6. CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA

6.1 Força Electromotriz6.2 Resistências em Série e em Paralelo.6.3 As Regras de Kirchhoff6.4 Circuitos RC6.5 Instrumentos Eléctricos

• Análise de circuitos simples que incluem baterias, R e C, diversamente combinados.

• A análise é simplificada pelo uso das (duas) Regras de Kirchhoff.

• As regras são consequência das leis da conservação da energia e da conservação da carga.

6.1 Força Electromotriz

• Uma fonte de força electromotriz (fem) é um dispositivo qualquer (uma bateria ou um gerador) que aumenta a energia potencial das cargas que circulam num circuito.

• A fem, ε, duma fonte é medida pelo trabalho feito sobre uma carga unitária. A unidade SI de fem é o volt.

• Vamos admitir que os fios de ligação têm R desprezável.

• Se desprezássemos a resistência interna (r) da bateria ⇒ ∆V na bateria (a V entre os terminais) = à fem da bateria.

• Uma bateria real tem sempre uma certa r, por isso V entre os terminais ≠ da fem da bateria.

• Uma carga (+) deslocando-se entre “a” e “b” ⇒ quando passa do terminal (–) para o terminal (+) da bateria, o seu V aumenta de ε; ao deslocar-se através de r, o seu V diminui de Ir (I= corrente no circuito)

- + r

d c

RI

a ε bbateria

V = Vb – Va = ε - Ir⇒ ← entre os terminaisda bateria

• ε é a voltagem em circuito aberto, a voltagem entre os terminais quando a corrente é nula.

• Variações de V quando o circuito for percorrido no sentido a, b, c, d.

V ε r R

εIR Ir

a b c d

• A voltagem, V, entre os terminais da bateria = à diferença de potencial na R, que é muitas vezes denominada a resistência de carga, V = IR

V = ε - Ir V = IR

! I depende de r e da R! Quando R >> r ⇒ podemos desprezar r na análise.

A potência total debitada pela fonte de fem, Iε, converte-se em potência dissipada pelo efeito Joule na resistência de carga, I2R, mais a potência dissipada na resistência interna, I2r.

! Se R >> r ⇒ a maior parte da P da bateria transfere-se para aresistência de carga.

ε = IR + Ir ,,rR

I+

=ε

Iε = I2 R + I2 r

6.2 Resistências em Série e em Paralelo

Resistências em Série

• A corrente é a mesma através de ambas as resistência, pois qualquer carga que passa por R1 também passa por R2

• Queda de potencial entre a e b = IR1

Queda de potencial entre b e c = IR2

⇒A queda de potencial de a para c:

I

a R1 b R2 c

VI

+ -

)( 2121 RRIIRIRV +=+=

• Podemos substituir os dois R em série por uma única resistência equivalente Req,

• Req é equivalente à combinação em série R1 + R2 porque I no circuito será a mesma se Req substituir R1 + R2

• Três ou mais resistências ligadas em série:

• A Req de resistências em série é sempre maior do que qualquer das resistências individuais.

21 RRReq +=

...+++= 321 RRRReq

Resistências em Paralelo.

• A diferença de potencial é a mesma em todas as resistências. • A corrente não é, em geral, a mesma en todas as resistências.• Quando I atinge “a” (um nó), divide-se em duas partes, I1 pelo

ramo R1, e I2 pelo ramo R2. Se R1 > R2 ⇒ I1 < I2. A carga tende a seguir a via de menor R.

• A carga dever ser conservada ⇒ I = I 1 + I2 (a corrente I que entra no nó “a” deve ser igual à corrente que sai deste nó, I1 + I2 )

Ia

R1

+ -

R2I2

I1b

V

• Uma vez que a queda de potencial em cada R é a mesma, a lei de Ohm dá:

• Para três ou mais resistências

• Cada nova R ligada em paralelo com uma ou mais resistências diminui a Req do conjunto.

eqRV

RRV

RV

RVIII =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=+=

212121

11

21

111RRReq

+=⇒ →21

21

RRRRReq +

=

321

1111RRRReq

++=

6.3 As Regras de Kirchhoff

• Muitas vezes não é possível reduzir um circuito a uma simples malha que possa ser analisada pela Lei de Ohm e as regras das ligações das R em série ou em paralelo.

• A análise de circuitos mais complicados pode simplificar-se pelo uso de duas regras simples, as regras de Kirchhoff:

1. A soma das correntes que entram num nó é igual à soma das correntes que saem desse nó. (Um nó é qualquer ponto do circuito onde é possível a divisão da corrente.)

2. A soma algébrica das variações de potencial em todos os elementos duma malha fechada do circuito é igual a zero.

• A primeira regra é um enunciado da conservação da carga: qualquer q que chega a um dado ponto do circuito, deve abandonar esse ponto, pois não pode haver acumulação de qem nenhum ponto.

• A segunda regra é consequência da conservação da energia: qualquer q que se desloque ao longo de qualquer malha fechada num circuito (começa e termina o deslocamento no mesmo ponto) deve ganhar tanta energia como aquela que perder.

I1 I2I3

I1=I2+I3

• Aplicação da segunda regra de KirchhoffRegras de cálculo:

1. Se uma R for atravessada na direcção da I, a variação do potencial (∆V) na R é -IR

2. Se R for atravessada numa direcção oposta à de I ⇒a ∆V no R é +IR

a b

I

a b

I

∆V = Vb – Va = -IR

∆V = Vb – Va = +IR

3. Se uma fonte de fem for atravessada na direcção da fem (do terminal (-) para o (+)), a ∆V é +ε

4. Se uma fonte de fem for atravessada na direcção oposta à da fem (do (+) para (-)), a ∆V é - ε

! A regra das nós pode ser utilizada tantas vezes quantos os nós no circuito.

∆V = Vb – Va = +ε

∆V = Vb – Va = - ε

a b- +ε

a b+ -ε

! A regra das malhas pode ser usada desde que em cada nova equação apareça um novo elemento do circuito (R ou

) ou uma nova I.

* Em geral o número de vezes que a regra dos nós deve ser usada é uma unidade menor que o número de nós no circuito.

+ -

• O número de equações independentes de que se precisa deve ser pelo menos igual ao número de incógnitas, para que um certo problema seja solúvel.

• Redes complicadas ⇒ grande número de eq. lineares independentes e grande número de incógnitas ⇒ álgebra de matrizes (ou programas de computador)

• Admite-se que os circuitos estejam em estado estacionário, e as I nos diversos ramos sejam constantes.

! Se um C aparecer como componente dum ramo, esse C actua como um interruptor aberto no circuito, e a I no ramo onde estiver será nula.

Estratégia e sugestões para a resolução de problemas:

1. Faça o diagrama do circuito e identifique, com nomes ou símbolos, todas as grandezas conhecidas e desconhecidas.Em cada parte do circuito, atribua uma direcção a I. (*)

2. Aplique a regra dos nós (fácil!)3. Aplique a segunda regra. Tenha atenção aos sinais!!! 4. Resolva o sistema de equações.* Não fique preocupado se fizer uma escolha incorrecta do

sentido duma corrente: nesse caso, o resultado terá o sinal negativo, mas o seu valor estará correcto. Embora seja arbitrária a fixação inicial da direcção de I, a partir daí éindispensável respeitá-la RIGOROSAMENTE ao aplicar as regras de Kirchhoff.

6.4 Circuitos RC

! Até agora: circuitos com as correntes constantes, os circuitos em estado estacionário.

! Agora: circuitos com C, nos quais as correntes podem variar com o tempo.

Quando se aplica uma diferença de potencial a um C descarregado, a velocidade de carga do C depende da sua capacidade e da resistência do circuito.

Carregando um Condensador• C inicialmente descarregado.• Quando S estiver aberto ⇒ não há I no

circuito.• Se S for fechado (t=0) ⇒ estabelece-se

uma I ⇒ principia a carga do C.

• Durante esse processo, as cargas não passam através do C.

• Há transferência de q duma para outra placa através de R, S e ε, até que o C adquira a plena carga.

• O valor da qmax depende da fem da bateria.• Uma vez atingida esta qmax → I no circuito é nula.

S

εR

C

t < 0

S

ε R

C

t > 0+q

-qI

Discussão Quantitativa:

Aplicamos a regra das malhas (Kirchhoff), ao circuito depois de S ter sido fechado ⇒

! q e I são valores instantâneos durante o processo de carga do C.

Podemos usar para achar a I inicial no circuito e a qmax no condensador:

1

0=−−CqIRε1

queda de potencial na Rqueda de potencial no C

• Em t = 0, S é fechado ⇒ a carga no C é zero.⇒ → a I inicial no circuito, I0, é um máximo (I em t = 0)

! Nesse instante, a queda de potencial ocorre inteiramente na resistência.

• Quando o C estiver com a sua qmax = Q ⇒ cessa o movimento das q, I = 0 ⇒ ! A queda de potencial ocorre inteiramente no CI = 0 + → Q = Cε (q máxima)

1 RI ε=0

1

• Dependência temporal da q e da I:

1 010 =−−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

dtdIR

dtdq

CIR

Cq

dtd ε

0=⇒=dtdcte εε

dtdqI =

CI

dtdIR −=

dtRCI

dI 1=

R e C são constantes ⇒ esta equação pode ser integrada, com a condição inicial.

I = I0 em t = 0

A fim de achar q no C, em função de t, podemos substituirna Eq e integrar:

RCt

IIdt

RCIdI tI

I−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫∫

000

1 ln,

RCt

RCt

eR

eItI−−

==ε

0)( 2

dtdqI =2

dteR

dqeRdt

dqRC

tRC

t −−

==εε ,

Usando q = 0 em t = 0 ⇒

:,, vemedxeusandoedteR

dq xxtqRC

t αα

αε −− −== ∫∫∫

− 1 00

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=

−−RC

tRC

teQeCtq 11ε)( 3

q max no C

q

t

τ = RC

I

t

Cε0.63Cε

I0

0.37 I0

REI =0

ττ

3 2

! q = 0 em t = 0; q → qmax = Cε quando t →∞! Imax = I0 = ε/R em t = 0 e decai exponencialmente até zero

quando t →∞

• A grandeza RC das Eqs. é a constante de tempo, τ, do circuito → O tempo necessário para I decrescer para o valor 1/e do seu valor inicial.

• No tempo τ, I = e-1 I0= 0.37 I0

No tempo 2τ I = e-2 I0= 0.135 I0

• Da mesma forma, no tempo τ a carga aumentará de zero até

•

[ ] εε CeC 6301 1 .=− −

[ ] [ ] [ ]TTQ

QVQ

IVRC =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ×==τ ← Dimensão de tempo

• Trabalho feito pela bateria no processo de carga Qε = C ε2

C completamente carregado → energia no C: ½ Qε = ½Cε2 = metade do W feito pela bateria.→ A outra metade é dissipada como calor na R, por efeito deJoule.

Descarga de um Condensador

• Carga inicial no C → Q• t < 0, interruptor (S) aberto ⇒ V = Q/C no C

V = 0 na R (I = 0)• t = 0, interruptor (S) fechado ⇒ o C principia a descarregar-se

através da R.• Num certo instante t ⇒ corrente = I, carga = q• 2ª regra de Kirchhoff ⇒ IR = q/C → a queda de potencial na R

= à diferença de potencial no C.

Rs

C+Q-Q

t < 0

RIC+q-q

t > 0

A corrente no circuito é igual à taxa de diminuição da carga no C, I = -dq/dt

Integrando, com a condição inicial q = Q em t = 0

Derivando a Eq. em ordem ao tempo ⇒

Onde I0 = Q/RC (corrente inicial)A carga no C e a I no circuito decrescem exponencialmente a uma taxa caracterizada pela constante de tempo τ = RC

dtRCq

dqCq

dtdqR 1

−==− ,→

→−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫∫ RC

tQqdt

RCqdq tq

Qln,,

0

1 ( ) RCtQetq −

=

( ) RCt

RCt

eIeRCQ

dtdqtI

−−==−= 0

• O Amperímetro → aparelho que mede corrente eléctrica

No caso ideal, um amperímetro deve ter resistência nula, de modo a não alterar a corrente a ser medida.

• O Voltímetro → dispositivo que mede diferenças de potencial.

Um voltímetro ideal tem resistência infinita, de modo que não haja passagem de corrente através dele.

! Ter sempre em conta a polaridade do instrumento.

6.5 Instrumentos Eléctricos

A+ -

V

• O Galvanómetro → é o principal componente dos amperímetros e dos voltímetros.• A operação do galvanómetro baseia-se no facto de haver

um momento sobre uma espira de corrente na presença dum campo magnético.

• O momento sobre a bobina é proporcional à corrente na bobina: a deflexão angular da bobina é proporcional àcorrente.

• Galvanómetro típico ⇒ R ~ 60 Ω

Galvanómetro num Amperímetro

Exemplo: para medir uma I = 2A com um galvanómetro,RG = 60 Ω⇒ RP ~ 0.03 Ω

Galvanómetro num Voltímetro

Exemplo: para medir uma Vmax = 100V com um galvanómetro,,RG = 60 Ω⇒ RS~ 105 Ω

RP

60 Ω

RS

60 Ω

RP – resistência shuntRP << RG

RS >> RG