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ESTUDO DA REDUÇÃO DE ARRASTO EM ESCOAMENTO TURBULENTO DE FLUIDOS

LEI DE POTÊNCIA EM TUBULAÇÕES LISAS

Roberto Lopes Valle

Rio de Janeiro, RJ – Brasil

Agosto de 2017

Agradecimentos

Em primeiro lugar, tenho que agradecer à toda minha família, especialmente aos

meus pais, Cesar e Fátima, por todo o apoio que sempre me ofereceram e por todos

os sacrifícios que fizeram - e ainda fazem - para que eu e meus irmãos tivéssemos

as melhores oportunidades na vida. Nunca poderei retribuir essa ajuda e carinho,

e sei que sem isso nunca teria chegado até aqui. Rodrigo e Taís, meus queridos

irmãos, obrigado por todo o carinho e por todo apoio. Vocês todos me ensinaram a

importância do amor incondicional, seja por alguém ou pelo que você faz.

Além disso, também gostaria de agradecer a todos os professores que participa-

ram de minha formação, seja no Colégio de São Bento, na Ecole Centrale de Nantes

ou na Universidade Federal do Rio de Janeiro, e demais funcionários dessas insti-

tuições. Cada um deles foi, de alguma maneira, importante na minha formação.

Agradeço em especial meu orientador, Daniel Onofre, por toda compreensão e pelo

suporte na realização desse projeto.

Dedico este trabalho também às tantas famílias que construí fora da minha casa,

mas com igual importância na minha vida. Primeiramente, à família de amigos

do Colégio de São Bento, meus caros irmãos beneditinos que sempre me acompa-

nharam e me apoiaram: Subão, Filipe, Zé, e tantos outros... Em seguida, a meus

queridos colegas de faculdade, que com o tempo se tornaram muito mais do que

isso: Léo, Vini, Carol, Nick, Paula, Vinícius, Gabi, Patrícia, Marina Mendes, Ma-

rina Hermano, Lucas, Thiago e Diego. Um agradecimento especial às amizades que

a cidade de Nantes forjou e que guardarei para a vida toda, minha família me-

tade brasileira - Dani, Felipe, Mineiro, Capixa, Wanessa, Olivia, Façanha, Kusdra,

Marcela, Elisa, Pedro, Raisa, Ju, Marie, Renatinha e Angelo - e metade francesa -

iv

coucou, Samou, Nathan, Jo, Théo, Hippo, David, Rémi, Bubu, Marielle, Guillaume,

Matthieu, Mathilde, Inès, Romain! Finalmente, às três pessoas que não pertencem a

nenhum grupo acima, mas que são igualmente importantes na minha história: Mari,

Coutinho e Pedro.

Um agradecimento final aos meus chefes Cédric Borel e Florence Tardy, por toda

a paciência e por terem aceitado compartilhar todo seu conhecimento do mundo

profissional com um jovem estagiário.

v

RESUMO

ESTUDO DA REDUÇÃO DE ARRASTO EM ESCOAMENTO TURBULENTO

DE FLUIDOS LEI DE POTÊNCIA EM TUBULAÇÕES LISAS

Roberto Lopes Valle

Agosto/2017

Orientador: Daniel Onofre de Almeida Cruz, Ph.D.

Escoamentos de fluidos são encontrados em abundância tanto em inúmeros fenô-

menos da natureza quanto dentro na indústria. Esses fluidos podem ser classificados

em duas categorias, de acordo com sua viscosidade: os fluidos newtonianos e os não-

newtonianos - estes últimos menos comuns, porém de grande interesse prático pois

conseguem reduzir o arrasto no escoamento turbulento, assim otimizando o consumo

de energia envolvido. Este trabalho se concentrará em estudar o regime plenamente

turbulento no caso de escoamento de fluidos não-newtonianos em tubos lisos.

Fluidos não-newtonianos podem apresentar diversas modelagens matemáticas

diferentes, dentre as quais podemos destacar o comportamento do tipo “power-law”,

ou Lei de Potência. Devido ao comportamento variável da viscosidade de um fluido

viscoelástico, seu escoamento não se segue o padrão newtoniano.

No decorrer deste texto, fazemos uma introdução à teoria existente de escoa-

mento de fluidos não-newtonianos modelados pela Lei de Potência, que deriva em

grande parte da teoria newtoniana. Em seguida, com base nos conhecimentos apre-

sentados, realizamos um estudo de previsão do início do escoamento plenamente

turbulento. Finalmente, este estudo propõe uma equação de previsão do número e

Reynolds generalizado para a transição, calibrada e avaliada com base em resultados

experimentais de diferentes autores.

Palavras-chave: fluidos não-newtonianos, Lei de Potência, turbulência, atrito

vi

ABSTRACT

ESTUDO DA REDUÇÃO DE ARRASTO EM ESCOAMENTO TURBULENTO

DE FLUIDOS LEI DE POTÊNCIA EM TUBULAÇÕES LISAS

Roberto Lopes Valle

Agosto/2017

Advisor: Daniel Onofre de Almeida Cruz, Ph.D.

Fluid flow is all around us and in great abundance, both in natural phenomenons

as well as in industry. Fluids can be classified into two categories, according to their

viscosity: Newtonian and non-Newtonian fluids - the latter being less common in

nature, but of great practical interest because they can reduce drag in turbulent flow,

therefore optimizing the consumption of energy. This work will focus on studying

the fully turbulent regime for non-Newtonian flow through smooth pipes.

Non-newtonian fluids can be modeled by many different mathematical approaches,

from which we can choose the “power-law” behaviour. Due to the variable behaviour

of the viscosity for a viscoelastic fluid, its flow does not follow the Newtonian pattern.

Throughout this text, we introduce the existing theory for "power-law"non-Newtonian

fluid flow, which derives from Newtonian theory of fluid flow. After that, based on

our theoretical knowledge, we study the transition to fully turbulent flow. Finally,

this study proposes an equation to predict the generalized Reynolds number for the

transition point, calibrated and compared to experimental data provided by different

researchers.

Keywords: non-Newtonian fluids, power-law, turbulence, friction

vii

Lista de Figuras

Figura 1.1: Desenho de Leonardo da Vinci. Nota-se aqui noções primitivas

de zonas de turbulência, vórtices e esteira (atrás de um obstáculo). 2

Figura 1.2: Exemplos de fluidos não-newtonianos: o sangue e a pasta de dente. 3

Figura 2.1: Efeito da presença da tensão cisalhante no escoamento de um

fluido. Fonte: https://figures.boundless-cdn.com/10424/large/figure-

201.jpeg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Figura 2.2: Possíveis gráficos para a relação τ vs γ̇xy . . . . . . . . . . . . . . 8

Figura 2.3: Perfil de velocidade para fluidos newtonianos em regime turbu-

lento dentro de tubos circulares lisos. Esboço fora de escala. . . . 12

Figura 2.4: Comparação do perfil de velocidade para diferentes fluidos sob

regime turbulento dentro, em escala logarítmica. . . . . . . . . . . 13

Figura 2.5: Valores para ReMR crítico de transição (fim do regime laminar).

Em preto, Ryan e Johnson, e em vermelho, Mishra e Tripati. . . . 14

Figura 2.6: Gráfico de Virk para determinar o inicio do fenômeno de redução

do arrasto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Figura 2.7: Curvas de Dodge-Metzner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Figura 2.8: Curvas de Anbarlooei, Cruz, Ramos e Silva Freire. . . . . . . . . . 19

Figura 2.9: Curvas de Hemeida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

viii

Figura 3.1: Gráficos de fator de atrito vs número de Reynolds generalizado

para diferentes valores do índice n. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Figura 3.2: Comparação da equação de Anbarlooei, Cruz, Ramos e Silva

Freire com diferentes dados experimentais. . . . . . . . . . . . . . 26

Figura 3.3: Valores para ReMR crítico de transição. . . . . . . . . . . . . . . . 28

Figura 4.1: Valores corrigidos pelas equações 2.11 e 2.12 para ReMR crítico

de transição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Figura 4.2: Valores corrigidos pela equação 2.20 para ReMR crítico de transição. 34

ix

Lista de Tabelas

Tabela 3.1: Tabela dos valores teóricos previstos pelo código. . . . . . . . . . 27

Tabela 3.2: Tabela comparativa entre valores teóricos calculados pelo código

e valores medidos em laboratório. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Tabela 3.3: Teste de Virk para determinar se o escoamento já apresenta sinais

de redução de arrasto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Tabela 4.1: Tabela comparativa entre valores previstos pelo modelo e valores

calculados pela equação 2.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

x

Lista de Símbolos

Re Número de Reynolds

ReMR Número de Reynolds generalizado (por Dodge-Metzner)

f Fator de atrito de Fanning

n Índice Lei de Potência do fluido

ρ Massa específica do fluido

τ Tensão cisalhante

γ̇ Taxa de deformação por cisalhamento

U Velocidade média do escoamento

µ Viscosidade dinâmica

η Viscosidade aparente

D Diâmetro do tubo

F Força cisalhante

A Área de contato

~V Vetor velocidade da partícula de fluido

u Componente da velocidade no eixo x

~g Vetor aceleração da gravidade

gx Componente da aceleração da gravidade no eixo x

~P Campo de pressão

xi

Sumário

Agradecimentos iv

Resumo vi

Abstract vii

Lista de Figuras viii

Lista de Tabelas x

Lista de Símbolos xi

1 Introdução 1

1.1 História . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Fundamentos Teóricos e Metodologia 6

2.1 Fluidos não-newtonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.2 Fluidos Lei de Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

xii

2.2 Escoamento de Fluidos Não-Newtonianos . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1 Equações de Navier-Stokes e o escoamento de fluidos newto-

nianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.2 Transição de regime de escoamento . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.3 Número de Reynolds generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.4 Fator de atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Relações entre número de Reynolds generalizado e fator de atrito de

Fanning em regime turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.1 Relação de Dodge-Metzner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.2 Relação de Anbarlooei, Cruz, Ramos e Silva Freire . . . . . . 19

2.3.3 Relação de Hemeida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4 Metodologia do estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Resultados e Análise 23

3.1 Comparação entre diferentes relações . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Validação com dados experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3 Código MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.4 Discussão dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Calibração do modelo 31

4.1 Utilização de fatores de proporcionalidade . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Utilização da equação de Hemeida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5 Conclusão e Sugestões 35

Referências 37

xiii

A Codigo MATLAB 39

A.1 Determinação de ReMRcritico para a interseção de curvas . . . . . . . . 39

A.2 Calibração com fatores de proporcionalidade . . . . . . . . . . . . . . 40

A.3 Calibração com a equação de Hemeida . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

xiv

Capítulo 1

Introdução

1.1 História

É impossível determinar com precisão o início do desenvolvimento da disciplina

Mecânica dos Fluidos. Sabe-se, contudo, que ela data das primeiras civilizações

na Terra. Desde sua origem, os pesquisadores estavam interessados pelos aspectos

práticos e teóricos deste campo de conhecimento.

Considera-se que os primeiros tratados do assunto foram os escritos sobre flutu-

ação e empuxo de Arquimedes no século III AC [1]. Desde então, inúmeros pesqui-

sadores já deram suas contribuições para a área. Sextus Julius Frontinus escreveu

no século I DC um tratado sobre os métodos romanos de distribuição de água utili-

zados na construção de aquedutos. Durante o Renascimento, podemos destacar os

trabalhos de Leonardo da Vinci (1452-1519), que deduziu a equação de conservação

de massa em um escoamento, assim como produziu experimentos que comprovassem

suas teorias. Já no século XVII, Isaac Newton (1642-1727) postulou várias leis de

movimento da matéria, e particularmente sobre o movimento de fluidos viscosos.

1.1. HISTÓRIA 2

Figura 1.1: Desenho de Leonardo da Vinci. Nota-se aqui noções primitivas de zonas

de turbulência, vórtices e esteira (atrás de um obstáculo).

Depois destas descobertas, a Mecânica dos Fluidos teve grande desenvolvimento

a partir do século XVIII com Henri de Pitot, Daniel Bernoulli, Leonhard Euler

e Jean d’Alembert, entre outros, que deram múltiplas contribuições para a teoria

físico-matemática do escoamento viscoso e para as técnicas de medição.

Ludwig Prandtl, por sua vez, é considerado o pai da Mecânica dos Fluidos Mo-

derna [2]. Ele foi responsável pela unificação das diversas teorias existentes com

a introdução do conceito de camada limite, em 1904, com seu trabalho "On the

motion of a fluid with very small viscosity". Seu aluno, Paul Richard H. Blasius,

conseguiu em 1913 resolver analiticamente as equações da camada limite, além de

formular uma equação para o fator de atrito de escoamento turbulento em tubos.

Não foi até meados do século XX que o estudo de fluidos não-newtonianos ganhou

força e se desenvolveu, com uma descoberta do químico britânico Toms em 1948 [3]:

o escoamento turbulento de fluidos viscoelásticos em dutos apresenta menor atrito

entre fluido e parede (se comparado ao de um fluido newtoniano com mesmo número

de Reynolds). Este fenômeno é conhecido como redução do arrasto e, apesar de todos

os esforços da comunidade científica, sua compreensão absoluta é, ainda hoje, muito

limitada. Um dos motivos para isso é a dificuldade em comprovar experimentalmente

as teorias existentes para o mecanismo.

Apesar disso, trabalhos recentes de PINHO (2003), CRUZ et al. (2004) e RE-

SENDE et al. (2006) apresentaram modelos físico-matemáticos para a turbulência

de fluidos viscoelásticos, capazes de prever certos parâmetros do escoamento, como

1.2. MOTIVAÇÃO 3

fator de fricção e velocidade média, aumentando o entendimento do fenômeno e

dando novas pistas de investigação para o assunto. [4]

1.2 Motivação

Fluidos não-newtonianos são objeto de estudo simultaneamente da Hidrodinâ-

mica e da Reologia, uma vez que apresentam um escoamento complexo visto com

pouca frequência na natureza, situado entre o estado sólido e líquido (newtoniano)

da matéria.

Em seu livro "Elementary Rheology", o autor Scott Blair cita alguns exemplos

cotidianos de fluidos não-newtonianos: plásticos derretidos, leites com alto percen-

tual de gordura, tintas, asfalto (no estado líquido) e esgoto (liquido misturado a

partículas sólidas). Pesquisas mais recentes apontam alguns outros exemplos, tanto

de fluidos biológicos, como o sangue, o citoplasma e a saliva, quanto sintéticos, como

os detergentes e as pastas de dente. [5]

Figura 1.2: Exemplos de fluidos não-newtonianos: o sangue e a pasta de dente.

Além destes exemplos, não podemos esquecer de fluidos de interesse prático

para a engenharia, como fluidos lubrificantes e petróleo bruto extraído de poços de

perfuração.

O fenômeno de redução do arrasto tem diversas aplicações práticas. Por exemplo,

1.3. OBJETIVOS 4

a injeção de fluidos não-newtonianos nas bordas de meios de transportes imersos em

líquidos, como navios ou submarinos, e a adição de partículas de boro ou magnésio

em combustíveis aéreos a fim de otimizar a energia necessária para o impulso. [6]

Muitas aplicações práticas de fluidos não-newtonianos estão ligadas ao escoa-

mento em canais fechados (escoamento interno) como tubulações. Estudar com

profundidade este tipo de escoamento e os fenômenos específicos gerados, como a

redução do arrasto sob regime turbulento, nos permite otimizar os processos depen-

dentes destes fluidos.

Como falado anteriormente, vários físicos e engenheiros têm concentrado suas

pesquisas neste domínio. Isto significa que, ao longo das décadas, várias teorias

físicas e equações descritivas diferentes foram propostas. É de nosso interesse, por-

tanto, comparar as diversas relações existentes a fim de extrair conclusões que nos

ajudem a melhor descrever estes escoamentos tão complexos.

1.3 Objetivos

O objetivo deste trabalho é estudar o escoamento de um fluido não-newtoniano

dentro de uma tubulação lisa. Mais especificamente, vamos estudar o ponto - ou a

faixa - onde o regime torna-se plenamente turbulento, sendo este de especial interesse

pois sabe-se que a partir dele o efeito de redução do arrasto estará atuando.

Nosso estudo é baseado na relação entre o fator de atrito de Fanning e o número

de Reynolds generalizado característico do escoamento. Utilizamos, também, dados

experimentais recolhidos de diversos autores de modo a comprovar o funcionamento

da equação de previsão proposta ao final do trabalho.

Em suma, desejamos ao fim deste texto:

• apresentar parte da teoria existente de fluidos não-newtonianos, tomando dela

os princípios físicos e matemáticos que nos permitem estudar mais a fundo o

fenômeno da turbulência;

1.3. OBJETIVOS 5

• desenvolver uma equação de previsão do número de Reynolds - ou da faixa de

valores - para o(s) qual(is) o regime torna-se plenamente turbulento; e

• comprovar seu funcionamento, usando resultados experimentais de diferentes

pesquisas.

Capítulo 2

Fundamentos Teóricos e Metodologia

2.1 Fluidos não-newtonianos

2.1.1 Definição

Um fluido pode ser definido como "qualquer substância que se deforma continu-

amente sob a aplicação de uma tensão de cisalhamento (tangencial) não importa o

quão pequena ela possa ser". [7]

Figura 2.1: Efeito da presença da tensão cisalhante no escoamento de um fluido.

Fonte: https://figures.boundless-cdn.com/10424/large/figure-201.jpeg

A distinção entre um sólido rígido e um fluido reside no comportamento temporal

quando há aplicação de tensão: enquanto o sólido apresenta uma taxa de deformação

constante proporcional à tensão aplicada, o fluido possui uma taxa de deformação

que aumenta continuamente enquanto a tensão estiver sendo aplicada. Dizemos

então que o fluido está em escoamento. Isto nos da uma definição alternativa para

2.1. FLUIDOS NÃO-NEWTONIANOS 7

o conceito de fluido: substância incapaz de suportar tensão de cisalhamento quando

em repouso.

Fazendo uma analogia entre Mecânica dos Sólidos e Mecânica dos Fluidos, po-

demos introduzir o conceito de viscosidade: similar ao conceito de elasticidade de

um sólido, a viscosidade é a razão entre a tensão de cisalhamento e a velocidade de

deformação por cisalhamento.

η =τxyγ̇xy

=(F/A)

(du/dy)(2.1)

O estudo do escoamento de diferentes fluidos levou cientistas a descobrirem que

a viscosidade η não é sempre constante. Na realidade, ela varia de acordo com

propriedades físicas do fluido (como a temperatura) ou características do escoamento

(como a taxa de variação temporal de cisalhamento). Cabe, portanto, fazer uma

classificação para os fluidos de acordo com sua viscosidade:

• Fluidos newtonianos: apresentam viscosidade absoluta (ou dinâmica) cons-

tante mi (a uma certa temperatura e pressão).

• Fluidos não-newtonianos: não apresentam viscosidade absoluta, ou apresen-

tam viscosidade variável eta.

Em outras palavras, fluidos newtonianos são inelásticos e são meramente dissi-

pativos. Dado que a viscosidade para um fluido newtoniano é constante, pode-se

escrever a Lei de Newton da viscosidade para um escoamento unidimensional como

segue:

τw = µdu

dy(2.2)

2.1.2 Fluidos Lei de Potência

Existem diversas maneiras de modelar matematicamente o comportamento de

um fluido não-newtoniano. Escolhemos adotar neste trabalho a definição de um

fluido "power-law", ou Lei de Potência, na qual a tensão de cisalhamento em esco-

amento unidimensional segue um comportamento exponencial.

τw = κ(du/dy)n (2.3)

2.1. FLUIDOS NÃO-NEWTONIANOS 8

Este modelo foi introduzido por Ostwald de Waele na década de 1920 e ainda é

utilizado até hoje por sua simplicidade e por se adaptar de maneira muito satisfatória

aos dados experimentais.

Note que, com certa manipulação matemática, podemos escrever uma relação

direta entre a tensão e a taxa de deformação do fluido:

τw = κ|du/dy|n = κ|du/dy|n−1|du/dy| = η.|du/dy| (2.4)

O termo η = κ(du/dy)n−1 é chamado de viscosidade aparente do fluido. Fica então

mostrado que a viscosidade de um fluido não-newtoniano depende sempre da taxa

de cisalhamento.

O valor do índice n pode ser determinado a partir de dois métodos gráficos

distintos: seja a partir da curva de tensão cisalhante vs taxa de deformação do fluido

ou utilizando a curva de viscosidade aparente vs taxa de deformação do fluido. O

valor de n deve ser calculado pela inclinação da reta resultante quando os gráficos

estiverem em escala logarítmica. Se a reta tem inclinação constante, a viscosidade

também o é e temos um fluido newtoniano (n=1).

No gráfico seguinte de tensão por taxa de deformação, vemos que existem outras

maneiras possíveis de modelar um fluido:

Figura 2.2: Possíveis gráficos para a relação τ vs γ̇xy

2.2. ESCOAMENTO DE FLUIDOS NÃO-NEWTONIANOS 9

• a curva 1 apresenta comportamento linear, descrevendo o comportamento de

fluidos newtonianos (razão tensão por taxa de deformação constante).

• a curva 2 apresenta comportamento exponencial para n>1 e descreve o com-

portamento de fluidos dilatantes (não-newtonianos).

• a curva 3 apresenta comportamento exponencial para n<1 e descreve o com-

portamento de fluidos pseudoplásticos (não-newtonianos).

• a curva 4 apresenta comportamento linear, porém com uma tensão de cedência

interna no fluido, sendo conhecido como modelo de fluido plástico de Bingham.

• a curva 5 apresenta comportamento exponencial para n>1 e tensão de cedên-

cia, levando o nome de modelo de Herschel-Bulkley.

Existe ainda uma outra classe de fluidos não-newtonianos, que não será tratada

neste projeto devido às suas muitas particularidades e à sua pequena represen-

tatividade na natureza. Trata-se dos fluidos tixotrópicos e reopéticos, ou fluidos

dependentes do tempo, isto é, eles podem apresentar diferentes viscosidades eta

quando submetidos a uma mesma tensão e tendo uma mesma taxa de deformação

instantânea.

2.2 Escoamento de Fluidos Não-Newtonianos

2.2.1 Equações de Navier-Stokes e o escoamento de fluidos newtonianos

O movimento de fluidos newtonianos é regido pelas equações de Navier-Stokes.

São baseadas no princípio de conservação de quantidade de movimento, enunciado

por Isaac Newton séculos antes da formulação formal do problema de escoamento

de fluidos.

ρD~V

Dt= ρ~g −∇~P + µ∇2~V (2.5)

Esta equação generalizada tem 4 tipos de termos:


• O primeiro, para caracterizar o efeito das forças inerciais do fluido;

• O segundo (primeiro do lado direito), para as forças de campo (como a força

gravitacional) que influenciam o escoamento;

• O terceiro, descrevendo o efeito do gradiente de pressão no escoamento; e

• O quarto e último termo, responsável por caracterizar o efeito das forças vis-

cosas do fluido.

Para um escoamento unidimensional, escrevemos:

ρ(u∂u

∂x) = ρgx −

∂P

∂x+ µ

∂2u

∂x2(2.6)

No caso de escoamento dentro de tubos, pode-se desprezar a força gravitacional

e o gradiente de pressão, que não produzem efeitos importantes. Restam, assim,

apenas dois tipos de termos na equação: o de caráter inercial e o de caráter viscoso.

É igualmente possível escrever esta equação em sua forma genérica, com termos

adimensionais. No caso estudado de escoamento unidimensional em tubos, devemos

adimensionalizar a velocidade u, dividindo-a pela velocidade média do escoamento

U, e a coordenada espacial x, dividindo-a pelo diâmetro D do tubo.

ρU2

D(u∗

∂u∗

∂x∗) =

µU

D2

∂2u∗

∂x∗2(2.7)

Simplificando a equação acima, temos uma versão generalizada na forma abaixo,

com um coeficiente adimensional da forma ρUD/µ.

ρUD

µ(u∗

∂u∗

∂x∗) =

∂2u∗

∂x∗2(2.8)

O estudo deste número adimensional foi primeiramente feito por Osborne Rey-

nolds. Assim, ele introduziu o número de Reynolds, que conceitualmente pode ser

explicado como a razão entre os esforços inerciais e os esforços viscosos no fluido. [8]

Re =ρUD

µ(2.9)


Este é o melhor parâmetro para avaliar o regime de escoamento de um fluido.

Observa-se que, se ele for muito baixo, podemos desprezar os efeitos inerciais e

o termo viscoso prevalece na equação de conservação de quantidade de movimento.

Temos, portanto, um escoamento no regime laminar. Caso contrário, o termo inercial

torna-se mais importante e ele pode ser da mesma ordem que o termo viscoso ou até

mesmo superior, levando-nos a negligenciar o caráter viscoso do escoamento. Assim,

temos um escoamento no regime turbulento.

Em escoamentos dentro de tubos, deve-se levar em conta outro fator muito im-

portante: sua rugosidade relativa interna. Quanto maior for a razão ε/R entre a

rugosidade e o raio do tubo, maior o fator de atrito entre fluido e parede.

Para fluidos não-newtonianos, há grande discordância entre os pesquisadores so-

bre os efeitos da rugosidade no escoamento turbulento. Portanto, para simplificar

nossa análise, consideramos neste trabalho a utilização exclusiva de tubos perfeita-

mente lisos.

2.2.2 Transição de regime de escoamento

Experimentalmente, percebeu-se que é impossível determinar um valor crítico

universal para a transição entre os regimes laminar e turbulento. Na realidade, pôde-

se ver que existe uma faixa de valores de transição de escoamento. Dentro dela, o

escoamento instantâneo pode ou não apresentar os primeiros sinais de turbulência.

É possível, porém, determinar se o escoamento deixou de ser plenamente laminar

ou se já adotou o regime plenamente turbulento ao analisar o perfil de velocidade

quando o regime está plenamente estabelecido.

O regime laminar é caracterizado por linhas de corrente paralelas entre si. O re-

gime turbulento, por sua vez, surge do movimento desordenado de partículas dentro

do fluido, provocado sobretudo por turbilhões internos de diversas magnitudes. Não

podemos definir as linhas de escoamento neste caso pois elas se misturam transver-

salmente de maneira aleatória a cada instante.

Dentro de tubos com escoamento em regime turbulento, foi demonstrado que o


perfil de velocidade interno do fluido pode ser estratificado em três regiões claramente

distintas:

Figura 2.3: Perfil de velocidade para fluidos newtonianos em regime turbulento

dentro de tubos circulares lisos. Esboço fora de escala.

• A subcamada viscosa, próxima à parede, onde os efeitos da turbulência são

negligenciáveis. O perfil da velocidade é linear nesta região.

• A zona tampão ou camada de transição, onde os efeitos viscosos e inerciais são

de mesma dimensão.

• A zona turbulenta, mais afastada da parede e predominante no centro da

tubulação, onde os efeitos viscosos podem ser negligenciados. Nesta zona, o

perfil de velocidade é logarítmico.

Como apontado anteriormente, um dos objetivos deste trabalho é desenvolver

um método para determinar o início do regime plenamente turbulento. O parâmetro

escolhido para esta análise, pelos motivos apresentados, será o número de Reynolds.

Todavia, como trata-se aqui de fluidos não-newtonianos, que não possuem um valor

de viscosidade absoluta definido, é necessário realizar uma modificação na fórmula.


2.2.3 Número de Reynolds generalizado

Metzner e Reed propuseram uma fórmula alternativa que é amplamente utili-

zada nos estudos de fluidos não-newtonianos, caracterizada por uma correção dos

parâmetros de velocidade e do diâmetro. [9]

ReMR =ρU2−nDn

K(2.10)

Este é conhecido como o número de Reynolds generalizado, pois pode descrever

qualquer fluido de índice Lei de Potência n conhecido, inclusive fluidos newtonianos,

fazendo n=1.

Bogue e Metzner [10] conseguiram provar que o escoamento turbulento de fluidos

não-newtonianos em tubos tem aproximadamente o mesmo perfil de velocidade que o

de fluidos newtonianos: a diferença reside na inclinação do perfil na zona turbulenta.

O perfil é logarítmico, porém a inclinação fica mais acentuada com a diminuição do

índice n (menos atrito provoca um aumento da velocidade).

Figura 2.4: Comparação do perfil de velocidade para diferentes fluidos sob regime

turbulento dentro, em escala logarítmica.

Para determinar a entrada na região de intermitência de escoamento, quando o


fluido deixa o regime plenamente laminar e apresenta os primeiros sinais de turbulên-

cia, Ryan e Johnson propuseram uma fórmula empírica para o número de Reynolds

crítico de fluidos pseudoplásticos. [11]

ReMRcrtico =6464n(2 + n)

2+n1+n

(1 + 3n)2(2.11)

De modo similar, Mishra e Tripati propuseram uma outra relação, que tem ótima

correlação com dados experimentais para 0,4<n<1,0.

ReMRcrtico =2100(2 + 4n)(5n+ 3)

3(1 + 3n)2(2.12)

Figura 2.5: Valores para ReMR crítico de transição (fim do regime laminar). Em

preto, Ryan e Johnson, e em vermelho, Mishra e Tripati.

Infelizmente, não podemos aplicar as fórmulas acima diretamente em nosso mé-

todo, pois elas não preveem quando o escoamento torna-se plenamente turbulento.

Contudo, elas apresentam um fator de especial interesse: o termo de proporcionali-

dade dependente de n, que será usado mais adiante na calibração do nosso método.


Para fluidos não-newtonianos, a transição entre o escoamento laminar e o tur-

bulento apresenta características diferentes.

Em suas pesquisas, Dodge e Metzner notaram que os valores de Re para o fim

do regime laminar são diferentes para diferentes índices n do fluido. O modelo

desenvolvido por estes autores prevê que, quanto menor o valor do índice n, maior

será o número de Reynolds crítico de entrada na região de transição de regimes. Eles

também apresentaram uma descrição qualitativa do que acontece se aumentarmos

gradualmente o número de Reynolds generalizado, sem mudar as características do

fluido ou do tubo e que é independente do valor de n.

Para baixos número de Reynolds, o perfil é laminar. Quando é alcançado o

primeiro valor crítico de Reynolds, nota-se, em certo momento, que o fator de atrito

aumenta (ao invés de diminuir seguindo a curva para o fator de atrito laminar).

Neste ponto, o regime entra na região de intermitência e o escoamento deixa de ser

laminar, sem ser ainda plenamente turbulento. Continuando a aumentar o número

de Reynolds, o fator de atrito atinge um valor máximo e depois volta a decrescer.

No presente estudo, consideramos que o ponto em que a curva do fator de atrito

atinge seu máximo - para um dado escoamento - como o ponto de início do escoa-

mento plenamente turbulento. Sabemos que, a partir deste ponto, o fator de atrito

decresce, ou seja, há atuação do mecanismo de redução de arrasto, típico do regime

turbulento.

Virk desenvolveu sua própria teoria para o início do escoamento plenamente

turbulento. [12]

Ela é baseada no ponto em que o regime de escoamento do fluido Lei de Potência

começa a se afastar do fluido newtoniano, como mostrado a seguir.


Figura 2.6: Gráfico de Virk para determinar o inicio do fenômeno de redução do

arrasto.

Na curva ReMR

√f vs. 1/

√f , vemos que o escoamento entra no regime turbu-

lento em ReMR

√f = 350, e que vemos a redução do arrasto atuando em torno de

ReMR

√f = 550± 50. Utilizaremos esta característica observada por Virk na etapa

de validação de resultados.

Adotando o número de Reynolds generalizado, podemos estudar agora o segundo

parâmetro de interesse: o fator de atrito.

2.2.4 Fator de atrito

A fim de medir o arrasto provocado devido ao escoamento de um fluido, o pes-

quisador John Thomas Fanning introduziu o conceito de fator de atrito, um número

adimensional relacionando a tensão cisalhante na parede à energia cinética do fluido.

Com este número, podemos dimensionar a fricção entre o fluido e a parede do meio

onde escoa (o tubo).

f =τ

12ρU2

(2.13)


Para regime laminar de um fluido newtoniano em dutos circulares, é fácil de-

monstrar que o fator de atrito é calculado pela relação:

f = 16/Re (2.14)

No entanto, para o regime turbulento, mais de uma relação matemática existe.

Blasius foi o primeiro a propor uma equação explicita relacionando fator de atrito

e número de Reynolds para fluidos newtonianos, em 1913. A maior ressalva quanto

a esta equação é sua limitada faixa de correspondência com os dados experimentais.

f = 0.079/Re14 (2.15)

Anos depois, os pesquisadores von Karman e Nikuradse desenvolveram uma re-

lação implícita entre fator de atrito de Fanning e número de Reynolds para fluidos

newtonianos de excelente correspondência com os dados experimentais, válida para

tubulações lisas.1√f= −0.4 + 4log(Re

√f) (2.16)

A dificuldade em sua utilização é o cálculo analítico do fator de atrito, sendo

conhecido o número de Reynolds característico do escoamento. Esta equação foi

derivada da equação proposta por Colebrook-White em 1939 para tubos quaisquer,

utilizada até hoje por engenheiros para prever o fator de atrito em um escoamento

interno. Como se sabe, a equação de Colebrook-White permitiu a criação do Ábaco

de Moody em 1944 e este diagrama ainda é o meio mais pratico de determinar o

fator de atrito em escoamento em tubos.

Dodge e Metzner conseguiram provar que a equação de fator de atrito para

escoamento laminar em tubos também é válida para fluidos não-newtonianos, desde

que seja usado o número de Reynolds generalizado.

f = 16/ReMR (2.17)

2.3. RELAÇÕES ENTRE NÚMERO DE REYNOLDSGENERALIZADO E FATOR DE ATRITO DE FANNING EMREGIME TURBULENTO 182.3 Relações entre número de Reynolds generalizado e fator

de atrito de Fanning em regime turbulento

2.3.1 Relação de Dodge-Metzner

Inspirados pela equação desenvolvida por von Karman e Nikuradse, Dodge e

Metzner desenvolveram uma relação empírica que tem boa correlação com os dados

experimentais apresentados em seu trabalho na faixa 0.6<n<1.0. [13]

1√f= − 0.4

n1.2+

4

n0.75log(

ReMR

f (n−2)/2) (2.18)

Esta também é uma relação implícita, porém, para utilizá-la, devemos necessa-

riamente conhecer o índice n.

Os diferentes perfis que a equação de Dodge-Metzner pode admitir são apresen-

tados a seguir.

Figura 2.7: Curvas de Dodge-Metzner.

2.3. RELAÇÕES ENTRE NÚMERO DE REYNOLDSGENERALIZADO E FATOR DE ATRITO DE FANNING EMREGIME TURBULENTO 19

Outras relações empíricas já foram propostas, trazendo pequenas variações à

equação de Dodge-Metzner e melhorando apenas relativamente (em certas faixas do

número de Reynolds) a correlação entre dados teóricos e experimentais. A relação

de Dodge-Metzner continua sendo a mais utilizada e apresenta baixa taxa de erro

médio de correlação com os dados experimentais, de aproximadamente 5,5%, como

demonstrado no trabalho de Hemeida (1993). [14]

2.3.2 Relação de Anbarlooei, Cruz, Ramos e Silva Freire

Em 2015, os pesquisadores Anbarlooei, Cruz, Ramos e Silva Freire desenvolveram

uma nova relação matemática para o cálculo do fator de atrito. [15]

f =1.0178(0.1− 0.0322n+ 0.00982

n)

Re1/(2n+2)MR

(2.19)

Os diferentes perfis para o valor atrito que esta equação pode admitir, variando

o valor de n, são exibidos a seguir.

Figura 2.8: Curvas de Anbarlooei, Cruz, Ramos e Silva Freire.

2.3. RELAÇÕES ENTRE NÚMERO DE REYNOLDSGENERALIZADO E FATOR DE ATRITO DE FANNING EMREGIME TURBULENTO 20

Qualitativamente, podemos ver que ela lembra a fórmula desenvolvida por Bla-

sius: é uma relação explícita para o cálculo do fator de atrito e que guarda a noção

de proporcionalidade ao número de Reynolds generalizado. Para n=1, as equações

são idênticas. Comparativamente, podemos dizer que ela é mais fácil de ser aplicada

do que a relação de Dodge-Metzner por ser explícita.

2.3.3 Relação de Hemeida

Esta relação também é de interesse especial para nosso estudo. O método por

trás de seu desenvolvimento tem forte caráter teórico, diferentemente da relação

de Dodge-Metzner, fazendo com que esta equação tenha um grau de complexidade

bem mais elevado. Além disso, ela apresenta mostra menor erro médio quando

comparamos os valores teóricos aos dados experimentais para uma longa faixa de

numero de Reynolds generalizado (4% de erro na mesma faixa de Dodge-Metzner).

1√f= 3.536− 392.081(

f

n)0.9013

− 305.624(f

n)0.9013[log(1−

√1− 14.142

ReMR

√f) +

√1− 14.142

(ReMR

√f] (2.20)

Figura 2.9: Curvas de Hemeida.

2.4. METODOLOGIA DO ESTUDO 21

2.4 Metodologia do estudo

Apresentaremos agora os detalhes de como a presente pesquisa foi realizada. Vale

lembrar que o trabalho desenvolvido tem por meta estudar o escoamento plenamente

turbulento de fluidos não-newtonianos do tipo Lei de Potência em tubos lisos. Os

parâmetros de interesse são, portanto, o número de Reynolds generalizado crítico do

inicio do escoamento plenamente turbulento do fluido, bem como o fator de atrito

de Fanning para o escoamento interno, com base na teoria apresentada no capítulo.

Um código MATLAB foi desenvolvido usando as três relações apresentadas entre

fator de atrito e número de Reynolds generalizado. Primeiramente, comparamos a

equação de Anbarlooei, Cruz, Ramos e Silva Freire à equação de Dodge-Metzner e

usamos os pontos de interseção entre elas, para cada valor de n, como o ponto de

transição do regime.

Esta ideia foi escolhida por ser a mesma utilizada no método desenvolvido por von

Karman e Nikuradse para estudar a transição de regime de escoamento em fluidos

newtonianos. Pode-se observar que na região em que as curvas são suficientemente

próximas (ou quando se interceptam), ambas as equações preveem valores próximos

(ou o mesmo valor) para o fator de atrito. Isto não significa que o regime tornou-

se plenamente turbulento neste ponto, mas é uma primeira pista de investigação

bastante útil.

Em seguida, avaliamos a correlação entre os dados experimentais publicados

por diversos autores e os valores calculados pelo código MATLAB. Interpretando

corretamente os resultados experimentais, poderemos determinar o ponto onde a

curva do fator de atrito atinge seu máximo relativo antes de continuar decaindo

para cada valor de n. Como explicado, adotaremos neste trabalho a hipótese de que

este máximo é o ponto de início do escoamento plenamente turbulento.

Visando a melhorar a correlação entre resultados experimentais e os teóricos,

usaremos as equações de Ryan e Johnson e de Mishra e Tripati para o número de

Reynolds de fim do escoamento laminar, assim como a equação de Hemeida para

o fator de atrito, para modificar a curva de pontos de transição. Esta fase será

2.4. METODOLOGIA DO ESTUDO 22

chamada de calibração do modelo.

Vale lembrar que é impossível determinar um único ponto de final da região de

intermitência, ou seja, de início do escoamento plenamente turbulento. Isto ocorre

pois existe uma faixa de transição para os valores de ReMR. Tentamos neste estudo

verificar a coerência das nossas hipóteses. Se validadas, elas podem ser base de um

trabalho futuro de estudo do fenômeno da redução de arrasto.

Capítulo 3

Resultados e Análise

No presente capítulo, serão apresentados os resultados obtidos conforme a teoria

explorada nos capítulos anteriores.

3.1 Comparação entre diferentes relações

Conhecendo as diferentes equações para determinar o coeficiente de atrito, va-

mos, num primeiro momento, estudar a relação entre as três fórmulas apresentadas.

Estudamos a faixa de 2000 < Re < 10000, pois sabemos que neste intervalo ocorre

a transição de regime. Em azul, temos a curva de Dodge-Metzner; em vermelho, a

curva de Anbarlooei, Cruz, Ramos e Silva Freire, e em verde, a curva de Hemeida.

(a) n=0.4 (b) n=0.5

3.1. COMPARAÇÃO ENTRE DIFERENTES RELAÇÕES 24

(c) n=0.6 (d) n=0.7

(e) n=0.8 (f) n=0.9

(g) n=1 (h) n=1.1

3.2. VALIDAÇÃO COM DADOS EXPERIMENTAIS 25

(i) n=1.2

Figura 3.1: Gráficos de fator de atrito vs número de Reynolds generalizado para

diferentes valores do índice n.

Vamos começar nossa análise pelas curvas de Dodge-Metzner e Anbarlooei, Cruz,

Ramos e Silva Freire. É possível notar que ambas as curvas apresentam o mesmo

perfil, porém com uma discreta diferença entre os valores para f: para n«1, a curva de

Anbarlooei, Cruz, Ramos e Silva Freire subestima os valores do coeficiente de atrito,

e a tendência lentamente se inverte (superestimação dos valores) com o aumento

progressivo de n.

Passando à curva de Hemeida, nota-se de imediato que esta curva subestima os

valores do coeficiente de atrito para qualquer faixa de Reynolds e qualquer valor de

n. Percebe-se também que esta diferença fica mais acentuada com o aumento de n.

3.2 Validação com dados experimentais

Anbarlooei, Cruz, Ramos e Silva Freire já mostraram que a equação proposta

por eles tem boa correlação com dados experimentais em seu trabalho publicado.

Abaixo, mostramos os gráficos comparando dados de outras pesquisas já publi-

cadas com os valores previstos pela equação 2.3.2 para o valor de n correspondente.

Além disso, em cada caso, fornecemos o valor de n para o fluido e o número de

3.3. CÓDIGO MATLAB 26

Reynolds que dá início ao regime plenamente turbulento (obtido pela análise dos

gráficos).

(a) Para n = 1, ReMR = 2900. Peixinho et al. [16] (b) Para n = 0.8, ReMR = 2800. Perona [17]

(c) Para n = 0.726, ReMR = 3100. Dodge [13] (d) Para n = 0.66, ReMR = 3300. Peixinho et al. [16]

Figura 3.2: Comparação da equação de Anbarlooei, Cruz, Ramos e Silva Freire com

diferentes dados experimentais.

3.3 Código MATLAB

A fim de determinar o ponto de interseção, ou seja, quando ambas as curvas

se cruzam, desenvolvemos um código MATLAB de comparação entre as relações de

Dodge-Metzner e de Anbarlooei, Cruz, Ramos e Silva Freire. O programa determina


o número de Reynolds generalizado para diversos valores de n no intervalo de 0,4 a

1,2.

O código de programação MATLAB desenvolvido para este projeto é apresen-

tado no apêndice deste texto. Neste capítulo, apenas serão mostrados os valores

determinados a partir do código para a previsão do início do regime plenamente

turbulento.

n fcrtico ReMRcrtico

0.4 0.0077 1910

0.45 0.0074 2475

0.5 0.0073 3014

0.55 0.0074 3420

0.6 0.0076 3624

0.65 0.008 3685

0.7 0.0083 3696

0.75 0.0086 3706

0.8 0.0089 3747

0.85 0.0092 3831

0.9 0.0094 3974

0.95 0.0096 4178

1.0 0.0096 4481

1.05 0.0097 4894

1.10 0.0096 5453

1.15 0.0095 6233

1.2 0.0094 7330

Tabela 3.1: Tabela dos valores teóricos previstos pelo código.


Figura 3.3: Valores para ReMR crítico de transição.

Observamos que a tendência da curva é crescente, ou seja, maiores valores de

n indicam maiores valores de ReMR para transição. Isto contradiz a previsão do

modelo Dodge-Metzner de que o valor de ReMR deveria diminuir.

Além disso, vemos que a previsão pela ideia da interseção não é eficaz para

n>1, pois vemos que que a curva adota um crescimento exponencial. Isto pode ser

explicado pela escassez de dados experimentais que Dodge-Metzner usaram para

desenvolver a equação de fator de atrito para esta faixa. Portanto, consideraremos a

partir de agora que a eficácia de nosso modelo será avaliada apenas para n<1 devido

à falta de dados de fluidos dilatantes que possamos usar para comprovar a precisão

das equações de atrito usadas.

3.4. DISCUSSÃO DOS RESULTADOS 29

3.4 Discussão dos Resultados

Nas pesquisas presentes neste capítulo, vemos uma correlação bastante satisfa-

tória entre dados experimentais e a formula de Anbarlooei, Cruz, Ramos e Silva

Freire. Entretanto, os valores calculados pelo código MATLAB não corroboram de

maneira aceitável os valores de Reynolds para a transição do regime medidos em

laboratório pelo critério estabelecido.

A tabela abaixo calcula o erro entre o valor previsto pelo código MATLAB e o

número de Reynolds encontrado experimentalmente.

n ReMR teórico ReMR experimental Erro (%)

1 4481 2900 49

0,8 3747 2800 33

0,726 3698 3100 19

0,66 3691 3300 12

Tabela 3.2: Tabela comparativa entre valores teóricos calculados pelo código e va-

lores medidos em laboratório.

Os valores esperados pelo modelo matemático desenvolvido pelo MATLAB são

muito superiores aos valores medidos experimentalmente. Podemos dar algumas

razões para este fato:

• Como já foi falado, a correlação de Dodge-Metzner é puramente empírica. Tra-

balhos recentes comprovam uma necessidade desta equação ser corrigida: ela

tende a superestimar os valores do fator de atrito (para fluidos pseudoplásti-

cos).

• No ponto de interseção, assumimos que o regime já é plenamente turbulento.

Todavia, isto não quer dizer que, para valores ligeiramente menores do número

de Reynolds, o escoamento não é turbulento também.

Vamos verificar a precisão dos resultados obtidos pelo modelo de acordo com o

princípio de Virk.

3.4. DISCUSSÃO DOS RESULTADOS 30

n ReMRcrtico teórico fcrtico teórico ReMRcrtico

√fcrtico

1 4481 0.0096 439

0,8 3747 0.0089 353

0,726 3698 0.0085 341

0,66 3691 0.0080 330

Tabela 3.3: Teste de Virk para determinar se o escoamento já apresenta sinais de

redução de arrasto.

De acordo com o critério de Virk, os valores previstos pelo modelo indicam que,

para os casos estudados, o escoamento não atingiu o regime plenamente turbulento .

Entretanto, sabemos que eles já apresentam redução do arrasto pois a curva passou

do valor máximo para o atrito. Isso mostra que o critério de Virk necessita de uma

calibração com mais dados experimentais.

Tendo em vista as discrepâncias entre os valores de Reynolds crítico, precisamos

fazer correções à metodologia atualizada, isto é, tentar aprimorar o método de cál-

culo de modo que a curva de valores teóricos apresente melhor correlação com os

valores experimentais.

Capítulo 4

Calibração do modelo

Vimos no capítulo anterior que o código MATLAB fornece valores do número

de Reynolds crítico que não correspondem com a realidade observada experimental-

mente. Nosso modelo precisa, portanto, de algumas correções.

4.1 Utilização de fatores de proporcionalidade

Como mostrado anteriormente, Ryan e Johnson, assim como Mishra e Tripati, já

haviam percebido que o número de Reynolds crítico de transição do regime laminar

para turbulento variava de acordo com o índice n. Em suas fórmulas, eles propuseram

um fator de proporcionalidade, dependente de n, entre o número de Reynolds crítico

newtoniano e o número de Reynolds para um fluido qualquer.

Usamos estes mesmos fatores na calibração de nosso modelo. Substituímos o

vqlor de Recrtico = 2100 por Recrtico = 2900, que foi observado como o ponto onde

o regime atinge o fator de atrito máximo no caso de um fluido newtoniano. Os

resultados do modelo calibrado são apresentados abaixo.

4.2. UTILIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DE HEMEIDA 32

Figura 4.1: Valores corrigidos pelas equações 2.11 e 2.12 para ReMR crítico de

transição.

As barras verticais representam uma margem de erro igual a 100 para o número

de Reynolds obtido experimentalmente. Vemos que ambas as curvas satisfazem os

dados experimentais, tanto pela utilização dos fatores de proporcionalidade de Ryan

e Johnson, como de Mishra e Tripati.

4.2 Utilização da equação de Hemeida

Como vimos anteriormente, a equação proposta por Hemeida é outro mecanismo

eficaz para calcular o fator de atrito. Porém, ela tende a subestimar os valores do

fator de atrito - se comparada às curvas de Dodge-Metzner e Anbarlooei, Cruz,

Ramos e Silva Freire.

Outra estratégia possível de calibração é considerar que os valores previstos pelo

modelo para o fator de atrito crítico estão corretos, porém os números de Reynolds

críticos foram superestimados pela equação de Dodge-Metzner.


Foram calculados os valores equivalentes entre os resultados do programa MA-

TLAB e a equação de Hemeida para cada valor de n, de modo a obtermos o mesmo

fator de atrito crítico.

n fcrtico ReMRcrtico Modelo ReMRcrtico Hemeida

0.4 0.0077 1910 1935

0.45 0.0074 2475 2327

0.5 0.0073 3014 2672

0.55 0.0074 3420 2890

0.6 0.0076 3624 2942

0.65 0.008 3685 2891

0.7 0.0083 3696 2813

0.75 0.0086 3706 2744

0.8 0.0089 3747 2702

0.85 0.0092 3831 2691

0.9 0.0094 3974 2717

0.95 0.0096 4178 2778

1.0 0.0096 4481 2892

1.05 0.0097 4894 3061

1.10 0.0096 5453 3302

1.15 0.0095 6233 3649

1.2 0.0094 7330 4149

Tabela 4.1: Tabela comparativa entre valores previstos pelo modelo e valores calcu-

lados pela equação 2.20

Podemos, assim, fazer uma curva com os valores críticos de transição obtidos

pela equação de Hemeida. Em azul, temos os dados do modelo original, enquanto a

curva verde representa os dados do modelo calibrado. As barras verticais novamente

representam uma margem de erro igual a 100 para o valor experimental do ReMR

crítico de transição.


Figura 4.2: Valores corrigidos pela equação 2.20 para ReMR crítico de transição.

Comparando os valores teóricos e os experimentais apresentados no capitulo an-

terior, representados no gráfico acima, vemos que a curva calibrada por esta técnica

apresenta boa correlação com os valores experimentais, sobretudo para valores de

n próximos a 1. A solução é exata para fluidos newtonianos, assim como na outra

estratégia de calibração aplicada.

Capítulo 5

Conclusão e Sugestões

A teoria de escoamento de fluidos não-newtonianos é muito complexa, e seu de-

senvolvimento é ainda muito recente. É inegável, porém, que este campo de pesquisa

merece nossa atenção: estes fluidos, em escoamento turbulento, apresentam um im-

portante fenômeno conhecido como redução do arrasto. Este fenômeno, de grande

interesse prático, estimula a continuação das pesquisas de fluidos não-newtonianos,

sobretudo do ponto onde o regime de escoamento torna-se plenamente turbulento.

Vimos que toda boa parte da teoria de fluidos não-newtonianos deriva da teoria

já bastante consolidada de fluidos newtonianos. A principal diferença, porém, é na

modelagem da tensão cisalhante, uma vez que fluidos viscoelásticos não seguem a Lei

de Newton da viscosidade. Adotando uma modelagem do tipo Lei de Potência, tanto

pela sua simplicidade quanto pela sua ótima correlação com dados experimentais,

podemos estudar o escoamento desta classe de fluidos não-newtonianos.

Apesar de várias relações matemáticas já terem sido propostas relacionando o

fator de atrito de Fanning ao número de Reynolds generalizado (como definido por

Metzner e Reed), a equação implícita de Dodge-Metzner permaneceu, por muitas

décadas, como a mais utilizada. Recentemente, com os trabalhos de Hemeida as-

sim como de Anbarlooei, Cruz, Ramos e Silva Freire e de tantos pesquisadores,

novas equações foram formuladas, apresentando alta correlação com os dados expe-

rimentais. Usando estas equações, pudemos desenvolver um modelo para o início

36

do regime plenamente turbulento: quando o fator de atrito de Fanning atinge seu

valor máximo relativo, adaptando a explicação apresentada por Virk, pode-se notar

a atuação dos mecanismos turbulentos de redução do arrasto.

Nosso método é baseado na interseção entre as curvas Dodge-Metzner e Anbarlo-

oei, Cruz, Ramos e Silva Freire, ponto onde assumimos que o escoamento já atingiu

o regime plenamente turbulento. Contudo, foi mostrado neste texto que os dados

experimentais - obtidos por inúmeros pesquisadores diferentes - não correspondem

com boa precisão aos valores calculados por este modelo. Por isso, foi preciso realizar

uma calibração da curva obtida.

Primeiramente, tentou-se usar fatores dependentes de n determinados matemati-

camente por outros pesquisadores, tentativa que acabou sendo muito eficaz: ambas

as curvas corrigidas passam por dois pontos experimentais. Em segundo lugar, usa-

mos uma correção dos valores de Reynolds obtidos pela relação de Dodge-Metzner

com o auxilio da equação de Hemeida (supondo que o valor do fator de atrito crítico

calculado pelo método seja verdadeiro), o que nos levou a uma curva mais precisa

para os valores de transição, com boa correspondência aos dados experimentais, mas

ainda assim menos precisa que a outra estratégia empregada.

Para trabalhos futuros, recomenda-se a utilização de novas equações que apresen-

tem boa correlação com dados experimentais para baixo número de Reynolds (pois

é nesta faixa que ocorre a transição). Além disso, é necessário o desenvolvimento

de novas equações para o escoamento de fluidos não-newtonianos de índice n<0.6

(ou seja, altamente pseudoplásticos) e para n>1.0 (ou seja, fluidos dilatantes), assim

como de mais pesquisas com fluidos destes perfis para dispormos de uma base de

dados experimentais mais extensa.

Referências

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reduction,” Chemical Engineering Science,, no. 25, pp. 1183–1189, 1970.

[13] D. DODGE and A. METZNER, “Turbulent flow of non-newtonian system,”

American Institute of Chemical Engineers Journal, vol. 5, no. 6, pp. 189–204,

1959.

[14] A. M. HEMEIDA, “Friction factors for yieldless fluids in turbulent pipe flow,”

JCPT, vol. 01, no. 32, 1993.

[15] H. ANBARLOOEI, D. CRUZ, F. RAMOS, and A. S. FREIRE, “Friction equa-

tion for purely viscous non-newtonian fluids from kolmogorov’s theory,” Turbu-

lence, Heat and Mass Transfer, no. 8, 2015.

[16] J. PEIXINHO, C. NOUAR, C. DESAUBRY, and B. THERON, “Laminar tran-

sitional and turbulent flow of yield stress fluid in a pipe,” Journal of Non-

Newtonian Fluid Mechanics, no. 128, pp. 172–184, 2005.

[17] P. PERONA, “An experimental investigation of laminar-turbulent transition in

complex fluids,” Journal of Food Engineering, no. 60, pp. 137–145, 2003.

Apêndice A

Codigo MATLAB

A.1 Determinação de ReMRcritico para a interseção de curvas

1 c l c

2 c l e a r a l l

3 c l o s e a l l

4

5 syms n f1 f2 Re1 Re2

6

7 va lo re sden = 0 . 4 : 0 . 0 5 : 1 . 2 ;

8 Reynolds=ze ro s (1 , l ength ( va lo re sden ) ) ;

9

10 %Anbarlooei , Cruz e S i l v a F r e i r e

11 eqn id f = f1 == 1.0178∗ (0 .1− (0 .0322∗n) +(0.00982/n) ) /(Re1

^(1/(2∗n+2) ) ) ;

12

13 %Dodge−Metzner

14 eqdm = sqr t (1/ f2 ) == −(0.4/(n^1 .2) ) + (4/(n^0.75) ) ∗ ( ( log10 (

Re2 )−l og10 ( ( f 2 ) ^((n−2)/2) ) ) ) ;

15

16 eqn id f s = subs ( eqnidf , n , va lo re sden ) ;

A.2. CALIBRAÇÃO COM FATORES DE PROPORCIONALIDADE40

17 eqdms = subs (eqdm , n , va lo re sden ) ;

18

19 %Calculo das s o l u co e s por metodo i t e r a t i v o

20 f o r i =1: l ength ( va lo re sden )

21 y1=0;

22 y2=1000;

23 whi le abs(1−y1/y2 ) >0.001 %er ro admitido de

0,1% ent re as curvas

24 y1 = y2 ;

25 x1 = subs ( eqn id f s ( i ) ,Re1 , y1 ) ;

26 x2 = so l v e ( x1 ) ;

27 y f i n a l = subs ( eqdms ( i ) , f2 , x2 ) ;

28 y so l = so l v e ( y f i n a l ) ;

29 y2 = f i x ( y so l ) ;

30 end

31 di sp ( [ ’ para n =’ , num2str ( va lo re sden ( i ) ) , ’Re =’ , y2 ] )

32 Reynolds ( i )=y2 ;

33 end

34

35 f i g u r e

36 p lo t ( va loresden , Reynolds , ’b ’ )

37 x l ab e l ( ’ Valores de n ’ )

38 y l ab e l ( ’ Valores de Regen ’ )

A.2 Calibração com fatores de proporcionalidade

1 c l c

2 c l e a r a l l

3 c l o s e a l l

4

5 di sp ( ’ Ca l ibracao 1 ’ )

A.3. CALIBRAÇÃO COM A EQUAÇÃO DE HEMEIDA 41

6

7 syms n Rec1 Rec2

8

9 va lo re sden = 0 . 4 : 0 . 0 5 : 1 . 2 ;

10

11 Rec1 = 3000∗6464∗n∗((2+n)^((2+n) /(1+n) ) ) /(2100∗(1+3∗n) ^2) ;

12 Rec2 = 3000∗(2+4∗n) ∗(5∗n+3)/(3∗(1+3∗n) ^2) ;

13

14 ReynoldsRJ = subs (Rec1 , n , va lo r e sden ) ;

15 ReynoldsMT = subs (Rec2 , n , va lo r e sden ) ;

16

17 f i g u r e

18 p lo t ( va loresden , Reynolds , ’b ’ , va loresden , ReynoldsRJ , ’ k ’ ,

va loresden , ReynoldsMT , ’ r ’ )



A.3 Calibração com a equação de Hemeida

1 c l c

2 c l e a r a l l

3 c l o s e a l l

4

5 di sp ( ’ Ca l ibracao 2 ’ )

6

7 syms n f c r Recr Rec Rec1 Rec2

8

9 va lo re sden = 0 . 4 : 0 . 0 5 : 1 . 2 ;

10 ReynoldsH=ze ro s (1 , l ength ( va lo re sden ) ) ;

11

12 f c r i t %l i s t a de va l o r e s c r i t i c o s do f a t o r de a t r i t o

A.3. CALIBRAÇÃO COM A EQUAÇÃO DE HEMEIDA 42

13

14 %Hemeida

15 eqh = sq r t (1/ f c r ) == 3.536−392.081∗( f c r /n) ^0.9013−305.624∗((

f c r /n) ^0.9013) ∗ [ l og (1− s q r t (1−(14.142/( Recr∗ s q r t ( f c r ) ) ) ) )+

sq r t (1−(14.142/( Recr∗ s q r t ( f c r ) ) ) ) ] ;

16

17 eqhs=subs ( eqh , { n , f c r } ,{ va loresden , f c r i t }) ;

18

19 f o r i =1: l ength ( eqhs )

20 y so l=so l v e ( eqhs ( i ) , Recr ) ;

21 ReynoldsH ( i ) = f i x ( y so l ) ;

22 end

23

24 f i g u r e

25 p lo t ( va loresden , Reynolds , ’b ’ , va loresden , ReynoldsH , ’ g ’ )



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