6 May 2008 . 15:03

Cálculo Numérico / Métodos Numéricos

Sistemas linearesMinimos Quadrados - Introdução

12 Jun 2008 . 19:31

Ceres e os mínimos quadrados

Ceres é o menor planeta anão identificado no sistema solar.

Foi descoberto por Giuseppe Piazzi, em 1801. Piazzi seguiu sua órbita por 40 dias, até perdê-la, devido ao brilho do sol.

Como encontrá-lo quando ele ficasse visível outra vez?

12 Jun 2008 . 19:31

Como "reencontrar" Ceres

Resolvendo as equações não-lineares de Kepler, para as órbitas dos planetas.

Entretanto, o planeta só foi reencontrado devido às predições de Gauss, então com 24 anos.

12 Jun 2008 . 19:31

O método de Gauss

Havia uma série de pontos dados pelas observações temporais de Piazzi

Gauss estimou uma função:

posição = f(t)

A partir destes dados, de modo que, para os pontos conhecidos, o erro fosse "o menor possível".

12 Jun 2008 . 19:31

Idéiaposição

tempo

erro

12 Jun 2008 . 19:31

Método dos mínimos quadrados

Objetivo:

Aproximar uma função y= f(x) por uma combinação linear de funções conhecidas:

de tal modo que a distância de f(x) a F(x) seja a menor possível.

precisamos definir uma noção de distância entre duas funções

12 Jun 2008 . 19:31

Quando usar ?

A aproximação torna-se especialmente interessante quando:

a) f(x) é definida através de processos não finitos, como integrais, soma de séries...

b) f(x) é conhecida apenas através de pares de pontos (obtidos, por exemplo, através de experimentos)

12 Jun 2008 . 19:31

Distância entre vetores

Definição: Seja E um espaço euclidiano. Dados os vetores x e y 2 E, definimos a distância entre dois vetores - d(x,y) - como o comprimento do vetor (x,y):

Queremos obter a mínima distância entre a função real f(x) e a função aproximada F(x). Poderíamos usar:

12 Jun 2008 . 19:31

Medida nem tão boa assim:

Problemático trabalhar com módulos (não diferenciável)Sem módulo: Erros positivos anulam os erros negativos.Erro total zero, quando vemos que r1 é bem diferente de r2

r1

r2

12 Jun 2008 . 19:31

Solução

Usamos:

Daí o nome de método dos mínimos quadrados