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2006 7-1 ufpr/tc405

7 7ADERÊNCIA ENTRE O CONCRETO E O AÇO

7.1 Tipos de aderência A aderência entre o concreto e o aço pode ser obtida:

por adesão (Figura 7.1a);

por atrito (Figura 7.1b); e

mecanicamente (Figura 7.1c)

Figura 7.1 - Tipos de aderência

A aderência mecânica, conseguida através de mossas ou saliências, é a mais eficiente de todas.

A caracterização da superfície de aderência das barras de aços destinados a armaduras

para concreto armado é feita pelo coeficiente de conformação superficial , através ensaio estabelecido na ABNT NBR 7477. Os valores mínimos para este coeficiente, apresentados na ABNT NBR 7480 são estabelecidos em função da categoria do aço. Para a ABNT NBR 6118, a

conformação superficial é medida pelo coeficiente 1. Os valores para este coeficiente são estabelecidos em função do tipo de superfície lateral das barras. As relações entre os coeficientes

e 1, apresentadas pela ABNT NBR 6118, item 8.3.2, são mostradas na Tabela 7.11.

Superfície 1

Lisa (CA-25) 1,00 1,0

Entalhada (CA-60) 1,40 1,5

Nervurada (CA-50) 2,25 1,5

Tabela 7.1 - Relação entre e 1

7.2 Ancoragem de barras tracionadas Seja a Figura 7.2 onde é mostrada a transferência da força normal Rs atuante na barra de

aço para o bloco de concreto. Esta transferência de força é possível devido ao desenvolvimento

de tensões tangenciais de aderência b,x entre a armadura e o concreto.

1 A ABNT NBR 6118, item 8.3.2, define o coeficiente de conformação superficial da ABNT NBR 7480 como sendo b.

As barras nervuradas são, também, referidas como de alta aderência.

concreto

aço

a) b) c)

2006 7-2 ufpr/tc405

Figura 7.2 - Transferência de força normal

Fazendo o equilíbrio de forças atuantes no seguimento de barra dx, tem-se:

)d(AdxuA x,sx,ssx,bx,ss

x,ssx,b dAdxu

x,s

2

x,b d4

dx

dx

d

4

x,s

x,b

x,b

x,s 4

dx

d

Equação 7.1

A solução da Equação 7.1 só é possível se for conhecida a variação de b,x ao longo de x. A solução simplificada (usada em projeto com a introdução de coeficientes de segurança

adequados) consiste em adotar para b,x um valor constante, admitindo as tensões de aderência uniformemente distribuídas ao longo do trecho da barra situado dentro do bloco de concreto (Figura 7.3). Nestas condições tem-se:

unif,b

x,s 4

dx

d

dx4

d unif,bx,s

dx

4d unif,bx,s

x4

unif,bx,s

Equação 7.2

dx

s = Rs / As

b,x

s,x

x

Rs

b,x

dx tensões tangenciais de aderência

tensões normais na barra

As = 2/4

u =

s,x + ds,x

2006 7-3 ufpr/tc405

A Equação 7.2 corresponde a uma reta e a Figura 7.3 mostra o esquema simplificado de transferência de força atuante na barra para o

bloco de concreto (b,unif

é constante e s,x varia linearmente). Em se tratando de valores de projeto (valores de cálculo), o valor da

tensão normal s deve ficar limita a fyd e a força Rs assume o valor de cálculo Rsd.

Figura 7.3 - Comprimento de ancoragem - valores de projeto

Do exposto na Figura 7.3, torna-se possível determinar o comprimento de ancoragem

necessário b,nec para tornar nula, no final da barra, a tensão normal nela atuante, ou seja, o comprimento de ancoragem necessário para que a força atuante na barra possa ser transferida para o concreto. Do diagrama de tensões normais mostrado na Figura 7.3 pode-se estabelecer:

s

sdsx,snec,b

x,s

A

Rx

00x

Introduzindo os valores de b,nec e s na Equação 7.2, tem-se:

nec,bunif,bs

4

unif,b

snec,b

4

Equação 7.3

7.3 Influência da posição da barra A qualidade da aderência varia em função da posição da barra. Barras horizontais situadas

na parte superior de uma viga ou de uma laje têm qualidade de aderência inferior àquelas colocadas na parte inferior. Devido à segregação do concreto fresco, ocorre um acúmulo de água sob as barras horizontais superiores, conforme mostrado na Figura 7.4. Posteriormente, sendo esta água absorvida pelo concreto, vazios serão formados na parte inferior das barras superiores diminuindo, conseqüentemente, a qualidade da aderência. A sedimentação do cimento que ocorre

antes do início da pega e a exudação do excesso de água de amassamento também contribuem para a pior qualidade de aderência do concreto situado na parte superior de uma viga ou laje (Figura 7.4).

Figura 7.4 - Qualidade da aderência - armadura horizontal superior

s = (Rsd / As) fyd

b,unif

x

Rs = Rsd

b,unif

b,nec

tensões tangenciais de aderência

tensões normais na barra

s,x = (4/) (b,unif) x

água acumulada sob a barra

água de exudação

armadura superior

concreto

2006 7-4 ufpr/tc405

A ABNT NBR 6118, item 9.3.1, considera os trechos de barras em boa situação de aderência quando estiverem em uma das posições seguintes:

a. com inclinação maior que 45° sobre a horizontal; b. horizontais ou com inclinação menor que 45° sobre a horizontal, desde que

(Figura 7.5):

para elementos estruturais com h < 60 cm, localizados no máximo 30 cm acima da face inferior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima;

para elementos estruturais com h 60 cm, localizados no mínimo 30 cm abaixo da face superior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima.

Os trechos das barras em outras posições e quando do uso de formas deslizantes devem ser considerados em má situação quanto à aderência.

Figura 7.5 - Situações de boa e má aderência para armaduras horizontais

Em termos gerais pode-se dizer que as armaduras negativas (armaduras horizontais superiores) de vigas e lajes com altura superior a 30 cm então em situações de má aderência. As armaduras positivas de lajes e vigas (armaduras horizontais inferiores), bem como as armaduras de pilares (armaduras verticais), de modo geral, estão em situação de boa aderência.

Figura 7.6 - Armaduras em situações de boa e má aderência

7.4 Resistência de aderência de cálculo A ABNT NBR 6118, item 9.3.2.1, estabelece que a resistência de aderência de cálculo entre

armadura e concreto na ancoragem de armaduras passivas deve ser obtida pela seguinte expressão:

ctd321bd ff Equação 7.4

sendo:

c

inf,ctk

ctd

ff

boa aderência

má aderência

boa

ad

erê

ncia

pilares vigas ou lajes com h > 30 cm

(h 30 cm só boa aderência)

h > 30 cm

h < 60 cm

boa aderência

má aderência

boa aderência

má aderência

30 cm

30 cm

h 60 cm paralelas

2006 7-5 ufpr/tc405

aderência alta ou nervuradas barras25,2

entalhadas barras40,1

lisas barras00,1

1

aderência má de situações70,0

aderência boa de situações00,12

mm 40 92,0

mm 32 00,13

Na falta de ensaios para a determinação mais precisa do valor da resistência à tração do concreto característica, é permitido pela ABNT NBR 6118, item 8.2.5, o uso das seguintes expressões:

mct,supctk,

mct,infctk,

3 2ckmct,

f 3,1f

MPa em valoresf 0,7f

f 0,3f

Equação 7.5

Sendo fckj 7MPa, as expressões da Equação 7.5 podem também ser usadas para idades diferentes de 28 dias.

Combinando a Equação 7.4 e a Equação 7.5, tem-se:

3 2ck

3 2ckmct,infctk, f 0,21f 0,37,0f 0,7f

c

3 2ck

c

inf,ctk

ctd

f 0,21ff

c

3 2ck

321ctd321bd

f 0,21ff

MPa em ff21,0

f ck3 2

ck

c

321

bd

Equação 7.6

Os valores de c estão mostrados na Tabela [3.7] e para o ELU valem:

isexcepciona scombinaçõe20,1

construção de ou especiais scombinaçõe20,1

normais scombinaçõe40,1

c

Exemplo 7.1: Determinar o valor de fbd para a região superior de uma viga de concreto armado que terá 70 cm da altura.

Considerar: – concreto: C25;

– barra nervurada: 40 mm; e – combinação normal de carregamento - ELU.

Solução: O valor de fbd é determinado pela Equação 7.6. Para 1 deverá ser usado o valor

2,25 que corresponde a barra nervurada; para 2 deverá ser usado o valor 0,7 que corresponde a situação de má aderência, região superior de viga de 70 cm

(ver Figura 7.6); para 3 deverá ser usado o valor 0,92 que corresponde a barra

de diâmetro 40 mm; e para c deverá ser usado o valor 1,4 que corresponde a combinação de normal de carregamento - ELU.

a. Dados

C25MPa 25fck

nervurada barra25,21

aderência má de situação70,02

2006 7-6 ufpr/tc405

mm 40 92,03

normal combinação - ELU40,1c

b. fbd

MPa em ff21,0

f ck3 2

ck

c

321

bd

MPa ,861254,1

92,07,025,221,0f

3 2bd

MPa ,861fbd ◄

Os valores de fbd para situações de boa aderência e barras com diâmetro igual ou menor que 32 mm estão mostrados na Tabela 7.2.

fbd

32 mm (boa aderência) c = 1,40

concreto barras

lisas entalhadas nervuradas

C20 1,11 MPa 1,55 MPa 2,49 MPa

C25 1,28 MPa 1,80 MPa 2,89 MPa

C30 1,45 MPa 2,03 MPa 3,26 MPa

C35 1,60 MPa 2,25 MPa 3,61 MPa

C40 1,75 MPa 2,46 MPa 3,95 MPa

C45 1,90 MPa 2,66 MPa 4,27 MPa

C50 2,04 MPa 2,85 MPa 4,58 MPa

Tabela 7.2 - Valores de fbd1

7.5 Comprimento de ancoragem - valores de cálculo Os valores de cálculo para comprimento de ancoragem de barras, a serem usados em

projetos de estruturas de concreto armado, são obtidos da Equação 7.3 substituindo b,unif por fbd, de tal forma que:

bd

snec,b

f4

Equação 7.7

No caso particular em que a tensão normal s corresponde ao valor limite de cálculo fyd, tem-se:

bd

yd

bf

f

4

Equação 7.8

A ABNT NBR 6118, item 9.4.2.4, define o valor de b da Equação 7.8 como sendo o comprimento de ancoragem básico, necessário para ancorar a força limite As fyd, atuante na barra, admitindo, ao longo desse comprimento, resistência de aderência uniforme e igual a fbd.

Deve ser observado que o valor do comprimento de ancoragem necessário (b,nec da

Equação 7.7) será sempre menor ou igual ao comprimento de ancoragem básico (b da

Equação 7.8) pois s fyd.

ABNT NBR 6118: “9.4.2.4 Comprimento de ancoragem básico Define-se comprimento de ancoragem básico como o comprimento reto de uma barra de armadura passiva necessário para ancorar a força limite As fyd nessa barra, admitindo, ao longo desse comprimento, resistência de aderência uniforme e igual a fbd, conforme item 9.3.2.1.”

1 Para situação de má aderência, multiplicar os valores da tabela por 0,7.

2006 7-7 ufpr/tc405

O comprimento de ancoragem básico é dado por:

bd

yd

bf

f

4

9.4.2.5 Comprimento de ancoragem necessário O comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado por:

min,b

ef,s

cal,s

bnec,bA

A

sendo:

= 1,0 para barras sem gancho;

= 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal

ao do gancho ≥ 3;

= 0,7 quando houver barras transversais soldadas conforme 9.4.2.2;

= 0,5 quando houver barras transversais soldadas conforme 9.4.2.2 e

gancho, com cobrimento no plano normal ao do gancho ≥ 3;

b calculado conforme 9.4.2.4;

b,min o maior valor entre 0,3b, 10 e 100 mm Permite-se, em casos especiais, considerar outros fatores redutores do comprimento de ancoragem necessário.“

Deve ser observado que a apresentação do comprimento de ancoragem necessário apresentado pelo item 9.4.2.5 da ABNT NBR 6118, aparentemente, difere do estabelecido pela Equação 7.7. No entanto, os dois modos de apresentação são equivalentes, como demonstrado a seguir.

A Equação 7.7 decorre da Figura 7.3 onde é mostrado que:

ef,s

sd

s

sds

A

R

A

R

onde As representa a área da seção transversal efetiva (As,ef) da barra tracionada pela força Rsd. Desta forma, a Equação 7.7 pode ser escrita

ef,s

sd

bdbd

snec,b

A

R

f

1

4f4

Como uma força pode ser sempre representada pelo produto de uma área por uma tensão, para a força Rsd vale:

ydcal,ssd fAR

onde As,cal representa a área a ser calculada (As,cal ≤ As,ef), para que a tensão s atuante na barra tracionada pela força Rsd resulte igual a fyd. Desta forma, tem-se:

ef,s

ydcal,s

bdef,s

sd

bd

nec,bA

fA

f

1

4A

R

f

1

4

ou ainda:

ef,s

cal,s

b

ef,s

cal,s

bd

yd

nec,bA

A

A

A

f

f

4

Equação 7.9

A Equação 7.9 é, portanto, a mesma apresentada pela ABNT NBR 6118, item 9.4.2.5, a

menos do fator .

Desta forma, o valor de b,nec pode ser calculado por:

cm10

10

3,0

maxA

Ab

ef,s

cal,sbnec,b

Equação 7.10

A combinação da Equação 7.7 com a Equação 7.9, resulta em:

ef,s

cal,s

bd

yd

bd

snec,b

A

A

f

f

4f4

de tal forma que, a tensão atuante na barra tracionada fica definida por:

2006 7-8 ufpr/tc405

yd

ef,s

cal,s

s fA

A Equação 7.11

Exemplo 7.2: Determinar o valor do comprimento de ancoragem básico das barras de armadura positiva (armadura inferior) a ser usado em vigas de concreto armado a serem construídas com concreto classe C20 e aço CA-50. Considerar apenas barras nervuradas com diâmetros inferiores a 40 mm e combinações normais de carregamento - ELU.

Solução: O valor de b é determinado pela Equação 7.8, com fbd definido pela

Equação 7.6. Para 1 deverá ser usado o valor 2,25 que corresponde a barra

nervurada; para 2 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a situação de

boa aderência, região inferior de vigas (ver Figura 7.6); para 3 deverá ser usado

o valor 1,0 que corresponde a barras de diâmetro menor que 40 mm; para c deverá ser usado o valor 1,4 que corresponde a combinações normal de

carregamento - ELU; e para s deverá ser usado o valor 1,15 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU.

a. Dados

C20MPa 20fck

CA50MPa 500fyk


aderência boa de situação00,12

mm 40 00,13


normal combinação - ELU15,1s

MPa 4351,15

500ff

s

yk

yd

b. fbd

MPa em ff21,0

f ck3 2

ck

c

321

bd

MPa 2,49204,1

0,10,125,221,0f

3 2bd

c. b

bd

yd

bf

f

4

4449,2

435

4b

44b ◄

Os valores de b para CA-50, situações de boa aderência e barras com diâmetro igual ou menor que 32 mm estão mostrados na Tabela 7.3.

2006 7-9 ufpr/tc405

b c = 1,40

s = 1,15

32 mm (boa aderência)

CA-50-

concreto Barras

Lisas entalhadas nervuradas

C20 98 70 44

C25 85 61 38

C30 75 54 33

C35 68 48 30

C40 62 44 28

C45 57 41 25

C50 53 38 24

Tabela 7.3 - Comprimento de ancoragem básico - CA-501

7.6 Redução do comprimento de ancoragem

7.6.1 Ganchos das armaduras de tração

Uma das maneiras permitida pela ABNT NBR 6118 para a redução de comprimentos de ancoragem é através do uso de ganchos em armaduras tracionadas (Figura 7.7).

Figura 7.7 – Tipos de ganchos

De acordo com o item 9.4.2.3 da ABNT NBR 6118, os ganchos podem ser:

a. semicirculares, com ponta reta de comprimento não inferior a 2 (Figura 7.7.a) ;

b. em ângulo de 45° (interno), com ponta reta de comprimento não inferior a 4 (Figura 7.7.b) ; e

c. em ângulo reto, com ponta reta de comprimento não inferior a 8 (Figura 7.7.c) .

Para as barras lisas, os ganchos devem ser semicirculares.

O diâmetro interno da curvatura (D) dos ganchos das armaduras longitudinais de tração deve ser pelo menos igual ao estabelecido na Tabela 7.4.

Bitola (mm) Tipo de Aço

CA-25 CA-50 CA-60

<20 4 5 6

20 5 8 -

Tabela 7.4 – Diâmetro dos pinos de dobramento

É importante observar que o uso de ganchos em barras tracionadas é bastante restrito. A

necessária cobertura de concreto (3), no plano normal ao do gancho, praticamente, só ocorre nas extremidades de vigas que terminam em vigas, como mostrado na Figura 7.8. O gancho da

armadura da viga V2, tem, dentro da viga V1, cobertura lateral de concreto maior que 3. Para outras barras da viga V1, posicionadas fora do encontro das vigas, torna-se mais difícil a obtenção do cobrimento exigido pela ABNT NBR 6118.

1 Para situação de má aderência, dividir os valores da tabela por 0,7.

2

D

a)

4

D

b)

8

D

c)

2006 7-10 ufpr/tc405

Figura 7.8 – Ganchos em extremidade de viga

7.6.2 Barras transversais soldadas

Outra maneira permitida pela ABNT NBR 6118 para a redução de comprimentos de ancoragem é através do uso de barras transversais soldadas (Figura 7.9).

Figura 7.9 – Ancoragem com barras transversais soldadas

De acordo com o item 9.4.2.2 da ABNT NBR 6118, a redução de comprimentos de ancoragem é através do uso de barras transversais soldadas poderá ser feita desde que:

a. o diâmetro da barra soldada seja maior ou igual a 60% do diâmetro da barra ancorada

(t ≥ 0,6 ); b. a distância da barra transversal ao ponto de início da ancoragem seja maior ou igual 5

vezes o diâmetro da barra ancorada (≥ 5 ); e c. a resistência ao cisalhamento da solda seja maior ou igual a 30% da resistência da

barra ancorada (0,3 As fyd).

7.7 Diagrama Rsd Conforme mostrada na Figura 7.3, as armaduras necessitam, em sua parte final, de um

determinado comprimento para se fixarem (ancorarem) dentro da massa de concreto. Desta forma o diagrama de tensões normais possível de ser desenvolvido em uma barra de aço destinada a armadura para concreto armado é o mostrado na Figura 7.10.

V2

V1

V2

V1

3

b,nec

≥ 5

b,nec

≥ 5

b,nec

≥ 5

t

b,nec

≥ 5

2006 7-11 ufpr/tc405

Figura 7.10 - Diagrama de tensões normais em barras de aço para concreto armado

Deve ser observado na Figura 7.10 que a tensão normal na barra s só pode atingir o valor máximo fyd se houver espaço suficiente para ancoragem com o desenvolvimento do comprimento

de ancoragem básico b (lado direito do diagrama). Quando o espaço necessário para a ancoragem da barra é restrito (lado esquerdo do diagrama), onde somente o comprimento de

ancoragem necessário b,nec pode ser desenvolvido, a tensão normal s é menor que fyd.

Se as ordenadas mostradas no diagrama de tensões da Figura 7.10 forem multiplicas por As (área da seção transversal da barra) chega-se ao diagrama de força resistente Rsd

1, como mostrado na Figura 7.11 (trocou-se tensão por força).

Figura 7.11 - Diagrama Rsd (esforço resistente de cálculo)

1 A força resistente Rsd é a mesma força mostrada na Figura [5.14] e na Figura 7.3.

s

b,nec b

fyd

início da ancoragem

As

Rsd = As s

b,nec b

Rsd = As fyd


As

2006 7-12 ufpr/tc405

Exemplo 7.3: Determinar o diagrama de força resistente de cálculo Rsd para as armaduras negativas (tracionadas) da viga abaixo indicada.

Considerar: – concreto: C20; – barra nervurada: CA-50; – combinação normal de carregamento - ELU; e

– s = fyd (máximo aproveitamento das barras).

Solução: O valor de b deverá ser determinado para cada barra usando a Equação 7.8, com

fbd definido pela Equação 7.6. Para 1 deverá ser usado o valor 2,25 que

corresponde a barra nervurada; para 2 deverá ser usado o valor 0,7 que corresponde a situação de má aderência, região superior de vigas (ver Figura 7.6);

para 3 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a barras de diâmetro menor

que 40 mm; para c deverá ser usado o valor 1,4 que corresponde a combinações

normal de carregamento - ELU; e para s deverá ser usado o valor 1,15 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU. Os diagramas individuais Rsd (N1, N2 e N3) são obtidos de módulo análogo ao apresentado na

Figura 7.11 usando somente valores b na horizontal e As fyd na vertical. Por se tratar de armadura negativa, os valores das forças deverão ser posicionados "para cima", contrário ao apresentado na Figura 7.11 que corresponde a armaduras positivas ("para baixo"). O diagrama final Rsd corresponde à somatória dos diagramas individuais.

a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm)

C20kN/cm 2MPa 20f 2ck

CA50kN/cm 0,50MPa 500f 2yk



mm 40 00,13



2

s

yk

yd kN/cm 5,43MPa 4351,15

500ff

b. fbd

MPa em ff21,0

f ck3 2

ck

c

321

bd

23 2bd kN/cm 0,174MPa 1,7420

4,1

0,17,025,221,0f

N1 12,5 – 280 cm

2N2 16 – 510 cm

2N3 16 – 620 cm - 2ª cam

A

A N3

N2

N1

Corte AA

2006 7-13 ufpr/tc405

c. b

bd

yd

bf

f

4

63174,0

5,43

4b

cm100mm10081663mm 16

cm80mm5,7875,1263mm 12,5

b

b

d. Diagramas individuais das forças resistentes de cálculo

d.1. 12,5 mm, b = 80 cm

222

s cm ,2314

1,25

4A

kN 53,543,5,231fAR ydssd

d.2. 16 mm, b = 100 cm

222

s cm ,0124

1,6

4A

kN 87,443,52,01fAR ydssd

e. Diagrama Rsd

80 cm

53,5 kN

87,4 kN

100 cm

403,1 kN

349,6 kN

174,8 kN

0 kN

Rsd

100 cm

2N2 2 x 87,4 = 174,8 kN

100 cm

2 x 87,4 = 174,8 kN 2N3

80 cm

1 x 53,5 = 53,5 kN N1

2006 7-14 ufpr/tc405

7.8 Diagrama MRd1 Seja a Figura 7.121, onde são mostradas as solicitações e resistências atuantes em um

trecho de viga de concreto armado de seção retangular sem armadura de compressão.

Figura 7.12 - Esforços e solicitações em vigas de concreto armado

Por se tratar de seção retangular sem armadura de compressão, para a Figura 7.12, são válidas as seguintes expressões:

1cdcd RR

1RdRd MM

Da Figura 7.12 também valem as seguintes expressões:

cdc f85,0

2

ydz

de tal forma que:

sd1cd RR

ybR wc1cd

ybf85,0R wcd1cd

sssd AR

zRzRM sd1cd1Rd

Portanto:

sswcd Aybf85,0

cd

s

w

s

fb

A

85,0

1y

2

ydz

cd

s

w

s

fb

A

7,1

1dz

cd

s

w

s

fdb

A

7,1

11dz

cd

s

w

sz

fdb

A

7,1

11

d

z Equação 7.12

Introduzindo o valor de z na equação de MRd1, tem-se:

1 Esta Figura corresponde à Figura [5.14] do Capítulo [5].

As

s

MSd

esforços resistentes de cálculo

solicitação de cálculo

x

c

c

Rsd

MRd = MRd1 d

bw

Rcd = Rcd1

z h 1

y = 0,8 x

2006 7-15 ufpr/tc405

dAdRzRM zsszsdsd1Rd

dAM zss1Rd Equação 7.13

Admitindo que yd s 10‰1, do diagrama tensão-deformação do aço (Figura [4.5]) pode-se estabelecer:

yds f

cd

yd

w

sz

f

f

db

A

7,1

11

d

z Equação 7.14

dfAM zyds1Rd Equação 7.15

A Equação 7.13 corresponde ao momento fletor resistente de cálculo para barras ancoradas

com b,nec (s < fyd) e a Equação 7.15 corresponde ao momento fletor resistente de cálculo para

barras ancoradas com b (s = fyd). Observar, também, que a Equação 7.13 e a Equação 7.15 estão contidas na Equação [5.18] usada para a determinação de armadura longitudinal de vigas de seção retangular sem armadura de compressão.

O diagrama de momento fletor resistente MRd1 de uma barra, definido pela Equação 7.13 e

pela Equação 7.15, é análogo ao diagrama da Figura 7.11, com ordenada As s z d para

ancoragem b,nec (s < fyd) e ordenada As fyd z d para ancoragem b (s = fyd), como mostrado na Figura 7.13. De modo simplificado pode-se dizer que o digrama de momento fletor resistente MRd1

é obtido do diagrama Rsd multiplicando suas ordenadas pelo braço de alavanca z (z d).

Figura 7.13 - Diagrama MRd1 (momento resistente de cálculo)

Exemplo 7.4: Determinar o diagrama de momento resistente de cálculo MRd1 para as armaduras positivas (tracionadas) da viga abaixo indicada. A viga tem 20 cm de base e 50 cm de altura útil.

Considerar: – concreto: C25; – barra nervurada: CA-50; – combinação normal de carregamento - ELU; e


1 Esta condição para s corresponde aos domínios 2 e 3 da Figura [5.4]. Corresponde, também, às vigas subarmadas

(dúteis, se x observar os limites estabelecidos pela Equação [5.3]).

d

MRd1 = Rsd z =

As s z d

b,nec b

MRd1 = Rsd z =

As fyd z d


As

2006 7-16 ufpr/tc405

Solução: O valor de b deverá ser determinado para cada barra usando a Equação 7.8, com

fbd definido pela Equação 7.6. Para 1 deverá ser usado o valor 2,25 que

corresponde a barra nervurada; para 2 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a situação de boa aderência, região inferior de vigas (ver Figura 7.6);

para 3 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a barras de diâmetro menor

que 40 mm; para c deverá ser usado o valor 1,4 que corresponde a combinações

normal de carregamento - ELU; e para s deverá ser usado o valor 1,15 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU. O diagrama MRd1 é obtido de módulo análogo ao diagrama Rsd do Exemplo 7.3, com o uso da Equação 7.15 para determinação dos valores dos momentos resistentes de cálculo. Por se tratar de armadura positiva, os valores dos momentos deverão ser posicionados "para baixo", como apresentado na Figura 7.13.


C20kN/cm 2,5MPa 25f 2ck




mm 40 00,13



viga da larguracm 20bw

viga da útil alturacm 50d

barra da diâmetrocm 1,6 mm 16

2

c

ckcd kN/cm 79,1MPa 17,9

1,4

25ff

2

s

yk

yd kN/cm 5,43MPa 4351,15

500ff

b. fbd

MPa em ff21,0

f ck3 2

ck

c

321

bd

23 2bd kN/cm 0,289MPa 2,8925

4,1

0,10,125,221,0f

210

A

A B

B

N1 16 – 350 cm

2N2 16 – 750 cm

2N3 16 – 880 cm

N3

BB AA

N3

N2

2006 7-17 ufpr/tc405

c. b

bd

yd

bf

f

4

38289,0

5,43

4b

cm 60mm 608163838b

d. z

d.1. 2 16 mm (seção BB)

222

s cm 02,44

1,6 2

42A

cd

yd

w

sz

f

f

db

A

7,1

11

943,079,1

5,43

5020

02,4

7,1

11z

d.2. 4 16 mm (seção AA)

222

s cm 04,84

1,6 4

44A

885,079,1

5,43

5020

04,8

7,1

11z

d.3. 5 16 mm (seção situada entre 2,1 m e 5,6 m da face interna do pilar esquerdo)

222

s cm 05,104

1,6 5

45A

856,079,1

5,43

5020

05,10

7,1

11z

d.4. Adoção de um único valor para z Deve ser observado, neste exemplo, que para uma variação de armadura de

150% (de 2 barras para 5 barras) a variação de z foi de -9% (de 0,943 para 0,856). Com o objetivo de não perder a linearidade entre os valores de MRd1 para as

diversas combinações de barras, é prática comum no detalhamento de vigas de concreto armado adotar, independentemente do número de barras atuantes na seção transversal de qualquer trecho de viga, um único valor para o braço de alavanca z, ou

seja adotar um único z (z = z d). Para que as condições de segurança não sejam

violadas, adota-se o menor z (menor braço de alavanca, menor fletor resistente MRd1) que justamente correspondente à seção transversal com maior número de

barras, ou seja adota-se o z correspondente à seção transversal mais solicitada (onde atua o máximo momento fletor solicitante de cálculo MSd). Desta forma, o modo

simplificado de determinar o valor de z é através do uso da equação:

cd

yd

w

max,s

zf

f

db

A

7,1

11

165cm05,10A 2max,s

856,079,1

5,43

5020

05,10

7,1

11z

856,0z

e. Diagrama MRd1 para uma barra de 16 mm

222

s cm 01,24

1,6

4A

500,85643,501,2dfAM zyds1Rd

37 kNm

60 cm

2006 7-18 ufpr/tc405

kNm 73kNcm 3742M 1Rd

Existindo barras com bitolas diferentes, para cada uma delas deverá ser desenvolvido o diagrama MRd1.

f. Diagrama MRd1

g. Condição de segurança

1 x 37 = 37 kNm

0 kNm

MRd1

60 cm

60 cm

60 cm

2 x 37 = 74 kNm

2 x 37 = 74 kNm

N1

2N2

2N3

74 kNm

185 kNm

148 kNm

MRd1

MSd,desl

2006 7-19 ufpr/tc405

A viga será segura se, em qualquer seção transversal, for verificada a condição

dddesl,Sd1Rd SRMM

Além do exposto neste exemplo, outras condições para detalhamento de armadura longitudinal de vigas devem ser observadas, como as estabelecidas no item 18.3.2.3 da ABNT NBR 6118.

7.9 Posição relativa entre os diagramas MSd,desl e MRd1

7.9.1 Vãos e apoios intermediários de vigas

Segundo a ABNT NBR 6118, item 18.3.2.3.1, o diagrama MRd1, nos pontos onde a tensão

normal atuante nas barras é nula (pontas das barras), deve ficar afastado de 10 (diâmetro da barra que esta sendo ancorada) do diagrama MSd,desl, (diagrama de momentos fletores solicitantes, deslocado) como mostrado na Figura 7.14.

Figura 7.14 – Posição relativa entre os diagramas MSd,desl e MRd1

Exemplo 7.5: Detalhar a armadura positiva da viga abaixo representada. A viga tem 15 cm de base e 50 cm de altura.

Dados: – concreto: C20; e – barra nervurada: CA-50. Considerar: – somente solicitações normais;

a

b

barra m + 1

barra m + 2

barra m

b

barra m – diâmetro

barra m + 1 – diâmetro

10

b b barra n

barra n + 1


final da ancoragem

MSd,desl

MSd

MRd1 barra n

barra n – diâmetro

10 10

10 10

2006 7-20 ufpr/tc405

– viga de seção retangular, sem armadura de compressão e simplesmente tttttttapoiada nos pilares;

- pilares com 20 cm de largura;

– estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (g = 1,4,

tttttttq = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);

- a = d; – armadura transversal (estribos): 6,3 mm; – cobrimento nominal: 3 cm; e – dimensão máxima do agregado: 12,5 mm. Obs.: – peso próprio da viga incluído na carga gk.

Solução: O valor de b é determinado de modo análogo ao do Exemplo 7.2. A determinação da armadura necessária para resistir ao máximo momento fletor

positivo é feita de modo análogo ao do Exemplo [5.1]. O posicionamento das barras é determinado de modo análogo ao mostrado na

Figura 7.14.

a. Diagrama MSd

b. Dados

C20MPa 20fck


2

c

ckcd kN/cm43,1MPa3,14

1,4

20ff



mm 40 00,13

MPa em ff21,0

f ck3 2

ck

c

321

bd

47,25 kNm

84,00 kNm

+

- -

Esc. hor.: 1:0,667 Esc. vert.: 1:20

1,5 m 1,5 m 5,0 m

gk = 30 kN/m

Esc.: 1:0,667

2006 7-21 ufpr/tc405

23 2bd kN/cm0,249MPa 2,4920

4,1

0,10,125,221,0f

CA50MPa 500fyk


2

s

yk

yd kN/cm43,5MPa4351,15

500ff

bd

yd

bf

f

4

44249,0

5,43

4b

cm 15bw

cm 50h

cm446-50d (assumido)

cm 3cnom

cm0,63mm 3,6t

cm1,25mm 5,12dmax

2

2

2

min,s cm13,1

cm13,150150015,0

cm86,050155,43

43,1035,0

maxA

2maxs, cm,030501504,0A

kNcm8400kNm84MSd

kNcm2951143,14415272,0M 2lim,1Rd

compressão de armadura de enecessidad há nãoMM

kNcm29511

lim,1Rd

kNcm4008

Sd

kNcm4008MMM 1RdRdSd

c. Armadura longitudinal

OK272,0202,043,14415

40082c

000,1

862,0202,0

s

z

tabela

c

OKcm0,30

cm13,1cm09,5

5,43000,144862,0

4008A

2

22

s

2

22

22

cm25,51025,123

cm57,14

0,12102

cm68,34

25,135,123

2cal,s cm09,5A

2ef,s cm25,5A

d. Verificação de ah e av

cm00,2av

cm00,213

25,1363,020,3215ah

15 cm

6,3 mm

3 cm

10 mm

2 cm 12,5 mm

ah

2006 7-22 ufpr/tc405

cm0,2

cm63,025,15,0d5,0

cm25,1

cm2

maxa

max

v

OK

cm0,2

cm50,125,12,1d2,1

cm25,1

cm2

maxa

max

h

OK

e. Verificação de d

4

0,12

4

25,13

2

0,10,225,1

4

0,12

2

25,1

4

25,13

y22

22

cg

cm56,10,1225,13

2

0,10,225,10,12

2

25,125,13

y22

22

cg

nomtcg cyhd

OKcm44cm81,440,363,056,150d

cm81,44d

cm45da

f. Determinação de MRd1

x

yds

cdws

fA

fdb68,0

xs5,4325,5

43,181,441568,0

xs 862,2

sx 349,0

OK000,1

860,0

204,0

349,0

s

z

c

tabela

x

cd2

wc1Rd fdbM

SdM

21Rd kNcm4008kNcm786843,181,4415204,0M

4

0,12

4

25,13

4

25,13

7868M22

2

5,12,1Rd

kNm62kNcm158625,5

68,37868M 5,12,1Rd

4

0,12

4

25,13

4

0,12

7868M22

2

10,1Rd

kNm26kNcm628225,5

57,17868M 10,1Rd

cg

d

t

cnom

ycg

(ycg + t + cnom)

h

av

2006 7-23 ufpr/tc405

Verificação do valor de z e MRd1 (Equação 7.14 e Equação 7.15)

cd

yd

w

sz

f

f

db

A

7,1

11

d

z

OK860,043,1

5,43

81,4415

25,5

7,1

11z

dfAM zyds1Rd

kNcm7868kNcm801881,44860,05,4325,5M 1Rd (imprecisão de tabela)

A diferença dos valores de MRd1, calculados como funções de c (8 786 kNcm) e de z

(8 801 kNcm), é devida à imprecisão de tabela. Para x igual a 0,349412 (valor mais exato),

c corresponderia a 0,204392 e z seria igual a 0,860234. O valor de MRd1, função de c,

0,204392 x 15 x 44,812 x 1,43 resultaria igual a 8803 kNcm e o valor de MRd1, função de z, 5,25 x 43,5 x 0,860235 x 44,81 corresponderia a 8803 kNcm. Esta imprecisão de tabela será ignorada na seqüência da resolução deste Exemplo.

g. Determinação dos comprimentos de ancoragem

cm44mm4401044mm10,b

cm55mm5505,1244mm5,12,b

h. Diagrama MSd,desl

i. Posicionamento vertical das barras em relação ao diagrama MSd,desl

47,25 kNm

84,00 kNm

a = 45 cm

MSd,desl

MSd

Esc. hor.: 1:66,7 Esc. vert.: 1:20

12,5 mm

12,5 mm

12,5 mm

10 mm

10 mm

62 kNm

Esc. hor.: 1:66,7 Esc. vert.: 1:20

88 kNm 84 kNm

2006 7-24 ufpr/tc405

j. Leque de ancoragem

k. Paralelismo de ancoragem

b = 44 cm

2 10 mm - 310 cm

0

0

1

2

3

1

2 0

1

2

3

0

1

2

b = 55 cm 55 cm

44 cm

10 mm

12,5 mm

Esc. hor.: 1:66,7 Esc. vert.: 1:20

paralelas

10

paralelas

10

0

0

1

2

1

2

3

0

0 1

2

1

2

3

10 mm

12,5 mm

b = 55 cm

b = 44 cm

Esc. hor.: 1:66,7 Esc. vert.: 1:20 55 cm

44 cm

88 kNm

62 kNm

84 kNm

2006 7-25 ufpr/tc405

l. Diagramas MRd1 dos conjuntos de barras

Obs.:

Todas as pontas das barras estão afastadas de uma distância maior ou igual a 10 do diagrama MSd,desl.

O paralelismo de ancoragem existente do lado direito é simétrico em relação ao lado esquerdo.

m. Detalhamento da armadura longitudinal positiva

Para detalhamento da armadura longitudinal negativa ver Exemplo 7.6.

2 N3 - 12,5 mm - 510 cm

1 N2 - 12,5 mm - 400 cm

2 N1 - 10 mm - 310 cm - 2ª cam.

Esc.: 1:66,7

40 cm

15 cm

85 cm

armadura superior (negativa) não

detalhada

armadura inferior (porta-estribo) não

detalhada

cnom = 3 cm

b = 44 cm

2 12,5 mm – 510 cm

1 12,5 mm – 400 cm

2 10 mm – 310 cm

0

0

1

2

3

1

2 0

1

2

3

0

1

2

b = 55 cm 55 cm

44 cm

10 mm

12,5 mm

Esc. hor.: 1:66,7 Esc. vert.: 1:20

paralelas

paralelas

paralelas

2006 7-26 ufpr/tc405

n. Verificações De acordo com o item 18.3.2.4 -c da ABNT NBR 6118, pelo menos 25% da armadura

positiva deve ser estendida aos apoios intermediários. Como duas barras (N3) chegam ao apoio, tem-se:

OK%25%47

4

0,12

4

25,13

4

25,12

A%22

2

apoio,s

De acordo com item 18.3.2.4.1 da ABNT NBR 6118, as armaduras positivas

provenientes do meio do vão deverão estender-se, no mínimo, 10 além da face do apoio. Como a armadura N3 está posicionada 15 cm além da face interna do apoio, o item da

Norma está verificado (10 corresponde a 12,5 cm).

o. Diagramas MSd,desl e MRd1

7.9.2 Balanços

Para os trechos de vigas em balanços, o detalhamento da ancoragem reta requer alguns cuidados especiais. Pela Figura 7.15 pode ser observado que, pelo detalhamento apresentado em 7.9.1, parte da armadura reta ancorada ficaria situada fora da viga.

Figura 7.15 – Vigas em balanço

Embora dispositivos especiais de ancoragem possam ser usados para resolver a situação da armadura mostrada na Figura 7.15, é prática comum a dobra desta armadura para dentro da viga. Para se evitar que trechos expressivos de ancoragem se situem na vertical é conveniente

adotar para b valores não superiores a 25% de b, como mostrado na Figura 7.16 (b contado a

partir da face final do balanço). Como as pontas de barras devem estar afastadas de 10 do

diagrama MSd,desl e a parte dobrada não pode ser maior que d, tem-se para b:

b

b

MSd,desl

MRd1

MRd1

MSd,desl

2006 7-27 ufpr/tc405

d

25,0min10 b

b

Equação 7.16

Se as desigualdades apresentadas na Equação 7.16 não puderem ser verificadas simultaneamente, prevalece os

10 , desde que inferiores a d.

Figura 7.16 – Detalhe de armadura de viga em balanço

O comprimento do trecho reto dobrado (trecho vertical), também, não deverá ser inferior a

10 (Figura 7.16).

Para a definição do diâmetro do pino de dobramento das barras longitudinais que chegam a ponta do balanço deve ser usada a Tabela 7.6, apresentada em 7.13.

Exemplo 7.6: Detalhar a armadura negativa da viga abaixo representada. A viga tem 15 cm de base e 50 cm de altura.

Dados: – concreto: C20; e – barra nervurada: CA-50. Considerar: – somente solicitações normais; – viga de seção retangular, sem armadura de compressão e simplesmente

tttttttapoiada nos pilares; - pilares com 20 cm de largura;


tttttttq = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);

- a = d; – armadura transversal (estribos): 6,3 mm; – cobrimento nominal: 3 cm; e – dimensão máxima do agregado: 12,5 mm. Obs.: – peso próprio da viga incluído na carga gk.


negativo é feita de modo análogo ao do Exemplo [5.2]. O posicionamento das barras é determinado de modo análogo ao mostrado na

Figura 7.14.

d 10

b 0,25 b

1,5 m 1,5 m 5,0 m

gk = 30 kN/m

Esc.: 1:0,667

2006 7-28 ufpr/tc405

a. Diagrama MSd

b. Dados

C20MPa 20fck


2

c


1,4

20ff



mm 40 00,13

MPa em ff21,0

f ck3 2

ck

c

321

bd

23 2bd kN/cm0,174MPa 74,120

4,1

0,17,025,221,0f

CA50MPa 500fyk


2

s

yk


500ff

bd

yd

bf

f

4

63174,0

5,43

4b

cm 15bw

cm 50h


cm 3cnom

cm0,63mm 3,6t

cm1,25mm 5,12dmax

2

2

2

min,s cm13,1

cm13,150150015,0

cm86,050155,43

43,1035,0

maxA

2maxs, cm,030501504,0A

47,25 kNm

84,00 kNm

+

- -

Esc. hor.: 1:0,667 Esc. vert.: 1:20

2006 7-29 ufpr/tc405

kNcm7254kNm25,47MSd

kNcm2951143,14415272,0M 2lim,1Rd


kNcm29511

lim,1Rd

kNcm7254

Sd

kNcm7254MMM 1RdRdSd

c. Armadura longitudinal

OK272,0114,043,14415

72542c

000,1

928,0114,0

s

z

tabela

c

OKcm0,30

cm13,1cm66,2

5,43000,144928,0

7254A

2

22

s

22

cm14,34

0,1410 4

(2 camadas)

2cal,s cm66,2A

2ef,s cm14,3A

d. Verificação de ah e av

cm00,2av

cm74,512

0,1263,020,3215ah

cm0,2

cm63,025,15,0d5,0

cm25,1

cm2

maxa

max

v

OK

cm0,2

cm50,125,12,1d2,1

cm25,1

cm2

maxa

max

h

OK

e. Verificação de d

cm00,2

4

0,14

2

0,10,20,1

4

0,12

2

0,1

4

0,12

y2

22

cg

nomtcg cyhd

OKcm44cm37,440,363,000,250d

cm37,44d

cm45da

f. Determinação de MRd1

x

yds

cdws

fA

fdb68,0

xs5,4314,3

43,137,441568,0

sx 211,0

cg

d t

cnom

ycg

h

av

15 cm

ah

3 cm

10 mm

2 cm

6,3 mm

2006 7-30 ufpr/tc405

OK000,1

916,0

131,0

211,0

s

z

c

tabela

x

cd2

wc1Rd fdbM

SdM

21Rd kNcm7254kNcm532543,137,4415131,0M


cd

yd

w

sz

f

f

db

A

7,1

11

d

z

OK916,043,1

5,43

37,4415

14,3

7,1

11z

dfAM zyds1Rd

OKkNcm5325kNcm551537,44916,05,4314,3M 1Rd

g. Determinação dos comprimentos de ancoragem

cm63mm6301063mm10,b

h. Diagrama MSd,desl

i. Posicionamento vertical das barras em relação ao diagrama MSd,desl (apoio esquerdo)

47,25 kNm

84,00 kNm

a = 45 cm

MSd,desl

MSd

Esc. hor.: 1:66,7 Esc. vert.: 1:20

10 mm 55,3 kNm

47,25 kNm

Esc. hor.: 1:33,3 Esc. vert.: 1:10

2006 7-31 ufpr/tc405

i. Leque de ancoragem e definição de b (apoio esquerdo)

O ponto K corresponde ao ponto final de ancoragem (ponta de barra) das barras que irão cobrir o momento negativo que aparece na ponta do balanço devido ao deslocamento do diagrama MSd.

O valor de b satisfaz a todas as desigualdades da Equação 7.16, ou seja, menor

que 0,25 b (15,75 cm), menor que d (44,37 cm) e maior que 10 (10 cm).

j. Diagramas MRd1 dos conjuntos de barras (apoio esquerdo)

A dobra da barra N1 foi ajustada de 18 para 20 cm (15 cm correspondente a b mais 3 cm de cnom).

20 cm 2 10 mm – 195 cm

2 10 mm – 275 cm (rt.: 255 cm; db.: 20 cm)

0 0

4

3

1

2

4

3

1

2

K

b = 63 cm Esc. hor.: 1:33,3 Esc. vert.: 1:10 b = 63 cm

b = 15 cm

(<25% de b)

paralelas

paralelas

paralelas

10 (10 cm)

10

10 < d

3 cm (cnom) da face final do

balanço

0

4

1

2

3

0 K

b = 63 cm

10 mm 55,3 kNm

47,25 kNm

Esc. hor.: 1:33,3 Esc. vert.: 1:10 b = 63 cm

b = 15 cm

4

1

2

3

2006 7-32 ufpr/tc405

k. Detalhamento da armadura longitudinal negativa

Para detalhamento da armadura longitudinal positiva ver Exemplo 7.5.

7.9.3 Apoios extremos de vigas

Conforme visto em [6.2], a analogia da treliça de Morsh apresenta um conjunto de forças como mostrado na Figura 7.17.

Figura 7.17 – Forças atuantes na treliça de Morsh

Na Figura 7.17 tem-se: MSd momento fletor solicitante de cálculo; Rcd força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido; Rsd força resistente de cálculo atuante na armadura tracionada; VSd força cortante solicitante de cálculo.

Ainda, na Figura 7.17, deve ser observado que:

na região do apoio, a resultante Rsd é função direta da reação de apoio VSd; e

em região afastada do apoio, a resultante Rsd é função direta do momento fletor MSd.

Segundo o item 18.3.2.4-b da ABNT NBR 6118, a força cortante solicitante de cálculo VSd (“externa”) pode ser equilibrada (“internamente”) pelas forças Rcwd (força resistente atuante no diagonal comprimida de concreto) e Rsd (força resistente atuante na armadura tracionada), como mostrado na Figura 7.18.

Figura 7.18 – Equilíbrio de forças no apoio

20 255

60 cm 2ª cam

2 N1 - 10 mm - 275 cm

2 N2 - 10 mm - 195 cm 2 N2 - 10 mm - 195 cm

2ª cam

255

60 cm

Esc.: 1:66,7

armadura inferior (positiva) não

detalhada

armadura superior (porta-estribo) não

detalhada

20

2 N1 - 10 mm - 275 cm

cnom = 3 cm

MSd

Rsd

Rcd

VSd

Rcw

d

Rsd

VSd

a

dtan

2006 7-33 ufpr/tc405

Da Figura 7.18, tem-se:

Sdsd Vd

aR Equação 7.17

ABNT NBR 6118: “18.3.2.4 Armadura de tração nas seções de apoio Os esforços de tração junto aos apoios de vigas simples ou contínuas devem ser resistidos por armadura longitudinais que satisfaçam à mais severa das seguintes condições: a) no caso de ocorrência de momentos positivos, as armaduras obtidas através do

dimensionamento da seção; b) em apoios extremos, para garantir ancoragem da diagonal de compressão,

armaduras capazes de resistir a uma força de tração RSd = (a / d) Vd + Nd, onde Vd é a força cortante no apoio e Nd é a força de tração eventualmente existente;

c) em apoios extremos e intermediários, por prolongamento de uma parte da armadura de tração do vão (As,vão), correspondente ao máximo momento positivo do tramo (Mvão), de modo que:

- As,apoio 1/3 (As,vão) se Mapoio for nulo ou negativo e de valor absoluto

Mapoio 0,5 Mvão;

- As,apoio 1/4 (As,vão) se Mapoio for negativo e de valor absoluto Mapoio > 0,5 Mvão.”

18.3.2.4.1 Ancoragem da armadura de tração nos apoios "Quando se tratar do caso de 18.3.2.4-a), as ancoragens devem obedecer aos critérios da figura 18.3. Para os casos de 18.3.2.4-b) e c), em apoios extremos, as barras das armaduras devem ser ancoradas a partir da face do apoio, com comprimentos iguais ou superiores ao maior dos seguintes valores:

− b,nec, conforme 9.4.2.5;

− (r + 5,5 ); − 60 mm.

Quando houver cobrimento da barra no trecho, medido normalmente ao plano do gancho, de pelo menos 70 mm, e as ações acidentais não ocorrerem com grande freqüência com seu valor máximo, o primeiro dos três valores anteriores pode ser desconsiderado, prevalecendo as duas condições restantes. Para os casos de 18.3.2.4-b) e c), em apoios intermediários, o comprimento de

ancoragem pode ser igual a 10 , desde que não haja qualquer possibilidade da ocorrência de momentos positivos nessa região, provocados por situações imprevistas, particularmente por efeito de vento e eventuais recalques. Quando essa possibilidade existir, as barras devem ser contínuas ou emendadas sobre o apoio.”

As seguintes observações devem ser feitas a respeito dos itens 18.3.2.4 e 18.3.2.4.1 da ABNT NBR 6118:

a. A expressão que aparece em 18.3.2.4-b, ficaria melhor representada se aparecesse como:

SdSdSd NVd

aR

onde: RSd representaria a força (horizontal) de tração solicitante de cálculo (“externa”)

atuante na direção da armadura que chega ao apoio; VSd representaria a força (vertical) cortante solicitante de cálculo (“externa”) atuante

no apoio; NSd representaria a força (horizontal) normal de tração solicitante de cálculo

(“externa”) que poderia atuar na viga;

a corresponderia ao deslocamento horizontal do diagrama MSd (momento fletor solicitante de cálculo); e

d corresponderia a altura útil da viga.

2006 7-34 ufpr/tc405

Desta forma todos os componentes da equação seriam referidos a valores solicitantes de cálculo (“externos”).

Observar que a Equação 7.17 corresponde ao equilíbrio de uma força vertical solicitante (“externa”) por forças resistentes (“internas”). Daí aparecer Rsd

1 (s minúsculo) no lugar de RSd

2 (s maiúsculo). Ambas representam forças atuantes na armadura horizontal, sendo Rsd a correspondente resistência (“interna”) da força

solicitante RSd (“externa”). Pela condição de segurança, Rsd RSd (a resistente tem que ser maior ou igual a solicitante).

A ABNT NBR 6118, ao usar RSd (s maiúsculo), procura representar a solicitação que estará submetida a armadura na região de ancoragem.

b. O r que aparece na expressão r + 5,5 , do item 18.3.2.4.1, corresponde ao raio interno mínimo de curvatura, definidos na Tabela 7.4.

7.9.3.1 Ancoragem reta sem gancho ou barra transversal soldada

A ancoragem reta, sem gancho ou barra transversal soldada, de apoio extremo de vigas de concreto armado pode ser representada pela Figura 7.19.

Figura 7.19 – Ancoragem reta sem gancho

O valor de b,nec é dado pela Equação 7.7 e vale:

bd

snec,b

f4

Por outro lado, RSd da Figura 7.19 pode ser obtido da Equação 7.17 e vale:

SdSd Vd

aR

A tesão s que aparece na equação de b pode ser representada por:

yd

ef,s

Sd

s fA

Vd

a

Introduzindo o valor de s na expressão de b,nec, tem-se:

ef,s

Sd

bd

nec,bA

Vd

a

f

1

4

ou ainda,

yd

Sdef,s

Sd

bdef,s

nec,b

f

V

d

aA

Vd

a

f4

1

A

Equação 7.18

1 R de resultante (força resistente), s (minúsculo) de aço e d de "design" (projeto/cálculo).

2 R (maiúsculo) de força, S (maiúsculo) de solicitação e d de "design" (projeto/cálculo).

RSd

hpil

b,nec

hpil b,nec + cnom

2006 7-35 ufpr/tc405

O item 9.4.2.5 da ABNT NBR 6118, estabelece, para b,nec:

cm10

10

3,0

max

b

nec,b

Equação 7.19

Por outro lado, o item 18.3.2.4.1 da ABNT NBR 6118 define que os comprimentos de

ancoragem, em apoios extremos, devem ser iguais ou superiores a r + 5,5 ou 60 mm. Como o limite de 60 mm (6 cm) é inferior a 100 mm (10 cm) e o maior diâmetro apresentado na Tabela 7.4

corresponde a 8 (raio 4 , r + 5,5 = 9,5 ), a verificação da Equação 7.19 atende, por inteiro, ao estabelecido em 18.3.2.4.1 da ABNT NBR 6118.

Lembrando que:

bd

yd

bf

f

4

tem-se:

cm10

10

f

f

43,0

maxb

bd

yd

nec,b

Equação 7.20

Valores mínimos para b,nec podem, então, serem tabelados, como mostrado a seguir.

b,nec

c = 1,40CA-50

(boa aderência) s = 1,15

concreto barras nervuradas

10 mm 12,5 mm 16 mm 20 mm 22 mm 25 mm 32 mm

C20 13 cm 16 cm 21 cm 26 cm 29 cm 33 cm 42 cm







Tabela 7.5 – Valores mínimos de b,nec para ancoragem de apoio extremo

Somando-se aos valores apresentados na Tabela 7.5, o cobrimento nominal (cnom), têm-se os valores mínimos para a dimensão do pilar (hpil).

A junção da Equação 7.18 com a Equação 7.20, permite:

2006 7-36 ufpr/tc405

yd

Sdef,s

bd

yd

Sd

bdef,s

nec,b

f

V

d

aA

cm10

10

f

f

43,0

Vd

a

f4

1

A

b

Equação 7.21

Exemplo 7.7: Detalhar a armadura positiva da viga abaixo representada. A viga tem 20 cm de base e 60 cm de altura.

Dados: – concreto: C25; e – barra nervurada: CA-50. Considerar: – somente solicitações normais; – viga de seção retangular, sem armadura de compressão e simplesmente

tttttttapoiada nos pilares; - pilares com 20 cm de largura;


tttttttq = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15); – armadura transversal (estribos): 6,3 mm; – cobrimento nominal: 3 cm; e – dimensão máxima do agregado: 19 mm. Obs.: – peso próprio da viga incluído na carga gk.


positivo é feita de modo análogo ao do Exemplo [5.1].

A determinação de a é feita de modo análogo ao do Exemplo [6.7]. Para a verificação da ancoragem de apoio extremo usar a Equação 7.21. O posicionamento das barras é determinado de modo análogo ao mostrado no

Exemplo 7.5.

6,0 m

gk = 20 kN/m

Esc.: 1:0,667

2006 7-37 ufpr/tc405

a. Diagramas MSd e VSd

b. Dados

C25MPa 25fck

MPaemf250

f1 ck

ckv2

9,0250

251v2


2

c


1,4

25ff



mm 40 00,13

MPa em ff21,0

f ck3 2

ck

c

321

bd

23 2bd kN/cm0,289MPa 2,8925

4,1

0,10,125,221,0f

MPaemff21,0

f ck

c

3 2ck

ctd

23 2

ctd cm/kN128,0MPa28,14,1

2521,0f

CA50MPa 500fyk

126 kNm

+

Esc. hor.: 1:0,667 Esc. ver.: 1:20

84 kN

Esc. hor.: 1:0,667 Esc. ver.: 1:40

2006 7-38 ufpr/tc405


2

s

yk


500ff

cm 20bw

cm 06h


cm 3cnom

cm0,63mm 3,6t

cm1,9mm 19dmax

c. Verificação de VRd2

dbf27,0V wcd2v2Rd

kN470542079,19,027,0V 2Rd

2RdSd VV

kN84V max,Sd (o correto seria o VSd,face que é menor que VSd,eixo)

OKVV

kN470

2Rd

kN84

max,Sd

(verificado para VSd,eixo, fica verificado VSd,face)

d. Valor de a Será admitido Modelo I, estribos verticais

dbf6,0V wctdc

kN835420128,06,0Vc

d

d5,0

VV

V

2

da

cmax,Sd

max,Sd

kN84V max,Sd (o correto seria VSd,face)

cm26828384

84

2

54a

cm54acm54d

cm27545,0d5,0a

cm54da

e. Determinação de b

bd

yd

bf

f

4

38289,0

5,43

4b

f. Armadura longitudinal

2

2

2

min,s cm80,1

cm80,160200015,0

cm73,160205,43

43,1035,0

maxA

2maxs, cm,048602004,0A

kNcm60012kNm126MSd

kNcm3952879,15420272,0M 2lim,1Rd


kNcm39528

lim,1Rd

kNcm60012

Sd

kNcm60012MMM 1RdRdSd

OK272,0121,079,15420

600122c

2006 7-39 ufpr/tc405

000,1

923,0121,0

s

z

tabela

c

OKcm0,38

cm80,1cm81,5

5,43000,154923,0

60012A

2

22

S

22

cm14,64

25,155,12 5

(2 camadas)

2cal,s cm81,5A

2ef,s cm14,6A

g. Verificação de ah e av

cm00,2av

cm5,413

25,1363,020,3220ah

cm0,2

cm95,09,15,0d5,0

cm25,1

cm2

maxa

max

v

OK

cm3,2

cm3,29,12,1d2,1

cm25,1

cm2

maxa

max

h

OK

h. Verificação de d

4

25,12

4

25,13

2

25,10,225,1

4

25,12

2

25,1

4

25,13

y22

22

cg

cm93,123

2

25,10,225,12

2

25,13

ycg

nomtcg cyhd

OKcm54cm44,540,363,093,160d

cm44,54d

i. Determinação de MRd1

x

yds

cdws

fA

fdb68,0

xs5,4314,6

79,144,542068,0

xs 962,4

sx 202,0

OK000,1

919,0

126,0

202,0

s

z

c

tabela

x

cd2

wc1Rd fdbM

SdM

21Rd kNcm60012kNcm3691379,144,5420126,0M

kNm134M 1Rd

15 cm

6,3 mm

3 cm

2 cm

12,5 mm

ah

cg

d

t

cnom

ycg

h

av

2006 7-40 ufpr/tc405


cd

yd

w

sz

f

f

db

A

7,1

11

d

z

OK919,079,1

5,43

44,5420

14,6

7,1

11z

dfAM zyds1Rd

OKkNcm36913kNcm3631344,54919,05,4314,6M 1Rd

j. Determinação dos comprimentos de ancoragem

cm48mm4755,1238mm5,12,b

k. Ancoragem de apoio extremo

cm20hpil

cm3cnom

cm17320nec,b

yd

Sdef,s

bd

yd

Sd

bdef,s

nec,b

f

V

d

aA

cm10

10

f

f

43,0

maxVd

a

f4

1

A

b

A Tabela 7.5 mostra que somente barras de 10 mm e 12,5 mm podem ser usadas

como ancoragem de apoio extremo (b,nec 17 cm). A escolha de barras de 12,5 mm para o máximo momento fletor positivo se mostrou correta.

2ef,s cm93,1

5,43

84

d

dA (mínimo de 2 barras de 12,5 chegando ao apoio 2,45 cm2)

2ef,s

ef,s

cm34,5A84d

d

289,04

1

A

25,117

(5 barras de 12,5 mm igual a 6,14 cm2)

Pelos cálculos referentes à ancoragem de apoio extremo, são necessárias 5 barras de 12,5 mm além da face do apoio da viga. Isto significa que todas as barras (5) definidas para o máximo momento fletor positivo deverão ser estendidas até os apoios. Verificações:

OKcm17cm8,1484d

d

289,04

1

14,6

25,1nec,b

OKcm1,14

cm10

cm5,1225,11010

cm1,14289,0

5,43

4

25,13,0

f

f

4

3,0

max

bd

yd

nec,b

2006 7-41 ufpr/tc405

l. Diagrama MSd,desl

m. Posicionamento vertical das barras em relação ao diagrama MSd,desl

n. Leque de ancoragem

126 kNm

Esc. hor.: 1:66,7 Esc. ver.: 1:20

face interna do pilar

a = 54 cm

MSd,desl

MSd

134 kNm 126 kNm

1

2

3

4

5

0

b = 48 cm

0

12,5 mm

Esc. hor.: 1:66,7 Esc. ver.: 1:20

b = 48 cm

1

2

3

4

5

134 kNm 12,5 mm

Esc. hor.: 1:66,7 Esc. ver.: 1:20

126 kNm

2006 7-42 ufpr/tc405

o. Diagrama MRd1 do conjunto de barras

p. Detalhamento da armadura longitudinal positiva

q. Verificação De acordo com o item 18.3.2.4-c da ABNT NBR 6118, pelo menos 33% da armadura

positiva deve ser estendida aos apoios extremos. Como todas as barras chegam ao apoio, o item da Norma está verificado.

5 12,5 mm – 614 cm

paralelas

17 cm 17 cm

1

2

3

4

5

0

b = 48 cm

0

12,5 mm

Esc. hor.: 1:66,7 Esc. ver.: 1:20

b = 48 cm

1

2

3

4

5



5 N1 - 12,5 mm - 614 cm

armadura superior (porta-estribo) não

detalhada

cnom = 3 cm

Esc.: 1:66,7

2006 7-43 ufpr/tc405

r. Diagramas MSd,desl e MRd1

7.9.3.2 Ancoragem reta com gancho ou barra transversal soldada

A ancoragem reta, com gancho ou barra transversal soldada, de apoio extremo de vigas de concreto armado pode ser representada pela Figura 7.20.

Figura 7.20 – Ancoragem reta com gancho

De acordo com o item 9.4.2.5 da ABNT NBR 6118, o uso do gancho ou da barra transversal soldada, permite uma redução de 30% no comprimento de ancoragem. Se o gancho e a barra transversal soldada forem usados simultaneamente, a redução passa a ser de 50%. Desta forma a Equação 7.21 pode ser escrita como:

yd

Sdef,s

bd

yd

Sd

bdef,s

nec,b

f

V

d

aA

cm10

10

f

f

4

3,0

maxVd

a

f4

1

A

Equação 7.22

sendo:

= 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal ao do

gancho ≥ 3;

= 0,7 quando houver barras transversais soldadas conforme 9.4.2.2;

= 0,5 quando houver barras transversais soldadas conforme 9.4.2.2 e gancho, com

cobrimento no plano normal ao do gancho ≥ 3;

MSd

MSd,desl

MRd1

RSd

hpil

b,nec

hpil b,nec + cnom

2006 7-44 ufpr/tc405

Os valores mínimos para b,nec permanecem os mesmos da Equação 7.21, ou seja, os valores da Tabela 7.5 independem da existência de ganchos ou barras transversais soldadas.

7.10 Armadura transversal na ancoragem Embora as equações de ancoragem tenham sido estabelecidas em função da simplificação

apresentada na Figura 7.3, onde é admitido que as tensões (forças) tangenciais são paralelas ao eixo da barra, a verdadeira distribuição de forças (tensões) na interface concreto-aço tem um aspecto mais próximo do apresentado na Figura 7.21. Nesta interface, as forças (tensões) diagonais de compressão (Rb,diag) atuantes no concreto são acompanhadas por forças (tensões)

transversais de tração (Rb,traç) para o estabelecimento do equilíbrio do elemento

x.

Figura 7.21 - Região de ancoragem - equilíbrio de forças

As forças (tensões) de tração (Rb,traç) são responsáveis pela criação de uma região microfissurada no entorno das barras de aço, conforme mostrado na Figura 7.22.

Figura 7.22 - Microfissuras na região de ancoragem

Nas regiões de ancoragem, microfissuradas como mostrado na Figura 7.22, podem ocorrer rupturas, como mostrado na Figura 7.23. Estas rupturas se configuram:

pela separação ("split") do concreto no plano horizontal que contem as barras (Figura 7.23a);

pela separação do concreto no plano horizontal que contem as barras, acompanhada de fendilhamentos em planos perpendiculares ao de ruptura (Figura 7.23b); e

pela separação do concreto, em forma de cunhas ("notch") individuais (Figura 7.23c).

Figura 7.23 - Tipos de ruptura em regiões de ancoragem

Mostra, ainda, a Figura 7.23, que as rupturas em regiões de ancoragem são devidas, principalmente a:

posição relativa entre as armaduras; e

posição das barras dentro da massa de concreto.

b,traç

b

a) b) c)

x

Rs + Rs Rs

forças aplicadas na barra

Rb,diag

Rb,diag

forças aplicadas no concreto

Rb,traç

Rb,tang = Rs

2006 7-45 ufpr/tc405

As providências a serem tomadas para evitar rupturas nas regiões de ancoragem consistem na adoção de:

cobrimento adequado ( 3) das armaduras de tal forma que a região microfissurada fique interna ao concreto e afastada das bordas (Figura 7.24a);

espaçamento adequado ( 3) entre as armaduras evitando ao máximo a sobreposição de regiões microfissuras (Figura 7.24b); e

armaduras (estribos) que costurem os planos de ruptura ou fendilhamento (Figura 7.24c).

Figura 7.24 - Providências para evitar rupturas em regiões de ancoragem

ABNT NBR 6118, item 9.4.1.1: "À exceção das regiões situadas sobre apoios diretos, as ancoragens por aderência devem ser confinadas por armaduras transversais (ver 9.4.2.6) ou pelo próprio concreto, considerando-se este caso quando o cobrimento da barra ancorada for

maior ou igual a 3e a distância entre barras ancoradas for maior ou igual a 3.”

7.10.1 Armadura transversal para ancoragem de barras de diâmetro menor que 32 mm

ABNT NBR 6118, item 9.4.2.6.1: "Ao longo do comprimento de ancoragem deve ser prevista armadura transversal capaz de resistir a 25% da força longitudinal de uma das barras ancoradas. Se a ancoragem envolver barras diferentes, prevalece para esse efeito, a de maior diâmetro.”

Figura 7.25 - Armadura transversal de barras ancoradas - long < 32 mm

A colocação da armadura transversal, necessária em regiões de ancoragem, normalmente é colocada sob a forma de estribos fechados (Asw,b), como mostrado na Figura 7.25.

3

3

a)

b)

3

c)

b

Asw,b

As

Rs = As x fyd

sb

2006 7-46 ufpr/tc405

Segundo o item 9.4.2.6.1 da ABNT NBR 6118, a equivalência de forças resulta:

sbsw, R4

1R

ou ainda

ydsbywd,bsw, fA4

1fA n

com:

b

b

sn

Desta forma, tem-se:

b,yws

yd

b

s

b

bsw,

f

f

4

A

s

A

Equação 7.23

No caso em que as barras longitudinais e transversais forem constituídas de mesmo material (fyd = fywd,b), tem-se:

b

s

b

bsw,

4

A

s

A

Equação 7.24

O espaçamento entre as armaduras transversais (estribos) deve seguir as mesmas limitações estabelecidas para armadura de cisalhamento (ABNT NBR 6118, item 18.3.3.2).

Exemplo 7.8: Determinar a armadura transversal necessária para a ancoragem de barras de 16 mm.

Considerar: – concreto: C20; – barra nervurada: CA-50; – situação de má aderência;

– cobrimento e espaçamento entre barras menor que 3; – altura útil da viga igual a 50 cm; – combinação normal de carregamento - ELU; e


Solução: O valor de b deverá ser determinado pela Equação 7.8, com fbd definido pela



má aderência; para 3 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a barras de

diâmetro menor que 40 mm; para c deverá ser usado o valor 1,4 que

corresponde a combinações normal de carregamento - ELU; e para s deverá ser usado o valor 1,15 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU. A armadura transversal necessária para ancoragem deverá ser definida pela Equação 7.24.






mm 40 00,13




viga da útil alturacm 50d

2006 7-47 ufpr/tc405

ancorada barra uma de ltransversa seção da área2,01cm4

1,6

4A 2

22

s

2

s

yk

yd kN/cm 5,43MPa 4351,15

500ff

b. fbd

MPa em ff21,0

f ck3 2

ck

c

321

bd

23 2bd kN/cm 0,174MPa 74,120

4,1

0,17,025,221,0f

c. b

bd

yd

bf

f

4

63174,0

5,43

4b

cm 100mm 0810166363b

d. Asw,b/sb

b

s

b

bsw,

4

A

s

A

/mcm 0,5/cmcm 0,0051004

01,2

s

A22

b

bsw,

◄

considerando armadura transversal constituída por barras de 5 mm, tem-se:

222

bsw, cm 0,24

0,5

4A

cm 40s005,0s

20,0b

b

como o valor de sb deve ficar limitado a 60% da altura útil da viga ou a 30 cm, tem-se:

cm30

cm 30

cm 30506,0

minsb

e. Solução

armadura transversal: 1 de 5 mm a cada 30 cm.◄

7.10.2 Armadura transversal para ancoragem de barras de diâmetro maior ou igual a 32 mm

ABNT NBR 6118, item 9.4.2.6.2: “Deve ser verificada a armadura em duas direções transversais ao conjunto de barras ancoradas. Essas armaduras transversais devem suportar os esforços de

fendilhamento segundo os planos críticos, respeitando espaçamento máximo de 5

(onde o diâmetro da barra ancorada). Quando se tratar de barras comprimidas, pelo menos uma das barras constituintes da armadura transversal deve estar situada a uma distância igual a quatro diâmetros (da barra ancorada) além da excentricidade da barra.”

A colocação da armadura transversal, necessária em regiões de ancoragem, pode ser feita, como mostrado na Figura 7.26.

2006 7-48 ufpr/tc405

Figura 7.26 - Armadura transversal de barras ancoradas - long ≥ 32 mm

Para as barras verticais (Axwy,b), a equivalência de forças longitudinais e transversais resulta:

ydsbywd,bswy, fA4

1fA Equação 7.25

onde:

Aswy,b corresponde a área da seção transversal de uma barra vertical e sua somatória

abrange todas as barras colocadas ao longo do comprimento de ancoragem b (na Figura 7.26 são mostradas apenas quatro destas barras); e

As corresponde a área da seção transversal de uma das barras ancoradas e sua somatória abrange todas as barras que compõem o plano de fendilhamento X (barras 1, 2, 3 e 4 da Figura 7.26).

Para as barras verticais (Axwx,b), a equivalência de forças longitudinais e transversais resulta:

ydsbywd,bswx, fA4

1fA Equação 7.26

onde:

Aswx,b corresponde a área da seção transversal de uma barra horizontal e sua somatória abrange todas as barras colocadas ao longo do comprimento de ancoragem

b (na Figura 7.26 são mostradas apenas duas destas barras); e

As corresponde a área da seção transversal de uma das barras ancoradas e sua somatória abrange todas as barras que compõem o plano de fendilhamento Y (barras 5 e 6 da Figura 7.26).

7.11 Ancoragem de barras comprimidas Não deve haver distinção entre comprimentos de ancoragem de barras tracionadas ou

comprimidas. A única exigência feita pela ABNT NBR 6118, item 9.4.2.1 é que as barras comprimidas devem ser ancoradas sem gancho em suas extremidades.

No caso específico de sapatas e blocos sobre estacas (Figura 7.27), onde nascem pilares, a aplicação direta da Equação 7.10, para ancoragem de barras dentro destas estruturas, não deve

ser feita. É recomendado que o limite mínimo 0,3 b seja aumentado para 0,8 b, de tal forma que:

6

5

4 3 2 1

Plano de fendilhamento X

(barras 1, 2 ,3 e 4) Plano de

fendilhamento Y (barras 5 e 6)

∑Aswx,b – Armadura de costura do plano Y e paralelos

∑Aswy,b – Armadura de costura do plano X e paralelos

barra passante

barra ancorada

2006 7-49 ufpr/tc405

cm10

10

f

f

48,0

maxA

A

f

f

4

b

bd

yd

ef,s

cal,s

bd

yd

nec,b

Equação 7.27

Figura 7.27 – Sapatas e blocos sobre estacas

Exemplo 7.9: Um pilar de seção transversal 25 cm x 50 cm nasce de um bloco de fundação que tem 70 cm de altura útil e será construído com concreto classe C15. Sabendo-se que o pilar necessita 18,05 cm2 de área de armadura de aço CA-50 (barras nervuradas) para resistir às solicitações normais de compressão (ELU), determinar o número de barras de 32 mm necessárias para compor a armadura longitudinal deste pilar. Ao final dos cálculos, apresentar o diagrama Rsd da barra.

70 cm

d b,nec

h0

h

h d b,nec

2006 7-50 ufpr/tc405

Solução: A solução deste problema consiste em se determinar, para as barras do pilar, um comprimento de ancoragem igual ou inferior a 70 cm (altura útil do bloco de fundação). Os cálculos mostrarão que é impossível ancorar barras de 32 mm neste bloco.

O valor de b,nec deverá ser determinado pela Equação 7.27, com fbd definido pela



boa aderência (Figura 7.6); para 3 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde

a barras de diâmetro menor que 40 mm; para c deverá ser usado o valor 1,4 que

corresponde a combinações normal de carregamento - ELU; e para s deverá ser usado o valor 1,15 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU.

O diagramas Rsd será estabelecido em função da tensão atuante nas barras (Equação 7.11).

Deve ser lembrado que o concreto C15, aqui usado, é permitido pela ABNT NBR 6118 apenas em obras de fundações.






mm 40 00,13



fundação de bloco do útil alturacm 70d


pilar do ltransversa seção da áreacm12505025A 2c

aço do cálulo de aresistêncikN/cm 43,5MPa 4351,15

500

γ

ff 2

s

yk

yd

cálculada armadura de áreacm05,18A 2cals,

gancho em terminar pode não comprimida armadura0,1

bloco do útil altura à limitado ancoragem de ocomprimentcm70nec,b

b. fbd

MPa em ff21,0

f ck3 2

ck

c

321

bd

23 2bd kN/cm 0,205MPa 05,215

4,1

0,10,125,221,0f

c. b

bd

yd

bf

f

4

53205,0

5,43

4b

cm 170mm 1696233553b

2006 7-51 ufpr/tc405

d. Valor mínimo de comprimento de ancoragem (Equação 7.27)

cm70cm136

cm10

cm322,31010

cm1361708,08,0

max

b

nec,b

Como o valor mínimo para b,nec resultou maior que 70 cm (altura útil do bloco de fundação), torna-se impossível a ancoragem de barras de 32 mm neste bloco.

e. Verificação da possibilidade de ancorar barras de 25 mm

cm 133mm 1325253553b

cm70cm106

cm10

cm255,21010

cm1061338,08,0

max

b

nec,b


f. Verificação da possibilidade de ancorar barras de 20 mm

cm 106mm 1060203553b

cm70cm85

cm10

cm200,21010

cm851068,08,0

max

b

nec,b


g. Verificação da possibilidade de ancorar barras de 16 mm

cm 85mm 848163553b

OKcm70cm68

cm10

cm166,11010

cm68858,08,0

max

b

nec,b

Como o valor mínimo para b,nec resultou menor que 70 cm (altura útil do bloco de fundação), torna-se possível a ancoragem de barras de 16 mm neste bloco.

h. Determinação do número de barras de 16 mm cm 6,1mm 16

222

s cm01,24

6,1

4A

mm 16 de barras de par número ncm01,2nAnA 2sefs,

mc7001,2n

18,0585

A

A

ef,s

cal,s

bnec,b

barras 12n10,90n

barras 12n ◄

Com o valor de n definido, chega-se:

2efs, cm 12,2401,212A

pilar do armadura de acréscimo%3405,18

05,1812,24s

pilar do armadura de taxa%93,11250

12,24

A

A

c

ef,s

2006 7-52 ufpr/tc405

Os valores de b,nec e s, para esta solução, resultam:

cm68

cm10mm100

cm106,11010

cm68205,0

5,43

4

6,18,0

maxcm5612,24

05,18

205,0

5,43

4

6,1nec,b

)sapatadaútilaltura(cm70cm68nec,b ◄

2yd

ef,s

cal,s

s cm/kN6,325,4312,24

05,18f

A

A

i. Diagrama Rsd

kN 5,656,3201,2AR sssd (ver Figura 7.11)

7.12 Barras lisas e barras com alternância de solicitação Segundo o item 9.4.2.1 da ABNT NBR 6118, é obrigatório o uso de ganchos nas

ancoragens de barras lisas tracionadas. Por outro lado, as barras que tenham alternância de solicitação, tração e compressão, não devem ser ancoradas com ganchos em suas extremidades.

7.13 Ancoragem de estribos Segundo o item 9.4.6 da ABNT NBR 6118, a ancoragem dos estribos deve necessariamente

ser garantida por meio de ganchos ou barras longitudinais soldadas.

Figura 7.28 – Ancoragem de estribos

a

a

b

cm5

5

a

t

cm7

10

b

t

t t t

65,5 kN

70 cm 56 cm

2006 7-53 ufpr/tc405

Os ganchos dos estribos podem ser (Figura 7.28); a. semicirculares ou em ângulo de 45° (interno), com ponta reta de comprimento igual a

5 t, porém não inferior a 5 cm; e

b. em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10 t, porém não inferior a 7 cm (este tipo de gancho não deve ser utilizado para barras e fios lisos)

O diâmetro interno da curvatura dos estribos (Figura 7.28) deve ser, no mínimo, igual ao indicado na Tabela 7.6.

Bitola (mm) Tipo de Aço

CA-25 CA-50 CA-60

t 10 3t 3t 3t

10 < t <20 4t 5t -

t 20 5t 8t -

Tabela 7.6 – Diâmetro dos pinos de dobramento para estribos

7.14 Simbologia específica

7.14.1 Símbolos base

ah espaçamento horizontal mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seção transversal

a distância correspondente a decalagem do diagrama de força no banzo tracionado

av espaçamento vertical mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seção transversal

bw largura da viga

cnom cobrimento nominal

d altura útil distância da fibra de concreto mais comprimida até o centro de gravidade da

armadura tracionada

dmax dimensão máxima do agregado graúdo

fbd resistência de aderência de cálculo

fcd resistência à compressão do concreto de cálculo

fck resistência à compressão do concreto característica

fckj resistência à compressão do concreto característica aos j dias

fctd resistência à tração do concreto de cálculo

fctk resistência à tração do concreto característica

fctk,inf resistência à tração do concreto característica inferior

fct,m resistência à tração do concreto média

fctk,sup resistência à tração do concreto característica superior

fyd resistência ao escoamento do aço da armadura transversal que atua na região de ancoragem de barras

fyk resistência ao escoamento do aço característica

fywd,b resistência ao escoamento do aço característica da armadura transversal de barras ancoradas

gk valor característico da ação permanente

h altura da viga

hpil dimensão do pilar

h0 menor altura de sapata

b comprimento de ancoragem básico

b,min comprimento de ancoragem mínimo

2006 7-54 ufpr/tc405

b,nec comprimento de ancoragem necessário

m número de barras

n número de barras

r raio interno mínimo de curvatura

sb espaçamento da armadura transversal que atua na região de ancoragem de barras

u perímetro

x abscissa

y altura do retângulo de tensões c

ycg posição do centro de gravidade da seção transversal de um conjunto de barras longitudinais (tracionadas ou comprimidas) em relação à geratriz mais afastada da linha neutra, medida normalmente a esta

z braço de alavanca

Ac área de concreto

As área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada

As,apoio área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada no apoio

As,cal área da seção transversal da armadura longitudinal calculada

As,ef área da seção transversal da armadura longitudinal efetiva

As,max área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada máxima

As,min área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada mínima

As,vão área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada no vão

Asw,b área da seção transversal da armadura transversal que atua na região de ancoragem de barras

Aswx,b área da seção transversal da armadura transversal que atua na região de ancoragem de barras, referentes ao plano de fendilhamento y

Aswy,b área da seção transversal da armadura transversal que atua na região de ancoragem de barras, referentes ao plano de fendilhamento x

D diâmetro dos pinos de dobramento

Gk valor característico da ação permanente

Mapoio momento fletor atuante no apoio

Mvão momento fletor atuante no vão

MRd momento fletor resistente de cálculo

MRd1 momento fletor resistente de cálculo referenciado ao binário Rcd1, Rsd1

MRd1,lim momento fletor resistente de cálculo corresponde ao limite de dutilidade da seção

transversal (x = x,lim)

MSd momento fletor solicitante de cálculo

MSd,desl momento fletor solicitante de cálculo deslocado

Nd força normal de cálculo

NSd força normal solicitante de cálculo

Rb,diag força normal diagonal de tração devida à ancoragem

Rb,tang força normal tangente de tração devida à ancoragem

Rb,traç força normal de tração devida à ancoragem

Rcd força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido

Rcd1 força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido de área bw y

Rcwd força resistente de cálculo atuante na diagonal de compressão da treliça de Morsh

Rd resistência de cálculo

Rs força normal atuante na barra

Rsd força resistente de cálculo atuante na armadura tracionada

RSd força solicitante de cálculo atuante em apoio extremo de viga

2006 7-55 ufpr/tc405

Rsw,b força normal atuante na armadura transversal que atua na região de ancoragem de barras

Sd solicitação de cálculo

Vc força cortante absorvida por mecanismos complementares ao da treliça de Morsh

Vd força cortante de cálculo

VRd2 força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto

VSd força cortante solicitante de cálculo

VSd,max força cortante solicitante de cálculo máxima

coeficiente de minoração para barras ancoradas com gancho na extremidade ou com armadura transversal soldada

v2 coeficiente para cálculo de VRd2

c valor adimensional auxiliar

s valor adimensional que define a tensão de tração referente à armadura As

x valor adimensional que define a posição da linha neutra

y valor adimensional que define a região de concreto comprimido

z valor adimensional que define o braço de alavanca do binário de forças Rcd1, Rsd1

c deformação específica do concreto

s deformação específica do aço à tração

yd deformação específica de escoamento do aço

diâmetro das barras da armadura

diâmetro das barras da armadura longitudinal

t diâmetro das barras da armadura transversal

c coeficiente de ponderação da resistência do concreto

g coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas

q coeficiente de ponderação para ações variáveis diretas

s coeficiente de ponderação da resistência do aço

coeficiente de conformação superficial

b coeficiente de conformação superficial

1 coeficiente para cálculo da tensão de aderência da armadura

coeficiente correspondente à conformação superficial das barras na determinação de fbd

2 coeficiente que representa as condições de boa e má aderência na determinação de fbd

3 coeficiente que representa a bitola das barras na determinação de fbd

ângulo

taxa de armadura longitudinal

b,traç tensão normal de tração devida à ancoragem

c tensão à compressão no concreto

s tensão à tração na armadura

s,x tensão à tração na armadura na abscissa x

b,unif tensão tangencial de aderência uniforme

b,x tensão tangencial de aderência na abscissa x

2006 7-56 ufpr/tc405

7.14.2 Símbolos subscritos

apoio apoio

b aderência

cal cálculo

cg centro de gravidade

desl deslocado

diag diagonal

ef efetiva

inf inferior

lim limite

m média

max máximo

min mínimo

nec necessário

nom nominal

pil pilar

sup superior

tang tangente

traç tração

unif uniforme

vão vão

x abscissa

7.15 Exercícios

Ex. 7.1: Complete o quadro abaixo considerando ELU. Forneça os valores de b na forma

n, sendo n um número inteiro e o diâmetro da barra a ser ancorada.

Aço Concreto fbd (MPa) b(boa ader.) b(má ader.)

CA-25 C20

CA-50 C25

CA-50 C30

CA-60 C35

CA-60 C40

Ex. 7.2: Determinar os comprimentos das barras necessárias para resistir o momento fletor solicitante de cálculo (negativo) do apoio B da viga abaixo representada. Detalhar a armadura usando barras de 16 mm.

Dados:

concreto: C20; e

barras nervuradas: CA-50.

Considerar:

somente solicitações normais;

viga de seção retangular, simplesmente apoiada nos pilares;

estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4

e s = 1,15);

d = 60 cm;

bw = 18 cm; e

a = d.

Escalas:

vãos: 1 cm = 50 cm (1:50); e

momentos: 1 cm = 20 kNm (1:20).

2006 7-57 ufpr/tc405

Ex. 7.3: Detalhar a armadura longitudinal da viga abaixo indicada.

Dados:

concreto: C20; e

barra nervurada: CA-50.

Considerar:




e s = 1,15);

bw = 20 cm;

armadura transversal (estribos): 6,3 mm;

cobrimento nominal: 3 cm; e

dimensão máxima do agregado: 19 mm.

Obs.:

peso próprio da viga desprezível.

Escalas:

vãos: 1 cm = 50 cm (1:50); e


1,8 m 2,1 m

diagrama de momentos MSd

-

110 kNm

16 mm

B

50 cm

90 cm

20 cm

290 cm 290 cm

Gk = 60 kN

20 cm

2006 7-58 ufpr/tc405


Dados:

concreto: C25; e


Considerar:




e s = 1,15);

bw = 20 cm;




Obs.:


Escalas:

vãos: 1 cm = 50 cm (1:50); e


Ex. 7.5: Detalhar a armadura de flexão mais econômica (barras de menores comprimentos possíveis) para a viga abaixo indicada.

Dados:

concreto: C25; e


Considerar:




e s = 1,15);

bw = 20 cm;

armadura longitudinal: 16 mm;




Obs.:

as barras deverão ser detalhadas aos pares (duas por vez);

o posicionamento da armadura deverá ser, obrigatoriamente, referido à face interna do pilar esquerdo (A);

o carregamento é permanente (cargas atuando simultaneamente) e os valores apresentados são característicos; e


A

G2k = 30 kN

160 cm 90 cm

G1k = 60 kN

50 cm

90 cm

20 cm

170 cm 160 cm

20 cm

B

2006 7-59 ufpr/tc405

Escalas:

vãos: 1 cm = 50 cm (1:50); e


Ex. 7.6: Detalhar as armaduras positivas e negativas (barras de menores comprimentos possíveis) para a viga abaixo indicada.

Dados:

concreto: C25; e


Considerar:




e s = 1,15);

bw = 20 cm;

armadura longitudinal positiva: 16 mm;

armadura longitudinal negativa: 12,5 mm;




Obs.:

o posicionamento da armadura deverá ser, obrigatoriamente, referido à face interna do pilar esquerdo (A);

o carregamento é permanente (cargas atuando simultaneamente) e os valores apresentados são característicos; e


Escalas:

vãos: 1 cm = 50 cm (1:50); e


150 cm 90 cm

A

Gk = 40 kN

90 cm

Gk = 40 kN

50 cm

90 cm

20 cm

150 cm 90 cm

20 cm

B

Gk = 40 kN

150 cm 90 cm

A

Gk = 90 kN

90 cm

Gk = 90 kN

50 cm

90 cm

20 cm

150 cm 90 cm

20 cm

B

Gk = 144 kN

2006 7-60 ufpr/tc405


Dados:

concreto: C25; e


Considerar:



pilares com 30 cm de largura;


e s = 1,15);

bw = 20 cm;

h = 65 cm;




Obs.:

peso próprio da viga incluído na carga gk.

Escalas:

vãos: 1 cm = 50 cm (1:50); e


Ex. 7.8: Determinar a altura mínima h do bloco de fundação abaixo indicado. A armadura de compressão necessária para a segurança do pilar (armadura calculada) resultou em 6,0 cm2, porém serão usadas 6 barras de 16 mm.

Considerar:

concreto: C15;

barra nervurada: CA-50; e

combinação normal de carregamento – ELU.

10 cm

h

4 m

gk = 20 kN/m

2 m

Gk = 90 kN

2006 7-61 ufpr/tc405

Ex. 7.9: Um pilar de seção transversal 25 cm x 45 cm, suportado por um bloco de fundação, necessita de 17,42 cm2 de área de armadura longitudinal para suportar a força normal solicitante de cálculo (compressão) que nele poderá atuar. Determinar o número total de barras de 25 mm que o pilar deverá possuir, sabendo-se que o bloco de fundação terá 75 cm de altura útil.

Considerar:

concreto: C15;

barra nervurada: CA-50; e


Ex. 7.10: O pilar abaixo representado, cujo cálculo da armadura longitudinal de compressão resultou em uma área de aço (As,cal) igual a 14,40 cm2, deverá ser suportado por uma sapata cuja altura não poderá ultrapassar 65 cm. Observadas as regras de ancoragem reta estabelecidas pela ABNT NBR 6118, definir a menor altura possível para a sapata de tal forma que a seção transversal do pilar apresente a menor quantidade de barras (número par).

Considerar:

concreto: C15;

barra nervurada: CA-50;

altura útil da sapata: d = h – 5 cm; e


Ex. 7.11: Determinar a menor largura possível para o pilar abaixo representado, de tal forma que as armaduras negativas da viga possam nele se ancorar. A armadura da viga, necessária para resistir ao momento fletor solicitante de cálculo, atuante na região próxima do pilar, resultou em 2,12 cm2, tendo sido optado pelo uso de 3 barras de 16 mm.

NSd

10 cm

85 cm

5 cm

pilar

sapata

d = ?

NSd

2006 7-62 ufpr/tc405

Considerar:

concreto: C20;

barra nervurada: CA-50;

cobrimento da armadura: 3 cm; e


?

MSd 3 16 50 cm


armadura comprimida

A A N armadura comprimida

concreto comprimido

2‰ 40 MPa 30 MPa 20 MPa 4‰ 3‰ 2‰ c c = 0c cc to = 0 fck 3,5‰ c0 c 0 s t cs = s cs carga sem carga A’s As Os valores de Rsd e R’sd são determinados da mesma forma (mesmas equações).

Se a armadura (As ou A’s) estiver alongada

(s ou ’s positivo) a força resultante (Rsd ou R’sd) correspondera a força de tração. Caso contrário, a força de compressão.

A figura apresenta somente o caso da armadura As (são mostrados d e Rsd). Para a armadura A’s apareceriam d’ no lugar de d e R’sd no lugar de Rsd.

domínio 5 As armadura para força cortante

fyk s s 10‰ 5% fk,inf fm resistências

densidade de

probabilidade

f = barra n = feixe n = 3

n = f 3

cnom n cnom n n 20 cm 40 cm a b x 30 cm 50 cm y distribuição normal

5% Fgk,inf Fgm ações densidade de

probabilidade

distribuição normal

cbarra cnom

barra

cest cnom

est

barra est cbarra cest 1H 1,8V 51 m 54 m 0 m A B H = 54 m 1 1,8 A Gsk Q1k H = 51 m A Bbar = 30 m Fsd Fnd Hrejei = 51 m A C A B D 2 m 4 m 4 m Gk = 10 kN

(permanente)

Qk = 5 kN (variável)

C A B D 2 m 4 m 4 m 1,4 x 10 = 14 kN 1,4 x 5 = 7 kN MSd,A = -00

kNm MSd,B = -00

kNm MSd,C = -28

kNm MSd,D = -00

kNm


kNm MSd,B = -14

kNm MSd,C = -28

kNm MSd,D = -00

kNm


kNm MSd,B = +04

kNm MSd,C = -20

kNm MSd,D = -00

kNm


kNm MSd,B = -10

kNm MSd,C = -20

kNm MSd,D = -00

kNm

-28 kNm +4 kNm -14 kNm C A B D 2 m 4 m 4 m 1,4 x 10 = 14 kN 1,4 x 5 = 7 kN MSd,A = -00

kNm MSd,B = -00

kNm MSd,C = -28

kNm MSd,D = -00

kNm


kNm MSd,B = -14

kNm MSd,C = -28

kNm MSd,D = -00

kNm

-14 kNm -28 kNm B C A 4 m 4 m 1,4 x 5 = 7 kN

MSd,A = -0,00 kNm

MSd,B = +8,75 kNm

MSd,C = -10,5 kNm

-28 kNm -14 kNm +8,75 kNm 2‰ c c ’s 1

Dias CPIII e CPIV CPI e CPII CPV - ARI

3 0,46 0,60 0,66

7 0,68 0,78 0,82

14 0,85 0,90 0,92

21 0,94 0,96 0,97

28 1,00 1,00 1,00

Estado Limite Ultimo

Combinações c

Normais 1,40

Especiais ou de Construção 1,20

Excepcionais 1,20

Estado Limite de Serviço 1,00

h z c Rsd s c MSd bw d As Rcd MRd esforços resistentes de cálculo ("interno")

solicitações de

cálculo ("externa")

x C A B D 2 m 4 m 4 m Gk = 10 kN (permanente)

Qk = 5 kN (variável) Mvento,k = 5 kNm Qk = 5 kN Gk = 10 kN 4 m 4 m 2 m D B A C 8 m 3 m q2k = 70

kN/m q1k = 90

kN/m gk = 25 kN/m 8 m 10 m D C B A qk =

50 kN/m gk =

10 kN/m D C B 0,8 8‰ c 3,5‰ Es =

210.000 MPa

h7

3

yd 10‰ s 's s 0,85 fcd 3,5‰ c c 0,7‰ 's encurtamentos

alongamentos

tensões de compressã

o

tensões de tração

fyd fyd s 's s 's yd

2

ccdc

‰211f85,0

b a h

7

4

As’ As s = 10‰ d 3 4a s = yd alongamentos

Aço fyk fyd yd

CA-25 250 MPa 217 MPa 1,035‰

CA-50 500 MPa 435 MPa 2,070‰

CA-60 600 MPa 522 MPa 2,484‰

10,0‰ 2,5‰ 20 cm 5 cm 45 cm 5 cm NSd MSd y NSd s MSd esforços resistentes de cálculo

solicitações de

cálculo

x c 's 0,7‰ c NSd Rsd MRd d' d A's bw As R'sd Rcd s = 10‰ c = 2,5‰ d = 50 cm x linha neutra ’s d' = 5 cm x d = 50 cm c = 0,85fcd =

1,52 kN/cm2

bw = 20 cm y = 7,2 cm Rcd ’s x d s 5 cm 20 cm R'sd 5 cm 20 cm Rsd h - d = 5 cm

h/2 = 27,5 cm

CG Rsd = 262,3 kN

y/2 = 3,6 cm Rcd = 219,1

kN R'sd = 64,3

kN d' = 5 cm + + h/2 = 27,5

cm + + esforços solicitações

7,0‰ 3,5‰ 15 cm 5 cm 40 cm 5 cm NSd MSd 10,0‰ 2,0‰ 20 cm 5 cm 55 cm 5 cm NSd MSd 3,5‰ NSd MSd 3,5‰ 45 cm 5 cm 35 cm 5 cm 20 cm 60 cm 20 cm 80 cm 20 cm 10 cm Nd Md 3,5‰ 3,5‰ 5 cm 3,5‰ 1,75‰ NSd MSd = = = = 10 cm 10 cm = 30 cm 10 cm s c 20 cm 5 cm 40 cm 5 cm NSd MSd s 3,5‰ 20 cm 5 cm 45 cm MSd = 125 kNm

As 5 cm s 3,5‰ MSd 25 cm 5 cm 40 cm 4,0 cm2 As 20 cm 35 cm 20 cm 5 cm MSd 3,5‰ s 25 cm 40 cm As 20 cm 35 cm 20 cm 40 cm 20 cm 65 cm 10‰ 2‰ NSd MSd 5 cm 5 cm 5 m gk = ? kN/m

40

20 20 20 15 Seção Transversa

l (dimensões em cm)

2

cckc

‰211f

deformação elástica

inicial - c0

recuperação da

fluência

recuperação

deformação

elástica

fluência -

cc

t c Corte AA concreto comprimido armadura tracionada

M M A A Corte AA N 1‰ 10 MPa c c t0 t1 duração do carregame

nto: Concreto

Classe de agressividade (Erro! Fonte de referência não encontrada.)

I II III IV

Relação água/aglomerante

em massa 0,65 0,60 0,55 0,45

Classe de concreto (ABNT NBR 8953)

C20 C25 C30 C40

Estado Limite Ultimo

Combinações s

Normais 1,15

Especiais ou de Construção 1,15

Excepcionais 1,00

Estado Limite de Serviço 1,00

Categoria Classificação

CA-25 Barras

CA-50

CA-60 Fios

Superfície 1

Lisa (CA-25) 1,00

Entalhada (CA-60) 1,40

Alta Aderência (CA-50) 2,25

— 2 minutos — 20 minutos — 100 minutos — 3 dias

Categoria

CA-25 1,0

CA-50 1,5

CA-60 1,5

Categoria fyk

CA-25 250 MPa

CA-50 500 MPa

CA-60 600 MPa

Fgm fluência limite de fluência limite de ruptura s = s Es 0,85 fcd 3,5‰ 5% distribuição normal ações densidade

de probabilida

de

armadura para

momento fletor

armadura para

momento fletor

Grupo I fck Grupo II fck

C15 15 MPa C55 55 MPa

C20 20 MPa C60 60 MPa

C25 25 MPa C70 70 MPa

C30 30 MPa C80 80 MPa

C35 35 MPa

C40 40 MPa

C45 45 MPa

C50 50 MPa

corte AA

A A força cortante

momento fletor

t1 Fgk,sup c/fc A d’ c = 3,5‰ c = 2‰ encurtamentos

1 2 4 5 O x x d c linha neutra

x d c s d' s A’s Rcd y bw c = 0,85fcd As y NSd s MSd esforços resistentes de cálculo

solicitações de

cálculo

x c 's 0,7‰ c NSd Rsd MRd d' d A's bw As R'sd Rcd MSd NSd 5 cm 45 cm 5 cm 20 cm c s Rsd bw d s = 10‰ As s = 10‰ y/2 Rsd CG h/2 Rcd R'sd d' NSd (+) MSd (+) h/2 NRd (+) MRd (+) esforços solicitações

d ct NSd Eci 0,9 fctk fctk 0,5‰ ct s = 10‰ ’s = 10‰ As A’s ’s MSd NSd A’s ’s NSd MSd c = 3,5‰

reta a reta 1-2 reta 2-3 reta 3-4 MSd NSd ’s A’s As s =

2,07‰

c = 3,5‰

s = 0‰ c = 3,5‰

As A’s ’s NSd MSd reta 4-4a c = 3,5‰

As A’s ’s NSd MSd reta 4a-5 s c = 2‰

As A’s ’s NSd s = -2‰

reta b domínio 4a domínio 4 domínio 3 domínio 2 domínio 1 50 kNm 100 kNm 150 kNm 200 kNm MRd 2000 kN 15000 kN 1000 kN 500 kN 500 kN NRd (tração)

NRd (compress

ão)

’s x d h 0,7‰ x d c s y s c d' s (+)

’s (+)

y 0,7‰ x d = 50 cm s = 10‰ c = 2,5‰ s = 10‰ c = 2,5‰ c d' s (+)

’s (+)

h y 0,7‰ x d s c

7aderÊncia entre o concreto e o aÇo - site do grupo de ... · bloco de concreto ( b,unif é...

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