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Neste captulo, voc aprender a calcular algumas medidas de disperso e poder resolver problemas como este, em que necessrio avaliar a regularidade de um conjunto de dados.
Alm da teoria
A tabela abaixo mostra a produo de gros em dois mu-nicpios, A e B, com as mesmas reas cultivadas.
Produo de gros (tonelada)
Municpio A Municpio BFeijo 54 50Soja 171 170
Arroz 75 80
Em qual dos dois municpios a distribuio da produo desses trs tipos de gro foi menos dispersa?
1CAPTULO Estatstica: medidas
de disperso
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Captulo 1 Estatstica: medidas de disperso8
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9Estatstica: medidas de disperso Captulo 1
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Reviso1No volume 1 desta coleo, tivemos uma introduo Estatstica. Estudamos as tabelas de
distribuio de frequncias, alguns tipos de grfico e as medidas de posio. Para dar continuida-de ao estudo, faremos uma reviso desses assuntos.
Universo estatstico e amostraNa coleta de dados sobre certo assunto, chama-se universo estatstico ou populao estats-
tica o conjunto formado por todos os elementos que oferecero informaes sobre o assunto em questo. Qualquer subconjunto do universo estatstico chamado de amostra desse universo. Em relao ao estudo que se pretende fazer, uma amostra representativa do universo estatstico quando a tendncia apresentada por ela pode ser estendida a todo o universo.
Exemplos
a) Em uma pesquisa sobre a audincia dos canais de televiso da cidade de Campinas, o universo estatstico (ou populao estatstica) o conjunto de todos os telespectadores dessa cidade. Uma das amostras desse universo seria o conjunto dos espectadores com mais de 20 anos de idade.
b) Para uma pesquisa de preos do quilograma do po francs na cidade de Porto Alegre, o universo estatstico (ou populao estatstica) o conjunto dos preos em todos os estabelecimentos que comercializam esse produto nessa cidade. Uma das amostras desse universo seria o conjunto dos preos do po francs nos supermercados dessa cidade.
Rol
Chama-se rol toda sequncia (a1, a2, a3, ..., an ) de dados numricos tal que cada termo, a partir do segundo: maiorouigualaseuantecessor;ou menorouigualaseuantecessor.
Exemplo
Asalturas,emmetro,doscincojogadorestitularesdeumaequipedebasquetebolso:2,10;2,15;2,00;2,05e2,05.Apresentando essas medidas em rol, temos:
(2,00;2,05;2,05;2,10;2,15)ou(2,15;2,10;2,05;2,05;2,00)
Tabelas e grficosPara representar uma amostra de nmeros em uma tabela ou em um grfico, usual distribuir
os elementos da amostra em classes.
O nmero de elementos da amostra que pertencem a determinada classe chamado de frequncia absoluta (F ) dessa classe.
A frequncia total (Ft) de uma amostra a soma das frequncias absolutas das clas-ses, ou seja, o nmero de elementos da amostra.
A razo entre a frequncia absoluta (F ) de uma classe e a frequncia total (Ft) da amos-
tra chamada de frequncia relativa (Fr) dessa classe, isto , FFFr t
.5
Cada classe pode ser representada por um nico nmero (classe unitria) ou por um interva-lo real limitado (intervalo de classe), conforme veremos a seguir.
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RevisoReviso1No volume 1 desta coleo, tivemos uma introduo Estatstica. Estudamos as tabelas de No volume 1 desta coleo, tivemos uma introduo Estatstica. Estudamos as tabelas de
distribuio de frequncias, alguns tipos de grfico e as medidas de posio. Para dar continuida-de ao estudo, faremos uma reviso desses assuntos.
1CAPTULO Estatstica: medidas
de disperso
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universo seria o conjunto dos preos do po francs nos supermercados dessa cidade.
Rol
Chama-se a partir do segundo:
universo seria o conjunto dos preos do po francs nos supermercados dessa cidade.
Chama-se a partir do segundo:
universo seria o conjunto dos preos do po francs nos supermercados dessa cidade.
rol toda sequncia (a partir do segundo:
universo seria o conjunto dos preos do po francs nos supermercados dessa cidade.
toda sequncia ( a2, a3, ..., an ) de dados numricos tal que cada termo, ) de dados numricos tal que cada termo,
universo seria o conjunto dos preos do po francs nos supermercados dessa cidade.
) de dados numricos tal que cada termo, ) de dados numricos tal que cada termo,
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Distribuio em classes unitrias
Um estudo com uma amostra de 200 alunos do 2 ano do ensino mdio em escolas pblicas de uma cidade revelou que suas idades variam de acordo com a tabela:
Classe(idade)
Frequnciaabsoluta (F )
(nmero de alunos)
Frequncia relativa (Fr)
FFFr tFtF
5
15 18 9%
16 44 22%
17 52 26%
18 48 24%
19 38 19%
Ft 5 200
Observe que cada classe representada por um nico nmero, isto , a amostra foi separada em classes unitrias. As frequncias relativas so obtidas pela diviso de F por Ft ;afrequnciarelativa da idade 19 anos, por exemplo, :
38200
0 19 19 , %5 5
Os dados dessa tabela podem ser apresentados graficamente em diversas formas. Observe a seguir.
Grfico de linha Nesse tipo de grfico, apenas os extremos dos segmentos de reta que compem a linha
oferecem informaes sobre os dados da amostra.
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38
18
015 16 17 18 19
Freq
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cia
(n
mer
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os)
Classe(idade)
Idade dos alunos do 2 ano do ensinomdio nas escolas pblicas
Grfico de barras verticais Nesse tipo de grfico, as frequncias so indicadas no eixo vertical.
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Classe(idade)
Idade dos alunos do 2 ano do ensinomdio nas escolas pblicas
A tabela que descreve as classes com as res-pectivas frequncias chamada de tabela de distribuio de fre quncia.
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Grfico de barras horizontais Nesse tipo de grfico, as frequncias so indicadas no eixo horizontal.
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15
16
17
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19
Frequncia (nmero de alunos)
Cla
sse
(id
ade)
Idade dos alunos do 2 ano do ensinomdio nas escolas pblicas
Grfico de setores Para a construo desse tipo de grfico, dividimos um crculo em setores de modo que os
ngulos centrais tenham medidas proporcionais s frequncias das classes. Assim:
A medida , em grau, do ngulo central que corresponde classe de frequncia F dada por:
5 5 360
FF
tFF
Por exemplo, classe dos 17 anos cor-responde o setor circular cujo ngulo
central mede 360200
52 93 6
, . 5
19anos
15anos
16anos
17anos
18anos
68,432,4
79,2
93,6
86,4
Idade dos alunos do 2 ano do ensinomdio nas escolas pblicas
19anos
15anos
16anos
17anos
18anos24%
19%9%
22%
26%
Idade dos alunos do 2 ano do ensinomdio nas escolas pblicas No grfico de setores, em vez de apre-
sentar a medida em grau de cada arco de setor, usual apresentar a frequn-cia relativa da classe correspondente a esse setor. O grfico desse exemplo poderia, ento, ser apresentado sob a forma:
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dada por: dada por:
5360
FtFF
Idade dos alunos do 2Idade dos alunos do 2 ano do ensino ano do ensino
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Resolva as questes 1 a 4 do roteiro de estudos e as questes complementares 8 a 17.
Questes propostas
1 Uma pequena indstria fabrica mveis para escritrio. A produo de mesas dessa indstria nos seis primeiros dias de fevereiro descrita por esta tabela de distribuio de frequncias:
Classe (dia) Frequncia (nmero de mesas)1 162 143 124 135 106 15
Ft 5 80
a) Calcule a frequncia relativa de cada classe dessa distribuio.
b) Construa os grficos de linha, de barras verticais e de setores correspondentes a essa distribuio.
(Nota: No grfico de setores, indique as medidas em grau dos arcos.)
2 O grfico abaixo descreve o nmero de acidentes ocorridos em uma estrada nos sete primeiros dias de fevereiro.
01 2 3 4 5 6 7
3456
8
Freq
un
cia
(n
mer
o d
e ac
iden
tes)
Classe(dia)
a) Quantos acidentes ocorreram nesses sete dias nessa estrada?
b) Construa o grfico de barras horizontais e o grfico de setores correspondentes a esse grfico de linha.
(Nota: No grfico de setores, indique nos arcos as frequncias relativas das classes.)
3 O grfico abaixo corresponde distribuio de frequncias dos refrigeradores fabricados por uma indstria, segundo a capacidade em litro, em certo perodo.
130
1101009085
0320 340 380 400 420 460
Freq
un
cia
(n
mer
o d
e re
frig
erad
ore
s)
Classe (capacidade em litro)
a) Quantos refrigeradores foram fabricados por essa indstria nesse perodo?
b) Construa o grfico de linha correspondente a essa distribuio.
c) Selecionando um desses refrigeradores ao acaso, qual a probabilidade de escolher um com 400 L de capacidade?
4 O grfico de setores abaixo representa a distribuio dos contedos, em litro, de uma amostra de 40 garrafas de gua mineral.
1,00 L
0,96 L
0,95 L
0,97 L
1,03 L
63
54 63
81
99
a) Quantas garrafas correspondem classe 1,03 L?b) Quantas garrafas contm menos de 1 L?c) Refaa o grfico em seu caderno substituindo as
medidas em grau pelas frequncias relativas das classes.
d) Uma pessoa retirou uma garrafa dessa amostra. Sabendo que essa garrafa contm menos de 1 L, qual a probabilidade de ela conter 0,95 L?
5 O grfico abaixo representa a distribuio da produo diria de 20.000 litros de leo comestvel por certa indstria.
leodearroz
leo degirassol
leo de soja
leo de milho
8%19%
63%
10%
a) Quantos litros de leo de soja so produzidos por essa indstria diariamente?
b) Refaa o grfico em seu caderno substituindo as frequncias relativas das classes pelas medidas em grau dos arcos correspondentes.
1. a) Classe 1 2 3 4 5 6
Frequncia relativa 20% 17,5% 15% 16,25% 12,5% 18,75%
Ver resoluo no Guia do mestre.
40 acidentes
Ver resoluo no Guia do mestre.
625 refrigerantes
Ver resoluo no Guia do mestre.
13,6%
6 garrafas
27 garrafas
Ver resoluo no Guia do mestre.
1127
12.600 L
Ver resoluo no Guia do mestre.
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iden
tes)
0
3456
1 2 3 4 5 6 71 2 3 4 5 6 7 Classe
b)c) Refaa o grfico em seu caderno substituindo as
medidas em grau pelas frequncias relativas das classes.
d)
Quantas garrafas correspondem classe 1,03 L?Quantas garrafas contm menos de 1 L?Refaa o grfico em seu caderno substituindo as medidas em grau pelas frequncias relativas das classes.Uma pessoa retirou uma garrafa dessa amostra. Uma pessoa retirou uma garrafa dessa amostra.
Ver resoluo no Ver resoluo no
Quantas garrafas contm menos de 1 L?Refaa o grfico em seu caderno substituindo as medidas em grau pelas frequncias relativas das
Uma pessoa retirou uma garrafa dessa amostra. Ver resoluo no Ver resoluo no Guia do mestreGuia do mestre
Quantas garrafas contm menos de 1 L?Refaa o grfico em seu caderno substituindo as medidas em grau pelas frequncias relativas das
Uma pessoa retirou uma garrafa dessa amostra. Guia do mestreGuia do mestre..
Refaa o grfico em seu caderno substituindo as medidas em grau pelas frequncias relativas das
Uma pessoa retirou uma garrafa dessa amostra.
27 garrafas27 garrafas
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Ag
esDistribuio em intervalos de classes (dados agrupados)
Para avaliar o consumo de gua em um bairro, considerou-se uma amostra de 25 residncias, cujos consumos em certo ms, em metro cbico, foram:
30,0 45,6 15,2 21,8 16,4
22,8 44,9 37,2 26,7 32,1
38,1 32,1 30,6 6,00 17,6
6,1 14,5 42,6 33,0 34,1
10,2 41,6 19,2 29,3 9,1
Como na situao da pgina 10, representaremos esses dados em uma tabela de distribuio de frequncias. Agora, porm, no organizaremos esses dados em classes unitrias, mas faremos agrupamentos em intervalos reais. Para isso, separamos os elementos da amostra em ris disjuntos (sem elementos em comum). Por exemplo, os intervalos:
(I) 6,0;6,1;9,1;10,2 (IV) 30,0;30,6;32,1;32,1;33,0;34,1;37,2(II) 14,5;15,2;16,4;17,6;19,2;21,8 (V) 38,1;41,6;42,6;44,9;45,6(III) 22,8;26,7;29,3
Para cada um desses ris, adota-se como classe um intervalo real limitado que contenha o rol. As classes adotadas devem ser disjuntas (sem elementos em comum). Podem ser adotados como classes, por exemplo, os intervalos:
[6,14[,quecontmorol(I);
[14,22[,quecontmorol(II);
[22,30[,quecontmorol(III);
[30,38[,quecontmorol(IV);
[38,46],quecontmorol(V).
A diferena entre o maior e o menor extremo de uma classe, nessa ordem, chamada de amplitudedaclasse.Porexemplo,aamplitudedaclasse[6,14[dadapor142 6, ou seja, 8.
Desse modo, temos a seguinte tabela de distribuio de frequncias:
Classe(consumo em metro cbico)
Frequncia absoluta(F )
Frequncia relativa(Fr)
[6,14[ 4 16%
[14,22[ 6 24%
[22,30[ 3 12%
[30,38[ 7 28%
[38,46] 5 20%
Ft 5 25
importante ressaltar que: Poderiamtersidoescolhidosoutrosintervalospararepresentarasclasses. Osextremosdeumaclassenoprecisamser,necessariamente,elementosdaamostra,mas,
se forem, devemos tomar o cuidado de no permitir que um mesmo elemento da amostra pertena a duas classes simultaneamente. Por isso, nesse exemplo, foram escolhidos inter-valos fechados esquerda e abertos direita, com exceo do ltimo intervalo, que fe-chado nos dois extremos.
Emboranosejaobrigatrio,convenienteque,emduasclassesconsecutivas,oextremo direita (aberto) da primeira classe coincida com o extremo esquerda (fechado) da se-gunda, conforme procedemos nesse exemplo.
Aamplitudedaamostraadiferenaentreomaiornmeroeomenornmerodaamostra,nessa ordem. Dividindo essa amplitude pelo nmero de intervalos em que queremos sepa-rar a amostra, obtemos uma possvel amplitude para cada classe. Nesse exemplo, a ampli-tude da amostra, em metro cbico, 45,6 2 6,0 5 39,6, que dividida por 5 resulta em 7,92,umapossvelamplitudeparaosintervalosdeclasse;arredondamos,porm,para8aamplitude das classes, o que permitido.
Nesse caso, as cinco classes em que foi separada a amostra tm mesma amplitu-de, mas no neces-srio que isso ocorra, a separao poderia ter sido feita em clas-ses de amplitudes di-ferentes.
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[38,
A diferena entre o maior e o menor extremo de uma classe, nessa ordem, chamada de amplitude
Desse modo, temos a seguinte tabela de distribuio de frequncias:
46], que
A diferena entre o maior e o menor extremo de uma classe, nessa ordem, chamada de da classe.
Desse modo, temos a seguinte tabela de distribuio de frequncias:
(consumo em metro cbico)
A diferena entre o maior e o menor extremo de uma classe, nessa ordem, chamada de classe. Por
Desse modo, temos a seguinte tabela de distribuio de frequncias:
Classe(consumo em metro cbico)
A diferena entre o maior e o menor extremo de uma classe, nessa ordem, chamada de exemplo, a amplitude da classe
Desse modo, temos a seguinte tabela de distribuio de frequncias:
(consumo em metro cbico)Frequncia absoluta
(F )
A diferena entre o maior e o menor extremo de uma classe, nessa ordem, chamada de classe [6, 14[
Desse modo, temos a seguinte tabela de distribuio de frequncias:
Frequncia absoluta Frequncia relativa
A diferena entre o maior e o menor extremo de uma classe, nessa ordem, chamada de dada por 14 2
Desse modo, temos a seguinte tabela de distribuio de frequncias:
Frequncia relativa(F )
A diferena entre o maior e o menor extremo de uma classe, nessa ordem, chamada de 6, ou seja, 8. Nesse caso, as cinco
classes em que foi Nesse caso, as cinco classes em que foi separada a amostra tm mesma amplitu-de, mas no neces-
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Histograma
Quando as classes so intervalos reais, a representao da distribuio de frequncias em um sistema de eixos feita por um tipo de grfico chamado histograma. A tabela da situao an-terior corresponde ao seguinte histograma:
6 14 22 30 38 4601234567
Frequncia(nmero de residncias)
Classe(consumo emmetro cbico)
Nota:Os histogramas podem ser construdos com classes de amplitudes diferentes, mas a altura decadaretngulonorepresentarafrequnciadaclasse;porissousualadotaramesmaamplitude para todas as classes.Se no histograma forem adotadas amplitudes diferentes para os intervalos de classe, as reas dos retngulos devem ser proporcionais s frequncias. Isto , se uma classe tiver amplitude ,
a altura do retngulo correspondente dever ser kF
, em que F a frequncia absoluta da
classe e k uma constante real positiva. Adotando-se k 5 1, a rea do retngulo representar
a frequncia da classe:
.1F
F5 Para detalhar essas informaes, vamos separar a amostra
do exemplo anterior em classes de amplitudes diferentes, conforme a tabela:
Classe(consumo em metro cbico)
Frequncia absoluta(F )
Amplitude daclasse
[6,16[ 6 10
[16,20[ 3 4
[20,35[ 10 15
[35,41[ 2 6
[41,46] 4 5
Como as amplitudes so diferentes, as reas dos retngulos, no histograma, devem ser proporcio-nais s frequncias das respectivas classes. Por isso, adotamos como altura de cada retngulo o
nmero kF
, em que F e so a frequncia e a amplitude da classe correspondente ao retngulo,
respectivamente, e k um nmero real positivo qualquer. Se quisermos trabalhar apenas com n-meros inteiros, podemos escolher como valor de k um mltiplo comum s amplitudes das classes, por exemplo k 5 60. Assim, teremos como alturas dos retngulos correspondentes s classes
[6, 16[, [16, 20[, [20, 35[, [35, 41[ e [41, 46] os nmeros60 6
1036
,
5
60 34
45
,
5
60 1015
40
,
5 60 2
620
5 e
60 45
48
5 respectivamente. Construmos ento o seguinte
histograma:
6 16 20 35 41 46
20
36404548
F
60F
Esse tipo de grfico pouco usado devido complexidade de sua construo. Neste livro, adotaremos sempre, para a construo de histogramas, classes de mesma amplitude.
A diferena entre o histograma e o gr-fico de barras que cada retngulo do histograma descreve a frequncia dos da-dos agrupados em umintervaloreal;nogrfico de barras, ca-da barra des creve a fre quncia de uma classe unitria (um nico nmero).
Mat_Paiva_v3_C01(008a035).indd 14 9/14/09 8:23:31 AM
Classe(consumo em metro cbico)
[6, 16[
[16, 20[
[20, 35[
[35, 41[
Frequncia absoluta
6
2
15
10
4
15
6
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15Estatstica: medidas de disperso Captulo 1
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Questes propostas
6 O coordenador pedaggico de um colgio fez uma pesquisa sobre o tempo despendido diariamente pelos alunos do ensino mdio para o estudo em casa das disciplinas escolares. Os resultados dessa pesquisa so apresentados na seguinte tabela de distribuio de frequncias:
Classe(tempo em minuto)
Frequncia(nmero de alunos)
[0, 45[ 122[45, 90[ 195
[90, 135[ 233[135, 180[ 153[180, 225[ 77[225, 270] 20
a) Construa o histograma correspondente a essa distribuio de frequncias.
b) Qual o percentual de alunos dessa amostra que estudam em casa menos de 3 horas por dia?
c) Construindo um grfico de setores para essa distribuio, quantos graus dever medir o arco correspondente classe dos alunos que estudam em casa mais tempo por dia?
7 O nmero de batimentos cardacos por minuto aps um teste de esforo com 24 atletas foram:
140 148 150 146160 160 158 152152 164 139 164
138 136 145 153120 142 159 152165 140 165 160
Construa o histograma correspondente a essa amostra adotando as seguintes classes:
Classe(batimentos/minuto)
[120, 132[[132, 144[[144, 156[[156, 168]
8 Uma seguradora fez um estudo sobre a idade de 25 pessoas, entre seus clientes, que possuem seguro de vida. As idades, em anos, das pessoas dessa amostra so:
60 69 28 46 3558 56 36 42 8235 42 75 45 5043 61 82 62 6070 43 39 70 52
a) Qual a amplitude dessa amostra?b) Construa uma tabela de distribuio de fre
qun cias dessa amostra com 6 classes de mesma am pli tude.
c) Construa o histograma correspondente tabela feita no item b.
Questo resolvida
R.1 Na ltima safra, as colheitas de caf, em tonela-da, de vinte regies produtoras foram:
270 380 283 402 385302 290 250 310 265410 280 295 283 356390 300 330 250 304
Construir uma tabela de distribuio de frequn-cias dessa amostra, com 6 classes de mesma am-plitude, e o respectivo histograma.ResoluoA amplitude da amostra, em tonelada, : 410 2 250 5 160. Dividindo por 6 essa amplitude, obtemos uma possvel amplitude para os intervalos
de classe: 1606 26 666 , ...5 Lembrando que os ex
tremos de um intervalo de classe no precisam, necessariamente, pertencer amostra, podemos arredondar para 27 a amplitude de cada classe. Adotando como extremo inferior da primeira classe o valor 250, temos a distribuio a seguir.
Classe(produo em tonelada) Frequncia
Frequncia relativa
[250, 277[ 4 20%[277, 304[ 7 35%[304, 331[ 3 15%[331, 358[ 1 5%[358, 385[ 1 5%[385, 412] 4 20%
Ft 5 20
O histograma correspondente a essa distribuio :
250277304331358
412
3850
1234567
Frequncia(nmero deregies)
Classe(produoem tonelada)
Ver resoluo no Guia do mestre.
87,875%
8. b) ClassesClasses FrequnciaFrequncia
[28,37[[28,37[ 44
[37,46[[37,46[ 66
[46,55[[46,55[ 33
[55,64[[55,64[ 66
[64,73[[64,73[ 33
[73,82][73,82] 33
FFttFFtFF 55 25 25
9
Ver resoluo no Guia do mestre.
54
Ver resoluo no Guia do mestre.
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Questes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostas
6 O coordenador pedaggico de um colgio fez uma O coordenador pedaggico de um colgio fez uma pesquisa sobre o tempo despendido diariamente pelos alunos do ensino mdio para o estudo em
Questes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostas
O coordenador pedaggico de um colgio fez uma pesquisa sobre o tempo despendido diariamente pelos alunos do ensino mdio para o estudo em
Questes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostas
O coordenador pedaggico de um colgio fez uma pesquisa sobre o tempo despendido diariamente pelos alunos do ensino mdio para o estudo em
Questes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostasQuestes propostas
O coordenador pedaggico de um colgio fez uma pesquisa sobre o tempo despendido diariamente pelos alunos do ensino mdio para o estudo em
O coordenador pedaggico de um colgio fez uma pesquisa sobre o tempo despendido diariamente pelos alunos do ensino mdio para o estudo em
138 136 145 153120 142 159 152165 140 165 160
138 136 145 153120 142 159 152165 140 165 160
138 136 145 153120 142 159 152165 140 165 160
138 136 145 153120 142 159 152165 140 165 160
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16 Captulo 1 Estatstica: medidas de disperso
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Resolva a questo 5 do roteiro de estudos e as questes complementares 18 a 22.
9 Um tcnico de atletismo mediu os tempos, em segundo, obtidos por 20 atletas para completar 100 metros rasos. Esses tempos foram:
11,26 11,22 10,72 11,0311,28 10,95 10,39 11,0910,45 10,83 10,58 10,7910,85 11,38 11,39 10,4510,73 10,78 11,22 11,30
a) Calcule a amplitude dessa amostra.b) Construa uma tabela de distribuio de frequn
cias dessa amostra com 5 classes de mesma ampli tude.
c) Construa o histograma correspondente tabela feita no item b.
10 O grfico de barras a seguir representa a distribuio de frequncias das idades das mulheres chefes de famlia de uma comunidade.
504643
3834322824
16
11
018 19 22 23 24 26 30 34 36 40 46
Freq
un
cia
(n
mer
o d
e m
ulh
eres
)
Classe (idade)
a) Construa uma tabela de distribuio de frequncias dessa amostra, separando as idades em quatro classes de mesma amplitude.
b) Construa o histograma correspondente tabela do item a.
Medidas de posioAs medidas de posio associadas a uma amostra de nmeros orientam quanto localizao
dos elementos da amostra quando esta disposta em rol. Algumas dessas medidas so: a mdia aritmtica, a mediana e a moda.
Mdia aritmtica
A tabela abaixo mostra o nmero de gols marcados nos jogos de uma rodada de um campeo-nato de futebol.
Dividindo o total de gols pelo nmero de jogos dessa rodada, obtemos o nmero mdio de gols marcados por jogo, isto :
4 2 0 1 5 36
156
2 5
,1 1 1 1 1
5 5
Assim, dizemos que nessa rodada ocorreram, em mdia, 2,5 gols por jogo. O nmero 2,5 chamado de mdia aritmtica dos nmeros 4, 2, 0, 1, 5 e 3.
A mdia aritmtica dos n nmeros x1, x2, x3, ..., xn, indicada por x y, dada por:
x y 5 x x x xn
n1 2 3 ... 1 1 1 1
Usando o smbolo de somatrio, a mdia aritmtica x y entre os n nmeros x1, x2, x3, ..., xn :
x y 5
x
n
ii
n
5 1
Jogo I II III IV V VI
Nmero de gols 4 2 0 1 5 3
1,00
9. b) Classes Frequncia
[10,39;10,59[ 4[10,59;10,79[ 3[10,79;10,99[ 4[10,99;11,19[ 2[11,19;11,39] 7
Ft 5 20
Ver resoluo no Guia do mestre.
Ver resoluo no Guia do mestre.
Classes Frequncia[18,25[ 111[25,32[ 84[32,39[ 93[39,46] 72
Ft 5 360
10. a)
Mat_Paiva_v3_C01(008a035).indd 16 9/14/09 8:23:40 AM
Classes FrequnciaClasses Frequncia[18,[18, 25[25[
10. a) 10. a)
[25,[25, 32[32[[32,[32, 39[39[[39,[39, 46]46]
ges
Classes FrequnciaClasses Frequncia111111848493937272
FFttFFtFF 55 360 360
Classes FrequnciaClasses Frequncia
360 360
aritmtica
Mdia aritmtica
nato de futebol.
Mdia aritmtica
A tabela abaixo mostra o nmero de gols marcados nos jogos de uma rodada de um campeonato de futebol.
A tabela abaixo mostra o nmero de gols marcados nos jogos de uma rodada de um campeoA tabela abaixo mostra o nmero de gols marcados nos jogos de uma rodada de um campeoA tabela abaixo mostra o nmero de gols marcados nos jogos de uma rodada de um campeoA tabela abaixo mostra o nmero de gols marcados nos jogos de uma rodada de um campeoA tabela abaixo mostra o nmero de gols marcados nos jogos de uma rodada de um campeo-
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17Estatstica: medidas de disperso Captulo 1
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Exemplos
a) A mdia aritmtica dos nmeros 48 e 54 :
x yy 5 48 542
51
1
5
b) A mdia aritmtica dos nmeros 7, 10, 11 e 18 :
x yy 5 7 10 11 184
1 1 1 511,5
Mdia aritmtica ponderada
A tabela abaixo mostra o nmero de gols marcados nos jogos de uma rodada de um campeo-nato de futebol.
Jogo I II III IV V VI VII VIII IX X
Nmero de gols 1 4 4 0 4 0 1 4 1 4
Dividindo o total de gols pelo nmero de jogos dessa rodada, obtemos o nmero mdio de gols marcados por jogo. Observando que os nmeros 1, 4 e 0 aparecem 3, 5 e 2 vezes, respecti-vamente, na segunda linha da tabela, temos que o nmero mdio de gols dado por:
3 5 2 ,
1 4 010
2 31 1
5
Assim, dizemos que nessa rodada ocorreram, em mdia, 2,3 gols por jogo. O nmero 2,3 chamado de mdia aritmtica ponderada dos nmeros 1, 4 e 0, com pesos (fatores de pon-derao) 3, 5 e 2, respectivamente.
A mdia aritmtica ponderada dos n nmeros x1, x2, x3, ..., xn, com pesos p1, p2, p3, ..., pn, respectivamente, o nmero x y tal que:
x y 5 x p x p x p x pp p p
n n1 1 2 2 3 3
1 2 3
...
1 1 1 1
1 1 ... 1 1 pn
Usando o smbolo de somatrio, a mdia aritmtica ponderada x y dos n nmeros x1, x2, x3, ..., xn :
x y 5
x p
p
i ii
n
ii
n5
5
1
1
Exemplo
A mdia aritmtica dos nmeros 2, 6, 8 e 10, com fatores de ponderao 5, 4, 2 e 1, respec-tivamente, :
x y 55 2 4 6 2 8 1 10
5 4 2 1
1 1 1
1 1 1 5 5
Questo resolvida
R.2 A tabela mostra a distribuio de frequncias das reas construdas, em metro quadrado, das 10 residncias de um condomnio:
Classe(rea em metro quadrado) [250, 276[ [276, 302[ [302, 328[ [328, 354]
Frequncia(nmero de residncias) 3 3 2 2 Ft 5 10
Calcular a rea mdia (mdia aritmtica) de cada residncia desse condomnio.ResoluoQuando os dados de uma amostra esto agrupados em intervalos reais, como nesse caso, para calcular a mdia aritmtica, tomamos o ponto mdio xM de cada classe e calculamos a mdia aritmtica ponderada entre os valores xM, atribuindo a cada um o peso igual frequncia da respectiva classe.
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, p2,
Usando o smbolo de somatrio, a mdia aritmtica ponderada
, ...,
Usando o smbolo de somatrio, a mdia aritmtica ponderada :
, respectivamente, o nmero
Usando o smbolo de somatrio, a mdia aritmtica ponderada
, respectivamente, o nmero x tal que:
x pp
2 22 2 3 3x p3 3x p
1 2p p1 2p p 3
2 2 2 2 1 2 1 2p p1 2p p p p1 2p p
1 12 21 12 21 1p p1 1p p1 21 11 2p p1 2p p1 1p p1 2p p 1 1
, respectivamente, o nmero
5x p
p p1 1x p1 1x p
1 2p p1 2p p p p1 2p p p p1 2p p1 1
1 1p p1 1p pp p1 2p p1 1p p1 2p p
Usando o smbolo de somatrio, a mdia aritmtica ponderada
x pn nx pn nx p...1 1...1 1... p
Usando o smbolo de somatrio, a mdia aritmtica ponderada y dos n nmeros nmeros
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18 Captulo 1 Estatstica: medidas de disperso
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Moda
Em uma amostra cujas frequncias dos elementos no so todas iguais, todo elemento de maior frequncia chamado de moda, que se indica por Mo.
Exemplos
a) Na amostra 5, 9, 12 e 6, 4, 12 e 8, temos a moda Mo 5 12.b) Na amostra 1, 6, 2, 5, 9, 6, 9 e 4, temos duas modas (amostra bimodal): Mo 5 6 e Mo 5 9.c) A amostra 2, 7, 4, 9, 3, 0, 15 e 18 no tem moda, pois todos os elementos apresentam-se
com a mesma frequncia.
Mediana
Um dos indicadores do ndice de Desenvolvimento Humano (IDH) de um pas a renda per capita, que o quociente de toda a renda do pas, em determinado perodo, pelo nmero de habitantes, ou seja, a mdia aritmtica entre os rendimentos de todos os habitantes do pas. Outros ndices tambm so levados em considerao no clculo do IDH, pois a mdia aritmtica pode dar uma ideia falsa da riqueza de um povo, j que essa mdia no mede as disparidades na distribuio da renda nacional.
JUA
N P
RAt
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s/sA
mB
A P
ho
to
Classe(rea em metro quadrado) [250, 276[ [276, 302[ [302, 328[ [328, 354]
Ponto mdio (xM)250 276
2263
15
276 3022
289
1
5302 328
2315
15
328 3542
341
1
5
Frequncia(nmero de residncias) 3 3 2 2 Ft 5 10
Calculando a mdia aritmtica ponderada xy dos nmeros 263, 289, 315 e 341, com pesos respectivamente iguais a 3, 3, 2 e 2, temos:
xy 53 263 3 289 2 315 2 341
3 3
3 3 3 3 263 263 2 2 315 3151 131 13 2891 1289 1 1 3 31 13 3 1 1
3 313 31 111 11 5 ,2 21 12 21 1 2 2 296 8
Logo, a rea mdia de cada residncia desse condomnio 296,80 m2.
Percebemos, ento, que necessrio mais de um parmetro para avaliar a distribuio dos va-lores numricos de uma amostra. Juntamente com a mdia aritmtica e a moda, outro ndice que ajuda a descrever a distribuio dos nmeros em uma amostra a mediana, definida a seguir.
Apesar dos contrastes sociais, o Brasil entrou, pela primeira vez, para o grupo de pases com elevado IDH, segundo o Relatrio de Desenvolvimento Humano 2007/2008 do Programa das Naes Unidas para o Desenvolvimento (PNUD).
importante notar que amostras no numricas tambm podem ter moda. Suponha por exem-plo que, na gndola de um supermerca-do, haja 10 sabonetes da marca A, 15 da marca B e 18 da mar-ca C. Considerando a amostra das marcas representada por es-ses sabonetes, a mar-ca de maior fre qun-cia nessa amostra C; logo,amarcaC a moda dessa amostra.
Mat_Paiva_v3_C01(008a035).indd 18 9/14/09 8:23:55 AM
amostra das marcas representada por es-ses sabonetes, a mar-ca de maior fre qun-cia nessa amostra C; logo,amarcaC a moda dessa amostra.
amostra das marcas representada por es-ses sabonetes, a mar-ca de maior fre qun-cia nessa amostra C; logo,amarcaC a moda dessa
amostra das marcas representada por es-ses sabonetes, a mar-ca de maior fre qun-cia nessa amostra C; logo,amarcaC a moda dessa
capita
com a mesma frequncia.
Mediana
Um dos indicadores do ndice de Desenvolvimento Humano (IDH) de um pas a renda , que o quociente de toda a renda do pas, em determinado perodo, pelo nmero de
Um dos indicadores do ndice de Desenvolvimento Humano (IDH) de um pas a renda , que o quociente de toda a renda do pas, em determinado perodo, pelo nmero de
c) A amostra 2, 7, 4, 9, 3, 0, 15 e 18 no tem moda, pois todos os elementos apresentam-se
Um dos indicadores do ndice de Desenvolvimento Humano (IDH) de um pas a renda , que o quociente de toda a renda do pas, em determinado perodo, pelo nmero de
Um dos indicadores do ndice de Desenvolvimento Humano (IDH) de um pas a renda , que o quociente de toda a renda do pas, em determinado perodo, pelo nmero de
Um dos indicadores do ndice de Desenvolvimento Humano (IDH) de um pas a renda , que o quociente de toda a renda do pas, em determinado perodo, pelo nmero de
Um dos indicadores do ndice de Desenvolvimento Humano (IDH) de um pas a renda per , que o quociente de toda a renda do pas, em determinado perodo, pelo nmero de
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19Estatstica: medidas de disperso Captulo 1
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Questo resolvida
Considere n nmeros dispostos em rol:x1, x2, x3, ..., xn
Sendon mpar, chama-se mediana, indicada por Md, o termo central do rol, isto , o termo xi com:
in
51 12
Sendon par, chama-se mediana (Md) a mdia aritmtica entre os termos centrais desse rol, isto , a mdia aritmtica entre os termos xi e xi 1 1 com:
in
52
Exemplos
a) Considere o rol com nmero mpar de termos:
1, 5, 9, 14, 15, 19, 25
termocentral
A mediana o termo central 14, isto , Md 5 14.
b) Considere o rol com nmero par de termos:
termoscentrais
10, 12, 15, 19, 22, 29, 38, 45
A mediana a mdia aritmtica entre os termos centrais, 19 e 22, isto :
Md
,51
519 22
220 5
R.3 Dois pases, A e B, de 100 milhes de habitantes cada um, tm a mesma renda per capita mensal. As tabelas abaixo descrevem a distribuio de renda entre os habi-tantes desses pases.
Pas A Pas B
Renda mensal por pessoa (em real)
Nmero de habitantes
(em milho)
Renda mensal por pessoa (em real)
Nmero de habitantes
(em milho)400,00 90 1.500,00 60
16.400,00 10 2.750,00 40Calcular:a) a renda per capita mensal de cada pas;b) a mediana das rendas mensais dos habitantes de cada pas;c) a moda das rendas mensais dos habitantes de cada pas.Resoluoa) Indicando por xyA e xyB as rendas per capita mensais dos pases A e B, respectivamen
te, temos:
xyA 590 000 000 400 10 000 000 16 400
100 0. .000. .000 . .000. .000 .
. 10 10 000 000 000 000 400 400 1 1
000000 000 2 000. .5 e
xyB560 000 000 1 500 40 000 000 2 750
100. .000. .000 . 500. 500 .40 .40 . 000. 000 .2 .2
. 40 40 000 000 000 000 1 1 500 500 1 1
00000000 000 2 000. .5 Note que, apesar de os dois pases terem a mesma renda per capita mensal
(R$ 2.000,00), no pas A a riqueza est concentrada em apenas 10% da populao, enquanto no pas B h uma distribuio de renda mais equitativa.
b) Representando em rol os rendimentos mensais dos habitantes, temos: Pas A:
400, 400, 400, ..., 400, 400, ..., 400, 16.400, 16.400, ..., 16.400
termoscentrais
Para determinar a mediana em uma amostra de nmeros diferentes, a amos-tra pode ser coloca-da em rol do nme-ro menor para o maior, ou do maior para o menor. Nos dois ris a mediana a mesma.
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Questo resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvida
R.3
Questo resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvida
Dois pases, Acapita
Questo resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvida
Dois pases, A mensal. As tabelas abaixo descrevem a distribuio de renda entre os habi-
Questo resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvidaQuesto resolvida
e B, de 100 milhes de habitantes cada um, tm a mesma renda mensal. As tabelas abaixo descrevem a distribuio de renda entre os habi-
e B, de 100 milhes de habitantes cada um, tm a mesma renda mensal. As tabelas abaixo descrevem a distribuio de renda entre os habi-
e B, de 100 milhes de habitantes cada um, tm a mesma renda mensal. As tabelas abaixo descrevem a distribuio de renda entre os habi-
e B, de 100 milhes de habitantes cada um, tm a mesma renda per mensal. As tabelas abaixo descrevem a distribuio de renda entre os habi-
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20 Captulo 1 Estatstica: medidas de disperso
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Resolva as questes 6 e 7 do roteiro de estudos e as questes complementares 1, 2, 23 a 48.
Questes propostas
11 Calcule a mdia aritmtica dos nmeros:a) 5, 18, 2, 25, 3 e 10b) 3,66; 3,64; 3,72; 3,74 e 3,74
12 Calcule a mdia aritmtica ponderada dos nmeros:a) 5, 4, 8, 6 e 2, com fatores de ponderao iguais a
2, 3, 1, 2 e 4 respectivamente.b) 4,2; 3,8; 3,2 e 5,1, com pesos iguais a 2,5; 2; 4,1 e
2,2 respectivamente.
13 Os 735 elementos de uma amostra de nmeros foram colocados em rol. A mediana, nesse rol, ocupa a:a) 366 posio d) 368 posiob) 367 posio e) 370 posioc) 369 posio
14 As 8 garrafas de refrigerante de uma amostra apresentaram os seguintes contedos, em litro:
0,95 0,90 1,05 0,951,10 0,90 1,10 1,05
Calcule, nessa amostra, o contedo mdio por litro.
15 (UFMG) Os 40 alunos de uma turma fizeram uma prova de Matemtica valendo 100 pontos. A nota mdia da turma foi de 70 pontos, e apenas 15 dos alunos conseguiram a nota mxima.Seja M a nota mdia dos alunos que no obtiveram a nota mxima. Ento, correto afirmar que o valor de M :a) 53 b) 50 c) 51 d) 52
16 (MackenzieSP) A mdia aritmtica de n nmeros positivos 7. Retirandose do conjunto desses nmeros o nmero 5, a mdia aritmtica dos nmeros que restam passa a ser 8. O valor de n :a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 9
17 O grfico abaixo descreve a distribuio, segundo o preo de venda, dos veculos de uma concessionria em um feiro de automveis.
1612860 10
55.000
42.000
36.000
34.000
30.000
Frequncia(nmero de automveis)
Cla
sse
(pre
o d
e ve
nd
a em
rea
l)
a) Qual foi o preo mdio por veculo vendido nessa feira por essa concessionria?
b) Considerando a amostra dos preos de todos os veculos vendidos por essa concessionria no feiro, determine a moda e a mediana.
18 (FGV) Quatro amigos calcularam a mdia e a mediana de suas alturas, tendo encontrado como resultado 1,72 m e 1,70 m respectivamente. A mdia entre as alturas do mais alto e do mais baixo, em metro, igual a:a) 1,70 c) 1,72 e) 1,74b) 1,71 d) 1,73
19 Para avaliao do nvel de gordura abdominal, foram medidas as cinturas de 13 pessoas adultas. Os resultados obtidos, em centmetro, foram:
92 86 95 78 86 89 91 80 78 89 86 75 78
Determine a moda e a mediana dessa amostra.
Pas B:1.500, 1.500, 1.500, ..., 1.500, 1.500, ..., 1.500, 2.750, 2.750, ..., 2.750
termoscentrais
Assim, as medianas das rendas mensais dos habitantes dos pases A e B so, respectivamente, R$ 400,00 e R$ 1.500,00.
c) No pas A a renda mais frequente R$ 400,00, e no pas B a renda mais frequente R$ 1.500,00. Assim, as modas das rendas dos pases A e B so R$ 400,00 e R$ 1.500,00 respectivamente.
Note que as rendas per capita, as medianas e as modas permitem a comparao da riqueza dos pases e da riqueza individual de seus habitantes. Os dois pases so igualmente ricos, mas, como a mediana no pas A menor que no pas B, conclumos que a distribuio de renda em B mais equitativa. Alm disso, a moda revela que a maioria das rendas no pas B superior maioria das rendas no pas A.
10,5
3,7
4,17
3,93
X
1,0 L
X
X
R$ 37.961,54
Mo 5R$36.000,00;Md 5 R$ 36.000,00
X
Hduasmodas:78e86;Md 5 86.
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13
2, 3, 1, 2 e 4 respectivamente.b) 4,2; 3,8; 3,2 e 5,1, com pesos iguais a 2,5; 2; 4,1 e
2,2 respectivamente.
Os 735 elementos de uma amostra de nmeros foram colocados em rol. A mediana, nesse rol, ocupa a:a) 366
2, 3, 1, 2 e 4 respectivamente.4,2; 3,8; 3,2 e 5,1, com pesos iguais a 2,5; 2; 4,1 e 2,2 respectivamente.
Os 735 elementos de uma amostra de nmeros foram colocados em rol. A mediana, nesse rol, ocupa a:
posio
2, 3, 1, 2 e 4 respectivamente.4,2; 3,8; 3,2 e 5,1, com pesos iguais a 2,5; 2; 4,1 e 2,2 respectivamente.
Os 735 elementos de uma amostra de nmeros foram colocados em rol. A mediana, nesse rol, ocupa a:
2, 3, 1, 2 e 4 respectivamente.4,2; 3,8; 3,2 e 5,1, com pesos iguais a 2,5; 2; 4,1 e
Os 735 elementos de uma amostra de nmeros foram colocados em rol. A mediana, nesse rol, ocupa a:
posio posio
Cla
sse
55.000
42.000
36.000
34.000
30.000
(pre
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Questo resolvida
R.4 Certa ao da Bolsa de Valores teve 44% de valorizao em um ano e 21% de valorizao no ano seguinte. Qual foi a taxa equivalente anual de valorizao dessa ao nesse perodo?ResoluoPara facilitar os clculos, podemos atribuir o ndice 100 ao preo da ao no incio do primeiro ano. Assim, a evoluo do ndice, proporcionalmente ao preo da ao, pode ser descrito pela tabela:
ndice inicial 100ndice ao final do 1 ano 144ndice ao final do 2 ano 174,24
Duas taxas so equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmoperodo de tempo, produzem juros iguais. Assim, a taxa anual equivalente a 74,24% a taxa constante t que, aplicada ao montante ao final de cada ano, reproduz, ao final dos dois anos, o mesmo montante produzido pela taxa bienal 74,24%. Ento, temos:100 (1 1t)(1 1t) 5 174,24 (1 1 t)2 5 1,7424
1 1 t 5 1 7424, 1 1 t 5 1,32 t 5 0,32 5 32%
Logo, a taxa equivalente anual de valorizao dessa ao foi de 32%.Observe que (1 1 t) a mdia geomtrica entre (1 1 0,44) e (1 1 0,21):
1 1 t 5 1 44 1 21 1 7424 1 32, 1 4, 1 44 1, 4 1 ,4 1 ,4 1 , 7424, 7424 ,1 3 ,1 34 14 1 5 55 515 51 74245 57424
Complementos do estudo de mdiasNeste tpico, analisaremos dois outros tipos de mdia. Acompanhe.
Mdia geomtrica
A mdia geomtrica de n nmeros no negativos, x1, x2, x3, ..., xn, o nmero G tal que:
G x x x xnn ... 5 1 2 3
Exemplos
a) A mdia geomtrica entre 2 e 8 G ,5 2 8 ou seja, G 5 4.
b) A mdia geomtrica entre 12, 30 e 75 G . ,5 512 30 75 27 0003 3 ou seja, G 5 30.
c) A mdia geomtrica entre 1, 8, 2 e 81 G . ,5 51 2 8 81 1 2964 4 ou seja, G 5 6.
Mdia harmnica
A mdia harmnica de n nmeros, x1, x2, x3, ..., xn, todos diferentes de zero, o nmero H, tal que:
H
x x x x
n
n
xn
...
51 1 1 1
51
11 1 1 1 1
1 2 3 1
... 1 1 1
2 3x x xn1 1 1
Exemplo
A mdia harmnica dos nmeros 6, 8, 12 e 24 o nmero H dado por:
H
51 1 1
51 1
416
18
112
124
44
24324
2224
124
41024
9610
9 6
,1
5 5 5 H
Essa concluso po de ser gene-ralizada da se-guinte ma neira: Se t1, t2, t3, ..., tn so taxas per-centuais aplica-das a um capital, sucessivamente em n perodos de tempo, ento a taxa equiva-lente t por pe-rodo de tempo tal que 1 1 t a mdia geo-mtrica entre 1 1 t1, 1 1 t2, 1 1 t3, ..., 1 1 tn.
Note que a mdia harmnica o inver-so da mdia aritm-tica dos inversos dos nmeros x1, x2, x3,..., xn.
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Duas taxas so equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmoperodo de tempo, produzem juros iguais. Assim, a taxa anual equivalente a 74,24% a taxa constante o mesmo montante produzido pela taxa bienal 74,24%. Ento, temos:
Duas taxas so equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmoperodo de tempo, produzem juros iguais. Assim, a taxa anual equivalente a 74,24% a taxa constante o mesmo montante produzido pela taxa bienal 74,24%. Ento, temos:
Duas taxas so equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmoperodo de tempo, produzem juros iguais. Assim, a taxa anual equivalente a 74,24% a taxa
t que, aplicada ao montante ao final de cada ano, reproduz, ao final dos dois anos, t que, aplicada ao montante ao final de cada ano, reproduz, ao final dos dois anos, to mesmo montante produzido pela taxa bienal 74,24%. Ento, temos:
ndice ao final do 1 anondice ao final do 2 ano
Duas taxas so equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmoperodo de tempo, produzem juros iguais. Assim, a taxa anual equivalente a 74,24% a taxa
que, aplicada ao montante ao final de cada ano, reproduz, ao final dos dois anos, o mesmo montante produzido pela taxa bienal 74,24%. Ento, temos:
Duas taxas so equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmoperodo de tempo, produzem juros iguais. Assim, a taxa anual equivalente a 74,24% a taxa
que, aplicada ao montante ao final de cada ano, reproduz, ao final dos dois anos, o mesmo montante produzido pela taxa bienal 74,24%. Ento, temos:
Duas taxas so equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmoperodo de tempo, produzem juros iguais. Assim, a taxa anual equivalente a 74,24% a taxa
que, aplicada ao montante ao final de cada ano, reproduz, ao final dos dois anos, o mesmo montante produzido pela taxa bienal 74,24%. Ento, temos:
Duas taxas so equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmoperodo de tempo, produzem juros iguais. Assim, a taxa anual equivalente a 74,24% a taxa
que, aplicada ao montante ao final de cada ano, reproduz, ao final dos dois anos,
centuais aplica-das a um capital, centuais aplica-das a um capital, sucessivamente
n perodos n perodos nde tempo, ento
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22 Captulo 1 Estatstica: medidas de disperso
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Resolva a questo 8 do roteiro de estudos e as questes complementares 3 a 5, 49 e 56 a 58.
Questes propostas
20 Calcule a mdia geomtrica dos nmeros de cada item.a) 4 e 9 b) 2, 5 e 100
21 Calcule a mdia harmnica dos nmeros de cada item.a) 2 e 4 b) 3, 4 e 6
22 No tringulo retngulo ABC abaixo, a altura relativa hipotenusa mede h e as projees ortogonais dos catetos tAB e tAC sobre a hipotenusa medem m e n respectivamente.
Bm
H
nC
h
A
Atravs da semelhana dos tringulos que compem a figura, prove que h a mdia geomtrica de m e n.
23 Uma aplicao financeira rendeu juros de 40% no primeiro ano, 60% no segundo ano e 22,5% no terceiro. Calcule a taxa equivalente anual desses rendimentos.
24 Um motociclista foi da cidade A cidade B velocidade mdia de 60 km/h. Depois, da cidade B para a cidade C, ele diminuiu a velocidade mdia para 45 km/h e, finalmente, da cidade C para a D, desenvolveu velocidade mdia de 36 km/h. Sabendo que as distncias AB, BC e CD so iguais, calcule a velocidade mdia do motociclista ao longo de todo o percurso.
Medidas de dispersoMedidas de disperso2De janeiro a maio, dois fundos de investimentos, A e B, tiveram a mesma rentabilidade mdia
mensal, conforme mostra a tabela:
Rentabilidade, em real,para cada R$ 1.000,00
aplicados
Ms janeiro fevereiro maro abril maio
Fundo A 10 11 6 10 8 mdia 5 9
Fundo B 7 12 8 11 7 mdia 5 9
Um investidor pretende aplicar seu dinheiro em um desses fundos. Por ter um perfil conser-vador, esse investidor quer aplicar no fundo que teve o desempenho mais regular no perodo considerado na tabela.
Como proceder, matematicamente, para determinar qual o fundo de desempenho mais regular?
Questo resolvida
R.5 Um motorista viaja da cidade A para a cidade B, velocidade mdia de 60 km/h. Na viagem de volta, de B para A, pelo mesmo caminho, o motorista via-ja velocidade mdia de 100 km/h. Determinar a velocidade mdia de toda a viagem, de ida e volta.
ResoluoSendo d a distncia, em quilmetro, entre as cidades A e B, temos: O tempo t1, em hora, gasto na ida foi: t
d1 60 5
O tempo t2, em hora, gasto na volta foi:
t d2 100 5
A velocidade mdia vm definida como vstm ,5
em que s indica a distncia percorrida no tempo t.Logo, temos:
v dd d vm md dm md d
5
15
15
2
60 100
21m m1m m
601m m1m m
100
75 kmm/kmm/km h
Note que vm a mdia harmnica entre as velo-
cidades 60 km/h e 100 km/h, isto :
vm
51
21
601
100
km/h
6 10
483
mh
5 hn
h2 5 m n
hh 55 m nm nm nm nm nm nLogo h a mdia geomtrica de m e n.
40%
45 km/h
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22 No tringulo retngulo
item.a) 2 e 4
No tringulo retngulo va hipotenusa mede dos catetos
n respectivamente.
No tringulo retngulo va hipotenusa mede dos catetos tAB
respectivamente.
8833
No tringulo retngulo va hipotenusa mede
e tAC respectivamente.
3, 4 e 6
abaixo, a altura relatie as projees ortogonais
sobre a hipotenusa medem m
44
dimentos.
24 Um motociclista foi da cidade A cidade B velo Um motociclista foi da cidade A cidade B velocidade mdia de 60 km/h. Depois, da cidade B
primeiro ano, 60% no segundo ano e 22,5% no terceiro. Calcule a taxa equivalente anual desses rendimentos.
Um motociclista foi da cidade A cidade B velocidade mdia de 60 km/h. Depois, da cidade B
40%40%
ceiro. Calcule a taxa equivalente anual desses ren
Um motociclista foi da cidade A cidade B velocidade mdia de 60 km/h. Depois, da cidade B
ceiro. Calcule a taxa equivalente anual desses ren
Um motociclista foi da cidade A cidade B velocidade mdia de 60 km/h. Depois, da cidade B
ceiro. Calcule a taxa equivalente anual desses ren
Um motociclista foi da cidade A cidade B velocidade mdia de 60 km/h. Depois, da cidade B
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Cd
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Pena
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de
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23Estatstica: medidas de disperso Captulo 1
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A comparao entre os desempenhos desses dois fundos de investimento pode ser feita por medidas estatsticas que indicam o quanto os elementos de uma amostra de nmeros esto afas-tados da mdia aritmtica. Essas medidas so conhecidas como: desvio absoluto mdio, vari-ncia e desvio padro. Calculando uma dessas medidas em cada uma de duas amostras de um mesmo universo estatstico, ser considerada menos dispersa a amostra que apresentar a menor medida. No caso dos fundos A e B, a amostra de rentabilidade menos dispersa em relao m-dia aritmtica corresponde ao desempenho mais regular.
Desvio absoluto mdioNo fundo de investimento A, a mdia mensal dos rendimentos nos cinco meses considerados
na tabela anterior foi 9 reais, e esses rendimentos foram 10, 11, 6, 10 e 8 reais, de janeiro a maio respectivamente.
Para determinar o quanto cada rendimento est afastado da mdia aritmtica, basta calcular adiferenaentreorendimentoeamdiaaritmtica,nessaordem;essadiferenachamadadedesvio do rendimento. Esses desvios so:
10 2 9 5 1 (no ms de janeiro, o rendimento foi 1 real acima da mdia)11 2 9 5 2 (no ms de fevereiro, o rendimento foi 2 reais acima da mdia)6 2 9 5 23 (no ms de maro, o rendimento foi 3 reais abaixo da mdia)10 2 9 5 1 (no ms de abril, o rendimento foi 1 real acima da mdia)8 2 9 5 21 (no ms de maio, o rendimento foi 1 real abaixo da mdia)
O mdulo de cada um desses desvios chamado de desvio absoluto do rendimento cor-respondente. No caso, temos os seguintes desvios absolutos:
dorendimentodejaneiro:|1029|5|1|5 1 dorendimentodefevereiro:|1129|5|2|5 2 dorendimentodemaro:|629|5|23|5 3 dorendimentodeabril:|1029|5|1|5 1 dorendimentodemaio:|829|5|21|5 1
A mdia aritmtica entre esses desvios absolutos chamada de desvio absoluto mdio, que se indica por Dam. Indicando o desvio absoluto mdio da amostra de rendimentos do fundo A por DamA, temos:
DamA 51 1 2 1 1 2
51
1 2 3 1 1
51 22 3 1 1
51 6
,
1 1 15
Analogamente, calculamos o desvio absoluto mdio da amostra de rendimentos do fundo B, DamB:
DamB
52 1 2 1 2 1 27 9 12 9 8 9 11
9 7 9
52 3 1 2 2
52
1 25
1 1 1 15
Como o nome sugere, o desvio absoluto mdio fornece o afastamento mdio dos elementos da amostra em relao mdia aritmtica. Assim, verificamos que, no perodo de janeiro a maio, os rendimentos do fundo A estiveram, em mdia, 1,6 real acima ou abaixo da mdia aritmtica, e os rendimentos do fundo B estiveram, em mdia, 2 reais acima ou abaixo da mdia aritmtica. Como DamA , DamB, conclumos que o fundo A teve desempenho mais regular que o do fundo B. Por isso, o investidor conservador deve optar pelo fundo A.
Generalizando esses procedimentos para uma amostra numrica qualquer, definimos:
Sendo x y a mdia aritmtica de uma amostra de nmeros x1, x2, x3, ..., xn, chama-se desvio absoluto mdio, indicado por Dam, o nmero:
Damx x x x x x
...
52 1 2 1 11 2 3 11 2 x x
nn
Usando o smbolo de somatrio:
Damx x
n
ii
n
52
5 1
A medida da disper-so dos nmeros de uma amostra, em relao mdia arit-mtica desses n-meros, no pode ser calculada pelo desvio mdio (mdia arit-mtica entre os des-vios), porque este sempre igual a zero. Por isso que se ado-ta o mdulo de cada desvio.
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que se indica por
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A por
do do
A mdia aritmtica entre esses desvios absolutos chamada de que se indica por A por Dam
rendimentorendimento
A mdia aritmtica entre esses desvios absolutos chamada de que se indica por
, temos:
rendimento derendimento de
A mdia aritmtica entre esses desvios absolutos chamada de Dam. Indicando o desvio absoluto mdio da amostra de rendimentos do fundo
, temos:
|10 9| 12 9| 5 1| 5 1
A mdia aritmtica entre esses desvios absolutos chamada de . Indicando o desvio absoluto mdio da amostra de rendimentos do fundo
1 213 13 12 13 12 11 1 2 1
A mdia aritmtica entre esses desvios absolutos chamada de . Indicando o desvio absoluto mdio da amostra de rendimentos do fundo
1 2 322 322 31 12 3
desvio absoluto mdio. Indicando o desvio absoluto mdio da amostra de rendimentos do fundo
1 1
desvio absoluto mdio, . Indicando o desvio absoluto mdio da amostra de rendimentos do fundo
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24 Captulo 1 Estatstica: medidas de disperso
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Varincia
Outra medida que indica o afastamento dos elementos de uma amostra de nmeros em rela-o mdia a varincia, que se representa por 2.
Define-se varincia como a mdia aritmtica entre os quadrados dos desvios dos ele-mentos da amostra, isto :
52 1 2 1 2 1
2 1
2
2
2
3
2
..x x x x x x( ) ( ) ( ) .. 1 2x x
nn( )2
Usando o smbolo de somatrio:
52
52
2
1 ( )
x x
n
ii
n
Note, portanto, que a varincia no expressa o desvio absoluto mdio, mas sim a mdia entre os quadrados dos desvios.
Indicando, respectivamente, por A2 e B
2 as varincias das amostras de rendimentos dos fundos A e B descritos na tabela da pgina 22, temos:
52 1 2 1 2 1
A2
2 2 210 9 11 9 6 9 1
( ) ( ) ( ) ( 00 9 8 95
1 2 3 1
2 2
2 2 2
) ( )
( )
2 1 25
51 1 2 1 22 21
5165
3 2 ( )
,1 2
5 5
e
52 1 2 1 2 1
B2
2 2 27 12 9 8 9 11
( ) ( ) ( ) (9 ) ( )
( ) ( )
2 1 25
52 1 1 2 1
9 7 95
2 3 1
2 2
2 2 2 ( ) ,
2 25
225
4 42 21 2
5 5
Como , A B2 2 , conclumos que o fundo de investimentos A teve, no perodo de janeiro a
maio, desempenho mais regular que o do fundo B.
Desvio padro
Na interpretao da varincia, pode surgir alguma dificuldade em relao unidade de me-dida dos elementos da amostra. Por exemplo, quando os elementos da amostra representam capacidades em litro (L), a varincia representa um resultado em L2. Como essa unidade no tem significado fsico, no conveniente utilizar a varincia nesse caso. Por causa de dificuldades como essa, definimos:
O desvio padro, representado por , a raiz quadrada da varincia.
Indicando, respectivamente, por A e B os desvios padro das amostras de rendimentos dos fundos A e B descritos na tabela citada, temos:
5
5
A
B
, ,
, ,
3 2 1 79
4 4 2 10
e
Como A , B, conclumos que o fundo de investimentos A teve, no perodo de janeiro a maio, desempenho mais regular que o do fundo B.
a letra grega sigma.
No esquea que a comparao da dis-perso de duas amos-tras de nmeros pode ser feita por qualquer um dos ndices: des-vio absoluto mdio, varincia ou desvio pa dro. Note que as trs medidas condu-ziram mesma con-cluso.
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2 27 127 12 17 112 27 12 212 217 112 21 5 5
7 1 7 1)7 1)7 1 97 197 1
( ) 5
( )2 1( ) 1 22 3( )2 3( ) 2 3 2 12 32 1( )2 1( )2 3( )2 1( )2 22 32 22 32 12 32 12 22 12 32 1
12 22 9 8 922 9 8 92 12 9 8 912 22 9 8 92 2( 2 2( 2 27 1( 7 12 27 12 2( 2 27 12 22 9 8 9( 2 9 8 92 22 9 8 92 2( 2 22 9 8 92 22 2 )2 22 9 8 9 )2 9 8 92 22 9 8 92 2 )2 22 9 8 92 2 ( 2 9 8 9( 2 9 8 9
( ) 1( )1( )2 2 22 2(2 2(2 22 22 2(2 2(2 2(2 2(2 21 22 22 22 22 21 22 22 22 2(2 2(2 2(2 2(1 2(2 2(2 2(2 2(
122 9 8 922 9 8 92 11 )2 9 8 9 )2 9 8 9 ( 25
)2 2 222 2)2 2)2 22 22 25 5
) ( )1 29 7)9 7) ( 9 7( 19 71 )9 )2 2( 2 2( )2 2 )9 72 29 7( 9 7( 2 2( 9 7( 19 712 219 71 )9 )2 2 )9 )5
2 2
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25Estatstica: medidas de disperso Captulo 1
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Questes propostas
25 Considerando a amostra de nmeros 1, 3, 5, 9 e 6, calcule:a) o desvio de cada elemento dessa amostra;b) a soma dos desvios desses elementos.
26 Considerando a amostra de nmeros 2, 8, 6, 5, 0 e 9, calcule:a) o mdulo do desvio de cada elemento dessa amostra;b) a mdia aritmtica entre os mdulos dos desvios
desses elementos. (Nota: Como vimos, essa mdia chamada de desvio absoluto mdio.)
27 Considerando a amostra de nmeros; 14, 12, 8 e 2, calcule:a) o quadrado do desvio de cada elemento dessa
amostra;b) a mdia aritmtica dos quadrados dos desvios
desses elementos.(Nota: Como vimos, essa mdia chamada de varincia.)
28 Qual o desvio padro da amostra de nmeros da questo anterior?
29 Para fiscalizar as queimadas provocadas por agricultores, os tcnicos do Ncleo de Monitoramento Ambiental (NMA) dividem o mapa do Brasil em quadrculas e estudam em cada uma delas os pontos de queimada na regio correspondente.
nenhum1-57 ponto(s)59-117 pontos121-318 pontos334-1.763 pontos
690 km
Disponvel em: www.queimadas.cnpm.embrapa.brAcesso em: 2 mar. 2009
Esta tabela mostra a distribuio de pontos de queimada detectados em 5 quadrculas:
Quadrcula Nmero de pontosde queimadaQ1 1.058Q2 446Q3 936Q4 1.568Q5 672
a) Calcule o nmero mdio de pontos de queimada por quadrcula dessa distribuio.
b) Calcule o desvio absoluto mdio dessa distribuio.c) Se fosse includa nessa distribuio mais uma
quadrcula, com 936 pontos de queimada, o desvio absoluto mdio da nova distribuio seria maior, menor ou igual ao desvio absoluto mdio calculado no item b?
30 Em uma fbrica de rolamentos, duas mquinas, A e B, fabricam esferas de ao, projetadas para ter 10 mm de dimetro. Uma amostra de 4 esferas de cada mquina foi analisada para verificar se os inevitveis erros de medida, produzidos no processo de fabricao, so aceitveis. A tabela abaixo mostra as medidas, em milmetro, do dimetro das esferas dessa amostra.
Mquina Dimetro das esferas(em milmetro)
Dimetro mdio ( xy)
(em milmetro)A 10,6 9,6 10,0 9,4 9,9B 10,2 10,6 9,6 9,2 9,9
Qual das duas mquinas apresentou, nessa amostra, maior disperso de medidas em relao ao dimetro mdio?
31 Gustavo e Lucas tiveram a mesma mdia no vestibular, conforme pode ser constatado nos boletins abaixo.
Gustavo FerreiraDisciplina Nota
Biologia 7,0Histria 7,5Geografia 8,0Portugus 7,0Ingls 6,0Matemtica 7,0Fsica 6,5Qumica 7,0
Lucas de Oliveira GuimaresDisciplina Nota
Biologia 7,0Histria 6,5Geografia 8,0Portugus 6,5Ingls 7,5Matemtica 7,5Fsica 6,0Qumica 7,0
23,8;21,8;0,2;4,2e1,2.
0
3, 3, 1, 0, 5 e 4
2,7
25, 9, 1 e 49
21
4,58
936
301,6
O desvio absoluto mdio ser menor.
A mquina B.
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Ambiental (NMA) dividem o mapa do Brasil em
tos de queimada na regio correspondente.
cultores, os tcnicos do Ncleo de Monitoramento Ambiental (NMA) dividem o mapa do Brasil em quadrculas e estudam em cada uma delas os pontos de queimada na regio correspondente.
cultores, os tcnicos do Ncleo de Monitoramento Ambiental (NMA) dividem o mapa do Brasil em quadrculas e estudam em cada uma delas os pontos de queimada na regio correspondente.
Ambiental (NMA) dividem o mapa do Brasil em quadrculas e estudam em cada uma delas os pontos de queimada na regio correspondente.
Ambiental (NMA) dividem o mapa do Brasil em quadrculas e estudam em cada uma delas os pontos de queimada na regio correspondente.
31
Qual das duas mquinas apresentou, nessa amostra, maior disperso de medidas em relao ao dimetro mdio?
Gustavo e Lucas tiveram a mesma mdia no vestibular, conforme pode ser constatado nos boletins abaixo.Gustavo e Lucas tiveram a mesma mdia no vestibular, conforme pode ser constatado nos boletins abaixo.
A mquina B.A mquina B.
Gustavo e Lucas tiveram a mesma mdia no vestibular, conforme pode ser constatado nos boletins abaixo.Gustavo e Lucas tiveram a mesma mdia no vestibular, conforme pode ser constatado nos boletins abaixo.
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26 Captulo 1 Estatstica: medidas de disperso
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98.Resolva as questes 9 a 15 do roteiro de estudos e as questes complementares 6, 7, 50 a 55, 59 e 60.
Como eles disputavam a ltima vaga, foi adotado como critrio de desempate a varincia do conjunto de notas em todas as disciplinas: o candidato com desempenho mais regular teve direito vaga. (Entendese por desempenho mais regular aquele em que as notas apresentaram menor disperso em relao mdia aritmtica.)a) Calcule a mdia aritmtica do conjunto de notas
de cada candidato.b) Calcule a varincia do conjunto de notas de cada
candidato.c) Qual dos candidatos teve o desempenho mais
regular? Por qu?
32 Para preencher uma vaga de gerente de produo, o departamento de recursos humanos de uma empresa realizou testes com vrios candidatos, dos quais selecionou os dois que apresentaram melhor desempenho: Leonor e Felipe. A tabela a seguir mostra o desempenho desses dois candidatos nas provas a que se submeteram.
CandidatoAssunto Leonor Felipe
Conhecimentosde informtica 8,5 9,5
Lngua portuguesa 9,5 9,0
Lngua inglesa 8,0 8,5
Matemtica 7,0 8,0
Conhecimentos de economia 7,0 5,0
mdia 5 8 mdia 5 8
a) Calcule o desvio padro do conjunto de notas de cada candidato.
b) Sabendo que a vaga ser dada ao candidato com desempenho mais regular, qual dos dois tem o direito vaga? Por qu?
8 O que mdia geomtrica e mdia harmnica?
9 Em uma amostra de nmeros, o que o desvio de um elemento em relao mdia aritmtica?
10 Por que no se aplica o desvio mdio no estudo da disperso de uma amostra de nmeros?
11 Qual a definio de desvio absoluto?
12 O que desvio absoluto mdio?
13 Qual a definio de varincia?
14 O que desvio padro?
15 Na comparao da disperso de duas amostras de nmeros, qual das medidas podemos aplicar: desvio absoluto mdio, varincia ou desvio padro?
1 Descreva uma situao do cotidiano em que estejam presentes os conceitos de universo estatstico e de amostra.
2 Qual a definio de rol?
3 O que uma tabela de distribuio de frequncias?
4 Como se calcula a frequncia relativa de uma classe em uma tabela de distribuio de frequncias?
5 Qual a diferena entre grfico de barras e histograma?
6 O que mdia aritmtica e mdia aritmtica ponderada?
7 O que moda e mediana?
Roteiro de estudos
Questes complementares
Questes tcnicas
1 Se uma amostra formada por 45 nmeros, ento se pode afirmar que a mediana:a) pertence amostra.b) no pertence amostra.c) pode pertencer ou no amostra.d) um nmero maior que 45
2.
e) um nmero inteiro.
2 Se uma amostra formada por 50 nmeros, ento se pode afirmar que a mediana:a) pertence amostra.b) no pertence amostra.c) pode pertencer ou no amostra.d) um nmero maior que 25.e) um nmero fracionrio.
3 Calcule a mdia geomtrica de 5, 8, 162 e 125.
7,0
Gustavo:0,3125;Lucas:0,375
Gustavo teve o desempenho mais regular, pois a disperso de seu conjunto de notas foi menor.
Leonor:0,9486;Felipe:1,58
Leonor teve o desempenho mais regular, pois a disperso de seu conjunto de notas foi menor.
Resposta pessoal.
Ver Rol, na pgina 9.
uma tabela em que so descritas as classes, em que foi separada a amostra e suas respectivas frequncias.
Ver Tabelas e grficos, na pgina 9.
No histograma so apresentadas as frequncias de dados agrupados em intervalos reais, enquanto no grfico de barras so apresentadas frequncias de classes unitrias.
Ver Mdia aritmtica, na pgina 16 e Mdia aritmtica ponderada, na pgina 17.
Ver Moda e Mediana, nas pginas 18 e 19.
Ver Mdia geomtrica e Mdia harmnica, na pgina 21.
Desvio de um elemento xi de uma amostra de nmeros, em re-lao mdia aritmtica x
_, a diferena xi 2 x
_.
Porque a soma dos desvios sempre zero e, portanto, a mdia aritmtica dos desvios tambm sempre zero.
Ver Desvio absoluto mdio, na pgina 23.
Ver Desvio absoluto mdio, na pgina 23.
Ver Varincia, na pgina 24.
Ver Desvio padro, na pgina 24.
A comparao da disperso de duas amostras de nmeros pode ser feita por qualquer um dos ndices: desvio absoluto mdio, varincia ou desvio padro. Adotando um desses ndices para a comparao da disperso de duas amostras, a que tiver o menor ndice a menos dispersa.
X
X
30
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1 Descreva uma situao do cotidiano em que estejam Descreva uma situao do cotidiano em que estejam
2 Qual a definio de rol? Qual a definio de rol?
Descreva uma situao do cotidiano em que estejam presentes os conceitos de universo estatstico e de amostra.
Qual a definio de rol?
Descreva uma situao do cotidiano em que estejam presentes os conceitos de universo estatstico e de
Qual a definio de rol?
Resposta pessoal.Resposta pessoal.
Descreva uma situao do cotidiano em que estejam presentes os conceitos de universo estatstico e de
Qual a definio de rol?
Resposta pessoal.Resposta pessoal.
Descreva uma situao do cotidiano em que estejam presentes os conceitos de universo estatstico e de
Ver Rol, na pgina 9.Ver Rol, na pgina 9.
9 Em uma amostra de nmeros, o que o desvio de um Em uma amostra de nmeros, o que o desvio de um elemento em relao mdia aritmtica?
10 Por que no se aplica o desvio mdio no estudo da Por que no se aplica o desvio mdio no estudo da
9
10
O que mdia geomtrica e mdia harmnica?
Em uma amostra de nmeros, o que o desvio de um elemento em relao mdia aritmtica?
Por que no se aplica o desvio mdio no estudo da disperso de uma amostra de nmeros?
Ver Mdia geomtrica e Mdia harmnica, na pgina 21.Ver Mdia geomtrica