreender a sua importância, mas também promovendo o meu

interesse pela mesma. De todos os processos aqui envolvidos – definição de objetivo

e questões de investigação, revisão de literatura, planificação da investigação a

realizar, recolha e análise de dados –, o que me despertou maior interesse foi o da

análise dos dados, pela sua complexidade e necessidade de reflexão do trabalho

desenvolvido pelos alunos. Outra fase que considero ter sido imprescindível ao meu

desenvolvimento enquanto investigadora, e também como professora, foi a revisão de

literatura, que me permitiu conhecer uma enorme gama de estudos e investigações

sobre a temática aqui apresentada, bem como compreender a importância da mesma

para fundamentar o estudo.

De entre as diferentes atividades realizadas antes e durante a lecionação da

unidade de ensino, aquela que constituiu um maior desafio foi a elaboração da

sequência de tarefas a ser apresentada durante a lecionação. Em primeiro lugar, porque

pretendia um conjunto de tarefas variadas, que não se focassem somente na aplicação

de conceitos, mas antes, na sua descoberta, levando os alunos a concluir as

propriedades que pretendia estudar. Em segundo lugar, porque pretendia incutir, nos

alunos, a necessidade de argumentarem as suas asserções, através da justificação e

explicação bem como, numa fase avançada e com o meu auxílio, da demonstração. É

136

do meu entender que, no entanto, as tarefas apresentadas se revelaram bastante úteis

para a aprendizagem dos alunos e, sobretudo, para a criação de uma cultura de

argumentação em sala de aula, uma vez que, como já referido, os alunos mostraram

ter adquirido os conceitos principais da unidade de ensino e desenvolveram hábitos

argumentativos.

Outro aspeto a salientar desta fase foi a necessidade de adequar as tarefas à

turma em questão, algo que foi desafiante, uma vez que a maioria das tarefas foi criada

por mim. Apesar disto, considero que os objetivos a que me propus foram cumpridos,

porque as tarefas permitiram aos alunos realizar as aprendizagens propostas e

desenvolver alguma cultura de argumentação.

Também a utilização do software Geogebra contribuiu para a aprendizagem

dos alunos, uma vez que, com o acesso a este, os alunos puderam concluir a veracidade

das conjeturas formuladas para uma infinidade de casos. No entanto, a impossibilidade

de integrar aulas com a utilização deste recurso tecnológico foi algo que considero ter

sido desafiante, não só por a maioria da revisão de literatura mencionar os ambientes

de geometria dinâmica como potenciadores da aprendizagem, mas também porque

acredito que essas aulas contribuem para uma aprendizagem mais profunda dos tópicos

abordados. Portanto, tentei conciliar essa impossibilidade com as tarefas

desenvolvidas, utilizando o Geogebra apenas para o teste de conjeturas e focando a

atenção dos alunos em casos particulares.

Os momentos de discussão em grupo turma, embora proveitosos, precisam de

mais trabalho no sentido de focar a atenção dos alunos. Em alguns momentos, os

alunos não estiveram totalmente focados nas discussões, por ainda estarem a tentar

terminar algum problema ou por estarem a explicar algo aos colegas. Nestas situações,

senti algum conflito entre a necessidade de avançar para a discussão das tarefas ou

conceder mais algum tempo para que terminassem as tarefas propostas, fazendo

cumprir a gestão de tempo inicialmente planeada. Ainda, é necessário que,

futuramente, consiga gerir ainda melhor a participação ordenada dos alunos, para que

não se gere barulho incomodativo em sala de aula – a prioridade será de, futuramente,

estabelecer normas de participação que promovam a audição e escuta atenta das

diversas ideias apresentadas. No entanto, a insistência de que os alunos “colocassem o

dedo no ar” quando pretendiam participar, revelou-se útil na gestão deste momento.

A sequenciação das diferentes resoluções a ser apresentadas também foi um

processo complicado para mim, uma vez que, durante a monitorização do trabalho

137

autónomo, fui bastante solicitada para ajudar os alunos. Foi particularmente desafiante

conjugar estas duas dinâmicas, porque estava bastante preocupada em responder às

questões colocadas, mas também tinha a preocupação de organizar as discussões de

acordo com as seleções que fizesse e de modo a fazer emergir a necessidade de

argumentação, que é o foco do estudo que pretendia desenvolver.

Outro aspeto a melhorar, prende-se na necessidade de focar as aulas mais nos

alunos e menos em mim, porque inicialmente senti uma grande necessidade de explicar

aos alunos, ao invés de os deixar desenvolver os raciocínios por si próprios, algo que

fui gradualmente contrariando em todas as aulas que desenvolvi e que pretendo

continuar a melhorar futuramente.

Em termos de limitações deste estudo, destaco a curta duração do mesmo. Uma

vez que pretendia caraterizar a argumentação dos alunos, considero que o tempo

despendido foi insuficiente. As aulas foram desenvolvidas num total de duas semanas,

pelo que a argumentação apenas foi estudada durante este curto espaço de tempo. No

entanto, acredito que este tipo de trabalho não deverá ser pontual, uma vez que os

alunos não revelaram hábitos na criação de argumentos, nem na sua apresentação por

escrito e, como já referido, o desenvolver de uma cultura de argumentação permite aos

alunos construir um maior conhecimento matemático (Boavida, 2005). Esta limitação

foi acrescida pela extensão do atual programa curricular da disciplina, uma vez que

tive um limite de aulas para cumprir e este foi um trabalho que requereu bastante

preparação da minha parte.

Futuramente, creio que seria pertinente e interessante alargar este estudo

também a alunos de outros anos escolares do 3.º ciclo, na aprendizagem da Geometria

ou em qualquer um outro tópico matemático, através do recurso a tarefas de natureza

exploratória e investigativa. Também, julgo ser importante estudar a argumentação dos

alunos com necessidades educativas especiais, não só para os auxiliar a desenvolver

hábitos de argumentação mas também como forma de auxiliar o professor a

compreender melhor os seus raciocínios.

138

139

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