93553669 analise de sistemas de potencia ii 1 faltas simetricas e assimetricas e enalise de...

UNIVERSIDADE CATÓLICA DE PELOTAS

CENTRO POLITÉCNICO

ENGENHARIA ELÉTRICA

NOTAS DE AULA

PROF. LUCIANO VITORIA BARBOZA

SUMÁRIO

Capítulo 1. Faltas Trifásicas Simétricas ................................................................ 1

1.1. Introdução .............................................................................................................. 1

1.2. Transitórios em Circuitos RL Série ........................................................................ 1

1.3. Correntes de Curto-Circuito e Reatâncias das Máquinas Síncronas ....................... 4

1.4. Tensões Internas de Máquinas com Carga sob Condições Transitórias .................. 6

1.5. Matriz Impedância de Barra para Cálculo de Faltas .............................................. 8

1.6. MVA de Curto-Circuito ....................................................................................... 12

1.7. Seleção de Disjuntores e Tipos de Corrente de Curto-Circuito ............................ 13

1.7.1. Procedimento Simplificado de Cálculo ............................................................ 14

1.8. Lista de Exercícios ............................................................................................... 16

Capítulo 2. Componentes Simétricos ................................................................... 21

2.1. Introdução ............................................................................................................ 21

2.2. Fasores Assimétricos a partir dos Componentes Simétricos ................................. 21

2.3. Operadores ........................................................................................................... 23

2.4. Componentes Simétricos de Fasores Assimétricos ................................................ 24

2.5. Defasagem dos Componentes Simétricos em Bancos de Transformadores Y−∆ ... 26

2.6. Potência em função dos Componentes Simétricos ................................................ 29

2.7. Impedâncias de Seqüência e Circuitos de Seqüência ............................................. 31

2.8. Redes de Seqüência para Geradores em Vazio ..................................................... 32

2.9. Impedâncias de Seqüência para Linhas de Transmissão ....................................... 34

2.10. Impedâncias de Seqüência para Cargas Estáticas ............................................... 35

2.11. Impedâncias de Seqüência para Transformadores Trifásicos .............................. 38

2.12. Lista de Exercícios .............................................................................................. 42

Capítulo 3. Faltas Assimétricas ........................................................................... 47

3.1. Introdução ............................................................................................................ 47

3.2. Faltas em Geradores em Vazio ............................................................................. 47

Sistemas de Potência II iii

Sumário Prof. Luciano V. Barboza

3.2.1. Falta entre Fase e Terra ................................................................................. 48

3.2.2. Falta entre Fase e Fase ................................................................................... 50

3.2.3. Falta entre Duas Fases e Terra ....................................................................... 52

3.3. Faltas Assimétricas em Sistemas de Potência ........................................................ 53

3.3.1. Falta entre Fase e Terra ................................................................................. 55

3.3.2. Falta entre Fase e Fase ................................................................................... 55

3.3.3. Falta entre Duas Fases e Terra ....................................................................... 56

3.4. Interpretação das Redes de Seqüência Interconectadas ........................................ 57

3.5. Análise de Faltas Assimétricas usando a Matriz Impedância de Barra ................ 60

3.6. Lista de Exercícios ............................................................................................... 61

Capítulo 4. Estabilidade de Sistemas de Potência ................................................ 65

4.1. Aspectos Gerais .................................................................................................... 65

4.2. O Problema da Estabilidade ................................................................................ 65

4.3. Dinâmica do Rotor e Equação de Oscilação ......................................................... 67

4.4. Equação Potência-Ângulo .................................................................................... 71

4.5. Critério da Igualdade de Área para a Estabilidade .............................................. 75

4.6. Aplicações Adicionais ao Critério da Igualdade de Áreas ..................................... 81

4.7. Estudos de Estabilidade para Sistemas Multimáquinas: Estudo Clássico ............. 83

4.8. Solução da Curva de Oscilação ............................................................................ 87

4.9. Fatores que Afetam a Estabilidade Transitória .................................................... 89

4.10. Lista de Exercícios .............................................................................................. 92

Bibliografia ......................................................................................................... 95

Sistemas de Potência II iv

1. FALTAS TRIFÁSICAS SIMÉTRICAS

1.1. Introdução

Quando ocorre uma falta em um sistema de potência, a corrente que circula é determi-

nada pelas forças eletromotrizes internas das máquinas no sistema, por suas impedâncias e

pelas impedâncias existentes no sistema entre as máquinas e a falta. As correntes que cir-

culam em uma máquina síncrona imediatamente após a ocorrência de uma falta, após

alguns ciclos e o valor em regime permanente diferem consideravelmente devido ao efeito

da corrente de armadura sobre o fluxo que gera a tensão da máquina. Este capítulo estuda

o cálculo da corrente de falta em diferentes instantes de tempo e explica as mudanças na

reatância e na tensão interna da máquina síncrona à medida que a corrente varia desde seu

valor inicial até o seu valor em regime permanente.

1.2. Transitórios em Circuitos RL Série

A seleção de um disjuntor em um sistema elétrico depende não apenas da corrente que

ele tem que suportar em regime normal de operação, mas também da corrente máxima

momentânea que o percorre durante uma falta e da corrente a interromper sob a tensão da

linha na qual se encontra.

Para se compreender o cálculo da corrente inicial quando um gerador síncrono é curto-

circuitado, considere o que acontece quando uma tensão CA é aplicada a um circuito con-

tendo valores constantes de resistência e indutância, conforme a Figura 1.1. Observe que o

ângulo determina o módulo da tensão quando o circuito é fechado. α

Figura 1.1. Aplicação de uma tensão CA a um circuito RL série.

A equação para a rede da Figura 1.1 é

Sistemas de Potência II 1

Faltas Trifásicas Simétricas Prof. Luciano V. Barboza

cos( )maxdiRi L V tdt

ω α+ = + (1.1)

A solução desta equação é

( ) cos( ) cos( )RtL

maxi t I t eω α θ α θ−⎡ ⎤

⎢ ⎥= + − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(1.2)

onde 2 2, , ( ) e arctan .maxmax

V LI Z R j L Z Z R LZ R

ωω θ ω θ= = + = ∠ = + =

O primeiro termo na equação X(1.2)X varia sinusoidalmente com o tempo. O segundo ter-

mo é não-periódico e decai exponencialmente com uma constante de tempo .LRτ = Este

termo não-periódico é chamado componente CC da corrente. O termo sinusoidal é o valor

em regime permanente da corrente em um circuito RL. Se o valor do termo em regime

permanente não é zero quando a componente CC aparece na solução de modo a sa-

tisfazer a condição de corrente nula no instante imediatamente anterior ao fechamento da

chave S. Observe que a componente CC não existe se o fechamento ocorrer em um ponto

da onda de tensão onde

0,t =

2 ou .πα θ α θ− = − = − 2π Se o fechamento ocorre em um ins-

tante de tempo em que a componente CC possui seu valor inicial máximo e

igual ao valor máximo da componente sinusoidal. As Figuras 1.2 (a) e (b) mostram a cor-

rente em função do tempo para

0,α θ− =

2 e ,πα θ α θ π− = − = respectivamente. A componente

CC pode ter qualquer valor entre zero e maxVZ dependendo do valor instantâneo da tensão

quando o circuito é fechado e também do fator de potência da rede. No instante da aplica-

ção da tensão, as componentes CC e de regime permanente têm a mesma amplitude, po-

rém são de sinais opostos de modo a expressar o valor nulo da corrente em 0.t =



(a)

(b)

Figura 1.2. Corrente como função do tempo no circuito da Figura 1.1 para: 2(a) e (b) .πα θ α θ π− = − = A tensão é aplicada em 0.t =

Por outro lado, um gerador síncrono consiste basicamente em um campo magnético gi-

rante que gera uma tensão no enrolamento de armadura que possui resistência e reatância.

A corrente que circula quando um gerador é curto-circuitado é semelhante àquela que cir-

cula quando uma tensão alternada é aplicada subitamente à associação série de um resistor

e um indutor. Entretanto, existem diferenças importantes porque a corrente na armadura

afeta o campo girante.

O efeito de um curto-circuito nos terminais de um gerador a vazio pode ser analisado a

partir de um oscilograma da corrente em uma das fases quando este curto-circuito ocorre.

Como as tensões de fase estão defasadas entre si de 120°, o curto-circuito ocorre em dife-

rentes pontos da onda de tensão em cada fase. Por essa razão, a componente CC em cada

fase é diferente. Se a componente CC da corrente for eliminada, a curva das correntes de

fase será aquela mostrada na Figura 1.3.

t0

b

c

a

i

Figura 1.3. Oscilograma da corrente em um gerador síncrono a vazio em curto-circuito.

A componente CC da corrente foi desprezada.



Comparando as Figuras 1.2(a) e 1.3, percebe-se a diferença entre a aplicação de uma

tensão alternada a um circuito RL série e a aplicação de um curto-circuito a uma máquina

síncrona. Não há componente CC em nenhuma dessas figuras. Numa máquina síncrona, o

fluxo no entreferro é muito maior no instante em que ocorre o curto-circuito do que alguns

ciclos após. A redução do fluxo é causada pela força magnetomotriz da corrente de arma-

dura, que é chamada reação da armadura. Quando ocorre um curto-circuito nos terminais

de uma máquina síncrona, é necessário transcorrer um tempo para reduzir o fluxo no entre-

ferro. À medida que o fluxo diminui, a corrente da armadura diminui porque a tensão ge-

rada pelo fluxo do entreferro determina a corrente que fluirá através da resistência e da

reatância de dispersão do enrolamento da armadura.

1.3. Correntes de Curto-Circuito e Reatâncias das Máquinas Síncronas

As reatâncias das máquinas síncronas tratadas em estudos de falta são as reatâncias do

eixo direto. Como a resistência normalmente é pequena, a corrente durante uma falta está

sempre atrasada com um grande ângulo em relação à tensão.

Na Figura 1.3, a distância “0a” é o valor máximo da corrente de curto-circuito em regi-

me permanente. Este valor de corrente dividido por 2 é o valor eficaz da corrente de cur-

to-circuito em regime permanente. A tensão em vazio do gerador dividida pela corrente em

regime permanente é chamada de reatância síncrona do gerador ou reatância síncrona do

eixo direto, ou seja,

02

Gd

E EX a I

= = G (1.3)

Se a envoltória da onda de corrente for retrocedida até o tempo zero e alguns dos pri-

meiros ciclos forem desprezados (onde o decréscimo é muito rápido), a intersecção será a

distância “0b”. O valor eficaz desta intersecção é conhecido como corrente transitória.

Assim, pode-se definir uma outra reatância para a máquina, chamada de reatância transi-

tória ou reatância transitória do eixo direto



02

Gd

E EX b I′ = =

′G (1.4)

O valor eficaz da corrente determinado pela intersecção da envoltória da corrente com o

tempo zero é chamado corrente subtransitória. Na Figura 1.3, a corrente subtransitória

equivale à distância “0c” dividida por 2. A corrente subtransitória muitas vezes é deno-

minada de corrente eficaz simétrica inicial, que é uma denominação mais adequada por

desprezar a componente CC e tomar o valor eficaz da componente CA da corrente imedia-

tamente após a ocorrência da falta.

02

Gd

E EX c I′′ = =

′′G (1.5)

A corrente subtransitória é muito maior do que a corrente em regime permanente I

porque a diminuição do fluxo no entreferro causada pela corrente da armadura não pode

ocorrer imediatamente.

I ′′

As equações X(1.3)X a X(1.5)X permitem determinar a corrente de falta em um gerador quan-

do as suas reatâncias são conhecidas. Se o gerador estiver sem carga quando ocorrer a fal-

ta, a máquina é representada pela tensão em vazio em relação ao neutro em série com a

reatância apropriada. A resistência pode ser considerada se desejar-se uma precisão maior.

Exemplo 1.1: Dois geradores estão ligados em paralelo ao lado de baixa tensão de um

transformador trifásico ∆−Y, como está mostrado na Figura 1.4. O gerador 1 tem para va-

lores nominais 50 MVA e 13,8 kV. O gerador 2 é de 25 MVA e 13,8 kV. Cada gerador tem

uma reatância subtransitória de 25%. O transformador apresenta como valores nominais

75 MVA e 13,8∆ / 69Y kV, com uma reatância de 10%. Antes da falta, a tensão no lado

de alta tensão do transformador é 66 kV. O transformador está em vazio e não há corrente

circulando entre os geradores. Calcule a corrente subtransitória em cada gerador quando

ocorre um curto-circuito trifásico no lado de alta tensão do transformador.



Figura 1.4. Diagrama unifilar do Exemplo 1.1.

1.4. Tensões Internas de Máquinas com Carga sob Condições Transitórias

Considere um gerador com carga quando ocorre uma falta no sistema. A Figura 1.5(a) é

o circuito equivalente de um gerador que alimenta uma carga trifásica equilibrada. A im-

pedância externa é mostrada entre os terminais do gerador e o ponto P onde a falta ocorre.

A corrente que circula antes da ocorrência da falta no ponto P é a tensão no ponto de

falta é

,LI

fV e a tensão nos terminais do gerador é Sabe-se que o circuito equivalente de

um gerador síncrono consiste de sua tensão em vazio em série com a sua reatância síncrona

Se ocorrer uma falta trifásica no ponto P do sistema, um curto-circuito do ponto P

até a referência não satisfaz as condições para cálculo da corrente subtransitória, uma vez

que a reatância do gerador deve ser para a corrente subtransitória ou para a

corrente transitória

.tV

.Xsinc

dX ′′ ,I ′′ dX ′

.I ′

(a) Circuito equivalente em regime permanente

dX ′′

gE ′′ I ′′

(b) Circuito para cálculo da corrente subtransitória

Figura 1.5. Circuitos equivalentes para um gerador alimentando uma carga trifásica equilibrada. A ocorrência de uma falta trifásica em P é simulada pelo fechamento da chave S.

O circuito mostrado na Figura 1.5(b) corrige este erro. A tensão em série com

fornece a corrente em regime permanente quando a chave S está aberta, e fornece a

corrente subtransitória no curto-circuito quando a chave S está fechada. Para determi-

gE ′′ dX ′′

LI

I ′′



nar a corrente através de é Portanto, ,gE ′′ dX ′′ .LI

(1.6) g t dE V jX I′′ ′′= + L

L′

g

t

L

L

e esta equação define a tensão interna subtransitória. Analogamente, a corrente transitória

pode ser obtida a partir da tensão interna transitória que pode ser determinada

como

I ′ gE ′

(1.7) g t dE V jX I′ = +

As tensões internas são determinadas a partir da corrente em regime perma-

nente e ambas são iguais à tensão em vazio apenas quando for nula, isto é,

quando são iguais.

e gE E′′ ′

LI gE LI

e gE V

Observe que em série com representa o gerador antes da ocorrência da falta e

imediatamente após a falta apenas se a corrente anterior à falta for Por outro lado,

em série com a reatância síncrona é o circuito equivalente da máquina em regime

permanente para qualquer carga. Para um valor diferente de no circuito da Figura

1.5(a), permaneceria o mesmo, porém seria necessário um novo valor para

gE ′′ dX ′′

.LI gE

sincX

LI

gE .gE ′′

Os motores síncronos possuem reatâncias semelhantes às dos geradores. Quando um mo-

tor é curto-circuitado, ele não recebe mais energia da rede, porém seu campo permanece

energizado e a inércia do seu rotor com sua carga conectada conserva sua rotação por um

determinado período de tempo. A tensão interna do motor síncrono faz com que ele forneça

corrente para o sistema, agindo como se fosse um gerador. Portanto, as tensões internas

transitória e subtransitória para um motor síncrono são

(1.8) m t d

m t d

E V jX I

E V jX I

′′ ′′= −

′ ′= −

Exemplo 1.2: Um gerador e um motor síncrono possuem valores nominais de 30 MVA e

13,2 kV e ambos têm reatâncias subtransitórias de 20%. A linha de conexão entre eles



apresenta uma reatância de 10% na base dos valores nominais das máquinas. O motor está

consumindo 20 MW com fator de potência 0,8cap com uma tensão de 12,8 kV em seus

terminais, quando ocorre uma falta trifásica nos seus terminais. Determinar a corrente sub-

transitória no gerador, no motor e na falta. Utilize as tensões internas das máquinas.

Exemplo 1.3: Resolva o Exemplo 1.2 utilizando o teorema de Thèvenin.

1.5. Matriz Impedância de Barra para Cálculo de Faltas

Nesta seção será realizado o estudo de faltas trifásicas em redes generalizadas. O estudo

será baseado no sistema elétrico mostrado na Figura 1.6(a) e os resultados podem ser gene-

ralizados para qualquer tipo de rede. A Figura 1.6(b) é o diagrama de reatâncias deste sis-

tema e para estudar uma falta trifásica na barra 4, pode-se utilizar o mesmo procedimento

da seção anterior e designar fV como a tensão na barra 4 antes da falta.

(a) Diagrama unifilar

1

43

2

XT1

XT3

XT2

X14

X24

X34

X13

X23

Vf

1GE ′′1GX ′′

2GE ′′2GX ′′

ME ′′MX ′′

(b) Diagrama de reatâncias

Figura 1.6. Diagramas de um sistema elétrico hipotético.

Uma falta trifásica na barra 4 é simulada pela rede mostrada na Figura 1.7 onde as ten-

sões e f fV −V simulam o curto-circuito. Apenas a tensão fV neste ramo não causa cor-

rente no ramo. Com e f fV −V em série, o ramo constitui um curto-circuito, e a corrente

no ramo é .fI ′′ Se forem curto-circuitadas, as tensões e correntes serão 1 2, , e G G ME E E V′′ ′′ ′′ f



aquelas devido apenas a .fV− Assim, a única corrente que entra em um nó vinda de uma

fonte é a devido a fV− e igual a fI ′′− na barra 4 ( fI ′′ saindo da barra 4) uma vez que não

há corrente neste ramo até a inserção de .fV−

2GE ′′2GX ′′

1GE ′′1GX ′′

ME ′′MX ′′

fI ′′

fV− Figura 1.7. Falta na barra 4 da rede da Figura 1.6 simulada por em série. e fV − fV

As equações nodais na forma matricial para a rede com fV− como única fonte são

111 13 14

22 23 24 2

31 32 33 34 3

41 42 43 44

0 00 00

f f

VY Y YY Y Y V

Y Y Y Y VI Y Y Y Y V

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢= ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥′′− ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(1.9)

onde 111 1 13

1 1( )G T

Y14

1j X X jX jX

= +′′ +

+ 13 3113

1Y YjX

= = − 14 4114

1Y YjX

= = −

223 23

1 1( )M T

Y24

1j X X jX jX

= +′′ +

+ 23 3223

1Y YjX

= = − 24 4224

1Y YjX

= = −

332 2 13 23 34

1 1 1( )G T

Y 1j X X jX jX jX

= + +′′ +

+ 34 4334

1Y YjX

= = −

4414 24 34

1 1 1YjX jX jX

= + +



e o sobrescrito indica que as tensões são devido apenas a .fV− O sinal foi escolhido

para indicar a mudança nas tensões devido à falta.

Invertendo a matriz admitância de barra da equação X(1.9)X, obtém-se a matriz impedân-

cia de barra e as tensões nodais devido a fV− são dadas por

1

2

3

000barra

ff

VVV

IV

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥′′−⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

Z (1.10)

Da equação X(1.10)X, tem-se que

44

ff

VI

Z′′ = (1.11)

3414 241 14 2 24 3 34

44 44 44 f f f f f

ZZ ZV Z I V V Z I V V Z IZ Z Z

′′ ′′ ′′= − = − = − = − = − = − fV

f

(1.12)

Quando a tensão é curto-circuitada na rede da Figura 1.7 e es-

tão no circuito, as correntes e tensões são as que existiam antes da falta. Pelo princípio da

superposição, estas tensões anteriores à falta adicionadas aos valores das tensões da equa-

ção X(1.12)X resultam nas tensões existentes após a ocorrência da falta. Normalmente, consi-

dera-se a rede sem carga antes da falta. Neste caso, nenhuma corrente circula antes da fal-

ta e todas as tensões são iguais a

fV− 1 2, , e G G ME E E V′′ ′′ ′′

.fV Assim,



14 141 1 14

44 44

24 242 2 24

44 44

34 343 3 34

44 44

4

1

1

1

0

f f f f f f

f f f f f f

f f f f f

f f

Z ZV V V V Z I V V VZ Z



V V V

⎛ ⎞⎟⎜′′ ⎟= + = − = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

⎛ ⎞⎟⎜′′ ⎟= + = − = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

⎛ ⎞⎟⎜′′ ⎟= + = − = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

= − =

f

(1.13)

Estas tensões existem quando a corrente subtransitória circula e foi formada para

uma rede que possui valores subtransitórios para as reatâncias das máquinas síncronas.

barraZ

Generalizando as relações anteriores, pode-se afirmar que, para uma falta na barra k,

tem-se

ff

kk

VI

Z= (1.14)

e a tensão na barra n após a falta é

1 nkn

kk

ZVZ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠fV (1.15)

As correntes em qualquer parte do circuito da Figura 1.7 podem ser determinadas atra-

vés das tensões e das impedâncias. Por exemplo,

113

13

V VIjX−′′ = 3 1 1

11 1( )

GG

G T

E VIj X X

′′ −′′ =′′ +

(1.16)



1.6. MVA de Curto-Circuito

As concessionárias de energia elétrica fornecem os dados para os usuários que devem de-

terminar a corrente de falta de modo a especificar os disjuntores em algum ponto de uma

planta industrial ou de um sistema de potência. Normalmente, esses dados incluem os

MVA de curto-circuito, onde

3MVA de curto-circuito 3 10SCkV I −= × × ×nominal (1.17)

Desprezando as resistências e capacitâncias em derivação, o circuito equivalente monofá-

sico de Thèvenin que representa o sistema consiste em uma fem igual à tensão de linha

nominal dividida por 3 em série com uma reatância indutiva de

1000

3TH

SC

kV

XI

×=

nominal

Ω (1.18)

Resolvendo a equação X(1.17)X para e substituindo na equação X(1.18)X, tem-se SCI

2( )

MVA de curto-circuitoTHkVX = nominal Ω (1.19)

Transformando a equação X(1.19)X para pu, obtém-se

2

2( )( ) puMVA de curto-circuitoMVA

baseTH

base

kVkVX =

nominal

(1.20)

Se é igual a convertendo para pu, obtém-se basekV ,kVnominal

MVA = pMVA de curto-circuito

base baseTH

SC

IXI

= u (1.21)



Exemplo 1.4 : Determine a matriz impedância de barra para a rede da Figura 1.8. Os ge-

radores nas barras 1 e 3 possuem valores nominais de 270 e 225 MVA, respectivamente. As

reatâncias subtransitórias dos geradores mais as reatâncias dos transformadores que os co-

nectam às barras do sistema são iguais a 0,3 pu cada, usando como base os valores nomi-

nais dos geradores. As relações de transformação dos transformadores são tais que a tensão

base em cada circuito do gerador é igual à tensão nominal do gerador. Incluir as reatâncias

dos geradores e transformadores na matriz. Calcule a corrente subtransitória para uma fal-

ta trifásica na barra 4 e as correntes que chegam à barra em falta vindas das barras 3 e 5.

A corrente antes da falta pode ser desprezada e todas as tensões são consideradas 1,0 pu

antes da ocorrência da falta. A base do sistema é 100 MVA.

Figura 1.8. Diagrama unifilar do Exemplo 1.4.

1.7. Seleção de Disjuntores e Tipos de Corrente de Curto-Circuito

A corrente subtransitória é a corrente eficaz simétrica inicial e não inclui o componente

CC. A inclusão deste componente resulta em um valor eficaz da corrente imediatamente

após a falta maior do que a corrente subtransitória. Para disjuntores a óleo acima de 5 kV,

a corrente subtransitória multiplicada por 1,6 é considerada como sendo o valor eficaz da

corrente cuja força disruptiva o disjuntor deve suportar durante o primeiro ciclo após a

ocorrência da falta. Esta corrente é chamada corrente momentânea.

A capacidade nominal de interrupção de um disjuntor é especificada em MVA. Os MVA

de interrupção são iguais a 3 vezes a tensão da barra à qual o disjuntor está ligado mul-



tiplicado pela corrente que o disjuntor deve ser capaz de interromper quando os seus con-

tatos se separam. Esta corrente é menor do que a corrente momentânea e depende da velo-

cidade do disjuntor, tal como 8, 5, 3 ou 1,5 ciclos, que é a medida do tempo que transcorre

a partir da ocorrência da falta até a extinção do arco.

A corrente que o disjuntor deve interromper é assimétrica, pois contém o componente

CC. A corrente nominal de interrupção para disjuntores é chamada corrente simétrica de

capacidade de interrupção requerida ou corrente nominal simétrica de curto-circuito. A

determinação dessa corrente pode ser realizada utilizando o procedimento simplificado des-

crito a seguir.

1.7.1. Procedimento Simplificado de Cálculo

Este método conhecido como método E/X despreza todas as resistências, todas as cargas

estáticas, todas as correntes anteriores à falta e todos os motores de indução abaixo de

50 HP. No cálculo da corrente nominal simétrica de curto-circuito, para os geradores são

utilizadas as reatâncias subtransitórias e para os motores síncronos utilizam-se as reatân-

cias subtransitórias multiplicadas por 1,5. Note que, se não houver motores representados

no sistema, a corrente nominal simétrica de curto-circuito é igual à corrente subtransitória.

Exemplo 1.5: Um gerador de 25 MVA e 13,8 kV com é conectado através de

um transformador a uma barra que alimenta quatro motores idênticos, como mostra a Fi-

gura 1.9. A reatância subtransitória de cada motor é 20% na base de 5 MVA e 6,9 kV.

Os valores nominais do transformador trifásico são 25 MVA e 13,8/6,9 kV, com uma rea-

tância de dispersão de 10%. A tensão na barra dos motores é 6,9 kV quando ocorre uma

falta trifásica no ponto P. Para a falta especificada, calcule:

15%dX ′′ =

dX ′′

a) a corrente subtransitória na falta;

b) a corrente subtransitória no disjuntor A;

c) a corrente nominal simétrica de curto-circuito na falta e no disjuntor A.



A

P

G

Figura 1.9. Diagrama unifilar para o Exemplo 1.5.



1.8. Lista de Exercícios

1.1. Uma tensão alternada sinusoidal de 60 Hz com valor eficaz de 100 V é aplicada a um

circuito RL série pelo fechamento de uma chave. A resistência é 15 Ω e a indutância é

0,12 H.

a) Determine o valor do componente CC da corrente no fechamento da chave para

um valor da tensão neste instante de 50 V.

b) Qual é o valor instantâneo da tensão que produz o máximo componente CC da

corrente no fechamento da chave?

c) Qual é o valor instantâneo da tensão que resulta na ausência de componente CC

da corrente no fechamento da chave?

d) Se a chave for fechada quando a tensão instantânea for zero, determine os valores

da corrente instantânea após transcorridos 0,5, 1,5 e 5,5 ciclos.

1.2. Um gerador conectado a um transformador por um disjuntor apresenta valores nomi-

nais de 100 MVA e 18 kV com reatâncias de O

transformador trifásico tem valores nominais de 100 MVA e 240Y / 18∆ kV e

O gerador está funcionando em vazio e sob tensão nominal quando ocorre

um curto-circuito trifásico no lado AT do transformador. Calcule, em Ampères:

19%, 26% e 130%.d d dX X X′′ ′= = =

10%.X =

a) a corrente eficaz simétrica inicial no disjuntor;

b) a corrente de curto-circuito permanente no disjuntor;

c) a corrente eficaz simétrica inicial nos enrolamentos do lado AT;

d) a corrente eficaz simétrica inicial na linha no lado AT.

1.3. Os valores nominais de um gerador de 60 Hz são 500 MVA e 20 kV, com

Ele alimenta uma resistência pura de 400 MW sob 20 kV. Esta carga é

ligada diretamente aos terminais do gerador. Curto-circuitando simultaneamente as

três fases da carga, calcule a corrente eficaz simétrica inicial no gerador em pu numa

base de 500 MVA e 20 kV.

0,2 pu.dX ′′ =



1.4. Um gerador é conectado através de um transformador a um motor síncrono. Reduzi-

das a uma mesma base, as reatâncias subtransitórias do gerador e do motor são

0,15 pu e 0,35 pu, respectivamente, e a reatância de dispersão do transformador é

0,10 pu. Ocorre uma falta trifásica nos terminais do motor quando a tensão nos ter-

minais do gerador é 0,9 pu e a corrente de saída do gerador é 1,0 pu com um fator de

potência 0,8cap. Calcule a corrente subtransitória em pu no ponto de falta, no gera-

dor e no motor. Use a tensão nos terminais do gerador como fasor de referência e

obtenha a solução:

a) calculando as tensões internas das máquinas;

b) usando o teorema de Thèvenin.

1.5. Dois motores síncronos com reatâncias subtransitórias de 0,80 e 0,25 pu, respectiva-

mente, numa base de 480 V e 2 MVA, estão conectados a uma barra. Esta barra está

conectada, através de uma linha de transmissão com reatância de 0,023 Ω, a uma

barra de um sistema de potência. Nesta barra, os MVA de curto-circuito do sistema

de potência são 9,6 MVA para uma tensão nominal de 480 V. Para uma tensão na

barra do motor igual a 440 V, despreze a corrente de carga e calcule a corrente eficaz

simétrica inicial numa falta trifásica na barra do motor.

1.6. A matriz impedância de barra para uma rede de 4 barras, com valores em pu, é

0,15 0,08 0,04 0,070,08 0,15 0,06 0,090,04 0,06 0,13 0,050,07 0,09 0,05 0,12

barra j

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Z

Os geradores estão conectados às barras 1 e 2 e suas reatâncias subtransitórias foram

incluídas na matriz Desprezando a corrente anterior à falta, calcule a corrente

subtransitória em pu no ponto de falta para uma falta trifásica na barra 4. Considere

a tensão no ponto de falta igual a 1,0 pu antes da ocorrência da falta. Calcule tam-

bém a corrente subtransitória em pu no gerador 2, cuja reatância subtransitória é

0,2 pu.

.barraZ



1.7. Para a rede mostrada na Figura 1.10, calcule a corrente subtransitória em pu no ge-

rador 1, na linha 1−2 e a tensão nas barras 1 e 3 para uma falta trifásica na barra 2.

Considere que nenhuma corrente circula anteriormente à falta e que a tensão na bar-

ra 2 antes da falta era 1,0 pu. Resolva usando a matriz impedância de barra.

1

2

3

G1 G2

j0,5j0,2 j0,4

0,2X ′′ = 0,25X ′′ =

Figura 1.10. Rede para o Problema 1.7 (valores em pu).

1.8. Para uma falta trifásica na barra 1 da rede sem carga da Figura 1.11 (todas as ten-

sões nodais são iguais a 1,0 pu), calcule a corrente subtransitória na falta, as tensões

nas barras 2, 3 e 4 e a corrente no gerador ligado à barra 3.

1GE ′′

2GE ′′

ME ′′

Figura 1.11. Rede para o Problema 1.8 (valores em pu).

1.9. Calcule a corrente subtransitória em pu numa falta trifásica na barra 5 na rede da

Figura 1.12. Despreze a corrente anterior à falta e considere todas as tensões nodais

iguais a 1,0 pu antes da ocorrência da falta. Calcule também a corrente nas linhas

1−5 e 3−5.



Figura 1.12. Diagrama de reatâncias para o Problema 1.9 (valores em pu).

1.10. Um gerador de 625 kVA e 2,4 kV com é ligado a uma barra através de

um disjuntor, como mostrado na Figura 1.13. À mesma barra, através de disjuntores,

estão ligados três motores síncronos com valores nominais de 250 HP e 2,4 kV, com

fator de potência unitário, 90% de rendimento e Os motores estão fun-

cionando a plena carga, com fator de potência unitário e tensão nominal, com a carga

igualmente dividida entre as máquinas. Utilize como base para o sistema 625 kVA e

2,4 kV.

0,2 pudX ′′ =

0,2 pu.dX ′′ =

a) Calcule a corrente nominal simétrica de curto-circuito em Ampères que deve ser

interrompida pelo disjuntor A e B para uma falta trifásica no ponto P. Despreze a

corrente anterior à falta.

b) Repita o item (a) para uma falta trifásica no ponto Q e para uma falta trifásica no

ponto R.

Figura 1.13. Diagrama unifilar para o Problema 1.10.


2. COMPONENTES SIMÉTRICOS

2.1. Introdução

Em 1918, uma das mais poderosas ferramentas para tratar com circuitos polifásicos de-

sequilibrados foi apresentada por C. O. Fortescue. Desde então, o método de componentes

simétricos tornou-se de grande importância e as faltas assimétricas são todas estudadas por

esta abordagem.

2.2. Fasores Assimétricos a partir dos Componentes Simétricos

De acordo com a teoria de Fortescue, três fasores desequilibrados de um sistema trifásico

podem ser decompostos em três sistemas equilibrados de fasores denominados componentes

simétricos dos fasores originais. Estes conjuntos equilibrados são conhecidos como:

• Componentes de seqüência positiva: consistem de três fasores iguais em módulo, 120°

defasados entre si e tendo seqüência de fases idêntica à dos fasores originais. Utiliza-se

o subíndice “1” para designar este conjunto de fasores.

• Componentes de seqüência negativa: consistem de três fasores iguais em módulo, 120°

defasados entre si e tendo seqüência de fases oposta à dos fasores originais. Utiliza-se

o subíndice “2” para designar este conjunto de fasores.

• Componentes de seqüência zero: consistem em três fasores iguais em módulo e com o

mesmo ângulo de fase. Utiliza-se o subíndice “0” para designar este conjunto de faso-

res.

A Figura 2.1 mostra os conjuntos de componentes simétricos para um conjunto genérico

de três correntes desequilibradas.


Componentes Simétricos Prof. Luciano V. Barboza

Componentes de seqüência positiva

Componentes de seqüência negativa

Componentes de seqüência zero

Figura 2.1. Três conjuntos de fasores equilibrados que são componentes de três fasores desequilibrados.

Cada um dos fasores desequilibrados originais corresponde à soma de seus componentes

simétricos, ou seja,

(2.1) 1 2A A A AI I I I= + + 0

0

0

(2.2) 1 2B B B BI I I I= + +

(2.3) 1 2C C C CI I I I= + +

A síntese de um conjunto de três fasores desequilibrados a partir de três conjuntos de

componentes simétricos (Figura 2.1) é mostrada na Figura 2.2.

Figura 2.2. Adição gráfica dos componentes simétricos da Figura 2.1.



2.3. Operadores

O resultado da multiplicação de dois números complexos é o produto de seus módulos e

a soma de seus ângulos. Se o número complexo que expressa um fasor for multiplicado por

um número complexo de módulo unitário e ângulo o número complexo resultante repre-

senta um fasor igual ao fasor original defasado de um ângulo

,θ

.θ

O número complexo de módulo unitário e ângulo é chamado operador e faz com que o

fasor, sobre o qual atua, gire de um ângulo

θ

.θ

Um operador conhecido é o operador j, que causa uma rotação de 90° no sentido anti-

horário. Duas aplicações sucessivas do operador j causam uma rotação de 180° no sentido

anti-horário. Assim, o operador j pode matematicamente ser expresso como

1,0 90j = ∠ °

°

°

(2.4)

Um outro operador útil é o operador a, que causa uma rotação de 120° no sentido anti-

horário sobre o fasor no qual é aplicado. Dessa forma, tem-se que

(2.5) 1,0 120a = ∠

Se o operador a for aplicado duas vezes sucessivas a um fasor, este irá girar de 240° no

sentido anti-horário. Três aplicações sucessivas de a causam uma rotação de 360° no senti-

do anti-horário. Matematicamente, tem-se

(2.6) 2

2 3

1,0 120 1,0 120 1,0 120

1,0 120 1,0 120 1,0 0

a a a

a a a

× = = ∠ °× ∠ ° = ∠−

× = = ∠− °× ∠ ° = ∠ °

A Figura 2.3 mostra os fasores representando as várias potências do operador a.



Figura 2.3. Diagrama fasorial com as várias potências do operador a.

2.4. Componentes Simétricos de Fasores Assimétricos

Cada componente simétrico das correntes pode ser expresso em termos do ope-

rador a e um componente simétrico da corrente De acordo com a Figura 2.1, pode-se

escrever

e BI IC

1

2A=

0

0A

0A

AI

.AI

(2.7)

21 1 1

22 2 2

0 0 0 0

B A C A

B A C

B A C A

I a I I aI

I aI I a I

I I I I

= =

=

= =

Substituindo as equações X(2.7)X nas equações X(2.1)X, X(2.2)X e X(2.3)X, obtêm-se

(2.8) 1 2A A A AI I I I= + +

(2.9) 21 2B A AI a I aI I= + +

(2.10) 21 2C A AI aI a I I= + +

ou na forma matricial

0

21

22

1 1 111

A A

B

C A

I II a aI Ia a

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2.11)



Definindo

2

2

1 1 111

a aa a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A (2.12)

tem-se que

1

2

1 1 11 13

1a aa a

− 2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A (2.13)

e pré-multiplicando ambos os lados da equação X(2.11)X por obtém-se 1,−A

0

21

22

1 1 11 13

1

A A

A

A C

I II a aI Ia a

⎡ ⎤

BI⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(2.14)

ou na forma de equações

01 ( )3A A BI I I= + + CI (2.15)

21

1 ( )3A A BI I aI a= + + CI (2.16)

22

1 ( )3A A BI I a I a= + + CI

N

(2.17)

A partir dos componentes simétricos da corrente pode-se obter, através da equação

X(2.7)X, os componentes simétricos das correntes

,AI

e .B CI I

Em um sistema trifásico, tem-se

(2.18) A B CI I I I+ + =



portanto,

(2.19) 03NI I= A

1

2

s 1

Na ausência de um caminho ao neutro em um sistema trifásico, é zero e as correntes

de linha não contêm componentes de seqüência zero. Assim, uma carga ligada em ∆ não

contém componentes de seqüência zero.

NI

A equação X(2.15)X mostra que não existem componentes de seqüência zero se a soma dos

fasores desequilibrados for zero. A soma dos fasores tensão de linha em um sistema trifásico

é sempre zero, portanto, os componentes de seqüência zero nunca estão presentes nas ten-

sões de linha, não importando a dimensão do desbalanceamento.

Exemplo 2.1: Um condutor de uma linha trifásica está aberto. A corrente que circula para

uma carga ligada em ∆ através da linha a é 10 A. Usando a corrente da linha a como refe-

rência e considerando que a linha c esteja aberta, calcular os componentes simétricos das

correntes de linha.

2.5. Defasagem dos Componentes Simétricos em Bancos de

Transformadores Y −∆

No curso de Circuitos III, estudou-se a utilização da regra do ponto para transformado-

res. Para que as correntes do lado de alta e do lado de baixa tensão estejam em fase é ne-

cessário que o sentido da corrente em um enrolamento entre pelo ponto e no outro, saia.

A marcação padrão para transformadores monofásicos utiliza nos lados AT e

BT, respectivamente, ao invés dos pontos. As outras extremidades dos enrolamentos são

marcadas por A Figura 2.4 mostra a equivalência entre as duas regras. No trans-

formador mostrado, as correntes estão em fase. Assim, os terminais são

positivos no mesmo instante em relação a

1 e H X

2 e .H X

e pI I 1 e H X

2 2e .H X



Figura 2.4. Diagrama esquemático de um transformador monofásico.

Os terminais de AT dos transformadores trifásicos são marcados com e os

de BT, com Em transformadores Y−Y e as marcações são tais que as

tensões e correntes nos terminais estão em fase com as tensões e correntes nos

terminais respectivamente. Entretanto, em transformadores

sempre há defasagem entre as grandezas do lado de AT e de BT.

1 2, e H H H 3

3

,

.

1 2 3, e .X X X ,∆−∆

1 2, e H H H

1 2 3, e ,X X X Y e Y−∆ ∆−

A Figura 2.5 é o diagrama de ligação de um transformador A seqüência de fases

é direta (ABC). Os enrolamentos colocados em paralelo estão acoplados magneticamente,

pois estão montados sobre o mesmo núcleo. As fases do lado de AT são designadas por le-

tras maiúsculas e as do lado de BT, por letras minúsculas.

Y −∆

Figura 2.5. Diagrama de ligações de um transformador trifásico.

As normas americanas para designar os terminais em um

transformador exigem que as grandezas de seqüência positiva do lado de AT este-

jam 30° adiantadas em relação às grandezas de seqüência positiva do lado de BT, indepen-

dentemente de estarem os enrolamentos de alta tensão em Y ou em Para as grandezas

de seqüência negativa, a defasagem deve ser de 30° em atraso. A Figura 2.6 mostra os dia-

gramas fasoriais para os componentes de seqüência das tensões nos dois lados do transfor-

mador.

1 1 2 2 3e , e e e ,H X H X H X3

Y ,−∆

.∆



Seqüência positiva Seqüência negativa

Figura 2.6. Diagramas fasoriais dos componentes simétricos das tensões.

Observando os diagramas fasoriais da Figura 2.6, verifica-se que está 90° atrasada

em relação a e que está 90° adiantada em relação a Assim, as relações entre

os componentes simétricos das tensões nos dois lados do transformador é

1AV

1aV 2AV 2.aV

(2.20) 1 1 2A a AV jV V j= − = 2aV

A Figura 2.7 mostra os diagramas fasoriais para os componentes de seqüência das cor-

rentes nos dois lados do transformador.

Seqüência positiva

Seqüência negativa

Figura 2.7. Diagramas fasoriais dos componentes simétricos das correntes.

Da Figura 2.7, verifica-se que está 90° atrasada em relação a e que está 90°

adiantada em relação a Assim, as relações entre os componentes simétricos das corren-

tes nos dois lados do transformador é

1AI 1aI 2AI

2.aI

(2.21) 1 1 2A a AI jI I j= − = 2aI

A Figura 2.8(a) mostra as conexões das fases para os terminais de um transformador de



modo que a tensão de seqüência positiva em relação ao neutro está 30° adiantada em

relação à tensão de seqüência positiva em relação ao neutro Por outro lado, a Figura

2.8(b) mostra as conexões das fases para os terminais de um transformador de modo que a

tensão de seqüência positiva em relação ao neutro está 30° adiantada em relação à

tensão de seqüência positiva em relação ao neutro

1AV

1.bV

1AV

1.aV

(a)

A

c

b

a

C

B

H1

X3

X2

X1

H3

H2

(b)

Figura 2.8. Designações das linhas ligadas a um transformador trifásico Y ou Y−∆ ∆− .

Exemplo 2.2: Três resistores idênticos, com valor 1,0 pu cada, estão conectados em Y ao

lado Y de baixa tensão de um transformador As tensões na carga de resistores são Y.∆−

0,8 pu 1,2 pu 1,0 puab bc caV V V= = =

∗

Suponha que não haja ligação do neutro da carga com o neutro do secundário do transfor-

mador e que a ligação do transformador seja a da Figura 2.8(a). Calcular as tensões e cor-

rentes de linha, em pu, no lado Δ do transformador.

2.6. Potência em Função dos Componentes Simétricos

Se os componentes simétricos das tensões e das correntes são conhecidos, a potência em

um sistema trifásico pode ser calculada diretamente destas componentes. A potência total

em um sistema trifásico é

(2.22) A A B B C CS P jQ E I E I E I∗ ∗= + = + +

onde são as tensões de fase e são as correntes de fase. Pode ou

não haver conexão ao neutro. Em notação matricial

, e A B CE E E , e A B CI I I



[ ]

TA A

A B C B B B

C C

I E IS E E E I E I

I E I

∗ ∗A

C

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2.23)

onde o conjugado de um vetor é o conjugado de cada um de seus componentes.

Recordando as equações X(2.11)X e X(2.12)X, pode-se escrever a equação X(2.23)X como

(2.24) [ ] [ ]TS E I ∗= A A

onde

0 0

1

2 2

e A A

A

A A

E IE E I I

E I1A

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A

A

21

(2.25)

Da álgebra matricial, sabe-se que

(2.26) [ ]T T TE E=A

e, então,

(2.27) [ ]T T T TS E I E I∗ ∗ ∗= =A A A A

Lembrando que e que são conjugados, tem-se que T =A 2e a a

[ ]0

20 1 2

2 22

1 1 1 1 1 11 11 1

A

A A A A

A

IS E E E a a a a I

a a a a I

∗

∗

∗

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2.28)

e observando que



2 2

2 2

1 1 1 1 1 1 1 0 01 1 3 0 1 0

0 0 11 1

T a a a aa a a a

∗

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A A (2.29)

obtém-se

[0

0 1 2

2

3A

A A A A

A

IS E E E I

I

∗

∗

∗

] 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.30)

Assim, finalmente, tem-se que

(2.31) 0 0 1 1 2 23 3 3A A B B C C A A A A A AS P jQ E I E I E I E I E I E I∗ ∗ ∗ ∗ ∗= + = + + = + + ∗

que é a potência trifásica calculada em função dos componentes simétricos das tensões e

das correntes.

2.7. Impedâncias de Seqüência e Circuitos de Seqüência

Em qualquer parte de um circuito, a queda de tensão causada pela corrente de uma de-

terminada seqüência depende da impedância do circuito para a corrente dessa seqüência. A

impedância de uma rede equilibrada para a corrente de uma seqüência pode ser diferente

da impedância para a corrente de outra seqüência.

A impedância de um circuito, quando estão circulando apenas correntes de seqüência

positiva, é chamada impedância de seqüência positiva. Analogamente, quando apenas

correntes de seqüência negativa estão presentes, a impedância é chamada impedância de

seqüência negativa. Quando estão presentes apenas correntes de seqüência zero, a

impedância é chamada impedância de seqüência zero.

A análise de uma falta assimétrica em um sistema simétrico consiste em determinar os

componentes simétricos das correntes desequilibradas que estão circulando. Uma vez que as

correntes componentes de uma seqüência causam queda de tensão somente da mesma se-



qüência e são independentes das correntes de outras seqüências, em um sistema equilibra-

do, consideram-se as correntes de qualquer seqüência circulando em um circuito indepen-

dente composto por impedâncias para as correntes apenas daquela seqüência. O circuito

monofásico equivalente, composto somente das impedâncias para a corrente daquela se-

qüência, é chamado circuito de seqüência para aquela seqüência.

2.8. Redes de Seqüência para Geradores em Vazio

Um gerador em vazio, aterrado através de uma impedância é mostrado na Figura

2.9. Quando ocorre uma falta nos terminais do gerador, as correntes circulam

nas linhas. Se a falta envolve a terra, a corrente que circula pelo neutro do gerador é

,nZ

, e a b cI I I

.nI

Figura 2.9. Diagrama de um gerador em vazio aterrado através de uma impedância.

As tensões geradas são somente de seqüência positiva, pois os geradores são projetados

para fornecer tensões trifásicas equilibradas. Portanto, a rede de seqüência positiva é com-

posta por uma fem em série com a impedância de seqüência positiva do gerador. As redes

de seqüência negativa e zero não contêm forças eletromotrizes, incluindo somente as impe-

dâncias do gerador para as correntes de seqüência negativa e zero, respectivamente. Os cir-

cuitos de seqüência para os geradores são mostrados na Figura 2.10. A fem gerada na rede

de seqüência positiva é a tensão nos terminais do gerador em vazio em relação ao neutro,

que é também igual às tensões atrás das reatâncias transitória ou subtransitória, pois o ge-

rador está em vazio. A barra de referência para as redes de seqüência positiva e negativa é



o neutro do gerador. Para a rede de seqüência zero, a barra de referência é o terra do sis-

tema.



Seqüência zero

Figura 2.10. Circuitos de seqüência para geradores em vazio

A corrente que circula na impedância entre o neutro do gerador e a terra é Pe-

la Figura 2.10, nota-se que a queda de tensão de seqüência zero é onde

é a impedância de seqüência zero por fase do gerador. A rede de seqüência zero que é

um circuito monofásico no qual se supõe que circule apenas a corrente de seqüência zero

deve, portanto, ter uma impedância de A impedância total de seqüência zero,

pela qual circula é, portanto,

nZ 03 aI .

0

.

0g

0 03 ,a n a gI Z I Z− −

0gZ

03 n gZ Z+

0aI

(2.32) 0 3 nZ Z Z= +



Da Figura 2.10, pode-se deduzir as relações para os componentes de seqüência das

tensões na fase a

(2.33) 1a aV E Z I= − 1 1a

2a

0a

2

(2.34) 2 2aV Z I= −

(2.35) 0 0aV Z I= −

onde é a tensão em vazio de seqüência positiva em relação ao neutro, são as

impedâncias de seqüência positiva e negativa do gerador e é definida pela equação

X(2.32)X.

aE 1 e Z Z

0Z

2.9. Impedâncias de Seqüência para Linhas de Transmissão

As impedâncias de seqüência positiva e negativa de circuitos lineares, simétricos e está-

ticos são idênticas porque a impedância de tais circuitos é independente da seqüência de fa-

ses, desde que as tensões aplicadas sejam equilibradas. Portanto, as impedâncias de se-

qüência positiva e negativa de uma linha de transmissão transposta são iguais.

Quando apenas a corrente de seqüência zero circula por uma linha de transmissão, ela é

a mesma em todas as fases. A corrente retorna pela terra, por cabos de cobertura ou por

ambos. Como as correntes de seqüência zero são iguais (módulo e ângulo) nas três fases, o

campo magnético devido a estas correntes é muito diferente daqueles produzidos pelas cor-

rentes de seqüência positiva e negativa. Esta diferença resulta em reatâncias indutivas de

seqüência zero para linhas de transmissão aéreas de 2 a 3,5 vezes maiores que as reatâncias

de seqüência positiva.

A Figura 2.11 apresenta as impedâncias de seqüência para linhas de transmissão trans-

postas.



1aE 1aE ′


2aE 2aE ′


Ia00aE

Z0

Barra de referência

0aE ′

Seqüência zero

Figura 2.11. Impedâncias de seqüência para linhas de transmissão transpostas.

2.10. Impedâncias de Seqüência para Cargas Estáticas

A Figura 2.12 mostra uma carga estática conectada em Y. A impedância de cada fase é

fZ e a impedância de neutro é Da figura 2.12, têm-se que .nZ

( ) ( )a f a n n f a n a b c f n a n b nV Z I Z I Z I Z I I I Z Z I Z I Z I= + = + + + = + + + c (2.36)

Figura 2.12. Carga estática conectada em Y.

Equações análogas podem ser determinadas para Assim, e .bV Vc

( )b n a f n b nV Z I Z Z I Z I= + + + c (2.37)

( )c n a n b f nV Z I Z I Z Z I= + + + c (2.38)

Escrevendo na forma matricial, tem-se



(2.39) a f n n n

b n f n n

c n n f n

V Z Z Z Z IV Z Z Z ZV Z Z Z Z

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

a

b

c

II

⎥⎥

1

a

a

a

II

⎤⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥⎦

A

a

a

a

III

⎤⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥⎦

Escrevendo a equação X(2.39)X em função dos componentes simétricos das tensões e das

correntes, obtém-se

(2.40) 0 0

1

2 2

a f n n n

a n f n n

a n n f n

V Z Z Z Z IV Z Z Z ZV Z Z Z Z

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡+⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢⎢ ⎥ ⎢= +⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢+⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦

A

onde 2

2

1 1 111

a aa a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A

Pré-multiplicando a equação X(2.40)X por obtém-se 1,−A

0 0

11 1

2 2

a f n n n

a n f n n

a n n f n

V Z Z Z ZV Z Z Z ZV Z Z Z Z

−

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡+⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢⎢ ⎥ ⎢= +⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢+⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦

A A

1aI

(2.41)

ou

0 0

1

2 2

a a

a S

a a

V IVV I

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢= ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣

Z

⎦

n

A

(2.42)

onde 1

f n n n

S n f n n

n n f

Z Z Z ZZ Z Z ZZ Z Z Z

−

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦

Z A (2.43)

A matriz impedância definida na equação X(2.43)X é chamada matriz de impedâncias SZ



de seqüência. Ela pode ser obtida por

02 2

12 2

2

1 1 1 1 1 11 1 13

1 1

f n n n

S n f n n

n n f n

Z Z Z Z ZZ a a Z Z Z Z aZ Z Z Z Za a a a

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Z a

0f

3 0 0

00 0

f n

S

f

Z ZZ

Z

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Z (2.44)

A partir das equações X(2.42)X e X(2.44)X, pode-se escrever que

0 0

1 1

2 2

( 3 )a f n

a f a

a f a

V Z Z I

V Z I

V Z I

= +

=

=

a

2

(2.45)

De onde se conclui que

0 13 f n fZ Z Z Z Z Z Z= + = = f (2.46)

A Figura 2.13 mostra as impedâncias de seqüência para uma carga passiva conectada

em Y.



Seqüência zero

Figura 2.13. Impedâncias de seqüência para uma carga passiva conectada em Y.

Se a carga estiver conectada em não haverá correntes de seqüência zero circulando ,∆



pela rede de seqüência zero devido à ausência do neutro. Se a impedância por fase for

transformando a carga para uma conexão equivalente em Y, tem-se

,Z∆

3f

ZZ ∆= (2.47)

A Figura 2.14 mostra as impedâncias de seqüência de uma carga passiva ligada em .∆

1 3fZZ Z ∆= =


2 3fZZ Z ∆= =


0 3fZZ Z ∆= =

Seqüência zero

Figura 2.14. Impedâncias de seqüência para uma carga passiva conectada em .∆

2.11. Impedâncias de Seqüência para Transformadores Trifásicos

Quando apenas correntes de seqüência positiva ou negativa circulam por um transfor-

mador, o seu comportamento é idêntico ao estudado no curso de Sistemas de Potência I, ou

seja, a oposição à circulação destas correntes é a própria impedância do transformador.

A Figura 2.15 mostra as redes de seqüência positiva e negativa para um transformador tri-

fásico.

TZ



Figura 2.15. Redes de seqüência para um transformador trifásico.



O valor da impedância de seqüência zero de transformadores trifásicos também é a im-

pedância de dispersão do transformador Porém, os circuitos de seqüência zero de

transformadores trifásicos requerem um estudo mais detalhado em função dos enrolamentos

do primário e do secundário poderem estar conectados em Cinco possibilidades

serão analisadas a seguir.

.TX

Y ou .∆

Banco Y−Y com apenas um neutro aterrado: se qualquer um dos neutros de um banco

Y−Y não estiver aterrado, a corrente de seqüência zero não pode circular em nenhum dos

enrolamentos. A ausência de caminho em um enrolamento impede a passagem da corrente

no outro. Assim, existe um circuito aberto para a corrente de seqüência zero entre as duas

partes do sistema ligadas pelo transformador.

Banco Y−Y ambos os neutro aterrados: neste caso, existe um caminho, através do trans-

formador, para as correntes de seqüência zero em ambos os enrolamentos. Como a corrente

de seqüência zero pode seguir um caminho completo por fora do transformador em ambos

os lados, ela também poderá circular em ambos os enrolamentos do transformador. Assim,

os dois lados do transformador são interligados pela impedância de seqüência zero do trans-

formador.

Banco Y aterrado: se o neutro de um banco estiver aterrado, as corren-

tes de seqüência zero possuem um caminho para a terra através da ligação Y porque as

correspondentes correntes induzidas podem circular no A corrente de seqüência zero,

que circula no ∆ para equilibrar a corrente de seqüência zero no Y, não pode circular nas

linhas ligadas ao O circuito equivalente oferece um caminho a partir do Y, através da

impedância de dispersão do transformador, até a barra de referência. Deve existir um cir-

cuito aberto entre a linha e a barra de referência no lado Se a ligação do neutro à terra

apresenta uma impedância o circuito equivalente de seqüência zero deve ter uma im-

pedância de em série com a impedância de dispersão do transformador para ligar a li-

nha no lado Y até a terra.

,Y ∆− Y −∆

.∆

.∆

.∆

,nZ

3 nZ

Banco Y não-aterrado: um Y não-aterrado é o caso onde a impedância en-

tre o neutro e a terra, é infinita. Assim, a impedância 3 do caso anterior torna-se infini-

,Y ∆− ,nZ

nZ



ta. A corrente de seqüência zero não pode circular nos enrolamentos do transformador.

Banco como o circuito ∆ não oferece caminho de retorno para as correntes de

seqüência zero, essas correntes não podem circular em bancos embora ela possa cir-

cular nos enrolamentos

:∆ ∆−

,∆−∆

.∆

A Figura 2.16 mostra os circuitos de seqüência zero para as diferentes conexões de trans-

formadores trifásicos.

Ligação Seqüência zero

−

−

−

−

−

Figura 2.16. Circuitos de seqüência zero para transformadores trifásicos.



Exemplo 2.3: Um gerador trifásico de 300 MVA, 20 kV, tem uma reatância subtransitória

de 20%. O gerador alimenta um certo número de motores síncronos através de uma linha

de transmissão de 64 km, tendo transformadores em ambas as extremidades, como mostra

o diagrama unifilar da Figura 2.17. Os motores, todos de 13,2 kV, estão representados por

dois motores equivalentes. O neutro do motor está aterrado através de uma reatância

de 0,4 Ω. O neutro do motor não está aterrado. As entradas nominais para os motores

são 200 MVA para e 100 MVA para Para ambos os motores O

transformador trifásico de 350 MVA, 230/20 kV, apresenta reatância de 10%. O

transformador é composto de três transformadores monofásicos, cada um de 100 MVA,

127/13,2 kV, com reatância de 10%. A reatância em série da linha de transmissão é

0,5 Ω/km. Considere a reatância de seqüência negativa de cada máquina igual à sua

reatância subtransitória. Para o gerador e os motores, considere a reatância de seqüência

zero igual a 5%. No neutro do gerador está presente um reator de limitação de corrente de

0,4 Ω. A reatância de seqüência zero da linha de transmissão é 1,5 Ω/km. Trace os

diagramas de seqüências positiva, negativa e zero com todas as reatâncias em pu. Escolha

os valores nominais do gerador como base no circuito deste.

1M

2M

1M 2.M 20%.X ′′ =

1,T

2T





2.1. Sendo calcule as tensões em re-

lação ao neutro Apresente também o resultado na forma de um diagra-

ma.

1 2 050 0 V, 20 90 V e 10 180 V,a a aV V V= ∠ ° = ∠ ° = ∠ °

, e .a b cV V V

2.2. Quando um gerador tem o terminal a aberto e os outros dois terminais estão ligados

entre si com um curto-circuito desta conexão com a terra, os valores típicos para os

componentes simétricos da corrente na fase a são

Calcule as correntes para a terra e a corrente

em cada fase do gerador.

1 600 90 A,aI = ∠− °

2 2250 90 A e 350 90 A.a aI I= ∠ ° = ∠ °

2.3. Calcule os componentes simétricos das três correntes

10 0 A,aI = ∠ °

10 130 A e 10 130 A.b cI I= ∠− ° = ∠ °

2.4. As correntes que circulam nas linhas para uma carga equilibrada, ligada em são

Determine as defasagens en-

ter

,∆

100 0 A, 141,4 135 A e 100 90 A.a b cI I I= ∠ ° = ∠− ° = ∠ °

e , e e e .a ab b bc c caI I I I I I

2.5. As tensões nos terminais de uma carga equilibrada consistindo em três resistores de

10 Ω, ligados em Y, são

Determine as defasagens entre Suponha que o neutro

da carga não está aterrado. Calcule também a potência consumida nos três resistores

usando os componentes simétricos das correntes e tensões. Verifique a resposta.

100 0 V, 80,8 121,44 V e 90 130 V.ab bc caV V V= ∠ ° = ∠− ° = ∠ °

e , e e e .ab a bc b ca cV V V V V V

2.6. Uma carga trifásica consiste de uma carga equilibrada conectada em ∆ em paralelo

com uma outra ligada em Y. A impedância por fase da carga em ∆ é

(6 6) Z j∆ = + Ω e a impedância por fase da carga em Y vale Y (2 2) .Z O

neutro da carga conectada em Y está aterrado através de uma impedância

Um conjunto de tensões de fase desequilibradas com com-

ponentes simétricos de seqüência iguais a

j= + Ω

1 .nZ j= Ω , e an bn cnV V V

0 110 60 V, 100 0 V ean anV V= ∠ ° = ∠ °



2 15 160 VanV = ∠− ° são aplicadas à carga trifásica descrita acima.

a) Construa os diagramas de seqüência positiva, negativa e zero.

b) Calcule a potência complexa por seqüência fornecida às cargas em ∆ e em Y.

c) Calcule a potência complexa total fornecida à carga trifásica.

2.7. Suponha que as correntes especificadas no Exercício 2.4 estejam circulando por uma

linha de transmissão conectada ao lado Y de um transformador com valores

nominais 10 MVA e 66 Y/13,2 ∆ kV. A carga está conectada ao lado ∆ do transfor-

mador. Calcule as correntes que circulam nas linhas da carga convertendo em pu os

componentes simétricos das correntes na base dos valores nominais do transformador

e defasando os componentes de acordo com a equação X(2.21)X. Verifique os resultados

calculando as correntes em cada fase dos enrolamentos ∆, em A, diretamente a partir

das correntes no lado Y multiplicando pela relação de espiras dos enrolamentos.

Complete a verificação calculando as correntes de linha em função das correntes de

fase no lado ∆.

Y −∆

2.8. São aplicadas tensões de linha trifásicas equilibradas de 100 V a uma carga ligada em

Y consistindo de três resistores. O neutro da carga não está aterrado. A resistência na

fase a é 10 Ω, na fase b é 20 Ω e na fase c é 30 Ω. Escolhendo como referência,

calcule a corrente na fase a e a tensão

abV

.aV

2.9. O diagrama unifilar de um sistema sem carga está apresentado na Figura 2.19. Os ge-

radores e transformadores apresentam as seguintes características:

Gerador 1: 20 MVA, 13,8 kV, 2 020%, 20% e 5%X X X′′ = = =

Gerador 2: 30 MVA, 18 kV, 2 020%, 20% e 5%X X X′′ = = =


Transformador 1: 25 MVA, 220Y / 13,8Δ kV, 10%X =

Transformador 2: unidades monofásicas, cada uma de 10 MVA, 127/18 kV, 10%X =

Transformador 3: 35 MVA, 220Y / 22Y kV, 10%X =

Construa as redes de seqüência positiva, negativa e zero para o sistema. Coloque to-

dos os valores em pu na base de 50 MVA e 13,8 kV no circuito do gerador 1. Os neu-



tros dos geradores 1 e 3 são ligados à terra através de reatores de limitação de corren-

te, cada um com uma reatância de 5% na base da máquina a qual é conectado. A rea-

tância de seqüência zero da linha de transmissão é 210 Ω de A até B e 250 Ω de B até

C.


2.10. Construa as redes de seqüência positiva, negativa e zero do sistema elétrico apresen-

tado na Figura 2.20. Represente as reatâncias em pu em uma base de 50 MVA e

138 kV na linha de 40 Ω. As características dos geradores, motores e transformadores

são:



Motor síncrono: 30 MVA, 13,8 kV, 2 020%, 20% e 8%X X X′′ = = =

Transformadores Y−Y: 20 MVA, 138Y / 20Y kV, 10%X =

Transformadores Y−∆: 15 MVA, 138Y / 13,8∆ kV, 10%X =

Os neutros das máquinas estão aterrados através de reatores de limitação de corrente,

tendo reatâncias de 5% na base da máquina a qual estão conectados. As reatâncias de

seqüência zero das linhas de transmissão valem três vezes as suas reatâncias de se-

qüência positiva.


III. FALTAS ASSIMÉTRICAS

3.1. Introdução

A maioria das faltas que ocorre em sistemas elétricos é assimétrica podendo constituir-se

em curto-circuitos fase-terra, fase-fase ou fase-fase-terra. O caminho para a corrente de fal-

ta pode ou não conter uma impedância.

Como qualquer falta assimétrica provoca o fluxo de correntes desequilibradas no siste-

ma, o método dos componentes simétricos é muito útil na determinação das correntes e

tensões no sistema após a ocorrência de uma falta assimétrica.

3.2. Faltas em Geradores em Vazio

Do capítulo 2, seção 2.8, equações (2.33), (2.34) e (2.35), pode-se escrever, em notação

matricial, a relação para os componentes simétricos das tensões na fase a em um gerador

em vazio como

(3.1) 0 0

1 1

2 2

0 0 00 0

0 0 0

a a

a a

a a

V ZV E Z IV Z

⎡ ⎤ ⎡⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣

0

1

2

a

I

I

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

2

2

onde são os componentes simétricos de seqüência zero, positiva e negativa,

respectivamente, da tensão da fase a, é a tensão em vazio da fase a, são as

impedâncias de seqüência zero, positiva e negativa, respectivamente, do gerador,

são os componentes simétricos de seqüência zero, positiva e negativa, respectivamente,

da corrente da fase a.

0 1, e a a aV V V

aE 0 1, e Z Z Z

0 1, ea aI I

2aI


Faltas Assimétricas Prof. Luciano V. Barboza

3.2.1. Falta entre Fase e Terra

O circuito para uma falta fase-terra em um gerador em vazio ligado em Y, com seu neu-

tro aterrado através de uma reatância, é mostrado na Figura 3.1, onde a falta ocorre na fa-

se a.

Figura 3.1. Diagrama para uma falta fase-terra em um gerador em vazio.

As condições na falta são

(3.2) 0 0 0b cI I V= = a =

Os componentes simétricos da corrente na fase a são

0

21

22

1 1 11 13

01

a a

a

a c

I II a a II Ia a

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣

0b

⎤⎥⎥= ⎥⎥⎦⎣ ⎦

(3.3)

o que resulta em

1 2 013a a aI I I= = = aI (3.4)

Para que os três componentes simétricos da corrente na fase a sejam iguais, os circuitos

de seqüência do gerador devem ser conectados em série, como mostra a Figura 3.2.



Figura 3.2. Conexão das redes de seqüência de um gerador em vazio para uma falta fase-terra.

Da Figura 3.2, tem-se que

1 2 01 2

aa a a

EI I IZ Z Z

= = =+ + 0

0

(3.5)

Se o neutro do gerador não estiver aterrado, a rede de seqüência zero estará aberta e

será infinita. Assim, as correntes serão nulas e, portanto, a corrente na fase a

será zero. Esta mesma conclusão pode ser obtida analisando o circuito da Figura 3.1. Note

que se não há ligação entre a terra e o neutro do gerador, não existe caminho para a cor-

rente na falta.

0Z

1 2, e a a aI I I

Exemplo 3.1: Um gerador tem valores nominais de 20 MVA, 13,8 kV e uma reatância sub-

transitória de eixo direto de 0,25 pu. As reatâncias de seqüência negativa e zero são, res-

pectivamente, 0,35 e 0,10 pu. O neutro do gerador está solidamente aterrado. Calcule a

corrente subtransitória no gerador e as tensões de linha em condições subtransitórias quan-

do ocorre uma falta fase-terra nos terminais do gerador, quando este está operando sem

carga com tensão nominal.



3.2.2. Falta entre Fase e Fase

O circuito para uma falta fase-fase em um gerador ligado em Y, com aterramento, sem

carga é mostrado na Figura 3.3. As fases em falta são b e c.

Figura 3.3. Diagrama para uma falta fase-fase em um gerador em vazio.

As condições para a falta são

(3.6) 0 b c a cV V I I I= = b= −

Os componentes simétricos da tensão na fase a são

0

21

22

1 1 11 13

1

a a

a

a c

V VV a a VV Va a

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣

b

bV

⎤⎥⎥⎥⎥⎦⎣ ⎦

(3.7)

resultando em 1 2.a aV V=

Para os componentes simétricos da corrente na fase a, tem-se

0

21

22

1 1 1 01 13

1

a a

a

a c

I II a a II Ia a

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ = −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣

b

bI

⎤⎥⎥⎥⎥⎦⎣ ⎦

(3.8)



o que fornece 0 20 e .a aI I= = − 1aI

2a

Havendo conexão entre o neutro do gerador e a terra, será finito, e assim 0Z

(3.9) 0 0 0 0a aV Z I= − =

Com igual à zero, a rede de seqüência zero está em curto-circuito e, portanto, não

influi na falta, não sendo usada. Com iguais e com igual a deve-se co-

nectar as redes de seqüência positiva e negativa em paralelo, conforme mostra a Figura 3.4.

0aV

1 e aV V 1aI 2,aI−

Figura 3.4. Conexão das redes de seqüência de um gerador em vazio para uma falta fase-fase.

Da figura 3.4, tem-se que

11 2

aa

EIZ Z

=+

(3.10)

Como a falta não envolve a terra, não existe corrente para a terra. Na dedução das

equações, encontrou-se Este resultado confirma o fato de não haver corrente no

neutro, pois a corrente é igual a

0 0.aI =

nI 03 .aI

Exemplo 3.2: Calcule as correntes e as tensões de linha subtransitórias na falta quando

ocorre uma falta fase-fase os terminais do gerador do Exemplo 3.1. O gerador está em va-

zio e operando com tensão nominal quando a falta ocorre.



3.2.3. Falta entre Duas Fases e Terra

A Figura 3.5 mostra o circuito para uma falta entre duas fases e terra em um gerador li-

gado em Y e em vazio, com o neutro aterrado. As fases em falta são b e c.

Figura 3.5. Diagrama para uma falta fase-fase-terra em um gerador em vazio.

As condições na falta são

(3.11) 0 0 0b cV V I= = a =

Os componentes simétricos da tensão na fase a são

0

21

22

1 1 11 13

01

a a

a

a c

V VV a a VV Va a

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣

0b

⎤⎥⎥= ⎥⎥⎦⎣ ⎦

(3.12)

o que fornece

1 2 013a a aV V V V= = = a (3.13)

Para que os três componentes simétricos da tensão na fase a sejam iguais, os circuitos de

seqüência do gerador devem ser conectados em paralelo, como mostra a Figura 3.6.



Ea

Z1Ia1

Va1 Z2Ia2

Va2

3Zn

Ia0

Va0

Zg0

Z0

Figura 3.6. Conexão das redes de seqüência de um gerador em vazio para uma falta fase-fase e terra.

Da Figura 3.6, pode-se escrever que

12 0

12 0

aa

EI Z ZZZ Z

=⋅

++

(3.14)

O esquema de conexão das redes de seqüência mostra que a corrente de seqüência posi-

tiva é determinada pela tensão aplicada em em série com a combinação em pa-

ralelo de

1aI aE 1Z

2 0 e .Z Z

Na ausência de uma conexão com a terra no gerador, nenhuma corrente flui para a terra

na falta. Neste caso, é infinita e é nula. Do ponto de vista da corrente, o resultado

é o mesmo de uma falta fase-fase. A equação X(3.14)X, para uma falta fase-fase e terra, tende

à equação X(3.10)X, para uma falta fase-fase, quando tende para o infinito.

0Z 0aI

0Z

Exemplo 3.3: Calcule as correntes e tensões de linha subtransitória na falta quando ocorre

um curto-circuito entre duas fases e terra nos terminais do gerador do Exemplo 3.1. O ge-

rador estava operando em vazio e com tensão nominal quando a falta ocorre.

3.3. Faltas Assimétricas em Sistemas de Potência

A Figura 3.7 mostra os três condutores do sistema trifásico na parte da rede onde ocorre

a falta. As correntes são as correntes que saem do sistema originalmente equili-

brado para a falta, através de fios hipotéticos.

, e a bI I Ic



a

c

b

Ia

Ic

Ib

Figura 3.7. Três condutores do sistema trifásico.

As tensões de fase no local da falta serão designadas por A tensão de fase

da fase a antes da ocorrência da falta, no local da falta, será chamada

, e .a b cV V V

,fV que é uma ten-

são de seqüência positiva porque o sistema está equilibrado antes da ocorrência da falta.

Como as redes de seqüência são circuitos lineares, cada uma delas pode ser substituída

pelo seu equivalente Thèvenin entre a barra de referência e o ponto de falta. A fem do úni-

co gerador no circuito equivalente de Thèvenin de seqüência positiva é ,fV a tensão de fase

pré-falta no ponto de falta. A impedância do circuito equivalente é a impedância entre

o ponto de falta e a barra de referência na rede de seqüência positiva, com todas as fem

curto-circuitadas. Analogamente, as impedâncias são as impedâncias entre o ponto

de falta e a barra de referência nas redes de seqüência negativa e zero, respectivamente.

1Z

2 e Z Z 0

Dessa forma, a equação matricial para os componentes simétricos da tensão de falta na

fase a é semelhante àquela para geradores em vazio, equação X(3.1)X, exceto com a substitui-

ção de por aE .fV

(3.15) 0 0

1 1

2 2

0 0 00 0

0 0 0

a a

a f

a a

V ZV V Z IV Z

⎡ ⎤ ⎡⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣

0

1

2

a

I

I

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

0

onde correspondem às impedâncias de Thèvenin entre o ponto de falta e a

barra de referência.

1 2, e Z Z Z



3.3.1. Falta entre Fase e Terra

Para uma falta fase-terra, os fios hipotéticos do sistema elétrico são conectados como

mostra a Figura 3.8.

a

c

b

Ia

Ic

Ib

Figura 3.8. Diagrama de ligação dos fios hipotéticos para uma falta fase-terra.

As relações existentes nesta falta são

(3.16) 0 0 0b cI I V= = a =

Estas relações são as mesmas que se aplicaram à falta fase-terra em um gerador em va-

zio. Assim, as relações para os componentes simétricos da corrente na fase a devem ser os

mesmos, exceto pela troca de por aE fV e os equivalentes Thèvenin de seqüência positiva,

negativa e zero também devem ser interligados em série.

1 2 0

11 2

a a a

fa

I I I

VI

Z Z Z

= =

=+ + 0

(3.17)

3.3.2. Falta entre Fase e Fase

Para uma falta entre fase e fase, os fios hipotéticos das três linhas na falta são conecta-

dos como é mostrado na Figura 3.9.



a

c

b

Ia

Ic

Ib

Figura 3.9. Diagrama de ligação dos fios hipotéticos para uma falta fase-fase.

As relações existentes neste tipo de falta são

(3.18) 0 b c a cV V I I I= = b= −

As relações anteriores são idênticas, em forma, àquelas que se aplicam a uma falta fase-

fase em um gerador em vazio. Dessa forma, os equivalentes Thèvenin das redes de seqüên-

cia positiva e negativa devem ser conectados em paralelo e a rede de seqüência zero não

participa da falta. As relações matemáticas para a falta são

1 2

11 2

a a

fa

V V

VI

Z Z

=

=+

(3.19)

3.3.3. Falta entre Duas Fases e Terra

Para uma falta entre duas fases e terra, os fios são conectados como mostra a Figura

3.10.



Figura 3.10. Diagrama de ligação dos fios hipotéticos para uma falta fase-fase e terra.

As relações na falta são

(3.20) 0 0 0b cV V I= = a =

Por comparação com a dedução realizada na Seção 3.2.3, tem-se

1 2 0

12 0

12 0

a a a

fa

V V V

VI Z ZZ

Z Z

= =

=⋅

++

(3.21)

As equações X(3.20)X e X(3.21)X indicam que os equivalentes Thèvenin das redes de seqüên-

cia positiva, negativa e zero devem ser conectados em paralelo no ponto de falta para si-

mular uma falta entre duas fases e terra.

3.4. Interpretação das Redes de Seqüência Interconectadas

Nas seções anteriores, viu-se que as redes de seqüência de um sistema elétrico podem ser

interconectadas de modo que a solução da rede resultante forneça os componentes simétri-

cos das correntes e tensões na falta. Na Figura 3.11 são mostradas as conexões das redes de

seqüência para simular os diferentes tipos de falta, inclusive a falta trifásica simétrica. As

redes de seqüência estão indicadas por um retângulo em cujo interior há uma linha grossa

que representa a barra de referência e um ponto P que indica o ponto de falta. A rede de



seqüência positiva é a única que contém fem que representam as tensões internas das má-

quinas.

Falta trifásica

Falta fase-fase

Falta fase-terra

Falta fase-fase e terra

Figura 3.11. Conexões das redes de seqüência para simular os diferentes tipos de falta.

O circuito de Thèvenin entre a barra de referência e o ponto de falta para a rede de se-

qüência positiva é equivalente somente em efeito à rede original de seqüência positiva. No

circuito equivalente não há correntes circulando anteriormente a ocorrência da falta. Entre-

tanto, na rede original de seqüência positiva, se houver diferença de fase ou de amplitude

entre as fem, haverá corrente circulando antes da falta. Esta corrente é a corrente de carga

pré-falta. Dessa forma, para uma determinação mais correta das correntes de seqüência po-

sitiva no sistema original, deve-se incluir a componente de corrente pré-falta à corrente du-

rante a falta.

Exemplo 3.4: Um grupo de motores síncronos idênticos é conectado através de um trans-

formador a uma barra de 4,16 kV em local afastado das usinas geradoras de um sistema de

potência. Os motores são de 600 V e operam com rendimento de 89,5% quando em plena



carga com fator de potência unitário e tensão nominal. A soma de suas potências de saída

é de 4.476 kW (6.000 HP). As reatâncias em pu do motor equivalente, com base em seus

próprios kVA nominais de entrada, são e está

aterrado através de uma reatância de 0,02 pu. Os motores estão conectados ao barramento

de 4,16 kV através de um banco de transformadores composto de três unidades monofási-

cas, cada uma com 2.400 / 600 V, 2.500 kVA. Os enrolamentos de 600 V são ligados em Δ

e os enrolamentos de 2.400 V são conectados em Y. A reatância de dispersão de cada

transformador é de 10%.

2 00,2 pu, 0,2 pu e 0,04 puX X X′′ = = =

O sistema de potência que fornece os 4,16 kV para o barramento é representado por um

gerador equivalente de Thèvenin de 7.500 kVA, 4,16 kV, com reatâncias de

entre neutro e terra igual à 0,05 pu. 2 00,1 pu, 0,05 pu e nX X X X′′ = = =

Cada um dos motores idênticos está alimentando uma parcela igual de uma carga total

de 3.730 kW (5.000 HP) e está operando com tensão nominal, com fator de potência de

85% atrasado e com rendimento de 88%, quando ocorre uma falta fase-terra no lado de

baixa tensão do banco de transformadores. Considere o grupo de motores como um único

motor equivalente. Calcule as correntes subtransitórias de linha em todas as partes do sis-

tema de energia. O diagrama unifilar do sistema elétrico está mostrado na Figura 3.12 e o

esquema de ligação do transformador, na Figura 3.13.


Figura 3.13. Ligação do banco de transformadores

do Exemplo 3.4.



3.5. Análise de Faltas Assimétricas Usando a Matriz Impedância de Barra

No Capítulo 1, usamos a matriz impedância de barras para determinar as correntes e

tensões na ocorrência de uma falta trifásica. O método pode facilmente ser estendido a fal-

tas assimétricas, notando que as redes de seqüência positiva, negativa e zero podem ser re-

presentadas por redes equivalentes de impedâncias de barras.

Assim, para uma falta fase-terra na barra 3 de um sistema hipotético tem-se

1 2

133 33 33

fa

VI

Z Z Z=

+ +0

0

(3.22)

onde são as impedâncias próprias da barra 3 de seqüência positiva, nega-

tiva e zero, respectivamente. As admitâncias de transferência permitem calcular as tensões

nas outras barras do sistema elétrico, com as quais se podem determinar as correntes de li-

nha.

1 233 33 33, e Z Z Z

Exemplo 3.5: Calcule as correntes subtransitórias para uma falta fase-terra, primeiro na

barra 1 e depois na barra 2, no sistema elétrico do Exemplo 3.4. Use a matriz impedância

de barra e calcule também a tensão na barra 2 com a barra 1 em falta.




3.1. Os valores nominais de um gerador de 60 Hz são 500 MVA, 22 kV. Ele é conectado

em Y, solidamente aterrado e está operando em vazio com tensão nominal. Ele está

isolado do restante do sistema. Suas reatâncias são

Calcule: 2 0,15 pu eX X′′ = =

0 0,05 pu.X =

a) a corrente subtransitória de linha para uma falta trifásica;

b) a corrente subtransitória de linha para uma falta fase-terra;

c) a corrente subtransitória de linha para uma falta entre duas fases;

d) a corrente subtransitória de linha para uma falta entre duas fases e terra.

3.2. Calcule o valor da reatância indutiva em Ω que deve ser inserida no aterramento do

neutro do gerador do Exercício 3.1 para limitar a corrente subtransitória de linha pa-

ra uma falta fase-terra ao valor da corrente para uma falta trifásica.

3.3. Com a reatância indutiva obtida no Exercício 3.2 inserida no neutro do gerador do

Problema 3.1, calcule as correntes subtransitórias de linha para:

a) uma falta fase-terra;

b) uma falta entre duas fases;

c) uma falta fase-fase e terra.

3.4. Qual o valor da resistência em Ω que conectada o neutro do gerador do Exercício 3.1

limita a corrente subtransitória de linha para uma falta fase-terra ao valor obtido pa-

ra a falta trifásica?

3.5. Um gerador de 100 MVA, 18 kV, tendo está para ser

conectado a um sistema de potência. O gerador possui um reator limitante de corren-

te de 0,162 Ω no neutro. Antes de ser conectado ao sistema, sua tensão é ajustada pa-

ra 16 kV quando ocorre uma falta fase-fase-terra nos terminais b e c. Calcule o valor

eficaz da corrente simétrica inicial para a terra na linha b.

2 020% e 5%,X X X′′ = = =



3.6. As reatâncias de um gerador de 100 MVA, 20 kV são O

gerador está conectado a um transformador Δ−Y de 100 MVA, 20Δ − 230Y kV, com

uma reatância de 10%. O neutro do transformador está solidamente aterrado. Quan-

do a tensão terminal do gerador é de 20 kV, ocorre no transformador uma falta fase-

terra no lado de alta tensão que estava aberto. Determine o valor eficaz inicial das

correntes simétricas em todas as fases do gerador. A conexão do transformador está

apresentada na Figura 3.14.

2 020% e 5%.X X X′′ = = =

Figura 3.14. Ligação do trafo do Problema 3.6.

Figura 3.15. Ligação do trafo do Problema 3.7.

3.7. Um gerador alimenta um motor através de um transformador Y−Δ. O gerador está

conectado ao lado Y do transformador. Ocorre uma falta entre os terminais do motor

e do transformador. Os componentes simétricos da corrente subtransitória do motor

para a falta são Os compo-

nentes simétricos da corrente do transformador para a falta são

Suponha para o motor e

para o gerador. Descreva o tipo de falta. A ligação do transformador está mostrada

na Figura 3.15. Calcule:

1 2 0( 0,8 2,6) pu, 2,0 pu e 3,0 pu.a a aI j I j I j= − − = − = −

1 2( 0,8 0,4) pu, 1,0 pu e 0.a aI j I j I= − − = − =0a 2X X′′ =

a) a corrente antes da falta, se existe, na linha a;

b) a corrente subtransitória, em pu, na falta;

c) a corrente subtransitória, em pu, em cada fase do gerador.

3.8. Calcule as correntes subtransitórias em todas as partes do sistema do Exemplo 3.4,

desprezando a corrente antes da falta e supondo uma falta fase-fase no lado de baixa

tensão do transformador.

3.9. Repita o Exercício 3.8 para uma falta fase-fase-terra.



3.10. Dois geradores são conectados através dos transformadores a um

barramento de alta tensão que alimenta uma linha de transmissão. A linha está em

aberto no extremo distante dos transformadores, no qual ocorre uma falta. A tensão

pré-falta no ponto de falta é de 515 kV. Os valores nominais e as reatâncias dos equi-

pamentos são:

1 e G G2 21 e T T

GB 1B

: 1.000 MVA, 20 kV, XB SB

= 100%, 2 010% e 5%X X X′′ = = =

GB 2B

: 800 MVA, 22 kV, XB SB

= 120%, 2 015% e 8%X X X′′ = = =

TB 1B

: 1.000 MVA, 500Y / 20Δ kV, 17,5%X =

TB 2B

: 800 MVA, 500Y / 22Y kV, 16%X =

Linha: na base de 1.500 MVA, 500 kV 1 2 215%, 40%X X X= = =

O neutro do gerador 1 está aterrado através de uma reatância de 0,04 Ω. O neutro de

não está aterrado. Os neutros de todos os transformadores estão solidamente ater-

rados. Usando uma base de 1.000 MVA, 500 kV na linha de transmissão e desprezan-

do a corrente pré-falta, determine a corrente subtransitória no gerador

2G

1:G

a) na fase c para uma falta trifásica;

b) na fase b uma falta fase-fase nas linhas B e C;

c) na fase a para uma falta fase-fase-terra nas linhas B e C;

d) na fase c para uma falta fase-terra na linha A.

O esquema de ligação do transformador 1 está mostrado na Figura 3.16.

Figura 3.16. Conexão do transformador 1 para o Exercício 3.10.


IV. ESTABILIDADE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA

4.1. Aspectos Gerais

Quando os geradores CA eram acionados por máquinas a vapor, um dos principais pro-

blemas na operação do sistema era o das oscilações. As variações periódicas no conjugado

aplicado ao gerador causavam variações periódicas na velocidade. As variações resultantes

de tensão e freqüência eram transmitidas aos motores conectados ao sistema. As oscilações

nos motores, causadas pelas variações de tensão e freqüência, algumas vezes causavam a

inteira perda de sincronismo dos motores se as suas freqüências naturais de oscilação coin-

cidissem com a freqüência de oscilação causada pelas máquinas que acionavam os gerado-

res. O uso de turbinas reduziu o problema das oscilações, embora ainda esteja presente

quando a máquina primária é uma máquina diesel. A conservação do sincronismo das vá-

rias partes de um sistema de potência torna-se cada vez mais difícil à medida que os siste-

mas e interligações entre sistemas crescem.

Em estudos de estabilidade, um conceito importante é o de barra infinita. Um bar-

ramento infinito, para fins de estudo de estabilidade, pode ser considerado como uma barra

na qual está localizada uma máquina de tensão interna constante, tendo impedância zero e

inércia infinita. O ponto de conexão de um gerador a um sistema de grande porte pode ser

considerado como tal barra.

4.2. O Problema da Estabilidade

A estabilidade de um sistema de potência pode ser definida como a propriedade do sis-

tema que permite as máquinas síncronas desse sistema responder a um distúrbio, a partir

de uma condição normal de operação, de modo a retornarem a uma condição de operação

novamente normal. Os estudos de estabilidade são classificados em três tipos, dependendo

da natureza e ordem de grandeza do distúrbio: estabilidade transitória, estabilidade dinâ-

mica e estabilidade em regime permanente.

Os estudos de estabilidade transitória constituem a principal metodologia analítica para

estudos do comportamento dinâmico-eletromecânico do sistema. Estes estudos indicam se o


Estabilidade de Sistemas de Potência Prof. Luciano V. Barboza

sistema permanecerá em sincronismo após distúrbios significativos, tais como faltas no sis-

tema de transmissão, variações rápidas de demanda ou perdas de unidades geradoras. Uma

analogia mecânica para o problema da estabilidade transitória pode ser visto na Figura 4.1.

Um determinado número de massas representando as máquinas síncronas é interconectado

por fios de elástico representando as linhas de transmissão. Estando o sistema em repouso

em uma determinada posição, suponha que um dos elásticos seja cortado representando a

perda de uma linha de transmissão. Como resultado, as massas ficarão sujeitas a oscilações

transitórias e as forças atuantes no sistema variam em intensidade. O sistema então se des-

locará para uma outra posição de repouso ou, devido à nova configuração de forças, mais

alguns elásticos podem se romper representado um colapso na rede. Assim, para uma de-

terminada perturbação, deseja-se saber se o sistema possui estabilidade transitória ou se ele

fica instável.

Figura 4.1. Análogo mecânico da estabilidade transitória em sistemas de potência.

Os estudos de estabilidade dinâmica e em regime permanente são menos extensivos e

envolvem uma ou algumas poucas máquinas que sofrem variações lentas ou graduais nas

condições de operação. A distinção entre os estudos de estabilidade dinâmica e em regime

permanente é, na realidade, artificial visto que os problemas são os mesmos em natureza,

diferem somente no grau de detalhamento das máquinas. Em estudos dinâmicos, o sistema

de excitação e o sistema turbina-regulador são representados em conjunto com modelos de

máquinas síncronas que provêm às variações de enlace de fluxo no entreferro da máquina.

Problemas de estabilidade em regime permanente usam um modelo simples do gerador que

é modelado como uma fonte de tensão constante.

Estudos de estabilidade transitória são mais comumente empregados por refletirem a sua

grande importância na prática. Estes problemas envolvem grandes perturbações que não

permitem procedimentos de linearização e as equações algébrico-diferenciais devem ser re-

solvidas por métodos diretos ou procedimentos numéricos.



Em todos os estudos de estabilidade, o objetivo é determinar se os rotores das máquinas,

sendo perturbados, retornam ou não à operação com velocidade constante. Isto, portanto,

significa que as velocidades dos rotores se desviam temporariamente da velocidade síncro-

na.

4.3. Dinâmica do Rotor e Equação de Oscilação

A equação que descreve o movimento do rotor de um gerador síncrono está baseada no

princípio da dinâmica (2ª lei de Newton): o torque de aceleração é igual ao produto do

momento de inércia do rotor pela sua aceleração angular. Matematicamente, tem-se

2

2m

a mdJ T Tdtθ

= = − eT

m

(4.1)

onde J é o momento de inércia total das massas do rotor, em kg.mP

2P;

é a posição angular do rotor em relação a um eixo estacionário, em rad; mθ

t é o tempo, em segundos;

é o torque mecânico aplicado ao gerador pela máquina primária, em N.m; mT

é o torque elétrico resultante, em N.m; eT

é o torque de aceleração resultante, em N.m. aT

O ângulo é uma medida absoluta do ângulo do rotor visto que é medido em relação

a um eixo de referência estacionário sobre o rotor. Conseqüentemente, cresce continuamen-

te com o tempo e com velocidade síncrona constante. Dessa forma, pode-se medir a posição

angular do rotor em relação a um eixo de referência que gira em velocidade síncrona. Por-

tanto,

mθ

(4.2) sincm m tθ ω δ= +

onde é a velocidade síncrona da máquina, em rad/s; sincmω



é a posição angular do rotor em relação a um eixo de referência girando na velo-

cidade síncrona, em rad.

mδ

As derivadas da equação X(4.2)X em relação ao tempo fornecem

sinc

mm

ddt dtθ

ω= + mdδ (4.3)

2 2

2md d

dt dtθ

= 2mδ

t

t t

(4.4)

A equação X(4.3)X indica que a velocidade angular do rotor é constante e igual à

velocidade síncrona somente quando é zero. Portanto, o termo representa

o desvio de sincronismo da velocidade do rotor. Por outro lado, a equação X(4.4)X representa

a aceleração do rotor.

/md dθ

/md dδ /md dδ

Substituindo a equação X(4.4)X na equação X(4.1)X, obtém-se

2

2m

a mdJ T Tdtδ

= = − eT (4.5)

Multiplicando a equação X(4.5)X por obtém-se ,mω

2

2m

m a m m mdJ T Tdtδ

ω ω ω= = − e mT ω (4.6)

Recordando que o termo é o momento angular do rotor (M) e que potência é igual

ao produto do torque pela velocidade angular, a equação X(4.6)X transforma-se em

mJω

2

2m

a mdM P Pdtδ

= = − eP (4.7)

onde é a potência mecânica de entrada no eixo da máquina menos as perdas rotacio-

nais;

mP



é a potência elétrica de saída do gerador mais as perdas elétricas; eP

é a potência de aceleração do rotor que leva em conta a diferença entre aP e .m eP P

Normalmente, desprezam-se as perdas rotacionais e perdas por efeito Joule na armadu-

ra, de modo que se considera como a potência mecânica suprida pela máquina primária

e como a potência elétrica de saída.

mP

eP

Em dados de geradores síncronos, um parâmetro relacionado à estabilidade é a constan-

te H, que é definida como

1energia cinética armazenada na velocidade síncrona 2

potência nominal da máquinasincm

nom

MH

S

ω= = (4.8)

onde é a potência nominal da máquina, em MVA; nomS

H é expresso em MJ/MVA ou pu-s.

A Tabela 4.1 apresenta valores típicos para a constante H.

Tabela 4.1. Constantes H típicas de máquinas síncronas.

Tipo de máquina Constante H (MJ/MVA)

Gerador turbinado: Condensado 1800 rpm 1300 rpm Não condensado 3600 rpm Gerador roda d’água: Baixa velocidade Alta velocidade Condensador síncrono: Grande Pequeno Motor síncrono com carga

6 – 9 4 – 7 3 – 4

2 – 3 2 – 4

1,25 1,00 1 – 5

Resolvendo para M a equação X(4.8)X, obtém-se

2

sinc

nom

m

HSMω

= (4.9)



Substituindo a equação X(4.9)X na equação X(4.7)X, tem-se

2 2

2 22 2 ou

sinc sinc

nom m m a m ea m e

m m

HS d d P P PHP P PS S Sdt dt

δ δω ω

= = − = = −nom nom nom

(4.10)

ou simplesmente

2

22

sinc

ma m

m

dH P P Pdtδ

ω= = − e

e

(4.11)

observando que na equação X(4.11)X, os valores de estão expressos em pu. , e a mP P P

Para um gerador com P pólos, a relação entre as grandezas elétricas e mecânicas é

e 2 2 sincm sincP

δ δ ω ω= mP

= (4.12)

Substituindo as equações X(4.12)X na equação X(4.11)X, tem-se

2

22

a msinc

H d P P Pdtδ

ω= = − e (4.13)

A equação X(4.13)X, equação de oscilação da máquina, é a equação que descreve as dinâ-

micas rotacionais das máquinas síncronas em estudos de estabilidade transitória. É uma

equação diferencial de segunda ordem, que pode ser escrita como duas equações diferenciais

de primeira ordem

( )

2sinc

m e

sinc

d P Pdt H

ddt

ωω

δω ω

⎧⎪⎪ = −⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪ = −⎪⎪⎩

(4.14)

Quando a equação de oscilação é resolvida, obtém-se δ como uma função do tempo. Este



gráfico é chamado de curva de oscilação da máquina e a análise das curvas de oscilação de

todas as máquinas do sistema indicam se as mesmas permanecem em sincronismo após a

ocorrência de um distúrbio.

Os MVA usados na equação X(4.8)X correspondem ao valor nominal da máquina. Em um

estudo de estabilidade de um sistema de potência com muitas máquinas síncronas, somente

um MVA é escolhido como base para todo o sistema. Como o lado direito da equação de

oscilação está expresso em pu, o lado esquerdo desta equação também deve estar em pu na

base correta. Para corrigir o valor de H para a base correta de potência, utiliza-se a relação

sist

maqcorrig maq

base

SH H

S= (4.15)

onde o subíndice maq indica os dados nominais da máquina e é a potência base es-

colhida para o sistema.

sistbaseS

Exemplo 4.1: Duas unidades geradoras de 60 Hz operam em paralelo em uma usina e pos-

suem os seguintes valores nominais:

Unidade 1: 500 MVA, 0,85 ,fp a= tr 20 kV, 3.600 rpm, 1 4,8 MJ/MVAH =

Unidade 2: 1.000 MVA, 0,9 ,fp a= tr 22 kV, 1.800 rpm, 2 3,2 MJ/MVA.H =

Determine a equação de oscilação da usina considerando que as duas unidades oscilem jun-

tas e em uma base de 100 MVA.

4.4. Equação Potência-Ângulo

Na equação de oscilação para o gerador, a potência mecânica de entrada fornecida pela

máquina primária é considerada constante. Esta consideração é razoável, pois aguar-

dam-se modificações nas condições da rede elétrica antes que as ações de controle possam

causar reação da turbina. Como na equação X(4.13)X é constante, a potência elétrica de

saída determina as condições para que o rotor acelere, desacelere ou permaneça na velo-

cidade síncrona. Quando iguala-se a a máquina opera na velocidade síncrona em

mP

mP

eP

eP ,mP



regime permanente; quando muda deste valor, o rotor desvia-se da velocidade síncrona.

Mudanças em são determinadas por modificações na rede de transmissão e cargas do

sistema para o qual o gerador fornece potência. Distúrbios na rede elétrica resultante de

variações severas de carga, faltas na rede ou operação de disjuntores podem causar varia-

ções rápidas à potência de saída do gerador e, neste caso, existem transitórios eletrome-

cânicos. A máquina é representada, para fins de estudo de estabilidade transitória, pela sua

tensão interna E em série com a reatância transitória como mostrado na Figura

4.2(a), na qual é a tensão terminal. A Figura 4.2(b) mostra o diagrama fasorial aplicá-

vel à Figura 4.2(a). Como cada máquina deve ser considerada em relação ao sistema do

qual faz parte, os ângulos fasoriais das variáveis das máquinas são medidos com respeito à

referência comum do sistema.

eP

eP

eP

′ ,dX ′

tV

E ′

djX ′

(a)

E ′

djX I′

(b)

Figura 4.2. Diagrama fasorial de uma máquina síncrona para estudos de estabilidade transitória.

A Figura 4.3 representa esquematicamente um gerador, na barra 1, suprindo potência

através de um sistema de transmissão ao receptor, no barramento 2. O retângulo represen-

ta o sistema de transmissão composto por transformadores, linhas de transmissão, capaci-

tores e inclusive as reatâncias transitórias do gerador e do receptor. A tensão represen-

ta a tensão transitória interna do gerador. A tensão no receptor é a de um barramento

infinito ou a tensão transitória interna de um motor síncrono, cuja reatância transitória es-

tá incluída na rede.

1E ′

2E ′

1E ′ 2E ′

Figura 4.3. Diagrama esquemático para estudos de estabilidade. As reatâncias transitórias associadas

ao gerador e ao receptor estão incluídas na rede de transmissão.



A matriz admitância de barra para a rede é

11 12

21 22barra

Y YY Y⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Y (4.16)

Do curso de Sistemas de Potência I, sabe-se que

(4.17) 1

nb

k k k k k k km mm

S P jQ E I E Y E∗

∗

=

= + = =⎛ ⎞⎜⎝ ⎠∑ ⎟

na qual fazendo-se k e m iguais a 1 e 2, respectivamente, pode-se reescrevê-la como

1 1 1 11 1 1 12 2( ) ( )P jQ E Y E E Y E∗′ ′ ′ ′+ = + ∗ (4.18)

Por outro lado, tem-se que

1 1 1 2 2 2

11 11 11 12 12 12

E E E E

Y G jB Y Y

δ δ

θ

′ ′ ′ ′= ∠ = ∠

= + = ∠ (4.19)

que substituindo na equação X(4.18)X, fornece para a potência ativa

21 1 11 1 2 12 1 2 12cos( )P E G E E Y δ δ θ′ ′ ′= + − − (4.20)

Fazendo

1 2 12 e 2π

δ δ δ γ θ= − = − (4.21)

e substituindo as equações X(4.21)X na equação X(4.20)X, obtém-se

21 1 11 1 2 12 sen( )P E G E E Y δ γ′ ′ ′= + − (4.22)



A equação X(4.22)X pode ser reescrita de uma forma mais simples como

(4.23) sen( )e c maxP P P δ γ= + −

onde foi substituído por pois é a potência elétrica de saída do gerador e 1P eP 1P

21 11 1 2 12 e c maxP E G P E E Y′= = ′ ′ (4.24)

A equação X(4.23)X é conhecida como equação potência-ângulo. O gráfico da equação

X(4.23)X em função de δ é conhecido como curva potência-ângulo. Os valores são

constantes para uma determinada configuração da rede elétrica e magnitudes de tensões

constantes

, e c maxP P γ

1 2 e .E E′ ′

Quando a rede é considerada sem resistência, todos os elementos de são suscep-

tâncias e, portanto, tanto como γ são zero. A equação potência-ângulo em uma rede

puramente reativa é

barraY

11G

1 21 2 12

12sen sen sene max

E EP P E E Y

Xδ δ

′ ′′ ′= = = δ (4.25)

onde é a reatância de transferência entre as tensões 12X 1 2e .E E′ ′

Exemplo 4.2: O diagrama unifilar da Figura 4.4 mostra um gerador de 60 Hz, cuja cons-

tante H vale 5 MJ/MVA, conectado através de uma linha de transmissão paralela a um

grande sistema metropolitano considerado como uma barra infinita. A máquina está forne-

cendo 1,0 pu de potência e tanto a tensão terminal como a tensão na barra infinita são

1,0 pu. Os valores no diagrama indicam os valores das reatâncias em pu em uma base co-

mum ao sistema. A reatância transitória do gerador é 0,20 pu. Determine a equação potên-

cia-ângulo para o sistema nas condições de operação e a equação de oscilação para o gera-

dor.



0,2dX j′ =

Figura 4.4. Diagrama unifilar para o Exemplo 4.2. O ponto P está no centro da linha.

Exemplo 4.3: O sistema do Exemplo 4.2 está operando nas condições indicadas quando

uma falta trifásica ocorre no ponto P (meio da linha) mostrado na Figura 4.4. Determine a

equação potência-ângulo para o sistema nas condições de falta, a correspondente equação

de oscilação, a potência inicial de aceleração e a aceleração inicial do rotor.

Exemplo 4.4: A falta no sistema do Exemplo 4.3 é eliminada pela abertura simultânea dos

disjuntores nos terminais da linha afetada. Determine a equação potência-ângulo e a equa-

ção de oscilação para o período pós-falta.

4.5. Critério da Igualdade de Área para a Estabilidade

Considere o sistema mostrado na Figura 4.5. Inicialmente, o disjuntor A está fechado e

o disjuntor B aberto. Ocorre uma falta trifásica no ponto P e é eliminada pelo disjuntor A

após um curto período de tempo. Portanto, o sistema de transmissão permanece inalterado,

exceto durante a ocorrência da falta. O curto-circuito efetiva-se sobre o barramento e, por-

tanto, a potência elétrica de saída do gerador é zero até a falta ser eliminada.

Figura 4.5. Diagrama unifilar de um sistema elétrico para a análise do critério de área iguais.

As condições físicas antes, durante e após a falta podem ser mais bem compreendidas a

partir das curvas potência-ângulo das Figuras 4.6.



senmaxP δ

(a)

senmaxP δ

(b)

senmaxP δ

(c) Figuras 4.6. Curvas potência-ângulo para o gerador da Figura 4.5. As áreas são iguais às áreas

1 e A A2

3 4e .A A

Inicialmente, o gerador está operando na velocidade síncrona com um ângulo de rotor

e a potência mecânica de entrada igual à potência elétrica de saída como indicado

no ponto “a” da Figura 4.6(a). Quando a falta ocorre, no tempo a potência elétrica

de saída torna-se subitamente nula, enquanto a potência mecânica de entrada se mantém

inalterada, como indicado no ponto “b” na Figura 4.6(b). Isto resulta em uma potência de

aceleração igual a Chamando o tempo para a eliminação da falta de então para o

tempo t menor que a aceleração é constante e igual a

0δ

mP ,eP

0,t =

.mP ,ct

,ct

2

2 2sinc

md P

Hdtωδ

= (4.26)

Quando a falta está presente, a velocidade cresce acima da velocidade síncrona e, este

acréscimo, é obtido integrando a equação X(4.26)X, resultando em

0 2 2

tsinc sinc m

mPd P dt t

dt H Hω ωδ

= =∫ (4.27)

A posição angular do rotor é dada por

20

0 2 4

tsinc sinc m

mPP tdt t

H Hω ω

δ = =∫ δ+ (4.28)



A equação X(4.27)X indica que a velocidade do rotor, relativa à velocidade síncrona, au-

menta linearmente com o tempo quando o ângulo do rotor avança de para o ângulo de

abertura Na Figura 4.6(b), o ângulo δ vai do ponto “b” para o ponto “c”. No instante

de eliminação da falta, o aumento na velocidade do rotor e a abertura angular entre o ge-

rador e o barramento infinito são dados, respectivamente, por

0δ

.cδ

20( ) e

2sinc m sinc m

c c c cPd t t t

dt H Hω ωδ

δ= =4

Pδ+

2

4

2 4

(4.29)

Quando a falta é eliminada no ângulo a potência elétrica de saída abruptamente

aumenta para um valor correspondente ao ponto “d” sobre a curva potência-ângulo. Em

“d”, a potência elétrica de saída excede a potência mecânica de entrada e, portanto, a po-

tência de aceleração é negativa. Em conseqüência, o rotor diminui a velocidade à medida

que vai do ponto “d” para “e”, na Figura 4.6(c). No ponto “e”, a velocidade do rotor é

novamente a síncrona, embora o ângulo do rotor tenha avançado para O ângulo é

determinado com base no fato de que as áreas devem ser iguais (será explicado

adiante). A potência de aceleração em “e” é ainda negativa e, portanto, o rotor não pode

permanecer em velocidade síncrona, mas deve continuar a diminuir a velocidade. O ângulo

do rotor move-se, a partir de em “e’’, ao longo da curva potência-ângulo para o ponto

“a”, na Figura 4.6(c), onde a velocidade do rotor é menor do que a síncrona. Do ponto “a”

ao “f”, a potência mecânica excede a potência elétrica e a velocidade do rotor aumenta no-

vamente até alcançar o sincronismo em “f”. O ponto “f” está alocado de modo que as áreas

sejam iguais. Na ausência de amortecimento, o rotor iria continuar a oscilar na

seqüência “f−a−e”, “e−a−f”, ..., com velocidade síncrona ocorrendo nos pontos “e” e “f”.

,cδ

eP

.xδ xδ

1 e A A

xδ

3 e A A

A seguir será mostrado que as áreas na Figura 4.6(b), e na Figura

4.6(c), devem ser iguais. Em um sistema onde uma máquina oscila em relação a um bar-

ramento infinito, pode-se usar este princípio, chamado critério de igualdade de áreas, para

determinar a estabilidade do sistema nas condições transitórias sem resolver a equação de

oscilação. Embora não aplicável a sistemas multimáquinas, o método ajuda no entendimen-

to de como certos fatores influenciam na estabilidade transitória de um sistema.

1 e ,A A 3 e ,A A



A dedução do critério de igualdade de áreas é feita para um sistema composto de uma

máquina e um barramento infinito, embora também se aplique a um sistema de duas má-

quinas. A equação de oscilação para a máquina conectada ao barramento é

2

22

msinc

H d P Pdtδ

ω= − e (4.30)

A equação X(4.30)X pode ser reescrita como

2m

sinc

H d P Pdtω

ω= − e (4.31)

Multiplicando a equação X(4.31)X por e realizando-se simplificações,

tem-se

/ sincd dtδ ω ω= −

2 ( ) ( )sinc m esinc

H d P P dω ω ω δω

− = − (4.32)

A equação X(4.32)X pode ser integrada entre Figura 4.6(b), resultando em 0 e ,xδ δ

( ) ( )0

2 20( ) ( ) ( )

x

x sinc sinc m esinc

H P P dδ

δω δ ω ω δ ω δ

ω− − − = −⎡ ⎤

⎣ ⎦ ∫ (4.33)

Observe que, quando o ângulo δ vale a velocidade do rotor é a síncrona ( )

Assim, a equação X(4.33)X se reduz a

0 e ,xδ δ .sincω

0

( ) 0x

m eP P dδ

δδ− =∫ (4.34)

A integral acima pode ser realizada em duas etapas, isto é,



0 0

( ) ( ) ( ) 0x c x

cm e m e m eP P d P P d P P d

δ δ δ

δ δ δδ δ− = − + − =∫ ∫ ∫ δ (4.35)

A equação X(4.35)X pode ser reescrita como

0

( ) ( )c x

cm e m eP P d P P d

δ δ

δ δδ− = −∫ ∫ δ

4 4

3

(4.36)

A integral da esquerda aplica-se ao período de falta, enquanto a integral da direita é

adequada ao período imediatamente pós-falta, até o ponto de máxima oscilação Na Fi-

gura 4.6(b), é zero durante a falta. A área é dada pela expressão do lado esquerdo e

a área é a expressão do lado direito da equação X(4.36)X, portanto, as duas áreas

são iguais.

.xδ

eP 1A

2A 1 2e A A

Sendo a velocidade do rotor a síncrona em e também em na Figura 4.6(c), as

mesmas razões anteriores indicam que são também iguais. As áreas cor-

respondem ao aumento da energia cinética do rotor quando este está acelerando, enquanto

as áreas correspondem ao decréscimo de energia cinética do rotor quando este está

desacelerando. Portanto, o critério da igualdade de áreas especifica que a quantidade de

energia cinética adicionada ao rotor, que se segue a uma falta, deve ser removida após a

falta para restabelecer o rotor à velocidade síncrona.

xδ ,yδ

3 e A A 1 e A A

2 e A A

A área é dependente do tempo necessário para eliminar a falta. Se houver um atraso

na eliminação da falta, o ângulo aumenta, conseqüentemente, a área aumenta e o

critério da igualdade de áreas requer que a área também aumente para restabelecer o

rotor à velocidade síncrona, fazendo com que o ângulo de oscilação máximo também

aumente. Se o atraso na eliminação é retardado de modo que o ângulo do rotor oscile além

do ângulo na Figura 4.6, então a velocidade do rotor naquele ponto sobre a curva po-

tência-ângulo está acima da velocidade síncrona quando a potência de aceleração positiva é

novamente encontrada. Sob a influência desta potência de aceleração positiva, o ângulo

aumentará sem limite e resultará em instabilidade. Portanto, existe um ângulo crítico para

a eliminação da falta e que satisfaz o critério de igualdade de áreas para a estabilidade. Es-

te ângulo, chamado ângulo crítico de abertura e denotado por está indicado na Figura

1A

cδ 1A

2A

xδ

,maxδ

δ

,crδ



4.7. O tempo crítico para remover a falta é chamado tempo crítico de abertura, .crt

sene maxP P δ=

Figura 4.7. Curva ângulo-potência indicando o ângulo crítico de abertura

As áreas são iguais. .crδ

1 e A A2

0

Na Figura 4.7, o ângulo de abertura e o tempo crítico de abertura podem ser calculados

como segue. A área é 1A

0

1 ( )cr

m m crA P d Pδ

δδ δ= =∫ δ− (4.37)

e a área é 2A

2 ( sen ) (cos cos ) ( )max

crmax m max cr max m max crA P P d P P

δ

δδ δ δ δ δ= − = − −∫ δ− (4.38)

Igualando as equações X(4.37)X e X(4.38)X, obtém-se

0cos ( ) cosmcr max max

max

PP

δ δ δ= − + δ

0δ

(4.39)

Da curva potência- ângulo da Figura 4.7, tem-se que

(4.40) 0 e senmax m maxP Pδ π δ= − =

Substituindo as equações X(4.40)X na equação X(4.39)X, obtém-se para o ângulo crítico de

abertura



(4.41) 0 0arccos[( 2 )sen cos ]crδ π δ δ= − − 0δ

Este valor de pode ser substituído na equação X(4.29)X, o que permite determinar o

valor do tempo crítico de abertura como

crδ

04 ( )cr crsinc m

HtP

δ δω

= − (4.42)

Exemplo 4.5: Calcule o ângulo crítico de abertura e o tempo crítico de abertura para o sis-

tema da Figura 4.5 quando o sistema está sujeito a uma falta trifásica no ponto P da linha

de transmissão curta. As condições iniciais são as mesmas do Exemplo 4.2 e H vale

5 MJ/MVA.

4.6. Aplicações Adicionais ao Critério da Igualdade de Áreas

Embora o critério de igualdade de áreas possa ser aplicado somente ao caso de duas má-

quinas ou uma máquina e um barramento infinito, ele é muito útil para se entender o que

acontece quando uma falta ocorre.

Quando um gerador supre potência a um barramento infinito através de duas linhas de

transmissão em paralelo, a abertura de uma das linhas pode causar a perda de sincronismo

do gerador, embora a carga possa ser suprida pela linha não eliminada nas condições de re-

gime permanente. Se um curto-circuito trifásico ocorre no barramento ao qual as duas li-

nhas estão conectadas, nenhuma potência pode ser transmitida por qualquer das linhas.

Entretanto, se a falta é no terminal de uma das linhas, a abertura de disjuntores em ambas

as extremidades da linha isolará a falta no sistema e permitirá a potência fluir através da

outra linha. Quando uma falta trifásica ocorrer em algum ponto do circuito duplo das li-

nhas que não sejam os barramentos ou os extremos das linhas, existirá alguma impedância

entre os barramentos e a falta. Portanto, alguma potência é transmitida apesar da existên-

cia da falta no sistema.

Quando a potência é transmitida durante a falta, o critério de igualdade de áreas é apli-

cado como mostrado na Figura 4.8, a qual é similar às curvas potência-ângulo dos Exem-



plos 4.2, 4.3 e 4.4. Antes da falta, é a potência que pode ser transmitida; duran-

te a falta, é a potência que pode ser transmitida; e após a falta ser eliminada

no instante é a potência que pode ser transmitida. Neste caso, in-

dica o ângulo crítico de abertura. Avaliando as áreas pode-se determinar que

senmaxP δ

1 senmaxr P δ

2, sencr maxr Pδ δ= δ

2

crδ

1 e ,A A

0 2 1

2 1

0( ) cos coscos

mmax max

maxcr

P r rP

r r

δ δ δδ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠=

−

δ (4.43)

0

Pm

max0 cr

P

180°

A2

A1

senmaxP δ

1 senmaxr P δ

2 senmaxr P δ

Figura 4.8. Critério de igualdade de áreas aplicado à eliminação de falta quando

a potência é transmitida durante a falta. As áreas são iguais. 1 e A A2

Para o sistema e a localização da falta indicados na Figura 4.5, os valores são e

e a equação X(4.43)X se reduz à equação X(4.39)X. 1 0r =

2 1,r =

Independente de sua localização, as faltas de curto-circuito que não envolvem as três fa-

ses permitem a transmissão de alguma potência porque elas são representadas conectando

alguma impedância entre o ponto de falta e a barra de referência. Quanto maior a impe-

dância colocada em paralelo com a rede de seqüência positiva para simular a falta, maior é

a potência transmitida durante a falta. A potência transmitida durante a falta influi no va-

lor de isto é, valores pequenos de resultam em grandes distúrbios ao sistema com

pequena potência transmitida e um grande valor para Na ordem crescente de severida-

de, as faltas podem ser classificadas na seguinte seqüência:

1,A 1r

1.A

• Falta fase-terra

• Falta entre duas fases

• Falta entre duas fases e terra

• Falta trifásica



A falta fase-terra ocorre mais freqüentemente e a falta trifásica é a menos freqüente. Pa-

ra completa confiabilidade, um sistema deve ser projetado considerando a estabilidade

transitória para uma falta trifásica na pior localização.

Exemplo 4.6: Determine o ângulo crítico de abertura para a falta trifásica descrita nos

Exemplos 4.3 e 4.4, quando a configuração inicial do sistema e condições de operação pré-

falta são como descritas no Exemplo 4.2.

4.7. Estudos de Estabilidade para Sistemas Multimáquinas: Estudo Clássico

O critério da igualdade de áreas não pode ser usado diretamente em sistemas com três

ou mais máquinas. Quando um sistema multimáquinas opera sob condições eletromecânicas

transitórias, as oscilações entre máquinas ocorrem através do sistema de transmissão que as

conecta. Para facilitar a modelagem do problema, utilizam-se as seguintes considerações:

• A freqüência do sistema de transmissão não é perturbada pela freqüência de oscilação

e, portanto, os parâmetros da rede em 60 Hz não se alteram.

• A potência mecânica de entrada para cada máquina permanece constante durante a

solução da curva de oscilação.

• A potência amortecedora é desprezada.

• Cada máquina pode ser representada por uma reatância transitória constante em sé-

rie com uma tensão interna transitória constante.

• O ângulo mecânico do rotor de cada máquina coincide com o ângulo de fase elétrico

da tensão transitória interna.

• Todas as cargas devem ser consideradas como impedâncias em derivação para a terra

e com valores determinados pelas condições pré-falta.

O modelo de sistema para fins de estabilidade baseado nestas considerações é chamado

modelo clássico de estabilidade e estudos que usam este modelo chamam-se estudos

clássicos de estabilidade.

Para estudos de estabilidade multimáquinas, dois passos preliminares são necessários:

• As condições pré-falta em regime permanente para o sistema são determinadas usan-



do um programa de fluxo de carga.

• A representação da rede pré-falta é determinada e, então, modificada para considerar

as condições de falta e pós-falta.

No primeiro passo, obtêm-se os valores de potência e tensão complexa em cada terminal

de gerador e barras de carga. A tensão interna transitória de cada gerador é

(4.44) tE V jX′ = + dI′

onde é a tensão terminal e I é a corrente de saída. Cada carga é convertida em uma

admitância constante para a terra como

tV

2L

LL

P jQYV−

= L

L

(4.45)

onde é a carga e LP jQ+ LV é a magnitude da tensão na barra. A matriz admitância de

barra usada no fluxo de potência para a condição pré-falta, é aumentada para in-

cluir as reatâncias transitórias dos geradores e as admitâncias das cargas em derivação,

como mostra a Figura 4.9. Observe que a corrente injetada é zero em todas as barras, ex-

ceto nas barras internas dos geradores.

,barraY

1E ′

3E ′2E ′

1dX ′

3dX ′

2dX ′

Figura 4.9. Rede aumentada de um sistema elétrico de potência.



No segundo passo, determinam-se as matrizes admitâncias de barra modificadas cor-

respondentes às condições de falta e pós-falta. Como somente as barras internas dos gera-

dores têm injeções, todas as demais barras podem ser eliminadas reduzindo as dimensões

das matrizes ao número de geradores. Durante e após a falta, a potência de cada gerador é

calculada pela sua correspondente equação potência-ângulo. Por exemplo, da Figura 4.9,

tem-se

21 1 11 1 2 12 12 12 1 3 13 13 13cos( ) cos( )eP E G E E Y E E Yδ θ δ θ′ ′ ′ ′ ′= + − + − (4.46)

onde Equações similares podem ser escritas para

com os valores retirados da matriz admitância para as condições de falta e pós-falta.

12 1 2 13 1 3 e .δ δ δ δ δ δ= − = − 2 3e e eP P

ijY

As equações potência-ângulo tomam parte nas equações de oscilação, resultando em

2

22 1,2,3

i ii i

m esinc

H d P P idtδ

ω= − = (4.47)

para representar o movimento de cada rotor para os períodos de falta e pós-falta. As solu-

ções destas equações dependem da localização e da duração da falta e da que resulta

quando a linha em falta é removida.

barraY

Exemplo 4.7: Um sistema de transmissão de 230 kV, 60 Hz, tem dois geradores e um bar-

ramento infinito como mostra a Figura 4.10. Os dados dos circuitos são fornecidos na Ta-

bela 4.2 e os dados das barras, na Tabela 4.3. Uma falta trifásica ocorre na linha 4−5 pró-

xima à barra 4. Determine a equação de oscilação para cada máquina durante o período de

falta. Os geradores com valores de reatância e constante H numa base de 100 MVA e

230 kV, são:

Gerador 1: 400 MVA, 20 kV, 0,067 pu, 11,2 MJ/MVAdX H′ = =

Gerador 2: 250 MVA, 18 kV, 0,1 pu, 8,0 MJ/MVAdX H′ = =



1

4 3

5

2

Gerador 2

Gerador 1

L5

L4


Tabela 4.2. Dados dos circuitos para o Exemplo 4.7. Valores em pu numa base de 100 MVA, 230 kV.

Barras Z série De Para Circ R X C shunt 1 4 1 0,000 0,022 0,000 2 5 1 0,000 0,040 0,000 3 4 1 0,007 0,040 0,082 3 5 1 0,008 0,047 0,098 3 5 2 0,008 0,047 0,098 4 5 1 0,018 0,110 0,226

Tabela 4.3. Dados das barras para o Exemplo 4.7. Valores em pu numa base de 100 MVA, 230 kV.

Geração Carga Barra Tipo |V| ângulo P Q P Q

1 1 1,030 3,50 2 1 1,020 1,85 3 2 1,000 0° 4 0 1,00 0,44 5 0 0,50 0,16

Exemplo 4.8: A falta trifásica no Exemplo 4.7 é eliminada pela abertura simultânea dos

disjuntores nos terminais da linha em falta. Determine a equação de oscilação para cada

máquina para o período pós-falta.



4.8. Solução da Curva de Oscilação

(Integração Numérica: Método de Euler Aperfeiçoado)

O método de Euler aperfeiçoado (estudado no Curso de Cálculo Numérico) consiste na

geração de aproximações para a solução da equação diferencial

( )dx f xdt

= (4.48)

no intervalo [ , ]a b com utilizando o seguinte conjunto de equações 0( ) ,x t x= 0

( ) ( )idx

if xdt

= t (4.49)

( )f i ix x f x= + ∆t

t

(4.50)

(4.51) f it t= +∆

( ) ( )f fdxf xdt

= t (4.52)

( ) ( )

2i f

i t if x f x

x x+∆

+= + ∆t (4.53)

onde Δt é o passo de integração;

os subíndices i e f referem-se aos extremos do intervalo de integração.

Para o caso da estabilidade transitória em sistemas de potência, a equação de oscilação

a ser resolvida é

2

22

a msinc

H d P P Pdtδ

ω= = − e (4.54)

que, de acordo com a equação X(4.14)X, pode ser desmembrada em duas equações diferenciais

de primeira ordem



( )

2sinc

m e

sinc

d P Pdt H

ddt

ωω

δω ω

⎧⎪⎪ = −⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪ = −⎪⎪⎩

(4.55)

Utilizando o conjunto de equações X(4.49)X-X(4.53)X às equações X(4.55)X, obtém-se o seguinte

conjunto de equações

( )

2 ii sinc

m e

ii sinc

d P Pdt H

ddt

ω ω

δω ω

⎧⎪⎪ = −⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪ = −⎪⎪⎩

(4.56)

if i

if i

d tdt

d tdt

ωω ω

δδ δ

⎧⎪⎪ = + ∆⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪ = + ∆⎪⎪⎩

(4.57)

( )

2 f

f sincm e

ff sinc

dP P

dt H

ddt

ω ω

δω ω

⎧⎪⎪ = −⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪ = −⎪⎪⎪⎩

(4.58)

2

2

fi

i t i

fi

i t i

dddt dt t

dddt dt t

ωω

ω ω

δδ

δ δ

+∆

+∆

⎧⎪⎪ +⎪⎪⎪ = + ∆⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪ +⎪⎪⎪ = + ∆⎪⎪⎩

(4.59)

A seqüência de equações X(4.56)X-X(4.59)X começa em (início da falta) com valores i-

niciais para e continua iterativamente até t (tempo final de análise).

0t =

0 e ,δ ω0 T=

Exemplo 4.9: Monte uma tabela com os valores do ângulo do rotor da máquina 2 para

uma falta no sistema de 60 Hz dos Exemplos 4.7 e 4.8. A falta é eliminada pela abertura

simultânea dos disjuntores localizados nos extremos da linha em falta em 0,25 s.

2δ



4.9. Fatores que Afetam a Estabilidade Transitória

Existem dois fatores que atuam como referência para a estabilidade de uma unidade ge-

radora em um sistema de potência. São a oscilação angular da máquina durante e após a

falta e o tempo crítico de abertura (eliminação da falta). Das equações que foram desen-

volvidas neste capítulo, nota-se o efeito direto da constante H e da reatância transitória

da unidade geradora nestes fatores. dX ′

Analisando a equação X(4.28)X, observa-se que, quanto menor for a constante H, maior se-

rá a oscilação angular. Por outro lado, a equação X(4.24)X indica que diminui à medida

que a reatância transitória da máquina aumenta. Isto resulta porque a reatância transitória

forma parte da reatância série total do sistema e é o inverso da admitância de transferên-

cia. Da Figura 4.8, observa-se que todas as curvas de potência diminuem quando di-

minui. Em concordância, para uma potência no eixo o ângulo inicial do rotor au-

menta, diminui e uma menor diferença entre existe para uma menor O

resultado é que uma menor faz com que a máquina oscile com um ângulo menor des-

de a sua posição original antes de alcançar o ângulo crítico de abertura. Assim, qualquer

procedimento que diminua a constante H e aumente a reatância transitória de uma máqui-

na causa um decréscimo no tempo crítico de abertura, diminuindo a probabilidade de sus-

tentação da estabilidade sob condições transitórias. Como os sistemas de energia estão con-

tinuamente crescendo, existe uma necessidade de usar unidades de geração cada vez maio-

res. Estas grandes unidades possuem avançados sistemas de refrigeração que permitem

maiores capacidades de potência nominal sem comparável aumento em tamanho do rotor.

Isto resulta em constantes H menores criando um impacto negativo na estabilidade da uni-

dade geradora. Ao mesmo tempo, este processo de aumento de valores nominais tende a re-

sultar em maiores reatâncias transitórias e síncronas, o que torna a tarefa de projetar sis-

temas confiáveis e estáveis cada vez mais competitiva.

maxP

maxP

,mP 0δ

maxδ 0 e crδ δ .maxP

maxP

Por outro lado, as técnicas de controle de estabilidade e projeto de sistemas de transmis-

são também têm evoluído com o objetivo de aumentar a estabilidade geral do sistema. Os

esquemas de controle incluem:

• sistema de excitação

• controle da válvula da turbina

• circuitos disjuntores com operação monopolar



• rápidos tempos de eliminação de faltas.

A estratégia de projeto de sistemas elétricos, buscando a diminuição da reatância dos

sistemas, inclui:

• mínimas reatâncias para transformadores

• capacitores para compensação série das linhas

• linhas de transmissão adicionais.

Quando uma falta ocorre em um sistema, as tensões em todas as barras diminuem. Nos

terminais do gerador, a tensão menor é percebida pelos reguladores automáticos de tensão

que atuam no sistema de excitação para restabelecer a tensão terminal do gerador. O efeito

do sistema de excitação é reduzir o ângulo de oscilação inicial do rotor logo após a falta. Is-

to é compensado pela elevação da tensão aplicada ao enrolamento de campo do gerador. O

aumento do fluxo no entreferro produz um torque freiante sobre o rotor que tende a dimi-

nuir o seu movimento. Sistemas modernos de excitação respondem rapidamente à redução

de tensão no barramento do gerador, produzindo um ganho de meio a um e meio ciclo no

tempo crítico de abertura para falhas trifásicas no barramento de alta tensão do transfor-

mador de ajuste do gerador.

Sistemas modernos de reguladores de turbinas hidráulicas têm a habilidade de fechar a

válvula da turbina para reduzir a aceleração da unidade durante falhas severas do sistema

próximas à unidade. Imediatamente à detecção da diferença entre as potências mecânicas

de entrada e elétrica de saída, a ação do controle inicia o fechamento da válvula que reduz

a potência de entrada. O ganho de um a dois ciclos no tempo crítico de abertura pode ser

conseguido.

Reduzindo a reatância do sistema durante as condições de falta, aumenta decres-

cendo a área de aceleração da Figura 4.8 e, conseqüentemente, melhorando as condições de

estabilidade. Como as falhas monofásicas ocorrem mais freqüentemente, esquemas de relés

permitindo a operação independente ou seletiva de pólos de disjuntores podem ser usados

para eliminar a fase em falta, mantendo as demais intactas. A operação com pólo indepen-

dente de disjuntores pode estender o tempo crítico de abertura por 2 a 5 ciclos. Tais ga-

nhos em tempo crítico podem ser importantes, especialmente se os tempos de eliminação de

falha de retaguarda são problemas para a estabilidade do sistema.

1 ,maxr P



A redução da reatância de uma linha de transmissão é um outro meio para aumentar

A compensação de reatância de linha por capacitores série é também econômica para

aumentar a estabilidade. Aumentar o número de linhas de transmissão paralelas também é

uma forma de reduzir a reatância. Em circuitos paralelos, alguma potência pode ser trans-

ferida pela linha em funcionamento até mesmo durante uma falha trifásica na outra, a me-

nos que a falta ocorra no barramento de paralelismo. A potência transferida é subtraída da

potência mecânica de entrada para se obter a potência de aceleração. Assim, o aumento na

potência transferida durante uma falta significa menos potência de aceleração para a má-

quina e aumento de chances de se manter a estabilidade do sistema.

.maxP




4.1. Um turbogerador de 60 Hz com valores nominais de 500 MVA e 22 kV tem uma

constante de inércia A potência elétrica desenvolvida é 400 MW

quando a entrada menos as perdas rotativas vale 740.000 HP. Se a aceleração é cons-

tante para um período de 15 ciclos, encontre a mudança em δ em graus elétricos na-

quele período e a velocidade em rotações por minuto no fim dos 15 ciclos. Suponha

que o gerador está sincronizado com um sistema de grande porte e não tem torque de

aceleração antes do início do período correspondente aos 15 ciclos.

7,5 MJ/MVA.H =

4.2. O gerador do Exercício 4.1 está fornecendo potência nominal com um fator de potên-

cia de 0,8atr quando uma falha reduz a potência elétrica de saída em 40%. Determine

o torque de aceleração em Newton.metro no momento em que a falha ocorre. Despre-

ze as perdas e considere a potência de entrada no eixo constante.

4.3. Um gerador com está conectado a um motor síncrono tendo

através de uma rede de reatâncias. O gerador está entregando uma

potência de 1,0 pu ao motor quando uma falha ocorre, reduzindo a potência entregue.

No momento em que a potência entregue fica reduzida a 0,4 pu, determine a acelera-

ção angular do gerador em relação ao motor.

6 MJ/MVAH =

4 MJ/MVAH =

4.4. Um sistema é idêntico àquele do Exemplo 4.2 com exceção da impedância de cada

uma das linhas de transmissão que é de j0,5 pu e a potência entregue que é 0,8 pu

quando tanto a tensão nos terminais da máquina como a tensão do barramento infini-

to são 1,0 pu. Determine a equação do potência-ângulo do sistema durante as condi-

ções de operação especificadas.

4.5. Se uma falha trifásica ocorre sobre o sistema de potência do Exercício 4.4 em um

ponto sobre uma das linhas de transmissão a uma distância de 30% do comprimento

da linha a partir do terminal de alimentação da linha, determine:

a) a equação do ângulo-potência durante a falha;

b) a equação de oscilação



Considere que o sistema está operando sob as condições especificadas no Problema 5,

quando da ocorrência da falta, e que 5 MJ/MVA.H =

4.6. Um gerador com está entregando uma potência de 1,0 pu a um

barramento infinito através de uma rede puramente reativa quando a ocorrência de

uma falha reduz a potência de saída do gerador a zero. A potência máxima que pode-

ria ser entregue é 2,5 pu. As condições originais da rede são restauradas quando a fa-

lha é eliminada. Determine o ângulo crítico de abertura.

6 MJ/MVAH =

4.7. Um gerador de 60 Hz com uma constante de inércia está suprindo

60% de a um barramento infinito através de uma rede reativa. Uma falha ocorre

aumentando a reatância da rede entre a tensão interna do gerador e o barramento in-

finito em 400%. A máxima potência que pode ser entregue quando a falha é eliminada

vale 80% do valor máximo original. Determine o ângulo crítico de abertura para as

condições descritas. Se igual a 0, é uma potência de 1,0 pu, encontre tam-

bém o tempo crítico de abertura.

6 MJ/MVAH =

maxP

mP 6 maxP

4.8. Para o sistema e para as condições de falha descritas nos Exercícios 4.4 e 4.5, deter-

mine a equação potência-ângulo se a falta é eliminada pela abertura simultânea dos

disjuntores em ambos os terminais da linha em falha aos 4,5 ciclos após a ocorrência

da falha. Então, trace a curva de oscilação do gerador até 0,25 segundos.t =

4.9. Calcule a curva de oscilação para a máquina 1 dos Exemplos 4.7 a 4.9 para uma falha

eliminada aos 0,05 segundos e pelo método descrito na Seção 4.8. Utilize 0,01 s.t∆ =

4.10. Uma falha trifásica ocorre sobre a linha 4−5, próxima à barra 5 do sistema do Exem-

plo 4.7 e é eliminada pela abertura simultânea dos disjuntores em ambos os terminais

da linha após 4,5 ciclos da ocorrência da falha. Para esta situação, prepare uma tabe-

la como a do Exemplo 4.9 para traçar a curva de oscilação da máquina 2 até

0,3 s.t =


BIBLIOGRAFIA

Alcir Monticelli. Fluxo de Cargas em Redes de Energia Elétrica. Editora Edgar Blücher

Ltda, São Paulo, 1983.

Alcir Monticelli e Ariovaldo Garcia. Introdução a Sistemas de Energia Elétrica. Editora da

Unicamp, 2000.

Arthur R. Bergen. Power Systems Analysis. Prentice-Hall, New Jersey, 1986.

Charles A. Gross. Power System Analysis. 2P

ndP edition, Editora John Wiley and Sons, New

York, 1986.

Colin David Sparrow. Análise de Sistemas de Potência. Editora da Escola Federal de

Engenharia de Itajubá, Itajubá, 1973.

Dorel Soares Ramos e Eduardo Mário Dias. Sistemas Elétricos de Potência – Regime

Permanente. Vols. 1 e 2, Editora Guanabara Dois S.A., Rio de Janeiro, 1983.

Glenn Stagg e Ahmed El-Abiad. Computer Methods in Power System Analysis. McGraw-

Hill Kogakusha Ltd., Tokyo, 1968.

Hadi Saadat. Power System Analysis. 2P

ndP edition, McGraw-Hill Primis Custom Publishing,

Boston, 2002.

J. Duncan Glover e Mulukutla S. Sarma. Power System Analysis and Design. 3P

rdP edition,

Brooks/Cole Thomson Learning, Pacific Grove, 2001.

John J. Grainger e William D. Stevenson, Jr. Power System Analysis. McGraw-Hill Inc.,

New York, 1994.


Bibliografia Prof. Luciano V. Barboza

Luciano Vitoria Barboza. Análise do Máximo Carregamento de Sistemas de Potência via

Métodos de Pontos Interiores. Dissertação de Mestrado, Programa de Pós-Graduação em

Engenharia Elétrica, Universidade Federal de Santa Catarina, 1997.

Luciano Vitoria Barboza. Análise e Desenvolvimento de Metodologias Corretivas para a

Restauração da Solução das Equações da Rede Elétrica. Tese de Doutorado, Programa de

Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Universidade Federal de Santa Catarina, 2001.

Mariesa Crow. Computational Methods for Electric Power Systems. CRC Press, Boca

Raton, 2003.

M. N. Bandyopadhyay. Electrical Power Systems – Theory and Practice. Prentice-Hall of

India, New Delhi, 2006.

Olle I. Elgerd. Introdução à Teoria de Sistemas de Energia Elétrica. Editora McGraw-Hill

do Brasil, São Paulo, 1976.

Turan Gonen. Modern Power System Analysis. Editora John Wiley and Sons, New York,

1968.

William D. Stevenson, Jr. Elementos de Análise de Sistemas de Potência. Editora

McGraw-Hill Ltda, 2SªS edição, São Paulo, 1986.

W. F. B'rells, N. D. Reppen, R. J. Ringlee, J. M. Undril e C. K. Pang. Operação

Econômica e Planejamento. 2SªS edição, Curso de Engenharia em Sistemas Elétricos de

Potência, Série P.T.I., Vol. 9, Editora da Universidade Federal de Santa Maria, 1983.

Xisto Vieira Filho. Operação de Sistemas de Potência com Controle Automático de

Geração. Editora Campus, Rio de Janeiro, 1984.


93553669 analise de sistemas de potencia ii 1 faltas simetricas e assimetricas e enalise de...

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