5. mÉtodo iterativo de gauss (1).pdf
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15
MTODO ITERATIVO DE GAUSS-SEIDEL
Introduo :
Todo sistema apresentado da forma Ax = b pode ser reescrito, seguindo o algoritmo de Gauss-
Seidel, na forma equivalente x = Bx + d.
A partir da forma equivalente acima, podemos construir uma seqncia de vetores de x0 at xn da
seguinte forma:
x0 (Vetor arbitrrio)
x1 = Bx0 + d (Primeira iterao)
x2 = Bx1 + d (Segunda iterao)
x3 = Bx2 + d (Terceira iterao)
.
.
.
xn = Bxn-1 + d (n-sima iterao)
Caso esta seqncia apresente convergncia, ou seja, se nn
xlimx
, ela aceita o clculo
dBxdxlimBdBxlimxlimx 1nx
1nx
nx
, demonstrando ser x soluo do sistema.
Em linhas gerais, para determinarmos a soluo de um sistema, iteramos k vezes e verificamos se existe uma convergncia dos resultados obtidos, tal convergncia xk ser considerada um valor aproximado da soluo x. A diferena x - xk ser chamada de erro de truncamento.
Algoritmo iterativo de Gauss-Seidel :
Seja o sistema Ax = b de terceira ordem temos:
3333231
2232221
1131211
bzayaxa
bzayaxa
bzayaxa
Vamos agora dividir a resoluo deste sistema em trs passos bsicos...
1 Passo: Dividir todos os termos da primeira equao por a11 , dividir todos os termos da segunda
equao por a22 e assim por diante.
Logo temos:
33
3
33
33
33
32
33
31
22
2
22
23
22
22
22
21
11
1
11
13
11
12
11
11
a
bz
a
ay
a
ax
a
a
a
bz
a
ay
a
ax
a
a
a
bz
a
ay
a
ax
a
a
33
3
33
32
33
31
22
2
22
23
22
21
11
1
11
13
11
12
a
bzy
a
ax
a
a
a
bz
a
ayx
a
a
a
bz
a
ay
a
ax
.
-
16
2 Passo: Isolando x, y e z em cada linha respectivamente, temos:
33
3
33
32
33
31
22
2
22
23
22
21
11
1
11
13
11
12
a
bz0y
a
ax
a
az
a
bz
a
ay0x
a
ay
a
bz
a
ay
a
ax0x
.
3 Passo: Atribumos valores arbitrrios para x, y e z os quais sero identificados como x(0)
, y(0)
e
z(0)
, tais valores, so chamados de valores iniciais e em linhas gerais sero usados os
termos independentes de cada linha do sistema, logo temos :
33
3)0(
22
2)0(
11
1)0(
a
bz,
a
by,
a
bx . Cada grupo de novos valores de x, y e z que sero encontrados,
tero como base os ltimos valores anteriormente encontrados iterando-se cada linha do sistema
acima, da temos:
33
3)0()1(
33
32)1(
33
31)1(
22
2)0(
22
23)0()1(
22
21)1(
11
1)0(
11
13)0(
11
12)0()1(
a
bz0y
a
ax
a
az
a
bz
a
ay0x
a
ay
a
bz
a
ay
a
ax0x
33
3)1()2(
33
32)2(
33
31)2(
22
2)1(
22
23)1()2(
22
21)2(
11
1)1(
11
13)1(
11
12)1()2(
a
bz0y
a
ax
a
az
a
bz
a
ay0x
a
ay
a
bz
a
ay
a
ax0x
.
33
3)n()1n(
33
32)1n(
33
31)1n(
22
2)n(
22
23)n()1n(
22
21)1n(
11
1)n(
11
13)n(
11
12)n()1n(
a
bz0y
a
ax
a
az
a
bz
a
ay0x
a
ay
a
bz
a
ay
a
ax0x
.
Tais iteraes sero efetuadas at que seja encontrada a convergncia total, ou seja, os valores de
x, y e z duas iteraes imediatamente seguidas devem ser exatamente iguais um a um , da x(n)
=
x(n+1)
, y(n)
= y(n+1)
e z(n)
= z(n+1)
.
Vamos agora, ilustrar esta teoria com alguns exemplos prticos...
-
17
Exemplo 1
Encontre a soluo do sistema abaixo, pelo mtodo iterativo de Gauss-Seidel, utilizando duas
casa decimal depois da vrgula.
18z15yx2
8zy8x
9zy2x10
Resoluo:
1 Passo
Temos a11 = 10, a22 = 8 e a33 = 15.
Da :
15
18z
15
15y
15
1x
15
28
8z
8
1y
8
8x
8
110
9z
10
1y
10
2x
10
10
20,107,013,0
00,113,013,0
90,010,020,0
zyx
zyx
zyx
.
2 Passo
Isolando x, y e z em cada linha respectivamente, temos:
20,1007,013,0
00,113,0013,0
90,010,020,00
zyxz
zyxy
zyxx
.
3 Passo
Valores iniciais
20,1
00,1
90,0
)0(
)0(
)0(
z
y
x
1 Iterao
00,120,120,1003,107,098,013,0
03,100,120,113,000,1098,013,0
98,090,020,110,000,120,0)90,0(0
)1()1(
)1()1(
)1()1(
zz
yy
xx
2 Iterao
00,120,100,1000,113,001,113,0
00,100,100,113,003,1001,113,0
01,190,000,110,003,120,0)98,0(0
)2()2(
)2()2(
)2()2(
zz
yy
xx
-
18
3 Iterao
00,120,100,1000,113,000,113,0
00,100,100,113,000,1000,113,0
00,190,000,110,000,120,0)01,1(0
)3()3(
)3()3(
)3()3(
zz
yy
xx
4 Iterao
00,120,100,1000,113,000,113,0
00,100,100,113,000,1000,113,0
00,190,000,110,000,120,0)01,1(0
)4()4(
)4()4(
)4()4(
zz
yy
xx
Como temos x(3)
= x(4)
, y(3)
= y(4)
e z(3)
= z(4)
, respectivamente, dizemos que houve convergncia
e que portanto as solues aproximadas do sistema so:
00,1
00,1
00,1
)4()3(
)4()3(
)4()3(
zzz
yyy
xxx
.
Exemplo 2
Encontre a soluo do sistema abaixo, pelo mtodo iterativo de Gauss-Seidel, utilizando duas
casas decimais depois da vrgula.
6z9y3x2
5zy10x
4zy2x7
Resoluo:
1 Passo
Temos a11 = 7, a22 = 10 e a33 = 9.
Da :
9
6z
9
9y
9
3x
9
210
5z
10
1y
10
10x
10
17
4z
7
1y
7
2x
7
7
67,0zy33,0x22,0
50,0z10,0yx10,0
057z14,0y29,0x
.
2 Passo
Isolando x, y e z em cada linha respectivamente, temos :
67,0z0y33,0x22,0z
50,0z10,0y0x10,0y
57,0z14,0y29,0x0x
Portanto S = { ( 1,00 ; 1,00 ; 1,00 ) }
-
19
3 Passo
Valores iniciais
67,0z
50,0y
57,0x
)0(
)0(
)0(
1 Iterao
41,0z67,067,0037,033,062,022,0z
37,0y50,067,010,050,0062,010,0y
62,0x57,067,014,050,029,0)57,0(0x
)1()1(
)1()1(
)1()1(
2 Iterao
40,0z67,041,0040,033,062,022,0z
40,0y50,041,010,037,0062,010,0y
62,0x57,041,014,037,029,0)62,0(0x
)1()2(
)2()2(
)2()2(
3 Iterao
40,0z67,040,0040,033,063,022,0z
40,0y50,040,010,040,0063,010,0y
63,0x57,040,014,040,029,0)62,0(0x
)3()3(
)3()3(
)3()3(
4 Iterao
40,0z67,040,0040,033,063,022,0z
40,0y50,040,010,040,0063,010,0y
63,0x57,040,014,040,029,0)63,0(0x
)4()4(
)4()4(
)4()4(
Como temos x(4)
= x(3)
, y(4)
= y(3)
e z(4)
= z(3)
, respectivamente, dizemos que houve convergncia e
que, portanto as solues aproximadas do sistema so:
40,0zzz
40,0yyy
63,0xxx
)4()3(
)4()3(
)4()3(
.
DISPOSITIVO PRTICO DE GAUSS-SEIDEL
Os clculos que acabamos de realizar podem ser simplificados usando-se uma tabela que
discrimina os elementos do sistema, de forma a otimizar os clculos. Tal tabela conhecida pelo
nome de DISPOSITIVO PRTICO DE GAUSS-SEIDEL.
Vamos detalhar passo a passo a sua construo usando para isso o exemplo 1 ...
... Encontre a soluo do sistema abaixo, pelo mtodo iterativo de Gauss-Seidel, utilizando duas
casa decimal depois da vrgula.
Portanto S = { ( 0,63 ; 0,40; 0,40 ) }
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20
18z15yx2
8zy8x
9zy2x10
1 Passo
Temos a11 = 10, a22 = 8 e a33 = 15.
Da :
15
18z
15
15y
15
1x
15
28
8z
8
1y
8
8x
8
110
9z
10
1y
10
2x
10
10
20,107,013,0
00,113,013,0
90,010,020,0
zyx
zyx
zyx
.
2 Passo
Isolando x, y e z em cada linha respectivamente, temos:
20,1007,013,0
00,113,0013,0
90,010,020,00
zyxz
zyxy
zyxx
.
3 Passo
Valores iniciais
20,1
00,1
90,0
)0(
)0(
)0(
z
y
x
Note que at aqui nada mudou em relao resoluo sem o D.P.G-S. Vamos agora a construo
do dispositivo propriamente dito...
Tabela...
Usando o resultado do 2 Passo temos:
A prxima linha (Iterao 0) ser preenchida pelos valores iniciais, ou seja, os termos
independentes do 3 Passo ...
Linha x y z Termo indep. ( T.I )
L1 0 0,20 -0,10 0,90
L2 -0,13 0 0,13 1,00
L3 -0,13 -0,07 0 1,20
-
21
A prxima linha (Iterao 1 ) ser preenchida da seguinte forma:
O elemento x(1)
resultado da soma de cada elemento da linha L1 multiplicado pelo ltimo elemento
de cada coluna, este resultado somado ao termo independente da linha L1, ou seja:
x(1)
= 0.0,90 + 0,20.1,00 0,10.1,20 + 0,90 = 0,98
O elemento y(1)
resultado da soma de cada elemento da linha L2 multiplicado pelo ltimo elemento
de cada coluna, este resultado somado ao termo independente da linha L2, ou seja:
y(1)
= -0,10.0,98 + 0.1,00 + 0,13.1,20 + 1,00 = 1,03.
O elemento z(1)
resultado da soma de cada elemento da linha L3 multiplicado pelo ltimo elemento
de cada coluna, este resultado somado ao termo independente da linha L3, ou seja:
z(1)
= -0,13.0,98 0,07.1,03 + 0.1,20 + 1,20 = 1,00.
A prxima linha (Iterao 2 ) ser preenchida da seguinte forma:
Linha x y z Termo indep. (T.I )
L1 0 0,20 -0,10 0,90
L2 -0,13 0 0,13 1,00
L3 -0,13 -0,07 0 1,20
Valores Iniciais ( T.I ) 0,90 1,00 1,20 0
Linha x y z Termo indep. (T.I )
L1 0 0,20 -0,10 0,90
L2 -0,13 0 0,13 1,00
L3 -0,13 -0,07 0 1,20
Valores Iniciais ( T.I ) 0,90 1,00 1,20 0
0,98 1
Linha x y z Termo indep. (T.I )
L1 0 0,20 -0,10 0,90
L2 -0,13 0 0,13 1,00
L3 -0,13 -0,07 0 1,20
Valores Iniciais ( T.I ) 0,90 1,00 1,20 0
0,98 1,03 1
Linha x y z Termo indep. (T.I )
L1 0 0,20 -0,10 0,90
L2 -0,13 0 0,13 1,00
L3 -0,13 -0,07 0 1,20
Valores Iniciais ( T.I ) 0,90 1,00 1,20 0
0,98 1,03 1,00 1
Iteraes...
Iteraes...
Iteraes...
Iteraes...
-
22
O elemento x(2)
resultado da soma de cada elemento da linha L1 multiplicado pelo ltimo elemento
de cada coluna, este resultado somado ao termo independente da linha L1, ou seja:
x(2)
= 0.0,98 + 0,20.1,03 0,10.1,00 + 0,90 = 1,01
O elemento y(2)
resultado da soma de cada elemento da linha L2 multiplicado pelo ltimo elemento
de cada coluna, este resultado somado ao termo independente da linha L2, ou seja:
y(2)
= -0,13.1,01 + 0.1,03 + 0,13.1,00 + 1,00 = 1,00.
O elemento z(2)
resultado da soma de cada elemento da linha L3 multiplicado pelo ltimo elemento
de cada coluna, este resultado somado ao termo independente da linha L3, ou seja:
z(2)
= -0,13.1,01 0,07.1,00 + 0.1,00 + 1,20 = 1,00.
Assim respectivamente at a 4 iterao.
Como temos x(4)
= x(3)
, y(4)
= y(3)
e z(4)
= z(3)
, respectivamente, dizemos que houve convergncia
e que portanto as solues aproximadas do sistema so:
00,1
00,1
00,1
)4()3(
)4()3(
)4()3(
zzz
yyy
xxx
.
Linha x y z Termo indep. (T.I )
L1 0 0,20 -0,10 0,90
L2 -0,13 0 0,13 1,00
L3 -0,13 -0,07 0 1,20
Valores Iniciais ( T.I ) 0,90 1,00 1,20 0
0,98 1,03 1,00 1
1,01 2
Linha x y z Termo indep. (T.I )
L1 0 0,20 -0,10 0,90
L2 -0,13 0 0,13 1,00
L3 -0,13 -0,07 0 1,20
Valores Iniciais ( T.I ) 0,90 1,00 1,20 0
0,98 1,03 1,00 1
1,01 1,00 2
Linha x y z Termo indep. (T.I )
L1 0 0,20 -0,10 0,90
L2 -0,13 0 0,13 1,00
L3 -0,13 -0,07 0 1,20
Valores Iniciais ( T.I ) 0,90 1,00 1,20 0
0,98 1,03 1,00 1
1,01 1,00 1,00 2
Iteraes...
Iteraes...
Iteraes...
Portanto S = { ( 1,00 ; 1,00 ; 1,00 ) }
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23
Exerccios:
Resolva os sistemas abaixo, pelo M.I.G-S, utilizando o D.P.G-S, usando, durante os clculos,
DUAS CASAS decimais aps a vrgula.
1 )
2z5yx
3z4y10x
2zy3x10
S = { ( 0,29; -0,44; -0,43 ) }
2 )
12z7y3x2
4zy4x
5z2y2x5
S = { ( 1,00; 1,00; 0,99 ) }
3 )
0w5zyx
1w2z15y3x2
2wzy8x
1w4z3y2x10
S = { ( 0,23; -0,19; 0,15; -0,11 ) }
4)
1z3y2x7
6zy4x2
11zy4x3