8a serie radiciacao

14
RADICIAÇÃO

Upload: gigiobot

Post on 25-Jun-2015

4.009 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: 8a Serie Radiciacao

RADICIAÇÃO

Page 2: 8a Serie Radiciacao
Page 3: 8a Serie Radiciacao

EXERCÍCIOS

Radical aritmético e suas propriedades

Toda expressão matemática da forma n a , com NnRa ∈∈ + , e 2≥n , recebe o nome de radical aritmético.

Observe: n mnm

aa = (m > 0, n > 0) Assim: No radical 5 , o índice é 2 e o radicando é 5. No radical 3 10 , o índice é 3 e o radicando é 10. Propriedades 1ª) Propriedade

aan n = , com NnRa ∈∈ + , e 1>n Exemplos: a) 2232 5 55 == b) 7749 2 == c) 3381 4 44 ==

Page 4: 8a Serie Radiciacao

2ª) Propriedade

pn pmn m aa : := , com 0≠p e p divisor de m e n.

pn pmn m aa ⋅ ⋅= Exemplos: a) 42:8 2:28 2 333 == b) 5 33:15 3:915 9 777 == c) 6 632 322 444 == ⋅ ⋅ 3ª) Propriedade

nmm n aa ⋅= , com 1,,, >∈∈∈ + mNnNmRa e 1>n . Exemplos: a) 422 555 == ⋅ b) 24466 4 222 == ⋅ 4ª) Propriedade

nnn baba ⋅=⋅ , com 1,,, >∈∈∈ ++ nNnRbRa . Exemplos: a) 5555 434312 ⋅=⋅= b) 63232 =⋅=⋅

Page 5: 8a Serie Radiciacao

5ª) Propriedade

n

nn

ba

ba= , com 1,,, * >∈∈∈ ++ nNnRbRa .

Exemplos:

a) 4

44

75

75=

b) 1133

33

===

Page 6: 8a Serie Radiciacao

Simplificando radicais: extração de fatores do radicando Observe as seguintes expressões: a) 75757575 22 =⋅=⋅=⋅ b) 333 33 333 33 221732732732 =⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ c) 10101010101010 223 =⋅=⋅= d) 33 23 233 42222232 =⋅=⋅= e) 29262913229132 22 =⋅⋅=⋅⋅ f) 3 23 2333 243 222 ababaaba =⋅⋅⋅=⋅⋅

Se um ou mais fatores do radicando têm o expoente igual ao índice do radical, esses fatores podem ser extraídos do radicando e escritos como fatores externos (sem o

expoente).

Page 7: 8a Serie Radiciacao

Introduzindo um fator externo no radicando Observe os seguintes exemplos: a) Se 32322 =⋅ , então 3232 2 ⋅= b) Se 33 3 5775 =⋅ , então 3 33 7557 ⋅= c) Se 55 55 65 2222264 =⋅== , então 55 65 55 6422222 ==⋅=

Um fator externo pode ser introduzido como fator no radicando, bastando para isso escrevê-lo com um expoente igual ao índice do radical.

Veja agora: a) 753253535 2 =⋅=⋅=

b) 15 45 3 35 3 xxxxx =⋅=

Page 8: 8a Serie Radiciacao

Adicionando, algebricamente, dois ou mais radicais Observe os seguintes exemplos: a)

35

3)111510(

331135310

=+−+

=+−+

b)

75

7151

7)32(5)56(

73557256

+

=+

=+−+−

=+−−

Observações: a)

46,387,446,364,223,2

1275

≠≠+

≠+

b)

73,182,073,141,123,2

325

≠≠−

≠−

c)

92,673,473,1473,13

3433

≠⋅≠+

≠+

Page 9: 8a Serie Radiciacao

Veja agora como simplificar algumas expressões: a)

28

2)35(

2325

3252

185022

=+

=+

=⋅+⋅

=+

b)

3

3

333

3 333 333 33

3 43 43 4

4

)235(

235

235

827125

xyx

xyxxx

xyxxyxxyx

yxxyxxyxx

yxyxyx

=+−

=+−

=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅

=+−

c)

57212

5)310(2)210(

5322510210

5322552252

5322552522

458500200222222

+

=−++

=−++

=−+⋅+⋅

=⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅

=−++

d)

21

31437

3143532

3723532732

5332

14727512

2

22

=

=+

=⋅+

=⋅

⋅+⋅

=+

Page 10: 8a Serie Radiciacao

Multiplicando e dividindo expressões com radicais de mesmo índice e de índices diferentes • Se os índices forem iguais, basta usar as propriedades dos radicais. Exemplos: a) 3333 142727 =⋅=⋅ b) 63:183:18 == c)

5103

5253

55235

)523(5

2

=−⋅

=⋅−⋅

=−⋅

d)

6317

2062653

21062653

2523222353

252232225333

)253()223(

22

−−

=−+−

=⋅−+−

=⋅−⋅+⋅−

=⋅−⋅+⋅−⋅

=−⋅+

• Se os índices forem diferentes, devemos reduzir os radicais ao mesmo índice para

depois efetuar as operações. Exemplos: a) 1212121264 72989832 =⋅=⋅=⋅ b) 66666 2005:10005:10005:10 ===

Page 11: 8a Serie Radiciacao

Produtos notáveis a) Quadrado da soma de dois termos: 222 2)( yxyxyx ++=+ b) Quadrado da diferença de dois termos: 222 2)( yxyxyx +−=− c) Produto da soma pela diferença dois termos: 22)()( yxyxyx −=−⋅+ Potenciação de radicais

( ) n mrmn r aa ⋅= Exemplos: a) ( ) 55 335 822 == b) ( ) 7 67 23

27 3 555 == ⋅

Page 12: 8a Serie Radiciacao

Racionalização de denominadores de uma expressão com radicais No conjunto dos números reais existem frações que apresentam um radical no

denominador, como, por exemplo. 3

1 .

Agora veja: 3

1 é aproximadamente 7320508,1

1 , que é um cálculo difícil de fazer.

Multiplicando por 3 o numerador e o denominador de 3

1 encontraremos uma fração

equivalente a 3

1 , que vai facilitar o cálculo. Veja:

33

33

3331

31

2==

⋅⋅

=

Esse procedimento é chamado de racionalização do denominador. Veja que é mais

simples efetuar 3

7320508,1 .

Exemplos:

a) 22

22

2221

21

2==

⋅⋅

=

b) 7

72772

7772

72

2==

⋅⋅

=

c) 2

45245

2225

25 3

3 3

3

3 23

3 2

3 ==⋅

⋅=

d) 22

623

632

3218

3218

33236

326 2

2==

⋅=

⋅==

⋅⋅

=

e) 9

5832516

5832)5(45832

)54()54()54(8

548

22−

=−

−=

−−

=−⋅+

−⋅=

+

Page 13: 8a Serie Radiciacao

Simplificando expressões com radicais Exemplos: a)

326

797373

)7(3)73()73(

)73)(73()73(1)73(1

731

731

22

=

=−

++−=

−++−

=−+

+⋅+−⋅=

−+

+

b)

22

22222

2222

22

246

246

22436

24218

2418

2463

2

2

===⋅⋅

==−

=−

=−

=−⋅

=−=−⋅

772

772

7772

72

2==

⋅⋅

=

Page 14: 8a Serie Radiciacao

Potências com expoente fracionário

Observe: n mnm

aa = (m e n inteiros e 0≠n ) Exemplos:

a) 3321

=

b) 5521

=

c) 33 232

3666 ==

d) 28)8( 331

−=−=− REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO [1] A conquista da matemática (5ª a 8ª Série). Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr.. Editora FTD.

[2] Matemática (Projeto Araribá) (5ª a 8ª Série). Editora Moderna.

[3] Tudo é matemática (5ª a 8ª Série). Luiz Roberto Dante. Editora Ática.

[4] Matemática hoje é feita assim (5ª a 8ª Série). Antonio José Lopes Bigode. Editora FTD.