1

7. Circuitos de Corrente Alternada (AC)

7.1. Fontes de AC e Fasores

7.2. Resistências num Circuito AC

7.3. Indutores num Circuito AC

7.4. Condensadores num Circuito AC

7.5. O Circuito RLC em Série

7.6. Ressonância num Circuito RLC em Série

2

• Descrevemos os princípios básicos dos circuitos AC simples.

• Análise de circuitos em série simples com resistências (R), condensadores(C), e indutores (L), isoladamente ou em combinação, alimentados por uma fonte de voltagem sinusoidal.

• Vamos usar o facto de R, C e L terem respostas lineares: a corrente alternadainstantânea (AC) em cada um deles é proporcional à voltagem alternadainstantânea no componente.

• Quando a voltagem (V) alternada aplicada for sinusoidal, a corrente em cada componente também será sinusoidal, mas não necessariamente em fase com a voltagem aplicada.

• Quando a corrente numa bobina (indutor) se altera com o tempo, há uma fem(força electro-motriz) induzida na bobina, conforme a Lei de Faraday.

A fem auto-induzida numa bobina define-se pela expressão:

dtdiL−=ε Onde L é a indutância da bobina

3

• A Indutância é uma medida de oposição dum componente do circuito (neste caso a bobina) à variação da corrente.

1 1 V sHA⋅

=SI → henry (H)

• A indutância de qualquer bobina (solenóide, bobina toroidal) é dada pela expressão

INL mφ=

Indutor (bobina)

• Onde I é a corrente, φm é o fluxo magnético através da bobina, e N o número total de espiras.

• A indutância de um componente de um circuito depende da geometria do componente.

4

7.1. Fontes de AC e Fasores

•Circuito de corrente alternada (AC): uma combinação de componentes (R,L,C) e um gerador que proporciona AC.

•Pela rotação duma espira num campo magnético com velocidade angular (ω)constante, induz-se uma voltagem alternada (fem) sinusoidal na espira.

•Esta voltagem instantânea é dada por:

Vm: voltagem de pico do gerador de AC ou amplitude da voltagem.

•A frequência angular é:

f: frequência linear da fonte, T: período (f → Hz (ciclos por segundo); ω →rad/s)

Em Portugal, na rede eléctrica f=50 Hz

tsenVm ωυ =

Tf ππω 22 ==

5

Objectivo primordial do capítulo - exemplo: Suponha que tem um gerador de AC ligado a um circuito com componentes R, L e C em série; se a Vm

e a f do gerador forem dadas, e os valores de R, L e C também, achar a corrente resultante, caracterizada pela amplitude e pela fase.

A fim de simplificar esta análise temos que construir graficamente um diagrama de fasores: as grandezas oscilatórias (corrente, voltagem) são representadas por vectores giratórios (no sentido anti-horário) no plano complexo, os fasores.

•O comprimento do fasor representa a amplitude (valor máximo) da grandeza;

•A projecção do fasor no eixo real representa o valor instantâneo da grandeza.

6

7.2. Resistências num Circuito AC

• A soma algébrica instantânea da elevação do potencial, e do abaixamento do potencial, na malha do circuito deve ser nula (Lei das malhas de Kirchhoff) ⇒

~υ = Vm.sen(ω.t)

vR

1Συi=0 ⇔ υ-υR = 0 ⇒ υ = υR = Vm.sen ω t

υR: queda instantânea de voltagem na resiatência (R).

tsenItsenR

VR

i mm

R ωωυ=== 2A corrente instantânea:

RVI m

m = → corrente de pico

1 2e ⇒ υR = Im R sen ω t

7

iR e υR variam, ambos de uma forma sinusoidal (com sen ωt) e atingem os valores máximos (picos) num mesmo instante ⇒ as duas grandezas estão em fase.

Im

Vm

t

vR

iR iR

υRVm

Im

ωt

Diagrama de fasores. As projecções de Im e Vm (fasores) no eixo vertical representam os valores instantâneos

de iR e υR.Gráfico da voltagem e da

corrente em função do tempo

• ! O valor médio da corrente sobre um ciclo é nulo: a corrente mantém-se num sentido (+) durante o mesmo intervalo de tempo que se mantém no sentido oposto (-) ⇒ O sentido da corrente não tem efeito sobre o comportamento do R no circuito.

8

Efeito térmico

• Qualitativamente: as colisões entre os electrões de condução de corrente e os átomos fixos da resistência (R) provocam um aumento da sua temperatura, que depende do valor da corrente, mas é independente da direcção da corrente.

• Quantitativamente: taxa de conversão da energia eléctrica em calor numa R éa sua potência instantânea ; i: corrente instantânea na R.

• P ∝ i2 ⇒ não faz diferença se a corrente for contínua (DC) ou alternada (AC), ou seja se o sinal (+) ou (-) for associado a i.

! O efeito térmico provocada por uma corrente alternada com Im não é o mesmo que o provocado por uma corrente contínua com o mesmo valor, dado que a corrente alternada somente tem o Imax durante um pequeno instante de tempo durante um ciclo.

P = i2·R

9

Importante num circuito AC é o valor médio da corrente ou corrente média quadrática (rms).

A corrente média quadrática (ou eficaz) é a raiz quadrada da média dos quadrados da corrente.

O quadrado da corrente varia com sen2 ωt, e pode-se mostrar que o valor médio de i2 é I2

m/2

I2rms

i2

t

I2m

22

0,7072

2

mrms m

mrms

II I

II

= =

=⇒

Exemplo: Uma corrente AC com Im = 2 A libertará o mesmo calor numa R do que uma corrente DC de 0,707·2 = 1,414 A

10

A potência média dissipada num R com uma corrente AC é:

rms

rms

VRI

=RIP rmsmed2=

0,7072m

rms mVV V= =A voltagem média quadrática (ou eficaz):

! Quando se fala em medir a voltagem alternada de 220V duma tomada eléctrica, fala-se na realidade duma Vrms de 220V ⇒ Vm = 311,1 V

! Usaremos valores rms ao discutir as correntes e voltagens alternadas.

! Os amperímetros e voltímetros de AC são projectados para ler os valores rms

Se forem usados os valores rms, muitas equações terão a mesma forma que as equações nos circuitos DC

11

Irms(Ief)Vrms(Vef)Valor médio quadrático (ou eficaz)

ImVmValor máximo (pico)

iυValor instantâneo

CorrenteVoltagem

⇒ Exercício 7.1

12

7.3. Indutores num Circuito AC

υL: queda instantânea de voltagem no indutor (bobina).

~υ = Vm·sen(ω.t)

υL

⇒ Lei das malhas: Συi=0 ⇔ υ + υL = 0 ,

0m mdi diL V sen t L V sen tdt dt

ω ω− + = ⇒ = 1

A integração dá a corrente em função do tempo:

cosm mL

V Vi sen t dt tL L

ω ωω

= =−∫

dado que: cos 2

t sen t πω ω − = − ⇒

−=

2πω

ωtsen

LVi m

L 2

13

Comparando com ⇒ a corrente está fora de fase com a voltagem,

com um atraso de π/2 rad, ou 90°1

Vm

Im vL

iL

t

iL

vLVm

ω.t

Im

υL atinge Vm (pico) num instante que está um quarto do período de oscilação antes de iL atingir Im

Quando a υ aplicada for sinusoidal, iL segue a υL com um atraso de 90°

! υL ∝ di/dt ⇒ υL é maior quando i estiver a variar com maior rapidez. i(t) é

uma curva sinusoidal ⇒ di/dt (declive) é máximo quando a curva i(t) passar

pelo zero ⇒ υL atinge Vm quando iL = 0

14

−=

2πω

ωtsen

LVi m

L 2

L

mmm X

VL

VI ==ω

⇒Da Eq. 2 3

• é a impedância indutiva (ou reactância indutiva)

Irms é dada por uma expressão semelhante à com Vm substituída por Vrms

! O conceito de impedância é usado a fim de não ser confundido com o de resistência.

A impedância distingue-se da resistência porque introduz uma diferença de fase entre υ e i.

•Circuito puramente resistivo ⇒ i e υ em fase

•Circuito puramente indutivo ⇒ i segue υ com uma diferença de fase de 90°

XL = ωL3

rmsrms

L

VIX

=

15

tsenXItsenV LmmL ωωυ ⋅⋅=⋅=Com e ⇒31

Pode ser visto como a Lei de Ohm dum circuito indutivo. XL tem a unidade SI de resistência (impedância) ⇒ o Ohm (Ω).

A impedância dum indutor aumenta com a frequência. Nas frequências

mais elevadas i varia mais rapidamente, o que provoca um aumento da fem

induzida associada a uma certa Im.

⇒ Exercício 7.2

16

7.4. Condensadores num Circuito AC

~v = Vm·sen(ω.t)

vC

C

• Lei das malhas: Συi=0 ⇔ υ - υc = 0

υ = υc = Vm sen ω t• υc: queda instantânea de voltagem no condensador.

( ) ( )c m

Q tv Q t CV sen t

Cω= → = 1

Uma vez que i = dQ/dt ⇒ a derivação de dá a corrente instantânea1

cos sin2C m m

dQi CV t CV tdt

πω ω ω ω = = = +

dado que: cos2

t sen t πω ω = +

• Vemos que a corrente não está em fase com a voltagem aos terminais do condensador.

17

12 2C m m

C

i CV sen t V sen tπ πω ω ω = + = + Χ iC está com uma diferença de fase de 90° em antecipação à υC.

2

Vm

ImvC

iC

t

ImIC

υC Vm

ωt

Quando a fem aplicada for sinusoidal, a corrente num condensador está avançada de 90° relativamente à voltagem no C.

iC atinge Im (pico) um quarto de ciclo mais cedo que o instante em que a υC

atinge Vm

CX C ω

1=Impedância capacitiva ⇒ ⇒ Exercício 7.3

18

7.5. Circuitos RLC em Série

i = Im.sen(ωt - φ); φ é o ângulo de fase entre a corrente e a voltagemaplicada.

• Objectivo: determinar φ e Im. Teremos que construir e analisar o diagrama de fasores do circuito.

! Todos os componentes estão em série no circuito ⇒ a corrente alternada (i) é sempre a mesma (mesma amplitude e mesma fase) em todos os pontos do circuito. ⇒ a voltagem em cada componente terá amplitude e fase diferente.

vR

t

vL

t

vC

t

υR υL

υ = Vm.sen ω t

υC

R C

~L

i

19

VL

Im

90°

ω VC

Im90°

ω

VR Im

ω1

Resistência Indutor Condensador

Voltagem → em fase / avanço de 90° / atraso de 90° com a corrente

As quedas instantâneas de voltagem:

υR = ImR sen (ωt-φ) = VR sen (ωt-φ)

υL = ImXL sen (ωt+π/2-φ) = VL cos (ωt-φ)

υC = ImXC sen (ωt -π/2-φ) = -VC cos (ωt-φ)

VR = ImR; VL = ImXL; VC = ImXC são as voltagens de pico (máximos) aos terminais de cada componente.

( )φω −= tsenIi m

20

! A voltagem instantânea υ nos três componentes obedece a:

υ = υR + υL + υC

É mais simples efectuar a soma usando o diagrama de fasores A corrente em cada componente é a mesma, I (t) ⇒ pela combinação dos três fasores : 1

2

Im VR

VL

VC

ω Vm

φφ

VL-VCVm

VR

2

Soma vectorial das voltagens

21

! A soma vectorial das amplitudes das voltagens VR, VL, VC é igual a um fasor

cujo comprimento é o pico da voltagem aplicada, Vm, e que faz um ângulo φ com

o fasor da corrente Im.

Pelo triângulo na Figura:

( ) ( ) ( )2222CmLmmCLRm XIXIRIVVVV −+=−+=

( )22CLmm XXRIV −+= ; XL = ωL; XC = 1/ ωCA

( )22CL

mm

XXR

VI−+

=

( )22CL XXR −+≡ SI: OhmZA impedância (Z) do circuito RLC é:

Vm = Im Z⇒ ⇒ Generalização da Lei de Ohm para ACA

22

;m rms

m rms

V VZ ZI I

= =

• ! A corrente no circuito depende da R, L, C e ω

Se eliminamos o factor comum Im de cada fasor da Figura

⇒ triângulo de impedância.

2

Z

Rφ R

XX CL −=φtanXL – XC ⇒

( )φω −= tsenIi m

• Quando XL > XC (frequências altas) ⇒ φ > 0, a i segue a υ aplicada.

• Se XL < XC ⇒ φ < 0, i precede a υ aplicada.

• Quando XL = XC ⇒ φ = 0, Z = R e Im = Vm/R

A frequência a que se verifica esta condição é a frequência de ressonância.

23

Negativo se XC > XL

Positivo se XC < XL

Positivo, entre 0° e 90°

Negativo, entre –90° e 0°

+90ºXL

-90ºXC

0ºR

Ângulo de Fase, φImpedância, ZComponentes do Circuito

R CL

L

R

C

CR 22CXR +

LR 22LXR +

( )22CL XXR −+

⇒ Exercício 7.5

24

7.6. Potência num Circuito AC

No circuito RLC podemos exprimir a potência instantânea, P, como:

P = i·υ = Imsen(ωt – φ)·Vmsen (ωt)

= ImVmsen(ωt)·sen(ωt – φ)1

! Função complicada do tempo sem muita utilidade prática.

Interessa, em geral: a potência média em um ou mais ciclos ⇒

sen(ωt - φ) = sen(ωt)cos(φ) – sen(φ)cos(ωt) → 1

P = ImVmsen2(ωt)·cos(φ) – ImVmsen(ωt)·cos(ωt)·sen(φ)

Toma-se a média de P sobre o tempo durante um ou mais ciclos (Im, Vm, φe ω constantes).

• Média de sen2(ωt).cos(φ) → ½ cos(φ)• Média de sen(ωt).cos(ωt).sen(φ) → 0

½.sen(2ωt)

25

;2 2m m

rms rmsV IV I= =

⇒ A potência média oupotência activa eficaz:

Pmed = ½ Im.Vm.cosφ

= Irms.Vrms.cos φ

VL-VC

VR

φ

Vm

⇒ A queda máxima de voltagem naresistência é: VR = Vmcos φ = Im.R →

factor de potência

cos φ = Im R/Vm

212cos

2 2m m m

méd rms rms mm

I V I RP I V I RV

φ = = =

RIP rmsméd2=

26

Preact = Irms.Vrms.sen(φ)

! A potência média proporcionada pelo gerador é dissipada como calor na R. (como em DC)

! Não há perda de potência num indutor ideal ou num condensador ideal.

• (Ex.: o C é carregado e descarregado duas vezes durante cada ciclo ⇒ háfornecimento de carga ao C durante dois quartos do ciclo, e há o retorno da carga à fonte de voltagem, durante os outros dois quartos. ⇒ A potência média proporcionada pela fonte é nula. Logo um C num circuito de AC não dissipa energia.)

• (Analogamente para o indutor)

A potência que se transmite entre a fonte e o circuito que não é dissipada:

Potência reactiva:

27

Pméd = Pact = Irms.Vrms.cos φ

Puramente resistivo ⇒ φ = 0, cos φ = 1

Potência máxima(máx. amplitude)

⇒ Pmax = Irms.Vrms

t

P = v.i

iv

Potênciamédia

⇒ Exercício 7.8

28

7.7. Ressonância num Circuito RLC em Série.

• Um circuito RLC está em ressonância quando a corrente tem o seu valor de pico (ver pag. 22).

• Em geral( )22

CL

rmsrmsrms

XXR

VZ

VI−+

==

! Z = Z (ω) ⇒ Irms = Irms(ω)

A corrente atinge o seu valor máximo quando XL = XC ⇒ Z = R

A frequência ω0 a que isso ocorre é a frequência de ressonância do circuito:

LC1

0 =ωC

LXX CL0

01

ωω =⇔=

ω0 também corresponde à frequência natural de oscilação do circuito LC.

29

• Nesta frequência a corrente está em fase com a voltagem instantânea aplicada.

R = 10Ω

(mA)R = 3.5Ω

R = 5Ω

Irms

1.2

0.2 9 w0 12

ω, Mrad/s

L = 5 µHC = 2 nFVmq= 5 mV

∀Rω0 = 107 rad/s

Curvas mais estreitas e altas quando R diminui.

Irms →∞, R → 0 (teoria!!)

• Os sistemas mecânicos também exibem ressonâncias: sistema massa-mola.

• Actuando na ω0, a amplitude das oscilações aumenta com o tempo.

Os circuitos reais têm sempreuma certa resistência que limita o valor da corrente.

30

• A potência média em função da frequência:

( )22

2

2

22

CL

rmsrmsrmsméd XXR

RVRZ

VRIP−+

===

LC12

0 =ω

CX C ω

1=

LX L ω=

( )220

2222

22

ωωωω−+

=LR

RVP rmsméd

RVP rms

méd

2

=Quando ω = ω0 a Pméd é máxima,

R = 10Ω

R = 3.5Ω

∆ ω

Pméd, µw

7

1

9 ω 0 11 ω, Mrad/s

A largura da curva é descritapor um factor de qualidade: Q0

ωω∆

= 00Q

31

∆ ω é a largura da curva medida entre dois valores de ω para os quais Pméd tem metade do valor máximo da P

⇒=∆LRω

RLQ 0

0ω

=XL(ω0)

→ Grandeza adimensional

! Q0 elevado, ∆ω estreito; Q0 baixo, corresponde a uma faixa de frequências mais ampla.

! 10 < Q0 < 100 (aprox.) nos circuitos electrónicos.

Aplicações: Aparelho de rádio

- ∆C ⇒ ∆ω0 (sintonização)

- ω0 do circuito = onda de rádio recebida ⇒ aumenta I no circuito.

- Sinal amplificado alimenta o alto-falante

- Q0 elevado a fim de serem eliminados os sinais indesejáveis.

32

Anexo1: Representação Complexa das grandezas AC

• Uma corrente ou tensão alternadas podem ser representadas por umnúmero complexo.

• Aproveitando a identidade

eiθ = cos θ + i sen θ ; com i2 = -1

• Regra para a representação:

Uma voltagem alternada V0.cos(ωt+δ) deve ser representada pelo número complexo V0.eiδ.eiωt, isto é, o número cuja parte real é V0.cos(δ) e cuja parte imaginária é V0.sen(δ) que roda no plano complexo com a velocidade angular ω. Portanto, a voltagem em função do tempo é dada pela parte real do produto V0.ei(ωt+δ).

33

Y

Xδ

V0

Voltagem em funçãodo tempo.

Representaçãocomplexa

V0.cos(ωt+δ) V0.eiδ = x + iy

Multiplique por eiωt e tome a parte real

V = Re[V0.eiδ(eiωt)] = V0.cos(ωt+δ)

34

( ) ZVI

XXR

VI mm

CL

mm =

−+= ,

22

( )22CL XXRZ −+=

RXX CL −= arctanδ

δieZZ = iXRZ +=;

LieLZ iL ωω

π== 2

CiCie

CZ i

C ωωωπ 11 2 =

−==

CLR ZZZZ ++=

( )22CLR ZZZZ ++=

δ=

ZZIm

Rearctan

RZR =

35

Acetatos preparados por:- S. Lanceros-Méndez (conteúdo e figuras)- J. A. Mendes (layout)-C. Tavares (comentários adicionais)

Anexo 2: Circuito em Paralelo

I = IC + IR + IL = V.(YC + YR + YL)

CiYCi

ZVYZVI CCC

CC ω

ω==== ;1;

RYRZVY

RVI RRRR

1;; ====

I = V.YT

CiYCiZVY

ZVI LLL

LL ω

ω 1;; ====

RLiCi

RLiCiYYYY LRCT

111+−=++=++=

ωω

ωω

RY

LC TR1;1

==ωressonância:

!Y, admitânciaImpedância, Z = 1/Y ;