4486234 a Excelente Apostila de a 2 Grau

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Anlise CombinatriaFatorial de um nmero:Definies especiais:Arranjo simples: n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.10!=11!=1ades. possibilid 24 2 . 3 . 4 lugar 3 o para ades possibilid2 e lugar2 o para ades possibilid 3 sobrando lugar, 1 o para ades possibilid 4 Existem : Rlugares? primeiros trs os para ades possibilid as so Quantas mundo. do campeesdos torneio o disputam Flamengo) e Paulo So Santos, (Grmio, futebol de times Quatro 3)negativo. nmero um de fatorial existe no pois , 7 : Resposta-8 x7 x215 12225 1 0 56 56 x56 ) )( 1 ( 56)! 1 ()! 1 )( )( 1 ( 56)! 1 ()! 1 (. 56)! 1 ()! 1 ( equao a Resolva 2)10200 10100 100 100 . 101 100! 99! 99 . 100 . 101 ! 99 . 100! 99! 101 ! 100.! 99! 101 ! 100 expresso da valoro Calcule 1)22 't t + + + + ++ + + +++xx x x xx x xxx x xxxxx)! (!,p nnAp n401780348 7220 24 30)! 1 8 (! 8)! 2 9 (! 9)! 2 5 (! 5)! 3 4 (! 4)! 2 6 (! 6. Calcule ) 41 , 8 2 , 92 , 5 3 , 4 2 , 61 , 8 2 , 92 , 5 3 , 4 2 , 6 + ++++ ++ +A AA A AA AA A APermutao Simples: um caso particular de arranjo simples. o tipo de agrupamento ordenado onde entram todos os elementos.nmeros. 336 6 . 7 . 8! 5! 5 . 6 . 7 . 8! 5! 8)! 3 8 (! 81.: ento s, disponveinmeros 8 existem ainda trs outros os para e (2), ade possibilid uma apenas existe algarismoprimeiro o Para 3000). e 2000 entre est (pois algarismos quatro terdeve nmero O : R 9? e 6,7,8 1,2,3,4,5, entre escolhidos distintosalgarismos porformados 3000 e 2000 entre dos compreendi nmeros os so Quantos 6)nmeros. 136 64 72 5 pordivisveis de nmero O : Respostanmeros. 64 8 . 8! 7! 7 . 8.! 7! 7 . 8! 7! 8.! 7! 8)! 1 8 (! 8.)! 1 8 (! 8. 1.0). serpode algarismo segundo (o ades possibilid 8 existem tambm algarismo segundoo para E ). algarismos 2 de nmero um seria (seno 0 com comearpode no nmero o poisades, possibilid 8 ainda existem algarismo primeiro o Para (5). ade possibilid uma apenas existealgarismo terceiro o para : 5 com terminam 5 pordivisveis quantos calculamos Agoranmeros. 72 8 . 9! 7! 7 . 8 . 9! 7! 9)! 2 9 (! 91.: 0 com terminam que 5 pordivisveis de nmero o Portanto s. disponvei nmeros 9 existemainda primeiros dois os para e (0), ade possibilid 1 apenas existe algarismo terceiro o Para: 0 com terminam que 5 pordivisveis de nmero o calcularvamosnte Primeirame 5. com ou0 com terminardeve ele 5, divisvel sernmero um Para : R5. POR DIVISVEIS SEJAM c)nmeros. 8! 7! 7 . 8! 7! 8)! 1 8 (! 81.1.: ades possibilid 8 existem ainda segundo o Para (5). ade possibilid 1 apenas existe tambm terceiro o para e (2), ade possibilid 1 apenas existe algarismo primeiro o Para : R5. COM TERMINEM E 2 COM COMECEM b)nmeros. 72 8 . 9! 7! 7 . 8 . 9! 7! 9)! 2 9 (! 91.: s disponvei nmeros 9 existem ainda dois outros os para e (1) ade possibilid1 apenas existe primeiro o para que sendo , algarismos s possuir tr pode nmero O : R1. COM COMECEM a): que modo de repetir, os sem ) ,5,6,7,8,9 (0,1,2,3,4 decimal sistemado algarismos o com formarpodemos distintos algarismos 3 de nmeros Quantos 5)3 , 81 , 8 1 , 82 , 91 , 82 , 9 + AA AAAA! n Pn Combinao Simples: o tipo de agrupamento em que um grupo difere do outro apenas pela natureza dos elementos componentes.maneiras. 1152 576 576 total o Portantomaneiras. 576 24 . 24 ! 4 !. 4 .: tambm temos posio primeira na dama uma Colocandomaneiras. 576 24 . 24 ! 4 !. 4 .: maneiras de total nmero como temos posio primeira na cavalheiro um ColocandoC - D - C - D - C - D - C - D ouD - C - D - C - D - C - D - C: isso fazerde maneiras duas Existem : Rdamas. duas e s cavalheiro dois juntos fiquem no que formade fila, numa s, cavalheiro 4 e damas 4 dipostas serpodem maneiras quantas de Calcule 8)anagramas. 120 1 . 2 . 3 . 4 . 5 ! 5 . 1 . 1 . 1 . 1: total o Ento ades. possibilid 5 existem letras 5 outras as para e(E), 1 existe s tambm ltima para e (A), ade possibilid 1 existe letra primeira a Para E. com terminam e APOR COMEAM b)anagramas. 720 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 ! 6 . 1 . 1: total o Ento ades. possibilid 6 existemletras 6 outras as para e (A), ade possibilid uma apenas existe letra primeira a Para A. POR COMEAM a): EDITORA palavra da anagramas Quantos 8)nmeros. 120 1 . 2 . 3 . 4 . 5 ! 58? e 1,2,3,5 porformados serpodem distintos algarismos 5 de nmeros Quantos ) 74 44 4565 + P PP PPPP)! ( !!,p n pnCp nBinmio de NewtonIntroduo Pelos produtos notveis, sabemos que (a+b) = a + 2ab + b.Se quisermos calcular (a + b), podemos escrever:(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3Se quisermos calcular, podemos adotar o mesmo procedimento:comisses. 525 15 . 35230.! 3210! 2 !. 4! 4 . 5 . 6.! 4 !. 3! 4 . 5 . 6 . 7)! 4 6 ( ! 4! 6.)! 3 7 ( ! 3! 7. . produto o resultado O- MOAS- RAPAZESmoas? 4 e rapazes3 com formarpodemos comisses quantas moas, 6 e rapazes 7 com reunio Numa 11)saladas. de tipos 210245040! 45040! 4 !. 6! 6 . 7 . 8 . 9 . 10)! 6 10 !.( 6! 10feitas? serpodemdiferentes espcies 6 contendo salada, de tipos quantos frutas, de espcies 10 Com 10). C haverpode no porque resposta a no 1 : obs. 5 : Resposta1 ' '5 '216 6 0 5 60 5 6 063 3 2 302 62 20! 2) 1 .(! 3) 2 ).( 1 .(0)! 2 ( ! 2)! 2 ).( 1 .()! 3 ( ! 3)! 3 ).( 2 ).( 1 .(0)! 2 ( ! 2!)! 3 ( ! 3!. 0 equao a Resolver9)4 , 6 3 , 74 , 63 , 76 , 101,322 32 2 32 2 2 32 , 3 , 't + + + + + C CCCCmmmmm m mm m mm m m m mm m m m m mm m m m mmm m mmm m m mmmmmC Cm m(a + b)4 = (a + b)3 (a+b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) (a+b)= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 De modo anlogo, podemos calcular as quintas e sextas potncias e, de modo geral, obter o desenvolvimento da potncia a partir da anterior, ou seja, de .Porm quando o valor de n grande, este processo gradativo de clculo muito trabalhoso.Existe um mtodo para desenvolver a ensima potncia de um binmio, conhecido como binmio de Newton(Isaac Newton, matemtico e fsico ingls, 1642- 1727). Para esse mtodo necessriosaber oque so coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e otringulode Pascal. Coeficientes Binomiais Sendonepdoisnmerosnaturais , chamamosdecoeficiente binomial de classe p, do nmero n, o nmero, que indicamos por (l-se: n sobre p). Podemos escrever: Ocoeficientebinomialtambm chamado denmerobinomial. Por analogia comas fraes, dizemos quen oseunumeradorep, odenominador. Podemos escrever: tambm imediato que, para qualquer n natural, temos: Exemplos:Propriedades dos coeficientes binomiais1)Sen, p, k ep+k=n ento Coeficientesbinomiaiscomoesses, quetemomesmonumeradorea soma dos denominadores igual ao numerador, so chamados complementares. Exemplos: 2)Se n, p, k e p p-1 0 ento EssaigualdadeconhecidacomorelaodeStifel(Michael Stifel, matemtico alemo, 1487 - 1567). Exemplos: Tringulo de Pascal A disposioordenadados nmeros binomiais,como na tabela aolado, recebeo nomede Tringulo de PascalNesta tabela triangular, os nmeros binomiais com o mesmo numerador soescritos na mesma linha e os de mesmodenominador, na mesma coluna.Por exemplo, os nmeros binomiais,,eesto na linha 3 e os nmeros binomiais,,,, ...,, ... esto na coluna 1.Substituindo cada nmero binomial pelo seu respectivo valor, temos:Construo do tringulo de Pascal Para construir o tringulo do Pascal, basta lembrar as seguintes propriedades dos nmeros binomiais, no sendo necessrio calcul-los:1) Como= 1, todos os elementos da coluna 0 so iguais a 1.2) Como= 1, o ltimo elemento de cada linha igual a 1.3) Cada elemento do tringulo que no seja da coluna 0 nem o ltimo de cada linha igual soma daqueleque est na mesma coluna e linha anterior com o elemento que se situa esquerda deste ltimo (relaode Stifel).Observe os passos e aplicao da relao de Stifel para a construo do tringulo: Propriedade do tringulo de PascalP1EmQualquer linha, dois nmeros binomiais eqidistantes dos extremos so iguais. De fato, esses binomiais so complementares. P2 Teorema das linhas: A soma dos elementos da ensima linha . De modo geral temos: P3 Teorema das colunas: A soma dos elementos de qualquer coluna, do 1 elementoatumqualquer, igual aoelementosituadonacoluna direita da considerada e na linha imediatamente abaixo.1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 1 + 4 + 10 + 20 = 35 P4 Teorema das diagonais:A soma dos elementos situados na mesma diagonal desde o elemento da 1 coluna at o de uma qualquer igual ao elemento imediatamente abaixo deste.1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35 Frmula do desenvolvimento do binmio de NewtonComovimos, apotnciadaforma ,emquea, , chamada binmio de Newton. Alm disso: quando n = 0 temos quando n = 1 temos quando n = 2 temos quando n = 3 temos quando n = 4 temos Observe que os coeficientes dos desenvolvimentos foram o tringulo de Pascal. Ento, podemos escrever tambm: De modo geral, quando o expoente n, podemos escrever a frmula do desenvolvimento do binmio de Newton: Notequeosexpoentesdeavodiminuindodeunidadeemunidade, variando de n at 0, e os expoentes de bvo aumentando de unidade em unidade, variando de 0 at n. O desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos. Frmula do termo geral do binmio Observando os termos dodesenvolvimento de (a + b)n, notamosquecadaum deles da forma. Quando p = 0 temos o 1 termo: Quando p = 1 temos o 2 termo: Quando p = 2 temos o 3 termo: Quando p = 3 temos o 4 termo: Quando p = 4 temos o 5 termo:.............................................................................. Percebemos, ento, que um termo qualquerT de ordem p + 1pode ser expresso por: Cilindro Nafiguraabaixo, temosdoisplanosparalelosedistintos, , um crculo R contido eme uma reta r que intercepta, mas no R: ParacadapontoCdaregioR, vamosconsiderarosegmento , paralelo reta r:Assim, temos: Chamamosdecilindro, oucilindrocircular,oconjuntodetodosos segmentoscongruentes e paralelos a r. Elementos do cilindroDado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos: bases: os crculos de centro O e O'e raios r altura: a distncia h entre os planos geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das circunferncias das bases ( por exemplo,) e paralelo reta r reasNum cilindro, consideramos as seguintes reas:a) rea lateral (AL)Podemos observar a rea lateral de umcilindro fazendo a sua planificao: Assim, a rea lateral do cilindro reto cuja altura he cujos raios dos crculos das bases so r um retngulo de dimenses: b) rea da base ( AB):rea do crculo de raio rc) rea total ( AT): soma da rea lateral com as reas das bases VolumePara obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princpio de Cavalieri. Dados dois slidos com mesma altura e um plano, se todo plano, paralelo ao plano, intercepta os slidos e determina seces de mesma rea, os slidos tm volumes iguais:Se 1 um paraleleppedo retngulo, ento V2 = ABh. Assim, o volume de todo paraleleppedo retngulo e de todo cilindro o produto da rea da base pela medida de sua altura:Vcilindro = ABhNo caso do cilindro circular reto, a rea da base a rea do crculo de raio r;portanto seu volume :EsferaChamamosdeesferadecentroOeraioRoconjuntodepontosdo espao cuja distncia ao centro menor ou igual ao raio R. Considerando a rotao completa de um semicrculo em torno de um eixo e, a esfera o slido gerado por essa rotao. Assim, ela limitada por uma superfcie esfrica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfcie e ao seu interior. Volume O volume da esfera de raio R dado por: Partes da esferaSuperfcie esfricaAsuperfcieesfricadecentroOeraioRoconjuntodepontosdo es[ao cuja distncia ao ponto O igual ao raio R.Seconsiderarmos arotaocompletadeumasemicircunfernciaem torno de seu dimetro, a superfcie esfrica o resultado dessa rotao.A rea da superfcie esfrica dada por:Cone circularDado um crculo C, contido num plano, e um ponto V ( vrtice) fora de , chamamos decone circularoconjuntode todos os segmentos .Elementos do cone circularDado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos: altura: distncia h do vrtice V ao plano geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferncia raio da base: raio R do crculo eixoderotao:reta determinadapelocentrodocrculoepelo vrtice do cone Cone retoTodo cone cujo eixo de rotao perpendicular base chamado cone reto, tambmdenominadoconederevoluo. Elepodeser geradopela rotaocompleta de umtringuloretnguloemtornode umde seus catetos.Da figura, e pelo Teorema de Pitgoras, temos a seguinte relao:G2 = h2 + R2Seco meridiana Asecodeterminada, numconederevoluo, por umplanoque contm o eixo de rotao chamada seco meridiana.Se o tringulo AVB for eqiltero, o cone tambm ser eqiltero:reasDesenvolvendo a superfcie lateral de um cone circular reto, obtemos um setor circular de raio g e comprimento:Assim, temos de considerar as seguintes reas:a) rea lateral (AL): rea do setor circularb) rea da base (AB):rea do circulo do raio Rc) rea total (AT):soma da rea lateral com a rea da baseVolume Para determinar o volume do cone, vamos ver como calcular volumes de slidos de revoluo. Observe a figura:d= distncia do centro de gravidade (CG) da sua superfcie ao eixo eS=rea da superfcieSabemos, pelo Teorema de Pappus - Guldin, que, quando uma superfcie gira em torno de um eixo e, gera um volume tal que: Vamos, ento, determinar o volume do cone de revoluo gerado pela rotao de um tringulo retngulo em torno do cateto h: OCGdotringuloestaumadistncia doeixoderotao. Logo: CONJUNTOS NUMRICOS Conjunto dos nmeros naturais (IN)Um subconjunto importante de IN o conjunto IN*:IN*={1, 2, 3, 4, 5,...} o zero foi excludo do conjunto IN.Podemos considerar o conjunto dos nmeros naturais ordenados sobre uma reta, como mostra o grfico abaixo: Conjunto dos nmeros inteiros (Z)O conjunto IN subconjunto de Z.Temos tambm outros subconjuntos de Z:Z* = Z-{0}Z+ = conjunto dos inteiros no negativos = {0,1,2,3,4,5,...}Z_ = conjunto dos inteiros no positivos = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...}Observe que Z+=IN.Podemos considerar os nmeros inteiros ordenados sobre uma reta, conforme mostra o grfico abaixo:IN={0, 1, 2, 3, 4, 5,...}Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}ba Conjunto dos nmeros racionais (Q)Os nmeros racionaisso todos aqueles que podem ser colocados na forma de frao(comonumerador e denominadorZ). Ouseja, o conjuntodosnmeros racionais a unio do conjunto dos nmeros inteiros com as fraes positivas e negativas.Exemplos:Assim, podemos escrever:interessanteconsiderar arepresentaodecimal deumnmero racional ,que se obtm dividindo a por b.Exemplos referentes s decimais exatas ou finitas:Exemplos referentes s decimais peridicas ou infinitas:Toda decimal exata ou peridica pode ser representada na forma de nmero racional. Conjunto dos nmeros irracionaisOs nmeros irracionais so decimais infinitas no peridicas, ou seja, os nmeros que no podem ser escrito na forma de frao (diviso de dois racionais. nmeros so exemplo, por,23, 1 ,53, 1 ,452 : Ento ,-} 0 e , com , | { b Z b Z abax x Q3322111 )3926133 ) ba75 , 3207525 , 145 5 , 021 ... 1666 , 167 ... 42 8571428571 , 076 ... 333 , 031 ... 7320508 , 1 3... 4142135 , 1 2inteiros). Como exemplo de nmeros irracionais, temos a raiz quadrada de 2 e a raiz quadrada de 3:Um nmero irracional bastante conhecido o nmero =3,1415926535... Conjunto dos nmeros reais (IR)Dados os conjuntos dos nmeros racionais (Q) e dos irracionais, definimos o conjunto dos nmeros reais como:O diagrama abaixo mostra a relao entre os conjuntos numricos:Portanto, os nmerosnaturais,inteiros,racionaise irracionaisso todos nmeros reais. Como subconjuntos importantes de IR temos:IR* = IR-{0}IR+ = conjunto dos nmeros reais no negativosIR_ = conjunto dos nmeros reais no positivosObs: entre dois nmeros inteiros existem infinitos nmeros reais. Por exemplo: Entre os nmeros 1 e 2 existem infinitos nmeros reais:1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ;1,1 ;1,2; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ... Entre os nmeros 5 e 6 existem infinitos nmeros reais:5,01 ; 5,02 ; 5,05 ;5,1 ;5,2; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...Determinantes Como j vimos, matriz quadrada a que tem o mesmo nmero de linhas e de colunas (ou seja, do tipo nxn).IR=Q {irracionais} = {x|x racional ou x irracional} A toda matriz quadrada est associado um nmero ao qual damos o nome de determinante. Dentre as vrias aplicaes dos determinantes na Matemtica, temos: resoluo de alguns tipos de sistemas de equaes lineares; clculo da rea de um tringulo situado no plano cartesiano, quando so conhecidas as coordenadas dos seus vrtices; Determinante de 1 ordem Dada uma matriz quadrada de 1 ordem M=[a11], o seu determinante o nmero real a11:det M =Ia11I = a11Observao: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que no tm o significado de mdulo. Por exemplo: M= [5]det M = 5 ou I 5 I = 5 M = [-3]det M = -3 ou I -3 I = -3 Determinante de 2 ordemDada a matriz , de ordem 2, por definio o determinante associado a M, determinante de 2 ordem, dado por:Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 dado pela diferena entre oprodutodos elementos da diagonal principal e oprodutodos elementos da diagonal secundria. Veja o exemplo a seguir. Menor complementarChamamos demenor complementarrelativo a um elemento aij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante MCij , de ordem n - 1, associado matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij . Vejamos como determin-lo pelos exemplos a seguir:a) Dadaamatriz , deordem2, paradeterminar omenor complementar relativoaoelementoa11(MC11), retiramos alinha1ea coluna 1:Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a12 :b) Sendo, de ordem 3, temos:Cofator Chamamos de cofator ou complemento algbrico relativo a um elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n o nmero Aijtal que Aij= (-1)i+j. MCij . Veja:a) Dada , oscofatoresrelativosaoselementosa11ea12da matriz M so:b) Sendo, vamos calcular os cofatores A22, A23 e A31:Teorema de LaplaceOdeterminantedeumamatrizquadradaM=[aij]mxnpodeser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer ( linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores. Assim, fixando, temos:em que o somatrio de todos os termos de ndice i, variando de 1 at m,.Regra de Sarrus O clculo do determinante de 3 ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prtico, denominado regra de Sarrus. Acompanhe como aplicamos essa regra para. 1 passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:2 passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonalprincipal com os dois produtos obtidos pela multiplicao dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):3 passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonalsecundria com os dois produtos obtidos pela multiplicao dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinal negativo):Assim:Observao: Se desenvolvermos esse determinante de 3 ordem aplicando o Teorema de Laplace, encontraremos o mesmo nmero real. Determinante de ordem n > 3 Vimos que a regra de Sarrus vlida para o clculo do determinante de uma matriz de ordem 3. Quando a matriz de ordem superior a 3, devemos empregar o Teorema de Laplace para chegar a determinantes de ordem 3 e depois aplicar a regra de Sarrus.Propriedades dos determinantesOs demais associados a matrizes quadradas de ordem napresentam as seguintes propriedades:P1 ) Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) so nulos, o determinante dessa matriz nulo.Exemplo:P2) Se duas filas de uma matriz so iguais, ento seu determinante nulo.Exemplo:P3) Seduas filas paralelas deumamatrizsoproporcionais, entoseu determinante nulo.Exemplo:P4) Se os elementos de uma fila de uma matriz so combinaes lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, ento seu determinante nulo.Exemplos: P5)TeoremadeJacobi: odeterminantedeumamatriznosealtera quandosomamosaoselementosdeumafilaumacombinaolineardos elementos correspondentes de filas paralelas.Exemplo:Substituindo a 1 coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2, temos:P6) O determinante de uma matriz e o de sua transposta so iguais.Exemplo:P7) Multiplicando por um nmero real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse nmero.Exemplos:P8) Quando trocamos as posies de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.Exemplo:P9)Quando, emumamatriz, oselementosacimaouabaixodadiagonal principal so todos nulos, o determinante igual ao produto dos elementos dessa diagonal.Exemplos:P10) Quando,em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundria so todos nulos, o determinante igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por.Exemplos:P11) ParaAeBmatrizes quadradas de mesma ordemn, . Como: Exemplo:P12) Exemplo:Equaes algbricas(com uma varivel)IntroduoEquao toda sentena matemtica aberta que exprime uma relao de igualdade. A palavra equao tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos:2x + 8 = 05x - 4 = 6x + 8 3a - b - c = 0No so equaes:4 + 8 = 7 + 5 (No uma sentena aberta)x - 5 < 3 (No igualdade) (no sentena aberta, nem igualdade) A equao geral do primeiro grau:ax+b = 0onde a e b so nmeros conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos:ax = -bdividindo agora por a (dos dois lados), temos: Considera a equao 2x - 8 = 3x -10 Aletra aincgnitada equao. Apalavraincgnitasignifica " desconhecida". Na equao acima a incgnita x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1 membro, e o que sucede, 2 membro. Qualquer parcela, do 1 ou do 2 membro, um termo da equao. Equao do 1 grau na incgnita x toda equao que pode ser escritanaformaax=b, sendoaebnmerosracionais, com a diferente de zero. Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma EquaoConsidere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equao x + 2 = 5. Observe que o nmero 3 do conjuntoA denominadoconjunto universo da equao e o conjunto {3} o conjunto verdade dessa mesma equao. Observe este outro exemplo: Determine os nmeros inteiros que satisfazem a equao x = 25 O conjunto dos nmeros inteiro o conjunto universo da equao.Os nmeros -5 e 5, que satisfazem a equao, formam o conjunto verdade, podendo ser indicado por: V = {-5, 5}.Da conclumos que:ConjuntoUniversooconjuntodetodososvaloresque varivel pode assumir. Indica-se por U. Conjunto verdade o conjunto dos valores deU, que tornam verdadeira a equao . Indica-se por V. Observaes: O conjunto verdade subconjunto do conjunto universo. Nosendocitadooconjuntouniverso, devemosconsiderar como conjunto universoo conjunto dos nmeros racionais. Oconjuntoverdadetambmconhecidoporconjuntosoluoe pode ser indicado por S.Razes de uma equaoOs elementos do conjunto verdade de uma equao so chamados razes da equao.Para verificar se um nmero raiz de uma equao, devemos obedecer seguinte seqncia: Substituir a incgnita por esse nmero. Determinar o valor de cada membro da equao. Verificar a igualdade, sendoumasentena verdadeira, onmero considerado raiz da equao. Exemplos:Verifique quais dos elementos do conjunto universo so razes das equaes abaixo, determinando em cada caso o conjunto verdade. Resolva a equao x - 2= 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}. Para x = 0 na equao x - 2= 0 temos: 0 - 2 = 0=> -2 = 0. (F)Para x = 1 na equao x - 2= 0 temos: 1 - 2 = 0=> -1 = 0. (F)Para x = 2 na equao x - 2= 0 temos: 2 - 2 = 0=> 0 = 0. (V)Para x = 3 na equao x - 2= 0 temos: 3 - 2 = 0=> 1 = 0. (F)Verificamos que 2 raiz da equao x - 2 = 0, logo V = {2}. Resolva a equao 2x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}. Para x = -1 na equao 2x - 5= 1 temos: 2 . (-1) - 5 = 1=> -7 = 1. (F)Para x = 0 na equao 2x - 5= 1 temos: 2 . 0 - 5 = 1=> -5 = 1. (F)Para x = 1 na equao 2x - 5= 1 temos: 2 . 1 - 5 = 1=> -3 = 1. (F)Para x = 2 na equao 2x - 5= 1 temos: 2 . 2 - 5 = 1=> -1 = 1. (F) A equao 2x - 5 = 1 no possui raiz em U, logo V =.Funo de 1 grau - AfimDefinio Chama-sefunopolinomial do1grau, oufunoafim, aqualquer funo f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b so nmeros reais dados e a 0. Na funo f(x) = ax+ b, o nmero a chamado de coeficiente de xe o nmero b chamado termo constante. Veja alguns exemplos de funes polinomiais do 1 grau: f(x) = 5x- 3, onde a = 5 e b = - 3 f(x) = -2x- 7, onde a = -2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0 GrficoO grfico de uma funo polinomial do 1 grau,y = ax + b, com a 0, uma reta oblqua aos eixos Ox e Oy.Exemplo: Vamos construir o grfico da funoy= 3x- 1: Como o grfico uma reta, basta obter dois de seus pontos e lig-los com o auxlio de uma rgua:a)Para x = 0, temos y = 3 0 - 1 = -1; portanto, um ponto (0, -1).b)Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto,e outro ponto . Marcamosos pontos(0,-1) e noplanocartesiano eligamos os dois com uma reta.x y0 -10 J vimos que o grfico da funo afimy=ax+b uma reta. O coeficiente de x,a, chamado coeficiente angular da retae, como veremos adiante, a est ligado inclinao da reta em relao ao eixo Ox. O termo constante,b, chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.Zero e Equao do 1 Grau Chama-se zero ou raiz da funo polinomial do 1 grau f(x) = ax + b, a0, o nmero real x tal quef(x) = 0. Temos: f(x) = 0 ax + b = 0 Vejamos alguns exemplos:1. Obteno do zero da funo f(x) = 2x- 5:f(x) = 0 2x - 5 = 0 2. Clculo da raiz da funo g(x) = 3x+ 6: g(x) =03x+6=0x=-23. Clculo da abscissa do ponto em que o grfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abicissas:O ponto em que o grfico corta o eixo dos x aquele em que h(x) = 0; ento:h(x) = 0 -2x + 10 = 0 x = 5 Crescimento e decrescimentoConsideremosafuno do1 grauy =3x - 1.Vamosatribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:x -3 -2 -1 0 1 2 3y -10 -7 -4 -1 2 5 8Notemos que, quandoaumentos ovalor dex, os correspondentes valores de y tambm aumentam. Dizemos, ento que a funo y = 3x - 1 crescente. Observamos novamente seu grfico: Regra geral:a funo do 1 grau f(x) = ax + b crescente quando o coeficiente de x positivo (a > 0);a funo do 1 grau f(x) = ax + b decrescente quando o coeficiente de x negativo (a < 0);Justificativa: para a > 0: se x1 < x2, ento ax1 < ax2. Da, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2). para a < 0: se x1 < x2, ento ax1 > ax2. Da, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2).Sinal Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) determinar os valor de x para os quais y positivo, os valores de x para os quais y zero e os valores de x para os quais y negativo. Consideremos uma funo afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Jvimosqueessafunoseanulapraraiz . Hdoiscasos possveis:1) a > 0 (a funo crescente) y > 0ax + b > 0x > y > 0 ax + b < 0x < Concluso: ypositivoparavalores dexmaiores quearaiz; y negativo para valores de x menores que a raiz2) a < 0 (a funo decrescente)y > 0 ax + b > 0 x < y > 0 ax + b < 0 x < Concluso: y positivo para valores de x menores que a raiz; y negativo para valores de x maiores que a raiz. EQUAES EXPONENCIAISChamamos deequaes exponenciaistoda equao na qual a incgnita aparece em expoente.Exemplos de equaes exponenciais:1) 3x =81 (a soluo x=4)2) 2x-5=16 (a soluo x=9)3) 16x-42x-1-10=22x-1 (a soluo x=1)4) 32x-1-3x-3x-1+1=0 (as solues so x=0 e x=1)Para resolver equaes exponenciais, devemos realizar dois passos importantes:1)reduodosdoismembrosdaequaoapotnciasdemesma base;2) aplicao da propriedade: EXERCCIOS RESOLVIDOS:1) 3x=81Resoluo: Como 81=34, podemos escrever 3x = 34E da, x=4.2) 9x = 1Resoluo: 9x = 1 9x = 90 ; logo x=0.5) 23x-1 = 322xResoluo: 23x-1 = 322x 23x-1 = (25)2x 23x-1 = 210x ; da 3x-1=10,de onde x=-1/7.) 0 e 1 ( > a a n m a an m43logo ; 3 3 3 3 27 3 : Resoluo27 3 ) 4. 4 ento ;434343432568143: Resoluo2568143) 3434 3 44444 ,`.| ,`.| ,`.| ,`.| ,`.|xxx x xxx x xx6) Resolva a equao 32x6.3x27=0.Resoluo: vamos resolver esta equao atravs de uma transformao:32x6.3x27=0 (3x)2-6.3x27=0Fazendo 3x=y, obtemos:y2-6y27=0; aplicando Bhaskara encontramos y=-3 e y=9Para achar o x, devemos voltar os valores para a equao auxiliar 3x=y:y=-3 3x= -3 no existe x, pois potncia de base positiva positivay=9 3x = 9 3x = 32 x=2Portanto a soluo x=2FUNO EXPONENCIALChamamos defunes exponenciaisaquelas nas quais temos a varivel aparecendo em expoente.Afunof:IRIR+definidapor f(x)=ax, comaIR+ea 1, chamadafunoexponencial debasea. Odomniodessafunoo conjunto IR (reais) e o contradomnio IR+(reais positivos, maiores que zero).GRFICO CARTESIANO DA FUNO EXPONENCIALTemos 2 casos a considerar: quando a>1; quando 0 an m >xxxxxxEXERCCIO RESOLVIDO:FUNO LOGARTMICAAfunof:IR+IRdefinidaporf(x)=logax, coma 1ea>0, chamadafunologartmicadebasea. Odomniodessafunoo negativos) (reais IR S Portanto0 4 4: obtemos 1, que maior (4) base a Como. 4 4 1 4 Porm,1 4 da, e 11 4 . 11 11 4 ). 16 4 1 (: seja ou, 11 4 . 16 4 . 4 4: temos 4 porlados os ambos ndo Multiplica.4114 . 4 444escrita serpode inequao A : Resoluo4114 4 4 ) 1-001 1< + > +> +> ++ x-xx xx x xx x xx xxx x xconjuntoIR+(reaispositivos, maioresquezero)eocontradomnioIR (reais).GRFICO CARTESIANO DA FUNO LOGARTMICATemos 2 casos a considerar: quando a>1; quando 0 x>-5log3(x+5) = 2=>x+5 = 32=>x=9-5=>x=4Como x=4 satisfaz a condio de existncia, ento o conjunto soluo S={4}.2) log2(log4 x) = 1Resoluo: condio de existncia: x>0e log4x>0log2(log4 x) = 1; sabemos que 1 = log2(2), entolog2(log4x) = log2(2)=>log4x = 2=> 42 = x=>x=16Como x=16 satisfaz as condies de existncia, ento o conjunto soluo S={16}.3) Resolva o sistema:Resoluo: condies de existncia: x>0 e y>0Da primeira equao temos:log x+log y=7=>log y = 7-log xSubstituindo log y na segunda equao temos:3.log x 2.(7-log x)=1=>3.log x-14+2.log x = 1=>5.log x = 15=>=> log x =3=>x=103' +1 l o g . 2 l o g . 37 l o g l o gy xy xSubstituindo x= 103 em log y = 7-log x temos:log y = 7- log 103=>log y = 7-3=>log y =4=> y=104.Como essas razes satisfazem as condies de existncia, ento o conjunto soluo S={(103;104)}.INEQUAES LOGARTMICASChamamos de inequaes logartmicas toda inequao que envolve logaritmoscomaincgnitaaparecendonologaritmando, nabaseouem ambos.Exemplos de inequaes logartmicas:1) log2x > 0 (a soluo x>1)2) log4(x+3) 1 (a soluo 31 0n>0(as desigualdades tm mesmo sentido)logam > logan 00, ou seja, x>-2 (S1)Como a base (2) maior que 1, temos:x+2>8 e, da, x>6 (S2)O conjunto soluo S= S1 S2 = {x IR| x>6}.Portanto a soluo final a interseco de S1 e S2, como est representado logo abaixo no desenho:2) log2(log3x) 0Resoluo:Condies de existncia: x>0 e log3x>0Como log21=0, a inequao pode ser escrita assim:log2(log3x) log21Sendo a base (2) maior que 1, temos: log3x 1.Como log33 = 1, ento, log3x log33 e, da, x 3, porque a base (3) maior que 1.As condies de existncia esto satisfeitas, portanto S={x IR| x 3}.Funo QuadrticaDefinioChama-se funo quadrtica, ou funo polinomial do 2 grau, qualquer funo f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c so nmeros reais e a 0.Vejamos alguns exemplos de funo quadrticas:1. f(x) = 3x2 - 4x+ 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 2. f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 3. f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 4. f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0 5. f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0 GrficoO grfico de uma funo polinomial do 2 grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, uma curva chamada parbola.Exemplo: Vamos construir o grfico da funo y = x2+ x: Primeiro atribumos a xalguns valores, depois calculamos ovalor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.x y-3 6-2 2-1 00 01 22 6Observao:Aoconstruir ogrficodeumafunoquadrticay=ax2+bx+c, notaremos sempre que: se a > 0, a parbola tem a concavidade voltada para cima; se a < 0, a parbola tem a concavidade voltada para baixo; Zero e Equao do 2 Grau Chama-se zeros ou razes da funo polinomial do 2 grau f(x) = ax2+ bx + c , a0, os nmeros reais x tais que f(x) = 0.Ento as razes da funo f(x) = ax2 + bx + c so as solues da equao do 2 grau ax2+ bx + c = 0, as quais so dadas pela chamada frmula de Bhaskara:Temos:Observao A quantidade de razes reais de uma funo quadrtica depende do valor obtido para o radicando,chamado discriminante, a saber: quando positivo, h duas razes reais e distintas; quando zero, h s uma raiz real; quando negativo, no h raiz real.Coordenadas do vrtice da parbola Quando a > 0, a parbola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mnimo V; quando a < 0, a parbola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de mximo V. Em qualquer caso, as coordenadas de V so. Veja os grficos: Imagem O conjunto-imagem Im da funo y = ax2 + bx + c,a0, o conjunto dos valores que y pode assumir. H duas possibilidades:1 - quando a > 0, a > 02 quando a < 0,a < 0Construo da Parbola possvel construir o grfico de uma funo do 2 grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observao seguinte:1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parbola; 2. Os zeros definem os pontos em que a parbola intercepta o eixo dos x; 3. OvrticeVindicaopontodemnimo(sea>0), ou mximo (se a< 0); 4. Aretaquepassapor Veparalelaaoeixodos yoeixode simetria da parbola; 5. Para x = 0 , temos y = a 02 + b 0 + c = c; ento(0, c) o ponto em que a parbola corta o eixo dos y. SinalConsideramos uma funo quadrticay =f(x) =ax2+bx +ce determinemos os valores de x para os quais y negativo e os valores de x para os quais y positivos. Conformeosinal dodiscriminante =b2-4ac, podemosocorreros seguintes casos:1->0Nesse caso a funo quadrtica admite dois zeros reais distintos (x1 x2). a parbola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da funo o indicado nos grficos abaixo:quando a > 0y > 0 (x < x1ou x > x2)y < 0x1 < x < x2 quando a < 0y > 0 x1< x < x2y < 0(x < x1 ou x > x2) 2 - = 0 quando a > 0quando a < 0 3 - < 0 quando a > 0quando a < 0GEOMETRIA ANALTICARetasIntroduoEntre os pontos de uma reta e os nmeros reais existe uma correspondnciabiunvoca, isto, acadapontoderetacorrespondeum nico nmero real e vice-versa.Considerando uma reta horizontalx, orientada da esquerda para direita (eixo), e determinando um ponto O dessa reta ( origem) e um segmento u, unitrio e no-nulo, temos que dois nmeros inteiros e consecutivos determinam sempre nesse eixo um segmento de reta de comprimento u: Medida algbrica de um segmento Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os nmeros reais xA e xB , temos: Amedidaalgbricadeumsegmentoorientadoonmeroreal que correspondediferenaentreasabscissas daextremidadeedaorigem desse segmento. Plano cartesianoA geometria analtica teve como principal idealizador o filsofo francs Ren Descartes ( 1596-1650). Comoauxliodeumsistema de eixos associados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do plano um par ordenado e vice-versa.Quandoos eixosdessesistemas soperpendiculares naorigem, essa correspondncia determina umsistema cartesianoortogonal ( ouplano cartesiano). Assim, h uma reciprocidade entre oestudoda geometria ( ponto, reta, circunferncia) e da lgebra ( relaes, equaes etc.), podendo-se representar graficamente relaes algbricas e expressar algebricamente representaes grficas. Observe o plano cartesiano nos quadros quadrantes:Exemplos: A(2, 4) pertence ao 1 quadrante (xA > 0 e yA > 0) B(-3, -5) pertence ao 3 quadrante ( xB < 0 e yB < 0) Observao: Por conveno, os pontos localizados sobre os eixos no esto em nenhum quadrante. Distncia entre dois pontos Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e sendo dAB a distncia entre eles, temos: Aplicando o teorema de Pitgoras ao tringulo retngulo ABC, vem:Como exemplo, vamos determinar a distncia entre os pontosA(1, -1) e B(4, -5):Equaes de uma retaEquao geral Podemos estabelecer a equao geral de uma reta a partir da condio de alinhamento de trs pontos.Dadaumaretar, sendoA(xA, yA) eB(xB, yB) pontos conhecidos e distintos de r e P(x,y) um ponto genrico, tambm de r, estando A, B e P alinhados, podemos escrever: Fazendo yA- yB= a, xB- xA= b e xAyB- xByA=c, como a e b no so simultaneamente nulos, temos:ax + by + c = 0(equao geral da reta r)EssaequaorelacionaxeyparaqualquerpontoPgenricodareta. Assim, dado o ponto P(m, n): se am + bn + c = 0, P o ponto da reta; se am + bn + c0, P no ponto da reta. Acompanhe os exemplos: Vamos considerar a equao geral da reta r que passa por A(1, 3) e B(2, 4). Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos: Vamos verificar se ospontos P(-3, -1) e Q(1, 2) pertencem reta r do exemplo anterior. Substituindo as coordenadas de P em x - y + 2 = 0, temos: -3 - (-1) + 2 = 0-3 + 1 + 2 = 0 Como a igualdade verdadeira, ento Pr. Substituindo as coordenadas de Q em x - y + 2 = 0, obtemos:1 - 2 + 20 Como a igualdade no verdadeira, ento Qr. Geometria Analtica: Circunferncia Equaes da circunfernciaEquao reduzida Circunferncia o conjunto de todos os pontos de um plano eqidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferncia:Assim, sendoC(a, b) o centro eP(x, y) umponto qualquer da circunferncia, adistnciadeCaP(dCP) oraiodessacircunferncia. Ento:Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 a equao reduzida da circunferncia e permite determinar os elementos essenciais para a construo da circunferncia: as coordenadas do centro e o raio.Observao: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem ( C(0,0)), a equao da circunferncia ser x2 + y2 = r2 . Equao geralDesenvolvendo a equao reduzida, obtemos a equao geral da circunferncia:Como exemplo, vamos determinar a equao geral da circunferncia de centro C(2, -3) e raio r = 4. A equao reduzida da circunferncia :( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16 Desenvolvendo os quadrados dos binmios, temos:Geometria Analtica - CnicasElipseConsiderando, num plano, dois pontos distintos,F1e F2, e sendo 2a um nmero real maior que a distncia entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjuntodos pontos doplano tais queasomadas distncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a. Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 < 2a, temos: A figura obtida uma elipse.Observaes:1) A Terra descreve uma trajetria elptica em torno do sol, que um dos focos dessa trajetria. Alua emtornoda terra e os demais satlites emrelaoa seus respectivos planetas tambm apresentam esse comportamento.2) O cometa de Halley segue uma rbita elptica, tendo o Sol como um dos focos.3) As elipses so chamadas cnicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone circular reto por um plano oblquo em relao sua base. ElementosObserve a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos: focos : os pontos F1 e F2 centro: o ponto O, que o ponto mdio de semi-eixo maior: a semi-eixo menor: b semidistncia focal: c vrtices: os pontos A1, A2, B1, B2 eixo maior: eixo menor: distncia focal: Relao fundamental Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitgoras ao tri6angulo OF2B2 , retngulo em O, podemos escrever a seguinte relao fundamental:a2 =b2 + c2ExcentricidadeChamamos de excentricidade o nmero real e tal que:Pela definio de elipse, 2c < 2a, ento c < a e, conseqentemente, 0 < e < 1.Observao:Quandoos focos so muitoprximos, ouseja, c muito pequeno, a elipse se aproxima de uma circunferncia.Equaes Vamos considerar os seguintes casos:a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal Sendo c a semidistncia focal, os focos da elipse so F1(-c, 0) e F2(c, 0):Aplicando a definio de elipse , obtemos a equao da elipse:b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical Nessas condies, a equao da elipse :HiprboleConsiderando, num plano, dois pontos distintos,F1e F2,e sendo 2a umnmeroreal menor que a distncia entreF1eF2, chamamos de hiprbole o conjunto dos pontos do planotais que o mdulo da diferena das dist6ancias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.Por exemplo, sendo P,Q,R,S,F1e F2pontos de um mesmo plano e F1F2 = 2c, temos: A figura obtida uma hiprbole. Observao:Os dois ramos da hiprbole sodeterminados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vrtice:Parbola Dados uma reta de um ponto F, de um plano, chamamos de parbola o conjunto de pontos do planoeqidistantes de F e d. Assim, sendo, por exemplo,F,P,Q e R pontos de um planoe d uma reta desse mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertena a d, temos:Observaes:1) A parbola obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto:2) Os telescpios refletores mais simples tm espelhos com seces planas parablicas.3) As trajetrias de alguns cometas so parbolas, sendo que o Sol ocupa o foco.4) A superfcie de um lquido contido em um cilindro que gira em torno de seu eixo com velocidade constante parablica.MatrizesIntroduoOcrescente uso dos computadores temfeitocomque a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em reas como Economia, Engenharia, Matemtica, Fsica, dentre outras. Vejamos um exemplo. A tabela a seguir representa as notas de trs alunos em uma etapa: Qumica Ingls Literatura EspanholA 8 7 9 8B 6 6 7 6C 4 8 5 9Sequisermos saberanota do alunoBemLiteratura,bastaprocuraro nmero que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela.Vamos agora considerar uma tabela de nmeros dispostos em linhas e colunas, como noexemplo acima, mas colocados entre parnteses ou colchetes:Em tabelas assim dispostas, os nmeros so os elementos. As linhas so enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita: Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nmeros naturais diferentes de 0)sodenominadasmatrizesmxn. Natabelaanteriortemos, portanto, uma matriz 3 x 3. Veja mais alguns exemplos: uma matriz do tipo 2 x 3 uma matriz do tipo 2 x 2 Notao geralCostuma-se representar as matrizes porletras maisculase seus elementos porletras minsculas, acompanhadas pordois ndicesque indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Assim, uma matriz A do tipo m x n representada por:ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em queiejrepresentam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a23 o elemento da 2 linha e da 3 coluna. Na matriz, temos: Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ], temos: a11 = -1, a12 = 0, a13 = 2 e a14 = 5.Denominaes especiaisAlgumas matrizes, por suas caractersticas, recebemdenominaes especiais. Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma nica linha. Por exemplo, a matriz A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4. Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma nica coluna. Por exemplo, , do tipo 3 x 1 Matrizquadrada:matrizdotiponxn, ouseja, comomesmo nmero delinhas e colunas;dizemosqueamatrizdeordem n.Por exemplo, a matriz do tipo 2 x 2, isto , quadrada de ordem 2. Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundria. Aprincipal formadapeloselementosaij taisquei =j. Na secundria, temos i + j = n + 1.Veja:Observe a matriz a seguir:a11 = -1 elemento da diagonal principal, pis i = j = 1a31= 5 elemento da diagonal secundria, pois i + j = n + 1 ( 3+ 1 = 3 + 1) Matriz nula: matriz emque todos os elementos so nulos; representada por 0m x n. Por exemplo, . Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que no esto na diagonal principal so nulos. Por exemplo: Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal so iguais a 1 e os demais so nulos; representada por In, sendo n a ordem da matriz. Por exemplo: Assim, para uma matriz identidade . Matriz transposta: matriz Atobtida a partir da matriz A trocando-seordenadamenteaslinhasporcolunasouascolunasporlinhas. Por exemplo: Desse modo, se a matriz A do tipo m x n, At do tipo n x m. Note que a 1 linha de A corresponde 1 coluna de At e a 2 linha de A corresponde 2 coluna de At. Matriz simtrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = At . Por exemplo, simtrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja, temos sempreaij= aij. Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A. Por exemplo,. Igualdade de matrizes Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, so iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posio so iguais:. Operaes envolvendo matrizesAdioDadas as matrizes , chamamos de soma dessas matrizes a matriz , tal que Cij= aij+ bij, para todo :A + B = CExemplos:Observao: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo.PropriedadesSendoA,Be Cmatrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintes propriedades para a adio:a) comutativa: A + B = B + Ab) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C)c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x nd) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0SubtraoDadasasmatrizes , chamamosdediferenaentre essas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B: A - B = A + ( - B )Observe: Multiplicao de um nmero real por uma matriz Dados um nmero real xe uma matriz A do tipo m x n, o produto de x porAumamatrizBdotipomxnobtidapelamultiplicaodecada elemento de A por x, ou seja, bij = xaij:B = x.AObserve o seguinte exemplo: PropriedadesSendo AeBmatrizes do mesmo tipo ( m x n) exeynmeros reais quaisquer, valem as seguintes propriedades:a) associativa: x . (yA) = (xy) . Ab) distributiva de um nmero real em relao adio de matrizes: x . (A + B) = xA + xBc) distributiva de uma matriz em relao adio de dois nmeros reais: (x + y) . A = xA + yAd) elemento neutro : xA = A, para x=1, ou seja, A=AMultiplicao de matrizesOprodutodeumamatrizpor outranodeterminadopor meiodo produto dos sus respectivos elementos. Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x pe B = ( bij) p x n a matriz C = (cij)m x n em que cada elemento cij obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-sima linha de A pelos elementos da j-sima coluna B. Vamos multiplicar a matrizpara entender como se obtm cada Cij: 1 linha e 1 coluna 1 linha e 2 coluna 2 linha e 1 coluna 2 linha e 2 coluna Assim,. Observe que: Portanto,.A, ou seja, para a multiplicao de matrizes no vale a propriedade comutativa. Vejamos outro exemplo com as matrizes:Da definio, temos que a matriz produto A . B s existe se o nmero de colunas de A for igual ao nmero de linhas de B: AmatrizprodutoteronmerodelinhasdeA(m)eonmerode colunas de B(n): Se A3 x 2 e B 2 x 5 , ento ( A . B ) 3 x 5 Se A 4 x 1 e B 2 x 3, ento no existe o produto Se A4 x 2e B2 x 1, ento ( A . B )4 x 1 PropriedadesVerificadas as condies de existncia para a multiplicao de matrizes, valem as seguintes propriedades:a) associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C )b)distributivaemrelaoadio:A. (B+C)=A. B+A. Cou ( A + B ) . C = A . C + B . Cc) elementoneutro:A .In= In. A= A,sendoIna matrizidentidade de ordem nVimos que a propriedade comutativa, geralmente, no vale para a multiplicao de matrizes. No vale tambm o anulamento do produto, ou seja: sendo 0m x numa matriz nula, A.B =0m x nno implica, necessariamente, que A = 0 m x n ou B = 0 m x n. Matriz inversa Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A', de mesma ordem, tal que A . A' = A' . A = In , ento A' matriz inversa de A . Representamos a matriz inversa por A-1 .Grandezas - IntroduoEntendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. As grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminudas. Algunsexemplosdegrandeza: ovolume, amassa, asuperfcie, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produo. comum ao nosso dia-a-dia situaes em que relacionamos duas ou mais grandezas. Por exemplo:Em uma corrida de "quilmetros contra o relgio", quanto maior for a velocidade, menor ser o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas so a velocidade e o tempo.Num forno utilizado para a produo de ferro fundido comum, quanto maior for o tempo de uso, maior ser a produo de ferro. Nesse caso, as grandezas so o tempo e a produo.Grandezas diretamente proporcionais Um forno tem sua produo de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo:Tempo (minutos) Produo (Kg)5 10010 20015 30020 400Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas so variveis dependentes. Observe que:Quandoduplicamoso tempo, a produo tambmduplica.5min ----> 100Kg10 min ---->200KgQuandotriplicamoso tempo, a produo tambmtriplica.5min ----> 100Kg15 min ---->300KgAssim:Duas grandezas variveis dependentes sodiretamente proporcionais quando a razo entre os valores da 1 grandeza igual a razo entre os valores correspondentes da 2Verifique na tabela que a razo entre dois valores de uma grandeza igual a razo entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.Grandezas inversamente proporcionais Umciclistafazumtreinoparaaprovade"1000metros contrao relgio", mantendoemcadavoltaumavelocidadeconstanteeobtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixoVelocidade (m/s) Tempo (s)5 2008 12510 10016 62,520 50Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas so variveis dependentes. Observe que:Quandoduplicamosa velocidade, o tempo fica reduzido metade.5m/s ----> 200s10 m/s ---->100sQuandoquadriplicamosavelocidade, otempoficareduzidoquarta parte.5m/s ----> 200s20 m/s ---->50sAssim:Duas grandezas variveis dependentes so inversamente proporcionais quando a razoentre os valores da 1 grandeza igual aoinversoda razo entre osvalores correspondentes da 2.Verifique na tabela que a razo entre dois valores de uma grandeza igual ao inverso da razo entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.POLINMIOS DefinioUmafunopolinomialousimplesmentepolinmio, todafuno definida pela relao P(x)=anxn + an-1.xn-1 + an-2.xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0.Onde:an, an-1, an-2, ..., a2, a1, a0 so nmeros reais chamados coeficientes.n INx C (nos complexos) a varivel.GRAU DE UM POLINMIO:Graudeumpolinmiooexpoentemximoqueelepossui. Seo coeficiente an 0, ento o expoente mximo n dito grau do polinmio e indicamos gr(P)=n. Exemplos:a) P(x)=5 ou P(x)=5.x0 um polinmio constante, ou seja, gr(P)=0.b) P(x)=3x+5 um polinmio do 1 grau, isto , gr(P)=1.c) P(x)=4x5+7x4 um polinmio do 5 grau, ou seja, gr(P)=5.Obs: Se P(x)=0, no se define o grau do polinmio. Valor numricoO valor numrico de um polinmio P(x) para x=a, o nmero que se obtm substituindo xporae efetuando todas as operaes indicadas pela relao que define o polinmio. Exemplo:Se P(x)=x3+2x2+x-4, o valor numrico de P(x), para x=2, :P(x)= x3+2x2+x-4P(2)= 23+2.22+2-4P(2)= 14Observao: Se P(a)=0, o nmero a chamado raiz ou zero de P(x).Por exemplo, no polinmio P(x)=x2-3x+2 temos P(1)=0; logo, 1 raiz ou zero desse polinmio.Alguns exerccios resolvidos:1) Sabendo-se que 3 raiz de P(x)=x3+4x2-ax+1, calcular o valor de a.Resoluo: Se 3 raiz de P(x), ento P(-3)=0.P(-3)=0=> (-3)3+4(-3)2-a.(-3)+1 = 03a = -10=>a=-10/3Resposta: a=-10/32) Calcular m IR para que o polinmioP(x)=(m2-1)x3+(m+1)x2-x+4 seja:a) do 3grau b) do 2 grau c) do 1 grauResposta:a) para o polinmio ser do 3 grau, os coeficientes de x2 e x3 devem ser diferentes de zero. Ento:m2-1 0=>m2 1=> m 1m+1 0=> m -1Portanto, o polinmio do 3 grau se m 1 e m -1.b) para o polinmio ser do 2 grau, o coeficiente de x3 deve ser igual a zero e o coeficiente de x2 diferente de zero. Ento:m2-1=0=>m2=1=> m=t 1m+1 0=> m -1Portanto, o polinmio do 2 grau se m=1.c) para o polinmio ser do 1 grau, os coeficientes de x2 e x3 devem ser iguais a zero. Ento:m2-1=0=>m2=1=> m=t 1m+1=0=> m=-1Portanto, o polinmio do 1 grau se m=-1.3)Numpolinmio P(x), do 3 grau, o coeficiente de x3 1. Se P(1)=P(2)=0 e P(3)=30, calcule o valor de P(-1).Resoluo:Temos o polinmio: P(x)=x3+ax2+bx+c.Precisamos encontrar os valores de a,b e c (coeficientes).Vamos utilizar os dados fornecidos pelo enunciado do problema:P(1)=0=> (1)3+a.(1)2+b(1)+c = 0=>1+a+b+c=0=> a+b+c=-1P(2)=0=> (2)3+a.(2)2+b(2)+c = 0=>8+4a+2b+c=0=> 4a+2b+c=-8P(3)=30=> (3)3+a.(3)2+b(3)+c = 30=>27+9a+3b+c=30=> 9a+3b+c=3Temos um sistema de trs variveis:Resolvendo esse sistema encontramos as solues:a=9,b=-34,c=24Portanto o polinmio em questo P(x)= x3+9x2-34x+24.O problema pede P(-1):P(-1)= (-1)3+9(-1)2-34(-1)+24=>P(-1)=-1+9+34+24P(-1)= 66Resposta: P(-1)= 66 Polinmios iguaisDizemosquedoispolinmiosA(x)eB(x)soiguaisouidnticos(e indicamos A(x) B(x)) quandoassumemvalores numricos iguais para qualquervalorcomumatribudovarivel x. Acondioparaquedois polinmiossejamiguaisouidnticosqueoscoeficientesdostermos correspondentes sejam iguais.Exemplo: Calcular a,b e c, sabendo-se que x2-2x+1 a(x2+x+1)+(bx+c)(x+1).Resoluo: Eliminando os parnteses e somando os termos semelhantes do segundo membro temos:x2-2x+1 ax2+ax+a+bx2+bx+cx+c1x2-2x+1 (a+b)x2+(a+b+c)x+(a+c)Agora igualamos os coeficientes correspondentes:Substituindo a 1 equao na 2:1+c = -2=>c=-3.Colocando esse valor de c na 3 equao, temos:a-3=1=>a=4.' + + + + + +3 c 3 b 9 a- 8 c 2 b 4 a- 1 c b a' + + + +121c ac b ab aColocando esse valor de a na 1 equao, temos:4+b=1=>b=-3.Resposta: a=4, b=-3 e c=-3.Obs:umpolinmioditoidenticamentenulosetemtodos os seus coeficientes nulos. Diviso de polinmiosSejam dois polinmios P(x) e D(x), com D(x) no nulo.Efetuar a diviso de P por D determinar dois polinmios Q(x) e R(x), que satisfaam as duas condies abaixo:1) Q(x).D(x) + R(x) = P(x)2) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0Nessa diviso:P(x) o dividendo.D(x) o divisor.Q(x) o quociente.R(x) o resto da diviso.Obs: Quando temos R(x)=0 dizemos que a diviso exata, ou seja, P(x) divisvel por D(x) ou D(x) divisor de P(x).Exemplo:Determinar o quociente de P(x)=x4+x3-7x2+9x-1 por D(x)=x2+3x-2.Resoluo: Aplicando o mtodo da chave, temos:) () () ( D ) (x Q x Rx x PSe D(x) divisor de P(x)R(x)=0) (1 22 31 54 6 2 1 9 5 2) (1 2 2 3 2 3 1 9 7 222 32 32 2 3 42 2 3 4x R xx xx xx x xx x xx Q x x x x xx x x x x x ++ + + + + + + + + +Verificamos que: Diviso de um polinmio por um binmio da forma ax+bVamos calcular o resto da diviso de P(x)=4x2-2x+3 por D(x)=2x-1.Utilizando o mtodo da chave temos:Logo: R(x)=3A raiz do divisor 2x-1=0=> x=1/2.Agora calculamos P(x) para x=1/2.P(1/2) = 4(1/4) 2(1/2) + 3P(1/2) = 3Observe que R(x) = 3 = P(1/2)Portanto, mostramos que o resto da diviso de P(x) por D(x) igual ao valor numrico de P(x) para x=1/2, isto , a raiz do divisor. Teorema do restoNote que b/a a raiz do divisor.Exemplo: Calcule o resto da diviso de x2+5x-1 por x+1.Resoluo: Achamos a raiz do divisor:x+1=0=>x=-1Pelo teorema do resto sabemos que o resto igual a P(-1):P(-1)=(-1)2+5.(-1)-1=>P(-1) = -5 = R(x)Resposta: R(x) = -5. R(x) Q(x)2D(x)2P(x)2 3 41) (2x 1) 2x - (x 2) - 3x (x 1 - 9x 7x - x x + + + + + +32 2 41 23 2 4 22x x xx x x+ + O resto da diviso de um polinmio P(x) pelo binmio ax+b igual a P(-b/a). Teorema de DAlembertExemplo: Determinar o valor de p, para que o polinmio P(x)=2x3+5x2-px+2 seja divisvel por x-2.Resoluo: Se P(x) divisvel por x-2, ento P(2)=0.P(2)=0=>2.8+5.4-2p+2=0=>16+20-2p+2=0=>p=19Resposta: p=19. Diviso de um polinmio pelo produto (x-a)(x-b)Vamosresolver oseguinteproblema: calcular orestodadivisodo polinmio P(x) pelo produto (x-a)(x-b), sabendo-se que os restos da diviso de P(x) por (x-a) e por (x-b) so, respectivamente, r1 e r2. Temos:a a raiz do divisor x-a, portanto P(a)=r1(eq. 1)b a raiz do divisor x-b, portanto P(b)=r2 (eq. 2)E para o divisor (x-a)(x-b) temos P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + R(x)(eq. 3)O resto da diviso de P(x) por (x-a)(x-b) no mximo do 1 grau, pois o divisor do 2 grau; logo:R(x)=cx+dDa eq.3 vem:P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + cx + dFazendo:x=a=>P(a) = c(a)+d(eq. 4)x=b=>P(b) = c(b)+d(eq. 5)Das equaes 1, 2, 4 e 5 temos:Resolvendo o sistema obtemos:Um polinmio P(x) divisvel pelo binmio ax+b se P(-b/a)=0' + +21r d c br d c aObservaes:1) Se P(x) for divisvel por (x-a) e por (x-b), temos:P(a)= r1 =0P(b)= r2 =0Portanto, P(x) divisvel pelo produto (x-a)(x-b), pois:2) Generalizando, temos:Se P(x) divisvel por n fatores distintos (x-a1), (x-a2),..., (x-an) ento P(x) divisvel pelo produto (x-a1)(x-a2)...(x-an).Exemplo:UmpolinmioP(x)divididoporxdresto6edivididopor(x-1)d resto 8. Qual o resto da diviso de P(x) por x(x-1)?Resoluo:0 a raiz do divisor x, portanto P(0)=6(eq. 1)1 a raiz do divisor x-1, portanto P(1)=8 (eq. 2)E para o divisor x(x-1) temos P(x)=x(x-1) Q(x) + R(x)(eq. 3)O resto da diviso de P(x) porx(x-1) no mximo do 1 grau, pois o divisor do 2 grau; logo:R(x)=ax+bDa eq.3 vem:P(x)=x(x-1) Q(x) + ax + bFazendo:x=0=>P(0) = a(0)+b=>P(0) = b(eq. 4)x=1=>P(1) = a(1)+b=>P(1) = a+b(eq. 5)Das equaes 1, 2, 4 e 5 temos:0 0 0 ) (1 2 2 1 + +b aar arxb ar rx Rb ab aar arxb ar rx Rb ab aar ardb ar rc+com , ) ( : Logocom ,e 1 2 2 11 2 2 1' +86b abLogo, b=6 e a=2.Agora achamos o resto:R(x) = ax+b = 2x+6Resposta: R(x) = 2x+6. O dispositivo de Briot-RuffiniServe para efetuar a diviso de um polinmio P(x) por um binmio da forma (ax+b).Exemplo:Determinaroquocienteeorestodadivisodopolinmio P(x)=3x3-5x2+x-2 por (x-2).Resoluo:Observe que o grau de Q(x) uma unidade inferior ao de P(x), pois o divisor de grau 1.Resposta: Q(x)=3x2+x+3 e R(x)=4.Para a resoluo desse problema seguimos os seguintes passos:1)Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo ordenadamente na parte de cima da cerquinha.2) O primeiro coeficiente do dividendo repetido abaixo.3) Multiplicamos a raiz do divisor por esse coeficiente repetido abaixo esomamos oprodutocomo2 coeficientedodividendo, colocandoo resultado abaixo deste.4) Multiplicamos a raiz do divisor pelo nmero colocado abaixo do 2 coeficiente e somamos o produto como 3 coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e assim sucessivamente.5)Separamos oltimonmero formado, que igual ao resto da diviso, e os nmeros que ficam esquerda deste sero os coeficientes do quociente. Decomposio de um polinmio em fatoresVamos analisar dois casos: RESTO Q(x) QUOCIENTE DO ES COEFICIENTP(x) DE ES COEFICIENTDIVISOR DO RAIZ431 32 ) 2 .( 31 ) 2 .( 1 5 ) 2 .( 3 2 1 53 2 + 1 caso: O polinmio do 2 grau.Deumaformageral, opolinmiode2 grauP(x)=ax2+bx+cque admiteasrazesr1er2podeserdecompostoemfatoresdo1grau, da seguinte forma:Exemplos:1) Fatorar o polinmio P(x)=x2-4.Resoluo: Fazendo x2-4=0, obtemos as razes r1=2 e r2=-2.Logo: x2-4 = (x-2)(x+2).2) Fatorar o polinmio P(x)=x2-7x+10.Resoluo: Fazendo x2-7x+10=0, obtemos as razes r1=5 e r2=2.Logo: x2-7x+10 = (x-5)(x-2).2 caso: O polinmio de grau maior ou igual a 3.Conhecendo uma das razes de um polinmio de 3 grau, podemos decomp-lo num produto de um polinmio do 1 grau por um polinmio do 2 grau e, se este tiver razes, podemos em seguida decomp-lo tambm.Exemplo: Decompor em fatores do 1 grau o polinmio 2x3-x2-x.Resoluo:2x3-x2-x = x.(2x2-x-1) colocando x em evidnciaFazendo x.(2x2-x-1) = 0 obtemos: x=0 ou 2x2-x-1=0.Uma das razes j encontramos (x=0).As outras duas saem da equao: 2x2-x-1=0 => r1=1 e r2=-1/2.Portanto, o polinmio 2x3-x2-x, na forma fatorada :2.x.(x-1).(x+(1/2)).Generalizando, se o polinmio P(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 admite n razes r1, r2,..., rn, podemos decomp-lo em fatores da seguinte forma:Observaes:ax2+bx+c=a(x-r1)(x-r2)anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 =an(x-r1)(x-r2)...(x-rn)1) Se duas, trs ou mais raiz forem iguais, dizemos que so razes duplas, triplas, etc.2) Uma raiz r1do polinmio P(x) dita raiz dupla ou de multiplicidade 2 se P(x) divisvel por (x-r1)2 e no por (x-r1)3.PROBABILIDADE Ahistriadateoriadasprobabilidades, teveinciocomosjogosde cartas, dados e de roleta. Esse o motivo da grande existncia de exemplos dejogosdeazarnoestudodaprobabilidade. Ateoriadaprobabilidade permitequesecalculeachance deocorrnciadeumnmeroemum experimento aleatrio.Experimento Aleatrio aquele experimento que quando repetido em iguais condies, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, so resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve clculo de experimento aleatrio.Espao Amostral oconjuntode todos os resultados possveis de umexperimento aleatrio. A letra que representa o espao amostral, S.Exemplo: Lanando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espao amostral, constitudo pelos 12 elementos:S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}1. Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m nmero par aparece}, B={umnmero primo aparece}, C={coroas e um nmero mpar aparecem}. 2. Idem, o evento em que: a)A ou B ocorrem;b)B e C ocorrem;c)Somente B ocorre.3. Quais dos eventos A,B e C so mutuamente exclusivos Resoluo:1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constitudos de um K e um nmero par:A={K2, K4, K6}; Para obter B, escolhemos os pontos de S constitudos de nmeros primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}Para obter C, escolhemos os pontos de S constitudos de um R e um nmero mpar: C={R1,R3,R5}.2. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5} (b) B e C = B C = {R3,R5}(c) Escolhemos os elementos de B que no esto em A ou C;B Ac Cc = {K3,K5,R2}3. A e C so mutuamente exclusivos, porque AC = Conceito de probabilidadeSe em um fenmeno aleatrio as possibilidades so igualmente provveis, ento a probabilidade de ocorrer um evento A :Por, exemplo, no lanamento de um dado, um nmero par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente provveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%Dizemos que um espao amostral S (finito) equiprovvel quando seus eventos elementares tm probabilidades iguais de ocorrncia.Numespao amostral equiprovvel S (finito), a probabilidade de ocorrncia de um evento A sempre:Propriedades Importantes:1. Se A e A so eventos complementares, ento:P( A ) + P( A' ) = 1 2. Aprobabilidade de umevento sempre umnmero entre (probabilidade de evento impossvel) e 1 (probabilidade do evento certo).Probabilidade Condicional Antes da realizaodeumexperimento, necessrioquej tenha alguma informao sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o espaoamostral semodificaeoeventotemasuaprobabilidadede ocorrncia alterada. Frmula de Probabilidade Condicional P(E1eE2eE3e...eEn-1eEn)igual aP(E1).P(E2/E1).P(E3/E1e E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1). Onde P(E2/E1) a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato de j ter ocorrido E1;P(E3/E1 e E2) a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de j terem ocorrido E1 e E2;P(Pn/E1 e E2 e ...En-1) a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato de j ter ocorrido E1 e E2...En-1.Exemplo: Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e semreposio, qual ser a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?Resoluo: Seja o espao amostral S=30 bolas, bolinhas e considerarmos os seguintes eventos:A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29Assim:P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87Eventos independentes Dizemosque E1e E2e ...En-1, Ensoeventos independentesquando a probabilidade de ocorrer um deles no depende do fato de os outros terem ou no terem ocorrido.Frmula da probabilidade dos eventos independentes:P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En) Exemplo:Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e respondo a sorteada na urna, qual ser a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?Resoluo:Como os eventos so independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada igual ao produto das probabilidades de cada condio, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Da, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9.Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposio. Assim, P(B/A) =P(B), porque ofatode sair bola vermelha na primeira retirada no influenciou a segunda retirada, j que ela foi reposta na urna.Probabilidade de ocorrer a unio de eventosFrmula da probabilidade de ocorrer a unio de eventos:P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2).P(E1 e E2)De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, estes eventos estaro computados no clculo de P(E1) e P(E2). Para que sejam considerados uma vez s, subtramos P(E1 e E2).Frmuladeprobabilidadedeocorrerauniodeeventosmutuamente exclusivos:P(E1 ou E2 ou E3 ou ... ou En) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En)Exemplo: Se dois dados, azul e branco, foremlanados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco?Considerando os eventos:A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6Sendo S o espao amostral de todos os possveis resultados, temos:n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Da, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 1/36 = 11/36Exemplo: Seretirarmosaleatoriamenteumacartadebaralhocom52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou um Rei?Sendo S o espao amostral de todos os resultados possveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos:A: sair 8 e P(A) = 4/52B: sair um rei e P(B) = 4/52Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta no pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B so mutuamente exclusivos.Progresses AritmticasProgresso aritmtica uma sequncia numrica na qual, a partir dosegundo, cada termo igual soma de seu antecessor comuma constante, denominada razo.Logo abaixo temos alguns exerccios de progresses aritmticas resolvidos.1) Dada a P.A. (-19,-15,-11,...) calcule o seu ensimo termo.2) Interpoleseis meios aritmticos entre 8 e 13.3) EscrevaumaP.A. detrstermos, sabendoqueasomadessestermos vale 12 e que a soma de seus quadrados vale 80.r n a an). 1 ( : P.A. uma de geral termo do Frmula1 + 2). (S : finita P.A. uma de termos de Soma1n a ann+23 4 4 4 19 4 ). 1 ( 19 ). 1 (: geral termo o Logo,. 4 ) 19 ( 15: razo a s encontramo nte Primeirame11 2 + + + n a n a n a r n a ar r a a rn n n n13 8 - 10, 7, 4, 1, 2, - 5, - ,: s aritmtico meios os interpolar basta razo, a Encontrada3. r721 21 7r 7 8 3 1 7 8 3 1). 1 8 ( 8 3 1 ). 1 (: razo a encontrardevemos valores, os interpolar ParaP.A.). na termos 8 existem Logo, 13. e 8 - so que extremos, dois os entreos interpolad sero s aritmtico meios 6 (pois 8 , 13 , 8: problema No11 + + + + rr r r r n a an a ann ( 8 , 4 , 0 ) . o u ( 0 , 4 , 8 ) : R e s p o s t a( 8 , 4 , 0 ) : P . A8 a ( - 4 ) - 4 a r - 4: 4 P a r a 1 )( 0 , 4 , 8 ) : P . A0 a 4 - 4 a r - 4: 4 P a r a 1 ): t e r m o p r i m e i r o o s e n c o n t r a m o A g o r a4 r 1 6 r 1 6 r 3 2 2 r 4 8 8 0 2 r 8 0 2 4 88 0 5 6 2 4 3 2 4 4 88 0 5 ) 6 2 4 ( ) 8 1 6 ( 38 0 5 ) 4 ( 6 ) 4 ( 3: t e m o s e q u a o s e g u n d a n a d o S u b s t i t u i n8 0 5 6 3433 1 21 2 3 3 8 0 4 4 21 2 3 3 8 0 ) 2 ( ) (1 2 ) 2 ( ) (: a c i m a s i s t e m a n o o s s u b s t i t u i m E n t o . 2 q u e e q u e S a b e m o s8 01 21 1 11 1 12 2 2 22 2 22 22 221211 1 1212121212112121211 1 11 3 1 22322213 2 1 t + + + + + + + + + ' + + +' + + + + + + +' + + + + + + + ++ + ' + + + +ararrr r r r rr r r r rr r r rr r a ar ara r ar r a a r r a a ar ar a r a ar a r a ar a a r a aa a aa a a4) Calcule quantos nmeros inteiros existem entre 13 e 247 que no so mltiplos de 3.3. de mltiplos so no 155 logo 3, de mltiplos so 78 nmeros, 233 Dos78 n3234n 3 - 3n 231 1)3 - (n 15 246 ). 1 (: mltiplos de nmero o que , o acharBasta 247). do antes 3 de mltiplo ltimo o (pois 246, 313) do depois 3 de mltiplo primeiro o (pois 15: 3 de mltiplos de nmero o calcularParamltiplos. NO de nmero o resultado como dar que o mltiplos, de nmero pelo (233) nmeros de totalnmero o subtrairaps logo e 3, de mltiplos SO nmeros quantos nte primeirame calculardevemos ns3, de mltiplos so NO nmeros quantos calcularPara nmeros. 233 existem 247 e 13 Entre11 + + r n a an a rann5) Encontreovalor dexparaqueasequncia(2x, x+1, 3x) sejauma progresso aritmtica.6) Numa progresso aritmtica em que a2+a7=a4+ak, o valor de k :7) Se Sn a soma dos n primeiros termos da progresso aritmtica (-90,-86,-82,...) ento o menor valor de n para que se tenha Sn>0 :8) A soma dos n primeiros nmeros pares positivos 132. Encontre o valor den.322 31 1 21 1 22 ) 1 ( ) 1 ( 3 : P.A. uma serPara1 2 2 3 + + + + x x x xx xx x x xa a a a. 4 pois 5, k Logo4 3 7 23 7 2) 3 ( ) 6 ( ) (1 51 1 11 11 1 1r a ar a a a r r a aa r a r aa r a r a r ak kkk+ + + + + ++ + + + +4 741 8 84 4 1 8 44 4 9 0 9 44 ) . 1 ( 9 0 9 4) . 1 (: t e r m o s d e n m e r o o e n c o n t r a r B a s t az e r o ) q u e m a i o r s e r d e v e a ( p o i s 9 49 04: d a d o s s e g u i n t e s o s o b t e m o s e n u n c i a d o , P e l o1n1 + + + + ' n n nnnr n a aS aarnn1 11 11 222 3 1 25 2 9 1 21 3 2 . 1 . 4 1 10 1 3 22) 2 2 (1 3 22) . (: t e m o s s o m a d a f r m u l a n a d o S u b s t i t u i n2 2 2 2 2 ) . 1 ( 2 ) . 1 (1 3 2 ; 2 ; 22 111 ' t t + t + + + + + + nnnnn nn n n a aSn a n a n a r n a aS a rnnn n n nnPROGRESSES GEOMTRICASPodemos definir progresso geomtrica, ou simplesmenteP.G., como uma sucesso de nmeros reais obtida, comexceo do primeiro, multiplicandoonmeroanterior por uma quantidade fixaq, chamada razo. Podemos calcular a razo da progresso, caso ela no esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucesso (1, 2, 4, 8,...), q = 2. Clculos do termo geral Numa progresso geomtrica de razo q, os termos so obtidos, por definio, a partir do primeiro, da seguinte maneira:a1a2a3...a20... an...a1a1xqa1xq2...a1xq19 a1xqn-1 ...Assim, podemos deduzir a seguinte expresso do termo geral, tambm chamado ensimo termo, para qualquer progresso geomtrica. an = a1 x qn-1 Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, ento: an = 2 x (1/2)n-1 Sequisermoscalcularovalordotermoparan=5, substituindo-ona frmula, obtemos: a5 = 2 x (1/2)5-1 = 2 x (1/2)4 = 1/8 Asemelhana entre as progresses aritmticas e as geomtricas aparentemente grande. Porm, encontramos a primeira diferena substancial no momento de sua definio. Enquanto as progresses aritmticas formam-se somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas progresses geomtricas os termos so gerados pela multiplicao, tambm repetida, por um mesmo nmero. As diferenas no param a. Observe que, quando uma progresso aritmtica tem a razo positiva, isto ,r > 0, cada termo seu maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progresso crescente. Ao contrrio, se tivermos uma progresso aritmtica com razo negativa, r < 0, seu comportamento ser decrescente. Observe, tambm, a rapidez com que a progresso cresce ou diminui. Isto conseqncia direta do valor absoluto da razo,|r|. Assim,quanto maior forr, em valor absoluto, maior ser a velocidade de crescimento e vice-versa. Soma dos n primeiros termos de uma PG SejaaPG(a1, a2, a3, a4, ... , an, ...). Paraoclculodasomadosn primeiros termos Sn, vamos considerar o que segue:Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + anMultiplicando ambos os membros pela razo q vem:Sn.q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q Conforme a definio de PG, podemos reescrever a expresso como:Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q Observe que a2+ a3+ ... + an igual a Sn- a1. Logo, substituindo, vem:Sn . q = Sn - a1 + an . q Da, simplificandoconvenientemente, chegaremosseguintefrmulada soma: Se substituirmos an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentao para a frmula da soma, ou seja: Exemplo: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)Temos: Observe que neste caso a1 = 1. 5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condies, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na frmula anterior, encontraremos: Exemplo:Resolva a equao: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100OprimeiromembroumaPGdeprimeirotermoxerazo1/2. Logo, substituindo na frmula, vem: Dessa equao encontramos como respostax = 50. Propores - IntroduoRogerio e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerio pesa 120kg, e seu co, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu co, 16kg.Observe a razo entre o peso dos dois rapazes:Observe, agora, a razo entre o peso dos cachorros:Verificamos que as duas razes so iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a igualdade uma proporo. Assim:Proporo uma igualdade entre duas razes.Elementos de uma proporoDados quatro nmeros racionais a, b, c, d, no-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporo quando a razo do 1 para o 2 for igual razo do 3 para o 4. Assim: oua:b=c:d(l-se "a est para b assim como c est para d")Os nmeros a, b, c e d so os termos da proporo, sendo: b e c os meios da proporo. a e d os extremos da proporo. Exemplo:Dada a proporo, temos:Leitura: 3 est para 4 assim como 27 est para 36.Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36Razes - IntroduoVamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m de comprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um deles pelo outro. Assim: (o tamanho do carro de corrida duas vezes o tamanho do kart).Podemos afirmar tambm que o kart tem a metadedo comprimento do carro de corrida.A comparao entre dois nmeros racionais, atravs de uma diviso, chama-se razo.A razopode tambm ser representada por 1:2 e significa que cada metro do kart corresponde a 2m do carro de corrida.Denominamos de razo entre dois nmeros a e b (b diferente de zero)o quocienteou a:b.A palavra razo, vem do latim ratio, e significa "diviso". Como no exemplo anterior, so diversas as situaes em que utilizamos o conceito de razo. Exemplos: Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos.Razo dos candidatos aprovados nesse concurso: (de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado). Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres.Razo entre o nmero de mulheres e o nmero de convidados: (de cada 4 convidados, 3 eram mulheres).Observaes:1) A razo entre dois nmeros racionais pode ser apresentada de trs formas. Exemplo:Razo entre 1 e 4: 1:4 ou ou 0,25.2) A razo entre dois nmeros racionais pode ser expressa com sinal negativo, desde que seus termos tenham sinais contrrios. Exemplos:A razo entre 1 e -8 .A razo entre.Observe a razo: (l-se "a est para b" ou "a para b").Na razo a:b ou, o nmero a denominado antecedente e o nmero b denominado consequente. Veja o exemplo:3:5 =Leitura da razo: 3 est para 5 ou 3 para 5.Regra de trs simplesRegra de trs simples um processo prtico para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos trs deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos trs j conhecidos.Passos utilizados numa regra de trs simples:1) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espcie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espcies diferentes em correspondncia.2) Identificar se as grandezas so diretamente ou inversamente proporcionais.3) Montar a proporo e resolver a equao.Exemplos:1) Com uma reade absoro de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa rea para 1,5m2, qual ser a energia produzida?Soluo: montando a tabela:rea (m2) Energia (Wh)1,2 4001,5 xIdentificao do tipo de relao:Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contm o x (2 coluna).Observe que: Aumentando a rea de absoro, a energia solar aumenta.Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas so diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1 coluna. Montando a proporo e resolvendo a equao temos:Logo, a energia produzida ser de 500 watts por hora.2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade mdia de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?Soluo: montando a tabela:Velocidade (Km/h)Tempo (h)400 3480 xIdentificao do tipo de relao:Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contm o x (2 coluna).Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.Como as palavras so contrrias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas so inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrrio (para cima) na 1 coluna. Montando a proporo e resolvendo a equao temos:Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preo?Soluo: montando a tabela:Camisetas Preo (R$)3 1205 xObserve que: Aumentando o nmero de camisetas, o preo aumenta.Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas so diretamente proporcionais. Montando a proporo e resolvendo a equao temos:Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.4) Uma equipe de operrios, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o nmero de horas de servio for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe far o mesmo trabalho?Soluo: montando a tabela:Horas por diaPrazo para trmino (dias)8 205 xObserve que: Diminuindo o nmero de horas trabalhadas por dia, o prazo para trmino aumenta.Como as palavras so contrrias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas so inversamente proporcionais. Montando a proporo e resolvendo a equao temos:Regra de trs compostaA regra de trs composta utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.Exemplos:1) Em 8 horas, 20 caminhes descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhes sero necessrios para descarregar 125m3?Soluo: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espcie e, em cada linha, as grandezas de espcies diferentes que se correspondem:Horas Caminhes Volume8 20 1605 x 125Identificao dos tipos de relao:Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contm o x (2 coluna).A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde est o x.Observe que:Aumentando o nmero de horas de trabalho, podemos diminuir o nmero de caminhes. Portanto a relao inversamente proporcional (seta para cima na 1 coluna).Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o nmero de caminhes. Portanto a relao diretamente proporcional (seta para baixo na 3 coluna). Devemos igualar a razo que contm o termo x com o produto das outras razes de acordo com o sentido das setas.Montando a proporo e resolvendo a equao temos:Logo, sero necessrios 25 caminhes.2) Numa fbrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos sero montados por 4 homens em 16 dias?Soluo: montando a tabela:Homens Carrinhos Dias8 20 54 x 16Observe que:Aumentando o nmero de homens, a produo de carrinhos aumenta. Portanto a relao diretamente proporcional (no precisamos inverter a razo).Aumentando o nmero de dias, a produo de carrinhos aumenta. Portanto a relao tambm diretamente proporcional (no precisamos inverter a razo). Devemos igualar a razo que contm o termo x com o produto das outras razes.Montando a proporo e resolvendo a equao temos:Logo, sero montados 32 carrinhos.3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual ser o tempo necessrio para completar esse muro?Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contm o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incgnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:Montando a proporo e resolvendo a equao temos:Logo, para completar o muro sero necessrios 12 dias.Exerccios complementaresAgora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exerccios:1) Trs torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levaro 10 torneiras para encher 2 piscinas?Resposta: 6 horas.2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvo. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguiro extrair 5,6 toneladas de carvo? Resposta: 35 dias.3) Vinte operrios, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levar uma turma de 16 operrios, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m?Resposta: 15 dias.4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um ms, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade mdia de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade mdia de 60 km/h?Resposta: 10 horas por dia.5) Com uma certa quantidade de fio, uma fbrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centmetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos?Resposta: 2025 metros.Sistemas LinearesEquao linearEquao linear toda equao da forma:a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = bemquea1,a2, a3, ... , ansonmeros reais, querecebemonomede coeficientes das incgnitasx1, x2,x3, ... , xn, e b um nmero real chamado termo independente( quando b=0, a equao recebe o nome de linear homognea).Veja alguns exemplos de equaes lineares: 3x - 2y + 4z = 7 -2x + 4z = 3t - y + 4 (homognea) As equaes a seguir no so lineares: xy - 3z + t = 8 x2- 4y = 3t - 4 Sistema linearUm conjunto de equaes lineares da forma: um sistema linear de m equaes e n incgnitas. A soluo de um sistema linear a n-upla de nmeros reais ordenados (r1, r2, r3,..., rn) que , simultaneamente,soluo de todas as equaes do sistema.Matrizes associadas a um sistema linear A um sistema linear podemos associar as seguintes matrizes:matriz incompleta: a matrizAformada pelos coeficientes das incgnitas do sistema. Em relao ao sistema:a matriz incompleta : matriz completa: matrizBquese obtmacrescentandomatriz incompleta uma ltima coluna formada pelos termos independentes das equaes do sitema. Assim, para o mesmo sistema acima, a matriz completa :Sistemas homogneos Umsistemahomogneoquandotodosostermosindependentesda equaes so nulos: Veja um exemplo: A n-upla (0, 0, 0,...,0) sempre soluo de um sistema homogneo com n incgnitas e recebe o nome de soluo trivial. Quando existem, as demais solues so chamadas no-triviais.Classificao de um sistema quanto ao nmero de soluesResolvendoosistema , encontramosumanicasoluo: opar ordenado (3,5). Assim, dizemos que o sistema possvel (tem soluo) e determinado (soluo nica).No caso do sistema, verificamos que os pares ordenados (0,8), (1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),...soalgumas de suas infinitas solues. Por isso, dizemos que osistema possvel (temsoluo) eindeterminado (infinitas solues).Para , verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamenteasequaes. Portanto, osistemaimpossvel (notem soluo). Resumindo, um sistema linear pode ser: a) possvel e determinado (soluo nica); b) possvel e indeterminado (infinitas solues); c) impossvel (no tem soluo). Sistema normalUm sistema normal quando tem o mesmo nmero de equaes (m) e de incgnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema diferente de zero.Se m=n e det A0, ento o sistema normal. Regra de CramerTodo sistema normal tem uma nica soluo dada por:em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e Dxi o determinante obtido pela substituio, na matriz incompleta, da colunaipela coluna formada pelos termos independentes. Discusso de um sistema linearSe um sistema linear tem n equaes e n incgnitas, ele pode ser: a) possvel e determinado, se D=det A 0; caso em que a soluo nica.Exemplo:m=n=3Ento, o sistema possvel e determinado, tendo soluo nica. b) possvel e indeterminado, se D= Dx1 = Dx2 = Dx3 = ... = Dxn= 0, para n=2. Se n 3, essa condio s ser vlida se no houver equaes com coeficientes das incgnitas respectivamente proporcionais e termos independentes no-proporcionais.Um sistema possvel e indeterminado apresenta infinitas solues.Exemplo:D=0, Dx =0, Dy=0 e Dz=0Assim, o sistema possvel e indeterminado, tendo infinitas solues.c) impossvel, se D=0 eDxi0, 1i n; caso em que o sistema no tem soluo.Exemplo: Como D=0 e Dx0,o sistema impossvel e no apresenta soluo. Sistemas EquivalentesDois sistemas so equivalentes quando possuemo mesmo conjunto soluo.Por exemplo, dados os sistemas:everificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e nico. Logo, S1 e S2 so equivalentes: S1 ~ S2. Propriedadesa) Trocando de posio as equaes de um sistema, obtemos outro sistema equivalente.Por exemplo:eS1 ~S2 b) Multiplicando uma ou mais equaes de um sistema por um nmero K (KIR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior. Por exemplo:S1 ~S2 c) Adicionandoaumadasequaesdeumsistemaoprodutodeoutra equao desse mesmo sistema por um nmero k( KIR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior.Por exemplo: Dado , substituindo a equao (II) pela soma do produto de (I) por -1 com (II), obtemos: S1~S2, pois (x,y)=(2,1) soluo de ambos os sistemas.Sistemas escalonados Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares em que o nmero de equaes (m) igual ao nmero de incgnitas (n). Quando m e n so maiores que trs, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a tcnica do escalonamento, que facilita a discusso e resoluo de quaisquer sistemas lineares. Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente no-nulo em cada equao, est escalonado se o nmero de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente no nulo aumenta de equao para equao. Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento: a)Fixamoscomo1equaoumadasquepossuemocoeficienteda1 incgnita diferente de zero. b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1 incgnita das demais equaes. c) Repetimos o processo com as demais incgnitas, at que o sistema se torne escalonado. Vamosentoaplicar atcnicadoescalonamento, considerandodois tipos de sistema:I. O nmero de equaes igual ao nmero de incgnitas (m=n)Exemplo 1: 1passo:Anulamostodososcoeficientesda1 incgnitaapartir da2 equao, aplicando as propriedades dos sistemas equivalentes:Trocamos de posio a 1 equao com a 2 equao, de modo que o 1 coeficiente de x seja igual a 1:Trocamos a 2 equao pela soma da 1 equao, multiplicada por -2, com a 2 equao: Trocamos a 3 equao pela soma da 1 equao, multiplicada por -3, com a 3 equao: 2 passo: Anulamos os coeficientesda 2 incgnita a partir da 3 equao: Trocamos a 3 equao pela soma da 2 equao, multiplicada por -1, com a 3 equao: Agora o sistema est escalonado e podemos resolv-lo.-2z=-6z=3Substituindo z=3 em (II):-7y - 3(3)= -2-7y - 9 = -2y=-1Substituindo z=3 e y=-1 em (I):x + 2(-1) + 3= 3x=2Ento, x=2, y=-1 e z=3Exemplo 2: 1 passo: Anulamos todos os coeficientes da 1 incgnita a partir da 2 equao: Trocamos a 2 equao pela soma do produto da 1 equao por -2 com a 2 equao: Trocamos a 3 equao pela soma do produto da 1 equao por -3 com a 3 equao: 2 passo: Anulamos os coeficientes da 2 incgnita, a partir da 3 equao: Trocamos a 3 equao pela soma do produto da 2 equao por -1 com a 3 equao: Dessa forma, o sistema est escalonando. Como no existe valor real de z tal que 0z=-2, o sistema impossvel. II) O nmero de equaes menor que o nmero de incgnitas (m < n)Exemplo: 1 passo: Anulamos todos os coeficientes da 1 incgnita a partir da 2 equao: Trocamos a 2 equao pela soma do produto da 1 equao por -2 com a 2 equao: Trocamos a 3 equao pela soma do produto da 1 equao por -1 com a 3 equao: 2 passo: Anulamos os coeficientes da 2 incgnita, a partir da 3 equao: Trocamos a 3 equao pela soma do produto da 2 equao por -3 com a 3 equao O sistema est escalonado. Como m