522 termodinamica ita

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resumo preparatorio ita

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  • Projeto Rumo ao ITA Pgina 1

    Este material visa apresentar todo o assunto sobre termodinmica da prova do

    ITA. Recomendamos que o leitor tenha uma noo sobre a teoria de gases, cujo material tambm se encontra no site do Rumo ao ITA, pois esse material ir partir de alguns conhecimentos bsicos de transformaes gasosas. Bom estudo!

    1. Energia interna A energia interna de um gs a soma de todas as suas energias cinticas com as energias potenciais de uma amostra. Essa energia potencial em grande parte devido energia potencial eltrica das ligaes qumicas entre as molculas e tambm a energia dos ncleos atmicos, alm de existir tambm a energia advinda da frmula de Einstein, . Aqui, vale ressaltar que essa amostra pode ser slida, lquida, gasosa ou uma mistura de fases! Porm, daremos nfase em sistemas gasosos. Como essa energia tambm medida atravs de um referencial (pois o potencial eltrico, por exemplo, depende do referencial), no trabalhamos com o valor absoluto dela e sim com suas variaes. Para o modelo de gs ideal, sabe-se que a interao entre molculas nula, portanto, nesse tipo de gs, a energia interna devido soma da energia cintica de cada molcula. Essa energia cintica no somente a energia cintica de translao, sendo tambm constituda de energia de rotao e vibrao das molculas. Tomemos como o exemplo um gs monoatmico, como o hlio, He. Se supormos a idealidade desse gs, a energia interna desse gs to somente a soma das energias cinticas de translao, pois a rotao do gs monoatmico dotada de bem pouca energia, pois, segundo a frmula do momento de inrcia:

    Rotao Vibrao

    Termodinmica Gabriel Jos Guimares Barbosa

  • Projeto Rumo ao ITA Pgina 2

    O I (momento de inrcia) bem pequeno para um tomo que gira em torno de um eixo que passa pelo seu centro. Analogamente, no h tambm um movimento de vibrao, pois ele ocorre em ligaes qumicas, ou seja, em molculas (que possuem mais de um tomo). Agora considere um tomo diatmico, como o oxignio, O2. Essa molcula, alm de apresentar o movimento de translao, ela apresenta tambm o movimento de rotao da molcula em torno de um eixo que passa pelo seu de massa. Fora isso, h o movimento vibracional devido ligao qumica existente entre os tomos dessa molcula, o que aumenta ainda mais a energia interna da molcula de oxignio. A energia interna um conceito importante no desenvolver deste material, como veremos no prximo tpico, que falar sobre a 1 Lei da Termodinmica. Para fins de smbolo, a energia interna ser representada pela letra U.

    2. 1 Lei da Termodinmica A 1 Lei da Termodinmica nada mais do que a aplicao do princpio da conservao da energia. Basicamente, ela diz que o calor envolvido numa transformao qualquer de um sistema ser igual variao da energia interna de do sistema e o trabalho envolvido nesse sistema. Matematicamente, escrevemos:

    Aqui, o sistema pode ser qualquer um, desde que possamos definir o que est contido no sistema e o que est fora do sistema, no qual este tambm chamamos de ambiente. Vamos adotar a seguinte conveno de sinais:

    i e e i ie e

    i e f e ei ie e

    Esse trabalho pode vir das mais variadas formas: pode ser um trabalho devido a um potencial eltrico, magntico ou mecnico. Como dito anteriormente, nosso foco ser os gases, em que o trabalho mais comum o trabalho mecnico, do tipo de expanso/compresso do sistema gasoso.

    3. Trabalho de expanso/compresso Neste tpico, vamos discutir qualitativa e quantitativamente o trabalho de expanso ou compresso de um sistema gasoso. Considere a figura abaixo, onde a presso somente a atmosfrica.

  • Projeto Rumo ao ITA Pgina 3

    Observe que o mbolo ir subir uma altura . Sabemos que:

    Assim:

    P( h) Mas (variao do volume). Assim:

    Observe que se:

    , o sistema ir realizar trabalho sobre o ambiente, ou seja, ir se expandir, portanto,

    o sistema ir sofrer trabalho do meio ambiente, ou seja, ir se comprimir, portanto, .

    Graficamente, em um grfico de presso versus volume, o trabalho obtido pela rea sob o grfico! A explicao disso vem do seguinte. Imagine que variamos uma pequena quantidade de volume, que chamamos de . O trabalho realizado presso P(aqui essa presso no necessariamente constante!) dessa variao de volume dada por:

    Se fizermos o tender a zero, teremos um trabalho para uma variao infinitesimal de volume, ou seja, uma variao pequena de volume, cuja representao a seguinte:

    i

    Onde (tambm chamado de infinitesimal) o trabalho correspondente dessa pequena variao de volume. Se somarmos essas pequenas de variaes de volume at termos a variao total de volume, obteremos o trabalho total. Logo:

  • Projeto Rumo ao ITA Pgina 4

    i

    Interpretando essa frmula graficamente, ela a soma da rea sob o grfico.

    O trabalho numericamente igual rea sob o grfico

    Obs.1: 1) A frmula da acima com o somatrio , na verdade uma integral, representada da seguinte forma:

    A interpretao a mesma. O trabalho total a rea sob o grfico. 2) Vale ressaltar que se o gs est indo de um volume Vi maior que o volume Vf o gs sofrendo trabalho do meio, ou seja, o trabalho ser negativo! Exerccio 1: (ITA -2006) Um moI de um gs ideal ocupa um volume inicial Vo temperatura To e presso Po, sofrendo a seguir uma expanso reversvel para um volume V1. Indique a relao entre o trabalho que realizado por: (i) W(i), num processo em que a presso constante. (ii) W(ii), num processo em que a temperatura constante. (iii) W(iii), num processo adiabtico.

  • Projeto Rumo ao ITA Pgina 5

    Resoluo: Do exposto na teoria acima, vimos que o trabalho maior quanto maior for rea sob o grfico de presso por temperatura. Observe que a alternativa D), a relao vlida, pois a rea sob o grfico de (i) > rea sob o grfico de (ii) > e g fic de ( iii) W(i) >W(ii) > W(iii). Na alternativa C, todos os trabalhos so negativos, pois se tratam de compresso. A relao indicada vlida para o mdulo dos trabalhos e no para o trabalho em si, pois W(i) o mais negativo, portanto o menor.

    4. Funes de estado Nesta seo, vamos abordar um conceito importante na termodinmica, o de funo de estado. Imagine um gs monoatmico a uma temperatura T. Como fora deduzido no material de gases, a energia cintica desse gs :

    Observa-se que o gs monoatmico s possui o movimento de translao (para o nosso uso) e como estamos tratando de um gs ideal, ento a energia interna desse gs dada somente por essa energia cintica. Logo, obtemos assim:

  • Projeto Rumo ao ITA Pgina 6

    Observe que a energia interna funo exclusiva da temperatura para esse gs. Logo, se apenas soubermos a temperatura em que um gs se encontra, ento ser possvel determinar sua energia interna. Observao: A energia interna que descrevemos acima pode ser escrita de outra forma, em funo da presso e do volume. Seja um gs monoatmico, cuja energia interna dada por:

    Da equao de Clapeyron, tiramos que PV = nRT. Da:

    Em geral, funes que descrevem o estado em que se encontra o gs so denominadas funes de estado. A temperatura, a presso e volume so funes de estado, pois atravs delas sabemos como est o sistema. Essas funes independem do modo como o estado foi alcanado, e, consequentemente, obtemos uma propriedade importante das funes de estado. A variao de uma funo de estado depende apenas do seu estado final e do seu estado inicial Observe a energia interna do gs monoatmico acima funo de estado. Ela s depende da temperatura (que uma funo de estado) e independe de como se chegou essa temperatura. Se fizermos qualquer transformao do sistema e voltarmos temperatura T, como a dita acima, percebe-se que a variao da energia interna nula. Exerccio 2: (ITA - 2003) A figura mostra um recipiente, com mbolo, contendo um volume inicial Vi de gs ideal, inicialmente sob uma presso Pi igual presso atmosfrica, Pat. Uma mola no deformada fixada no mbolo e num anteparo fixo. Em seguida, de algum modo fornecida ao gs uma certa quantidade de calor Q. Sabendo que a energia interna do gs U = (3/2)PV, a constante da mola k e a rea da seo transversal do recipiente A, determine a variao do comprimento da mola em funo dos parmetros intervenientes. Despreze os atritos e considere o mbolo sem massa, bem como sendo adiabticas as paredes que confinam o gs.

  • Projeto Rumo ao ITA Pgina 7

    Resoluo: Primeiramente, vemos que a presso inicial dada por Pat. Aps receber um calor Q, suponha que o sistema tenha deslocado x para cima. Ento a variao de volume dada por . A presso que estar sobre o mbolo dada por:

    ( )

    De posse dessas informaes, calculemos a variao da energia interna, utilizando a frmula obtida na seo acima:

    ( )

    ( )

    ( )

    O trabalho realizado soma do trabalho da mola mais o trabalho da atmosfera:

    ( )

    De posse de (ii) e (iii), vamos utilizar a 1Lei da Termodinmica:

  • Projeto Rumo ao ITA Pgina 8

    Observe que temos uma equao do segundo grau em x, com duas razes. Queremos apenas a positiva, pois x ir deslocar para cima, ento dever ser positivo. Logo:

    Esse valor positivo pois o delta positivo e maior que o valor

    , por

    qu?

    5. Teorema de Equipartio da energia Nesta seo, vamos apenas utilizar o resultado do teorema de equipartio da energia para podermos calcular a energia de gases poliatmicos. Vamos enunci-lo abaixo: Cada grau de liberdade de um sistema contribui para energia total de u