55457049 geometria-analitica

FACULDADE ASSIS GURGACZ – FAG

Geometria Analítica Engenharia

Profª. Alessandra S. F. Misiak

Cascavel – 2009

Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG

1.1. O PLANO CARTESIANOO PLANO CARTESIANO

A cada ponto P do plano cartesiano corresponde um par ordenado ( x, y ) de números reais e escrevemos P( x, y ) para indicar este ponto.

Dois eixos orientados ( x e y ) são dispostos ortogonalmente, dando a origem à divisão do plano em quatro partes, cada uma denominada quadrante. Os quatro quadrantes são numerados no sentido anti-horário, e os eixos e a intersecção entre eles são denominados, respectivamente, eixo das abscissas ( x ), eixo das ordenadas ( y ) e origem ( 0 ) do sistema de coordenadas cartesianas.

A reta que divide ao meio os quadrantes ímpares é chamada de bissetriz dos quadrantes ímpares e a que divide os quadrantes pares é a bissetriz dos quadrantes pares.

Observações:I. Os pontos pertencentes ao eixo 0x possuem ordenadas nulas.

II. Os pontos pertencentes ao eixo 0y possuem abscissas nulas.

III. Todos os pontos da bissetriz dos quadrantes ímpares possuem abscissas iguais à ordenada e vice-versa.

IV. Todos os pontos da bissetriz dos quadrantes pares possuem abscissas e ordenadas opostas e vice-versa.

EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS1. Situe no mesmo sistema de eixos cartesianos os pontos A(3, 4), B(-2, 3), C(2, 0), D(0, -3)

E(2

3−, - 5), F(-1, 1) E G(2, -2).

Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 2

1º QUADRANTE

( +, + )

4º QUADRANTE

( +, - )

2º QUADRANTE

( -, + )

3º QUADRANTE( -, - )

x ( eixo das ABSCISSAS )

Y ( eixo das ORDENADAS )

Bissetriz dos quadrantes pares

Bissetriz dos quadrantes ímpares

P Є 0x ↔ P = ( x, 0 )

P Є 0y ↔ P = ( 0, y )

A Є bi ↔ A = ( a,

a )

B Є bp ↔ B = ( b,

-b )


2. Determine o valor de k, sabendo que o ponto A( 2k-1, - k+2 ) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.

3. O ponto P( 3k+6, -k+2 ) pertence à bissetriz dos quadrantes pares, pergunta-se:a) Qual a ordenada do ponto P?b) Em que quadrante encontra-se o ponto P?c) Qual a distância do ponto P à origem?

02. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS02. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

Dados dois pontos distintos do plano cartesiano, chama-se distância entre eles a medida do segmento de reta que tem os dois pontos por extremidade. Sendo A(xa, ya) e B(xb, yb), aplicando Pitágoras temos:

( ) ( ) 22ABABAB yyxxd −+−=

EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS

4. Calcule a distância entre os pontos dados:a) A (3, 7) e B (1, 4) R: 13b) E (3, -1) e F (3, 5) R: 6c) H (-2,-5) e O (0, 0) R: 29

d) M (0, -2) e N ( 5 , -2) R: 5

e) P (3, -3) e Q (-3, 3) R: 72f) C (-4, 0) e N (0, 3) R: 5

5. A distância do ponto A(a, 1) ao ponto B(0, 2) é igual a 3. Calcule o valor da abscissa a. R: 2 2

6. Sejam os ponto A(-3, 1) e B(4, 3). A distância entre eles éa) 10b) 15

53216

R: c

7. A distância entre A(1, 3) e B(5, 6) é:a) 5b) 10c) 15

2025

R: a8. (UFRGS) A distância entre os pontos A(-2, y) e B(6, 7) é 10. O valor de y é:


yb - y

a

xb – x

a

xa

xb

ya

yb

A

B

dAB


a) -1b) 0c) 1 ou 13

-1 ou 102 ou 12

R: c9. Qual o ponto do eixo das ordenadas que eqüidista dos pontos A(2, -1) e B(6, 3)?

a) (0,5)b) (5,0)c) (2,3)

(6,2)(-1,0)

R:a10. O comprimento da circunferência de diâmetro CD, sendo C(2, 1) e D(10, 7) é:

a) 5πb) 10πc) 20π

17π29π

R: b

03. PONTO MÉDIO03. PONTO MÉDIO

Sendo A(xa, ya), B(xb, yb) e M( xM, yM ) o seu ponto médio, temos:

++

2,

2BABA yyxx

M

M é o ponto que divide o segmento AB ao meio.


11. Determine o ponto médio do segmento de extremidades:a) A (-1, 6) e B (-5, 4)b) A (1, -7) e B (3, -5)

c) A (-1, 5) e B (5, -2)d) A (-4, -2) e B (-2, -4)

12. Calcule os comprimentos das medidas do triângulo cujos vértices são os pontos A (0, 0) e B (4, 2) e C(2, 4).

13. Sendo A(1, 3) e B(7, 13) as extremidades do segmento AB, seu ponto médio é:a) (4, 8)b) (2, 4)c) (8, 16)

d) (1, 2)e) (3, 4)

14. Sendo A(-5, 2) uma das extremidades do segmento de reta AB e M(-2, 4) o seu ponto médio, o ponto B vale:

a) (1, 6)b) (2, 12)c) (-5, 4)

d) (-2, 2)e) (0, 1)


A

B

M

A xA

yB

xM XB

yA

yM


04. CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS04. CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS

Sendo A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) três pontos distintos dois a dois, são colineares ou estão alinhados, se e somente se:

1

1 0

1

A A

B B

C C

x y

x y

x y

=


15. Verifique se os pontos A (0, 2) , B (-3, 1) e C (4, 5) estão alinhados.

16. Determine x de maneira que os pontos A (3, 5) , B (1, 3) e C (x, 1) sejam vértices de um triângulo.

17. O valor de x para que os pontos A(x,0), B(3,1) e C(-4,2) sejam colineares é:a) 0b) 10c) 3

d) 12e) -4

18. Os pontos (1, 3), (2, 7) e (4, k) do plano cartesiano estão alinhados se, e somente se:a) k = 11b) k = 12c) k = 13

d) k = 14e) k = 15

05. COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA05. COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA

O coeficiente angular de uma reta é um número real “a” que representa a sua inclinação (α ). Por definição, temos que:

São quatro as possibilidades para o coeficiente angular:


a = tg α

A(xA, yA)

B(xB, yB)

C(xC, yC)


Para determinarmos o valor do coeficiente angular (a) faremos:

a = x

y

∆∆

ou a = AB

AB

xx

yy

−−

ou a = xmed

ymed

.

.−

06. EQUAÇÃO GERAL DA RETA06. EQUAÇÃO GERAL DA RETA

Toda reta no plano possui uma equação de forma:

0ax by c+ + =

na qual a, b e c são constantes e a e b não são simultaneamente nulos. Ela é denominada equação geral da reta.

Podemos determinar a equação geral da reta de várias formas:

♦ Conhecido dois pontos 1 1 1( , )P x y e 2 2 2( , )P x y

1 1

2 2

1

1 0

1

x y

x y

x y

=

♦ Conhecido um ponto 1 1 1( , )P x y e a declividade a da reta:

1 1( )y y a x x− = −

onde a = 2 1

2 1

y y

x x

−−

ou a = tgα

19. Obtenha a equação geral da reta que por P e tem declividade a.a) P(2, 3); a = 2

b) P(-2, 1); a = -2

c) P(4, 0); a = 2

1−

20. Escreva a equação fundamental (geral) da reta que passa pelo ponto P e tem inclinação α .



a) P(2, 8) e α = 45º

b) P(-4, 6) e α = 30º

c) P(3, -1) e α = 120º

21. Escreva a equação fundamental (geral) da reta que passa pelos pontos a seguir:a) A(1, 1) e B(-2, -2)

b) A(3, 1) e B(-5, 4)

c)A(2, 3) e B(8, 5)

22. Determine a equação geral da reta: a) x – 2y - 4 = 0b) 2x + y – 2 = 0 c) 4x – 2y – 4 = 0d) x – y + 2 = 0e) x – y + 4 = 0

23. Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(-3, 2) e B(5, -4)a) 4x + 3y + 1= 0b) 3x + 4y + 1= 0c) x + y + 3 = 0

d) x + y – 4 = 0e) x – y – 1 = 0

07. EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA07. EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA

É toda equação do tipo y = ax + b, onde “a” é chamado de coeficiente angular (ou declividade) e “b” é chamado de coeficiente linear.Exemplos:

−==

−=3

232

b

axy

=

−==−+

3

13

2

012b

ayx

==

+=1

515

b

axy

=

−==+04

5045

b

ayx

24. Os coeficientes angular e linear da reta 3y - 2x + 12 = 0 são respectivamente:a) 2/3 e 4b) 3/2 e 12c) -2/3 e -12

d) 2/3 e -4e) -3/2 e 4

25. Os pontos A(x, 0) e B(3, y), pertencem a reta de equação x – 3y + 9 = 0. A distância entre eles é:a) 10b) 2c) 3 10

d) 4 10e) 10

26. A reta da figura abaixo tem como coeficiente angular e linear, respectivamente:a) ½ e -2b) 2 e -1/2c) -1/2 e -2d) -2 e -1/2e) ½ e -1/2

Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 7-2

4


27. Determine a equação reduzida da reta:a) y = x + 3b) y = -x + 3c) y = 2x+6d) y = x – 3e) y = - 3x + 2

08. POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS08. POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS

RETAS PARALELASRETAS PARALELAS

Dadas duas retas r e s não-verticais dadas pelas equações:

(r) y = a1x + b1

(s) y = a2x + b2

Para essas retas, temos as seguintes possibilidades:


28. Determine uma equação geral da reta que passa pelo ponto P(1, 2) e é paralela à reta de equação 8x + 2y -1 = 0

29. Determine uma equação geral da reta que passa pelo ponto P(2, 5) e é paralela à reta de equação

12 3

x y+ =

30. Determine uma equação geral da reta que passa pelo ponto P(4, -4) e é paralela à reta de equação x + y – 5 = 0


⇔

≠=

21

21

bb

aaPARALELAS DISTINTAS

⇔

==

21

21

bb

aaPARALELAS COINCIDENTES

3

3


31. Determine uma equação geral da reta que passa pelo ponto P(2, -3) e é paralela à reta de equação 5x – 2y +1 = 0

32. Determine o valor de “m” para que as retas 2x + 3y - 1 = 0 e mx + 4y – 3 = 0 sejam paralelas. a) 1b) 2c) - 3

d) - 6e) 5

33. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(3, -3) e é paralela à reta 2x – 3y -6 = 0.a) 2x – y + 9 = 0b) 2x – 3y – 15 = 0c) 3x + 2y – 15 = 0

d) x – 2y + 9 = 0e) 3x – 2y + 15 = 0

34. Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(3, 2) e é paralela à reta 4x – y + 1 = 0.a) y = 2x – 3b) y = 4x – 10c) y = - x + 15

d) y = x + 5e) y = - 4x +5

RETAS PERPENDICULARESRETAS PERPENDICULARES

Dadas duas retas r e s não-verticais dadas pelas equações:

(r) y = a1x + b1

(s) y = a2x + b2

Para essas retas, temos a seguinte possibilidade:


35. Determine o ponto de encontro das retas cujas equações são: a) x + 2y – 3 = 0 e x -2y + 7 = 0b) 2x + y – 1 = 0 e 3x + 2y - 4 = 0

c) 7 2

3 3y x= − e

37

2y x= − +

36. Determine o valor de “k” para que as retas 3x - 5y + 10 = 0 e kx + 3y – 21 = 0 sejam perpendiculares. a) 1b) 6c) -10

d) 15e) 5

37. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(1, 5) e é perpendicular à reta de equação x + 3y - 12 = 0.

a) y = -2x – 1b) y = x + 4c) y = 3x + 2

d) y = -x + 5e) y = - x – 12

38. Obtenha a equação da mediatriz do segmento de reta AB, sendo A(3, 2) e B(7, 4).a) y = - 2x + 13 b) y = 2x – 13


⇔−=2

1

1

aa PERPENDICULARES


c) y = x + 1d) y = 13x + 2

e) y = x – 4

09.09. PONTO DE INTERSECÇÃO ENTRE DUAS RETASPONTO DE INTERSECÇÃO ENTRE DUAS RETAS

Para determinarmos o ponto de intersecção entre duas retas basta resolvermos o sistema formado pelas suas equações.

Podemos analisar a posição relativa formada pelas equações das duas retas da seguinte forma:♦ Sistema possível determinado (um único ponto em comum): retas concorrentes♦ Sistema possível indeterminado (infinitos pontos em comum): retas coincidentes♦ Sistema impossível (nenhum ponto em comum): retas paralelas.


39. Obtenha o ponto de intersecção entre as retas r: y = 2x - 6 e s: y = 3x + 2.a) (-8, -22)b) (1, 2)c) (4, -10)

d) (5, 6)e) (-4, 12)

40. Obtenha o ponto de intersecção entre as retas r: 2x + 5y – 9 = 0 e s: y = - 2x – 3.a) (-3, 3)b) (2, -2)c) (5, 22)

d) (1, 2)e) (3, 4)

41. As retas de equação x – 3y – 2 = 0 e y = x – 2k interceptam-se no ponto (k+1, k-1) determine o valor de k e o ponto de intersecção entre as duas retas, respectivamente.

a) 1 e (2, 0)b) 2 e (1, 0)c) 5 e (2, 0)

d) 1 e (0, 2)e) 2 e (1, 2)

10. DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA10. DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA

A distância entre o ponto e a reta (r) Ax + By + C = 0 é dada pela seguinte expressão:

22

00Pr

BA

CByAxd

+

++=


42. Nos seguintes casos, calcule a distancia do ponto P à reta r:a) P(0, 3) e 4x + 3y + 1=0b) P(1, -5) e 3x - 4y - 2 =0c) P(3, -2) e 2x + y + 6 =0d) P(6, 4) e y - 2 =0

43. Se a distância do ponto P(0, p) à reta r, de equação 4x + 3y – 2 = 0, e igual a 2 unidades, determine a coordenada p.

44. Sabendo que as retas de equações 4x – 3y + 9 = 0 e 4x – 3y – 6 = 0 são paralelas, determine a distância entre as duas retas.


P(xP, yP)

d


45. Calcule a distância do ponto P(2, 6) à reta 3x – 4y – 2 = 0.

11. ÁREA DE UM TRIÂNGULO11. ÁREA DE UM TRIÂNGULO

Consideramos um triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) a sua área é dada por:

A =

11

12

1

A A

B B

C C

x y

x y

x y


46. Calcular a área do triângulo de vértices A(1,3), B(4,1) e C(6,5).a) 16b) 4c) 10

d) 12e) 8

47. Calcular a área do triângulo de vértices A(1,1), B(7,8) e C(1,10).a) 27b) 54c) 32

1943

48. Calcular a área do quadrilátero de vértices A(1,3), B(5,1), C(6,5) e D(3,7).a) 17b) 34c) 10

d) 6e) 8


A(xA, yA)

B(xB, yB)

C(xC, yC)


Cônicas

12. CIRCUNFERÊNCIA12. CIRCUNFERÊNCIA

EQUAÇÃO REDUZIDAEQUAÇÃO REDUZIDA

Consideremos uma circunferência de centro C(xc, yc) e raio R, teremos:

( ) ( ) 222 Ryyxx cc =−+−


49. Determine a equação reduzida da circunferência de centro C e raio R.

a)

=2

)5,3(

R

C

b)

= 7

)0,0(

R

C

c) (0, 2)

4

C

R

− =

d) (4,0)

5

C

R

=

EQUAÇÃO GERALEQUAÇÃO GERALDesenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferênciaDesenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferênciaAx2 + By2 + Dx + Ey + F = 0

Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro CC(2, -3) e raio r = 4. A equação reduzida da circunferência é:( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16 Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:

Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação geral

Dada à equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e, assim, determinamos o centro e o raio da circunferência. Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:

• os coeficientes dos termos x2 e y2 devem ser iguais a 1; • não deve existir o termo xy.

Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é x2 + y2 - 6x + 2y - 6 = 0.

1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente x2 - 6x + _ + y2 + 2y + _ = 62º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas correspondentes


xC

R

P(x, y)

yC


3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos ( x - 3 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 16

4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio

Condições para ser circunferência:

1. A = B ≠ O ( coef. de x2 = coef. y2)

2. C = 0 ( não pode aparecer xy )

3. R > 0 ( O raio de ver ser um número real )

Coordenadas do centro:

−−=

2

.;

2

. ycoefxcoefC

Raio:

( ) ( ) FyxR cc −+= 22


50. Determine a equação geral da circunferência de centro C(3, 5) e raio R igual 4.a) x2 + y2 + 10x + 6y - 18 = 0b) x2 + y2 + 2x + 8y - 1 = 0c) x2 + y2 – 6x - 10y + 18 = 0d) x2 + y2 – 8x – 8y + 4 = 0e) x2 + y2 + 2x – 8y - 27 = 0

51. Determine quais das equações abaixo representam circunferência:a) x2 + y2 - 8x + 6y + 1= 0b) x2 + y2 + xy + 4x + 6y - 3 = 0c) 2x2 + y2 + 4x - 2y + 1 = 0d) 3x2 + 3y2 -12x – 15y - 6 =0e) 4x2 - 4y2 =0 f) x2 -10x + 25 + y2 =0 52. Determine o centro e o raio da circunferência 02041022 =−+−+ yxyx , respectivamente:a) (-2,5) e 7b) (5,2) e 5c) (2,2) e 2

d) (3,4) e 1e) (5,-2) e 7

53. Calcule a área de um quadrado inscrita na circunferência 036422 =−−−+ yxyxa) 2u.a.b) 4u.a.c) 8u.a.

d) 16u.a.e) 64u.a.

54. Determine o valor de k para que a equação 02422 =+−++ kyxyx represente uma circunferência:a) k > 5 b) k < 5



c) k > 10d) k < 15

e) k = 20

41. Escreva a equação da circunferência de centro C(3,5) e tangente a reta (r) 5x + 12y – 10 = 0 a) x2 + y2 – 6x – 10y + 9 = 0

b) x2 + y2 + 12x + 38y - 1 = 0c) x2 + y2 – 8x + 15y + 1 = 0d) x2 + y2 – 8x – 8y + 7 = 0e) x2 + y2 + 2x – 11y - 8 = 0

13. POSIÇÕES RELATIVAS13. POSIÇÕES RELATIVAS

PONTO E CIRCUNFERÊNCIAPONTO E CIRCUNFERÊNCIA

Para uma circunferência de centro C(xc,yc) e raio R e um ponto P qualquer, compararemos o seguimento de reta PC com R. Há três casos possíveis: 1º) Se dPC = R, então P pertence à circunferência.2º) Se dPC > R, então P é externo à circunferência.3º) Se dPC < R, então P é interno à circunferência.

EXERCÍCIOS:EXERCÍCIOS:

55. Determine a posição do ponto P(53) em relação a circunferência 9)4()2( 22 =−+− yx

56. Dados os pontos P e a circunferência λ, determine a posição P em relação a λ.a) P( -1, 2) e λ: (x – 3)2 + (y + 1)2 = 52

b) P( 2, 2) e λ: x2 + y2 - 10x + 8y - 1 = 0c) P( 3, 1) e λ: x2 + y2 – 8x - 5 = 0

RETRETA E CIRCUNFERÊNCIA

Se substituirmos o valor de uma das variáveis (x ou y) da reta na equação da circunferência, obteremos uma equação do 2º grau (na outra variável).Calculando o discriminante (∆ ) da equação obtida, poderemos ter:1º) Se ∆ > 0, então a reta será secante à circunferência (2 pontos de interseção).2º) Se ∆ = 0, então a reta será tangente à circunferência (1 ponto de interseção).3º) Se ∆ < 0, então a reta é externa à circunferência (não existe ponto de interseção).


P

P

P

Interno Pertence Externo

dPC

< R dPC

= R dPC

> R


EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS57. Determine a posição relativa da reta x – y + 1 = 0 em relação ao círculo 01422 =−−+ xyx :

58. Dadas a reta r e uma circunferência λ . Determine a posição de r e λ. Se houver pontos em comuns (Tangente ou Secante), determine esses pontos:

a) r: 2x – y + 1=0 e λ: x2 + y2 – 2x = 0b) r: x = y e λ: x2 + y2 + 2x - 4y - 4= 0

DUAS CIRCUNFERÊNCIAS Dadas duas circunferências, uma de centro C1 e raio R1 e a outra de centro C2 e raio R2, compararemos o seguimento de reta C1C2 e R1 + R2.

Há três possibilidades:1º) Se dC1C2 = R1 + R2, então as circunferências são tangentes (1 ponto de interseção).2º) Se dC1C2 > R1 + R2, então as circunferências são externas (não existe ponto de interseção).3º) Se dC1C2 < R1 + R2, então as circunferências são secantes (2 pontos de interseção).

Tangentes Secante Externas

dC1C2 = R1 + R2 dC1C2 < R1 + R2, dC1C2 > R1 + R2,

EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS59. Qual a posição relativa entre as circunferências (λ ) 0910622 =+−−+ yxyx e (δ )

044222 =+−++ yxyx .a) tangenteb) secantec) externasd) coincidentese) n.d.a.

60. Dadas as circunferências λ 1 e λ 2, descubra suas posições relativas e seus pontos em comuns (Se Houver)

a) (λ 1) : 2 2 4 8 5 0x y x y+ − − − = e (λ 2):

2 2 2 6 1 0x y x y+ − − + =

b) (λ 1) : 2 2 8 4 10 0x y x y+ − − + = e (λ 2):

2 2 2 10 22 0x y x y+ − − + =

c) (λ 1) : 2 2( 2) ( 1) 4x y− + − = e (λ 2):

2 2( 2) ( 2) 1x y− + + =


SecanteTangente

Externa

∆ > 0

∆ = 0

∆ < 0


d) (λ 1) : 2 2 16x y+ = e (λ 2):

2 2 4 0x y y+ + =



Elipse

Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.

Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 < 2a, temos:

A figura obtida é uma elipse.

Observações:

1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos focos dessa trajetória.

A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus respectivos planetas também apresentam esse comportamento.

2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos focos.

3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base.

Elementos

Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:

• focos : os pontos F1 e F2

• centro: o ponto O, que é o ponto médio de

• semi-eixo maior: a



• semi-eixo menor: b

• semidistância focal: c

• vértices: os pontos A1, A2, B1, B2

• eixo maior:

• eixo menor:

• distância focal:

Relação fundamental

Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF2B2 , retângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental:

a2 =b2 + c2

Excentricidade

Chamamos de excentricidade o número real e tal que:

Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, conseqüentemente, 0 < e < 1.

Observação:Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de uma circunferência.

Equações

Vamos considerar os seguintes casos:

a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal

Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0):

Aplicando a definição de elipse , obtemos a equação da elipse:



b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical

Nessas condições, a equação da elipse é:

Equação da ElipseFora da origem

1º caso: 1 2 //A A eixo x

Equação da ElipseFora da origem2º caso:

1 2 //A A eixo y

2 2

2 2

(x - h) (y - k) + = 1

b a


' 2 ' 2

2 2

( ) ( )1

x y

a b+ =

2 2

2 2

(x - h) (y - k) + = 1

a b

1A •2A•

2B

•

1B

•

•C

x

y

h

k

2F

•

1F

• 'x

'y

P•

x

'x

y 'y

h 'x

x

k

'y

y


ExemploDetermine as coordenadas dos focos, das extremidades do eixo maior e do eixo menor e a excentricidade da

elipse de equação 2 24 25 100x y+ =Solução

2 2 2 2 2 22 2

2 2

4 25 1004 25 100 1 1

100 100 100 25 4 5 2

x y x y x yx y+ = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ + =

5 2a b= =2 2 2 2 2 2a b c c a b= + ⇒ = −2 25 4 21 21c c= − = ⇒ =

1 2 1 2 1 2( 5,0) , (5,0) , (0, 2) , (0, 2) , ( 21,0), ( 21,0)A A B B F F− − − 21

5e =

Exemplo

Conhecendo os focos 1(0, 3)F − e 2 (0, 3)F e a excentricidade 1

2e = , determine a equação da elipse.

Solução

ce

a=

1

2e = → 2a c⇒ =

32 3

2

ca

a c

= ⇒ ==

2 2 2 2 2 2 2 2(2 3) ( 3) 12 3 9a b c b b b= + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ =

b a⇒

2 2 2 2

2 2

x y x y + = 1 + = 1

9 12

ExemploDeterminar as coordenadas do centro, as coordenadas dos focos da elipse de equação

( ) ( )1

16

3

25

4 22

=++− yx.

Solução

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

4 3 4 31 1

25 16 5 4

x y x y− + − ++ = ⇒ + =

( ) ( )2 2

2 21

x h y k

a b

− −+ =


1A • 2A•

1B

•

2B

•1F

•

2F

•


2

2

4

3

25 5

16 4

h

k

a a

b b

=

= −

= ⇒ =

= ⇒ =

a2 = b2 + c2

a2 = b2 + c2 ⇒ 25 = 16 + c2

c2 = 9c = 3

C (4, -3)F1 (h + c, k) ⇒ F1 (7, -3)F2 (h – c, k) ⇒ F2 (1, -3)

Exemplo

Determine uma elipse , cujo eixo maior é paralelo ao eixo dos y , tem centro (4, 2)C − , excentricidade 1

2e = e

eixo menor de medida 6 .

Solução

2 2

2 2

( ) ( )1

x h y k

b a

− −+ =

4 2h k= = −2 2? ?a b= =

22 6 3 9b b b= ⇒ = ⇒ =

1

2 2

c ae c

a= = ⇒ =

2 2 2a b c= +2 2 2 23 ( ) 12

2

aa a= + ⇒ =

2 2( 4) ( 2)1

9 12

x y− ++ =


•

4

2− C

x

y

1A

•

2A

•

2B•1B •


Hipérbole

Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real menor que a distância entre F1 e F2 , chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das dist6ancias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.

Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 = 2c, temos:

A figura obtida é uma hipérbole.

Observação:Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice:

Elementos

Observe a hipérbole representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:

• focos: os pontos F1 e F2

• vértices: os pontos A1 e A2



• centro da hipérbole: o ponto O, que é o ponto médio de

• semi-eixo real: a

• semi-eixo imaginário: b

• semidistância focal: c

• distância focal:

• eixo real:

• eixo imaginário:

Excentricidade

Chamamos de excentricidade o número real e tal que:

Como c > a, temos e > 1.

Equações


a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox

F1 (-c, 0)

F2 ( c, 0)

Aplicando a definição de hipérbole:

Obtemos a equação da hipérbole:

b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy

Nessas condições, a equação da hipérbole é:



Hipérbole eqüilátera

Uma hipérbole é chamada eqüilátera quando as medidas dos semi-eixos real e imaginário são iguais:

a = b

Assíntotas da hipérbole

Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b.

Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas retas é ; quando é vertical, o

coeficiente é .

Equação


a) eixo real horizontal e C(0, 0)



As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma:

b) eixo vertical e C(0, 0)

As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma:

Observações:

1) Se hipérbole de centro (h,k) e eixo real paralelo ao eixo x

2 2

2 2

(x - h) (y - k) + = 1

a b

2) Se hipérbole de centro (h,k) e eixo real paralelo ao eixo y

2 2

2 2

(x - h) (y - k) + = 1

b a

Exemplos

1 – Determine a excentricidade da hipérbole de equação 25x2 - 16y2 – 400 = 0.



Resolução: Temos: 25x2 - 16y2 = 400. Observe que a equação da hipérbole não está na forma reduzida.

Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então:

x2/16 – y2/25 = 1

Portanto, a2 = 16 e b2 = 25. Daí, vem: a = 4 e b = 5.

Como c2 = a2 + b2 , vem substituindo e efetuando que c = Ö 41

Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = Ö 41 /4 = 1,60

Resp: 1,60.

2 – Determine a distancia focal da hipérbole de equação 25x2 – 9y2 = 225 .

Resolução: Dividindo ambos os membros por 225, vem:

x2/9 – y2/25 = 1

Daí, vem que: a2=9 e b2=25, de onde vem imediatamente: a=3 e b=5.

Portanto, c2 = a2 + b2 = 9 + 25 = 34 e então c = Ö 34.

Logo, a distancia focal da hipérbole sendo igual a 2c , será igual a 2Ö 34.

3 – Determine as equações das assíntotas da hipérbole do exercício 1.

Resposta: y = (5/4).x ou y = (-5/4).x

NOTA: entende-se por assíntotas de uma hipérbole de centro na origem, como as retas que passam na origem

(0,0) e tangenciam os dois ramos da hipérbole num ponto impróprio situado no infinito.

Dada a hipérbole de equação:

x2/a2 – y2/b2 =1

Prova-se que as assíntotas, são as retas de equações:

R1: y = (b/a).x e R2: y = -(b/a).x

Veja a figura abaixo:


http://www.ficharionline.com/ExibeConteudo.php5?idconteudo=5888

http://www.ficharionline.com/ExibeConteudo.php5?idconteudo=5888


Parábola

Dados uma reta d e um ponto F , de um plano , chamamos de parábola o conjunto de pontos do plano eqüidistantes de F e d.

Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano e d uma reta desse mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertença a d, temos:

Observações:

1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto:

2ª) Os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planas parabólicas.

3ª) As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o foco.

4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno de seu eixo com velocidade constante é parabólica.

Elementos

Observe a parábola representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:



• foco: o ponto F

• diretriz: a reta d

• vértice: o ponto V

• parâmetro: p

Então, temos que:

• o vértice V e o foco F ficam numa mesma reta, o eixo de simetria e.

Assim, sempre temos .

• DF =p

• V é o ponto médio de

Equações


a) parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal

Como a reta d tem equação e na parábola temos:

• ;

• P(x, y);

• dPF = dPd ( definição);

obtemos, então, a equação da parábola:

y2 = 2px

b) parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontal

Nessas condições, a equação da parábola é:



y2 = -2px

c) parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo de simetria vertical

x2=2py

d) parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria vertical

x2= - 2py

Observações:

1)Parábola de vértice V(h,k) e eixo de simetria horizontal



Equação: (y – k)2 = 4p(x – h) Diretriz: x = h – p Coordenadas do foco: F(h + p, k)

2) Parábola de vértice V(h,k) e eixo de simetria vertical

Equação: (x – h)2 = 4p(y – k) Diretriz: y = k – p Coordenadas do foco: F(h, k + p)

Exemplos:

1 ) Qual a equação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na origem?

Resolução: Temos p/2 = 2 p = 4

Daí, por substituição direta, vem:

y2 = 2.4.x y2 = 8x ou y2 - 8x = 0.

2) Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(2,0)?

Resolução: Como já sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2 p = 4.

Logo, (y - 0)2 = 2.4(x - 2)2 y2 = 8(x-2) y2 - 8x + 16 = 0, que é a equação da parábola.



3 ) Qual a equação da parábola de foco no ponto F(6,3) e vértice no ponto V(2,3)?

Resolução: Como VF = p/2, vem: 4 = p/2 p = 8.

Daí, vem: (y - 3)2 = 2.8(x - 2) y2 - 6y + 9 = 16x - 32 y2 - 6y - 16x + 41 = 0, que é a equação procurada.

4) Qual a equação da parábola de foco no ponto F(0,4) e vértice no ponto V(0,1)?

Resolução: Como VF = p/2, vem: 3 = p/2 p = 6. Logo,

(x - 0)2 = 2.6(y - 1) x2 = 12y - 12 x2 - 12y + 12 = 0, que é a equação procurada.



CURSO DE ENGENHARIA

DISCIPLINA: Geometria Analítica PROFESSORA: Alessandra Stadler Favaro Misiak

01. Dê as equações das elipses cujos gráficos são representados abaixo.

02. Calcular a distância focal de uma elipse cujo eixo maior mede 10 e cujo eixo menor mede 8

Resp 2c=6

03. Equação canônica da elipse com centro na origem, eixo focal sobre o eixo y e cuja medida do eíxo maíor é 5 e do eixo menor é 2

Resp 2 2x y

14 25

+ =

04. Calcular a excentricidade da elipse 25x2 + 16y2 = 400

Resp3

5SUGESTÂO:Calcule inícialmente a equação canônica, dividindo todos os termos por 400

05. A órbita da Terra é uma elipse e o Sol ocupa um dos focos Sabendo que o semi-eixo maior tem 153 493 000 km e que a excentricidade é de 0,0167, calcular a menor e a maior distância da Terra ao Sol

Resp:150929660 km156056330km

06. Determinar os pontos de intersecção da elipse 9x2 + 4y2 =25 com os eixos cartesianos.

Resp :5 5 5 5

,0 ; ,0 ; 0, ; 0,3 3 2 2

− −

07. Pede-se a equação da elipse que passa pelos pontos ( -2, 0), (2, 0)e(0, 1)

Resp2 2x y

14 1

+ =

08. Equação canônica da elipse com centro na origem, eixo focal sobre o eixo x, que passa pelo ponto A ( )2 2,1 e de excentricidade

1

2

Resp 2 2x y

110 5

+ =



09. Calcular a equação canônica da elipse de centro na origem, focos no eixo das abscissas e sabendo que passa pelo ponto A ( )15, 1− e seu semi-eixo menor é 2.

Resp.2 2x y

120 4

+ =

10. Uma elipse tem o centro na origem, eixo focal sobre o eixo x, passa pelo ponto A (1, 1) e tem um foco em F6

,02

. Calcular a excentricidade da elipse

Resp2

2

11. Uma elipse tem os focos em F, ( 3,0) e F. (3, 0) e excentricidade igual a 0,5. Forneça a sua equação e a sua àrea S (da Geometria S= abπ )

Resp2 2x y

1 e S=18 3 u. a36 27

+ = π

12. Um arco é uma semi-elipse e o eixo maior é o vão Se este tiver 40 m e a flecha 10 m, calcular a altura do arco a 10 m do centro da base

13. Determinar o comprimento da corda que a reta x 4y 4= − determina sobre a elipse 2 2x 4y 16+ =

Resp. 8 17

5

14. Determinar os pontos de intersecção da elipse2 2x y

14 9

+ = com a reta y 2x 3= +

Resp -48 21

P(0,3) e P' ,25 25

−

15. Determinar a equação da elipse com centro na origem, focos sobre o eixo das abscissas e que passa pelos pontos A (2, 2) e B ( 2 3 ,0)



CURSO DE ENGENHARIA

DISCIPLINA: Álgebra Linear e Geometria Analítica PROFESSORA: Alessandra Stadler Favaro Misiak

Trabalho Geometria Analítica

1. Se o ponto P(2m-8 , m) pertence ao eixo dos y , então :

a) m é um número primo b) m é primo e par

c) m é um quadrado perfeito d) m = 0e) m < 4

2. Se o ponto P(r - 12 , 4r - 6) pertença à primeira bissetriz , então podemos afirmar que :

a) r é um número naturalb) r = - 3c) r é raiz da equação x3 - x2 + x + 14 = 0

d) r é um número inteiro menor do que - 3 .e) não existe r nestas condições .

3. Se o ponto P(k , -2) satisfaz à relação x + 2y - 10 = 0 , então o valor de k 2 é :

a) 200b) 196

c) 144 d) 36e) 0

4. O ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas ; dados os pontos B(2 , 3) e C(-4 ,1) , sabe-se que do ponto A se vê o segmento BC sob um ângulo reto . Nestas condições podemos afirmar que o ponto A é :

a) (3,0)b) (0, -1)

c) (0,4) d) (0,5)e) (0, 3)

5. Sendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC onde A(0,0), B(4,6) e C(2,4) , então W2 é igual a:

a) 25b) 32

c) 34 d) 44e) 16

6. Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ onde X(2,5) , Y(-4,6) , qual o comprimento do segmento BZ?

7. Os pontos A(m, 7), B(0, n) e C(3, 1) são os vértices de um triângulo cujo baricentro é o ponto G(6, 11). Calcule o valor de m2 + n2.Resposta: 850

8. Se os pontos P(3 , 5) , Q(-3 , 8) e C(4 , y) são colineares , então o valor de y é :

a) 4b) 3

c) 3,5 d) 4,5e) 2

9. Qual a posição relativa das retas r : x + 2y + 3 = 0 e s: 4x + 8y + 10 = 0 ?

10. Dadas as retas r : 3x + 2y - 15 = 0 ; s : 9x + 6y - 45 = 0 e t : 12x + 8y - 60 = 0 , podemos afirmar:a) elas são paralelasb) elas são concorrentes c) as três equações representam uma mesma reta .

11. Para se determinar o ponto de interseção de duas retas , basta resolver o sistema de equações formado pelas equações das retas. Nestas condições , pede-se calcular as coordenadas do ponto de interseção das retas r : 2x + 5y - 18 = 0 e s : 6x - 7y - 10 = 0.

12. Qual a área do triângulo ABC de vértices A(2,5), B(0,3) e C(1,1)?



13. Dados os vértices P(1,1) , Q(3,- 4) e R(- 5,2) de um triângulo, o comprimento da mediana que tem extremidade no vértice Q é:

a) 12,32b) 10,16

c) 15,08 d) 7,43e) 4,65

14. Determine a equação da reta que passa nos pontos P(2,5) e Q(1,4).

15. Analise as afirmativas abaixo:(01) toda reta tem coeficiente angular .(02) uma reta perpendicular ao eixo dos y tem coeficiente angular nulo .(04) se a inclinação de uma reta é um ângulo obtuso o seu coeficiente angular é positivo (08) se o coeficiente angular de uma reta é positivo , a sua inclinação será um ângulo agudo .(16) se o coeficiente angular de uma reta é nulo , ela é obrigatoriamente coincidente com o eixo das abscissas .(32) uma reta perpendicular ao eixo das abscissas não tem coeficiente angular .

16. Qual é a equação da circunferência centrada em (3,5) que passa em (8,16) ?17. A = (2, 3), B = (3, 5) e C = (4, 6) são colineares?

18. Qual é a equação da paralela a reta y = −2x + 5 passando pelo ponto P = (1, 1)?19. Ache a equação da perpendicular a reta y = 3x − 1 baixada do ponto Q = (2, 2).Respostas:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15c c b d c 65 850 d plela c (4,2) 3 d Y=x+3 42


55457049 geometria-analitica

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