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  • 429

    8.5 Clculo de indutncia e densidade de energia magntica

    Para algumas geometrias de malhas pode-se calcular a indutncia aproximadamente.

    Calculamos aqui a indutncia de uma malha que contm um solenoide cilndrico

    densamente enrolado e muito comprido. A malha se fecha com um arame liso e no

    muito mais comprido do que o solenoide como mostra a figura 8.5.1.

    Fig. 8.5.1 Malha com um solenoide comprido e pequena rea externa.

    Vamos imaginar que flua uma

    corrente I nesta malha. Dentro do

    solenoide vamos aproximar o

    campo magntico pelo campo de

    um solenoide infinitamente comprido. Este uniforme dentro do solenoide apontando

    na direo do eixo de simetria e tem o valor

    0N

    B z I=

    (8.5.1).

    Nesta frmula, N o nmero de espiras enroladas e o comprimento do solenoide.

    O vetor unitrio z aponta na direo do eixo do solenoide com o sentido que forma

    um parafuso direito com o sentido positivo da corrente que circula em volta do cilindro.

    Fora do solenoide h campo magntico gerado pelo restante do fio que fecha o circuito

    e um fraco campo gerado pelo solenoide devido ao fato de que este no infinitamente

    comprido. No presente clculo, vamos desprezar o fluxo magntico atravs desta rea

    da malha que fica fora do solenoide. De fato pode-se tornar esta aproximao mais

    exata, evitando o fio externo que fecha o circuito. Pode-se enrolar uma segunda camada

    no solenoide de tal forma que o fim do arame enrolado alcance o incio. Desta forma

    no h rea externa como mostrado na figura 8.5.2.

    Fig. 8.5.2 Malha com solenoide de duas camadas sem rea externa.

    Nesta figura desenhei o fio da segunda

    camada em vermelho para distinguir melhor as camadas. Com este tipo de circuito

    formado por um nico solenoide de duas camadas, a aproximao se limita ao fato de

    que o campo magntico gerado no exatamente aquele gerado por uma densidade

    superficial de corrente circulando num tubo infinitamente comprido.

    Fig. 8.5.3 Malha circular com superfcie orientvel marcada com a ajuda de um tecido

    elstico.

    Para o clculo da indutncia necessrio

    ter uma ideia da forma de uma superfcie

    orientvel que tenha o fio da malha

    como beirada. No nada fcil imaginar

    tal superfcie e no apndice desta seo

    mostramos que nesta tarefa podemos

    encontrar surpresas. Para podermos

    visualizar este tipo de superfcie, vamos

    considerar somente o circuito da figura

    8.5.1, que j pe um desafio nossa

    imaginao. A superfcie associada ao circuito da figura 8.5.2 ainda muito mais

    complicada. Para ajudar nossa imaginao constru uma malha de arame em forma

  • 430

    circular e colei um tecido bem elstico

    nesta moldura redonda. O tecido marca

    no espao uma superfcie orientvel

    que possui o fio da malha como

    beirada. A figura 8.5.3 mostra esta

    montagem.

    Fig. 8.5.4 Deformao da malha circular da figura 8.5.4 para formao de um solenoide.

    Depois do registro deste estado inicial,

    comecei a deformar o arame para

    formar um pequeno solenoide, no

    muito denso para poder enxergar os

    detalhes da superfcie. A figura 8.5.4

    mostra o incio desta deformao e a

    figura 8.5.5 o estado final. Todas estas

    deformaes da superfcie, comeando

    com a formao da primeira espira e

    terminando com o solenoide, so

    mudanas contnuas que mantm a

    orientabilidade da superfcie.

    Fig. 8.5.5 Superfcie orientvel que tem uma malha com solenoide como beirada.

    A superfcie dentro das espiras do

    solenoide mostra algumas rugas e complicaes, mas percebemos que no clculo da

    integral de fluxo do campo magntico entra apenas a projeo desta superfcie

    complicada numa rea circular perpendicular ao eixo do solenoide. Isto ocorre devido

    ao fato de que 0B dS =

    . Podemos formar uma superfcie fechada com a superfcie

    complicada numa das espiras do solenoide, com a superfcie circular projetada e com

    uma parte da lateral do cilindro do solenoide, como indicado na figura 8.5.6.

    Fig.8.5.6 Superfcie fechada formada pela parcela do tecido aderente a uma espira (preto), por uma superfcie circular (magenta) e a parte lateral

    do cilindro do solenoide (verde).

    Nesta figura mostrei a superfcie circular projetada como

    uma linha magenta, a superfcie lateral de verde e a superfcie complicada como preta

    indicando simbolicamente alguma dobra. Como no h fluxo na parte lateral, segue que

    o fluxo atravs da superfcie complicada igual ao fluxo atravs da superfcie circular.

    Como o campo uniforme, a integral resulta simplesmente numa multiplicao pela

    rea deste crculo. Cada espira contribui com um destes crculos de projeo. Ento o

    fluxo total atravs da malha vale

    2 2

    2

    0

    m

    N RN B z R I

    = =

    (8.5.2).

    Nesta frmula, R o raio do cilindro. De fato o campo da frmula (8.5.1) vale

    tambm dentro de solenoides compridos de forma no redonda e neste caso podemos

    generalizar o resultado (8.5.2) substituindo o 2R pela rea da seco transversal A

    do solenoide

    B

  • 431

    2

    0

    m

    N AN B z A I = =

    (8.5.3).

    Percebemos que o fluxo realmente proporcional ao valor da corrente e a constante de

    proporcionalidade a indutncia que queramos calcular:

    2

    0

    N AL =

    (8.5.4).

    Podemos aplicar esta frmula de maneira semelhante aplicao do clculo de

    capacitncia para chegar a uma densidade de energia do campo. Vamos substituir o

    resultado (8.5.4) na expresso da energia magntica, que calculamos na seo anterior

    (frmula 8.4.15). Para um solenoide com corrente I vale

    2 2

    2

    02 2

    Mag

    L N A IE I= =

    (8.5.5).

    Com a (8.5.1) podemos escrever 2I em termos do campo magntico:

    2

    2

    2 2

    0

    B BI

    N

    =

    (8.5.6).

    Inserindo isto na (8.5.5), obtemos

    2

    0Mag

    NE =

    2

    2 2

    0

    1

    2

    A B B

    N

    02

    B BA

    =

    (8.5.7).

    A o volume da regio com campo magntico diferente de zero. Este resultado nos

    deixa suspeitar que a densidade de energia magntica associada ao campo

    02

    E Mag

    B B =

    (8.5.8).

    De fato, numa disciplina de eletromagnetismo avanado, mostra-se com argumentos

    rigorosos que esta a densidade de energia associada ao campo magntico numa regio

    sem preenchimento de matria. Na presena de algum material h uma modificao

    desta frmula que comentaremos num captulo futuro.

    No captulo 9 teremos os conhecimentos para poder entender que a anlise de circuito

    feita na seo anterior e o clculo da indutncia feita nesta seo so apenas

    aproximaes. Na seo 9.1 discutiremos a validade destas aproximaes. Pode-se

    considerar uma sorte que o uso destes clculos aproximados leva expresso correta da

    densidade de energia magntica .

    Exerccios:

    Fig. 8.5.7 Bobina toroidal

    E 8.5.1: Mostramos que a corrente numa

    malha de resistncia R e indutncia L sem

    nenhum outro elemento descrita pela lei

    horria ( ) 0 expR

    I t I tL

    =

    . Integrando a

    potncia dissipada no resistor de 0t = at

    a

    b

    h

    R

  • 432

    t = , percebemos que a energia inicialmente armazenada no campo magntico vale

    2

    02

    LI .

    (a) Use a lei de Ampre para calcular o campo magntico de um solenide toroidal com

    N espiras que leva uma corrente 0I (compare com a figura 8.5.7).

    (b) Calcule a indutncia do solenide.

    (c) Comprove, neste exemplo, que a energia armazenada 202

    LI igual integral de

    volume ( ) ( ) 3

    0

    1

    2B r B r d r

    .

    E 8.5.2: Escreva os pontos de destaque desta seo.

    8.5 Apndice: uma curiosidade.

    Na tentativa de visualizar uma superfcie que tenha uma malha com solenoide como

    beirada, podemos ter boas surpresas. Montei uma malha de um arame de ferro com um

    minissolenoide de apenas duas voltas. Escolhi este nmero pequeno de voltas para

    tornar a superfcie mais simples, mas a mesma surpresa que teremos com esta malha

    poderamos ter com uma com um solenoide muito comprido e densamente enrolado.

    Para gerar uma superfcie mais lisa e bonita que aquela feita com um tecido elstico das

    figuras 8.5.3 8.5.5, eu mergulhei esta malha numa soluo de detergente com a

    inteno de criar uma superfcie com uma lmina de lquido. A figura 8.5.8 mostra uma

    fotografia desta experincia. Aparentemente h alguns buracos nesta lmina de lquido.

    Mas se trata apenas de um efeito da ptica. Em algumas regies a lmina tem uma

    espessura tal que as duas reflexes da luz nas interfaces lquido-ar dos dois lados

    interferem destrutivamente1, e isto resulta na impresso de que a lmina tem buracos.

    Mas h realmente um buraco verdadeiro, e este fica num lugar muito surpreendente:

    justamente dentro do solenoide, onde no caso de um solenoide muito comprido com

    muitas espiras teria o campo magntico, no h lmina de gua com detergente! Ser

    ento o fluxo magntico nulo?

    A soluo deste enigma est na topologia desta superfcie. Examinando a lmina com

    cuidado, o leitor percebe que se trata de uma superfcie no orientvel. Para deixar este

    fato mais claro reconstru a lamina de lquido com duas camadas de fita isolante, azul de

    um lado e preto

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