8a serie radiciacao
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RADICIAÇÃO
EXERCÍCIOS
Radical aritmético e suas propriedades
Toda expressão matemática da forma n a , com NnRa ∈∈ + , e 2≥n , recebe o nome de radical aritmético.
Observe: n mnm
aa = (m > 0, n > 0) Assim: No radical 5 , o índice é 2 e o radicando é 5. No radical 3 10 , o índice é 3 e o radicando é 10. Propriedades 1ª) Propriedade
aan n = , com NnRa ∈∈ + , e 1>n Exemplos: a) 2232 5 55 == b) 7749 2 == c) 3381 4 44 ==
2ª) Propriedade
pn pmn m aa : := , com 0≠p e p divisor de m e n.
pn pmn m aa ⋅ ⋅= Exemplos: a) 42:8 2:28 2 333 == b) 5 33:15 3:915 9 777 == c) 6 632 322 444 == ⋅ ⋅ 3ª) Propriedade
nmm n aa ⋅= , com 1,,, >∈∈∈ + mNnNmRa e 1>n . Exemplos: a) 422 555 == ⋅ b) 24466 4 222 == ⋅ 4ª) Propriedade
nnn baba ⋅=⋅ , com 1,,, >∈∈∈ ++ nNnRbRa . Exemplos: a) 5555 434312 ⋅=⋅= b) 63232 =⋅=⋅
5ª) Propriedade
n
nn
ba
ba= , com 1,,, * >∈∈∈ ++ nNnRbRa .
Exemplos:
a) 4
44
75
75=
b) 1133
33
===
Simplificando radicais: extração de fatores do radicando Observe as seguintes expressões: a) 75757575 22 =⋅=⋅=⋅ b) 333 33 333 33 221732732732 =⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ c) 10101010101010 223 =⋅=⋅= d) 33 23 233 42222232 =⋅=⋅= e) 29262913229132 22 =⋅⋅=⋅⋅ f) 3 23 2333 243 222 ababaaba =⋅⋅⋅=⋅⋅
Se um ou mais fatores do radicando têm o expoente igual ao índice do radical, esses fatores podem ser extraídos do radicando e escritos como fatores externos (sem o
expoente).
Introduzindo um fator externo no radicando Observe os seguintes exemplos: a) Se 32322 =⋅ , então 3232 2 ⋅= b) Se 33 3 5775 =⋅ , então 3 33 7557 ⋅= c) Se 55 55 65 2222264 =⋅== , então 55 65 55 6422222 ==⋅=
Um fator externo pode ser introduzido como fator no radicando, bastando para isso escrevê-lo com um expoente igual ao índice do radical.
Veja agora: a) 753253535 2 =⋅=⋅=
b) 15 45 3 35 3 xxxxx =⋅=
Adicionando, algebricamente, dois ou mais radicais Observe os seguintes exemplos: a)
35
3)111510(
331135310
=+−+
=+−+
b)
75
7151
7)32(5)56(
73557256
+
=+
=+−+−
=+−−
Observações: a)
46,387,446,364,223,2
1275
≠≠+
≠+
b)
73,182,073,141,123,2
325
≠≠−
≠−
c)
92,673,473,1473,13
3433
≠⋅≠+
≠+
Veja agora como simplificar algumas expressões: a)
28
2)35(
2325
3252
185022
=+
=+
=⋅+⋅
=+
b)
3
3
333
3 333 333 33
3 43 43 4
4
)235(
235
235
827125
xyx
xyxxx
xyxxyxxyx
yxxyxxyxx
yxyxyx
=+−
=+−
=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅
=+−
c)
57212
5)310(2)210(
5322510210
5322552252
5322552522
458500200222222
+
=−++
=−++
=−+⋅+⋅
=⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅
=−++
d)
21
31437
3143532
3723532732
5332
14727512
2
22
=
=+
=⋅+
=⋅
⋅+⋅
=+
Multiplicando e dividindo expressões com radicais de mesmo índice e de índices diferentes • Se os índices forem iguais, basta usar as propriedades dos radicais. Exemplos: a) 3333 142727 =⋅=⋅ b) 63:183:18 == c)
5103
5253
55235
)523(5
2
−
=−⋅
=⋅−⋅
=−⋅
d)
6317
2062653
21062653
2523222353
252232225333
)253()223(
22
−−
=−+−
=⋅−+−
=⋅−⋅+⋅−
=⋅−⋅+⋅−⋅
=−⋅+
• Se os índices forem diferentes, devemos reduzir os radicais ao mesmo índice para
depois efetuar as operações. Exemplos: a) 1212121264 72989832 =⋅=⋅=⋅ b) 66666 2005:10005:10005:10 ===
Produtos notáveis a) Quadrado da soma de dois termos: 222 2)( yxyxyx ++=+ b) Quadrado da diferença de dois termos: 222 2)( yxyxyx +−=− c) Produto da soma pela diferença dois termos: 22)()( yxyxyx −=−⋅+ Potenciação de radicais
( ) n mrmn r aa ⋅= Exemplos: a) ( ) 55 335 822 == b) ( ) 7 67 23
27 3 555 == ⋅
Racionalização de denominadores de uma expressão com radicais No conjunto dos números reais existem frações que apresentam um radical no
denominador, como, por exemplo. 3
1 .
Agora veja: 3
1 é aproximadamente 7320508,1
1 , que é um cálculo difícil de fazer.
Multiplicando por 3 o numerador e o denominador de 3
1 encontraremos uma fração
equivalente a 3
1 , que vai facilitar o cálculo. Veja:
33
33
3331
31
2==
⋅⋅
=
Esse procedimento é chamado de racionalização do denominador. Veja que é mais
simples efetuar 3
7320508,1 .
Exemplos:
a) 22
22
2221
21
2==
⋅⋅
=
b) 7
72772
7772
72
2==
⋅⋅
=
c) 2
45245
2225
25 3
3 3
3
3 23
3 2
3 ==⋅
⋅=
d) 22
623
632
3218
3218
33236
326 2
2==
⋅=
⋅==
⋅⋅
=
e) 9
5832516
5832)5(45832
)54()54()54(8
548
22−
=−
−=
−−
=−⋅+
−⋅=
+
Simplificando expressões com radicais Exemplos: a)
326
797373
)7(3)73()73(
)73)(73()73(1)73(1
731
731
22
=
=−
++−=
−++−
=−+
+⋅+−⋅=
−+
+
b)
22
22222
2222
22
246
246
22436
24218
2418
2463
2
2
===⋅⋅
==−
=−
=−
=−⋅
=−=−⋅
772
772
7772
72
2==
⋅⋅
=
Potências com expoente fracionário
Observe: n mnm
aa = (m e n inteiros e 0≠n ) Exemplos:
a) 3321
=
b) 5521
=
c) 33 232
3666 ==
d) 28)8( 331
−=−=− REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO [1] A conquista da matemática (5ª a 8ª Série). Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr.. Editora FTD.
[2] Matemática (Projeto Araribá) (5ª a 8ª Série). Editora Moderna.
[3] Tudo é matemática (5ª a 8ª Série). Luiz Roberto Dante. Editora Ática.
[4] Matemática hoje é feita assim (5ª a 8ª Série). Antonio José Lopes Bigode. Editora FTD.