Cludio Carlos DiasNeuza Maria DantasGeometria Analtica e Nmeros Complexos I 8 6 I F L I h kA forma polar de um nmero complexoAutoresauIa08ovarno FadaraIFrasIdanIa da apbIIraLuiz Incio Lula da SilvaMInIsIro da LduraoFernando Haddad8arraIrIo da Ldurao a IsInrIa 8LLRonaldo MottanIvarsIdada FadaraI do Io randa do horIaaIIorJos Ivonildo do RgoVIraaIIorNilsen Carvalho Fernandes de Oliveira Filho8arraIrIa da Ldurao a IsInrIaVera Lcia do Amaral8arraIarIa da Ldurao a IsInrIa 8LI86oordanadora da Froduo dos MaIarIaIsClia Maria de Arajo6oordanador da LdIoAry Sergio Braga OliniskyFrojaIo rHroIvana LimaavIsoras da LsIruIura a LInguagamEugenio Tavares BorgesMarcos Aurlio FelipeavIsora das hormas da k8hTVernica Pinheiro da SilvaavIsoras da Lngua ForIuguasaJanaina Tomaz CapistranoSandra Cristinne Xavier da CmaraavIsora TIpogrHraNouraide QueirozIIusIradoraCarolina CostaLdIIorao da ImagansAdauto HarleyCarolina CostaIagramadorasBruno de Souza MelokdapIao para MduIo MaIamIIroThaisa Maria Simplcio LemosPedro Gustavo Dias DigenesImagans IIIItadasBanco de Imagens Sedis (Secretaria de Educao a Distncia) - UFRNFotografas - Adauto HarleyMasterClips IMSI MasterClips Collection, 1895 Francisco Blvd, East, San Rafael, CA 94901,USA.MasterFile www.masterfle.comMorgueFile www.morguefle.comPixel Perfect Digital www.pixelperfectdigital.comFreeImages www.freeimages.co.ukFreeFoto.com www.freefoto.comFree Pictures Photos www.free-pictures-photos.comBigFoto www.bigfoto.comFreeStockPhotos.com www.freestockphotos.comOneOddDude.net www.oneodddude.netStock.XCHG - www.sxc.huTodos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorizao expressa da UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte.Diviso de Servios TcnicosCatalogao da publicao na Fonte. UFRN/Biblioteca Central Zila MamedeDias, Cludio Carlos.Geometria analtica e nmeros complexos / Cludio Carlos Dias, Neuza MariaDantas. Natal, RN :EDUFRN, 2006.320 p.: il1. Geometria analtica plana.2. Geometria analtica espacial.3. Nmeros complexos.I. Dantas, Neuza Maria.II. Ttulo. ISBN 978-85-7273-331-1 CDU 514.12RN/UF/BCZM 2006/88CDD 516.3Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorizao expressa da UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte.kuIa 08 Geometria Analtica e Nmeros Complexos 1ApresentaoVamos comear esta aula fazendo um resumo das principais funes trigonomtricas: seno,cosenoetangente,oqueessencialparaacompreensodorestantedesta aula.Naaula14(Funestrigonomtricas),dadisciplinadePr-Clculo,vocter um estudo mais aprofundado de tais funes.Ao invs de trabalhar com a representao cartesiana de um nmero complexo, como fzemos na aula anterior (aula 7 Nmeros complexos), vamos introduzir a representao polar de um nmero complexo que, como veremos, muito til para o clculo de produtos e potncia de nmeros complexos, bem como paraa extrao de razes complexas.ObjetivoEsperamos que, ao fm desta aula, voc seja capaz de representar um nmero complexo sob a forma polar, o que indispensvel para a resoluo de certos problemas, como o clculo de razes n-simas de um nmero complexo.kuIa 08 Geometria Analtica e Nmeros Complexos ZO seno, o coseno e a tangenteConsideremos um tringulo retngulo ABC com hipotenusa de comprimento a e catetos de comprimentos b e c. Designando porum dos ngulos agudos, tem-se0o< < 90o. Veja a fgura a seguir.Figura 1 Tringulo retngulo ABCDefnimos o seno, o coseno e a tangente de como o resultado das razes seguintes:sen =cateto opostohipotenusa=ca;cos =cateto adjacentehipotenusa=ba;tg =cateto opostocateto adjacente=cb.Domodocomodefnimosparece,primeiravista,queessasrazesdependemdos comprimentos dos lados do tringulo, mas isso no acontece.Na realidade, as razes permanecem as mesmas qualquer que seja o tringulo retngulo, tendo como um de seus ngulos agudos. Assim, seja ABC um outro tringulo retngulo com um ngulo agudo , hipotenusa de comprimento a' e catetos de comprimentos be c, como descrito na fgura a seguir.kuIa 08 Geometria Analtica e Nmeros Complexos 8Figura 2 Tringulo retngulo ABCObservao 1 De tg tg ==ccbb vem quetg tg ==ccaabbaa,,ou seja,tg tg ==sen sencos cos.Na Figura 1, temos = 90 e +B^ = 90 enquanto na Figura 2, + B'^ = 90,dissoresulta +B^= +B'^,ouseja,B^=B'^.Dessemodo,ostringulos ABCe ABC das Figuras 1 e 2 so semelhantes por terem os mesmos ngulos. Donde se conclui quesen =ca=ca,cos =ba=ba,tg =cb=cb.Efcaevidenciadoqueessesvaloressdependemdongulo .Almdisso,se' o outro ngulo agudo do tringulo ABC, ento, e so complementares e, de acordo com a defnio, obtm-se sen = cos, sen = cos e tg =1tgkuIa 08 Geometria Analtica e Nmeros Complexos 4hoIa As outras trs funes trigonomtricas so a secante, a cosecante e a cotangente, defnidas como o inverso multiplicativo das anteriores, a saber:sec =1cos, cosec =1sene cotg =1tg, quando cos = 0, sen = 0e tg = 0,respectivamente.Uma outra identidade importante obtida dividindo ambos os membros da expressosen2 +cos2 = 1por cos2 ,para obtersen2cos2+cos2cos2=1cos2ousencos2+1 =1cos2ou, ainda,Usando o Teorema de Pitgoras no tringulo ABC, obtm-se aa22== bb22++cc22 oubb22aa22 ++cc22aa22==aa22aa22ou, ainda,ccaa22++bbaa22= 1 = 1,isto ,sen sen22 ++cos cos22 = 1 = 1Dessa identidade, segue-se que 11 cos cos 11 ee 11 sen sen 111 +tg2 = sec24545112kuIa 08 Geometria Analtica e Nmeros Complexos 6O valor das funes trigonomtricas para alguns ngulos especiaisI) = 45Considere o tringulo retngulo e issceles de catetos iguais a 1 da seguinte fgura, no qual, pelo Teorema de Pitgoras, a diagonal mede 2.Figura 3 Um tringulo retngulo e isceles fcil ver quesen45o=12=22ecos45o=22,dondetg45o=sen45ocos45o= 1.2321113060kuIa 08 Geometria Analtica e Nmeros Complexos 6II) = 30 ou = 60Vamosconsiderarumtringuloeqilterodelado1,cujaaltura,peloTeoremade Pitgoras, mede 32, conforme ilustrado na Figura 4.Figura 4 Um tringulo eqiltero de lado 1Observando o tringulo retngulo destacado na Figura 4, obtm-sesen60o=321=32= cos30oecos60o=121=12= sen30otg60o=sen60ocos60o=3212=3tg30o=1tg60o=33.PP'A+-xyxA'PP'yxAya bkuIa 08 Geometria Analtica e Nmeros Complexos 7A medida de ngulos em radianosAtagorasconhecemosasfunestrigonomtricasparangulosentre0e90. Nestaseo,vamosestenderosvaloresdessasfunesparaqualquernmeroreal.Para isso, precisamos de uma nova unidade de medida de ngulo que o radiano.Consideramos, ento, o crculo unitrio, isto , o crculo com centro na origem e raio 1, o qual chamaremos de rrruIoIrIgonomIrIro. Tomando o pontoA = (1, 0) no semi-eixo real positivo, vamos dizer que um ngulo dito de madIda posIIIva quando seu sentido de percurso, a partir de A at sua extremidade P no crculo trigonomtrico, anti-horrio (contrrioaomovimentodosponteirosdeumrelgio).E ditodemadIdanagaIIva, quando o percurso a partir de A no sentido horrio. Veja a fgura a seguir.Figura 5 ngulo orientadoObserve que a extremidade P de um ngulo pode corresponder a vrias voltas em torno da origem, tanto no sentido horrio quanto no anti-horrio, conforme a Figura 6.Figura 6a Um ngulocom duas voltas em torno da origem no sentido anti-horrioFigura 6b Um ngulo'com trs voltas em torno da origem no sentido horrio2-2-22-xAyxya bkuIa 08 Geometria Analtica e Nmeros Complexos 8Dizemos que um ngulo positivo de extremidade P mederadIanos quando o arco percorrido,nosentidoanti-horriodeAaP,temcomprimento .Domesmomodo,um ngulo negativo de extremidade P' mede' radIanos quando o arco percorrido, no sentido horrio de Aa P, tem comprimento = ||.Observeque,comooraiodocrculotrigonomtrico1,umavoltanosentidoanti-horrio em torno da origem corresponde a um ngulo de medida 2 radianos, ao passo que meia volta corresponde a um ngulo de medida radianos e um quarto de volta corresponde a um ngulo de medida 2 radianos. O mesmo se aplica s voltas no sentido horrio, mudando apenas o sinal para negativo. Na fgura a seguir, esto assinalados esses ngulos.Figura 7a) Os ngulo 2, e2.Figura 7b) Os ngulos 2, e 2 .Observequeumngulode180equivalea 2, e2 radianos.Dessemodo,seumngulo mede xo, sua medida , em radianos, dada resolvendo-se a seguinte regra de trs: 180o xo,o que d =xo180o.Com o uso dessa frmula, podemos constatar que30o=6, 45o=4, 90o=2, 120 =23, 135 =34, 180o= e 360o= 2Oquefzemosatomomentopodesergeometricamentevisualizadoconsiderando-se umaretaverticaltangenteaocrculotrigonomtricoemA(1, 0).Tendoessepontocomo aorigemdareta,ospontosacimadelecorrespondemaosnmerosreaispositivoseos abaixodelecorrespondemaosnmerosnegativos.Agora,dadoumnmerorealpositivox, marcado na semi-reta superior, enrola-se essa semi-reta no sentido anti-horrio sobre o crculo a bA(x)xx+yA(x' )P'x'xykuIa 08 Geometria Analtica e Nmeros Complexos 9trigonomtricoatquexseapienocrculo;ongulodeextremidadex,assimobtido,tem como medida x radianos. Se x for um nmero real negativo, faz-se o mesmo com a semi-reta inferior;anicadiferenaenrol-lasobreocrculonosentidohorrio.Dessemodo,cada nmero real corresponde medida de um ngulo em radianos. Veja as ilustraes na Figura 8.Figura 8a) Um ngulo de medidax > 0em radianos.Figura 8b) Um ngulo de medidax< 0em radianos.Extenso das funes trigonomtricasVoc estudou o seno, o coseno e a tangente para ngulos entre 0 e 90. Observe que um ngulo agudo visto no crculo trigonomtrico tem sua extremidade P(x, y) no primeiro quadrante e, conseqentemente, cos = xe sen = y,visto que a hipotenusa do tringulo retngulo com o ngulo mede 1.Essabasicamenteaidiausadaparaestenderasfunestrigonomtricaspara qualquer ngulo. Dado pois um ngulo qualquer , seja P(x, y) sua extremidade no crculo trigonomtrico, defne-secos = xe sen = y,em conseqncia,tg =sencos, quando cos = 0 .xy2(0,1)(1,0) (-1,0)(0, -1)223kuIa 08 Geometria Analtica e Nmeros Complexos 10Considere a seguinte fgura.Figura 9 Coordenadas das extremidades de alguns ngulos 2, ,32e 2Dessa fgura, deduz-se quecos0 = 1, sen0 = 0; cos2= 0, sen2= 1; cos = 1, sen = 0cos32= 0, sen32= 1; cos2 = 1, sen2 = 0Observandoocrculotrigonomtrico,conclui-sequedoisngulostmamesma extremidade se, e somente se, eles diferirem por um mltiplo inteiro de 2. Disso decorre que, fxado ,cos = cos e sen = sen,se, e somente se, = +2k, k Z .Isso indica que as funes seno e coseno so peridicas de perodo 2, e2 . hoIaUmafunofditaperidicadeperodop,se| p |omenornmero,talquef(z + p) = f(z) para todo z no domnio f.Um fato que no demonstraremos aqui so as frmulas para o seno e coseno da soma de dois ngulos, a sabercos( + ) = cos cossen sen,sen( + ) = sen cos + sen cos .Veja que, quando = , fcacos2 = cos2 sen2 ,sen2 = 2sen cos.Atividade 1Atividade 2xzrykuIa 08 Geometria Analtica e Nmeros Complexos 11A forma polarko longo da aula 7 (Nmeros complexos), temos representado um nmero complexo z comoz = x +iy . Para tratar alguns problemas tais como potncias complexas e extrao de razes, necessitamos representar z de outra forma. Para tanto, veja que z pode tambm ser determinado conhecendo-se sua distncia r = |z| origem e o ngulo orientado , que o segmento que liga a origem a z faz com o semi-eixo positivo x.Essas novas coordenadas (r, ) so ditas roordanadas poIaras. Veja a Figura 10.Figura 10 As coordenadas polares (r, ) de zVerifquequeparaqualquerngulo ,tem-secos = cos(), sen() = sen e tg() = tg .Mostre que tg( + ) = tgpara todo ngulo . Conclua que a tangente tem perdodo .yyxyxzrkuIa 08 Geometria Analtica e Nmeros Complexos 1ZMostraremosagoraarelaoentreascoordenadascartesianas(x,y)dezesuas coordenadas polares (r, ). Para tanto, consideremos a fgura seguinte.Figura 11 Coordenadas cartesianas versus coordenadas polaresNo tringulo retngulo destacado na fgura anterior, temos quecos =xre sen =yr,ou seja,x = r cos e y = r sen,que a equao que relaciona as referidas coordenadas.Veja que z = x +iy pode ser escrito comoz = r cos +i r sen,ouseja,z = r(cos + i sen),quechamadaIormapoIardaz.Onguloditoum argumanIo de z e ser denotado por arg z = .Nota Veja que o nico nmero complexo que no admite representao polar a origem z = 0. Uma vez que nesse caso r = 0, e portanto , poderia ser qualquer nmero real, o que no teria utilidade alguma.kuIa 08 Geometria Analtica e Nmeros Complexos 18O argumento de z com0 < 2 dito o argumanIo prInrIpaI de z e ser denotado por Argz = . Desse modo, todos os argumentos de z so dados porargz = Argz +2k, k Zbsarvao Z Note que se zz == rr((cos cos ++ i sen i sen)), como seno e coseno so funes peridicas de perodo 22, segue-se quezz == rr [[cos cos(( + 2 + 2k k) + ) + i sen i sen(( + 2 + 2k k)] )] , k , k ZZ.Logo,seumargumentodez,ento + 2 + 2k, k k, k ZZsotodosos argumentos de z.bsarvao 8 Se z = x + iy e z = r(cos + i sen) como x = r cose y = r sen, ento tg =yxe r = |z| . Essas relaes dizem como encontrar a representao polar de z, conhecida sua representao cartesiana.Exemplo 1Escreva na forma polar os nmeros complexosa) z = i,b)z = 1 +i ,c) z = 1 3 i.Soluoa) Temos que z = i est sobre o eixo y, logo seu argumento principal =2 er = |i| = 1. Donde i = cos2+i sen2.b)Veja que aqui tg =11= 1, logo =4 pois z est no primeiro quadrante. Por outro lado, r = |1 + i| = 2 .Desse modo,z =2cos4+ i sen4.kuIa 08 Geometria Analtica e Nmeros Complexos 14c)Aqui, tg = 31=3, como z est no terceiro quadrante, segue-se que =43. Sendo r = |z|, fca r = 1 3 i = 2 .Dondez = 2cos43+ i sen43.zz = rr [cos( + ) + i sen( + )]Produtos de nmeros complexosNa aula 7 anterior vimos a interpretao geomtrica para a soma de dois nmeros complexos. Para fazer o mesmo para o produto, preciso escrever os nmeros na forma polar.Sejam, portanto,z = r(cos + i sen)ez = r(cos + i sen),ento,zz = rr(cos + i sen)(cos + i sen)= rr [cos cossen sen + i(sen cos + sencos)] .Lembrando quecos( + ) = cos cossen sen esen( + ) = sen cos + sen cos,segue-se queAtividade 3yzz'z'z+'zrr'rr''kuIa 08 Geometria Analtica e Nmeros Complexos 16Figura 12 O produto de dois nmeros complexosIsso mostra que o comprimento de zz rr com um argumento +. Desse modo, o produto de z por z geometricamente representado na seguinte fgura.Nafrmulaanteriorquedoprodutodedoisnmeroscomplexosemcoordenadas polares se fzermos z = z = r(cos + i sen), obtemosz2= r2(cos2 + i sen2).Observando que z3= z2z, tem-sez3= r3(cos3 + i sen3).Prosseguindo desse modo, v-se que se n um nmero natural, entozn= rn[cos(n) + i sen(n)] .Usandocoordenadaspolares,marquenoplanocomplexoosnmeros z =3 + i, z = 1 +3 i e zz.Atividade 4kuIa 08 Geometria Analtica e Nmeros Complexos 16Como z0= 1, ento z0= cos0 + i sen0 . Por outro lado, zn=1zn=1rn[cos(n) + i sen(n)] cos(n) i sen(n)cos(n) i sen(n).Sendo[(cos(n) + i sen(n)][(cos(n) i sen(n)] = cos2(n) + sen2(n) = 1,cos(n) = cos(n) e sen(n) = sen(n).Dessas igualdades, resulta quezn=cos(n) + i sen(n)rn= rn[cos(n) + i sen(n)].Em resumo, qualquer que seja o inteiro n, tem-sezn= rn[cos(n) + i sen(n)]Quando r = 1, caso em que z = cos +i sen , obtm-seEsta a chamada IrmuIa da a MoIvra.Dadosz = r(cos + i sen) e z = r(cos + i sen), mostre quezz=rr [cos( ) + i sen( )] , sendo z = 0 .Represente z, zezz no plano complexo.(Sugesto: Sendo zz= z 1z veja quem 1ze multiplique por z.)(cos + i sen)n= cos(n) + i sen(n)1ZExerccios846kuIa 08 Geometria Analtica e Nmeros Complexos 17Verifque que a multiplicao pelo nmero complexo i signifcauma rotao no plano, no sentido anti-horrio, por um ngulo de 90.Dado zz = 1 = 1 , mostre quea) 22 22 iib) 33iic) 4d) 1 + 1 + ii11 iiPara quais valores inteiros de n o nmero(1 (1 ii))nn um nmero real? Sejam zz ee zznmeroscomplexoscom zz zz = 0 = 0 .Usandoa formapolar,mostrequeRe Re((zzzz) = ) = ||zz| | | |zz|| se,esomentese, argz argz == argz argz +2 +2k, k k, k ZZ.Concluaque ||zz ++zz|| == ||zz|| ++||zz|| se, e somente se, zz ee zz tm a mesma direo e o mesmo sentido.Represente na forma polar os nmeros complexos.1 + 1 +zz ++zz22++. . . . . . ++zznn==11 zznn+1 +111 zz.Use esse fato para deduzir que1 + 1 + cos cos ++ cos cos22 ++ . . . . . . ++ cosn cosn ==1122 ++sen sennn ++ 112222sen sen22esen sen ++ sen sen22 ++ . . . . . . ++ sen sen((n n) = ) =1122cotg cotg22 cos cosnn ++ 112222sen sen22em que00 < < < < 22 .kuIa 08 Geometria Analtica e Nmeros Complexos 18Extrao de razesAo tentar resolver a equao z3= 1, dizemos que ela admite z = 1 como raiz. Acontece que ela uma equao do terceiro grau, logo, deveriam aparecer trs razes. O fato que as outras duas razes que faltam so complexas.Trataremos aqui desse assunto usando a forma polar de um nmero complexo. De fato, vamos resolver a equao zn= a, dados n Ne a .Paratanto,sejamz = r(cos + i sen) e a = r0(cos0 + i sen0),emque 0 0< 2.Veja inicialmente que |zn| = rn, enquanto |a| = r0, sendo zn= a , decorre que |zn| = |a|, logo rn= r0, ou seja, r = r1n0=nr0.Por outro lado, zn= a, com o uso da frmula de De Moivre, reescreve-se comorn[cos(n) + i sen(n)] = r0(cos0 + i sen0) .Sendo rn= r0, fcacos(n) + i sen(n) = cos0 + i sen0,dondecos(n) = cos0e sen(n) = sen0.Mas, as funes seno e coseno so peridicas de perodo0 < < 2 , desse modo, as solues das duas igualdades anteriores son = 0 +2k, k Z,ou seja, =0 +2kn, k Z.Substituindo esse valor dena representao polar de z, comorn= r0, fcaz = zk, em quezk=nr0cos0 +2kn+i sen0 +2kn, k Z.kuIa 08 Geometria Analtica e Nmeros Complexos 19O que a princpio uma contradio, j que encontramos infnitos valores de z (um valor de z para cada valor de k Z). Mas, tal contradio apenas aparente. Seno vejamos, o algoritmo dadivisodizquedadoumnmerointeiroDcomodividendoeumnmeronaturaldcomo divisor, existem nicos nmeros inteiros q e s, ditos, respectivamente, quociente e resto tais queD = qd +s, sendo 0 s < d.FazendousodessealgoritmocomD = ke d = n,v-sequek = qn +s,sendo 0 s < n .Logo, =0 + 2kn=0 + 2(qn + s)n=0 + 2sn+ 2qnn=0 + 2sn+ 2q,pela periodicidade do seno e do coseno, obtm-secos +2kn= cos0 +2sn e sen +2kn= sen0 +2sn,para s = 0, 1, 2, . . . , n 1.Observao 4 Convm notar que as n razes anteriores so distintas. De fato,se kk ==ll , digamos00 k