LAB. DE MATEMÁTICA APLICADA

MATLAB – APLICAÇÕES

André Vitor Bonora – prof. de Lab. de Matemática Aplicada

Sorocaba – SP

APLICAÇÕES MATLABIANAS NA ENGENHARIA

A seguir serão exemplificadas várias aplicações do MATLAB na Engenharia. O intuito

principal é apenas mostrar para o futuro engenheiro a versatilidade básica do aplicativo em

diversas cátedras do seu curso. Isto não significa, porém, que o uso do MATLAB não poderá ser

expandido a outras áreas, pois, como o futuro engenheiro poderá apreciar, ele é um aplicativo

deveras multidisciplinar.

Serão abrangidas aqui algumas situações comuns presentes nos livros das mais diversas

cátedras básicas do curso de engenharia e caberá ao futuro engenheiro adaptar estas situações às

demais cátedras do currículo profissionalizante.

ELETROMAGNETISMO

Fonte: “Eletromagnetismo Aplicado – Abordagem antecipada das linhas de transmissão”, de Stuart M. Wentworth, ARTMED, 2007

1) Uma carga elétrica Q1 = 10 nC está posicionada em (0,0,4) m e uma carga Q2 = 2 nC está posicionada em (0,4,0) m. Determine a força elétrica atuando em Q2

devido a Q1.

>> P1=[0 0 4];P2=[0 4 0];k=9e9;Q1=10e-9;Q2=2e-9; >> R12=P2-P1;mod_R12=sqrt(R12(1)^2+R12(2)^2+R12(3)^2); >> r12=R12./mod_R12; >> Forca=k*Q1*Q2.*r12./(mod_R12^2) Forca = 1.0e-008 * 0 0.3977 -0.3977

2) Para o ex. 1 determine o campo elétrico no ponto P2 devido a Q1.

>> P1=[0 0 4];P2=[0 4 0];k=9e9;Q1=10e-9;Q2=2e-9; >> R12=P2-P1;mod_R12=sqrt(R12(1)^2+R12(2)^2+R12(3)^2); >> r12=R12./mod_R12; >> Forca=k*Q1*Q2.*r12./(mod_R12^2); >> Campo_eletrico=Forca./Q2 Campo_eletrico = 0 1.9887 -1.9887

3) Uma linha infinita de carga de densidade linear ρρρρL = 4 nC/m está posicionada

em P(2,0,4) m. Determine o campo elétrico na origem devido a esta distribuição

de carga.

>> ro=4e-9;P=[2 0 4];R=-P;k=9e9; >> mod_R=sqrt(R(1)^2+R(2)^2+R(3)^2); >> r=R./mod_R; >> E=2*k*ro.*r./mod_R

E = -7.2000 0 -14.4000

4) Um plano infinito carregado possui um campo elétrico dado, em módulo, por:

o

SEε

ρ

.2=

Onde ρρρρS é a densidade superficial de cargas do plano. Por sua vez, um disco

carregado de raio a possui um campo elétrico dado, em módulo, por:

+−=

221.

.2 ha

hE

o

S

ε

ρ

Onde h é a altura do centro do disco ao ponto considerado na reta perpendicular

à secção do disco.

Considerando um fator k = a/h na relação entre os campos do disco e do plano

mostre graficamente quando o plano começará realmente a ser considerado infinito.

>> k=0.1:0.1:100; >> Razao_entre_campos=1-1./sqrt(1+k.^2); >> semilogx(k,Razao_entre_campos);grid on; >> title('Razão entre os campos do disco e do plano'); >> xlabel('k = a/h');ylabel('Edisco/Eplano');figure(1);

5) Determine a carga total Q de um conjunto esférico de raio a carregado

uniformemente com distribuição volumétrica de cargas de densidade ρρρρV.

>> syms r theta fhi ro_V a;dQ=ro_V*(r^2)*sin(theta); >> Q=int((int((int(dQ,fhi,0,2*pi)),theta,0,pi)),r,0,a) Q = 4/3*ro_V*pi*a^3

6) Suponha que D = 3.x.y.âx + 4.x.âz [C/m2] seja a densidade de fluxo elétrico de

uma dada região. Determine o fluxo elétrico de D através da superfície limitada

por z = 0, 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 5 m, 0 ≤≤≤≤ y ≤≤≤≤ 3 m.

>> syms x y z;D=[3*x*y 0 4*x]; >> syms x y z;D=[3*x*y 0 4*x]; >> dA=[0 0 1];dfluxo=dot(D,dA); >> fluxo=int((int(dfluxo,x,0,5)),y,0,3) fluxo = 150

7) Uma dada região esférica de raio r = 2 m possui D = 3.r.âr -9.r.âθθθθ + 6.âφφφφ

[C/m2]. Determine o fluxo de D sobre esta região.

>> syms r theta fhi;D=[3*r -9*r 6]; >> dA=[(r^2)*sin(theta) 0 0]; >> dfluxo=dot(D,dA); >> syms r theta fhi;D=[3*r -9*r 6]; >> dA=[(r^2)*sin(theta) 0 0]; >> dfluxo=dot(D,dA); >> fluxo=int((int(dfluxo,fhi,0,2*pi)),theta,0,pi); >> fluxo=subs(fluxo,r,2) fluxo = 301.5929

8) Aplicando a Lei de Gauss para uma carga pontual prove que, no espaço livre, a

relação entre os vetores E e D pode ser dada por:

o

DE

ε

rr

=

>> syms r theta fhi D eo;dQ=D*(r^2)*sin(theta); >> Q=int((int(dQ,fhi,0,2*pi)),theta,0,pi); >> E=Q/(4*pi*eo*r^2)

E = D/eo

9) Trace o gráfico que mostra a variação da densidade do fluxo elétrico num cabo

coaxial de a = 3 cm e b = 6 cm e cujo condutor interno possua uma densidade

de cargas de 8 nC/cm3.

>> r1=linspace(0,3,100);r2=linspace(3,6,100); >> r3=linspace(6,12,100);ro_V=8e-9; >> D1=(1e9)*(ro_V/2).*r1; >> D2=(1e9)*(ro_V/2)*9./r2; >> D3=linspace(0,0,100); >> plot(r1,D1,'b',r2,D2,'b',r3,D3,'b'); >> axis([0 12 -1 14]); >> title('Densidade de fluxo elétrico num cabo coaxial de a = 3 cm e b = 6 cm'); >> xlabel('r (cm)');ylabel('D (nC/cm^2)'); >> grid on;figure(1);

10) Trace o gráfico que mostra a variação da densidade do fluxo elétrico numa

esfera maciça de raio 3 cm cuja densidade de cargas seja 8 nC/cm3.

>> r1=linspace(0,3,100);r2=linspace(3,12,100); >> ro_V=8e-9;D1=(1e9)*(ro_V/3).*r1; >> D2=(1e9)*(ro_V/3)*(3^3)./(r2.^2); >> plot(r1,D1,'b',r2,D2,'b');

>> axis([0 12 -1 9]); >> title('Densidade de fluxo elétrico numa esfera maciça de raio 3 cm'); >> xlabel('r (cm)');ylabel('D (nC/cm^2)'); >> grid on;figure(1);

11) Determine o trabalho necessário para deslocar uma carga de 10 nC da origem ao

ponto P(1,1,0) contra o campo estático E = 5.âx [V/m].

>> syms x y z;E=[5 0 0];dL1=[1 0 0]; >> dL2=[0 1 0]; >> Q=10e-9;P=[1 1 0]; >> trabalho= -Q*(int((dot(E,dL2)),y,0,1)+int((dot(E,dL1)),x,0,1)) trabalho = -1/20000000

12) Para o ex. 11 determine a diferença de potencial VPO entre a origem e o ponto P.

>> syms x y z;E=[5 0 0];dL1=[1 0 0]; >> dL2=[0 1 0]; >> Q=10e-9;P=[1 1 0]; >> ddp_P_O=-(int((dot(E,dL2)),y,0,1)+int((dot(E,dL1)),x,0,1)) ddp_P_O =

-5

13) Determine o trabalho (em µµµµJ) para mover uma carga elétrica de 10 nC do ponto

r = 3 m até o ponto r = 1 m cujo campo elétrico na região é fornecido por uma

linha infinita de carga 100 nC/m.

>> syms r;ro_L=100e-9;eo=(1e-9)/(36*pi);Q=10e-9; >> E=[(ro_L/(2*pi*eo*r)) 0 0];dL=[1 0 0]; >> trabalho= -Q*(1e6)*(int((dot(E,dL)),r,3,1)); >> round(100*trabalho)/100 ans = 989/50

14) Dado o potencial V = x2.y.z [V] determine o vetor campo elétrico no ponto

P(2,3,0) m.

>> syms x y z;V=(x^2)*y*z; >> P=[2 3 0]; >> E=-[diff(V,x) diff(V,y) diff(V,z)]; >> E_ponto=subs(E,x,y,z,P) E_ponto = 0 0 -12

15) Uma coluna de feixe de elétrons com 4 mm de diâmetro com densidade de carga

-0,2 nC/m3 se move com velocidade u = 6 Mm/s. Determine a corrente elétrica.

>> d=4e-3;ro_V=-0.2e-9;u=6e6; >> S=pi*(d^2)/4; >> I=-ro_V*S*u I = 1.5080e-008

16) Determine a resistência elétrica entre a camada condutora interna (r = a) e a

camada condutora externa (r = b) de um cabo coaxial de comprimento L

preenchido com material de condutividade σσσσ onde o campo elétrico pela Lei de

Gauss deste cabo pode ser dado pela equação:

r

o

aLr

QE ˆ.

....2 επ=

r

>> syms Q eo L r a b sigma z fhi;E=Q/(2*pi*eo*r*L); >> Vab=-int(E,r,b,a); >> dI=sigma*E*r; >> I=int((int(dI,z,0,L)),fhi,0,2*pi); >> R=Vab/I

R = -1/2*(-log(b)+log(a))/pi/L/sigma >> pretty(R) -log(b) + log(a) - 1/2 ---------------- pi L sigma

17) Aplicando a Lei de Biot-Savart determine o campo magnético ao redor de uma

linha infinita percorrida por corrente estacionária conforme o modelo da figura a

seguir:

>> syms r z I;dH=(I*r/(4*pi))/((r^2+z^2)^1.5); >> H=int(dH,z,-Inf,Inf) H = 1/2*I*r/pi/(r^2)^(3/2)/(1/r^2)^(1/2) >> pretty(H) I r 1/2 -------------------- 2 3/2 / 1 \ 1/2 pi (r ) |----| | 2 | \ r /

18) Esboce as linhas dos campos E e H em torno de um fio infinito percorrido por

uma corrente na direção +âz.

>>theta=linspace(0,2*pi,40); >>x=cos(theta);y=sin(theta); >>theta1=linspace(0,2*pi,100); >>x1=cos(theta1);y1=sin(theta1); >>H=1/(2*pi); >>E=18; >>Hy=H.*cos(theta);Hx=H.*sin(theta); >>Hz=linspace(0,0,40); >>Ey=E.*sin(theta);Ex=E.*cos(theta); >>Ez=linspace(0,0,40); >>for i=-10:0.25:10 for j=1:100 z1(j)=i; end plot3(0.1.*x1,0.1.*y1,z1,'k');hold on; fill3(0.1.*x1,0.1.*y1,z1,'k');hold on; end >>for i=-10:10 for j=1:40 z(j)=i; end quiver3(x,y,z,-Hx,Hy,Hz);hold on; quiver3(x,y,z,Ex,Ey,Ez);hold on; end >>title('Campos E e H em torno de um fio infinito'); >>figure(1);

19) Trace num gráfico a variação do campo H em um cabo coaxial percorrido por

uma corrente I = 1 A em seu condutor interno e tendo raios a = 2 cm, b = 4 cm e

c = 5 cm.

>> I=1;a=2e-2;b=4e-2;c=5e-2; >> r1=linspace(0,2e-2,100);H1=(I.*r1)/(2*pi*a^2); >> r2=linspace(2e-2,4e-2,100);H2=I./(2*pi.*r2); >> r3=linspace(4e-2,5e-2,100);H3=(I/(2*pi*(c^2-b^2)))*((c^2-r3.^2)./r3); >> r4=linspace(5e-2,6e-2,100);H4=linspace(0,0,100); >> plot(r1,H1,'b',r2,H2,'b',r3,H3,'b',r4,H4,'b'); >> axis([0 6e-2 -1 9]);grid on; >> title('Variação de H num cabo coaxial de a=2 cm, b=4 cm e c=5 cm'); >> xlabel('r (m)');ylabel('H (A/m)'); >> figure(1);

20) Determine J no ponto P(2,1,3) m se H = 2.x.y2.âz [A/m].

>> syms x y z;H=[0 0 2*x*y^2]; >> P=[2 1 3]; >> J=[diff(H(3),y)-diff(H(2),z) diff(H(1),z)-diff(H(3),x) diff(H(2),x)-diff(H(1),y)]; >> J_ponto=subs(J,x,y,z,P(1),P(2),P(3)) J_ponto = [ 8, -2, 0]

21) Repita o ex. 20 se P(3 m, 90º, 0) e H = r2.sen(φφφφ).âθθθθ [A/m]. >> syms r theta fhi;H=[0 (r^2)*sin(fhi) 0]; >> P=[3 90*pi/180 0]; >> rot_Hr=(diff((sin(theta)*H(3)),theta) - diff(H(2),fhi))*(r*sin(theta))^-1; >> rot_Htheta=((diff(H(1),fhi))*(sin(theta))^-1 - diff((r*H(3)),r))*r^-1; >> rot_Hfhi=(diff((r*H(3)),r) - diff(H(1),theta))*r^-1; >> J=[rot_Hr rot_Htheta rot_Hfhi]; >> J_ponto=subs(J,r,theta,fhi,P(1),P(2),P(3)) J_ponto = -3 0 0

22) Determine o vetor B para uma linha infinita com 3 A de corrente se estendendo

na direção +âz ao longo do eixo z no espaço livre e o fluxo magnético que

atravessa uma superfície definida por 1 ≤≤≤≤ r ≤≤≤≤ 4 m e 0 ≤≤≤≤ z ≤≤≤≤ 3 m.

>> syms r z I mi;H=I/(2*pi*r); >> B=mi*H;fluxo=int((int(B,r,1,4)),z,0,3); >> I=3;mi=4*pi*1e-7; >> B=subs(B) B = 17802902220170337/9444732965739290427392/pi/r >> fluxo=subs(fluxo) fluxo = 2.4953e-006

23) Utilizando-se de um fio fino de cobre coberto com verniz isolante, próprio para

enrolamentos, consegue-se envolver firmemente 200 espiras em torno de um

prego utilizado em madeiramento (µµµµr = 1). Considerando que o prego tenha 10 cm de comprimento e 1 cm de diâmetro determine sua indutância (em µµµµH).

>> N=200;mi=4*pi*1e-7;a=5e-3;h=10e-2; >> L=(1e6)*(mi*N^2*pi*a^2)/h L = 3.9478e+001

24) Determine a indutância pelo conceito de energia magnética armazenada de

um condutor de raio a e comprimento h cuja secção transversal está conduzindo

corrente elétrica uniformemente distribuída e cujo campo H vale:

φπ

aa

rIH ˆ.

..2

.2

=r

>> syms I r a mi fhi z h;H=(I*r)/(2*pi*a^2); >> B=mi*H; >> Energia=0.5*int((int((int((r*B*H),z,0,h)),fhi,0,2*pi)),r,0,a); >> L=Energia/(0.5*I^2) L = 1/8*mi/pi*h

>> pretty(L) mi h 1/8 ------ pi

25) Um toróide possui metade do seu perímetro de um material de µµµµr1 = 3000 e a

outra metade de µµµµr2 = 6000. O toróide possui um raio médio de 50 cm e sua

secção possui diâmetro de 2 cm. Nele está enrolada uma bobina com 20 espiras

e percorrida por uma corrente de 10 A. Determine a intensidade do campo

magnético nas duas metades do toróide.

>> r=50e-2;d=2e-2;mi_0=4*pi*1e-7; >> mi_r1=3000;mi_r2=6000; >> L1=2*pi*0.5*r;L2=L1; >> Area=pi*(d^2)/4; >> I=10;N=20;Fmm=N*I >> Rel_1=L1/(mi_r1*mi_0*Area);Rel_2=L2/(mi_r2*mi_0*Area); >> Rel_total=Rel_1+Rel_2; >> fluxo=Fmm/Rel_total; >> B1=fluxo/Area;B2=B1; >> H1=B1/(mi_r1*mi_0);H2=B2/(mi_r2*mi_0); >> H1,H2 H1 = 8.4883e+001 H2 = 4.2441e+001

26) Um transformador baseia-se no princípio do fluxo magnético não estacionário φφφφ(t)

aplicado num material, através de uma bobina de N espiras, dado pela Lei de Faraday:

dt

tdNtv

)(.)(

φ−=

Onde v(t) é a ddp definida por v(t) = Vo. sen(ωωωω.t). Aplicando a Lei de Faraday, prove

que, se o enrolamento primário do transformador possuir N1 espiras e o enrolamento

secundário N2 espiras, a relação dos valores eficazes das ddps de entrada e saída do

transformador pode ser dada por:

2

1

2

1

N

N

V

V=

>> syms V1 V2 fhi t N1 N2 Vo w;V1=Vo*sin(w*t); >> fhi= -int(V1,t)/N1;

>> V2= -N2*diff(fhi,t); >> V1_V2=V1/V2 V1_V2 = 1/N2*N1 >> pretty(V1_V2) N1 ----- N2

27) Um condutor no eixo x entre x = 0 e x = 0,2 m possui velocidade U = 6.âz [m/s]

num campo B = 0,04.ây [T]. Determine a ddp sobre ele.

>> syms x;U=[0 0 6];B=[0 0.04 0];dl=[1 0 0]; >> U_B=cross(U,B);dV=dot(U_B,dl); >> V=int(dV,x,0,0.2) V = -6/125

28) Duas placas com 100 cm2 de área são separadas por uma camada de 1 mm de

espessura de um dielétrico com perdas caracterizado por εεεεr = 50 e σσσσ = 10-4 S/m.

Se aplica-se uma ddp v(t) = 1.cos(2.ππππ.103.t) [V] entre as placas determine a

capacitância da configuração (em nF), a corrente de condução, a corrente de

dispersão e o fator de perdas do dielétrico.

>> A=100e-4;d=1e-3;er=50;eo=1e-9/(36*pi); >> sigma=1e-4;syms t;v_t=1*cos(2*pi*(1e3)*t); >> C=(1e9)*er*eo*A/d C = 4.4210 >> E=v_t/d;Jc=sigma*E;ic=Jc*A ic = 1/1000*cos(2000*pi*t) >> D=er*eo*E;Jd=diff(D,t);id=Jd*A id = -2672312778098461875/302231454903657293676544*sin(2000*pi*t)*pi

>> ic_ef=subs(ic,t,0)/sqrt(2);id_ef=subs(id,t,pi/2)/sqrt(2); >> fator_perdas=abs(ic_ef/id_ef) fator_perdas = 37.5809

29) No espaço livre sabe-se que:

( )x

ztj

o aeEtzE ˆ..),( .. βω −=r

Determine os vetores D, H e B e prove que a OEM está se propagando à

velocidade da luz.

>> syms w t betha z Eo mi_o eo;E=Eo*exp(j*(w*t-betha*z)); >> D=E*eo;rot_H=diff(D,t); >> H=-int(rot_H,z);B1=mi_o*H; >> D,H,B1 D = Eo*exp(i*(w*t-betha*z))*eo H = Eo*w*eo/betha*exp(i*(w*t-betha*z)) B1 = mi_o*Eo*w*eo/betha*exp(i*(w*t-betha*z)) >> rot_E=diff(E,z);B2=-int(rot_E,t); >> U=(w^2/betha^2)*simplify(B2/B1); >> U=sqrt(subs(U,mi_o,eo,[4*pi*1e-7 (1e-9/(36*pi))])) U = 300000000

30) Esboce a propagação de uma OEM no espaço livre e na direção +z com a

amplitude de Ex em 1 V/m e a freqüência da OEM em 10 MHz.

>> Eo=1;f=10e6;c=3e8;mi_o=4*pi*1e-7;lambda=c/f; >> betha=2*pi/lambda;w=2*pi*f; >> z=0:100; >> Ex=Eo*cos(-betha*z);Hy=((betha*Eo)/(w*mi_o))*cos(-betha*z); >> z1=0.*z; >> plot3(z,Ex,z1,'b',z,z1,Hy,'r'); >> legend('Ex','Hy'); >> title('OEM se propagando em +z'); >> xlabel('z(m)');ylabel('Ex(V/m)'); >> zlabel('Hy(A/m)');grid on;figure(1);

31) Uma OEM de f = 10 MHz se propaga num dielétrico perfeito não magnético

com εεεεr = 50. Determine os valores de γγγγ, αααα, ββββ, λλλλ, U e ηηηη.

>> f=10e6;er=50;mi_o=4*pi*1e-7;sigma=0;e=er*1e-9/(36*pi); >> w=2*pi*f;gama=sqrt(j*w*mi_o*(sigma+j*w*e)) gama = 0 + 1.4810i >> mod_gama=abs(gama) mod_gama =

1.4810 >> alfa=real(gama) alfa = 0 >> betha=imag(gama) betha = 1.4810 >> lambda=2*pi/betha lambda = 4.2426 >> U=w/betha U = 4.2426e+007

>> eta=sqrt((j*w*mi_o)/(sigma+j*w*e)) eta = 53.3146

32) Para o níquel (σσσσ = 1,45.107 S/m µµµµr = 600) a 100 MHz calcule αααα, ββββ, ηηηη, U e δδδδ.

>> f=100e6;er=1;mi_r=600;mi=mi_r*4*pi*1e-7;sigma=1.45e7;e=er*1e-9/(36*pi); >> w=2*pi*f;gama=sqrt(j*w*mi*(sigma+j*w*e)); >> alfa=real(gama) alfa = 1.8533e+006 >> betha=imag(gama) betha = 1.8533e+006

>> eta=sqrt((j*w*mi)/(sigma+j*w*e)) eta = 0.1278 + 0.1278i >> mod_eta=abs(eta) mod_eta = 0.1808 >> U=w/betha U = 339.0318 >> delta=1/alfa delta = 5.3959e-007

33) Seja uma fonte de tensão V que está conectada a um resistor R através de um

pedaço de cabo coaxial. Utilizando-se do Vetor de Poynting no dielétrico pede-

se determinar a potência instantânea no resistor. Para tal, considera-se que os

campos E e H num cabo coaxial de raio interno a e raio externo b podem ser

dados por:

φπ

ar

IHa

a

br

VE r

ˆ...2

ˆ.

ln.

=⇒

=

rr

>> syms V a b r I fhi;E=V/(r*log(b/a)); >> H=I/(2*pi*r); >> dP=r*E*H; >> P=int((int(dP,r,a,b)),fhi,0,2*pi) P = -V*I*(-log(b)+log(a))/log(b/a) >> P=subs(P,a,b,[1 2]) P =

V*I

34) Uma OEM incide perpendicularmente à interface espaço livre – cobre (σσσσ = 58 MS/m µµµµr = 1) a uma freqüência de 100 MHz com Ei = 1 V/m. Determine os

valores de Er, Et, Hi,Hr e Ht

.

>> f=100e6;e=1e-9/(36*pi);mi=4*pi*1e-7;sigma=58e6; >> w=2*pi*f;eta1=120*pi;eta2=abs(sqrt(j*w*mi/(sigma+j*w*e))); >> Ei=1;Hi=Ei/eta1; >> Er=Ei*((eta2-eta1)/(eta2+eta1)); >> Et=Ei*(2*eta2)/(eta1+eta2); >> Hr=Hi*((eta1-eta2)/(eta2+eta1)); >> Ht=Hi*(2*eta1)/(eta2+eta1); >> Ei,Er,Et,Hi,Hr,Ht

Ei = 1 Er = -1.0000 Et = 1.9574e-005 Hi = 0.0027 Hr = 0.0027 Ht = 0.0053

35) Uma LT possui seu modelo RLCG dado por:

R = 1 µµµµΩΩΩΩ/m L = 1 µµµµH/m C = 1 nF/m G = 1 fS/m

Para f = 100 MHz determine seus parâmetros característicos, isto é, γγγγ, αααα, ββββ, λλλλ, U e Z.

>> R=1e-6;L=1e-6;C=1e-9;G=1e-15;f=100e6; >> w=2*pi*f;gama=sqrt((R+j*w*L)*(G+j*w*C)); >> mod_gama=abs(gama) mod_gama = 19.8692 >> alfa=real(gama) alfa = 1.5811e-008 >> betha=imag(gama) betha = 19.8692 >> lambda=2*pi/betha lambda = 0.3162 >> U=w/betha U = 3.1623e+007 >> Z=sqrt((R+j*w*L)/(G+j*w*C));mod_Z=abs(Z) mod_Z = 31.6228

36) Determine os parâmetros do modelo RLCG de uma LT ideal onde U = 0,9.c e

Zo = 70 ΩΩΩΩ. >> U=0.9*3*1e8;Zo=70; >> R=0;G=0;L=Zo/U;C=1/(Zo*U); >> R,L,C,G R = 0

L = 2.5926e-007 C = 5.2910e-011 G = 0

37) Determine a ROTE de uma LT terminada de impedância característica Z nos

casos em que a LT termina num circuito aberto e em curto circuito.

>> syms ZL Zo; >> gamaL=(ZL-Zo)/(ZL+Zo); >> gamaL_aberto=limit(gamaL,ZL,Inf) gamaL_aberto = 1 >> gamaL_curto=limit(gamaL,ZL,0) gamaL_curto = -1 >> ROTE_curto=(1+abs(gamaL_curto))/(1-abs(gamaL_curto)); >> ROTE_aberto=(1+abs(gamaL_aberto))/(1-abs(gamaL_aberto)); >> ROTE_curto, ROTE_aberto ROTE_curto = Inf ROTE_aberto = Inf

38) Uma LT sem perdas possui U = 0,9.c, f = 1 GHz, L = 1 m, Zo = 70 ΩΩΩΩ. Determine a impedância de entrada da LT nos casos em que ela for casada e

ZL = j.Zo.

>> U=0.9*3*1e8;f=1e9;lambda=U/f;betha=2*pi/lambda; >> L=1;Zo=70;ZL=70; >> Zent=Zo*(ZL+j*Zo*tan(betha*L))/(Zo+j*ZL*tan(betha*L)) Zent = 70 >> Zent=Zo*(j*ZL+j*Zo*tan(betha*L))/(Zo+j*j*ZL*tan(betha*L)) Zent = 0 -1.2982e+002i

39) Para o sistema antena + LT sem perdas + receptor de FM dado a seguir

determine a potência na carga nos casos onde a LT é casada e quando o receptor

for uma impedância igual a 150 ΩΩΩΩ.

>> Vth=0.6*1e-3;Zth=300;f=100*1e6;Zo=300;L=2;U=2.5*1e8; >> betha=2*pi*f/U; >> ZL=Zo;Zent=Zo*(ZL+j*Zo*tan(betha*L))/(Zo+j*ZL*tan(betha*L)); >> Ient=(Vth+j*0)/(Zth+Zent); >> Pcarga=real(Zent)*(abs(Ient))^2 Pcarga = 3.0000e-010 >> ZL=Zo/2;Zent=Zo*(ZL+j*Zo*tan(betha*L))/(Zo+j*ZL*tan(betha*L)); >> Ient=(Vth+j*0)/(Zth+Zent); >> Pcarga=real(Zent)*(abs(Ient))^2 Pcarga = 2.6667e-010

40) Esboce a Carta de Smith.

Programa Smith_Letter.m:

clc;clear;theta=linspace(-pi,pi,180); a=1;m=0;n=0; Re=a*cos(theta)+m;Im=a*sin(theta)+n; z=Re+i*Im; plot(z,'k') axis('equal') axis('off') hold on plot([-1 1],[0 0],'k'); rvalues=[0.5 1 2 4]; for r=rvalues realcirc(r); xpos=z2gamma(r); h=text(xpos,0,num2str(r)); set(h,'VerticalAlignment','top','HorizontalAlignment','right'); end xvalues=[0.2 0.5 1 2]; for x=xvalues imcirc(x); imcirc(-x); xpos=real(z2gamma(i*x)); ypos=imag(z2gamma(i*x)); h=text([xpos xpos],[ypos -ypos],['j' num2str(x);'j' num2str(x)]); set(h(1),'VerticalAlignment','bottom'); set(h(2),'VerticalAlignment','top'); if xpos==0 set(h,'HorizontalAlignment','center'); elseif xpos<0 set(h,'HorizontalAlignment','right'); end h=text(-1,0,'0'); set(h,'VerticalAlignment','middle','HorizontalAlignment','right'); end hold on;title('The Smith letter');

Subrotinas auxiliares gravadas em separado:

function [result]=z2gamma(z) %Z2GAMMA converte impedância em coeficiente de reflexão %GAMMA = Z2GAMMA(Z) %converte a impedância da matriz Z para coeficientes %de reflexão em GAMMA result=(z-1)./(z+1)

function[h] = realcirc(r) %REALCIRC(r) traça círculos de real constante com %r normalizado; phi=1:1:360; theta=phi*pi/180; a=1/(1+r); m=r/(r+1);n=0; Re=a*cos(theta)+m; Im=a*sin(theta)+n; z=Re+i*Im; h=plot(z,'k'); axis('equal'); axis('off');

function[h] = imcirc(x) %IMCIRC(x) traça um circulo de imaginário constante com %x normalizado a=abs(1/x); m=1; n=1/x; k=1; for t=1:1:360 angle(t)=t*pi/180; Re(t)=a*cos(angle(t))+m; Im(t)=a*sin(angle(t))+n; z(t)=Re(t)+i*Im(t); if abs(z(t))<=1 zz(k)=z(t); k=k+1; end end h=plot(zz,'k'); axis('equal'); axis('off');

41) Localize na Carta de Smith os pontos normalizados relativos às impedâncias ZL = 0 (ponto a), ZL = ∞∞∞∞ (ponto b), ZL = 100 + j.100 ΩΩΩΩ (ponto c), ZL = 100 – j.100 ΩΩΩΩ (ponto d) e ZL = 50 ΩΩΩΩ (ponto e) para uma LT terminada de Zo = 50 ΩΩΩΩ.

42) Trace as curvas da impedância de um GO retangular com a = 0.9 in e b = 0.4 in

preenchido com ar nos modos TE11 e TM11.

>> a_in=0.9;b_in=0.4;a_m=a_in*0.0254;b_m=b_in*0.0254; >> c=3e8;Zo=120*pi; >> fc=c*sqrt((1/a_m)^2+(1/b_m)^2)/2; >> f=17e9:0.1e9;25e9; >> f=17e9:0.1e9:25e9; >> Fator=sqrt(1-(fc./f).^2); >> Zo_f=Zo.*f./f;ZTM=Zo.*Fator;ZTE=Zo./Fator; >> plot((f./1e9),ZTE,'b',(f./1e9),Zo_f,'r',(f./1e9),ZTM,'g'); >> legend('ZTE11','Zo','ZTM11'); >> title('Impedância do GO');xlabel('f (GHz)'); >> ylabel('Z (ohms)'); >> grid on;figure(1);

43) Esboce a configuração do campo E no modo TM11 no interior de um GO

retangular com núcleo de ar de dimensões a = 40 cm e b = 20 cm.

>> a=40;b=20;betax=pi/a;betay=pi/b; >> [x,y]=meshgrid(0:a,0:b); >> Ez=10*sin(betax.*x).*sin(betay.*y); >> surf(Ez);title('Padrão de campo Ez no modo TM11 no interior do GO'); >> axis('equal');axis([0 a 0 b 0 10]); >> xlabel('x (cm)');ylabel('y (cm)'); >> zlabel('Ez (.10 V/m)'); >> figure(1);

44) Suponha que se tenha um núcleo de fibra óptica de índice 1,465, revestido por

uma casca de índice 1,450. Determine o máximo raio de núcleo permitido para

uma fibra monomodal com λλλλ = 1550 nm. Determine também quantos modos são

suportados nesse máximo raio para um comprimento de onda da fonte de 850 nm.

>> nf=1.465;nc=1.45;lambda0=1550e-9; >> syms Jo x;Jo=abs(solve(besselj(0,x))); >> raio=Jo*lambda0/(2*pi*sqrt(nf^2-nc^2)) raio = .28370729273791460954564416985053e-5 >> lambda=850e-9; >> N_modos=2*((pi*raio/lambda)^2)*(nf^2-nc^2) N_modos = .97423328089434211411733171056178*pi^2 >> round(100*N_modos)/100 ans =

481/50

45) Trace o diagrama de irradiação de uma antena.

>>for i=1:100 theta(i)=(-pi/2)+i*pi/100; Pn(i)=(cos(theta(i)))^2; end >>for j=101:200 theta(j)=(-pi/2)+j*pi/100; Pn(j)=-(cos(theta(j)))/10; end >>polar(theta,Pn) >>title('Diagrama de irradiação de uma antena'); >>figure(1);

46) Uma antena dipolo de 3 mm de comprimento é feita de fio de cobre 20 AWG.

Suponha que se excite o centro dessa antena com uma corrente senoidal de f = 1 GHz. Estime a eficiência (em %) e o ganho máximo de potência desta antena se

a mesma for tratada como um dipolo de Hertz.

>> f=1e9;mi=4*pi*1e-7;sigma=58e6; >> delta_Cu=1/(sqrt(pi*f*mi*sigma)); >> raio_20_AWG=0.406e-3;Area_efetiva=2*pi*raio_20_AWG*delta_Cu; >> R_di_curto=3e-3/(sigma*Area_efetiva);

>> lambda=3e8/f;R_rad=80*(pi^2)*((3e-3)/lambda)^2; >> eficiencia=100*R_rad/(R_rad+R_di_curto) eficiencia = 89.0565 >> Dmax=1.5;Ganho_max=eficiencia*Dmax/100 Ganho_max = 1.3358