Distribuio T - Student

Distribuio T - StudentProf. HerondinoDistribuio T-StudentAdistribuioTde Student umadistribuiode probabilidade estatstica, publicada por um autor que se chamou deStudent, pseudnimo deWilliam Sealy Gosset, que no podia usar seu nome verdadeiro para publicar trabalhos enquanto trabalhasse para acervejaria Guinness.

T- StudentPadronizar varivel aleatria normal requer que o e sejam conhecidos. Na prtica, porm, no podemos calcular z = (x - )/ porque desconhecido. Em vez disso, substitumos por s e calculamos a estatstica t.

Distribuio Amostral da Mdia e da varinciaSe discrepncias nas observaes sobre a mdia so aleatrios e independentes, ento a distribuio amostral da mdia tem e varincia, 2/n. A quantidade 2/n a varincia da mdia. Sua raiz quadrada chamada o erro padro da mdia:

A estimativa do erro padro da mdia :

Esta seria a distribuio de amostragem da mdia (isto , a distribuio de valores calculados a partir de diferentes amostras). 4Distribuio tNormalmente, a varincia da populao, 2 no conhecida e no podemos usar a distribuio normal como a distribuio de referncia para a mdia da amostra. Em vez disso, substituir e usar a distribuio t. Se a distribuio de referncia normal e a varincia da populao estimado por s2, a quantidade:

que conhecido como a mdia padronizada ou como a estatstica t, ter distribuio com = n - 1 graus de liberdade.

Exemplo:Para os dados de nitrato, a mdia da amostra de concentrao igual a 7,51 mg/L e encontra-se a uma distncia considervel abaixo do verdadeiro valor de referncia 8,00 mg/L (Figura 2). Se a verdadeira mdia da amostra de 8,0 mg/L e o laboratrio est medindo precisamente, um valor to baixo quanto 7,51 que ocorrem por acaso apenas quatro vezes em 100. Sabe-se que o desvio padro 1,38 e 27 amostras. Qual ser o valor T.

Qual a probabilidade de se obter uma amostra to pequenas com mdia = 7,51 mg/L a partir da anlise das 27 amostras?"Utilizando a tabela

Grau de liberdade = n - 1 Como so 27 amostras, temos:v=27-1=26 grau de liberdade

a) Referncia de distribuio de P( 7,51) = 0.04

b) Referncia de distribuio TP(t 1,853) = 0,04AnliseSe este resultado altamente improvvel, pode ser que a amostra no representam a populao, provavelmente porque o processo de medio foi tendenciosa para produzir concentraes abaixo do valor real. Ou, poderamos decidir que o resultado, embora improvvel, deve ser aceito como ocorrido devido ao acaso e no devido uma causa atribuvel (como vis nas medies).Inferncia estatstica envolve fazer uma avaliao a partir de dados experimentais sobre um parmetro desconhecido da populao (por exemplo, uma mdia ou varincia).A Distribuio TA distribuio de referncia necessria, a fim de escolher se o resultado facilmente explicada por mero acaso ou se variao excepcional.

A distribuio T uma relevante referncia que representa o conjunto de resultados que poderiam ocorrer por acaso.

Um resultado que cai sobre a cauda da distribuio pode ser considerado excepcional.

T- StudentA distribuio T similar a distribuio Z, em que ambos so simtricas na mdia zero.Ambas as distribuies so em forma de sino, mas a T distribuio mais varivel em virtude dos T - valores depender das flutuaes de duas quantidades, e S2, considerando que os valores-Z depende apenas das mudanas na de amostra para amostra.

Figura 1 - A distribuio t para curvas v=2, v=5 e v=.

Na Figura 1, mostramos a relao entre a distribuio normal padro (v = ) e distribuies t com 2 e 5 graus de liberdadeGraus de liberdadeA distribuio de T diferente daquela de Z na variao de T depende do tamanho da amostra n e sempre maior do que 1.Somente quando o tamanho da amostra n as duas distribuies se tornar o mesmo. A porcentagem da distribuio t dada por Tabelas.PropriedadesAs condies em que a quantidade t = (x - )/s tem a distribuio com graus de liberdade so:

1) x normalmente distribudo sobre com varincia 2 ;

2) s distribudo Independentemente da mdia, isto , a varincia da amostra no aumenta ou diminui medida que aumenta ou diminui as mdias;

3) O s2 quantidade, que tem graus de liberdade, calculada a partir de observaes normalmente distribudos e tm varincia independentemente 2.Exemplo 2:O t-value com v = 14 graus de liberdade que deixa uma rea de 0,025 para a esquerda, e, portanto, uma rea de 0.975 para a direita, :

t0,975 = t0,025 = 2.145.

Exemplo 3:Encontre P(t0,025 < T < t0,05).Como t0,05 deixa uma rea de 0,05 para a direita, e -t0,025 deixa uma rea de 0,025 esquerda, encontramos uma rea total de 1 0,05 0.025 = 0.925 entre -t0,025 e t0,05. Portanto, P(t0,025 < T < t0,05) = 0.925.Exemplo 4:Encontre k sendo P(k < T < 1.761) = 0.045 de uma amostra aleatria de tamanho 15 selecionado de uma distribuio normal e

Os valores t do exemplo 4

Tabela 1- Distribuio t

Exemplo 4:Encontre k sendo P(k < T < 1.761) = 0.045 de uma amostra aleatria de tamanho 15 selecionado de uma distribuio normal e

Os valores t do exemplo 4

Como k=-t ento 0,05-=0,045=0,005

Tabela 1- Distribuio t

Exemplo 4:Encontre k sendo P(k < T < 1.761) = 0.045 de uma amostra aleatria de tamanho 15 selecionado de uma distribuio normal e

Os valores t do exemplo 4Como k=-t ento 0,045=0,05-=0,005

Tabela 2- Distribuio t

Exemplo 4:Encontre k sendo P(k < T < 1.761) = 0.045 de uma amostra aleatria de tamanho 15 selecionado de uma distribuio normal e

Os valores t do exemplo 4Como k=-t ento 0,045=0,05-=0,005-t0,005 =-2,977

Tabela 2- Distribuio t

Exemplo 4:

P(-2,977 < T < 1.761) = 0.045 Distribuio t - AnliseExactamente 95% dos valores de uma distribuio-t com v = n-1 graus de liberdade situar-se entre -t0,025 e t0,025 . Claro, existem outras t-valores que contm 95% da distribuio, como por exemplo t0,03 e t0,02, mas esses valores no aparecem na Tabela t, e, alm disso, o intervalo mais curto possvel obtido pela escolha t-valores isso deixa exatamente a mesma rea nas duas caudas da nossa distribuio.Esse t-valor que est abaixo de -t0,025 ou acima t0,025 os faria acreditar que qualquer um evento muito raro ocorreu ou a nossa suposio sobre est em erro. Caso isto acontea, vamos tomar a deciso do pressuposto de que o nosso valor de um erroNa verdade, uma t-valor cair abaixo t0,01 ou acima t0,01 daria evidncia ainda mais forte que o nosso valor assumido de ser bastante improvvel.Distribuio t - AnliseExemploUm engenheiro qumico afirma que a mdia da populaode rendimento de um processo em lote de 500 gramas por mililitro de matria-prima. Para verificar essa afirmao tem amostras de 25 lotes de cada ms. Se o t-valor calculado cai entre t0,05 e t0,05 , dar-se por satisfeito com esta reivindicao. Qual concluso poderia encontrar a partir de uma amostra que tem mdia de gramas por mililitro e um desvio padro amostral de s = 40 gramas? Assumir a distribuio do rendimento aproximadamente normal.

ResoluoDa tabela encontramos que t0,05 = 1.711 para 24 graus de liberdade. PORTANTO, o engenheiro pode estar satisfeito com a sua afirmao se uma amostra de 25 lotes rende um valor de t entre -1,711 e 1,711.Se = 500, ento:

A probabilidade de se obter um valor de t, com v = 24, igual a ou maior do que 2,25 de aproximadamente 0,02. Se > 500, o valor de T calculado a partir da amostra mais razovel

Tabela 1- Distribuio t

Tabela 2- Distribuio tReferncia BibliogrficaBERTHOUEX, Paul Mac; BROWN, Linfield C..Statistics for Environmental Engineers.2 Boca Raton London New York Washington, D.c: Lewis Publishers, 2002. 10-13 p.Walpole, Ronald E et al. Probability & statistics for engineers & scientists/Ronald E. Walpole . . . [et al.] 9th. Ed. ISBN 978-0-321-62911-1.Boston-USA/2011