a = a.a.a. · aula 04 _ equações exponenciais 4) ... 3x+1 –– 3 – 3x 1 = 45 __4 ... “r”...

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1 FUNÇÃO EXPONENCIAL 1) Revisão de Potência a n = a.a.a. ... .a Assim: a 1 = a e a n+1 = (a.a.a. ... .a).a Aula 01 _ Revisão de Potência 2) Propriedades das Potências P1) a m .a n = a m+n Demonstração: a m .a n = “n” fatores “n + 1” fatores a n+1 = a n .a (a.a.a.a. ... .a).(a.a. ... .a) “m” fatores “n” fatores = a m+n P2) (a m ) n = a m.n Dem.: (a m ) n = a m . a m . a m . ... . a m “n” fatores = a m+m+m+ ... +m “n” parcelas = a m.n P1

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FUNÇÃO EXPONENCIAL

1) Revisão de Potência

an = a.a.a. ... .a Assim: a1 = a

e an+1 = (a.a.a. ... .a).a

Aula 01 _ Revisão de Potência

2) Propriedades das Potências

P1) am .an = am+n

Demonstração:

am .an =

“n” fatores

“n + 1” fatores

an+1 = an.a

(a.a.a.a. ... .a).(a.a. ... .a)

“m” fatores “n” fatores

= am+n

P2) (am)n = am.n

Dem.:

(am)n = am. am. am. ... . am

“n” fatores

= am+m+m+ ... +m

“n” parcelas

= am.n P1

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FUNÇÃO EXPONENCIAL

Aula 01 _ Revisão de Potência

P3) a0 = 1

Dem.:

a1 = a0+1

P4) a–n = _1_

an

Dem.: Da P3, sabemos que:

1 = a0

= a0.a1 P1

a1 = a0.a1 a1 = a0.a1

a1 a1 1 = a0

= an – n = an . a–n P1

1 = an . a–n _1_ = a–n

an

P5) _am_ = am – n

an

Dem.:

_am_ = am. _1_

an an

= am. a–n P4

_am_ = am – n

an

P1

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FUNÇÃO EXPONENCIAL

Aula 02 _ Propriedades das Potências (continuação)

P6) (a.b)n = an.bn

Dem.:

(a.b)n = (a.b).(a.b). ... .(a.b)

“n” fatores

= (a.a. ... .a).(b.b. ... .b) = an.bn

P7) (a/b)n = an/bn

Dem.:

(a/b)n = (a/b).(a/b). ... .(a/b)

“n” fatores

= a.a. ... .a

b.b. ... .b

= an

bn

P8)

Dem.:

a = a1 = an/n = (a1/n)n P2

a = (a1/n)n

P9)

Dem.:

am = (am)n/n = (am/n)n P2

am= (am/n)n

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FUNÇÃO EXPONENCIAL

Aula 02 _ Propriedades das Potências (continuação)

Q1) Calcule:

a) (–3)2 b) –32 c) (– 3)0 d) – 30

e) 17 f) – 17 g) (– 1)7 h) – (– 1)7

i) (–3/4)2 j) (–3/4)

1 k) (–3/4)0 l) (–3/4)

–2

Q2) Se n ϵ N, calcule o valor de: L = (– 1)2n – (– 1)2n+3 + (– 1)3n – (– 1)n

Q3) Sendo a.b ≠ 0 , simplifique as expressões:

a) (a2.b3)2 . (a3.b2)3 b) [(a3.b2)4]3

c) (a4.b2)3 d) a4.b3 5

(a.b3)2 a2.b

Q4) Determine o algarismo das unidades de

(DICA: Considere 14n quando “n” for par ou quando “n” for ímpar.)

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FUNÇÃO EXPONENCIAL

Aula 03 _ Função Exponencial

3) Definição de Função Exponencial

Seja f : R → R+ tal que f(x) = ax, sendo a ϵ R+ e a ≠ 1, então f é denominada

Função Exponencial.

Observação 1 f(x+y) = ax+y = ax.ay P1

= f(x).f(y) Ou seja, a função

exponencial tem a característica de transformar a imagem de uma soma em

um produto de imagens.

Observação 2 f(x) = f(x/2 + x/2) = f(x/2).f(x/2) = [f(x/2)]

2 > 0

Ou seja, para todo valor de x, temos f(x) > 0.

Q5) GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

Construa o gráfico de:

a) f(x) = 2x b) f(x) = (1/2)x c) f(x) = 3x b) f(x) = (1/3)

x

Q6) Com base nos gráficos da questão anterior, escreva 3 conjecturas.

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FUNÇÃO EXPONENCIAL

Aula 04 _ Equações Exponenciais

4) Equações Exponenciais

São equações nas quais a incógnita aparece no expoente.

Q7) Resolva SOMENTE as equações exponenciais.

a) 2x = 32 b) 2x = 32 c) (1/3)x = 81 d) (1/3)x = 81

e) 2x = 64 f) 4x = 32 g) 8x = 1/32 h) [(2)1/2]x = 64

Q8) Resolva as equações exponenciais.

a) 23x – 1 = 32 b) 74x + 3 = 49 c) 112x + 5 = 1 d) (1/25)2x+3 = 53x – 1

e) f) g)

Q9) Resolva as seguintes equações.

a) 23x . 4y = 32 b) 4x – 2x = 12 c) 3x+1 – 3x – 3x – 1 = 45

__4__ = 1

2x + y

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FUNÇÃO EXPONENCIAL

Aula 05 _ Inequações Exponenciais

5) Inequações Exponenciais

São inequações nas quais a incógnita aparece no expoente.

IMPORTANTE: Se a > 1, então: ax > ay x > y (repete o sinal)

Se a < 1, então: ax > ay x < y (inverte o sinal)

Q10) Resolva as inequações exponenciais.

a) 2x < 8 b) 6x.x + x > 36 c) (1/3)3x – 1 ≥ 1 d) (1/9)

3x – 1 ≤ (1/9)2x

e) [(2)1/2]3x – 1 ≤ 81/4 f) 3x+1 + 2.3x – 1 ≥ 11 g) (0,3)4x – 5 < (3/10)2x

Q11) (UFBA) A expressão P(t) = k.20,05.t fornece o número P de

milhares de habitantes de uma certa cidade em função do tempo t,

em anos. Se em 1990 essa cidade tinha 300 000 habitantes, quantos

habitantes, aproximadamente, espera-se que ela tenha no ano 2000?

A) 352 000 B) 423 000 C) 439 000 D) 445 000

(considere √2 ≈ 1,41)

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FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Aula 06 _ Logaritmo

Os Logaritmos surgiram para “facilitar” os cálculos.

Q1) Observe a tabela abaixo e utilize-a para efetuar os cálculos.

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2n 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512

a) 16 x 32

b) 512 : 64

c) 162

1) Definição de Logaritmo Com a ≠ 1 e

x > 0, b > 0 e a > 0

Denomina-se: a base da potência base do logaritmo

x expoente logaritmo b potência logaritmando

Q2) Sabendo que 210 = 1024, logo 210 ≈ 1000 com um pequeno erro de 2,4%.

Segue que 2 ≈ 100,3. Calcule log2

Q3) Analogamente a questão anterior, considerando que 39 ≈ 20 000.

Calcule log3

Q4) Resolva as equações exponenciais: a) 10x = 2 b) 10x = 3

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FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Aula 07 _ Consequências da Definição

Q5) Observe a tabela abaixo e utilize-a para efetuar os cálculos

Q6) Utilizando a definição de logaritmo, converta de potência para logaritmo

e vice–versa. a) log28 = 3 b) log

31 = 0 c) log 10 = 1

d) 27 = 128 e) 32 = 9 f) 103 = 1000 g) log 100 = 2

Q7) Calcule o valor dos logaritmos:

a) log16

64 b) log625

√5 c) log50,000064 d) log

93√3

Q8) CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO

Demonstre que:

a) loga1 = 0 b) log

aa = 1 c) log

aan = n d)

e)

a) 3125 x 125

b) 390625 : 25

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FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Aula 08 _ Propriedades dos Logaritmos

2) Propriedades dos Logaritmos

P1) P2)

P3) P4) P5)

Q9) Demonstre as Propriedades dos Logaritmos.

Q10) Dados log2 = 0,3 , log3 = 0,48 e log5 = 0,7 , calcule:

a) log 20 b) log 0,0002 c) log 30 000 d) log 0,3

e) Log 500 f) log 14,4 g) log212 h) log

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Q11) Em uma calculadora científica, partindo de 40 bilhões, quantas

vezes devemos apertar a tecla “log” para que apareça “erro”?

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FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Aula 09 _ Função Logarítmica

3) Função Logarítmica

Seja a função f : R+ → R tal que f(x) = logax , com a > 0 e a ≠ 1, então f

é denominada Função Logarítmica.

Q12) Dadas as funções f(x) = log3x e g(x) = log4x. Determine:

a) f(9) b) g(1) c) f(27) + g(16)

d) x tal que g(x) = 4 e) x tal que f(x) = 2

Q13) GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Construa o gráfico de:

a) f(x) = log2x b) f(x) = log1/2x

Q14) Com base nos gráficos da questão anterior, escreva 3 conjecturas.

Q15) Demonstre que as funções exponenciais e logarítmicas são

inversas uma da outra. Para isso, basta mostrar que f(g(x)) = g(f(x)).

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FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Aula 10 _ Equações Logarítmicas

4) Equações Logarítmica

São três tipos. Vejamos:

1º) logaf(x) = logag(x) Precisa verificar a Condição de Existência.

Q16) Resolva as equações:

a) log4(3x + 2) = log4(2x + 5) b) log3(2x – 3) = log3(4x – 5)

c) log5(x2 – 3x – 10) = log5(2 – 2x) d) log4(4x2 + 13x + 2) = log4(2x + 5)

2º) logaf(x) = k (com k > 0 e k ≠ 1) Basta aplicar a definição.

Q17) Resolva as equações:

a) log2(3x + 1) = 4 b) log3(x2 + 3x – 1) = 2 c) log2[1 + log3(1 – 2x)] = 2

3º) Trocando a variável

Q18) Resolva as equações:

a) (log2x)2 – log2x – 2 = 0 b) log24x – 2.log4x – 3 = 0

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FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Aula 11 _ Inequações Logarítmicas

5) Inequações Logarítmica

Inicialmente, devemos lembrar que:

Q19) Resolva as inequações:

a) log(x2 – x – 2) < log(x – 4) b) log1/2(3x – 1) ≥ log1/2(2x + 3)

2º) logaf(x) >< k Precisamos reduzi-las ao “ 1º ” tipo.

Q20) Resolva as equações:

a) log3(3x + 2) < 2 b) log1/2(2x2 – 3x) > – 1

3º) Trocando a variável

Q21) Resolva as equações:

a) log23x – 3.log3x + 2 > 0 b) | log2x | > 1

IMPORTANTE: Se a > 1, então: logax > logay x > y (repete o sinal)

Se a < 1, então: logax > logay x < y (inverte o sinal)

Também são três tipos. Vejamos:

1º) logaf(x) = logag(x) Precisa verificar a Condição de Existência.

Page 14: a = a.a.a. · Aula 04 _ Equações Exponenciais 4) ... 3x+1 –– 3 – 3x 1 = 45 __4 ... “r” é a taxa em que ela se desintegra e “t” é o tempo em anos

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FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Aula 12 _ Exercícios

Q22) Em Química, define-se o pH de uma solução como o logaritmo decimal

(de base 10) do inverso da respectiva concentração de H3O+ (íon hidroxônio). O

cérebro humano contém um líquido cuja concentração de H3O+ é de

4,8.10 –8 mol/𝓁 (em média). Qual o pH desse líquido? Dado: log 4,8 ≈ 0,7

Q23) Considerando que Q = Qo.e– r.t , onde “Q” é a massa de uma substância,

“r” é a taxa em que ela se desintegra e “t” é o tempo em anos. Em quantos

anos 500 g de uma certa substância radioativa, que se desintegra a uma taxa

de 3% ao ano, se reduzirão à 100 g? Dado: 𝓁n e = 1 e 𝓁n 5 ≈ 1,59

Q24) (UFRN) Se log5x + log5y = 3, com x e y inteiros e maiores que 1, então:

a) x.y = 15 b) x.y = 25 c) x + y = 20 d) x = y = 30

Q25) (UFCE – MODIFICADA) Qual o valor de [5.log (5.log 100)]2