5. Carta de controle e homogeneidade de variâ ?· Carta de controle e homogeneidade de variância O…

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5. Carta de controle e homogeneidade de varincia

O desenvolvimento deste estudo faz meno a dois conceitos estatsticos:

as cartas de controle, de amplo uso em controle estatstico de processo, e a

homogeneidade de varincias, que pode ser avaliada por um grande nmero de

testes existentes. Este captulo faz uma breve apresentao destes conceitos e

de seus procedimentos de uso.

5.1. As cartas de controle

Segundo Montgomery (2001) carta de controle ou grfico de controle

uma apresentao grfica de uma caracterstica da qualidade, que foi medida ou

calculada a partir de uma amostra versus o nmero da amostra ou o tempo.

um tipo de grfico (ASTM-c, 1976) comumente utilizado para o

acompanhamento durante um processo. construdo baseado num histrico do

processo e determina uma faixa chamada de tolerncia limitada pela linha

superior (limite superior de controle, LSC) e uma linha inferior (limite inferior de

controle, LIC) e uma linha mdia do processo (limite central), que so

estatisticamente determinadas. J Moore et. al. (2006) afirma que os grficos de

controle so instrumentos estatsticos que monitoram um processo e alertam

quando o mesmo foi perturbado, de modo a passar para um estado fora de

controle. O uso de cartas de controle (ASTM-c, 1976) fornece critrios para a

deteco de lacunas na execuo do controle estatstico.

Montgomery (2001) diz que os grficos de controle ajudam a determinar

tanto se os dados do passado se originaram ou no de um processo que estava

sob controle, quanto determinar se as amostras futuras desse processo indicam

controle estatstico. Afirma, ainda, que tais grficos possuem uma longa histria

de uso na indstria, devido a pelo menos cinco razes:

a. so uma tcnica comprovada para a melhoria da produtividade,

b. so eficazes na preveno de defeitos,

c. evitam o ajuste desnecessrio do processo,

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Captulo 5: Cartas de controle e homogeneidade de varincia 44

d. fornecem informao de diagnstico, e

e. fornecem informao sobre a capacidade do processo.

5.1.1. Grficos de controle de Shewhart

Montgomery (2001) descreve o grfico de controle de Shewhart como um

modelo geral de grfico de controle. Para ilustrar tal modelo, supe uma

estatstica amostral w que mea algum parmetro de qualidade de interesse.

Supe, tambm, que a mdia de w seja w e o desvio padro seja w. Ento, o

limite central, o LSC e o LIC so dados por:

(5.1)

(5.2)

(5.3)

sendo que L a distncia dos limites de controle ao limite central, expressa em

unidades de desvio padro.

Para Montgomery (2001) o grfico de Shewhart muito eficaz se a

magnitude das mudanas que eventualmente ocorram for da ordem de uma vez

e meia o desvio padro ou mais. Infelizmente, para mudanas menores ele no

eficaz.

5.1.2. O grfico de controle da soma cumulativa

Segundo Montgomery (2001) o grfico de controle da soma cumulativa

cusum incorpora diretamente toda a informao na sequncia dos valores da

amostra, traando as somas cumulativas dos desvios dos valores da amostra de

um valor-alvo. A ttulo de ilustrao, sugere o seguinte exerccio:

a. coletar amostras de tamanho n 1,

b. supor que Mj seja a mdia da j-sima amostra,

c. atribuir o valor 0 ao alvo para a mdia do processo

d. construir o grfico de controle da soma cumulativa, traando a

quantidade dada por (5.4) em funo da amostra i

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Captulo 5: Cartas de controle e homogeneidade de varincia 45

(5.4)

a soma cumulativa at a i-sima amostra, incluindo a prpria.

Como combinam informaes de vrias amostras, os grficos de somas

cumulativas so mais eficazes que os grficos de Shewhart para detectar

pequenas mudanas no processo. Alves (2003) afirma (i) que o procedimento de

soma acumulada proporciona um controle mais rigoroso do processo e (ii) que,

se o processo permanecer sob controle para o valor mdio desejado (0), as

somas acumuladas descrevem um percurso aleatrio com mdia zero. Porm,

se a mdia muda para um valor 1>0,uma tendncia ascendente ou positiva

se desenvolver em . Reciprocamente, se a mdia muda para algum valor

1

Captulo 5: Cartas de controle e homogeneidade de varincia 46

5.2.1. O teste de Cochran

Segundo Leo (2007), o teste de Cochran usado para comparar a maior

varincia de um grupo com as outras deste mesmo grupo. Consiste em calcular

todas as varincias envolvidas em um estudo e dividir a maior delas pela soma

de todas, conforme mostra a equao (5.5).

(5.5)

O resultado para obtido em (5.5) comparado com os valores crticos

de uma tabela estatstica, que leva em conta o nmero de varincias envolvidas

e o nmero de graus de liberdade. O teste de Cochran compara a

homogeneidade das varincias uma a uma, e s se aplica a dados com

distribuio normal.

5.2.2. O teste de Bartlett

De acordo com Freitas et. al. (2003), um dos testes de varincia mais

utilizados o teste de Bartlett. Na execuo dos clculos correspondentes ao

teste, toma-se o seguinte procedimento:

Primeiro, calcula-se as k varincias amostrais s12, s22, s32,..., sk2, das

amostras de tamanho n1, n2, n3,..., nk, com:

(5.6)

Depois disto, combinam-se as varincias amostrais para fornecer a

estimativa:

(5.7)

Por fim, calcula-se:

(5.8)

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Captulo 5: Cartas de controle e homogeneidade de varincia 47

O valor de b corresponde ao valor da varivel aleatria B que possui uma

distribuio 2 com k-1 graus de liberdade. O denominador grande quando as

varincias amostrais diferem significativamente, e igual a zero quando todas as

varincias amostrais so iguais. Assim, rejeita-se H0 ao nvel de significncia

quando:

, (5.9)

Almeida et.al. (2008) afirma que o teste de Bartlett para homogeneidade de

varincias uma ferramenta eficiente somente se as variveis possuem

distribuio normal. Quando a suposio de normalidade violada, o tamanho

do teste pode ser muito maior do que o nvel de significncia fixado.

5.2.3. O teste de Levene

Segundo Mazucheli e Borges (2009), o teste conhecido na literatura como

teste de Levene usado para testar a igualdade de varincias de populaes

normais univariadas. Segundo Almeida et.al. (2008), o teste de Levene um

procedimento relativamente insensvel a desvios da normalidade. um teste

robusto porque na ausncia de normalidade seu tamanho real prximo do nvel

de significncia fixado para uma grande variedade de distribuies de

probabilidade.

Na execuo dos clculos correspondentes ao teste de Levene, toma-se o

seguinte procedimento:

SejaYij a j-sima observao no i-simo grupo, onde:

i = 1, ..., a, e

j = 1, ..., ni,

E o interesse em testar as seguintes hipteses:

H0 = 12 = ... = n2

H1 = i2 j2 para pelo menos um par de (i, j), (i j)

A estatstica do teste de Levene definida na forma:

. N Z . Z.. .

(5.10)

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Captulo 5: Cartas de controle e homogeneidade de varincia 48

Nesta expresso tem-se que:

= resultado do teste, = nmero de grupos aos quais os dados pertencem, = nmero total de dados,

N = nmero de dados no i-simo grupo, . = mdia de Zij para o grupo i

Z.. = mdia de todos = |Yij i.| = mdulo da subtrao do j-simo dado no i-simo grupo pela

mdia robusta do i-simo grupo

O valor de W comparado com o valor de F(, k-1, N-k), onde F o valor

encontrado no teste de distribuio F com k-1 e N-k graus de liberdade, sendo

o nvel de significncia escolhido. Para os propsitos deste estudo, = 0,01.

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