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  • FACULDADE ASSIS GURGACZ FAG

    Geometria Analtica Engenharia

    Prof. Alessandra S. F. Misiak

    Cascavel 2009

  • lgebra Linear e Geometria Analtica Engenharia FAG

    1.1. O PLANO CARTESIANOO PLANO CARTESIANO

    A cada ponto P do plano cartesiano corresponde um par ordenado ( x, y ) de nmeros reais e escrevemos P( x, y ) para indicar este ponto.

    Dois eixos orientados ( x e y ) so dispostos ortogonalmente, dando a origem diviso do plano em quatro partes, cada uma denominada quadrante. Os quatro quadrantes so numerados no sentido anti-horrio, e os eixos e a interseco entre eles so denominados, respectivamente, eixo das abscissas ( x ), eixo das ordenadas ( y ) e origem ( 0 ) do sistema de coordenadas cartesianas.

    A reta que divide ao meio os quadrantes mpares chamada de bissetriz dos quadrantes mpares e a que divide os quadrantes pares a bissetriz dos quadrantes pares.

    Observaes:I. Os pontos pertencentes ao eixo 0x possuem ordenadas nulas.

    II. Os pontos pertencentes ao eixo 0y possuem abscissas nulas.

    III. Todos os pontos da bissetriz dos quadrantes mpares possuem abscissas iguais ordenada e vice-versa.

    IV. Todos os pontos da bissetriz dos quadrantes pares possuem abscissas e ordenadas opostas e vice-versa.

    EXERCCIOSEXERCCIOS1. Situe no mesmo sistema de eixos cartesianos os pontos A(3, 4), B(-2, 3), C(2, 0), D(0, -3)

    E(23

    , - 5), F(-1, 1) E G(2, -2).

    Prof Alessandra Stadler Favaro Misiak 2

    1 QUADRANTE

    ( +, + )

    4 QUADRANTE

    ( +, - )

    2 QUADRANTE

    ( -, + )

    3 QUADRANTE( -, - )

    x ( eixo das ABSCISSAS )

    Y ( eixo das ORDENADAS )

    Bissetriz dos quadrantes pares

    Bissetriz dos quadrantes mpares

    P 0x P = ( x, 0 )

    P 0y P = ( 0, y )

    A bi A = ( a, a )

    B bp B = ( b, -b )

  • lgebra Linear e Geometria Analtica Engenharia FAG

    2. Determine o valor de k, sabendo que o ponto A( 2k-1, - k+2 ) pertence bissetriz dos quadrantes mpares.

    3. O ponto P( 3k+6, -k+2 ) pertence bissetriz dos quadrantes pares, pergunta-se:a) Qual a ordenada do ponto P?b) Em que quadrante encontra-se o ponto P?c) Qual a distncia do ponto P origem?

    02. DISTNCIA ENTRE DOIS PONTOS02. DISTNCIA ENTRE DOIS PONTOS

    Dados dois pontos distintos do plano cartesiano, chama-se distncia entre eles a medida do segmento de reta que tem os dois pontos por extremidade. Sendo A(xa, ya) e B(xb, yb), aplicando Pitgoras temos:

    ( ) ( ) 22 ABABAB yyxxd +=

    EXERCCIOSEXERCCIOS

    4. Calcule a distncia entre os pontos dados:a) A (3, 7) e B (1, 4) R: 13b) E (3, -1) e F (3, 5) R: 6c) H (-2,-5) e O (0, 0) R: 29d) M (0, -2) e N ( 5 , -2) R: 5e) P (3, -3) e Q (-3, 3) R: 72f) C (-4, 0) e N (0, 3) R: 5

    5. A distncia do ponto A(a, 1) ao ponto B(0, 2) igual a 3. Calcule o valor da abscissa a. R: 2 2

    6. Sejam os ponto A(-3, 1) e B(4, 3). A distncia entre eles a) 10b) 15

    53216

    R: c

    7. A distncia entre A(1, 3) e B(5, 6) :a) 5b) 10c) 15

    2025

    R: a8. (UFRGS) A distncia entre os pontos A(-2, y) e B(6, 7) 10. O valor de y :

    Prof Alessandra Stadler Favaro Misiak 3

    yb - y

    a

    xb x

    a

    xa

    xb

    ya

    yb

    A

    B

    dAB

  • lgebra Linear e Geometria Analtica Engenharia FAG

    a) -1b) 0c) 1 ou 13

    -1 ou 102 ou 12

    R: c9. Qual o ponto do eixo das ordenadas que eqidista dos pontos A(2, -1) e B(6, 3)?

    a) (0,5)b) (5,0)c) (2,3)

    (6,2)(-1,0)

    R:a10. O comprimento da circunferncia de dimetro CD, sendo C(2, 1) e D(10, 7) :

    a) 5pib) 10pic) 20pi

    17pi29pi

    R: b

    03. PONTO MDIO03. PONTO MDIO

    Sendo A(xa, ya), B(xb, yb) e M( xM, yM ) o seu ponto mdio, temos:

    ++2

    ,2

    BABA yyxxM

    M o ponto que divide o segmento AB ao meio.

    EXERCCIOSEXERCCIOS

    11. Determine o ponto mdio do segmento de extremidades:a) A (-1, 6) e B (-5, 4)b) A (1, -7) e B (3, -5)

    c) A (-1, 5) e B (5, -2)d) A (-4, -2) e B (-2, -4)

    12. Calcule os comprimentos das medidas do tringulo cujos vrtices so os pontos A (0, 0) e B (4, 2) e C(2, 4).

    13. Sendo A(1, 3) e B(7, 13) as extremidades do segmento AB, seu ponto mdio :a) (4, 8)b) (2, 4)c) (8, 16)

    d) (1, 2)e) (3, 4)

    14. Sendo A(-5, 2) uma das extremidades do segmento de reta AB e M(-2, 4) o seu ponto mdio, o ponto B vale:

    a) (1, 6)b) (2, 12)c) (-5, 4)

    d) (-2, 2)e) (0, 1)

    Prof Alessandra Stadler Favaro Misiak 4

    A

    BM A

    xA

    yB

    xM XB

    yA

    yM

  • lgebra Linear e Geometria Analtica Engenharia FAG

    04. CONDIO DE ALINHAMENTO DE TRS PONTOS04. CONDIO DE ALINHAMENTO DE TRS PONTOS

    Sendo A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) trs pontos distintos dois a dois, so colineares ou esto alinhados, se e somente se:

    11 01

    A A

    B B

    C C

    x yx yx y

    =

    EXERCCIOSEXERCCIOS

    15. Verifique se os pontos A (0, 2) , B (-3, 1) e C (4, 5) esto alinhados.

    16. Determine x de maneira que os pontos A (3, 5) , B (1, 3) e C (x, 1) sejam vrtices de um tringulo.

    17. O valor de x para que os pontos A(x,0), B(3,1) e C(-4,2) sejam colineares :a) 0b) 10c) 3

    d) 12e) -4

    18. Os pontos (1, 3), (2, 7) e (4, k) do plano cartesiano esto alinhados se, e somente se:a) k = 11b) k = 12c) k = 13

    d) k = 14e) k = 15

    05. COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA05. COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA

    O coeficiente angular de uma reta um nmero real a que representa a sua inclinao ( ). Por definio, temos que:

    So quatro as possibilidades para o coeficiente angular:

    Prof Alessandra Stadler Favaro Misiak 5

    a = tg

    A(xA, yA)

    B(xB, yB)

    C(xC, yC)

  • lgebra Linear e Geometria Analtica Engenharia FAG

    Para determinarmos o valor do coeficiente angular (a) faremos:

    a = xy

    ou a = AB

    AB

    xxyy

    ou a = xmedymed

    ..

    06. EQUAO GERAL DA RETA06. EQUAO GERAL DA RETA

    Toda reta no plano possui uma equao de forma:

    0ax by c+ + =

    na qual a, b e c so constantes e a e b no so simultaneamente nulos. Ela denominada equao geral da reta.

    Podemos determinar a equao geral da reta de vrias formas: Conhecido dois pontos 1 1 1( , )P x y e 2 2 2( , )P x y

    1 1

    2 2

    11 01

    x yx yx y

    =

    Conhecido um ponto 1 1 1( , )P x y e a declividade a da reta:

    1 1( )y y a x x =

    onde a = 2 1

    2 1

    y yx x

    ou a = tg

    19. Obtenha a equao geral da reta que por P e tem declividade a.a) P(2, 3); a = 2

    b) P(-2, 1); a = -2

    c) P(4, 0); a = 21

    20. Escreva a equao fundamental (geral) da reta que passa pelo ponto P e tem inclinao .

    Prof Alessandra Stadler Favaro Misiak 6

  • lgebra Linear e Geometria Analtica Engenharia FAG

    a) P(2, 8) e = 45

    b) P(-4, 6) e = 30

    c) P(3, -1) e = 120

    21. Escreva a equao fundamental (geral) da reta que passa pelos pontos a seguir:a) A(1, 1) e B(-2, -2)

    b) A(3, 1) e B(-5, 4)

    c)A(2, 3) e B(8, 5)

    22. Determine a equao geral da reta: a) x 2y - 4 = 0b) 2x + y 2 = 0 c) 4x 2y 4 = 0d) x y + 2 = 0e) x y + 4 = 0

    23. Determine a equao da reta que passa pelos pontos A(-3, 2) e B(5, -4)a) 4x + 3y + 1= 0b) 3x + 4y + 1= 0c) x + y + 3 = 0

    d) x + y 4 = 0e) x y 1 = 0

    07. EQUAO REDUZIDA DA RETA07. EQUAO REDUZIDA DA RETA

    toda equao do tipo y = ax + b, onde a chamado de coeficiente angular (ou declividade) e b chamado de coeficiente linear.Exemplos:

    =

    =

    =

    32

    32ba

    xy

    =

    =

    =+

    3132

    012b

    ayx

    =

    =

    +=15

    15ba

    xy

    =

    ==+

    045

    045b

    ayx

    24. Os coeficientes angular e linear da reta 3y - 2x + 12 = 0 so respectivamente:a) 2/3 e 4b) 3/2 e 12c) -2/3 e -12

    d) 2/3 e -4e) -3/2 e 4

    25. Os pontos A(x, 0) e B(3, y), pertencem a reta de equao x 3y + 9 = 0. A distncia entre eles :a) 10b) 2c) 3 10

    d) 4 10e) 10

    26. A reta da figura abaixo tem como coeficiente angular e linear, respectivamente:a) e -2b) 2 e -1/2c) -1/2 e -2d) -2 e -1/2e) e -1/2

    Prof Alessandra Stadler Favaro Misiak 7-2

    4

  • lgebra Linear e Geometria Analtica Engenharia FAG

    27. Determine a equao reduzida da reta:a) y = x + 3b) y = -x + 3c) y = 2x+6d) y = x 3e) y = - 3x + 2

    08. POSIO RELATIVA ENTRE RETAS08. POSIO RELATIVA ENTRE RETAS

    RETAS PARALELASRETAS PARALELAS

    Dadas duas retas r e s no-verticais dadas pelas equaes:

    (r) y = a1x + b1(s) y = a2x + b2

    Para essas retas, temos as seguintes possibilidades:

    EXERCCIOSEXERCCIOS

    28. Determine uma equao geral da reta que passa pelo ponto P(1, 2) e paralela reta de equao 8x + 2y -1 = 0

    29. Determine uma equao geral da reta que passa pelo ponto P(2, 5) e paralela reta de equao

    12 3x y

    + =

    30. Determine uma equao geral da reta que passa pelo ponto P(4, -4) e paralela reta de equao x + y 5 = 0

    Prof Alessandra Stadler Favaro Misiak 8

    =

    21

    21

    bbaa

    PARALELAS DISTINTAS

    =

    =

    21

    21

    bbaa

    PARALELAS COINCIDENTES

    3

    3

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    31. Determine uma equao geral da reta que passa pelo ponto P(2, -3) e paralela reta de equao 5x 2y +1 = 0

    32. Determine o valor de m para que as retas 2x + 3y - 1 = 0 e mx + 4y 3 = 0 sejam paralelas. a) 1b) 2c) - 3