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Referências Bibliográficas 106 7 Referências Bibliográficas ARAÚJO, R. O. Avaliação de Opções Reais Através do Método dos Mínimos Quadrados de Monte Carlo. 2004. 137f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Industrial). Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2004. BATISTA, F. R. S. Avaliação de Opções de Investimento em Projetos de Exploração e Produção de Petróleo por Meio da Fronteira de Exercício Ótimo da Opção. 2002. 124f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Industrial). Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2002. BENAROCH, M.; KAUFFMAN, R.J. A Case for Using Real Options Pricing Analysis to Evaluate Information Technology Project Investments. Information Systems Research. v. 10, n. 1, 1999, p.70-86 BERK, J.B.; GREEN, R.C; NAIK, V. Valuation and Return Dynamics of New Ventures. Working paper, 2000. CARRIERE, J. Valuation of Early-Exercise Price of Options Using Simulations and Nonparametic Regression. Insurance: Mathematics and Economics, v.19, 1996, p.19-30 CASH, J.I.; MCKENNEY, J. L.; MCFARLAN, F. W. Corporate Information Systems Management: Text and Cases. McGraw-Hill Professional, 1992, 704p. DAMODARAN, A. The Dark Side of Valuation: Valuing Old Tech, New Tech, and New Economy Companies. New York: Prentice Hall, 2001. 479p. DIXIT, A. K.; PINDYCK, R. S. Investment Under Uncertainty. Princeton University Press, 1994, 476 p. FROTA, A. E. F. Avaliação de Opções Americanas Tradicionais e Complexas. 2003. 143f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Industrial). Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2003. FU, M.; LAPRISE, S.B.; MADAN D.B.; SU Y.; WU, R. Pricing American Options: A Comparison of Monte Carlo Simulation Approaches. Working Paper, University of Maryland at College Park, April 2000, 44 pp.

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Referências Bibliográficas 106

7 Referências Bibliográficas

ARAÚJO, R. O. Avaliação de Opções Reais Através do Método dos Mínimos Quadrados de Monte Carlo. 2004. 137f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Industrial). Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2004. BATISTA, F. R. S. Avaliação de Opções de Investimento em Projetos de Exploração e Produção de Petróleo por Meio da Fronteira de Exercício Ótimo da Opção. 2002. 124f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Industrial). Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2002. BENAROCH, M.; KAUFFMAN, R.J. A Case for Using Real Options Pricing Analysis to Evaluate Information Technology Project Investments. Information Systems Research. v. 10, n. 1, 1999, p.70-86 BERK, J.B.; GREEN, R.C; NAIK, V. Valuation and Return Dynamics of New Ventures. Working paper, 2000. CARRIERE, J. Valuation of Early-Exercise Price of Options Using Simulations and Nonparametic Regression. Insurance: Mathematics and Economics, v.19, 1996, p.19-30 CASH, J.I.; MCKENNEY, J. L.; MCFARLAN, F. W. Corporate Information Systems Management: Text and Cases. McGraw-Hill Professional, 1992, 704p. DAMODARAN, A. The Dark Side of Valuation: Valuing Old Tech, New Tech, and New Economy Companies. New York: Prentice Hall, 2001. 479p. DIXIT, A. K.; PINDYCK, R. S. Investment Under Uncertainty. Princeton University Press, 1994, 476 p. FROTA, A. E. F. Avaliação de Opções Americanas Tradicionais e Complexas. 2003. 143f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Industrial). Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2003. FU, M.; LAPRISE, S.B.; MADAN D.B.; SU Y.; WU, R. Pricing American Options: A Comparison of Monte Carlo Simulation Approaches. Working Paper, University of Maryland at College Park, April 2000, 44 pp.

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Referências Bibliográficas 107

GLASSERMAN, P.; YU, B. Number of Paths Versus Number of Basis Functions in American Option Pricing. Annals of Applied Probability, vol. 14, no. 4, 2004, p.2090-2119. GRANT, D.; VORA, G.; WEEKS, D.E. Simulation and the Early-Exercise Option Problem. The Journal of Finance Engineering, v. 5, n.3, 1996, p.211-227. HITT, L. M.; BRYNJOLFSSON, E. Productivity, Business Profitability, and Consumer Surplus: Three Different Measures of Information Technology Value. MIS Quarterly. v. 20, 1996, p.121-142 LONGSTAFF, F.A.; SCHWARTZ, E.S. Valuing American Options By Simulation: A Simple Least-Square Approach. Review of Financial Studies, vol.14, no 1, Spring 2001, p.113-147. PINDYCK, R.S. Investments of Uncertain Cost. Journal of Financial Economics. Vol. 34, 1993, p. 53-76. SCHWARTZ, E.S. Patents and R&D as Real Options. Working paper, UCLA, 2002. SCHWARTZ, E.S. AND MOON, M. (2000) Evaluating Research and Development Investments, in Project Flexibility, Agency, and Competition. Oxford University Press: New York, 2000, p. 85-106 SCHWARTZ, E. S.; ZOZAYA-GOROSTIZA, C. Valuation of Information Technology Investments as Real Options. In: American Finance Association 2001 Meeting, 2001, New Orleans. 2000. Disponível em: <http://ssrn.com/abstract=246576> Acesso em: 11 mar. 2004 SINGH, N. Electronic Commerce: Economics and Strategy. Draft 1.0, 2000, Prentice Hall, no prelo. Disponível em: <http://econ.ucsc.edu/~boxjenk/> Acesso em: 2 abr. 2004 SMIT, H. T. J.; TRIGEORGIS, L. Quantifying the Strategic Option Value of Technology Investments. Real Options 8th Annual Cenference, Montréal Canada, 2004. Disponível em: <http://www.realoptions.org/abstracts/abstracts04.html> Acesso em: 30 jun. 2004 TRIGEORGIS, L. Real Options: Managerial Flexibility and Strategy in Resource Allocation. MIT Press, 1996, 406p. TSITSIKLIS, J.; VAN ROY, B. Optimal Stopping of Markov Processes: Hilbert Space Theory, Approximation Algorithms, and an Application to Pricing High-Dimensional Financial Derivatives. IEEE Transactions on Automatic Control, v.44, 1999, p.1840-1851

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Apêndice A: Resultados da Análise de Sensibilidade do Projeto de P&D 108

Apêndice A: Resultados da Análise de Sensibilidade do Projeto de P&D

A seguir, são mostrados os resultados das simulações referentes à análise de

sensibilidade do exemplo do projeto de P&D do capítulo 5 com relação aos

parâmetros do modelo. Primeiramente, são exibidas algumas tabelas os resultados

numéricos da análise. Por último, foram incluídos alguns gráficos que não foram

mostrados no capítulo 5.

A.1. Resultados Numéricos

Nas tabelas relacionadas a seguir, os valores referentes ao caso base

encontram-se formatados em negrito.

Valor do Projeto

com Opção Percentagem de

Abandono Valor do Projeto

sem Opção Valor da Opção

K0

13 5.351 14.1% 4.873 0.478

14 4.339 19.3% 3.671 0.668

15 3.409 25.2% 2.501 0.909

16 2.654 33.2% 1.371 1.283

17 1.989 42.2% 0.273 1.715

Im

1.0 0.053 94.7% -3.672 3.725

2.0 1.657 44.8% 0.090 1.567

3.0 3.409 25.2% 2.501 0.909

4.0 4.711 18.3% 4.054 0.658

5.0 5.708 13.9% 5.169 0.539

ββββ

0.4 3.022 24.5% 2.263 0.759

0.5 3.206 24.7% 2.377 0.829

0.5 3.409 25.2% 2.501 0.909

0.6 3.629 25.9% 2.637 0.991

0.6 3.855 26.1% 2.784 1.071

Tabela 20: Resultados da análise de sensibilidade sobre os parâmetros de custo

DBD
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Apêndice A: Resultados da Análise de Sensibilidade do Projeto de P&D 109

Valor do Projeto

com Opção Percentagem de

Abandono Valor do Projeto

sem Opção Valor da Opção

C0

1.0 0.037 96.1% -4.529 4.566

1.5 0.982 56.4% -1.014 1.996

2.0 3.409 25.2% 2.501 0.909

2.5 6.547 13.8% 6.016 0.531

3.0 9.845 8.9% 9.531 0.315

αααα

0.03 1.353 49.2% -0.434 1.787

0.04 2.222 35.8% 0.932 1.290

0.05 3.409 25.2% 2.501 0.909

0.06 4.977 17.6% 4.308 0.670

0.07 6.840 12.5% 6.393 0.447

φφφφ

0.20 3.090 21.2% 2.458 0.632

0.25 3.227 23.3% 2.481 0.746

0.30 3.409 25.2% 2.501 0.909

0.35 3.584 27.0% 2.512 1.072

0.40 3.720 28.2% 2.507 1.213

ηηηη

0.04 6.840 12.5% 6.393 0.447

0.05 4.977 17.6% 4.308 0.670

0.06 3.409 25.2% 2.501 0.909

0.07 2.222 35.8% 0.932 1.290

0.08 1.353 49.2% -0.434 1.787

Tabela 21: Resultados da análise de sensibilidade sobre os parâmetros do fluxo de caixa

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Apêndice A: Resultados da Análise de Sensibilidade do Projeto de P&D 110

Valor do Projeto

com Opção Percentagem de

Abandono Valor do Projeto

sem Opção Valor da Opção

T

18 2.761 30.7% 1.638 1.123

19 3.090 27.5% 2.081 1.009

20 3.409 25.2% 2.501 0.909

21 3.728 23.2% 2.891 0.837

22 4.067 21.4% 3.276 0.790

r

3.0% 6.398 14.9% 5.764 0.635

4.0% 4.770 19.2% 3.999 0.771

5.0% 3.409 25.2% 2.501 0.909

6.0% 2.365 33.4% 1.228 1.137

7.0% 1.601 43.7% 0.146 1.454

ρρρρ

-0.10 3.409 25.2% 2.501 0.909

-0.05 3.289 25.3% 2.413 0.877

0.00 3.163 24.8% 2.324 0.839

0.05 3.054 24.8% 2.235 0.819

0.10 2.940 24.9% 2.134 0.806

λλλλ

0.012 4.293 21.1% 3.403 0.890

0.024 3.821 23.1% 2.935 0.886

0.036 3.409 25.2% 2.501 0.909

0.048 3.044 27.3% 2.097 0.947

0.060 2.702 30.1% 1.722 0.979

M

1 2.669 31.7% 1.503 1.166

2 3.019 28.1% 2.002 1.017

3 3.409 25.2% 2.501 0.909

4 3.826 22.6% 2.999 0.827

5 4.264 20.4% 3.498 0.766

Tabela 22: Resultados da análise de sensibilidade sobre os parâmetros restantes

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Apêndice A: Resultados da Análise de Sensibilidade do Projeto de P&D 111

A.2. Gráficos Complementares

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

0.40 0.45 0.50 0.55 0.60

Incerteza Técnica dos Custos

Val

or

do

Pro

jeto

(R

$ m

ilhõ

es) F VPL

Figura 35: Gráfico da incerteza técnica dos custos versus o valor do projeto de P&D

0.0%

20.0%

40.0%

60.0%

80.0%

100.0%

120.0%

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Fluxo de Caixa (R$ milhões)

Caminhos Abandonados (%)

Figura 36: Percentual de caminhos abandonados em relação ao valor do fluxo de caixa

no projeto de P&D

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Apêndice A: Resultados da Análise de Sensibilidade do Projeto de P&D 112

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Parâmetro de Tendência do Fluxo de Caixa

Val

or

do

Pro

jeto

(R

$ m

ilhõ

es)

F VPL

Figura 37: Gráfico do parâmetro de tendência do fluxo de caixa versus o valor do projeto

de P&D

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

Prêmio de Risco do Fluxo de Caixa

Val

or

do

Pro

jeto

(R

$ m

ilhõ

es)

F VPL

Figura 38: Gráfico do prêmio de risco do fluxo de caixa versus o valor do projeto de P&D

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Apêndice A: Resultados da Análise de Sensibilidade do Projeto de P&D 113

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

0.012 0.024 0.036 0.048 0.060

Taxa de Ocorrência de Catástrofe

Val

or

do

Pro

jeto

(R

$ m

ilhõ

es)

F VPL

Figura 39: Gráfico da taxa de ocorrência de catástrofe versus o valor do projeto de P&D

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Apêndice B: Resultados da Análise de Sensibilidade do Projeto de Aquisição 114

Apêndice B: Resultados da Análise de Sensibilidade do Projeto de Aquisição

A seguir, é mostrado o resultado das simulações referente à análise de

sensibilidade dos parâmetros do exemplo do projeto de aquisição do capítulo 5.

Em primeiro lugar, são exibidas as tabelas com os resultados numéricos da

análise. Em seguida, seguem alguns gráficos complementares.

B.1. Resultados Numéricos

Nas tabelas relacionadas a seguir, os valores referentes ao caso base

encontram-se formatados em negrito.

Valor do Projeto com

Opção

Tempo Médio de Espera

(anos)

Caminhos com Investimento Adiado (%)

Caminhos com Investimento Imediato (%)

Valor do Projeto

sem Opção

Valor da Opção

K0

250 89.978 2.75 29.4% 22.4% 68.337 21.641 275 79.363 2.82 28.3% 18.8% 43.805 35.557 300 70.342 2.84 27.4% 15.5% 19.273 51.069 325 62.370 2.85 26.1% 12.7% -5.258 67.628 350 55.980 2.84 25.5% 10.0% -29.790 85.770

δδδδ

-0.14 70.342 2.84 27.4% 15.5% 19.273 51.069 -0.07 64.155 2.17 16.1% 16.4% 17.206 46.950 0.00 59.984 1.54 9.7% 17.0% 15.123 44.861 0.07 57.186 1.07 6.0% 17.5% 13.026 44.160 0.14 55.505 0.76 4.3% 17.7% 10.914 44.591

γγγγ

0.10 64.119 2.59 18.2% 16.5% 19.285 44.834 0.15 67.034 2.69 22.4% 16.0% 19.279 47.755 0.20 70.342 2.84 27.4% 15.5% 19.273 51.069 0.25 74.150 2.92 32.5% 15.1% 19.268 54.881 0.30 78.153 3.02 38.1% 14.5% 19.264 58.889

ηηηηK

0.00 70.342 2.84 27.4% 15.5% 19.273 51.069 0.01 71.471 2.91 29.6% 15.3% 19.568 51.903 0.02 72.595 2.97 31.6% 15.2% 19.862 52.734 0.03 73.691 3.07 33.9% 15.1% 20.155 53.536 0.04 74.817 3.13 36.1% 15.0% 20.449 54.368

Tabela 23: Resultados da análise de sensibilidade sobre os parâmetros de custo

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Apêndice B: Resultados da Análise de Sensibilidade do Projeto de Aquisição 115

Valor do Projeto

com Opção

Tempo Médio de Espera

(anos)

Caminhos com Investimento Adiado (%)

Caminhos com Investimento Imediato (%)

Valor do Projeto

sem Opção

Valor da Opção

C0

40 40.295 2.90 24.1% 8.5% -43.457 83.752

45 54.248 2.82 26.1% 11.6% -12.092 66.340

50 70.342 2.84 27.4% 15.5% 19.273 51.069

55 88.255 2.82 28.4% 19.2% 50.639 37.617

60 107.974 2.75 29.4% 22.4% 82.004 25.970

αααα

-0.02 70.342 2.84 27.4% 15.5% 19.273 51.069

-0.01 79.388 2.89 28.9% 16.9% 32.911 46.477

0.00 89.329 2.94 30.4% 18.3% 47.415 41.913

0.01 100.289 2.98 32.4% 19.3% 62.850 37.439

0.02 112.050 3.01 33.6% 20.6% 79.285 32.765

φφφφ

0.20 56.690 2.60 35.3% 17.9% 19.396 37.294

0.25 63.386 2.76 31.0% 16.7% 19.302 44.084

0.30 70.342 2.84 27.4% 15.5% 19.273 51.069

0.35 77.335 2.93 24.4% 14.4% 19.335 58.000

0.40 84.591 2.96 22.5% 13.0% 19.517 65.074

ηηηηC

0.00 100.289 2.98 32.4% 19.3% 62.850 37.439

0.02 84.168 2.92 29.4% 17.7% 40.051 44.117

0.03 70.342 2.84 27.4% 15.5% 19.273 51.069

0.05 58.415 2.73 24.9% 13.6% 0.311 58.104

0.06 48.308 2.62 23.0% 11.4% -17.019 65.327

Tabela 24: Resultados da análise de sensibilidade sobre os parâmetros do fluxo de caixa

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Apêndice B: Resultados da Análise de Sensibilidade do Projeto de Aquisição 116

Valor do Projeto com

Opção

Tempo Médio de Espera

(anos)

Caminhos com Investimento Adiado (%)

Caminhos com Investimento Imediato (%)

Valor do Projeto sem Opção

Valor da Opção

T

8 43.645 2.05 20.4% 11.6% -20.887 64.532

9 57.110 2.41 23.8% 13.8% 0.208 56.902

10 70.342 2.84 27.4% 15.5% 19.273 51.069

11 83.316 3.30 30.9% 17.1% 36.649 46.668

12 95.424 3.67 34.1% 18.0% 52.337 43.088

r

0.03 86.964 2.81 26.3% 18.6% 46.826 40.138

0.04 78.214 2.81 26.9% 17.0% 32.617 45.598

0.05 70.342 2.84 27.4% 15.5% 19.273 51.069

0.06 63.170 2.84 27.7% 14.1% 6.736 56.434

0.07 56.641 2.87 28.1% 12.7% -5.050 61.692

ρρρρ

0.10 70.259 2.83 26.9% 15.5% 19.279 50.980

0.05 70.282 2.84 27.2% 15.5% 19.276 51.005

0.00 70.342 2.84 27.4% 15.5% 19.273 51.069

0.05 70.328 2.84 27.5% 15.6% 19.271 51.057

0.10 70.334 2.84 27.6% 15.6% 19.268 51.066

Tabela 25: Resultados da análise de sensibilidade sobre os parâmetros restantes

DBD
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Apêndice B: Resultados da Análise de Sensibilidade do Projeto de Aquisição 117

B.2. Gráficos Complementares

0

10

20

30

40

50

60

70

80

-0.14 -0.07 0.00 0.07 0.14

Taxa de Mudança no Custo de Ativos de TI

Val

or

do

Pro

jeto

(R

$ m

il)F VPL

Figura 40: Gráfico da taxa de mudança no custo de ativos de TI versus o valor do projeto

de aquisição

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04

Prêmio de Risco do Custo de Investimento

Val

or

do

Pro

jeto

(R

$ m

il)

F VPL

Figura 41: Gráfico do prêmio de risco dos custos versus o valor do projeto de aquisição

DBD
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Apêndice B: Resultados da Análise de Sensibilidade do Projeto de Aquisição 118

0

20

40

60

80

100

120

-0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02

Parâmetro de Tendência do Fluxo de Caixa

Val

or

do

Pro

jeto

(R

$ m

il)

F VPL

Figura 42: Gráfico do parâmetro de tendência do fluxo de caixa versus o valor do projeto

de aquisição

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0.20 0.25 0.30 0.35 0.40

Volatilidade do Fluxo de Caixa

Val

or

do

Pro

jeto

(R

$ m

il)

F VPL

Figura 43: Gráfico da volatilidade do fluxo de caixa versus o valor do projeto de aquisição

DBD
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Apêndice B: Resultados da Análise de Sensibilidade do Projeto de Aquisição 119

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

0.000 0.015 0.030 0.045 0.060

Prêmio de Risco do Fluxo de Caixa

Val

or

do

Pro

jeto

(R

$ m

il)

F VPL

Figura 44: Gráfico do prêmio de risco do fluxo de caixa versus o valor do projeto de

aquisição

0.0%

5.0%

10.0%

15.0%

20.0%

25.0%

30.0%

0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

Taxa de Desconto

Investimento Imediato

Investimento Adiado

Figura 45: Gráfico da regra de investimento em relação à taxa de desconto no projeto de

aquisição

DBD
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Apêndice C: Réplica de Resultados de Araújo (2004) 120

Apêndice C: Réplica de Resultados de Araújo (2004)

Para fins de estudo, foram replicados os resultados de uma análise de

sensibilidade do método LSM feita por Araújo (2004, cap. 6, p.76). Na análise em

questão, o autor verificou a influência do número de simulações no valor de uma

opção de venda americana, avaliada através do método LSM. O ativo base da

opção, representado aqui por S, segue um movimento geométrico browniano:

SdzSdtdS σα +=

onde qr −=α e dz é um incremento de Wiener. O restante dos parâmetros da

opção encontra-se abaixo:

Parâmetros da Opção

Preço inicial do ativo base S0 720

Preço de exercício K 800

Volatilidade da ação σ

Taxa livre de risco r 10% a.a.

Taxa de dividendos q 5% a.a.

Vencimento da opção T

Tabela 26: Parâmetros da opção de venda analisada por Araújo (2004)

Para a simulação, Araújo (2004) utilizou polinômios de grau oito para as

regressões e variáveis antitéticas para reduzir a variância. A mesma técnica de

redução de variância também foi utilizada para replicar os resultados de Araújo

(2004). No entanto, neste trabalho, optou-se por utilizar polinômios de grau três

para representar as funções base nas regressões. Os resultados replicados de

Araújo (2004) encontram-se a seguir:

DBD
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Apêndice C: Réplica de Resultados de Araújo (2004) 121

Binomial LSM Desvio

m σ T (n = 1000) (média) Erro (%) Padrão (%)

10000 0.15 6 87.9842 76.8657 12.64% 0.55%

10000 0.20 4 104.9743 95.9434 8.60% 0.47%

10000 0.20 6 108.4038 99.9068 7.84% 0.24%

10000 0.20 10 111.3648 103.2043 7.33% 0.65%

10000 0.25 6 132.0920 124.4902 5.75% 0.51%

20000 0.15 6 87.9842 76.6491 12.88% 0.27%

20000 0.20 4 104.9743 95.8561 8.69% 0.49%

20000 0.20 6 108.4038 99.7749 7.96% 0.42%

20000 0.20 10 111.3648 103.0994 7.42% 0.29%

20000 0.25 6 132.0920 124.4338 5.80% 0.30%

50000 0.15 6 87.9842 76.5590 12.99% 0.17%

50000 0.20 4 104.9743 95.9538 8.59% 0.28%

50000 0.20 6 108.4038 99.7377 7.99% 0.16%

50000 0.20 10 111.3648 103.1029 7.42% 0.23%

50000 0.25 6 132.0920 124.2583 5.93% 0.26%

100000 0.15 6 87.9842 76.5738 12.97% 0.19%

100000 0.20 4 104.9743 95.8640 8.68% 0.14%

100000 0.20 6 108.4038 99.7939 7.94% 0.15%

100000 0.20 10 111.3648 103.0941 7.43% 0.12%

100000 0.25 6 132.0920 124.2111 5.97% 0.16%

Tabela 27: Réplica dos resultados da simulação de Araújo (2004)

DBD
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Apêndice D: Réplica dos Resultados de Schwartz (2002) 122

Apêndice D: Réplica dos Resultados de Schwartz (2002)

Com o intuito de ilustrar a metodologia proposta no artigo, Schwartz (2002)

avaliou um projeto de P&D para desenvolver uma droga ética. Em seguida, o

autor fez uma analise de sensibilidade do resultado com relação a alguns

parâmetros do modelo. Segundo Schwartz, os valores utilizados no exemplo

replicam com fidelidade valores da indústria farmacêutica americana. Os dados do

exemplo encontram-se na tabela a seguir:

Parâmetros de Custo

Custo esperado para o término do projeto K $100 milhões

Volatilidade dos custos σ 0,5

Taxa de investimento máximo Im $10 milhões por ano

Parâmetros do Fluxo de Caixa

Fluxo de caixa estimado C $20 milhões por ano

Parâmetro de Tendência α 2% a.a.

Volatilidade do fluxo de caixa φ 0,35

Prêmio de risco η 3,6% a.a.

Outros Parâmetros

Tempo de vida da patente T 20 anos

Taxa livre de risco r 5% a.a.

Tamanho do intervalo de tempo t∆ 0,25 anos

Número de simulações N 100.000

Multiplicador do valor terminal do projeto M 5

Correlação entre as incertezas de custo e fluxo de caixa ρ -0,1

Taxa de probabilidade de catástrofe λ 0,07

Tabela 28: Parâmetros do projeto de P&D analisado por Schwartz (2002)

No exemplo analisado, a opção de abandono é avaliada ao final de cada

intervalo de tempo, ou seja, a cada trimestre. Em seu artigo, Schwartz (2002)

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Apêndice D: Réplica dos Resultados de Schwartz (2002) 123

rodou cinco simulações, com 100.000 caminhos para cada variável de estado. Em

seguida, o autor fez uma análise de sensibilidade com relação aos parâmetros do

modelo. Os resultados de Schwartz (2002) foram replicados, utilizando-se o

mesmo procedimento, porém com 50.000 caminhos. Já para a análise de

sensibilidade, foram usados 10.000 caminhos. Os resultados replicados da

simulação e da análise de sensibilidade, respectivamente, encontram-se a seguir.

D.1. Resultados da Simulação

Valor do Projeto com Opção

Percentagem de Abandono

Valor do Projeto sem Opção

Valor da Opção

Simulação

1 14.975 0.417 6.397 8.578

2 13.464 0.406 5.331 8.133

3 13.925 0.402 5.704 8.221

4 13.851 0.422 5.622 8.229

5 14.379 0.403 6.290 8.089

Média 14.1188 0.410168 5.8689 8.2499

Desvio Padrão (%) 4.10% 2.14% 7.77% 2.34%

Tabela 29: Réplica dos resultados da simulação de Schwartz (2002)

DBD
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Apêndice D: Réplica dos Resultados de Schwartz (2002) 124

D.2. Resultados da Análise de Sensibilidade

Valor do Projeto

com Opção Percentagem de

Abandono Valor do Projeto

sem Opção Valor da Opção

K0

80 33.9015 21.4% 31.0580 2.8435 90 22.5563 29.7% 17.4995 5.0568 100 13.4994 40.6% 5.6585 7.8409 110 7.2716 53.1% -4.7537 12.0253 120 2.7462 68.3% -13.8029 16.5491

Im

8.0 5.5875 56.1% -5.7824 11.3699 9.0 9.2010 46.8% -0.0568 9.2578 10.0 13.4994 40.6% 5.6585 7.8409 11.0 18.0685 34.7% 11.1815 6.8870 12.0 22.6052 29.9% 16.3893 6.2159

ββββ

0.40 9.6954 42.5% 1.7318 7.9636 0.45 11.4806 41.1% 3.6444 7.8362 0.50 13.4994 40.6% 5.6585 7.8409 0.55 15.7078 38.9% 7.8515 7.8563 0.60 18.0452 38.4% 10.1698 7.8754

Tabela 30: Análise dos parâmetros de custo

Valor do Projeto

com Opção Percentagem de

Abandono Valor do Projeto

sem Opção Valor da Opção

C0

16.0 5.7418 56.9% -6.4221 12.1639 18.0 9.3759 47.4% -0.3818 9.7577 20.0 13.4994 40.6% 5.6585 7.8409 22.0 18.4844 35.9% 11.6989 6.7855 24.0 23.6394 32.3% 17.7392 5.9002 αααα

0.00 3.7846 63.6% -9.5183 13.3029 0.01 8.1437 50.7% -2.5283 10.6720 0.02 13.4994 40.6% 5.6585 7.8409 0.03 21.3860 33.4% 15.2627 6.1233 0.04 30.8940 28.0% 26.5474 4.3466 φφφφ

0.25 11.6089 39.3% 4.9947 6.6142 0.30 12.6677 39.7% 5.3583 7.3094 0.35 13.4994 40.6% 5.6585 7.8409 0.40 14.2368 42.0% 5.8400 8.3968 0.45 15.2956 44.3% 5.8291 9.4665

Tabela 31: Análise dos parâmetros do fluxo de caixa

DBD
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Apêndice D: Réplica dos Resultados de Schwartz (2002) 125

Valor do Projeto

com Opção Percentagem de

Abandono Valor do Projeto

sem Opção Valor da Opção

T

18 11.0415 44.8% 1.8315 9.2100 19 12.1786 42.5% 3.7609 8.4177 20 13.4994 40.6% 5.6585 7.8409 21 14.7525 38.8% 7.3006 7.4519 22 16.2413 37.1% 9.0528 7.1885 r

3.0% 28.2181 31.4% 21.6795 6.5386 4.0% 20.3202 35.5% 12.9098 7.4104 5.0% 13.4994 40.6% 5.6585 7.8409 6.0% 8.9094 47.8% -0.3242 9.2336 7.0% 5.3742 57.0% -5.2472 10.6214 ρρρρ

-0.10 13.4994 40.6% 5.6585 7.8409 -0.05 12.2568 41.0% 4.2423 8.0145 0.00 10.9151 40.6% 2.7951 8.1200 0.05 9.6734 40.6% 1.3604 8.3130 0.10 8.3726 41.7% -0.0458 8.4184 λλλλ

0.05 19.6747 35.7% 11.7119 7.9628 0.06 16.3889 37.8% 8.5203 7.8686 0.07 13.4994 40.6% 5.6585 7.8409 0.08 11.1982 43.5% 3.0940 8.1042 0.09 9.3744 47.0% 0.7977 8.5767 M

3 9.9362 46.9% 0.1742 9.7620 4 11.6491 43.5% 2.9164 8.7327 5 13.4994 40.6% 5.6585 7.8409 6 15.7608 38.0% 8.4007 7.3601 7 17.7566 35.7% 11.1429 6.6137

Tabela 32: Análise do restante dos parâmetros do modelo

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Apêndice E: Desenvolvimento Matemático 126

Apêndice E: Desenvolvimento Matemático

Neste apêndice, são desenvolvidas as principais equações dos modelos de

opções reais relacionados neste estudo.

E.1. Modelo de Schwartz e Zozaya (2000)

E.1.1. Equação (4.7) da Oportunidade de Investimento do Projeto de Desenvolvimento

No modelo de Schwartz e Zozaya (2000) para projetos de desenvolvimento

de TI, o valor do projeto e o custo de investimento para o término do mesmo

seguem, respectivamente, os seguintes processos:

VdyVdtdV V σηα +−= )(

1

2( ) ( )KdK I K dt IK dz Kdwδ η β γ= − − − + +

Para se obter o processo seguido pela oportunidade de investimento F(V,K),

aplica-se o lema de Ito, conforme a seguir:

2 2 2

2 22 2

1 1 12

2 2 2

F F F F FdF dV dK dV dVdK dK

V K V V K K

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (E.1)

Adotando-se uma notação mais simples e rearranjando os termos, vem que

2 212

2V K VV VK KKdF F dV F dK F dV F dVdK F dK = + + + + (E.2)

Pode-se verificar que os termos dV2, dVdK e dK

2 são dados pelas respectivas

expressões a seguir:

DBD
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Apêndice E: Desenvolvimento Matemático 127

2 2 2dV V dtσ= (E.3)

dwdydVdK VKdtσγρ= (E.4)

( )2 2 2 2dK IK K dtβ γ= + (E.5)

A Substituição das equações (E.3), (E.4) e (E.5), assim como as equações

das variáveis de estado do projeto, na equação (E.2) resulta na seguinte expresão:

( )2 2 2 2 2

1

2

1 1

2 2( ) ( )

( )

VV VK dwdy KK

V V K K

V K K

F V F VK F IK KdF dt

F V F I K

F Vdy F IK dz F Kdw

σ σγρ β γ

α η δ η

σ β γ

+ + +

= + − − − − −

+ + +

(E.6)

Recorda-se que neste modelo há a possibilidade de ocorrência de um evento

catastrófico, o que caracterizaria o fim do projeto. Neste caso, a oportunidade de

investimento não teria valor. Caso contrário, o processo regido por F(V,K) deverá

ser o mesmo da equação (E.6). Assume-se então que o termo dF tem uma parte

contínua, dada pela equação (E.6), e uma parte discreta, relacionada à

probabilidade de poisson de ocorrência de catástrofe. Logo, pode-se escrever:

contínuo discretodF dF dF= + (E.7)

A parte discreta da equação acima pode ser melhor compreendida através do

diagrama a seguir:

Figura 46: Influência da probabilidade de poisson no processo regido por F(V,K)

F(V,K)

F(V,K)

0

( )1 dtλ−

dtλ

dt

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Apêndice E: Desenvolvimento Matemático 128

Na Figura 46, ilustra-se o que pode acontecer com a oportunidade de

investimento durante um intervalo infinitesimal de tempo, do ponto de vista

discreto. Observa-se que há uma probabilidade dtλ de ocorrer um evento

catastrófico, o que resultaria num abandono forçado e num valor nulo para a

oportunidade de investimento. Por outro lado, a probabilidade de que nenhum

“imprevisto” venha a ocorrer é dada por ( )1 dtλ− . Nesse caso, somente as

mudanças contínuas afetariam a oportunidade de investimento. Logo, assumindo-

se neutralidade ao risco, pode-se dizer que:

[ ] ( )( ) ( )ˆ 1 0discretoE dF dt F F dt F F dtλ λ λ= − − + − = − (E.8)

A aplicação do valor esperado neutro ao risco sobre a equação (E.6) e a

substitução das equações (E.8) e (E.7) na mesma resulta em:

[ ] ( )2 2 2 2 21 1ˆ 2 2

( ) ( )

VV VK dwdy KK

V V K K

F V F VK F IK KE dF dt

F V F I K F

σ σγρ β γ

α η δ η λ

+ + +

= + − − − − − −

(E.9)

Para maximizar o valor da oportunidade de investimento, aplica-se a

equação de Bellman, que neste modelo é dada por:

[ ]1 ˆ( , ) max ( )rF V K I t E dFdt

= − +

Multiplicando-se a equação acima por dt resulta em:

[ ]{ }ˆmaxrFdt Idt E dF= − + (E.10)

Por fim, substituindo-se a equação (E.9) na equação (E.10) e novamente

rearranjando os termos, chega-se à equação diferencial parcial (4.7), reescrita a

seguir:

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Apêndice E: Desenvolvimento Matemático 129

( )0

)()(2

1

2

1

2

1 22222

=

−+−−−−−+

+++

IFrFKIVF

VKFFKIKFFVMax

KKVV

VKdwdyKKKKVV

I

ληδηα

σγργβσ

E.1.2. Equação (4.19) da Oportunidade de Investimento do Projeto de Aquisição

Os fluxos de caixa e o custo de investimento representam as variáveis de

estado do modelo de Schwartz e Zozaya (2000) para projetos de aquisição de TI.

Neste modelo, ambas as variáveis seguem o movimento geométrico browniano,

isto é:

( )CdC Cdt Cdxα η φ= − +

KdwKdtdK K γηδ +−= )(

O processo regido pela oportunidade F(C,K,t) é obtido através da aplicação

do Lema de Ito, conforme ilustrado a seguir:

2 2 2

2 2

2 2

1 1

2 2

F F F F F FdF dC dK dt dC dCdK dK

C K t C C K K

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (E.11)

Simplificando-se a notação e rearranjando os termos, pode-se escrever:

2 212

2C K t CC CK KKdF F dC F dK F dt F dC F dCdK F dK = + + + + + (E.12)

É possível verificar que os termos dC2, dCdK e dK

2 são dados pelas

respectivas expressões a seguir:

2 2 2dC C dtφ= (E.13)

dwdxdCdK CKdtφγρ= (E.14)

2 2 2dK K dtγ= (E.15)

Substituindo-se as expressões de dC, dK, dC2, dCdK e dK

2 na equação

(E.12) e rearranjando os termos resulta na seguinte expressão:

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Apêndice E: Desenvolvimento Matemático 130

2 2 2 21 1

2 2( ) ( )

CC CK dxdw KK

C C K K

C K

F C F CK F KdF dt

F C F K

F Cdx F Kdw

φ φγρ γ

α η δ η

φ γ

+ +

= + − + −

+ +

(E.16)

Na região de continuação, a equação de Bellman para a oportunidade de

investimento deste modelo é dada pela seguinte expressão:

[ ]1 ˆ( , , )rF C K t E dFdt

=

O termo [ ]E dF pode ser obtido aplicando-se o valor esperado neutro ao

risco à equação (E.16) como a seguir:

[ ]2 2 2 21 1

ˆ 2 2( ) ( )

CC CK dxdw KK

C C K K

F C F CK F KE dF dt

F C F K

φ φγρ γ

α η δ η

+ +

= + − + −

(E.17)

Observa-se que os termos estocásticos de dF foram zerados na equação do

valor esperado acima. Resta agora substituir a equação (E.17) na equação de

Bellman. Após rearranjar os termos, obtém-se a EDP correspondente à equação

(4.19):

2 2 2 21 1

( )2 2

( ) 0

CC CK dxdw KK C C

K K

F C F CK F K F C

F K rF

φ φγρ γ α η

δ η

+ + + −

+ − − =

E.2. Modelo de Schwartz (2002)

E.2.1. Equação (4.23) do Valor do Projeto

O projeto de pesquisa e desenvolvimento do modelo de Schwartz (2002)

tem como única variável de estado o fluxo de caixa, cujo processo ajustado ao

risco é dado pela expressão a seguir:

*dC Cdt Cdxα φ= +

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Apêndice E: Desenvolvimento Matemático 131

Para se obter o processo seguido pelo valor do projeto V(C,t), aplica-se o

Lema de Ito conforme a seguir:

2

22

1

2

V V VdV dC dt dC

C t C

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂, (E.18)

ou então

21

2C t CCdV V dC V dt V dC= + + (E.19)

Desenvolvendo-se a equação acima, obtém-se:

2 21*

2C t CC CdV V C V V C dt V Cdxα φ φ

= + + + (E.20)

Pode-se verificar que a equação de Bellman para o projeto deste modelo é

dada por:

[ ]1 ˆ( , ) max ( )rV C t C t E dVdt

= +

, (E.21)

Considerando-se a equação (E.21) na região de continuação e

multiplicando-se a mesma por dt resulta na seguinte expressão:

[ ]ˆ( , ) ( )rV C t dt C t dt E dV= + (E.22)

Finalmente, substitui-se a equação (E.17) na equação (E.22) para se obter a

equação diferencial parcial (4.23) referente ao valor do projeto de pesquisa e

desenvolvimento. O resultado, após manipulação dos termos é:

2 21* 0

2 CC C tC V CV V rV Cφ α+ + − + =

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Apêndice E: Desenvolvimento Matemático 132

E.2.2. Equação (4.27) da Oportunidade de Investimento

No modelo de Schwartz (2002) para projetos de desenvolvimento de TI, os

benefícios (fluxos de caixa) do projeto e o custo de investimento para o término

do mesmo seguem, respectivamente, os seguintes processos:

dC Cdt Cdxα φ= +

1

2( )dK Idt IK dzβ= − +

O processo seguido pela oportunidade de investimento F(C,K,t), é obtido

aplicando-se o Lema de Ito, conforme a seguir:

2 2 2

2 2

2 2

1 1

2 2

F F F F F FdF dC dK dt dC dCdK dK

C K t C C K K

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (E.23)

Adotando-se uma notação mais simples e rearranjando os termos, vem que:

2 212

2C K t CC CK KKdF F dC F dK F dt F dC F dCdK F dK = + + + + + (E.24)

Pode-se verificar que os termos dC2, dCdK e dK

2 são dados pelas

respectivas expressões a seguir:

2 2 2dC C dtφ= (E.25)

1

2( )dxdzdCdK C IK dtφβρ= (E.26)

2 2dK IKdtβ= (E.27)

Substituindo-se as equações das variáveis de estado do projeto e as

expressões (E.25), (E.26) e (E.27) na equação (E.24), obtém-se a seguinte

expresão:

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Apêndice E: Desenvolvimento Matemático 133

12 2 22

1

2

1 1( ) *

2 2

( )

CC CK dxdz KK C K t

C K

dF F C F C IK F IK F C F I F dt

F Cdx F IK dz

φ φβρ β α

φ β

= + + + − +

+ +

(E.28)

Neste modelo, o projeto está sujeiro à ocorrência de um evento catastrófico,

o que caracterizaria o seu fim. Neste caso, a oportunidade de investimento não

teria valor. Caso contrário, o processo de F(C,K,t) deverá ser o mesmo da equação

(E.28). Assume-se então que o termo dF tem uma parte contínua, dada pela

equação (E.28), e uma parte discreta, dada pela probabilidade de poisson de

ocorrência de catástrofe. Logo, pode-se escrever:

contínuo discretodF dF dF= + (E.29)

A parte discreta da equação acima pode ser melhor compreendida através do

diagrama a seguir:

Figura 47: Influência da probabilidade de poisson no processo regido por F(C,K,t)

Na Figura 47, ilustra-se o que pode acontecer com a oportunidade de

investimento durante um intervalo infinitesimal de tempo, do ponto de vista

discreto. Observa-se que há uma probabilidade dtλ de ocorrer um evento

catastrófico, e uma probabilidade ( )1 dtλ− de que nada ocorra. Neste último caso,

somente as mudanças contínuas afetariam a oportunidade de investimento. Logo,

assumindo neutralidade ao risco, pode-se dizer que:

[ ] ( )( ) ( )ˆ 1 0discretoE dF dt F F dt F F dtλ λ λ= − − + − = −

F(C,K,t)

F(C,K,t)

0

( )1 dtλ−

dtλ

dt

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Apêndice E: Desenvolvimento Matemático 134

A aplicação do valor esperado neutro ao risco sobre a equação (E.29) e a

substituição das expressões correspondentes às partes contínua e discreta de dF na

equação resultante fornecerá a seguinte expressão:

[ ]

12 2 22

1 1( )ˆ 2 2

*

CC CK dxdz KK

C K t

F C F C IK F IKE dF dt

F C F I F F

φ φβρ β

α λ

+ +

= + − + −

(E.30)

Em seguida, deve-se maximizar o valor da oportunidade de investimento,

aplicando-se a equação de Bellman. A equação para este modelo é dada por:

[ ]1 ˆ( , , ) max ( )rF C K t I t E dFdt

= − +

Finalmente, para se obter a EDP (4.27), substitui-se a equação (E.30) na

equação de Bellman. Após rearranjaar os termos, o resultado é a expressão a

seguir:

( )

12 2 2 2

1 1( ) ( ) *

02 2CC KK dxdz CK C

I

K t

C F IK F C IK F CFMax

IF F r F I

φ σ φσρ α

λ

+ + + =

− + − + −

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Apêndice F: Código Fonte dos Algoritmos 135

Apêndice F: Código Fonte dos Algoritmos

A seguir encontra-se uma relação dos códigos fonte dos algoritmos

utilizados para se obter os resultados numéricos neste trabalho. Os algoritmos

foram codificados na linguagem MATLAB, versão 6.5, e executados em um

Pentium IV, 2.80 Ghz, com 256MB de memória.

F.1. Método Binomial para Opção Americana

function c = CRRA(S0, K, r, q, sigma, T, n, tipo)

%CRRA Cox-Ross-Rubinstein (Americana)

% c = CRRA(S0, K, r, q, sigma, T, n, tipo) calcula o preco de uma opcao

% americana atraves da aproximacao binomial de Cox, Ross e Rubinstein.

%

% O algoritmo usa programacao dinamica para calcular o valor da opcao de

% tras para frente.

%

% Parametros de entrada:

%

% S0 - preco do ativo base hoje

% K - preco de exercicio da opcao

% r - taxa de desconto

% q - taxa de dividendos

% sigma - volatilidade do ativo base

% T - tempo de maturidade da opcao, considerando quem no instante

% inicial, t=0

% n - numero de passos da binomial

% tipo - tipo de opcao: CALL = 1; PUT = -1 (default eh 'CALL')

%

% --------------------------------------------------------

% Autor: André Fichel Nascimento

% --------------------------------------------------------

% teste para verificar se o tipo da opcao foi informado

if nargin < 8 % caso tipo nao tenha sido incluso

% assume-se que a opcao eh uma call

tipo = 1;

end

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Apêndice F: Código Fonte dos Algoritmos 136

% tamanho de cada intervalo de tempo

dt = T/n;

% calculo dos fatores de subida (u) e descida (d)

u = exp(sigma*sqrt(dt));

d = 1/u;

% calculo da probilidade neutra ao risco

p = ( exp((r-q)*dt) - d ) / ( u - d );

% Valores da opcao em t = T

F = max( (S0*(u.^([0:n]').*d.^([n:-1:0]'))-K)*tipo,0);

% Rotina para calcular o valor da opcao de tras para frente

for i = n:-1:1

for j = 1:i

F(j) = max( (S0*u^(j-1)*d^(i-j) - K)*tipo, exp(-r*dt)*(p*F(j+1)

+ (1-p)*F(j)) );

end

end

% valor da opcao

c = F(1)

F.2 Método de GVW para Opção Americana sobre ativo com MGB

function [c, gatilho] = GVW_mgb(S0, K, r, alpha, sigma, T, nEx, tipo, m1, m2)

%GVW_mgb Grant-Vora-Weeks sobre Movimento Geometrico Browniano

% c = GVW_mgb(S0, K, r, alpha, sigma, T, nEx, m1, m2) calcula o valor de

% uma put americana atraves do metodo de simulacao de monte carlo (SMC)

% desenvolvido por Grant, Vora e Weeks. O algoritmo utiliza a SMC baseada

% no movimento geometrico browniano (mgb) para obter os valores criticos

% do ativo base a cada data de exercicio. A programacao dinamica eh usada

% para o calculo desses valores atraves da comparacao entre o valor de

% continuacao e o valor de exercicio imediato. O algoritmo,

% recursivamente, calcula os valores criticos, de tras para frente,

% comecando pelo ultimo instante ate chegar no instante inicial,

% resultando na curva de gatilho do ativo base. Por ultimo, uma nova

% simulacao eh feita e atraves da curva de gatilho obtem-se o valor

% esperado da opcao

%

% Parametros de entrada:

%

% S0 - valor inicial do ativo base

% K - preco de exercicio do ativo base

% r - taxa de desconto

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Apêndice F: Código Fonte dos Algoritmos 137

% alpha - parametro de tendencia do ativo base

% sigma - volatilidade do ativo base

% T - data de vencimento da opcao

% nEx - numero de datas de exercicio

% m1 - numero de simulacoes de monte carlo para

% se obter os valores criticos

% m2 - numero de simulacoes utilizadas para

% se calcular o valor da opcao

% tipo - tipo de opcao: CALL = 1; PUT = -1

%

% --------------------------------------------------------

% Autor: André Fichel Nascimento

% --------------------------------------------------------

% teste para verificar se m2 foi passado como parametro de entrada

if nargin < 10 % caso m2 nao tenha sido incluso

% assume-se que m1 eh igual a m2

m2 = m1;

end

% tamanho de cada intervalo de tempo

dt = T/nEx;

% condicao terminal

gatilho(nEx) = K;

% parametros de inicializacao para a funcao fzero

maxiter = 50;

tol = 1e-6;

option = optimset('MaxIter', maxiter, 'TolFun', tol);

% inicializacao da variavel pos1

pos1 = 2;

%------------------- Calculo do Valor critico em ti ------------------------

% calculo da curva de gatilho

for i = nEx-1:-1:1

% posicao do ultimo valor critico obtido

pos2 = i+1;

% aproximacao inicial do valor critico

aprox = gatilho(pos2);

% solucao do valor critico via metodo de aceleracao de convergencia

s = fzero( inline( '(S0 - K)*tipo - opcao_mgb(gatilho, S0,

K, r, alpha, sigma, dt, nEx, m1, pos1, pos2, tipo)*exp(-r*dt)', ...

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Apêndice F: Código Fonte dos Algoritmos 138

'S0','K', 'r', 'alpha', 'sigma', 'dt', 'nEx', 'm1',

'gatilho', 'pos1', 'pos2', 'tipo' ), ...

aprox, option, K, r, alpha, sigma, dt, nEx, m1,

gatilho, pos1, pos2, tipo );

% valor critico em ti armazenado no vetor de gatilho

gatilho(i) = s;

end

%--------------------------- Valor da Opcao --------------------------------

% atualizacao da posicao do ultimo valor critico obtido

pos2 = pos2 - 1;

% inicializacao do vetor opcoes

opcoes = zeros(m2,1);

% simulacao do mgb para se obter o valor da opcao

smc = mgb(alpha, sigma, dt, nEx, m2, S0);

% calculo do valor das opcoes via simulacao

for i=1:m2

% calculo do valor de cada opcao a partir do caminho simulado

opcoes(i) = opcao(gatilho, smc(i,:), K, r, dt, nEx, pos1, pos2,

tipo);

end

% calculo do valor esperado da opcao

c = mean(opcoes);

F.3. Método LSM

function [c, regra, FC] = LSM(smc, K, r, T, g, tipo)

%LSM Least Squares Monte Carlo

% [c, regra, FC] = LSM(smc, K, r, T, tipo) calcula o valor de uma opcao

% americana atraves do metodo dos minimos quadrados, LSM, desenvolvido

% por Longstaff e Schwartz (2001). O algoritmo utiliza como dado

% principal de entrada os caminhos do ativo base, previamente simulados,

% que juntos formam a matriz de simulacoes. O valor da opcao eh entao

% obtido atraves da analise da decisao otima em cada periodo. A

% estrategia principal consiste em comparar o valor de exercicio imediato

% da opcao com o valor esperado de continuacao, obtido atraves de uma

% regressao dos minimos quadrados em cima de dados cross-section dos

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Apêndice F: Código Fonte dos Algoritmos 139

% caminhos previamente simulados.

%

% Parametros de entrada:

%

% smc - matriz com n simulacoes em m instantes do ativo base

% K - preco de exercicio da opcao

% r - taxa de desconto

% T - data de vencimento da opcao

% g - grau do polinomio na regressao

% tipo - tipo de opcao: CALL = 1; PUT = -1 (default eh 'CALL')

%

% --------------------------------------------------------

% Autor: André Fichel Nascimento

% --------------------------------------------------------

% teste para verificar se o tipo da opcao foi informado

if nargin < 5 % caso tipo nao tenha sido incluso

% assume-se que a opcao eh uma call

tipo = 1;

end

% numero de linhas (m) e colunas (n) da matriz smc

[m n] = size(smc);

% numero de datas de exercicio da opcao

nEx = n-1;

% tamanho de cada intervalo de tempo

dt = T/nEx;

% inicializacao da matriz dos fluxos de caixa

FC = max( (smc(:,2:n) - K)*tipo, 0 );

% inicializacao da matriz com a regra de parada otima

regra = zeros(m, nEx);

% fator de desconto por periodo

d = exp(-r*dt);

% preenchimento da ultima coluna da matriz de regra otima de parada

parada = find( FC(:,end) ~= 0 );

regra(parada,end) = 1;

%-------------------------- Calculo da matriz de regra --------------------

----------

for i = nEx-1:-1:1

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Apêndice F: Código Fonte dos Algoritmos 140

% selecao das posicoes onde a opcao esta "in the money" em ti

pos = find( FC(:,i) ~= 0 );

% calculo dos payoffs de continuacao

desc = desconto(d,nEx-i)';

payoff = FC(pos,i+1:end) .* regra(pos,i+1:end) * desc;

% calculo dos parametros para a regressao

x = smc(pos,i+1);

y = payoff;

X = [ones(size(x)) x x.^2 x.^3];

% regressao dos minimos quadrados na forma: y = a0 + a1*x + a2*x^2 + ..

a = regress(y,X);

% calculo dos valores de continuacao no instante ti

cont = X*a;

% calculo dos valores de exercicio no instante ti

ex = (x - K)*tipo;

% decisao otima no instante ti

otimo = max( cont(:), ex(:) );

% calculo das posicoes onde o exercicio eh otimo

pos_ex = find( ex(:) == otimo(:) ); %- posicao relativa

ex_otimo = pos(pos_ex); %- posicao real

% atualizacao da coluna i da matriz de regra otima de parada

regra(ex_otimo,i) = 1;

% atualizacao dos dados antigos da matriz regra

regra(ex_otimo,i+1:end) = 0;

end

%--------------------------- Valor da Opcao --------------------------------

% calculo da matriz dos fluxos de caixa de acordo com a regra otima

FC = regra .* FC;

% vetor de descontos

desc = desconto(d,nEx)';

% calculo do valor presente dos fluxos de caixa em cada simulacao

vp = FC*desc;

% calculo do valor da opcao, como media dos valores das SMC

c = mean(vp);

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Apêndice F: Código Fonte dos Algoritmos 141

F.4. Valor do Projeto de P&D com Opção de Abandono via LSM

function [v, percentAbandono, abandonos, regraA] = LSM_PD(C, K, I, r, T, M,

lambda)

%LSM_PD Least Squares Monte Carlo aplicado a P&D

% [v, percentAbandono, tempoMedioAbandono, abandonos, regraA] = LSM_PD(C,

% K, I, r, T, M, lambda) calcula o valor de uma opcao americana atraves

% do metodo dos minimos quadrados, LSM, desenvolvido por Longstaff e

% Schwartz (2002). O algoritmo utiliza uma adaptacao feita por Schwartz

% (2002) para avaliar um projeto de P&D com opcao de abandono.

% Primeiramente, sao passados os caminhos simulados para o fluxo de caixa

% e o custo esperado para o termino do projeto. O valor da opcao eh entao

% obtido atraves da analise da decisao otima em cada periodo.

%

% Parametros de entrada:

%

% C - matriz de simulacao dos fluxos de caixa

% K - matriz de simulacao dos custos

% I - taxa de investimento

% r - taxa de desconto

% T - data de vencimento da patente

% M - multiplicador do valor terminal do projeto

% lambda - taxa de probabilidade de catastrofe

%

%

% --------------------------------------------------------

% Autor: André Fichel Nascimento

% --------------------------------------------------------

% redimensionamento das matrizes de simulacao (eliminacao do valor inicial)

C = C(:,2:end);

K = K(:,2:end);

% numero de linhas (m) e colunas (n) da matriz smc

[m n] = size(C);

% numero de datas de exercicio

nEx = n;

% tamanho de cada intervalo de tempo

dt = T/nEx;

% inicializacao da matriz do projeto

V = zeros(m, nEx);

% inicializacao da matriz de fluxos de caixa realizados

FC = zeros(m, nEx);

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Apêndice F: Código Fonte dos Algoritmos 142

% inicializacao da matriz com a regra otima de abandono

regraA = zeros(m, nEx);

% fator de desconto por periodo

d = exp(-r*dt);

% fator de desconto com probabilidade de poisson

dP = exp( -(r+lambda)*dt );

% preenchimento da ultima coluna da matriz do projeto

V(:,end) = M * C(:, end);

% preenchimento da ultima coluna da matriz de fluxos de caixa

FC(:,end) = V(:,end);

%-------------------------- Calculo da matriz de regra de abandono ---------

---------------------

for i = nEx-1:-1:1

% selecao das posicoes onde nao ha mais investimento em ti

pos_fim = find( K(:,i) == 0);

% atualizacao do valor do projeto para as posicoes onde nao ha mais

investimento em ti

FC(pos_fim,i) = C(pos_fim,i) * dt;

V(pos_fim,i) = d * V(pos_fim,i+1) + FC(pos_fim,i);

% selecao das posicoes onde ha investimento em ti

pos_inv = find( K(:,i) > 0 );

% calculo do valor futuro do projeto descontado para ti

valorDesc = dP * V(pos_inv,i+1);

% calculo dos parametros para a regressao

y = valorDesc;

x1 = C(pos_inv,i);

x2 = K(pos_inv,i);

X = [ones(size(x1)) x1 x2 x1.^2 x1.*x2 x2.^2 x1.*x2.^2

x2.*x1.^2 x1.^3 x2.^3];

% regressao dos minimos quadrados na forma: y = a0 + a1*x1 + a2*x2 +

a3*x1*x2 + ...

a = regress(y,X);

% calculo dos valores de continuacao no instante ti

cont = X*a;

% calculo das posicoes onde o abandono eh otimo

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Apêndice F: Código Fonte dos Algoritmos 143

pos_abandono = find( cont(:) < I*dt );

abandono_otimo = pos_inv( pos_abandono ); % posicao real

if pos_abandono

% atualizacao da regra de abandono para a posicao ti

regraA(abandono_otimo,i) = 1;

% atualizacao das matrizes V, F e regraA para as posicoes antigas

V(abandono_otimo,i+1:end) = 0;

FC(abandono_otimo,i+1:end) = 0;

regraA(abandono_otimo,i+1:end) = 0;

end

% calculo das posicoes onde a continuacao eh otima

pos_cont = find( cont(:) >= I*dt );

cont_otimo = pos_inv( pos_cont );

if pos_cont

% atualizacao do valor do projeto

FC(cont_otimo,i) = -I*dt;

V(cont_otimo,i) = cont(pos_cont) + FC(cont_otimo,i);

end

end

%----------------------- Dados do Projeto com Opcao ------------------------

--

% calculo da percentagem de caminhos onde houve exercicio imediato

numAbandono = find( regraA(:,:) == 1 );

[mA, nA] = size(numAbandono);

percentAbandono = mA / m;

% inicializacao da variavel contador

contador = 0;

% inicializacao do vetor abandonos

abandonos = zeros(1, nEx);

% rotina para calcular o numero de abandonos por periodo

% por periodo

for i=1:nEx

pos_Abandono = find( regraA(:,i) == 1 );

[mA2, nA2] = size(pos_Abandono);

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Apêndice F: Código Fonte dos Algoritmos 144

abandonos(i) = mA2;

end

% valor do tempo medio de abandono

tempoMedioAbandono = contador * dt / mA;

% percentagem de abandonos por periodo

abandonos = abandonos / m;

%----------------------- Valor do Projeto com Opcao ------------------------

--

% inicializacao da matriz do projeto realizado

Vr = zeros(m, nEx);

% preenchimento da ultima coluna da matriz do projeto realizado

Vr(:,end) = V(:, end);

for i = nEx-1:-1:1

% selecao das posicoes onde nao ha mais investimento em ti

pos_fim = find( K(:,i) == 0);

% atualizacao do valor do projeto para as posicoes onde nao ha mais

investimento em ti

Vr(pos_fim,i) = d * Vr(pos_fim,i+1) + FC(pos_fim,i);

% selecao das posicoes onde ha investimento em ti

pos_inv = find( K(:,i) > 0 );

% selecao das posicoes onde ha abandono em ti

pos_abandono = find( regraA(pos_inv,i) == 1 );

% atualizacao dos valores presentes para as posicoes de abandono

Vr(pos_inv(pos_abandono),i:end) = 0;

% selecao das posicoes onde ha investimento e nao ha abandono em ti

pos_cont = find( regraA(pos_inv,i) == 0 );

% atualizacao dos valores presentes para as posicoes onde ha ivestimento

e nao ha abandono

Vr(pos_inv(pos_cont),i) = dP * Vr(pos_inv(pos_cont),i+1) +

FC(pos_inv(pos_cont),i);

end

% calculo do valor da oportunidade, como media dos valores das SMC

v = mean(Vr(:,1)*dP);

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Apêndice F: Código Fonte dos Algoritmos 145

F.5. VPL do Projeto de P&D

function v = VPL_PD(C, K, I, r, T, M, lambda)

%VPL_PD Solucao Numerica para Projetos de P&D (sem opcao de abandono)

% v = VPL_PD(C, K, I, r, T, M, lambda) avalia um projeto de P&D de acordo

% com o modelo desenvolvido por Schwartz (2002), porem sem a opcao de

% abandono. Em outras palavras, o algoritmo calcula o VPL do projeto de

% P&D.

%

% Parametros de entrada:

%

% C - matriz de simulacao dos fluxos de caixa

% K - matriz de simulacao dos custos

% I - taxa de investimento

% r - taxa de desconto

% T - data de vencimento da patente

% M - multiplicador do valor terminal do projeto

% lambda - taxa de probabilidade de catastrofe

%

%

% --------------------------------------------------------

% Autor: André Fichel Nascimento

% --------------------------------------------------------

% redimensionamento das matrizes de simulacao (eliminacao do valor inicial)

C = C(:,2:end);

K = K(:,2:end);

% numero de linhas (m) e colunas (n) da matriz smc

[m n] = size(C);

% numero de datas de exercicio

nEx = n;

% tamanho de cada intervalo de tempo

dt = T/nEx;

% inicializacao da matriz do projeto

V = zeros(m, nEx);

% inicializacao da matriz de fluxos de caixa realizados

FC = zeros(m, nEx);

% inicializacao da matriz com a regra otima de abandono

regraA = zeros(m, nEx);

% fator de desconto por periodo

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Apêndice F: Código Fonte dos Algoritmos 146

d = exp(-r*dt);

% fator de desconto com probabilidade de poisson

dP = exp( -(r+lambda)*dt );

% preenchimento da ultima coluna da matriz do projeto

V(:,end) = M * C(:, end);

% selecao das posicoes onde nao ha mais investimento em T

pos_fim = find( K(:,end) == 0);

% atualizacao dos fluxos de caixa para as posicoes onde nao ha mais

investimento em T

FC(pos_fim,end) = V(pos_fim,end);

% selecao das posicoes onde ha investimento em T

pos_inv = find( K(:,end) > 0 );

% atualizacao dos fluxos de caixa para as posicoes onde nao ha investimento

em T

FC(pos_inv,end) = -I*dt;

%----------------------- Valor do Projeto sem Opcao ------------------------

--

% inicializacao da matriz do projeto realizado

Vr = zeros(m, nEx);

% preenchimento da ultima coluna da matriz do projeto realizado

Vr(:,end) = FC(:, end);

for i = nEx-1:-1:1

% selecao das posicoes onde nao ha mais investimento em ti

pos_fim = find( K(:,i) == 0);

% atualizacao do valor do projeto para as posicoes onde nao ha mais

investimento em ti

Vr(pos_fim,i) = d * Vr(pos_fim,i+1) + C(pos_fim,i)*dt;

% selecao das posicoes onde ha investimento em ti

pos_inv = find( K(:,i) > 0 );

% atualizacao dos valores presentes para as posicoes onde ha ivestimento

Vr(pos_inv,i) = dP * Vr(pos_inv,i+1) - I*dt;

end

% calculo do valor da opcao, como media dos valores das SMC

v = mean(Vr(:,1)*dP);

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Apêndice F: Código Fonte dos Algoritmos 147

F.6. Valor do Projeto de Aquisição com Opção de Espera via LSM

function [v, percentEspera, percentExImediato, tempoMedioEspera, regra] =

LSM_TI_AQ(C, K, r, T)

%LSM_PD Least Squares Monte Carlo aplicado a Projetos de Aquisicao de TI

% [v, percentEspera, percentExImediato, TempoMedioEspera, regra] =

% LSM_TI_AQ(C, K, r, T) calcula o valor de uma oportunidade de

% investimento com exercicio americano atraves do metodo dos minimos

% quadrados, LSM, desenvolvido por Longstaff e Schwartz (2001). O

% algoritmo foi adaptado para avaliar o projeto de aquisicao de TI do

% modelo de Schwartz e Zozaya (2000) para avaliar um projeto de aquisicao

% de TI com opcao de espera. Primeiramente, sao passados os caminhos

% simulados para o fluxo de caixa e o custo de investimento. O valor da

% opcao de espera eh entao obtido atraves da analise da decisao otima em

% cada periodo.

%

% Parametros de entrada:

%

% C - matriz de simulacao dos fluxos de caixa

% K - matriz de simulacao dos custos

% r - taxa de desconto

% T - data de vencimento da opcao

%

% --------------------------------------------------------

% Autor: André Fichel Nascimento

% --------------------------------------------------------

% redimensionamento das matrizes de simulacao (eliminacao do valor inicial)

C = C(:,2:end);

K = K(:,2:end);

% numero de linhas (m) e colunas (n) da matriz smc

[m n] = size(C);

% numero de datas de exercicio

nEx = n;

% tamanho de cada intervalo de tempo

dt = T/nEx;

% inicializacao da matriz do projeto

V = zeros(m, nEx);

% inicializacao da matriz dos fluxos de caixa

FC = zeros(m, nEx);

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Apêndice F: Código Fonte dos Algoritmos 148

% inicializacao da matriz com a regra de parada otima

regra = zeros(m, nEx);

% fator de desconto por periodo

d = exp(-r*dt);

% preenchimento da ultima coluna da matriz do projeto

V(:,end) = C(:,end)*dt;

% preenchimento da ultima coluna da matriz de fluxos de caixa

FC(:,end) = max( V(:,end) - K(:,end), 0 );

% atualizacao da ultima coluna da regra otima de exercicio

parada = find( FC(:,end) ~= 0 );

regra(parada,end) = 1;

%-------------------------- Calculo da matriz de regra --------------------

----------

for i = nEx-1:-1:1

% atualizacao da matriz do valor do projeto em ti

V(:,i) = d * V(:,i+1) + C(:,i) * dt;

% preenchimento da coluna i da matriz de fluxos de caixa

FC(:,i) = max( V(:,i) - K(:,i), 0 );

% selecao das posicoes onde a opcao esta "in the money" em ti

pos_itm = find( FC(:,i) ~= 0 );

% calculo dos payoffs de continuacao

desc = desconto(d,nEx-i)';

payoff = FC(pos_itm,i+1:end) .* regra(pos_itm,i+1:end) * desc;

% calculo dos parametros para a regressao

x1 = C(pos_itm,i);

x2 = K(pos_itm,i);

y = payoff;

X = [ones(size(x1)) x1 x2 x1.^2 x1.*x2 x2.^2 x1.*x2.^2

x2.*x1.^2 x1.^3 x2.^3];

% regressao dos minimos quadrados na forma: y = a0 + a1*x + a2*x^2

a = regress(y,X);

% calculo dos valores de continuacao no instante ti

cont = X*a;

% calculo dos valores de exercicio no instante ti

ex = FC(pos_itm,i);

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Apêndice F: Código Fonte dos Algoritmos 149

% decisao otima no instante ti

otimo = max( cont(:), ex(:) );

% calculo das posicoes onde o exercicio eh otimo

pos_ex = find( ex(:) == otimo(:) ); %- posicao relativa

ex_otimo = pos_itm(pos_ex); %- posicao real

% atualizacao da coluna i da matriz de regra otima de parada

regra(ex_otimo,i) = 1;

% atualizacao dos dados antigos da matriz regra

regra(ex_otimo,i+1:end) = 0;

end

%----------------------- Dados do Projeto com Opcao ------------------------

--

% calculo da percentagem de caminhos onde o exercidio foi adiado

numEspera = find( regra(:,2:end) == 1 );

[mE, nE] = size(numEspera);

percentEspera = mE / m;

% calculo da percentagem de caminhos onde houve exercicio imediato

numExImediato = find( regra(:,1) == 1 );

[mI, nI] = size(numExImediato);

percentExImediato = mI / m;

% inicializacao da variavel contador

contador = 0;

% rotina para calcular o tempo medio de adiamento

for i=2:nEx

pos_Espera = find( regra(:,i) == 1 );

[mE2, nE2] = size(pos_Espera);

contador = mE2*(i-1) + contador;

end

% valor do tempo medio de adiamento

tempoMedioEspera = contador * dt / mE;

%----------------------- Valor do Projeto com Opcao ------------------------

--

% calculo da matriz dos fluxos de caixa de acordo com a regra otima

FC = regra .* FC;

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Apêndice F: Código Fonte dos Algoritmos 150

% vetor de descontos

desc = desconto(d,nEx)';

% calculo do vetor de valor presente dos fluxos de caixa em cada simulacao

vp = FC*desc;

% calculo do valor da opcao, como media dos valores das SMC

v = mean(vp);

F.7. VPL do Projeto de Aquisição

function v = VPL_TI_AQ(C, K, r, T)

%VPL_TI_AQ Solucao Numerica aplicada a Projetos de Aquisicao de TI

% v = VPL_TI_AQ(C, K, r, T) foi adaptada para avaliar o projeto de

% aquisicao de TI do modelo de Schwartz e Zozaya (2000) para avaliar um

% projeto de aquisicao de um ativo de TI, porem sem a opcao da espera. Em

% outras palavras, o algoritmo calcula o VPL do projeto de aquisicao.

%

% Parametros de entrada:

%

% C - matriz de simulacao dos fluxos de caixa

% K - matriz de simulacao dos custos

% r - taxa de desconto

% T - data de vencimento da opcao

%

% --------------------------------------------------------

% Autor: André Fichel Nascimento

% --------------------------------------------------------

% obtencao dos valores iniciais dos fluxos de caixa e custos

C0 = C(:,1);

K0 = K(:,1);

% redimensionamento das matrizes de simulacao (eliminacao do valor inicial)

C = C(:,2:end);

K = K(:,2:end);

% numero de linhas (m) e colunas (n) da matriz smc

[m n] = size(C);

% numero de datas de exercicio

nEx = n;

% tamanho de cada intervalo de tempo

dt = T/nEx;

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Apêndice F: Código Fonte dos Algoritmos 151

% inicializacao da matriz do projeto

V = zeros(m, nEx);

% fator de desconto por periodo

d = exp(-r*dt);

% preenchimento da ultima coluna da matriz do projeto

V(:,end) = C(:,end)*dt;

%-------------------------- Calculo da matriz de projeto -------------------

---------

for i = nEx-1:-1:1

% atualizacao da matriz do valor do projeto em ti

V(:,i) = d * V(:,i+1) + C(:,i)*dt;

end

%--------------------------- Valor da Projeto sem Opcao --------------------

---------

% calculo dos fluxo do projeto no instante inicial

FC1 = V(:,1) - K(:,1);

% calculo do vetor de valor presente dos fluxos de caixa em cada simulacao

vp = FC1 * d;

% calculo do valor do projeto, como media dos VPLs

v = mean(vp);

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