4486234 a Excelente Apostila de a 2 Grau

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<p>Anlise CombinatriaFatorial de um nmero:Definies especiais:Arranjo simples: n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.10!=11!=1ades. possibilid 24 2 . 3 . 4 lugar 3 o para ades possibilid2 e lugar2 o para ades possibilid 3 sobrando lugar, 1 o para ades possibilid 4 Existem : Rlugares? primeiros trs os para ades possibilid as so Quantas mundo. do campeesdos torneio o disputam Flamengo) e Paulo So Santos, (Grmio, futebol de times Quatro 3)negativo. nmero um de fatorial existe no pois , 7 : Resposta-8 x7 x</p> <p>215 1</p> <p>2225 1 0 56 56 x56 ) )( 1 ( 56)! 1 ()! 1 )( )( 1 ( 56)! 1 ()! 1 (. 56)! 1 ()! 1 ( equao a Resolva 2)10200 10100 100 100 . 101 100! 99! 99 . 100 . 101 ! 99 . 100! 99! 101 ! 100.! 99! 101 ! 100 expresso da valoro Calcule 1)22 't t + + + + ++ + + +++xx x x xx x xxx x xxxxx)! (!,p nnAp n401780348 7220 24 30)! 1 8 (! 8)! 2 9 (! 9)! 2 5 (! 5)! 3 4 (! 4)! 2 6 (! 6. Calcule ) 41 , 8 2 , 92 , 5 3 , 4 2 , 61 , 8 2 , 92 , 5 3 , 4 2 , 6 + ++++ ++ +A AA A AA AA A APermutao Simples: um caso particular de arranjo simples. o tipo de agrupamento ordenado onde entram todos os elementos.nmeros. 336 6 . 7 . 8! 5! 5 . 6 . 7 . 8! 5! 8)! 3 8 (! 81.: ento s, disponveinmeros 8 existem ainda trs outros os para e (2), ade possibilid uma apenas existe algarismoprimeiro o Para 3000). e 2000 entre est (pois algarismos quatro terdeve nmero O : R 9? e 6,7,8 1,2,3,4,5, entre escolhidos distintosalgarismos porformados 3000 e 2000 entre dos compreendi nmeros os so Quantos 6)nmeros. 136 64 72 5 pordivisveis de nmero O : Respostanmeros. 64 8 . 8! 7! 7 . 8.! 7! 7 . 8! 7! 8.! 7! 8)! 1 8 (! 8.)! 1 8 (! 8. 1.0). serpode algarismo segundo (o ades possibilid 8 existem tambm algarismo segundoo para E ). algarismos 2 de nmero um seria (seno 0 com comearpode no nmero o poisades, possibilid 8 ainda existem algarismo primeiro o Para (5). ade possibilid uma apenas existealgarismo terceiro o para : 5 com terminam 5 pordivisveis quantos calculamos Agoranmeros. 72 8 . 9! 7! 7 . 8 . 9! 7! 9)! 2 9 (! 91.: 0 com terminam que 5 pordivisveis de nmero o Portanto s. disponvei nmeros 9 existemainda primeiros dois os para e (0), ade possibilid 1 apenas existe algarismo terceiro o Para: 0 com terminam que 5 pordivisveis de nmero o calcularvamosnte Primeirame 5. com ou0 com terminardeve ele 5, divisvel sernmero um Para : R5. POR DIVISVEIS SEJAM c)nmeros. 8! 7! 7 . 8! 7! 8)! 1 8 (! 81.1.: ades possibilid 8 existem ainda segundo o Para (5). ade possibilid 1 apenas existe tambm terceiro o para e (2), ade possibilid 1 apenas existe algarismo primeiro o Para : R5. COM TERMINEM E 2 COM COMECEM b)nmeros. 72 8 . 9! 7! 7 . 8 . 9! 7! 9)! 2 9 (! 91.: s disponvei nmeros 9 existem ainda dois outros os para e (1) ade possibilid1 apenas existe primeiro o para que sendo , algarismos s possuir tr pode nmero O : R1. COM COMECEM a): que modo de repetir, os sem ) ,5,6,7,8,9 (0,1,2,3,4 decimal sistemado algarismos o com formarpodemos distintos algarismos 3 de nmeros Quantos 5)3 , 81 , 8 1 , 82 , 91 , 82 , 9 + AA AAAA! n Pn Combinao Simples: o tipo de agrupamento em que um grupo difere do outro apenas pela natureza dos elementos componentes.maneiras. 1152 576 576 total o Portantomaneiras. 576 24 . 24 ! 4 !. 4 .: tambm temos posio primeira na dama uma Colocandomaneiras. 576 24 . 24 ! 4 !. 4 .: maneiras de total nmero como temos posio primeira na cavalheiro um ColocandoC - D - C - D - C - D - C - D ouD - C - D - C - D - C - D - C: isso fazerde maneiras duas Existem : Rdamas. duas e s cavalheiro dois juntos fiquem no que formade fila, numa s, cavalheiro 4 e damas 4 dipostas serpodem maneiras quantas de Calcule 8)anagramas. 120 1 . 2 . 3 . 4 . 5 ! 5 . 1 . 1 . 1 . 1: total o Ento ades. possibilid 5 existem letras 5 outras as para e(E), 1 existe s tambm ltima para e (A), ade possibilid 1 existe letra primeira a Para E. com terminam e APOR COMEAM b)anagramas. 720 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 ! 6 . 1 . 1: total o Ento ades. possibilid 6 existemletras 6 outras as para e (A), ade possibilid uma apenas existe letra primeira a Para A. POR COMEAM a): EDITORA palavra da anagramas Quantos 8)nmeros. 120 1 . 2 . 3 . 4 . 5 ! 58? e 1,2,3,5 porformados serpodem distintos algarismos 5 de nmeros Quantos ) 74 44 4565 + P PP PPPP)! ( !!,p n pnCp nBinmio de NewtonIntroduo Pelos produtos notveis, sabemos que (a+b) = a + 2ab + b.Se quisermos calcular (a + b), podemos escrever:(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3Se quisermos calcular, podemos adotar o mesmo procedimento:comisses. 525 15 . 35230.! 3210! 2 !. 4! 4 . 5 . 6.! 4 !. 3! 4 . 5 . 6 . 7)! 4 6 ( ! 4! 6.)! 3 7 ( ! 3! 7. . produto o resultado O- MOAS- RAPAZESmoas? 4 e rapazes3 com formarpodemos comisses quantas moas, 6 e rapazes 7 com reunio Numa 11)saladas. de tipos 210245040! 45040! 4 !. 6! 6 . 7 . 8 . 9 . 10)! 6 10 !.( 6! 10feitas? serpodemdiferentes espcies 6 contendo salada, de tipos quantos frutas, de espcies 10 Com 10). C haverpode no porque resposta a no 1 : obs. 5 : Resposta1 ' '5 '</p> <p>216 6 0 5 60 5 6 063 3 2 302 62 20! 2) 1 .(! 3) 2 ).( 1 .(0)! 2 ( ! 2)! 2 ).( 1 .()! 3 ( ! 3)! 3 ).( 2 ).( 1 .(0)! 2 ( ! 2!)! 3 ( ! 3!. 0 equao a Resolver9)4 , 6 3 , 74 , 63 , 76 , 101,322 32 2 32 2 2 32 , 3 , 't + + + + + C CCCCmmmmm m mm m mm m m m mm m m m m mm m m m mmm m mmm m m mmmmmC Cm m(a + b)4 = (a + b)3 (a+b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) (a+b)= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 De modo anlogo, podemos calcular as quintas e sextas potncias e, de modo geral, obter o desenvolvimento da potncia a partir da anterior, ou seja, de .Porm quando o valor de n grande, este processo gradativo de clculo muito trabalhoso.Existe um mtodo para desenvolver a ensima potncia de um binmio, conhecido como binmio de Newton(Isaac Newton, matemtico e fsico ingls, 1642- 1727). Para esse mtodo necessriosaber oque so coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e otringulode Pascal. Coeficientes Binomiais Sendonepdoisnmerosnaturais , chamamosdecoeficiente binomial de classe p, do nmero n, o nmero, que indicamos por (l-se: n sobre p). Podemos escrever: Ocoeficientebinomialtambm chamado denmerobinomial. Por analogia comas fraes, dizemos quen oseunumeradorep, odenominador. Podemos escrever: tambm imediato que, para qualquer n natural, temos: Exemplos:Propriedades dos coeficientes binomiais1)Sen, p, k ep+k=n ento Coeficientesbinomiaiscomoesses, quetemomesmonumeradorea soma dos denominadores igual ao numerador, so chamados complementares. Exemplos: 2)Se n, p, k e p p-1 0 ento EssaigualdadeconhecidacomorelaodeStifel(Michael Stifel, matemtico alemo, 1487 - 1567). Exemplos: Tringulo de Pascal A disposioordenadados nmeros binomiais,como na tabela aolado, recebeo nomede Tringulo de PascalNesta tabela triangular, os nmeros binomiais com o mesmo numerador soescritos na mesma linha e os de mesmodenominador, na mesma coluna.Por exemplo, os nmeros binomiais,,eesto na linha 3 e os nmeros binomiais,,,, ...,, ... esto na coluna 1.Substituindo cada nmero binomial pelo seu respectivo valor, temos:Construo do tringulo de Pascal Para construir o tringulo do Pascal, basta lembrar as seguintes propriedades dos nmeros binomiais, no sendo necessrio calcul-los:1) Como= 1, todos os elementos da coluna 0 so iguais a 1.2) Como= 1, o ltimo elemento de cada linha igual a 1.3) Cada elemento do tringulo que no seja da coluna 0 nem o ltimo de cada linha igual soma daqueleque est na mesma coluna e linha anterior com o elemento que se situa esquerda deste ltimo (relaode Stifel).Observe os passos e aplicao da relao de Stifel para a construo do tringulo: Propriedade do tringulo de PascalP1EmQualquer linha, dois nmeros binomiais eqidistantes dos extremos so iguais. De fato, esses binomiais so complementares. P2 Teorema das linhas: A soma dos elementos da ensima linha .</p> <p> De modo geral temos: P3 Teorema das colunas: A soma dos elementos de qualquer coluna, do 1 elementoatumqualquer, igual aoelementosituadonacoluna direita da considerada e na linha imediatamente abaixo.1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 1 + 4 + 10 + 20 = 35 P4 Teorema das diagonais:A soma dos elementos situados na mesma diagonal desde o elemento da 1 coluna at o de uma qualquer igual ao elemento imediatamente abaixo deste.1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35 Frmula do desenvolvimento do binmio de NewtonComovimos, apotnciadaforma ,emquea, , chamada binmio de Newton. Alm disso: quando n = 0 temos quando n = 1 temos quando n = 2 temos quando n = 3 temos quando n = 4 temos Observe que os coeficientes dos desenvolvimentos foram o tringulo de Pascal. Ento, podemos escrever tambm: De modo geral, quando o expoente n, podemos escrever a frmula do desenvolvimento do binmio de Newton: Notequeosexpoentesdeavodiminuindodeunidadeemunidade, variando de n at 0, e os expoentes de bvo aumentando de unidade em unidade, variando de 0 at n. O desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos. Frmula do termo geral do binmio Observando os termos dodesenvolvimento de (a + b)n, notamosquecadaum deles da forma. Quando p = 0 temos o 1 termo: Quando p = 1 temos o 2 termo: Quando p = 2 temos o 3 termo: Quando p = 3 temos o 4 termo: Quando p = 4 temos o 5 termo:.............................................................................. Percebemos, ento, que um termo qualquerT de ordem p + 1pode ser expresso por: </p> <p>Cilindro Nafiguraabaixo, temosdoisplanosparalelosedistintos, , um crculo R contido eme uma reta r que intercepta, mas no R: ParacadapontoCdaregioR, vamosconsiderarosegmento , paralelo reta r:Assim, temos: Chamamosdecilindro, oucilindrocircular,oconjuntodetodosos segmentoscongruentes e paralelos a r. Elementos do cilindroDado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos: bases: os crculos de centro O e O'e raios r altura: a distncia h entre os planos geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das circunferncias das bases ( por exemplo,) e paralelo reta r reasNum cilindro, consideramos as seguintes reas:a) rea lateral (AL)Podemos observar a rea lateral de umcilindro fazendo a sua planificao: Assim, a rea lateral do cilindro reto cuja altura he cujos raios dos crculos das bases so r um retngulo de dimenses: b) rea da base ( AB):rea do crculo de raio rc) rea total ( AT): soma da rea lateral com as reas das bases VolumePara obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princpio de Cavalieri. Dados dois slidos com mesma altura e um plano, se todo plano, paralelo ao plano, intercepta os slidos e determina seces de mesma rea, os slidos tm volumes iguais:Se 1 um paraleleppedo retngulo, ento V2 = ABh. Assim, o volume de todo paraleleppedo retngulo e de todo cilindro o produto da rea da base pela medida de sua altura:Vcilindro = ABhNo caso do cilindro circular reto, a rea da base a rea do crculo de raio r;portanto seu volume :EsferaChamamosdeesferadecentroOeraioRoconjuntodepontosdo espao cuja distncia ao centro menor ou igual ao raio R. Considerando a rotao completa de um semicrculo em torno de um eixo e, a esfera o slido gerado por essa rotao. Assim, ela limitada por uma superfcie esfrica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfcie e ao seu interior. Volume O volume da esfera de raio R dado por: Partes da esferaSuperfcie esfricaAsuperfcieesfricadecentroOeraioRoconjuntodepontosdo es[ao cuja distncia ao ponto O igual ao raio R.Seconsiderarmos arotaocompletadeumasemicircunfernciaem torno de seu dimetro, a superfcie esfrica o resultado dessa rotao.A rea da superfcie esfrica dada por:Cone circularDado um crculo C, contido num plano, e um ponto V ( vrtice) fora de , chamamos decone circularoconjuntode todos os segmentos .</p> <p>Elementos do cone circularDado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos: altura: distncia h do vrtice V ao plano geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferncia raio da base: raio R do crculo eixoderotao:reta determinadapelocentrodocrculoepelo vrtice do cone Cone retoTodo cone cujo eixo de rotao perpendicular base chamado cone reto, tambmdenominadoconederevoluo. Elepodeser geradopela rotaocompleta de umtringuloretnguloemtornode umde seus catetos.Da figura, e pelo Teorema de Pitgoras, temos a seguinte relao:G2 = h2 + R2Seco meridiana Asecodeterminada, numconederevoluo, por umplanoque contm o eixo de rotao chamada seco meridiana.Se o tringulo AVB for eqiltero, o cone tambm ser eqiltero:reasDesenvolvendo a superfcie lateral de um cone circular reto, obtemos um setor circular de raio g e comprimento:Assim, temos de considerar as seguintes reas:a) rea lateral (AL): rea do setor circularb) rea da base (AB):rea do circulo do raio Rc) rea total (AT):soma da rea lateral com a rea da baseVolume Para determinar o volume do cone, vamos ver como calcular volumes de slidos de revoluo. Observe a figura:d= distncia do centro de gravidade (CG) da sua superfcie ao eixo eS=rea da superfcieSabemos, pelo Teorema de Pappus - Guldin, que, quando uma superfcie gira em torno de um eixo e, gera um volume tal que: Vamos, ento, determinar o volume do cone de revoluo gerado pela rotao de um tringulo retngulo em torno do cateto h: OCGdotringuloestaumadistncia doeixoderotao. Logo: CONJUNTOS NUMRICOS Conjunto dos nmeros naturais (IN)Um subconjunto importante de IN o conjunto IN*:IN*={1, 2, 3, 4, 5,...} o zero foi excludo do conjunto IN.Podemos considerar o conjunto dos nmeros naturais ordenados sobre uma reta, como mostra o grfico abaixo: Conjunto dos nmeros inteiros (Z)O conjunto IN subconjunto de Z.Temos tambm outros subconjuntos de Z:Z* = Z-{0}Z+ = conjunto dos inteiros no negativos = {0,1,2,3,4,5,...}Z_ = conjunto dos inteiros no positivos = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...}Observe que Z+=IN.Podemos considerar os nmeros inteiros ordenados sobre uma reta, conforme mostra o grfico abaixo:IN={0, 1, 2, 3, 4, 5,...}Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}ba Conjunto dos nmeros racionais (Q)Os nmeros racionaisso todos aqueles que podem ser colocados na forma de frao(comonumerador e denominadorZ). Ouseja, o conjuntodosnmeros racionais a unio do conjunto dos nmeros inteiros com as fraes positivas e negativas.Exemplos:Assim, podemos escrever:interessanteconsiderar arepresentaodecimal deumnmero racional ,que se obtm dividindo a por b.Exemplos referentes s decimais exatas ou finitas:Exemplos referentes s decimais peridicas ou infinitas:Toda decimal exata ou peridica pode ser representada na forma de nmero racional. Conjunto dos nmeros irracionaisOs nmeros irracionais so decimais infinitas no peridicas, ou seja, os nmeros que no podem ser escrito na forma de frao (diviso de dois racionais. nmeros so exemplo, por,23, 1 ,53, 1 ,452 : Ento ,-} 0 e , com , | { b Z b Z abax x Q3322111 )3926133 ) ba75 , 3207525 , 145 5 , 021 ... 1666 , 167 ... 42 8571428571 , 076 ... 333 , 031 ... 7320508 , 1 3... 4142135 , 1 2inteiros). Como exemplo de nmeros irracionais, temos a raiz quadrada de 2 e a raiz quadrada de 3:Um nmero irracional bastante conhecido o nmero =3,1415926535... Conjunto dos nmeros reais (IR)Dados os conjuntos dos nmeros racionais (Q) e dos irracion...</p>