9-paralelismos

7/21/2019 9-paralelismos

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Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Paralelismos - 1

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PARALELISMOS

Neste captulo estudam-se as retas e os planos nas suas relaes de parale-

lismo, nas diferentes possibilidades: retas com retas, planos com planos e

retas com planos. Mostra-se tambm como se confirmam e se determinam

essas relaes.

Sumrio:

2. Os paralelismos no espao

3. Paralelismos de resoluo direta entre retas

4 e 5. Paralelismos entre retas de perfil

6. Paralelismos de resoluo direta entre planos

7. Paralelismos entre planos de rampa

8 e 9. Plano paralelo a outro contendo um ponto dado

10. Paralelismos de resoluo direta entre retas e planos

11. Paralelismos entre retas e o plano oblquo

12. Paralelismos entre retas e o plano de rampa

13 e 14. Paralelismos entre retas e planos definidos por retas

15. Paralelismos entre planos definidos por traos e planos definidos

por retas

16 e 17. Paralelismos entre planos definidos por retas

18 e 19.. Exerccios


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Paralelismos de resoluo direta entre retas

Duas retas paralelas tm sempre as suas projees homnimas paralelas; eventualmente, poder

haver coincidncia numa das projees. Obviamente, s retas do mesmo tipo podem ser paralelas

entre si. No se apresentam aqui as retas fronto-horizontal, de topo e vertical, j que duas retas de

cada um desses tipos so sempre paralelas.

Paralelismo entre retas horizontais e entre retas frontais

Duas retas horizontais ou frontais so paralelas quando as suas projees homnimas tambm o so. Se hou-ver coincidncia numa das projees (como se v no segundo exemplo de baixo) o paralelismo continua a servlido.

n1

n2

f1

f1

n2

n1

f2

r1

s1

r2s2

x

f2

Paralelismo entre retas oblquas

Duas retas oblquas so paralelas quando as suas projees homnimas so paralelas. Havendo coincidncianuma das projees, o paralelismo continua vlido.

x


a2b2

a1

b1


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Paralelismos entre retas de perfil

A regra que se aplica nas situaes da pgina anterior no se aplica reta de perfil. Pode-se repre-

sentar retas de perfil paralelas entre si, ou confirmar se o so, recorrendo s suas projees laterais.

Aqui exemplifica-se com retas definidas pelos seus traos mas, obviamente, este processo tambm

vlido para retas definidas por outros pontos.

x

Paralelismo entre retas de perfil com a mesma abcissa

No caso de as retas de perfil possurem o mesmo valor de abcissa (ou seja, terem projees coincidentes) asprojees laterais permitem tambm confirmar se elas so paralelas ou no.

b1b2a1a2

F1H2 F1H2

F2

H1

H1

F2

Paralelismo entre retas de perfil com diferentes abcissas

Duas retas de perfil paralelas tm projees laterais paralelas ou, eventualmente, coincidentes, caso as medi-das dos seus traos sejam iguais.

yz

b3

a3

F3

H3F3

H3

a3 // b3

x

p1p2q1q2

F1F2F1H2

H1

F2

p3

q3

F3

H3

F3

H3

p3 // q3

yz

F2

H1


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Nesta pgina confirma-se o paralelismo entre duas retas de perfil recorrendo a traos de planos

auxiliares, assim como a retas paralelas ou concorrentes.

Para tal, pode-se ainda fazer uso dos mtodos geomtricos auxiliares: rebatimentos, rotaes e

mudanas de planos.

x

Confirmao do paralelismo entre retas de perfil recorrendo a retas auxiliares

Quando duas retas de perfil esto definidas por dois pontos que no os traos, pode-se utilizar um processosimples para confirmar se so paralelas entre si ou no. O processo consiste em passar duas retas pelos pon-tos. Se essas retas forem paralelas ou concorrentes (ou seja, complanares) isso significa que as retas de perfilso paralelas, mas se forem enviesadas as retas dadas tambm sero enviesadas.

p1p2

h

F2

f

p1p2

H1

F2

H1

F1H2 F1H2

b1b2 b1b2

F1H2 F1H2

F2

H1

H1

F2

h

f

Confirmao do paralelismo entre retas de perfil recorrendo aos traos dos planos

Para que duas retas sejam paralelas tm de ser complanares. Aqui, para provar que as retas de perfil so para-lelas, representam-se os traos do plano a que pertencem: esquerda, um plano de rampa; direita, um planooblquo. No primeiro caso pode-se confirmar o paralelismo entra as retas sem recorrer ao plano de rampa, casose verifique que os traos da reta tm medidas iguais.

x

r1r2

A2s1s2

C1

g1g2j1j2

B2

A1

B1

C2

D1

D2

a2

b2

a1

b1

A2

C2

D2

B2

b2

a2

A1

B1

C1

D1

I2

I1

b1

a1


a // b


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Paralelismos de resoluo direta entre planos

Dois planos paralelos tm sempre os traos homnimos paralelos. Obviamente, s planos do mes-

mo tipo o podem ser. Dois planos horizontais, frontais ou de perfil so sempre paralelos entre si,

pelo que esses casos no se apresentam aqui.

x

Paralelismo entre planos de topo e entre planos verticais

Para que dois planos de topo sejam paralelos necessrio que os seus traos frontais sejam paralelos, j que

os horizontais o so sempre. Para que dois planos verticais sejam paralelos necessrio que os seus traoshorizontais sejam paralelos, j que os frontais o so sempre.

f

h

f

h h

h

f f

x

f

h

f

h

Paralelismo entre planos oblquos

Para que dois planos oblquos sejam paralelos necessrio que os seus traos homnimos sejam paralelos.

Isso observa-se aqui em duas situaes.


f

h

f

h


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Paralelismos entre planos de rampa

A especificidade dos planos de rampa faz com que a posio dos seus traos, sempre paralelos ao

eixo x, no seja suficiente para garantir o paralelismo entre dois planos. Aqui mostra-se como resol-

ver o problema recorrendo aos traos laterais.

Outros processos se podem utilizar para confirmar ou determinar o paralelismo entre planos de ram-

pa: rebatimentos, rotaes e mudanas de planos.

Paralelismos entre planos de rampa

Para que dois planos de rampa sejam paralelos necessrio que os seus traos laterais tambm o sejam.Na situao de baixo, um dos planos passante, definido pelo ponto P.

x

yz

h

f

l

f

l

l // l

h

xhf

yz

l

f

ll // l

h

P3P2

P1



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Plano paralelo a outro contendo um ponto dado

Quando se pretende determinar um plano paralelo a outro, mas contendo um ponto dado, obvia-

mente j no se pode traar esse plano num stio qualquer.

x

Paralelismo entre planos de topo e entre planos verticais

Observam-se aqui duas situaes que envolvem planos projetantes. Para que um plano de topo contenha umponto e seja paralelo a outro plano, alm de ter os seus traos paralelos aos traos homnimos do outro, o seutrao frontal tem que conter a projeo frontal do ponto. O raciocnio idntico para o plano vertical, devendo otrao horizontal deste conter a projeo horizontal do ponto. No primeiro caso indiferente a medida do afasta-

mento do ponto, no segundo indiferente a da cota.

f

h

f

hh

h

f f

x

f

h

f

h

Paralelismo entre planos oblquos

No sendo este um plano projetante, para resolver estes problemas h que utilizar uma reta auxiliar, paralela

ao plano e contendo o ponto dado. Essa reta, que convm ser frontal ou horizontal, ficar contida no plano pre-tendido. Ou seja, o ponto pertence ao plano porque pertence a uma reta que pertence ao plano.

P2

P1

R1

R2

S2

S1

H2

H1

f2

f1

A2

A1

F2

F1

n2

n1

f

h

f

h


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Para determinar um plano de rampa paralelo a outro, e contendo um ponto dado, utilizam-se aqui

dois processos.

Determinao do paralelismo entre planos de rampa recorrendo a retas oblquas

A reta r uma reta oblqua qualquer que se traou no plano dado . Passando pelo ponto dado P a reta s,paralela outra, obtm-se um plano paralelo ao primeiro, bastando para tal que esse plano contenha estasegunda reta.

x

yz

h

f

l

f

l l // l

h

P2

P1

P3

Determinao do paralelismo entre planos de rampa recorrendo aos traos laterais

J vimos que dois planos de rampa so paralelos quando tm os traos laterais paralelos. Mas pretende-se

aqui encontrar um plano paralelo ao outro contendo um ponto dado. O plano contm esse ponto porque o seutrao lateral contm a projeo lateral do ponto.

x

h

f

f

s// r

h

P2

P1

F2

F2

F1

F1 H2

H2

H1

H1

r2s2

s1

r1


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Paralelismos de resoluo direta entre retas e planos

O paralelismo entre retas e planos d origem a situaes muito diversas, umas bvias, outras mais

complexas. Nesta pgina observam-se as situaes mais simples. Contudo, no se apresentam os

casos onde os paralelismos so automticos:

- Plano horizontal com retas horizontal, fronto-horizontal e de topo

- Plano frontal com retas frontal, fronto-horizontal e vertical

- Plano de perfil com retas de perfil, de topo e vertical

- Plano de rampa com reta fronto-horizontal

- Plano de topo com reta de topo

- Plano vertical com reta vertical

x

Paralelismo entre retas e os planos de topo e vertical

Qualquer reta cuja projeo frontal seja paralela ao trao frontal do plano de topo, ser paralela ao plano. Qual-quer reta cuja projeo horizontal seja paralela ao trao horizontal do plano vertical, ser paralela ao plano. Asposies das outras projees no tm qualquer interferncia.

f

hh

f

f2

r2

f1

r1

n1

n2s2

s1

r2 // ff2// f

n1 // hs1// h

x

f

h

Paralelismo entre o plano oblquo

e as retas horizontal e frontal

Excetuando as situaes de pertena, umareta frontal paralela a um plano oblquoquando a sua projeo frontal paralela aotrao homnimo do plano; do mesmo modo,uma reta horizontal paralela a um planooblquo quando a sua projeo horizontal paralela ao trao homnimo do plano.

f2

f1

n2

n1

f2 // f

n1 // h


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Paralelismos entre retas e o plano oblquo

Observam-se nesta pgina paralelismos das retas oblqua e de perfil com o plano oblquo. O parale-

lismo das retas horizontal e frontal com este plano foi abordado na pgina anterior.

x

Reta oblqua paralela a plano oblquo

Pode-se traar retas oblquas paralelas ao plano oblquo de duas maneiras. No primeiro caso traada umareta que pertence ao plano; a reta r, sendo paralela a essa, ser tambm paralela ao plano. No segundo caso traado um plano paralelo ao plano dado; a reta s, situada nesse plano ser paralela ao outro.

f

h

a2

r// ar //

r2

a1 r1

f

h

// s //

f

h

s2

s1

F2

H2

F2

H2 F1F1

H1 H1

x

Reta de perfil paralela a plano oblquo

Com a reta de perfil pode-se proceder de modo idntico ao observado para as retas oblquas: no primeiro caso,representando uma reta paralela a uma reta do plano; no segundo caso, representando a reta num plano para-

lelo ao plano dado. As linhas paralelas ao eixo x, que passam pelos traos da reta de perfil na primeira situa-o, mostram que essas medidas so iguais.

f

h

a2a1

p// a

f

h//

f

h

F2

H2F1

F2

H2F1

H1 H1

p2p1

H1

F2

q2q1

H2F1



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Paralelismos entre retas e o plano de rampa

Observam-se nesta pgina os paralelismos entre as retas oblqua e de perfil e o plano de rampa. O

paralelismo entre a reta fronto-horizontal e o plano de rampa imediato e foi referido duas pginas

atrs.

x

Reta oblqua paralela a plano de rampa

Pode-se traar retas oblquas paralelas ao plano de rampa de duas maneiras. No primeiro caso traada umareta que pertence ao plano; a reta s, que contm P, sendo paralela a essa ser tambm paralela ao plano. Nosegundo caso verifica-se que a projeo lateral da reta paralela ao trao lateral do plano, o que garante o

paralelismo entre ambos.

f

h

a2

s// a

s2

a1s1

r3// l

F2

H2 F1

H1

Reta de perfil paralela a plano de rampa

Com a reta de perfil pode-se proceder de modo idntico ao observado para as retas oblquas. No primeiro caso,representando uma reta paralela a uma reta do plano; no segundo caso, verifica-se que a projeo lateral dareta paralela ao trao lateral. As linhas convergentes no eixo x, na primeira situao, garantem que os traos

da reta p se mantm proporcionais aos da reta a. Na segunda situao s dado o trao frontal do plano, par-tindo-se do princpio de que este paralelo reta.

f

yz

h

l

r2

r1

F2

H2

H1

F1

r3

F3

H3

x

f

h

a2a1

p// a b3// l

F2

H2F1

H1

f

yz

lF2

H1

H2F1

p2p1F2

H1

H2F1

b2b1

b3

F3

H3

P2

P1


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Paralelismos entre retas e planos definidos por retas

Aqui mostra-se como determinar retas paralelas a planos definido por retas. comum um enunciado

pedir que a reta passe por um ponto dado, pelo que se mostram aqui situaes equivalentes.

Reta oblqua qualquer paralelaa plano definido por duas retas

Se no se pedir uma reta especfica,basta traar uma paralela a uma dasretas desse plano. Neste caso apenasse pretende que a reta contenha o pon-to A, pelo que se traou a reta p parale-la r.

x

s2

r1

I2

I1

s1

r2

x

c2

c1

d2

d1

p2

p1

Reta horizontal paralelaa plano definido por duas retas

Como no caso anterior, tambm aquise pretende uma reta diferente dasretas dadas, pelo que h que traaruma concorrente com essas, que tenhaas caratersticas pretendidas. Ao ladotraa-se uma paralela a essa. Nestecaso trata-se de uma reta horizontal,mas tratando-se de uma reta frontal oprocesso seria idntico.

C2 D2

D1C1

h2

h1

n2

n1

n // h

p // r

x

Reta oblqua especfica paralelaa plano definido por duas retas

Caso se pretenda uma reta oblquacom caratersticas especficas, h quecruzar com as retas dadas uma quetenha essas caratersticas. Neste casopretende-se uma reta cuja projeohorizontal faa 40ad e que contenha oponto P.

P2

P1

c2

c1

d2

d1

C2D2

D1

C1

A2

A1

r2

r1

s2

s1

r // s

S2

S1


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Mostram-se aqui duas situaes que envolvem a reta de perfil. Num dos casos o plano definido

pelas retas oblquo, no outro de rampa passante.

Reta de perfil paralela a plano definido por retas oblquas

Aqui procede-se de forma idntica do exerccio anterior, traando uma reta de perfil no plano. A reta de perfilpretendida tem as caratersticas dessa. As linhas paralelas ao eixo x garantem que os pontos de uma so idn-ticos aos da outra. A reta horizontal serve para confirmar que o plano no de rampa, pois se o fosse a reta deperfil p no poderia ser determinada deste modo, uma vez que pertenceria tambm ao plano.Caso se pretenda que a reta de perfil contenha um ponto dado, ser necessrio, por exemplo, recorrer s proje-es laterais do ponto e da reta.

x

a2 I2

I1b1

b2

B2

A2

p // q

q2q1

a1

B1

A1

C2

D2

D1

C1

p2p1

Reta de perfil paralela a plano definido por retas oblquas dum plano de rampa

Neste caso, as retas que definem o plano so passantes, o que quer dizer que o plano de rampa que definem

tambm passante. Aps determinar as projees laterais dessas retas, que so coincidentes, traa-se uma retade perfil cuja projeo lateral paralela s das retas dadas (que so coincidentes). Aqui a reta est definidapelo ponto A e pelo seu trao horizontal.

n2B2

B1

n1

r2

r1

s2

s1

I2

I1

p2p1

r3s3

I3p3

H3

H1

H2

A3A2

A2

yz

x

S1S2 R1R2

p3// r3s3


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Paralelismos entre planos definidos por retas

e planos definidos por traos

Aqui mostra-se como determinar o paralelismo entre um plano definido por traos com outro definido

por retas.

Plano definido por retas concorrentes paralelo a um plano de rampa

No plano de rampa definido pelos traos foram marcadas duas retas oblquas, ao lado esto traadas duasretas paralelas a essas. Deste modo, o plano definido pelas retas paralelo ao plano definido pelos traos.Aqui parte-se do princpio de que se pretende determinar um plano paralelo a , contendo o ponto P.

x

f

h

F2

F1

H1

H2

b2

a1

I2

I1

F1

F2

b1

H2

H1

a2 s2

r1

P2

P1

s1

r2

r // as // b

Plano definido por retas paralelas paralelo a um plano oblquo

Aqui procede-se como no caso anterior, marcando duas retas no plano oblquo definido pelos traos; ao lado

foram traadas duas retas paralelas a essas, passando uma delas pelo ponto A, que se pretendia contido nes-se plano. Tratando-se de retas paralelas, devem manter-se iguais as distncias entre as suas projees.

x

f

h

a2

a1

F2

F1

H2

H1

b2

F2

F1

H1

H2

b1

r2

r1

s2

s1

=

=

-

-

r // as // b

A2

A1


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Paralelismos entre planos definidos por retas

Aqui mostram-se algumas situaes de paralelismos entre planos definidos por retas.

Planos paralelos definidos por retas concorrentes

As retas r e s definem um plano; as retas a e b definem outro. Sendo a reta a paralela reta r e a b paralela s,os planos por elas definidos so paralelos entre si.Um exerccio em que se pedisse para determinar um plano paralelo ao plano definido pelas retas r e s, conten-do o ponto P, seria assim resolvido, sem necessidade de mais traados.

x

I2

I1

s2r2

s1r1

P2

P1

b2

a2

b1a1

a // rb // s

Planos paralelos, sendo um definido por retas oblquas paralelase outro definido por uma reta horizontal e outra frontal

As retas c e d, oblquas e paralelas entre si, definem um plano. Traando as retas f e n, tambm desse plano,

ficamos com a direo a dar s retas f e n que definem um plano paralelo ao anterior, neste caso contendo oponto I.

f1

x

f2

n1

n2

c2

c1

d2

d1

C1

C2 D2

D1

D2

D1

I2

I1

f1

f2

n2

n1 n // nf // f


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Nesta pgina mostram-se mais exemplos de paralelismos entre planos definidos por retas.

Plano definido por retas oblquas paralelo a plano definido por retas de perfil

Aqui pretende-se um plano definido por duas retas de perfil que seja paralelo a outro definido por duas retasoblquas. Traam-se duas retas de perfil concorrentes com as oblquas e, ao lado, traam-se outras duas idnti-cas a essas. As linhas paralelas ao eixo x provam que os pontos das retas de perfil mantm a mesma propor-o e disposio. O valor de abcissa entre essas retas tambm tem de ser mantido.

A reta horizontal n prova que o plano oblquo, sendo de rampa as retas p e p estariam contidas nele.

x

I2

I1

s2r2

s1r1

q // pq // p

Plano definido por retas oblquas paralelo a plano definido por retas frontais

Para definir um plano por retas frontais, sendo paralelo a outro definido por retas oblquas, cruzam-se duas

retas frontais com as oblquas e, ao lado, traam-se outras idnticas a essas. Para garantir o paralelismo entreos planos tem de se manter a distncia entre as projees das retas frontais. Aqui parte-se ainda do princpiode que se pretende um plano que contenha o ponto P.

f1

x

f2

f2

a2

a1

b2

A1

A2

B2

B1

B2

B1

R2

S2

R1

S1

R2

S2

R1

S1

A2

A1

B2

B1

A2

A1

B2

B1

q2q1 q2q1 p2p1 p2p1

=

=

A1

A2

b1

f1

r2

s2

r1

s1

=

=

=

=

n2

n1

N2

N1

P2

P1


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Paralelismos entre duas retas

1. Representar a reta r que contm R(3;2;3), para-lela ao 2/4, fazendo a sua projeo frontal 60ad.Determinar a reta s, que contm P(-1;0;0) e para-lela a r.

2. Representar a reta b, que paralela ao 1/3econtm o ponto P(2;-3;-1), fazendo a sua projeofrontal 40ae. Determinar a reta g, que contm oponto T(2;1;3) e paralela a b.

3. Representar a reta p, cujos traos so F(2;0;3) eH(2;5;0). Determinar a reta b, paralela a p, assimcomo o seu trao horizontal H, sabendo queF(4;0;2) o seu trao frontal.

4. Representar a reta d, definida pelos pontos A(5;1;5) e B(5;3;2). Determinar reta g, paralela a d,assim como o seu trao frontal F, sabendo queH(3;2;0) o seu trao horizontal.

5. Representar a reta p, que contm os pontos A(3;-2;-2) e B(3;-5;3). Determinar a reta q, assimcomo mais um ponto seu, sabendo que F(5;0;4) oseu trao frontal.

Paralelismos entre dois planos

6. Representar o plano vertical ,que cruza o eixo x

num ponto com 3cm de abcissa e faz 50ad. Deter-minar o plano , que contm P(1;-2;3) e paralelo a.

7. Representar o plano ,que cruza o eixo x numponto com 2cm de abcissa, fazendo os seus traosfrontal e horizontal 45ae e 65ad, respetivamente.Determinar o plano ,que contm M(-2;3;2) e paralelo a .

8. Representar o plano ,que cruza o eixo x noponto de abcissa nula, fazendo os seus traos fron-tal e horizontal 60ad e 45ad, respetivamente.Determinar o plano ,que contm R(0;2;4) e

paralelo a .

9. Representar o plano do exerccio anterior.Determinar o plano , que contm K(4;2;-2) e paralelo a .

10. Representar o plano , perpendicular ao 1/3,que cruza o eixo x num ponto com -3cm de abcissa,fazendo o seu trao horizontal 40ae. Determinar oplano , que contm A(6;2;2) e paralelo a .

11. Representar o plano do exerccio anterior.Determinar o plano , que contm B(2;-2;-2) e paralelo a .

12. Representar o plano , perpendicular ao 2/4,que cruza o eixo x num ponto com 1cm de abcissa,fazendo o seu trao frontal 40ae. Determinar oplano que contm R(1;-2;2) e paralelo a .

13. Representar o plano passante ,que contm T(4;-3;4). Determinar o plano que contm A(2;2;2) e paralelo a .

14. Representar o plano , perpendicular ao 2/4,tendo o seu trao frontal 2cm de cota. Determinar oplano que contm S(3;3;-1) e paralelo a .

Paralelismos entre uma reta e um plano

15. Representar o plano de topo ,que faz 55ae,

cruzando o eixo x num ponto com -2cm de abcissa.Determinar a reta r, que contm P(0;1;-3) e para-lela a e ao 2/4.

16. Representar o plano vertical ,que faz 60ad ecruza o eixo num ponto com 3cm de abcissa. Deter-minar a reta s, que contm A(-1;-1;3), passante eparalela a .

17. Representar o plano do exerccio anterior.Determinar a reta horizontal n, que paralela a econtm N(3;-3;3).

18. Representar o plano , que cruza o eixo x no

ponto de abcissa nula, fazendo os seus traos fron-tal e horizontal 45ae e 55ae, respetivamente.Determinar a reta s, que contm S(-3;-1;3), para-lela a ,fazendo a sua projeo frontal 30ad.

19. Representar o plano e o ponto S do exerccioanterior. Determinar a reta r, que contm S e paralela s retas de maior declive de .

20. Representar o plano , que cruza o eixo x numponto com 3cm de abcissa, fazendo os seus traosfrontal e horizontal 60ae e 30ad, respetivamente.Determinar a reta a, que contm o ponto A(0;3;3) e paralela ao plano , fazendo a sua projeofrontal 45ad.

21. Representar o plano do exerccio anterior.Determinar a recta de perfil p, paralela ao planodado e passante no ponto de abcissa 6.

22. Representar o plano , perpendicular ao 2/4,que cruza o eixo x num ponto com -2cm de abcissa,cujo trao frontal faz 60ad. Determinar a reta frontalf, que contm B(2;-2;-3) e paralela a .

23. Representar o plano do exerccio anterior.Determinar a reta u, que contm D(3;0;3) e paralela a e ao 2/4.

Paralelismos Exerccios



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Paralelismos entre dois planos definidospor retas ou pontos

33. Representar o plano , definido pelas retas r e

s, concorrentes em I(3;3;4), sendo r paralela ao 2/4,fazendo a sua projeo horizontal 50ae, e sendo shorizontal fazendo 50ad. Determinar o plano ,paralelo a , definido pelas retas a e b, concorren-tes em P(-4;4;2), sendo a frontal e b oblqua.

34. Representar o plano ,definido pelas retas fron-tais a e b, paralelas entre si, contendo, respetiva-mente, os pontos A(0:5;2) e B(2;3;4), fazendo35ad. Determinar o plano , paralelo a , definidopelas retas c e d, oblquas e concorrentes no pontoM(-5;3;4).

35. Representar o plano , definido pelos pontosA(0;0;3), B(-3;4;1) e C(-5;1;5). Determinar o plano, paralelo a , definido pelas retas oblquas r e s,concorrentes em P(4;2;2).

36. Representar o plano do exerccio anterior.Determinar o plano , paralelo a , definido pelasretas f e n, frontal e horizontal, concorrentes em S(4;-3;-3).

37. Representar o plano do exerccio 35. Determi-nar o plano , paralelo a , definido pelas retas deperfil p e q, respetivamente com 5cm e 3cm deabcissa.


Paralelismos entre uma reta e um plano(continuao)

24. Representar o plano , cujos traos frontal ehorizontal tm, respetivamente, 2cm de cota e 4cmde afastamento. Determinar a recta b, passante emP com 5cm de abcissa, paralela a , fazendo a suaprojeo horizontal 45ae.

25. Representar o plano do exerccio anterior.Determinar a reta de perfil q, que contm Q(4;4;2) e paralela a .

26. Representar o plano , cujos traos frontal ehorizontal tm, respetivamente, -4cm de cota e2cm de afastamento. Determinar a recta g que

contm R(3;-2;2), paralela a , fazendo a suaprojeo frontal 50ad.

Paralelismos entre uma reta e um planodefinido por retas ou pontos

27. Representar o plano definido pelas retas fron-

tais a e b, paralelas entre si, contendo, respetiva-mente, os pontos A(0:5;2) e B(2;3;4), fazendo35ad. Determinar a reta r, que contm R(-4;-1;-1) e paralela a , fazendo a sua projeo frontal 25ae.

28. Representar o plano do exerccio anterior.Determinar a reta horizontal n, paralela a , comtrao no ponto F(-1;0;-2).

29. Representar o plano do exerccio 27. Determi-nar a reta de perfil p, paralela a , com -3cm deabcissa.

30. Representar o plano , definido pelo pontoP(1;1;4) e pela reta r, que contm R(4;-1;5), fazendoas suas projees frontal e horizontal 40ad e50ae, respetivamente. Determinar a reta a, paralelaa , contendo A(3;3;1) e fazendo a sua projeofrontal 45ae.

31. Representar o plano do exerccio anterior.Determinar a reta de perfil q, com 4cm de abcissa eparalela a .

32. Representar o plano do exerccio 30. Determi-nar a reta de perfil p, com 4cm de abcissa, paralela

a , cujo trao horizontal H(6;4;0).

9-paralelismos

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