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CENTRO FEDERAL DE EDUCAO TECNOLGICA DE SANTA CATARINA Departamento de Eletrnica

Apostila de SISTEMAS DE CONTROLEStima Edio (revisada) Nov/2007

Autor: Marco Valrio Miorim Villaa([email protected])

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Copyright 2007 para Departamento de Eletrnica Centro Federal de Educao Tecnolgica de Santa Catarina Av. Mauro Ramos, 950 88020-300 Florianpolis, SC Todos os direitos reservados. proibida a duplicao ou reproduo deste volume, no todo ou em parte, sob quaisquer formas ou por quaisquer meios, sem permisso expressa do Departamento de Eletrnica MATLAB uma marca registrada de MathWorks, Inc. 24 Prime Park Way, MA 01760-1520 Fone: (508)653-1415, Fax: (508)653-2997 Email: [email protected]

Sistemas de Controle

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PREFCIO A SEGUNDA EDIO

Este texto foi escrito para promover um primeiro contato entre os alunos do Curso Superior de Tecnologia em Sistemas Digitais e o Controle Clssico. Com esse objetivo, o texto, contm informaes e certos passos de demonstraes matemticas que normalmente so omitidos nos livros de controle voltados para cursos de graduao em engenharia; por outro lado, ele omite algumas demonstraes facilmente encontradas na extensa literatura da rea, literatura que deve ser consultada pelo aluno que deseja se aprofundar na disciplina de controle. O texto inclui informaes bsicas para o uso de uma ferramenta de projeto assistida por computador, o MATLAB da MathWorks Inc. Ser utilizado, tambm, o Simulink, uma ferramenta do MATLAB, que se constitui numa maneira eficiente de modelar, simular e analisar sistemas de controle realimentado. Ao longo do texto, procura-se expor de maneira clara os mtodos clssicos da engenharia de controle: transformada de Laplace e funes de transferncia, aproximaes de sistemas de segunda ordem, erro de regime permanente para sinais tpicos de teste, critrio de Routh-Hurwitz, mtodo de Bode e lugar das razes. O captulo inicial contm uma pequena matria introdutria sobre a anlise de sistemas pelo mtodo de espao de estados, que se constitui na nica referncia do texto ao Controle Moderno. Para cumprir seus objetivos, o texto organizado em cinco captulos. No primeiro captulo, familiariza-se o leitor com a linguagem, definies e recursos utilizados em controle e se oferece a base matemtica necessria para a compreenso do texto. No obstante, seria conveniente a leitura de livros especficos da rea de matemtica. Ciente de que o melhor meio para compreender qualquer rea do conhecimento humano examinar a sua evoluo e as razes para a sua existncia, o Captulo I inclui, ainda, uma curta histria da teoria do controle automtico e oferece uma breve discusso das filosofias das teorias de controle clssico e moderno. O Captulo II trata da modelagem de sistemas eletrnicos e eletromecnicos, desenvolvendo modelos de funes de transferncia destes sistemas. O Captulo III apresenta a anlise da resposta transitria e anlise de erro em regime permanente dos sistemas. No Captulo IV o enfoque a estabilidade dos sistemas de controle lineares. Para responder as questes que naturalmente se apresentam - Em que condies um sistema se torna instvel? e Caso ele seja instvel, como torn-lo estvel? estuda-se o critrio de

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Routh-Hurwitz, o mtodo do lugar das razes ou root locus e o mtodo de Bode. O ltimo captulo apresenta procedimentos para o projeto e compensao de sistemas de controle invariantes no tempo empregando a tcnica do lugar das razes e o mtodo de Bode. A compensao consiste na modificao dinmica do sistema visando atender certas especificaes. Visando a integrao de disciplinas do curso de Superior de Tecnologia em Sistemas Digitais, para o qual o texto foi escrito, o Captulo V apresenta a compensao de um conversor CC-CC abaixador (buck), previamente modelado no Captulo II. Para mostrar a eficincia do modelo obtido e da tcnica de compensao desenvolvida, apresenta-se uma simulao do conversor compensado utilizando a ferramenta de simulao eletrnica Pspice da MicroSim. Recomenda-se fortemente que o aluno implemente um conversor abaixador no final da leitura deste texto.

Prof. Marco Valrio Miorim VillaaFlorianpolis, outubro de 2004


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SUMRIOPREFCIO A SEGUNDA EDIO ................................................................................................ III SUMRIO ..................................................................................................................................V 1. INTRODUO AOS SISTEMAS DE CONTROLE ............................................................. 9 1.1 CONCEITOS GERAIS ............................................................................................................ 9 1.2 PROJETO DE SISTEMAS DE CONTROLE............................................................................... 16 1.3 UMA BREVE HISTRIA DO CONTROLE AUTOMTICO ........................................................ 18 1.3.1 RELGIOS DE GUA DOS GREGOS E DOS RABES ...................................................... 20 1.3.2 A REVOLUO INDUSTRIAL...................................................................................... 22 1.3.3 OS CONSTRUTORES DE MOINHOS............................................................................... 24 1.3.4 REGULADORES DE TEMPERATURA ............................................................................ 25 1.3.5 REGULADORES DE FLUTUAO................................................................................. 25 1.3.6 REGULADORES DE PRESSO ..................................................................................... 26 1.3.7 REGULADORES CENTRFUGOS ................................................................................... 26 1.3.8 O PNDULO SIMPTICO............................................................................................. 28 1.3.9 O NASCIMENTO DA TEORIA MATEMTICA DO CONTROLE ........................................ 28 1.3.10 EQUAES DIFERENCIAIS........................................................................................ 29 1.3.11 TEORIA DA ESTABILIDADE ...................................................................................... 30 1.3.12 TEORIA DE SISTEMA ................................................................................................ 30 1.3.13 COMUNICAO DE MASSA E O SISTEMA DE TELEFONE DE BELL .............................. 31 1.3.14 ANLISE NO DOMNIO-FREQNCIA........................................................................ 31 1.3.15 AS GUERRAS MUNDIAIS E O CONTROLE CLSSICO .................................................. 32 1.3.16 CONTROLE DE NAVIO .............................................................................................. 32 1.3.17 DESENVOLVIMENTO DE ARMAS E DIRECIONAMENTO DE CANHES ......................... 33 1.3.18 LABORATRIO DE RADIAO DO M.I.T.................................................................. 33 1.3.19 ANLISE ESTOCSTICA ........................................................................................... 35 1.3.20 O PERODO CLSSICO DE TEORIA DE CONTROLE ...................................................... 35 1.3.21 A ERA ESPACIAL/DO COMPUTADOR E O CONTROLE MODERNO ............................... 36 1.3.22 PROJETO NO DOMNIO DO TEMPO PARA SISTEMAS NO LINEARES ........................... 36 1.3.23 SPUTNIK - 1957....................................................................................................... 37 1.3.24 NAVEGAO ........................................................................................................... 37 1.3.25 OTIMALIDADE EM SISTEMAS NATURAIS ................................................................. 37 1.3.26 CONTROLE TIMO E TEORIA DA ESTIMAO ......................................................... 38 1.3.27 TEORIA DE CONTROLE NO-LINEAR ........................................................................ 40 1.3.28 COMPUTADORES NO PROJETO DE CONTROLES E IMPLEMENTAO .......................... 40 1.3.29 O DESENVOLVIMENTO DOS COMPUTADORES DIGITAIS ........................................... 40 1.3.30 CONTROLE DIGITAL E TEORIA DA FILTRAGEM ......................................................... 41 1.3.31 O COMPUTADOR PESSOAL ...................................................................................... 42 1.3.32 A UNIO DO CONTROLE MODERNO E DO CLSSICO ................................................. 42 1.4 A FILOSOFIA DO CONTROLE CLSSICO ............................................................................. 43 1.5 A FILOSOFIA DE CONTROLE MODERNO ............................................................................. 45 1.6 FUNDAMENTOS MATEMTICOS ........................................................................................ 49 1.6.1 REPRESENTAO DE SISTEMAS FSICOS ATRAVS DE EQUAES DIFERENCIAIS: ..... 49 1.6.1 VARIVEL COMPLEXA E FUNO COMPLEXA:......................................................... 52 1.6.2 TEOREMA DE EULER ................................................................................................. 54 1.6.3 TRANSFORMADA DE LAPLACE: ................................................................................. 55 1.6.4 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE: .................................................................. 57

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1.6.5 APLICAO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE NA SOLUO DE EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS LINEARES ................................................................................ 67 1.7 FUNO DE TRANSFERNCIA ........................................................................................... 68 1.8 DIAGRAMAS DE BLOCO .................................................................................................... 70 1.9 DIAGRAMAS DE FLUXO DE SINAL ..................................................................................... 78 1.10 MTODO DO ESPAO DE ESTADOS PARA ANLISE DE SISTEMAS DE CONTROLE .............. 84 2. MODELAGEM DE SISTEMAS ELTRICOS E ELETROMECNICOS ................................................ 91 2.1 SISTEMAS ELTRICOS ...................................................................................................... 91 2.2 SISTEMAS ELETROMECNICOS......................................................................................... 99 3. ANLISE DE RESPOSTA TRANSITRIA E ANLISE DE ERROS EM REGIME PERMANENTE......... 105 3.1 INTRODUO ................................................................................................................. 105 3.2 SISTEMA DE 1A ORDEM .................................................................................................. 106 3.2.1 RESPOSTA A DEGRAU UNITRIO DE SISTEMAS DE 1A ORDEM .................................. 106 3.2.2 RESPOSTA RAMPA UNITRIA DE SISTEMAS DE 1A ORDEM .................................... 110 3.2.3 RESPOSTA A IMPULSO UNITRIO DE SISTEMAS DE 1A ORDEM .................................. 111 3.3 SISTEMA DE 2A ORDEM .................................................................................................. 111 3.3.1 RESPOSTA A DEGRAU UNITRIO DE SISTEMAS DE 2A ORDEM .................................. 112 3.3.2 RESPOSTA IMPULSO UNITRIO DE SISTEMAS DE 2A ORDEM .................................. 119 3.3.3 RESPOSTA A RAMPA UNITRIA DE SISTEMAS DE 2A ORDEM .................................... 121 3.3.4 EFEITO DE UM TERCEIRO PLO E UM ZERO NA RESPOSTA DE SISTEMAS DE 2A ORDEM ........................................................................................................................................ 123 3.4 ANLISE DE ERRO EM REGIME PERMANENTE OU ESTACIONRIO .................................... 124 3.4.1 COEFICIENTE DE ERRO DE POSIO ESTTICO KP ................................................... 126 3.4.2 COEFICIENTE DE ERRO DE VELOCIDADE ESTTICO KV ........................................... 128 3.4.3 COEFICIENTE DE ERRO DE ACELERAO ESTTICO KA ........................................... 130 3.4.4 RESUMO DA SEO ................................................................................................. 132 4. ESTABILIDADE DE SISTEMAS DE CONTROLE ......................................................... 137 4.1 INTRODUO ................................................................................................................. 137 4.2 ESTABILIDADE ASSINTTICA ......................................................................................... 138 4.3 BIBO ESTABILIDADE ..................................................................................................... 139 4.4 CRITRIO DE ROUTH-HURWITZ ..................................................................................... 140 4.3 O LUGAR DAS RAZES OU ROOT LOCUS ........................................................................... 146 4.3.1 INTRODUO ....................................................................................................... 146 4.3.2 O CONCEITO DE LUGAR DAS RAZES ..................................................................... 146 4.3.3 PROCEDIMENTO PARA CONSTRUO DO LUGAR DAS RAZES................................. 149 4.3.4 OS DEZ PASSOS DO PROCEDIMENTO DO LUGAR DAS RAZES .................................. 158 4.3.5 ASPECTOS IMPORTANTES DA CONSTRUO DO LUGAR DAS RAZES ...................... 159 4.4 ANLISE DA RESPOSTA EM FREQNCIA ........................................................................ 162 4.4.1 FUNO DE TRANSFERNCIA SENOIDAL.................................................................. 162 4.4.2 GRFICOS DE BODE ................................................................................................ 163 4.4.3 ESTABILIDADE RELATIVA E RESPOSTA EM FREQNCIA.......................................... 174 4.4.4 MARGENS DE ESTABILIDADE .................................................................................. 175 4.4.5 RELAO ENTRE MARGEM DE FASE E AMORTECIMENTO ......................................... 178


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5. PROJETO DE SISTEMAS DE CONTROLE UTILIZANDO O LUGAR DAS RAZES E OS DIAGRAMAS DE BODE.................................................................................................................................. 185 5.1 INTRODUO ................................................................................................................. 185 5.2 COMPENSADOR EM AVANO DE FASE ............................................................................ 185 5.2.1 PROJETO COM O LUGAR DAS RAZES........................................................................ 187 5.2.2 PROJETO COM O DIAGRAMA DE BODE .................................................................... 191 5.3 COMPENSADOR EM ATRASO DE FASE ............................................................................. 197 5.3.1 PROJETO COM O LUGAR DAS RAZES........................................................................ 197 5.3.2 PROJETO COM O DIAGRAMA DE BODE .................................................................... 199 5.4 CONTROLADOR PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO (PID) ..................................... 203 5.4.1 PROJETO COM ROOT LOCUS: ................................................................................... 204 5.4.2 PROJETO COM DIAGRAMA DE BODE: ...................................................................... 205 5.5 COMPENSAO DE UM COMPENSADOR ABAIXADOR (BUCK) .......................................... 211 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ................................................................................... 218

Introduo aos Sistemas de Controle

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1. INTRODUO AOS SISTEMAS DE CONTROLE

1.1 Conceitos gerais Sistema de Controle: Uma interconexo de componentes fsicos que tem como finalidade controlar (regular/dirigir/comandar) um determinado processo para fornecer uma resposta desejada. Em um sistema de controle uma sada c(t) (varivel controlada) controlada de alguma maneira pr-determinada por uma entrada u(t) (sinal atuante) e dos elementos do sistema. A Fig. 1.1 apresenta, na forma de diagrama de blocos, a relao causaefeito entre esses elementos. Planta: Qualquer dispositivo ou complexo fsico a ser controlado, tais como um forno, um reator, uma caldeira. Processo: Na fsica, definimos processo coma a seqncia de estados de um sistema que se transforma. Em sistemas de controle designamos qualquer operao a ser controlada como um processo. Uma fuso nuclear e uma reao qumica so exemplos de processos. Perturbaes: Uma perturbao ou distrbio um sinal de entrada que tende a afetar desfavoravelmente o valor da sada do sistema. Uma perturbao dita interna quando gerada dentro do sistema e externa quando gerada fora do sistema, constituindo-se em uma entrada.entrada Sistema de Controle sada

Fig. 1.1 Relao entrada e sada em um sistema de controle


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Sistemas de controle em malha aberta: O controle em malha aberta fornece ao processo uma entrada tal que a sada se comporta conforme o desejado. Neste caso a ao de controle independente da sada apresentada pelo processo que se deseja controlar. Um exemplo prtico de um sistema de controle em malha aberta a mquina de lavar roupas que executa uma programao em uma determinada base de tempo. A Fig. 1.2 apresenta um sistema de controle em malha aberta. Observe que uma perturbao externa alterar o valor da sada desejado. O sistema em malha aberto apresenta as seguintes caractersticas: (a) Sua preciso determinada pela calibrao dos componentes, bem como da qualidade destes (calibrar significa estabelecer e restabelecer a relao entrada/sada do controlador para obter a resposta desejada para o processo); (b) Geralmente no so perturbados por problemas de instabilidade, o que facilita grandemente a fase de projeto. Sistemas de controle em malha fechada: sistemas onde a varivel de sada do processo a controlar tem efeito direto na ao de controle. Os sistemas em malha fechada so comumente chamados de sistemas de controle realimentados pelo fato da varivel de sada ser realimentada ao processo via controlador. Neste caso a ao de controle toma como base a comparao entre o valor de referncia e o valor atual da varivel de sada. Um exemplo intuitivo de sistema de controle em malha fechada o piloto automtico. A realimentao pode ser manual ou automtica. A realimentao manual realizada por um operador, o que a torna lenta e imprecisa. A realimentao automtica realizada por um transdutor, o que possibilita rapidez e preciso. A Fig. 1.3 mostra um sistema de controle em malha fechada e seus principais componentes. Definimos, a seguir, os componentes que ainda no foram apresentados. Referncia: valor desejado da varivel a ser controlada; Comparador: elemento que gera o sinal de erro como a diferena entre a referncia e o valor atual;Perturbao entrada Sistema de Controle sada

Fig. 1.2 Sistema de controle em malha aberta.


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Perturbao Referncia r(t) Sinal de erro e(t) Comparador Controlador Sinal de controle u(t) Varivel controlada c(t)

Atuador + Processo ou Planta

Transdutor

Rudo de medio

Fig. 1.3 Sistema de controle em malha fechada. Controlador: elemento que manipula o sinal de erro e gera o sinal de controle que visa corrigir o valor da varivel controlada; Atuador: dispositivo de potncia que recebe o sinal de controle e produz a entrada para o processo/planta. So exemplos de atuadores o motor eltrico e a vlvula pneumtica. Transdutor: elemento responsvel pela medio e converso da varivel a ser controlada em uma outra varivel adequada, que pode ser comparada com a referncia. O tacogerador, um pequeno gerador normalmente acoplado ao eixo de um motor e que usado como sensor de velocidade angular, um exemplo de transdutor. O sistema em malha fechada apresenta as seguintes caractersticas: a. A sensibilidade a parmetros do sistema reduzida; b. Grande preciso; c. Tendncia a oscilao e instabilidade. Dorf (2001, p. 9-18) apresenta uma srie de exemplos de sistemas de controle que muito bem ilustram a importncia fundamental do controle realimentado na sociedade moderna. Sistemas de controle em malha aberta x malha fechada: uma vantagem do sistema de controle em malha fechada que a realimentao torna a resposta do sistema relativamente insensvel a distrbios externos e variaes dos parmetros do sistema. possvel, portanto, o uso de componentes mais baratos sem muita preciso para obter um controle preciso (auto-regulagem). Por sua vez o controle em malha aberta. por no levar em conta o sinal de sada do sistema totalmente vulnervel a perturbaes externas. Desta forma


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os controladores em malha aberta so aconselhados apenas para sistemas onde as entradas so previamente conhecidas e que no esto sujeitos perturbaes externas. As Fig. 1.4 e Fig. 1.5 apresentam, respectivamente, o efeito de uma perturbao em um sistema de controle em malha aberta e em um sistema em malha fechada.TP

RControlador

Motor

C

(rpm) 1 =C 2

Aplicao da Perturbao

t

Fig. 1.4 (a) Sistema de controle em malha aberta sujeito a uma perturbao e (b) seu comportamento diante da aplicao da perturbao.TP

r

+ eControlador

Motor

C

+ +

(rpm) 1 = C

b

Transdutor

Aplicao da Perturbao

tFig. 1.5 (a) Sistema de controle em malha fechada sujeito a uma perturbao e (b) sua resposta a uma perturbao.


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Do ponto de vista da estabilidade, mais fcil construir um sistema de controle em malha aberta, uma vez que este fator no significa problema. Por sua vez a estabilidade sempre um problema fundamental em sistemas de controle em malha fechada e, portanto, deve ser analisado com cuidado extremo.Servomecanismos: So sistemas de controle realimentados nos quais a sada

uma posio ou grandezas derivadas (velocidade, acelerao, etc). O sistema de controle de velocidade de um motor CC um exemplo de servomecanismo.Reguladores: So sistemas de controle realimentados nos quais a sada desejada

constante ou varia lentamente com o tempo e onde a finalidade principal manter a sada em um valor fixo na presena de distrbios. Exemplo: Reguladores integrados de tenso 78XX.Representao de Sistemas: A maioria dos sistemas dinmicos, independente de

serem mecnicos, eltricos, trmicos, etc, podem ser representados por meio de equaes diferenciais obtidas utilizando-se das leis fsicas que governam um sistema particular. A resposta de um sistema particular a uma dada entrada pode ser obtida se estas equaes forem resolvidas.Modelo Matemtico: a descrio matemtica das caractersticas dinmicas de

um sistema e constitui-se no primeiro passo na anlise de um sistema. Ele permite a utilizao de vrias ferramentas analticas ou computacionais para fins de anlise e/ou sntese. Deve-se estabelecer um compromisso entre a simplicidade do modelo e a preciso dos resultados da anlise (os resultados da anlise somente na extenso da qual o modelo se aproxima do sistema fsico que representa).Sistemas de controle adaptativo: As caractersticas dinmicas da maioria dos

sistemas de controle no so constantes por uma srie de motivos, tais como a deteriorao de componentes e variao dos parmetros e do ambiente. Se estas variaes forem significativas, o sistema deve possuir a habilidade de adaptao. O sistema que possui esta habilidade, isto , o sistema que est provido de meios para detectar as variaes dos parmetros da planta e ajustar os parmetros do controlador para manter um desempenho desejado, chamado de sistema de controle adaptativo. A Fig. 1.6 apresenta o diagrama de blocos de um sistema adaptativo. O identificador, atravs de medies, identifica a variao dos parmetros da planta ou do controlador e atua no ajustador que modifica os parmetros do controlador.


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Ajustador Referncia

Identificador Varivel controlada

+

-

Controlador

Planta

Fig. 1.6 Sistema de controle adaptativo. Sistema lineares: Sistemas lineares so aqueles em que as equaes do modelo

matemtico so lineares. Uma equao diferencial linear apresenta coeficientes constantes ou que so apenas funo da varivel independente. Nestes sistemas, aplicando o princpio da superposio, pode-se obter a resposta para vrias entradas, considerando uma nica entrada de cada vez e adicionando os resultados parciais.Sistemas no-lineares: So aqueles representados por equaes diferenciais no-

lineares. Uma equao diferencial no-linear apresenta potncias ou funes transcendentais da varivel independente, tais como as funes trigonomtricas e a exponencial. Normalmente esto ligadas a fenmenos como saturao e zona morta. Estritamente falando, na prtica no existem sistemas lineares, j que todos os sistemas fsicos apresentam alguma no linearidade. Os modelos lineares so modelos idealizados pelo projetista para simplicidade de anlise e projeto. Geralmente quando limitados a uma certa faixa na qual os componentes exibem caractersticas lineares, dizemos que o sistema linear por partes e seu modelo matemtico para aquela faixa tambm linear. Para sistemas lineares existe uma fartura de tcnicas analticas e grficas para a anlise e projeto. Os sistemas no-lineares, por sua vez, so muito difceis de serem tratados matematicamente.Sistemas lineares invariantes no tempo: Sistema linear composto de

componentes com parmetros concentrados que permanecem constantes com o tempo (descritos por equaes diferenciais com coeficientes constantes). Na prtica a maioria dos sistemas fsicos contm elementos que derivam ou variam com o tempo. Por exemplo, a resistncia do enrolamento de um motor varia devido ao aquecimento.Sistemas lineares variantes no tempo: So sistemas lineares representados por

equaes diferenciais cujos coeficientes so funes do tempo. Por exemplo, o sistema de controle de uma nave espacial sofre influncia de uma massa varivel em funo do consumo de combustvel e de uma fora gravitacional varivel.


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Sistemas a dados contnuos: As vrias partes do sistema so funes contnuas

do tempo. So tambm denominados sistemas de controle analgico. Neste tipo de sistema os sinais podem ou no se apresentarem modulados. Componentes tpicos de sistemas contnuos so os potencimetros, comparadores, amplificadores, tacmetros, motores, etc. O sistema de controle de um servomotor CC mostrado na Fig. 1.5(a) um exemplo de sistema a dados contnuos.Sistemas a dados amostrados: Os sinais em mais de um ponto do sistema se

apresentam como um trem de pulsos ou como um cdigo digital. So tambm denominados sistemas de controle discretos. Geralmente esto associados a um controle microprocessado onde o papel de controle desempenhado por um computador digital com um software associado. Os componentes tpicos de sistemas amostrados so os codificadores de posio, conversores A/D e D/A, microprocessadores, etc. Um diagrama de blocos de um sistema a dados amostrados apresentado na Fig. 1.7, onde os sinais que apresentam a notao * esto na forma discreta.Sistemas multivariveis: So aqueles onde mltiplas entradas e mltiplas sadas

devem ser levadas em conta no esquema de controle. O diagrama de blocos de um sistema multivarivel apresentado na Fig. 1.8.Sistemas de controle de parmetros concentrados x distribudos: Nos sistemas

de controle de parmetros concentrados, o comprimento dos componentes considerado nulo. Quando a considerao do comprimento necessria, ou seja, quando o modelo matemtico do sistema precisa levar em considerao as variaes espaciais dos parmetros, o sistema chamado de sistema de controle de parmetros distribudos. Esses sistemas so descritos por meio de equaes diferenciais em derivadas parciais. Linhas de transmisso longas e vibraes mecnicas em cordas so exemplos de situaes onde pode ser necessrio considerar o comprimento.

r(t) +

e(t)

e*Conversor A/D Computador

u*Conversor D/A

u(t)Planta

c(t)

-

Transdutor

Fig. 1.7 Sistema a dados amostrados. A notao * indica parmetros discretos.


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vr1Controlador Processo

vC1

vr n

vC n

Transdutor

Fig 1.8 Sistema multivarivel. Sistemas de controle determinsticos x estocsticos: Um sistema de controle

determinstico se a resposta entrada previsvel e repetvel. Caso contrrio, ele dito estocstico. Nesses sistemas os sinais so descritos por certas caractersticas estatsticas.1.2 Projeto de sistemas de controle

Como todo projeto da rea tecnolgica, o objetivo do projeto em controle identificar os parmetros chave e gerar a configurao de um sistema que enfrente uma necessidade real. O primeiro passo no processo de projeto consiste em estabelecer as metas do sistema. Um exemplo de meta o controle preciso da velocidade de rotao de um CD player. O segundo passo identificar as variveis que se deseja controlar; por exemplo, a velocidade de rotao do CD. O terceiro passo, escrever as especificaes em termos da preciso que se procura alcanar. A preciso conduzir a identificao do sensor a ser empregado na medio da varivel de controle. O quarto passo estabelecer a configurao do sistema que, normalmente, consiste de um sensor, o processo sob controle, o atuador e o controlador. Por exemplo, se desejamos controlar a velocidade de um CD player, ns selecionaremos um motor CC como atuador; cada elemento selecionado de acordo com as especificaes desejadas. O quinto passo obter um modelo para cada um dos elementos do sistema. O sexto passo a seleo do controlador, via de regra um amplificador subtrator que compara a resposta desejada com a resposta obtida, gerando um sinal de erro que precisar ser amplificado. O ltimo passo do processo de projeto o ajuste dos parmentros do sistema visando atingir a performance desejada. Caso a performance desejada seja alcanada, o projeto finalizado coma a produo da documentao; em caso contrrio, ser necessrio melhorar a configurao do sistema, atuando, talvez na seleo do atuador e/ou sensor. Dever-se ento repetir os passos do projeto at atingir-se as especificaes desejadas ou,


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ainda, decidir que elas devem ser relaxadas. O processo de projeto de um sistema de controle apresentado na Fig. 1.9.PROJETO DE UM SISTEMA DE CONTROLE

Estabelecer as metas do controle

Identificao das variveis de controle

Escrever as especificaes para as variveis

Estabelecer a configurao do sistema Obter o modelo dos componentes do sistema

Seleo do controlador

Ajuste dos parmetros e anlise da performance

No As especificaes foram alcanadas? Sim

Projeto finalizado

Fig. 1.9 Etapas do projeto de um sistema de controle.


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1.3 Uma breve histria do controle automtico1

O controle realimentado o mecanismo bsico pelo qual os sistemas, sejam mecnicos, eltricos ou biolgicos, mantm seu equilbrio ou homeostase. Nas formas mais elevadas de vida, as condies sob as quais a vida pode prosseguir so bem limitadas. Uma mudana na temperatura de meio grau geralmente um sinal de doena. A homeostase do corpo mantida atravs do uso do controle realimentado (WIENER, 1948). Uma contribuio fundamental de C. R. Darwin no sculo XIX foi a teoria que a realimentao durante longos perodos de tempo responsvel pela evoluo das espcies. Em 1931, V. Volterra explicou o balano entre duas populaes de peixes em um pequeno lago fechado usando a teoria da realimentao. O controle realimentado pode ser definido como o uso da diferena entre sinais, determinados pela comparao dos valores atuais das variveis do sistema com seus valores desejados, como um meio de controlar um sistema. Um exemplo dirio de um sistema de controle realimentado um controle de velocidade de automvel, o qual usa a diferena entre a velocidade atual e a desejada para variar a taxa do fluxo do combustvel. J que o sistema de sada usado para regular sua entrada, tal dispositivo chamado de sistema de controle emmalha fechada.

Nesse livro ns mostraremos como usar a teoria de controle moderno para projetar sistemas de controle realimentados. Assim, ns no nos ocuparemos com sistemas de controle naturais, como aqueles que ocorrem nos organismos vivos ou na sociedade, mas com sistemas de controle feitos pelo homem tais como os usados para controlar avies, automveis, satlites, robs e processos industriais. Percebendo que o melhor meio para compreender uma rea examinar a sua evoluo e as razes para a sua existncia, ns primeiro apresentaremos uma curta histria da teoria do controle automtico. Em seguida, ns oferecemos uma breve discusso das filosofias das teorias de controle clssico e moderno. Recentemente, ocorreram vrios progressos na teoria do controle automtico. difcil oferecer uma anlise imparcial na rea enquanto ela ainda se desenvolve; entretanto

1

O texto desta seo e das sees 1.4 e 1.5 so uma traduo do Captulo I Introduction to modern control theory, de LEWIS, F.L. Applied optimal control e estimation. Prentice Hall, 1992. Achei importante completar o texto original com ilustraes disponveis em pginas da Internet. Neste captulo, Lewis, aps uma breve discusso sobre o controle realimentado, apresenta uma breve histria do controle automtico, a filosofia do controle clssico e a filosofia do controle moderno.


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revendo o progresso da teoria de controle realimentado , agora, possvel distinguir algumas tendncias principais e apontar alguns avanos chave. O controle realimentado uma disciplina da engenharia. Como tal, seu progresso est intimamente ligada aos problemas prticos que precisam ser solucionados durante alguma fase da histria humana. Os progressos chave na histria da espcie humana que afetaram o progresso do controle realimentado foram:

A preocupao dos gregos e rabes com o registro preciso do tempo. Isto representa um perodo de aproximadamente 300 aC a 1200 dC.

A revoluo industrial na Europa. A revoluo industrial teve incio no terceiro quarto do sculo XVIII; entretanto, suas razes podem ser encontradas no sculo XVII.

O incio da comunicao em massa e a primeira e a segunda guerras mundiais. Isto representa um perodo entre 1910 e 1945.

O incio da era espacial/computacional em 1957.

Pode-se considerar estas como fases no progresso do homem, onde ele primeiro preocupou-se com seu lugar no tempo e no espao, depois em domesticar seu ambiente e tornar a sua existncia mais confortvel, depois em estabelecer o seu lugar em uma comunidade global e, finalmente, com seu lugar no cosmos. Em um ponto entre a Revoluo Industrial e as Guerras Mundiais, houve um progresso extremamente importante. A saber, a teoria de controle comeou a adquirir sua linguagem escrita a linguagem da matemtica. J. C. Maxwell ofereceu a primeira anlise matemtica rigorosa de um sistema de controle realimentado em 1868. Ento, relativo a sua linguagem escrita, ns poderamos chamar o perodo anterior a 1868 de pr-histria do controle automtico. Seguindo Friedland (1986), ns podemos chamar o perodo a partir de 1868 e anterior ao sculo XX de perodo primitivo do controle automtico. padro chamar o perodo a partir de ento at 1960 de perodo clssico e o perodo de 1960 at o tempo presente de perodo moderno. Deixe-nos, agora, progredir rapidamente atravs da histria do controle automtico. Uma referncia para o perodo entre 300 aC e a Revoluo Industrial apresentada por (MAYR, 1970), ao qual ns recorremos e por vezes citamos. Veja tambm


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(FULLER, 1976). Outra referncia importante utilizada na preparao desta seo inclui (M. BOKHARAIE, 1973) e discusses pessoais com J. D. Aplevich da Universidade de Waterloo. K. M. Przyluski da Academia Polonesa de Cincia e W. Askew, um antigo colega na Corporao de Msseis e Espao LTV e vice-presidente da E-Systems.

1.3.1 Relgios de gua dos gregos e dos rabes

A motivao primria para o controle realimentado na antiguidade era a necessidade da determinao exata do tempo. Ento, por volta de 270 aC, o Grego Ktesibios inventou um regulador de flutuao para um relgio de gua. A funo deste regulador era manter o nvel dgua em um tanque em uma profundidade constante. Esta profundidade constante produzia um fluxo constante de gua atravs de um tubo no fundo do tanque o qual enchia um segundo tanque com uma taxa constante. O nvel de gua no segundo tanque dependia, assim, do tempo transcorrido. O regulador de Ktesibios usava um flutuador para controlar a afluncia de gua de gua por uma vlvula; quando o nvel de gua baixava a vlvula abria e reabastecia o reservatrio. Este regulador de flutuao cumpria a mesma funo que a bia e a vlvula em uma descarga moderna. Um regulador de flutuao foi usado por Philon de Bizncio em 250 aC para manter um nvel constante de leo em uma lmpada. Durante o primeiro sculo dC , Heron deAlexandria desenvolveu reguladores de flutuao para relgios de gua. Os gregos usavam reguladores de flutuao e dispositivos similares, tais como o preparador automtico de vinho, o projeto de sifes para manter constante a diferena de nvel de gua entre dois tanques, a abertura de portas de templos (Fig. 1.10), etc. Estes dispositivos poderiam ser chamados aparelhos j que eles estavam entre os mais precoces exemplos de uma idia visando uma aplicao. Entre os anos 800 e 1200 vrios engenheiros rabes tais como os trs irmos Musa, Al-Jazari e Ibn al-Sa'ati usaram reguladores de flutuao para relgios de gua e outras aplicaes (Fig. 1.11). Durante este perodo o importante princpio de realimentao de controle "on/off" foi usado, o qual surge novamente nos anos 50 em conexo com os problemas de tempo mnimo. Quando Bagd caiu para os Mongis em 1258, todo o pensamento criativo neste ramo vinha para este fim. Entretanto, a inveno do relgio mecnico no sculo XIV tornou o relgio de gua e seu sistema de controle realimentado obsoleto (o relgio mecnico no um


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sistema de controle realimentado). O regulador de flutuao no aparece novamente at seu uso na Revoluo Industrial.

Fig. 1.10 Dispositivo de Hero para abrir as portas de um templo.Fonte: DAZZO, John. Anlise e projeto de sistemas de controle lineares. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1984.

Fig. 1.11 Modelo da bomba de ao dupla com tubos de suco projetada por Al-Jazari.Fonte: http://www.muslimheritage.com/day_life/default.cfm?ArticleID=188&Oldpage=1.

Junto com uma preocupao por seu lugar no tempo, o homem sempre teve um interesse por seu lugar no espao. Vale mencionar que um sistema de controle pseudorealimentado foi desenvolvido na China no sculo XII para propsitos de navegao2. Havia uma carruagem que tinha uma esttua a qual era virada por um mecanismo de engrenagens preso s rodas da carruagem de forma que ela continuamente apontava o sul. Usando a

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Outras fontes, como http://www.drgears.com/gearterms/terms/southpointingchariot.htm, contam que este dispositivo, conhecido como The South Pointing Chariot, foi desenvolvido por volta de 2600 aC para o imperador Amarelo, Huang Di. Considerando que os chineses desenvolveram a bssola no sc XI, no haveria razo para o desenvolvimento de um mecanismo to complexo cerca de 100 anos mais tarde (N. do T.).


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informao direcional fornecida pela esttua, o cocheiro podia seguir um curso direto. A Fig. 1.12 ilustra este mecanismo. Ns chamamos isto de sistema de controle pseudorealimentado j que ele, tecnicamente, no envolve realimentao, a no ser que as aes do cocheiro forem consideradas como partes do sistema. Assim, ele no um sistema de controle automtico.

Fig. 1.12 Dispositivo conhecido como The South Pointing ChariotFonte: http://www.drgears.com/gearterms/terms/southpointingchariot.htm.

1.3.2 A Revoluo Industrial

A Revoluo Industrial na Europa resultou na introduo de atuadores principais, ou mquinas automotoras. Ela foi marcada pela inveno de avanados moinhos de gro, fornos, caldeiras e da mquina a vapor. Estes dispositivos no podiam ser regulados adequadamente pela mo e, assim, surgiu uma nova exigncia por sistemas de controle automticos. Uma variedade de dispositivos de controle foi inventada, incluindo reguladores de flutuao, reguladores de temperatura, reguladores de presso e dispositivos de controle de velocidade. J. Watt inventou a sua mquina a vapor em 1769 (Fig. 1.13) e esta data marca o incio aceito da Revoluo Industrial. Porm, as razes da Revoluo Industrial podem ser encontradas antes do sculo XVII ou anteriormente com o desenvolvimento de moinhos de gro e o forno. Deve-se estar informado que outros, principalmente T. Newcomen em 1712 (Fig. 1.14), construram as primeiras mquinas a vapor. Porm, as mquinas a vapor antigas eram


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ineficientes e reguladas mo, fazendo-as pouco adaptadas para o uso industrial. extremamente importante perceber que a Revoluo Industrial no comeou at a inveno de mquinas melhoradas e de sistemas de controle automticos para regul-las.

(a)

(b)

Fig. 1.13 Esta mquina a vapor de James Watt, construda aps 1769, foi uma melhoria da de T. Newcomen, pois tinha um condensador separado e permitia que o vapor fosse admitido, alternadamente, em ambos os lados do pisto.Fontes: (a) http://inventors.about.com/library/inventors/blwatt2.htm e (b) http://leblon.mec.pucrio.br/~wbraga/fentran/termo/hist4.htm.

Fig. 1.14 Mquina a vapor inventada por Thomas Newcomen em 1712.Fonte http://www.tiscali.co.uk/reference/encyclopaedia/hutchinson/m0026134.html.


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1.3.3 Os construtores de moinhos

Os construtores de moinhos da Inglaterra desenvolveram uma variedade de dispositivos de controle realimentado. A cauda de leque, inventada em 1745 pelo ferreiro britnico E. Lee, consistia de um pequeno leque montado em ngulos convenientes na roda principal de um moinho de vento. Sua funo era direcionar o moinho de vento continuamente para o vento. O moinho de tremonha era um dispositivo que regulava o fluxo de gros em um moinho dependendo da velocidade de rotao da m. Estava em uso em uma forma bastante refinada em torno de 1588. Para construir um controlador realimentado, importante ter dispositivos demedio adequados. Os construtores de moinhos desenvolveram vrios dispositivos para

sensorar velocidade de rotao. Usando estes sensores foram inventados vrios dispositivos de regulao de velocidade, incluindo velas de moinho de vento auto-reguladas. Mais tarde, muito da tecnologia dos construtores de moinhos foi desenvolvido para uso na regulao de mquinas a vapor.

(a)

(b)

Fig. 1.15 (a) Parte inferior e (b) superior de um moinho de rodzio, onde podemos visualizar a m (11) e a tremonha (14).Fonte: http://www.naya.org.ar/congreso2000/ponencias/Jose_Augusto_Maia_Marques.htm.


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1.3.4 Reguladores de Temperatura

Cornelis Drebbel da Holanda passou algum tempo na Inglaterra e um perodo breve com o Imperador romano Santo Rudolfo II em Praga, junto com o seu contemporneo J. Kepler. Em torno de 1624, ele desenvolveu um sistema de controle automtico de temperatura para um forno, motivado por sua f que metais bsicos poderiam virar ouro mantendo-os a uma temperatura constante exata por longos perodos de tempo. Ele tambm usou este regulador de temperatura em uma incubadora para chocar galinhas. Reguladores de temperatura foram estudados por J. J. Becher em 1680 e usados novamente em uma incubadora pelo Prncipe de Conti e R. A. F. de Raumur em 1754. O registrador sentinela foi desenvolvido na Amrica por W. Henry perto de 1771, que sugeriu seu uso em fornos qumicos, na manufatura de ao e porcelana e no controle de temperatura de um hospital. No era ainda 1777, entretanto, quando um regulador de temperatura satisfatrio para uso industrial foi desenvolvido por Bonnemain, que o usou para uma incubadora. Seu dispositivo foi instalado, mais tarde, no forno de uma planta de aquecimento de gua.

1.3.5 Reguladores de flutuao

A regulao do nvel de um lquido foi necessria em duas reas principais nos meados do sculo XVIII: na caldeira de uma mquina a vapor e em sistemas domsticos de distribuio de gua. Ento, o regulador de flutuao recebeu novo interesse, especialmente na Inglaterra. Em seu livro de 1746, W. Salmon citou preos para reguladores de flutuao de bia e torneira usados para manter o nvel de reservatrios de gua residenciais. Este regulador foi usado nas primeiras patentes para descargas de banheiro ao redor de 1775. A descarga de banheiro foi, mais adiante, refinada por Thomas Crapper, um encanador de Londres que foi condecorado pela Rainha Victoria por suas invenes. O primeiro uso conhecido de um regulador de flutuao de vlvula em uma caldeira a vapor descrito em uma patente emitida a J. Brindley em 1758. Ele usou o regulador em uma mquina a vapor para bombear gua. S. T. Wood usou um regulador de flutuao para uma mquina a vapor na sua cervejaria em 1784. Na Sibria russa, o mineiro


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de carvo I.I Polzunov desenvolveu em 1765 um regulador de flutuao para uma mquina a vapor que acionava ventiladores para alto fornos. Por volta de 1791, quando foi adotado pela empresa de Boulton e Watt, o regulador de flutuao era de uso comum em mquinas a vapor.

1.3.6 Reguladores de Presso

Outro problema associado com a mquina a vapor o da regulao de presso de vapor na caldeira, pois o vapor que aciona a mquina deve estar a uma presso constante. Em 1681, D. Papin inventou uma vlvula de segurana para uma panela de presso, e em 1707 ele usou-a como um dispositivo regulador na sua mquina a vapor. Depois, isso foi uma caracterstica padro em mquinas a vapor. O regulador de presso foi, posteriormente, refinado em 1799 por R. Delap e, tambm, por M. Murray. Em 1803, um regulador de presso foi combinado com um regulador de flutuao por Boulton e Watt para uso nas suas mquinas a vapor.

1.3.7 Reguladores centrfugos

As primeiras mquinas a vapor proviam um movimento de produo alternativo que era regulado usando um dispositivo conhecido como uma catarata, semelhante a uma vlvula de flutuao. A catarata surgiu nas mquinas de bombeamento das minas de carvo Cornwall. A mquina de vapor de J. Watt com movimento de produo rotativo alcanou a maturidade por volta de 1783, quando a primeira foi vendida. O incentivo principal para seu desenvolvimento era, evidentemente, a esperana de introduzir um motor principal na moagem. Usando a mquina de produo rotativa, o moinho a vapor Albion comeou a operar no inicio de 1786. Um problema associado com a mquina a vapor rotativa o de regulao da sua velocidade de revoluo. Parte da tecnologia de regulao de velocidade dos construtores de moinho foi desenvolvido e estendeu-se para este propsito.


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Em 1788, Watt completou o projeto do regulador centrfugo de esferas suspensas (Fig. 1.16) para regular a velocidade da mquina a vapor rotativa. Este dispositivo empregava duas esferas suspensas que giravam sobre um eixo e que eram arremessados para fora pela fora centrfuga. Quando a velocidade de rotao aumentava, os pesos suspensos oscilavam mais para fora e para cima, operando uma vlvula de estrangulamento do fluxo de vapor a qual reduzia a velocidade da mquina. Assim, uma velocidade constante era alcanada automaticamente. Os dispositivos de realimentao previamente mencionados permaneceram obscuros ou fizeram um papel imperceptvel como uma parte da maquinaria que eles controlavam. Por outro lado, a operao do regulador de esferas suspensas era claramente visvel at mesmo para o olho destreinado e seu princpio tinha um sabor extico que parecia para muitos encarnar a natureza da nova era industrial. Ento, o regulador chegou ao conhecimento do mundo de engenharia e se tornou uma sensao por toda a Europa. Este foi o primeiro uso de controle de realimentao que era do conhecimento popular.

(a)

(b)

Fig. 1.16 A mquina a vapor de Watt e o regulador de esferas suspensas.Fontes: (a) http://www.history.rochester.edu/steam/thurston/1878/f27p104.gif e (b) http://oldenginehouse.users.btopenworld.com/watt.htm.


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Vale lembrar que a palavra grega para regulador kubernaw. Em 1947, Norbert Wiener no MIT estava procurando um nome para a sua nova disciplina de teoria de autmatos - controle e comunicao entre homem e mquina. Ao investigar o regulador de esferas suspensas de Watt, ele tambm investigou a etimologia da palavra kubernaw e se deparou com a palavra grega para piloto, kubenhthz. Assim, ele selecionou o nome ciberntica para o seu campo incipiente. Por volta 1790 na Frana, os irmos Prier desenvolveram um regulador de flutuao para controlar a velocidade de uma mquina a vapor, mas a tcnica deles no se equiparava ao regulador centrfugo e foi logo suplantada.

1.3.8 O Pndulo simptico

Tendo comeado nossa histria do controle automtico com os relgios de gua da Grcia antiga, ns voltamos a esta poro da histria com um retorno para a preocupao do gnero humano com tempo. O relgio mecnico inventado no sculo XIV no era um sistema de controle realimentado em malha fechada, mas um dispositivo oscilatrio de preciso em malha aberta cuja exatido era assegurada atravs de proteo contra perturbaes externas. Em 1793, o franco-suo A. L. Breguet, o relojoeiro mais famoso de seu tempo, inventou um sistema realimentado em malha fechada para sincronizar relgios de bolso. O pndulo simptico de Breguet (Fig. 1.17) usou um caso especial de regulao de velocidade. Consistiu em um cronmetro de preciso grande e exato com um engaste para um relgio de bolso. O relgio de bolso a ser sincronizado colocado no engaste ligeiramente antes das 12 horas, tempo em que um pino emerge do cronmetro, insere-se no relgio e comea um processo de ajustar automaticamente o brao regulador da mola de equilbrio do relgio. Depois de algumas colocaes do relgio no pndulo simptico, est automaticamente ajustado o brao regulador. De certo modo, este dispositivo era usado para transmitir a exatido do cronmetro grande ao relgio de bolso porttil pequeno.

1.3.9 O nascimento da Teoria Matemtica do Controle


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Os projetos de sistemas de controle realimentados atravs da Revoluo Industrial eram de tentativa e erro, junto com muita intuio de engenharia. Assim, eram mais uma arte do que uma cincia. Em meados do sculo XIX, a matemtica foi pela primeira vez usada para analisar a estabilidade de sistemas de controle realimentados. Considerando que a matemtica o idioma formal de teoria de controle automtica, ns poderamos chamar o perodo anterior a este de pr-histria da teoria de controle.

Fig. 1.17 Rplica do pndulo simptico de Breguet.Fonte: http://www.thepurists.com/watch/features/interviews/journejan03/.

1.3.10 Equaes diferenciais

Em 1840, o astrnomo real britnico em Greenwich, G. B. Airy desenvolveu um dispositivo realimentado para direcionar um telescpio. O seu dispositivo era um sistema de controle de velocidade que virava automaticamente o telescpio para compensar a rotao da terra, provendo a capacidade para estudar uma determinada estrela durante um tempo longo. Infelizmente, Airy descobriu que devido ao projeto imprprio do lao de controle realimentado, foram introduzidas fortes oscilaes no sistema. Ele foi o primeiro a discutir as equaes diferenciais de estabilidade na sua anlise (AIRY, 1840). A teoria de equaes diferenciais estava, at ento, bem desenvolvida devido descoberta do clculo infinitesimal por I. Newton (1642-1727) e G. W. Leibniz (1646-1716) e ao trabalho dos irmos Bernoulli (final do sculo XVII e incio do sculo XVIII), J. F. Riccati (1676-1754) e outros. O uso de


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equaes diferencial para a anlise do movimento de sistemas dinmico foi estabelecido por J. L. Lagrange (1736-1813) e W. R. Hamilton (1805-1865).1.3.11 Teoria da estabilidade

O primeiro trabalho de anlise matemtica de sistemas de controle estava em termos de equaes diferenciais. J. C. Maxwell analisou a estabilidade do regulador de esferas suspensas de Watt (MAXWELL, 1868). A sua tcnica foi linearizar as equaes diferenciais do movimento para encontrar a equao caracterstica do sistema. Ele estudou o efeito dos parmetros do sistema sobre a estabilidade e mostrou que o sistema estvel se as razes da equao caracterstica tm partes reais negativas. Com o trabalho de Maxwell ns podemos dizer que a teoria de sistemas de controle estava firmemente estabelecida. E. J. Routh forneceu uma tcnica numrica para determinar quando uma equao caracterstica tem razes estveis (ROUTH, 1877). Independentemente de Maxwell, o russo I. I. Vishnegradsky [1877] analisou a estabilidade de reguladores usando equaes diferenciais. Em 1893, A.B. Stodola estudou a regulao de uma turbina de gua usando as tcnicas de Vishnegradsky. Ele modelou a dinmica do atuador e incluiu o atraso do mecanismo atuador na sua anlise. Ele foi o primeiro a mencionar a noo da constante de tempo do sistema. Desinformado do trabalho de Maxwell e Routh, ele colocou o problema de determinar a estabilidade da equao caracterstica para A. Hurwitz (1895), que o resolveu independentemente. O trabalho de A. M. Lyapunov foi frtil na teoria de controle. Em 1892, ele estudou a estabilidade de equaes diferenciais no lineares usando uma noo generalizada de energia (LYAPUNOV, 1893). Infelizmente, embora o seu trabalho fosse aplicado e continuou na Rssia, o tempo no estava maduro no Oeste para a sua elegante teoria e ela permaneceu desconhecida l at aproximadamente 1960, quando sua importncia foi finalmente percebida. O engenheiro britnico O. Heaviside inventou o clculo operacional entre 1892 e 1898. Ele estudou o comportamento transitrio de sistemas apresentando uma noo equivalente quela de funo de transferncia.

1.3.12 Teoria de sistema


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dentro do estudo de sistemas que a teoria de controle realimentado tem o seu lugar na organizao do conhecimento humano. Assim, o conceito de um sistema como uma entidade dinmica com entradas e sadas definidas que se associam a outros sistemas e ao ambiente foi uma condio chave para o desenvolvimento posterior da teoria de controle automtico. A histria da teoria de sistema requer um estudo completo isolado, mas segue um breve esboo. Durante os sculos dezoito e dezenove, o trabalho de A. Smith em economia (ARiqueza de Naes, 1776), as descobertas de C. R. Darwin (Sobre a Origem das Espcies por meio da Seleo Natural, 1859) e outros progressos em poltica, sociologia, dentre outros,

estavam tendo um grande impacto na conscincia humana. O estudo de Filosofia Natural era uma conseqncia do trabalho dos filsofos gregos e rabes e contribuies foram feitas por Nicholas de Cusa (1463), Leibniz e outros. Os progressos do sculo XIX, condimentados pela Revoluo Industrial e uma apreciao em expanso do conhecimento em geopoltica global e em astronomia teve uma profunda influncia nesta Filosofia Natural, motivando-a a mudar sua personalidade. No incio do sculo XX, A. N. Whitehead (1925), com a sua filosofia ds mecanismo orgnico, L. von Bertalanffy (1938) com seus princpios hierrquicos de organizao e outros comearam a falar de uma teoria geral do sistema. Neste contexto, prosseguia a evoluo de teoria de controle.

1.3.13 Comunicao de massa e o sistema de telefone de Bell

No comeo do sculo XX ocorreram dois acontecimentos importantes do ponto de vista de teoria de controle: o desenvolvimento do telefone e das comunicaes de massa e as guerras mundiais.

1.3.14 Anlise no domnio-freqncia

A anlise matemtica de sistemas de controle tinha, at aqui, sido executada usando equaes diferenciais no domnio de tempo. Nos Laboratrios de Telefonia de Bell durante o perodo entre 1920 e 1930, as abordagens no domnio da freqncia desenvolvidas por P. S. de Laplace (1749-1827), J. Fourier (1768-1830), A. L. Cauchy (1789-1857) e outros, foram exploradas e utilizadas em sistemas de comunicao.


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Um problema fundamental com o desenvolvimento de um sistema de comunicao de massa que se estendesse a longas distncias a necessidade de amplificar periodicamente o sinal de voz ao longo das linhas de telefnicas. Infelizmente, a menos que o cuidado seja exercido, no s a informao, mas tambm os rudos so amplificados. Assim, o projeto de amplificadores repetidores satisfatrios de fundamental importncia. Para reduzir a distoro em amplificadores repetidores, H. S. Black demonstrou, em 1927, a utilidade da realimentao negativa (BLACK, 1934). O problema de projeto era introduzir um deslocamento de fase no sistema em freqncias corretas. A Teoria da regenerao para o projeto de amplificadores estveis foi desenvolvida por H. Nyquist (1932). Ele derivou o seu critrio de estabilidade de Nyquist baseado no grfico polar de uma funo complexa. Em 1938, H.W. Bode usou a resposta em freqncia da magnitude e da fase de uma funo complexa (BODE, 1940). Ele investigou a estabilidade em malha fechada usando as noes de margem de ganho e de fase.

1.3.15 As guerras mundiais e o Controle Clssico

Quando a comunicaes de massa e os modos mais rpidos de viagem tornaram o mundo menor, houve muita tenso quando os homens examinaram seus lugares em uma sociedade global. O resultado foi as guerras mundiais, durante as quais o desenvolvimento de sistemas de controle realimentados se tornaram uma questo de sobrevivncia.

1.3.16 Controle de navio

Um problema militar importante durante este perodo foi o controle e a navegao de navios, os quais estavam se tornando mais avanados nos seus projetos. Entre os primeiros progressos estava o projeto de sensores para a finalidade de controle em malha fechada. Em 1910, E. A. Sperry inventou o giroscpio (Fig. 1.18), o qual ele usou na estabilizao e pilotagem de navios e depois em controle de aeronaves. N. Minorsky [1922] apresentou o seu controlador de trs termos para a pilotagem de navios, tornando-se, assim, o primeiro a usar o controlador proporcional-integralderivativo (PID). Ele considerou efeitos no lineares no sistema de malha fechada.


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1.3.17 Desenvolvimento de armas e direcionamento de canhes

Um problema fundamental durante o perodo das guerras mundiais foi o direcionamento exato das armas a bordo de navios e aeronaves. Com a publicao de Teoria dos Servomecanismos por H. L. Hzen (1934), iniciou-se o uso de teoria de controle matemtica em tais problemas. No seu artigo, Hzen cunhou a palavra servomecanismos que implica em uma relao mestre-escravo em sistemas.

Fig. 1.18 Giroscpio de Sperry.Fonte: http://www.sperry-marine.com/company-information_sperry-history.asp.

A mira de bomba Norden (Fig. 1.19), desenvolvida durante Segunda Guerra Mundial, usou repetidores sncronos para retransmitir informao sobre altitude e velocidade da aeronave e perturbaes de vento para a mira, assegurando a distribuio precisa das armas.

1.3.18 Laboratrio de Radiao do M.I.T.

Para estudar os problemas de controle e de processamento de informao associados ao recm inventado radar, o Laboratrio de Radiao foi fundado no Instituto de


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Tecnologia Massachussetts em 1940. Muito do trabalho de teoria de controle durante os anos 40 saiu deste laboratrio. Enquanto trabalhava em um projeto em comum do M.I.T. e da Corporao de Sperry em 1941, A.C. Hall reconheceu os efeitos danosos de ignorar os rudos em projetos de sistemas de controle. Ele percebeu que a tecnologia do domnio em freqncia desenvolvida nos laboratrios Bell poderia ser empregada para enfrentar os efeitos dos rudos e usou esta abordagem para projetar um sistema de controle para um radar aerotransportado. Este sucesso demonstrou, conclusivamente, a importncia das tcnicas no domnio da freqncia para o projeto de sistemas de controle (HALL, 1946).

(a) Fig. 1.19 - A mira de bomba Norden.Fontes: (a) http://www.airpowermuseum.org/trnorden.html. e (b) http://www.twinbeech.com/norden_bombsight.htm.

(b)

Usando abordagens de projeto baseadas na funo de transferncia, diagrama de bloco e mtodos no domnio da freqncia, houve um grande sucesso no projeto de controles no Laboratrio de Radiao. Em 1947, N. B. Nichols desenvolveu o seu diagrama de Nichols para o projeto de sistemas realimentados. Com o trabalho no M.I.T., a teoria de


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servomecanismos lineares foi firmemente estabelecida. Um resumo do trabalho no Laboratrio de Radiao do M.I.T. fornecido em Teoria dos Servomecanismos (NICHOLS e PHILLIPS, 1947). Trabalhando na aviao norte-americana, W. R. Evans (1948) apresentou a sua tcnica do lugar das razes que forneceu um modo direto para determinar os locais dos plos de malha fechada no plano s. Subseqentemente, durante os anos 50, muitos trabalhos de controles estavam focalizados no plano s e em obter caractersticas desejveis de resposta a degrau em sistemas de malha fechada em termos de tempo de subida, sobre-sinal percentual e assim por diante.

1.3.19 Anlise estocstica

Durante este perodo, foram introduzidas, tambm, tcnicas estocsticas no controle e na teoria de comunicao. No M.I.T em 1942, N. Wiener (1949) analisou sistemas de processamento de informao usando modelos de processos estocsticos. Trabalhando no domnio da freqncia, ele desenvolveu um filtro estatisticamente timo para sinais estacionrios contnuos no tempo que melhoraram a relao sinal/rudo em sistemas de comunicao. O russo A. N. Kolmogorov (1941) forneceu uma teoria para processos estocsticos estacionrios discretos no tempo.

1.3.20 O perodo clssico de teoria de controle

At agora, a teoria de controle automtica usando tcnicas no domnio da freqncia tinha vindo da era, se estabelecendo como um paradigma (no senso de KUHN, 1962). Por um lado, tinha sido estabelecida uma teoria matemtica firme para servomecanismos, e por outro, foram fornecidas tcnicas de projeto em engenharia. O perodo aps a Segunda Guerra Mundial pode ser chamado de perodo clssico de teoria de controle. Ele foi caracterizado pelo aparecimento dos primeiros livros de ensino (MACCOLL, 1945; LAUER; LESNICK e MATDON, 1947; BROWN e CAMPBELL, 1948; CHESTNUT e MAYER, 1951; TRUXALL, 1955) e por ferramentas de projetos diretas que proveram grande intuio e solues garantidas para problemas de projeto. Estas ferramentas foram aplicadas usando calculadoras de mo, ou no mximo regras de clculo, junto com tcnicas grficas.


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1.3.21 A era espacial/do computador e o Controle Moderno

Com o advento da era espacial, os projetos de controle nos Estados Unidos rejeitaram as tcnicas no domnio da freqncia da teoria de controle clssica e voltaram para as tcnicas de equao diferencial do final do sculo XIX, as quais eram expressas no domniodo tempo. As razes para este desenvolvimento so as que seguem. 1.3.22 Projeto no domnio do tempo para sistemas no lineares

O paradigma de teoria de controle clssica era muito satisfatrio para problemas de projeto de controle durante e imediatamente aps as guerras mundiais. A abordagem no domnio da freqncia era apropriada para sistemas lineares invariantes no tempo. Era a melhor para lidar com sistemas de nica-entrada/nica sada, pois era inconveniente aplicar tcnicas grficas a mltiplas entradas e sadas. Projetos de controle clssico tiveram algum sucesso com sistemas no lineares. Usando as propriedades de rejeio de rudo das tcnicas no domnio da freqncia, um sistema de controle pode ser projetado como robusto as variaes nos parmetros do sistema e para erros de medida e perturbaes externas. Assim, podem ser usadas tcnicas clssicas em uma verso linearizada de um sistema no-linear, dando bons resultados no ponto de equilbrio sobre o qual o comportamento de sistema aproximadamente linear. Tambm podem ser aplicadas tcnicas no domnio da freqncia a sistemas com tipos simples de no linearidades usando a abordagem da funo de descrio que conta com o critrio de Nyquist. Esta tcnica foi usada pela primeira vez pelo polons J. Groszkowski no projeto de um transmissor de rdio antes da Segunda Guerra Mundial e formalizada em 1964 por J. Kudrewicz. Infelizmente, no possvel projetar sistemas de controle para sistemas no lineares avanados multivariveis, como os que surgiram em aplicaes aeroespaciais, usando a suposio de linearidade e tratando os pares de transmisso nica-entrada/nica-sada um a cada vez. Na Unio Sovitica, havia muita atividade no projeto de controles no-lineares. Seguindo os passos de Lyapunov, a ateno foi focada nas tcnicas no domnio do tempo. Em 1948, Ivachenko investigou o princpio de controle a rel onde o sinal de controle comutado descontinuamente entre valores discretos. Tsypkin usou o plano de fase no projeto


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de controles no lineares em 1955. V. M. Popov [1961] proveu o seu o critrio de crculo para anlise de estabilidade no linear.

1.3.23 Sputnik - 1957

Dado a histria de teoria de controle na Unio Sovitica, s natural que o primeiro satlite, o Sputnik, fosse lanado l em 1957. A primeira conferncia da recm formada Federao Internacional de Controle Automtico (IFAC) foi apropriadamente realizada em Moscou em 1960. O lanamento do Sputnik engendrou uma tremenda atividade nos Estados Unidos no projeto de controles automticos. No fracasso de qualquer paradigma, requer-se um retorno histrico e natural para os primeiros princpios. Assim, ficou claro que era necessrio um retorno s tcnicas no domnio do tempo do perodo primitivo da teoria de controle que era baseado em equaes diferenciais. Seria percebido que o trabalho de Lagrange e Hamilton fez isto ao escrever equaes no-lineares simples de movimento para muitos sistemas dinmicos. Assim era necessria uma teoria de controle que poderia lidar com tais equaes diferenciais no lineares. bastante extraordinrio que quase exatamente em 1960, os progressos fundamentais aconteceram independentemente em vrias frentes na teoria da comunicao e controle.

1.3.24 Navegao

Em 1960, C. S. Draper inventou o seu sistema de navegao inercial que usava giroscpios usados para fornecer informao precisa sobre a posio de um corpo que se movia espao, como um navio, aeronave ou astronave. Assim, foram desenvolvidos os sensores apropriados para navegao e projeto de controles.

1.3.25 Otimalidade em Sistemas Naturais

Johann Bernoulli mencionou o Princpio da Otimalidade primeiro com relao ao Problema de Brachistochrone em 1696. Este problema foi resolvido pelos irmos Bernoulli e


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por I. Newton, e ficou claro que a busca por otimalidade uma propriedade fundamental do movimento em sistemas naturais. Vrios princpios de otimalidade foram investigados, inclusive o princpio to tempo mnimo na tica de P. Fermat (sculo XVII), o trabalho de L. Euler em 1744 e os resultados de Hamilton que um sistema move-se de tal modo a minimizar a integral no tempo da diferena entre as energias cintica e potencial. Estes princpios de otimalidade so todos princpios de mnimo. De forma bastante interessante, no comeo do sculo XX, A. Einstein mostrou que, relativo ao sistemas de coordenadas espao-tempo 4D, o movimento dos sistemas ocorre de tal modo a maximizar o tempo.

1.3.26 Controle timo e Teoria da Estimao

Considerando que sistemas naturais exibem otimalidade nos seus movimentos, faz sentido projetar sistemas de controle artificiais de um jeito timo. Uma vantagem principal que este projeto pode ser realizado no domnio do tempo. No contexto dos projetos de controle moderno, habitual minimizar o tempo de trnsito, ou um funcional de energia quadrtica generalizada ou ndice de desempenho, possivelmente com algumas restries nos controles permitidos. Ao aplicar programao dinmica ao controle timo de sistemas de tempo discreto, R. Bellman [1957] demonstrou que a direo natural para resolver problemas de controle timo ir para trs no tempo. O seu procedimento resultou em esquemas de realimentao em malha fechada geralmente no-lineares. Antes de 1958, L. S. Pontryagin desenvolveu o seu princpio de mximo que resolveu problemas de controle timo contando com o clculo de variaes desenvolvido por L. Euler (1707-1783). Ele resolveu o problema de tempo mnimo, derivando uma lei de controle a rel on/off como o controle timo (PONTRYAGIN, BOLTYANSKY, GAMKRELIDZE e MISHCHENKO, 1962). Nos EUA, durante os anos 50, aplicou-se o clculo de variaes a problemas gerais de controle timo na Universidade de Chicago e em outros lugares. Em 1960, trs importantes artigos foram publicados por R. Kalman e colaboradores, trabalhando nos EUA Um destes (KALMAN e BERTRAM, 1960), deu publicidade ao trabalho vital de Lyapunov no controle de sistemas no-lineares no domnio do


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tempo. O segundo (KALMAN, 1960a), discutiu o controle timo de sistemas, provendo as equaes de projeto para o regulador linear quadrtico (LQR). O terceiro artigo (KALMAN, 1960b), discutiu filtragem tima e teoria de estimao, provendo as equaes de projeto para o filtro de Kalman discreto. O filtro de Kalman contnuo foi desenvolvido por Kalman e Bucy (1961). No perodo de um ano, foram superadas as principais limitaes de teoria de controle clssica, foram introduzidas novas ferramentas tericas importantes e uma nova era na teoria de controle tinha iniciado; ns a chamamos de era do controle moderno. Os pontos fundamentais do trabalho de Kalman so os que seguem. uma abordagem no domnio do tempo, fazendo-a mais aplicvel em sistemas lineares variantes no tempo como tambm em sistemas no-lineares. Ele introduziu a lgebra linear e matrizes, de forma que sistemas com mltiplas entradas e sadas poderiam ser facilmente tratados. Ele empregou o conceito do estado interno do sistema; assim, a abordagem tal que est preocupada com a dinmica interna do sistema e no s com o seu comportamento de entrada/sada. Na teoria de controle, Kalman formalizou a noo de otimalidade na teoria decontrole minimizando uma mais geral funo de energia quadrtica generalizada. Na teoria da

estimao, ele introduziu noes estocsticas que, aplicadas a sistemas variantes no tempo no estacionrios, provem uma soluo recursiva, o filtro de Kalman, para abordagem dos mnimos quadrados usada primeiro por C.F. Gauss (1777-1855) na estimao da rbita planetria. O filtro de Kalman a extenso natural do filtro de Wiener para sistemas estocsticos no estacionrios. Tcnicas clssicas no domnio da freqncia provem ferramentas formais para o projeto de sistemas de controle, contudo a fase de projeto em si permaneceu mais uma arte e resultou em sistemas de realimentao no-nicos. Por contraste, a teoria de Kalman proveusolues timas que renderam sistemas de controle com desempenho garantido. Estes

controles foram diretamente encontrados resolvendo equaes de projeto matriciais formais que geralmente tm solues nicas. No nenhum acidente que deste ponto floresceu o programa espacial norteamericano, com um filtro de Kalman provendo dados navegacionais para a primeira aterrissagem lunar.


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1.3.27 Teoria de controle no-linear

Durante os anos 1960 nos EUA, G. Zames (1966), I. W. Sandberg (1964), K. S. Narendra (NARENDRA e GOLDWYN, 1964), C. A. Desoer (1965) e outros estenderam o trabalho de Popov e Lyapunov em estabilidade no-linear. Havia uma aplicao extensa destes resultados no estudo de distoro no-linear em laos de realimentao com banda limitada, controle de processos no-linear, projeto de controles de aeronaves e, eventualmente, em robtica.

1.3.28 Computadores no projeto de controles e implementao

Tcnicas de projeto clssicas podiam ser empregadas mo usando abordagens grficas. Por outro lado, o projeto de controle moderno requer a soluo de complicadas equaes matriciais no-lineares. Afortunadamente, em 1960 ocorreram os principais progressos em outra rea a tecnologia do computador digital. controle moderno teria aplicaes limitadas. Sem computadores, o

1.3.29 O Desenvolvimento dos computadores digitais

Em aproximadamente 1830, C. Babbage introduziu os princpios dos computadores modernos, inclusive memria, controle de programa e desvio de processamento. Em 1948, J. von Neumann dirigiu a construo, em Princeton, do computador de programa armazenado IAS. A IBM construiu sua mquina de programa armazenado SSEC Em 1950, Sperry Rand construiu a primeira mquina de processamento de dados comercial, o UNIVAC I. Em seguida, a IBM comercializou o computador 701. Em 1960 aconteceu um avano fundamental - foi introduzida a segunda gerao de computadores que usava tecnologia de estado slido. Por volta de 1965, A Corporao de Equipamentos Digitais estava construindo o PDP-8 e a indstria do minicomputador comeou. Finalmente, em 1969, W. Hoff inventou o microprocessador.


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1.3.30 Controle digital e teoria da filtragem

Computadores digitais so necessrios para dois propsitos em controle moderno. Primeiro, eles so necessrios para resolver as equaes de projeto matriciais que produzem a lei de controle. Isto realizado off-line durante o processo de projeto. Segundo, j que as leis de controle timo e filtros so geralmente variantes no tempo, eles so necessrios paraimplementar o controle moderno e esquemas de filtragem nos sistemas atuais.

Com o advento do microprocessador em 1969, uma rea nova se desenvolveu. Sistemas de controle que so implementados em computadores digitais devem ser formulados em tempo discreto. Ento, o crescimento de teoria de controle digital era natural neste momento. Durante os anos 50, a teoria de sistemas de dados amostrados estava sendo desenvolvida na Columbia por J. R. Ragazzini, G. Franklin e L. A. Zadeh (RAGAZZINI e ZADEH, 1952; RAGAZZINI e FRANKLIN, 1958); bem como por E. I. Jri (1960), A. C. Kuo (1963) e outros. A idia de usar computadores digitais para controle de processosindustriais emergiu durante este perodo (STRM e WITTENMARK, 1984). Um trabalho

srio, iniciado em 1956 com o projeto de colaborao entre TRW e Texaco, resultou em um sistema controlado por computador sendo instalado na refinaria de leo Porto Arthur no Texas em 1959. O desenvolvimento de reatores nucleares durante os anos 50 era uma motivao fundamental para explorar o controle de processos industriais e instrumentao. Este trabalho tem suas razes no controle de plantas qumicas durante os anos 40. Antes dos anos 70, com o trabalho de K. strm (1970) e outros, a importncia dos controles digitais na aplicao de processos estava firmemente estabelecida. O trabalho de C. E. Shannon nos anos 50 nos Laboratrios Bell tinha revelado a importncia das tcnicas de dados amostrados no processamento de sinais. Foram investigadas as aplicaes da teoria filtragem digital na Corporao de Cincias Analtica (GELB, 1974) e em outros lugares.


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1.3.31 O Computador pessoal

Com a introduo do PC em 1983, o projeto de sistemas de controle moderno tornou-se possvel para engenheiros free-lancers. Depois disso, uma abundncia softwares para projeto de sistemas de controle foram desenvolvidos, incluindo ORACLS, CC Program, Control-C, PC-Matlab, MATRIXx, Easy5, SIMNON e outros.

1.3.32 A unio do controle moderno e do clssico

Com a publicao dos primeiros livros de ensino nos anos 60, a teoria de controle moderno se estabeleceu como um paradigma para projetos de controles automticos nos EUA. Seguiu-se uma intensa atividade em pesquisa e implementao, com o I.R.E. e o A.I.E.E. fundindo-se, em grande parte pelos esforos de P. Haggerty na Texas Instruments, para formar o Instituto de Engenheiro Eletricistas e Eletrnicos (I.E.E.E) nos incio dos anos 60. Com todo o seu poder e vantagens, o controle moderno falhou em alguns aspectos. O desempenho garantido obtido pela soluo de equaes de projeto matriciais significa que freqentemente possvel projetar um sistema de controle que funciona teoricamente sem ganhar qualquer intuio de engenharia sobre o problema. Por outro lado, as tcnicas no domnio da freqncia da teoria de controle clssico fornecem muita intuio. Outro problema que um sistema de controle moderno com qualquer compensador dinmico pode no ser robusto a perturbaes, dinmicas no modeladas e rudos de medio. Por outro lado, a robustez est embutida na abordagem do domnio da freqncia que usa noes como a margem ganho e de fase. Ento, nos anos 70, especialmente na Gr Bretanha, havia muita atividade por parte de H. H. Rosenbrock (1974), A. G. J. MacFarlane e I. Postlethwaite (1977) e outros para estender as tcnicas clssicas no domnio da freqncia e o lugar das razes a sistemas multivariveis. Sucessos foram obtidos usando noes como o lugar caracterstico, a dominncia diagonal e o arranjo inverso de Nyquist. Um proponente importante de tcnicas clssicas para sistemas multivariveis foi I. Horowitz, cuja teoria quantitativa da realimentao desenvolvida no incio dos anos 70 realiza projeto robusto usando o grfico de Nichols.


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Em 1981, artigos frteis foram publicados por J. Doyle e G. Stein (1981), M. G. Safonov, A. J. Laub e G. L. Hartmann [1981]. Estendendo o trabalho criativo de MacFarlane e Postlethwaite [1977], eles mostraram a importncia dos grficos de valores singulares versus freqncia no projeto de sistemas multivariveis robustos. Usando estes grficos, muitas das tcnicas clssicas no domnio da freqncia podem ser incorporados em projetos modernos. Este trabalho prosseguiu em aeronaves e controle de processos por M. Athans (1986) e outros. O resultado uma nova teoria de controle que mistura as melhores caractersticas de tcnicas clssicas e modernas. Uma inspeo desta teoria de controle moderno robusto provida por P. Dorato (1987).

1.4 A filosofia do controle clssico

Compreendendo um pouco da histria da teoria de controle automtico, ns podemos discutir brevemente, agora, as filosofias da teoria de controle clssico e moderno. Desenvolvendo-se, como o fez, para o projeto de amplificadores realimentados, a teoria de controle clssico foi naturalmente formulada no domnio da freqncia e no plano s. Contando com mtodos de transformadas, ela principalmente aplicvel a sistemas lineares invariantes no tempo, entretanto algumas extenses foram feitas para sistemas no lineares usando, por exemplo, a funo de descrio. A descrio necessria para o projeto de controles do sistema usando os mtodos de Nyquist e Bode a magnitude e fase da resposta em freqncia. Isto vantajoso desde que a resposta em freqncia possa ser medida experimentalmente. A funo de transferncia pode ento ser computada. Para o projeto com lugar das razes, a funo de transferncia necessria. O diagrama de blocos largamente usado para determinar funes de transferncia de sistemas compostos. No necessria uma descrio exata da dinmica interna do sistema para o projeto clssico; isto , importante apenas o comportamento entrada/sada do sistema. O projeto pode ser realizado mo usando tcnicas grficas. Estes mtodos fornecem muita intuio e provem o projetista de controles com uma gama de possibilidades de projeto, de forma que os sistemas de controle resultantes no so nicos. O processo de projeto uma arte de engenharia.


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Um sistema real tem perturbaes e rudos de medio, e pode no ser descrito exatamente pelo modelo matemtico que o engenheiro est usando para projeto. A teoria clssica natural para projetar sistemas de controle que so robustos a tais desordens, rendendo bom desempenho de malha fechada apesar destas. O projeto robusto realizado usando noes como margem de ganho e de fase.Compensadores simples como o proporcional-integral-derivado (PID), atraso-

avano ou circuitos de incidncia negativa so geralmente usados na estrutura de controle. Os efeitos de tais circuitos nos grficos de Nyquist, Bode e lugar das razes so de fcil compreenso, de forma que uma estrutura satisfatria de compensador pode ser selecionada. Uma vez projetado, o compensador pode ser facilmente regulado on-line. Um conceito fundamental em controle clssico a habilidade para descreverpropriedades de malha fechada em termos de propriedades de malha aberta que so

conhecidas ou fceis medir. Por exemplo, os grficos de Nyquist, Bode e lugar das razes esto em termos da funo de transferncia de malha aberta. Novamente, as propriedades de rejeio a perturbaes em malha fechada e o erro de regime permanente podem ser descritos em termos de diferena de retorno e sensibilidade. A Teoria de controle clssica difcil de aplicar a mltiplas-entradas / mltiplassadas (MIMO), ou sistemas de laos mltiplos. Devido interao dos laos de controle em um sistema multivariveis, cada funo de transferncia de entrada-nica / sada-nica (SISO) pode ter propriedades aceitveis em termos de resposta ao degrau e robustez, mas o controle coordenado de movimento do sistema pode no ser aceitvel. Assim, o MIMO clssico ou projeto de mltiplos laos requer um esforo esmerado ao usar a abordagem de um lao fechado a cada vez atravs de tcnicas grficas. Por exemplo, um lugar das razes deveria ser traado para cada elemento de ganho, levando em conta os ganhos previamente selecionados. Este um procedimento de tentativa-e-erro que pode requerer mltiplas repeties e no garante bons resultados, ou mesmo estabilidadeem malha fechada.

As abordagens multivariveis no domnio da freqncia desenvolvidas pela escola britnica durante os anos 70, bem como a teoria quantitativa de realimentao, superaram muitas destas limitaes, fornecendo uma abordagem efetiva para o projeto de muitos sistemas MIMO.


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1.5 A filosofia de controle moderno

O Projeto de controles moderno , fundamentalmente, uma tcnica no domnio do tempo. requerido um modelo exato de espao de estados do sistema a ser controlado, ou planta. Esta uma equao diferencial vetor de primeira-ordem da formadx = Ax + Bu dt

(1.1) y = Cx onde x(t) um vetor de variveis internas ou estados do sistema, u(t) um vetor de entradas de controle e y(t) um vetor de sadas medidas. possvel somar termos de rudo para representar o processo e rudos de medio. Nota que a planta descrita no domnio do tempo. A fora do controle moderno tem suas razes no fato que o modelo de espao de estados pode representar bem um sistema MIMO como um sistema SISO. Quer dizer, u(t) e y(t) geralmente so vetores cujas entradas so entradas e sadas individuais escalares. Assim, A, B, C so matrizes cujos elementos descrevem as interconexes dinmicas do sistema. As tcnicas de controle moderno foram primeiro firmemente estabelecidas para sistemas lineares. Extenses para sistemas no-lineares podem ser feitas usando a abordagem de Lyapunov, que se estende facilmente a sistemas MIMO, programao dinmica e outras tcnicas. Projetos de controle timo em malha aberta podem ser determinados para sistemas de lineares resolvendo problemas no-lineares com dois pontos de contorno. Exatamente como no caso clssico, algumas questes fundamentais no desempenho do sistema de malha fechada podem ser atacadas investigando propriedades de malha aberta. Por exemplo, as propriedades de malha aberta de controlabilidade e observabilidade de (1.1) do a idia do que possvel alcanar usando controle realimentado. A diferena que, para lidar com o modelo de espao de estados, necessrio um bomconhecimento de matrizes e lgebra linear.

Para alcanar propriedades satisfatrias de malha fechada, um controle de realimentao da forma, u = -Kx (1.2)

pode ser usado. O ganho de realimentao que K uma matriz cujos elementos so os ganhos individuais do controle sistema. Considerando que todos os estados so usados para


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realimentao, isto chamado realimentao de variveis de estado. Note que mltiplos ganhos de realimentao e sistemas grandes so facilmente controlados neste sistema. Assim, se h n componentes de estado (onde n pode ser muito grande dentro um sistema aeroespacial ou de distribuio de potncia) e m controles escalares, de forma que u(t) um vetor m dimensional, ento K uma matriz m x n com mn entradas, correspondendo a mn laos de controle. No regulador linear quadrtico padro (LQR), o ganho de realimentao K escolhido para minimizar um ndice de desempenho (PI) quadrtico no domnio do tempo comoJ = (x T Qx + u T Ru) dt0

(1.3)

O mnimo buscado em cima de todas as trajetrias de estado. Esta uma extenso para sistemas MIMO dos tipos de PIs (ITSE, ITAE, etc.) que foram usados no controle clssico. Q e R so matrizes de ponderao que servem como parmetros de projeto. Os seus elementos podem ser selecionados para prover desempenho satisfatrio. A chave para o projeto do LQR o fato que, se a matriz de ganho realimentao K pode ser escolhido com sucesso para fazer J finito, ento a integral (1.3) que envolve as normas de u(t) e x(t) limitada. Se Q e R so corretamente escolhidas, os famosos princpios matemticos asseguram, ento, que x(t) e u(t) vo zerar com tempo. Isto garante a estabilidade de malha fechada como tambm os sinais de controle limitados no sistema malha fechada. Pode ser mostrado que o valor de K que minimiza o PI dado por K = R-1BTS onde S uma matriz n x m satisfazendo a equao de Riccati 0 = ATS + SA - SBR-1BTS + Q (1.5) (1.4)

Dentro deste quadro LQ, diversas observaes podem ser feitos. Primeiro, contanto que o sistema (1.1) controlvel e Q e R so apropriadamente escolhidos, o K dado por estas equaes garante a estabilidade do sistema em malha fechada dx/dt = (A-BK)x + Bu (1.6)

Segundo, esta tcnica fcil de aplicar mesmo para plantas de entradas mltiplas, j que u(t) pode ser um vetor com muitos componentes.


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Terceiro, a soluo do LQR conta com a soluo da equao matricial de projeto (1.5), sendo assim, inadequada para clculos a mo. Felizmente, muitos pacotes de projeto esto agora disponveis em computadores digitais para resolver a equao de projeto de Riccati para S e, conseqentemente, para obter K. Ento, o projeto assistido por computador uma caracterstica essencial do controle moderno. A soluo do LQR uma soluo formal que d uma nica resposta para o problema de controle realimentado uma vez que o parmetro de projeto Q tenha sido selecionado. Na realidade, a arte de engenharia no projeto moderno conta com a seleo doPI das matrizes de ponderao Q e R. Um corpo de teoria neste processo de seleo

desenvolveu-se. Uma vez que Q corretamente selecionado, a equao de projeto matricial resolvida formalmente para o nico K que garante estabilidade. Observe que K computado em termos das quantidades de malha aberta A, B, Q, de forma que os projetos moderno e clssico tm em comum esta caracterstica de determinar propriedades de malha fechada em termos de quantidades de malha aberta. Porm, no controle moderno, todas as entradas de K so determinadas ao mesmo tempo usando as equaes de projeto matriciais. Isto corresponde a fechar todo os laos do controle realimentadosimultaneamente, o que est em completo contraste ao procedimento de um lao a cada vez

do projeto de controles clssico Infelizmente, o projeto formal do LQR d uma intuio muito pequena sobre anatureza ou propriedades do sistema de malha fechada. Recentemente, esta deficincia foi

enfocada a partir de uma variedade de pontos de vista Embora o projeto do LQR usando realimentao de estado garanta a estabilidade de malha fechada, todos os componentes de estado raramente esto disponveis para propsitos de realimentao em um problema prtico de projeto. Ento, a realimentao da sada da forma u = -Ky (1.7)

mais til. Equaes de projeto LQR para realimentao da sada so mais complicadas que (1.3), mas so facilmente derivadas. O projeto de realimentao da sada moderno permite projetar controladores parasistemas complicados com mltiplas entradas e sadas resolvendo formalmente equaes de

projeto matriciais em um computador digital.


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Outro fator importante o seguinte. Enquanto a realimentao de estados (1.2) envolve a realimentao de todos os estados para todas as entradas, no oferecendo nenhuma estrutura no sistema de controle, a lei de controle realimentao da sada (1.7) pode ser usada para projetar um compensador com uma estrutura dinmica desejada, recuperando muito da intuio de projeto de controles clssico. Leis de realimentao como (1.2) e (1.7) so chamadas estticas, j que os ganhos de controle so constantes, ou no mximo variantes no tempo. Uma alternativa para realimentao de sada esttica usar um compensador dinmico da forma dz/dt = Fz + Gy + Eu (1.8) u = Hz + Dy As entradas deste compensador so as entradas e sadas do sistema. Isto rende uma malha fechada que chamada realimentao de sada dinmica. O problema de projeto selecionar as matrizes F, G, E, H, D para bom desempenho de malha fechada. Um resultado importante do controle moderno que a estabilidade de malha fechada pode ser garantida selecionando F = A LC para alguma matriz L que computada usando uma equao de projeto de Riccati semelhante a (1.5). As outras matrizes em (1.8) so, ento, determinadas facilmente. Este projeto est baseado no vital princpio da separao. Uma desvantagem com o projeto que usa F = A LC , ento, que o compensador dinmico tem o mesmo nmero de estados internos que a pl

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