SRie ENSiNO

TC

PR-UNIVERSITRIO

____/____/____

Rumo ao ITA N 05

MARCELO MENDES

MATEMTICAALUNO(a)

TURMa TURNO DaTa

SeDe

N

PROFeSSOR(a)

OSG.: 60672/12

Determinantes I

Regras prticasDeterminantedeordem2

a11 a12a21 a22

a11 a22 a12 a21

+

=

Determinantedeordem3(RegradeSarrus)

+ + +

a11 a12a21 a22a31 a32

a13a23a33

a11 a12a21 a22a31 a32

=

=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a13a22a31a11a23a32a12a21a33

CofatorSeA=(n

11)entoA

11=1(cofatordeelementoa

11)

SeAmatrizquadradadeordemn2entoAij=(1)

i+jDij,ondeDijodeterminantequeseobtmdeMsuprimindoalinhaieacolunaj.

Teorema de LaplaceOdeterminantedeumamatrizquadradaigualsoma

dosprodutosdoselementosdeumalaqualquerpelosrespectivoscofatores.

Propriedades

I. Determinante igual a zero

Odeterminantedeumamatrizquadradaigualazeroseamatrizpossui:

a) umalanula.b)duaslasparalelasiguais.c) duaslasparalelasproporcionais.d)umalaquecombinaolineardasoutraslasparalelas.

II. Determinante no se altera

Odeterminantedeumamatrizquadradanosealterase:a) trocarmosordenadamentelinhasporcolunas(detM=detMt).b) somarmosaumalaumacombinaolineardeoutraslas

paralelas(TeoremadeJacobi).

III. Alterao no determinante

Odeterminantedeumamatrizquadradadeordemnaltera-se:a) trocandodesinal,quandoduaslasparalelas trocamde

lugarentresi.b)candomultiplicadopor ,quandooselementosdeuma

lasomultiplicadospor.c) candomultiplicadopornquandoamatrizmultiplicada

pora,ouseja:det(A)=ndetA,ondenaordemdamatriz.

Observao:

Entende-seporlaqualquerlinhaoucolunadeumamatriz.

IV. Propriedades complementares

a) TeoremadeBinet SendoAeBmatrizesquadradasdemesmaordem,ento: det(AB)=detAdetBb)Quandotodososelementosacimae/ouabaixodadiagonal

principalforemzeros,odeterminanteseroprodutodoselementosdadiagonalprincipal.a 0 0 0x b 0 0y z c 0m n p d

= abcd

V. Adio de determinantes

SeMeMsomatrizes,deordemn,idnticasexcetonai-simalinha,ento

detM=detM+detM,ondeMumamatrizdeordemnidnticasmatrizesMeM,excetonasuai-simalinha,queobtidasomando-seasi-simaslinhasdeMeM.

Exerccios

01. (UFSE)OdeterminantedamatrizA=(aij)33,ondeay=2ij,

iguala:A)12 B) 8 C)0 D)4E) 6

02. Mostrequea a a aa b b ba b c ca b c d

a b a c b d c= ( )( )( ).

03. Provequea b ca b cbc ca ab

a ab bc c

2 2 2

2 3

2 3

2 3

111

= .

04. Veriqueque1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

++

+

=x

yz

xyz.

05. Seja a matriz A = [aij] n n. AmatrizB obtida deA,multiplicando-se,nesta,cadaelementoaijpork

ij,kR*.DemonstrequedetB=detA.

Gabarito Determinantes I

01 02 03 04 05

C

Demonstrao

OSG.: 60672/12

TC MaTeMTiCa

2

Sistemas Lineares

Matriz Inversa I

De nioM1ainversadeMse,esomentese,MM1=M1M=In.

Propriedades

I. A1nicaII. (A1)1=AIII. (AB)1=B1A1

IV. (At)1=(A1)t

V. detdet

AA

=1 1

Teorema de Cauchy

AsomadosprodutosdoselementosdeumalaqualquerdeumamatrizM,ordenadamente,peloscofatoresdoselementosdeumalaparalela,igualazero.

Matriz Adjunta (A)

denida como sendo a transposta damatrizN doscofatores,ouseja,A=Nt.

PropriedadeAA=AA(detA)In.

Teorema

AA

A = 11

det.

Corolrio:A1detA0.

Observao:

aA

A i jij ji

= 1 1det

, ,

Exerccios

01. (ITA)Sendo A =

1 2 10 3 23 1 2

, entooelementodaterceira

linhaeprimeiracoluna,desuainversa,seriguala:

A) 58 B)

9

11

C) 611

D) 2

13

E) 113

02. (EN)Dadasasmatrizes:A e B= =

4 32 1

1

41

1

42

, entoa

somadamatrizinversadeAcomodobrodamatriztranspostadeB:

A)0

7

21

22

B)

3

4

1

65

25

C)1

2

1

42 0

D)

0 13 2

03.

A)Mostre que se umamatriz inversvel, ento o seudeterminantediferentedezero.

B)Calcu le o determinante da inversa da matr iz

P =

2 1 1

2 1 1

0 2 2

.

04. (Mack)SedetA=5e Aa

=

1

4

51

5

2

5

entoaiguala:

A) 8

5 B) 0

C) 15 D)

3

5

E)2

5

05. (Mack)Seja A =

1 00 1 . Ento(A+A1)3iguala:A)matriznuladeordem2.B)matrizidentidadedeordem2.

C)1

2A

D)27AE) 8A

06. (IME)DetermineumamatriznosingularPquesatisfaaequaomatricial.

P A =

1 6 00 1

, onde A =

1 25 4

07. SendoA =

1 2 34 1 12 0 3

, obteroelementoa 231 damatrizinversa

deA.

08. (IME)Umamatrizquadradadenominadaortogonalquandoasuatranspostaigualasuainversa.Considereessadenio,determineseamatriz [R],abaixo,umamatrizortogonal,sabendo-sequen uminteiroeumnguloqualquer.Justiquesuaresposta.

[ ]cos( ) sen( )sen( ) cos( )R

n nn n=

00

0 0 1

09. (UFC)SejamA,BeA+Bmatrizesnn(n1)invertveis.Encontreumaexpressopara(A1+B1)1emtermosdeA,(A+B)1eB.

OSG.: 60672/12

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10. ( ITA) Julgue: Sejam A , B e C matr izes quadradasn n tais queAeB so inversveiseABCA=At,entodetC=det(AB)1.

11. (ITA) Julgue: Sejamm en nmeros reais comm n e as

matrizes:A B= = 2 13 5 1 10 1, . SabendoqueamatrizmA+nBnoinversvel,entomenpossuemsinaiscontrrios.

Gabarito Matriz Inversa I

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

0 V * F * * * V

Demonstrao

* 06: 1 6 25 6 4//

Anotaes

AN18/08/12Rev.:Tony

OSG.: 60672/12

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